解直角三角形 仰角俯角教案

典案一教学设计课题第1课时仰角、俯角与解直角三角形授课人教学目标知识技能理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．数学思考结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获得解决物体的高、宽等一些测量经验．问题解决要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．情感态度运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学用数学的思想．教学重点利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．教学难点把实际问题转化为数学模型．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.解直角三角形的主要依据是什么？2．解直角三角形主要有哪两种类型？1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.2．(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 k m的圆形轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少(地球半径约为6400 k m, π取3.142，结果取整数)?图28－2－37通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究交流新知1.解决问题：师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图.分析问题：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图28－2－38，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，PQ︵的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算PQ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数.2.仰角、俯角的应用：例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)？仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.如图28－2－38，仰角α＝30°，俯角β＝60°. 图28－2－38在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图28－2－39，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房距离地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度. 图28－2－39分析：过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米，则AF＝(x－20)米．在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE＝BE－BC，代入数值求出x的值.例1主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力.【拓展提升】例2如图28－2－40，为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测得点A的仰角为30°.已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度. 图28－2－40(10 3＋11.5)米例2主要是通过两次解直角三角形建立一元一次方程，通过解方程，求出相应的线段，从而解决求建筑物高的问题.【学习目标】1．知识技能(1)进一步掌握解直角三角形的方法；(2)比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．2．解决问题(1)通过学习懂得仰角、俯角的意义，学会把实际问题转化为数学模型，发展学生的抽象思维能力；(2)在研究有关仰角、俯角的问题的过程中，发展学生的合情推理能力，体会数形结合的思想．3．数学思考通过解决与仰角、俯角有关的实际问题，发展学生的应用意识．4．情感态度(1)在研究有关仰角、俯角的实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养生活中应用数学的意识；(2)通过一系列探究活动，培养与他人合作、交流的意识和探究精神．【学习重难点】1．重点：(1)能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形；(2)能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．2．难点：(1)把实际问题转化为数学问题的能力的培养；(2)灵活应用解直角三角形的知识及仰角、俯角等知识解决实际问题．课前延伸【知识梳理】1．解直角三角形是指：__由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程__．2．解直角三角形主要依据什么？课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)如图28－2－44，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆33米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，求旗杆AB的高(精确到0.1米)．图28－2－44二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)例1如图28－2－45，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？图28－2－45 图28－2－46例2如图28－2－46, 在上海的黄浦江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄浦江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退340 m到点A测得塔尖D的仰角为30°.设塔底C与A，B在同一直线上，试求该塔的高度(结果保留根号)．三、反馈训练1．从1.5 m高的测量仪上，测得某建筑物顶端的仰角为30°，测量仪距建筑物60 m，则该建筑物的高大约为( B )A．34.65 m B．36.14 m C．28.28 m D．29.78 m2．如图28－2－47，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角a＝30°.已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为42 .64 m，当时水位为＋2 .14 m，求观察所A 到船只B的水平距离BC＝________(精确到1 m)．图28－2－473．在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底D 测得点A的俯角β＝45°.已知塔高BD＝30米，求山高CD(结果保留根号)．图28－2－48课后提升如图28－2－49，测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度，在地面上一点B处测得楼顶A的仰角为30°，前进15米到点D，测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC 为15米，求天线AE的高度．图28－2－49。

第1课时仰角、俯角与解直角三角形本课时是在熟练掌握解直角三角形的基础上探究仰、俯角问题，常用来解决实际生活中的测量问题，利用其解决实际问题的一般过程是：“实际问题——数学问题——数学问题的答案——实际问题的答案”．在教学过程中要注意让学生结合具体问题，并且引导学生通过作垂线来构造直角三角形，同时将这一过程与运用方程、函数、不等式解决实际问题的过程进行比较，让学生进一步体会运用数学知识解决实际问题的一般过程．【情景导入】小明班的教室在教学楼的二楼，一天，他站在教室的窗台前看操场上的旗杆，心想：站在二楼上可以利用解直角三角形测得旗杆的高吗？他望着旗杆顶端和旗杆底部，可以测得视线与水平视线之间的夹角各一个，但是，这两个角怎样命名区别呢？如图，∠CAD，∠BAD在测量中各叫什么角呢？【说明与建议】说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：两个学生一组，一个学生观察物体，另一个学生根据他观察的视线画出示意图，教师选择合适的时机引出仰角和俯角的概念．命题角度1 利用仰角解决实际问题根据题意，画出示意图，确定已知角，构造直角三角形，再通过解直角三角形解决问题．1．(达州中考)小明为测量校园里一棵大树AB的高度，在树底部B所在的水平面内，将测角仪CD竖直放在与B相距8 m的位置，在D处测得树顶A的仰角为52°.若测角仪的高度是1 m，则大树AB的高度约为11m.(结果精确到1 m．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)命题角度2 利用俯角解决实际问题根据题意和俯角的位置，构建直角三角形，设出相应的线段，通过解直角三角形构建一次方程，解方程并回答相应的问题．2．(广西中考)如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为(30－103)米(结果保留根号)．命题角度3 综合利用仰角、俯角解决实际问题通过仰角和俯角添加辅助线，构建直角三角形，解直角三角形，解决实际问题．3．(阜新中考)如图，甲楼高21 m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为57m(结果精确到1 m，3≈1.7)．三角学的历史早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．古希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯(Menelaus of Alexandria，公元100年左右)著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉(Varahamihira，约505―587) 最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一此阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁(Nasīral－Dīn al－Tūsī，1201—1274)的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436－1476)．雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的《论各种三角形》．这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作．全书共5卷，前2卷论述平面三角学，后3卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉．雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表．雷格蒙塔努斯的工作为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础．他去世以后，其著作手稿在学者中广为传阅，并最终出版，对16世纪的数学家产生了相当大的影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了直接或间接的影响．课题28.2.2 第1课时仰角、俯角与解直角三角形授课人素养目标1.进一步掌握解直角三角形的方法．2．理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形.3．运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学、用数学的思想.教学重点1.能够灵活应用边与边、角与角、边与角之间的关系解直角三角形．2．能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题.教学难点1.如何把实际问题转化为数学问题．2．灵活应用解直角三角形及仰角、俯角等知识解决实际问题.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾教师提问：1．解直角三角形的主要依据是什么？学生回答：两锐角之间的关系、三边之间的关系、边角之间的关系．教师提问：2．解直角三角形主要有哪两种类型？回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.学生回答：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角(或其锐角三角函数值).活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】2012年6月18日，“神舟九号”载人航天飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现交会对接．“神舟九号”与“天宫一号”的组合体在离地球表面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6 400 km, π取3.142，结果取整数)?通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究、交流新知1.解决问题：师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图．分析问题：从组合体中能直接看到的地球表面的最远点，是视线与地球相切时的切点．如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题，其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时能直接看到的最远点，PQ︵的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算PQ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数．2．仰角、俯角的应用：例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)?师生活动：教师带领学生回顾复习题中涉及的仰角、俯角等概念，并引导学生从不同角度思考问题．仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.如图，仰角α＝30°，俯角β＝60°.在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120 m，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是(A)A．423米 B．143米 C．21米 D．42米师生活动：引导学生能借助仰角构造直角三角形，并分析已知角的对边求邻边，可以利用正切函数来解决．例2如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100 m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°.(1)风筝离地面多少米？(2)A，C两处相距多少米？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.866 0，tan30°≈0.577 4，sin50°≈0.776 0，cos50°≈0.642 8，tan50°≈1.191 8)解：提示：过点B作BD⊥AC于点D.(1)风筝离地面50 m.(2)A，C两处相距约128.6 m.师生活动：学生先做，教师再进行讲解，重点总结并归纳构造直角三角形的辅助线作法．【变式训练】1．2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732，1.例1主要考查直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力．2．例2的解决需要通过添加恰当的辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形问题解决，可以培养学生把实际问题转化成数学问题，灵活应用知识解直角三角形的能力．3．变式训练的设置主要用来提升学生分析问题，并将实际问题转化为数学问题的灵活性.2≈1.414)解：由题意，得AD ＝4 000米，∠ADO ＝30°，CD ＝460米，∠BCO ＝45°， 在Rt △AOD 中，∵AD ＝4 000米，∠ADO ＝30°，∴OA ＝12AD ＝2 000(米)，OD ＝AD ·cos30°＝32AD ＝2 0003(米)．在Rt △BOC 中，∠BCO ＝45°，∴OB ＝OC ＝OD －CD ＝(2 0003－460)米．∴AB ＝OB －OA ＝2 0003－460－2 000≈1 004(米)． ∴1 004÷3≈335(米/秒)．答：火箭从A 到B 处的平均速度约为335米/秒．2．如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)解：设AM ＝x 米，在Rt △AFM 中，∠AFM ＝45°， ∴FM ＝AM ＝x.在Rt △AEM 中，tan ∠AEM ＝AMEM ，则EM ＝AM tan ∠AEM ＝33x ，由题意，得FM －EM ＝EF ，即x －33x ＝40， 解得x ＝60＋20 3. ∴AB ＝AM ＋MB ＝61＋20 3.答：该建筑物的高度AB为(61＋203)米.活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，要得到从点D观测点A的俯角，可以测量(A)A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC2．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC＝12米，则树的高AB (单位：米)为(C)A.12sin37°B.12tan37°C．12tan37° D．12sin37°3．如图，AB是一座办公大楼，一架无人机从C处测得楼顶部B的仰角为60°，测得楼底部A的俯角为37°，测得与大楼的水平距离为40米，则该办公大楼的高度是99米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)4．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直于海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°.火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．(结果精确到0.1千米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.解：由题意，得∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN＝8千米，在Rt△AMN中，MN＝AN·cos30°＝8×32＝43(千米)．在Rt△BMN中，BM＝MN·tan45°＝43≈6.9(千米)．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9千米.课堂小结1.课堂总结：(1)什么是仰角和俯角？(2)在解答实际问题的过程中，你学会了哪些解题技巧或方法？还有哪些疑惑？教学说明：教师总结仰、俯角问题转化为解直角三角形问题的关键步骤：(1)画图；(2)作垂．2．布置作业：教材第76页练习第1，2题.通过课堂小结的形式，使学生能够对本课时所学知识进行整理，同时明确学习重点.。

人教版初中仰角俯角教案教学目标：1. 理解解直角三角形在实际问题中的应用。

2. 掌握与测量有关的几个概念，如仰角、俯角等。

3. 学会利用解直角三角形解决实际问题。

教学重点：1. 掌握与测量有关的几个概念。

2. 解直角三角形解决简单实际问题。

教学难点：1. 解直角三角形解决实际问题。

教学准备：1. 教材。

2. 教学PPT。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角三角形的相关知识，如直角三角形的定义、性质等。

2. 提问：直角三角形在实际问题中有何应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解与测量有关的几个概念，如仰角、俯角等。

讲解示例：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线之上的角叫仰角；视线在水平线之下的角叫俯角。

2. 讲解如何利用解直角三角形解决实际问题。

讲解示例：如图，两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离。

测量者在与河同侧的河岸边选定一点，测出AB=60米，则AC等于40米。

三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材中的练习题。

2. 讲解练习题，引导学生巩固所学知识。

四、拓展与应用（10分钟）1. 让学生思考：如何利用仰角、俯角解决实际问题？2. 让学生举例说明，并进行讲解。

五、课堂小结（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容。

2. 教师进行补充和总结。

六、作业布置（5分钟）1. 让学生完成教材中的课后作业。

2. 让学生结合生活实际，寻找有关仰角、俯角的问题，并进行解答。

教学反思：本节课通过讲解与测量有关的几个概念，如仰角、俯角等，让学生掌握了与测量有关的基本知识。

同时，通过讲解如何利用解直角三角形解决实际问题，让学生学会了将实际问题转化为数学问题，并运用所学知识进行解答。

在课堂练习环节，学生独立完成练习题，巩固了所学知识。

在拓展与应用环节，学生通过举例说明了如何利用仰角、俯角解决实际问题，提高了学生的应用能力。

总之，本节课达到了预期的教学目标，学生掌握了与测量有关的几个概念，学会了利用解直角三角形解决实际问题。

解直角三角形--仰角和俯角教学设计25.3 解直角三角形——仰角与俯角苏州市彩香中学数学团队教学目标：一、知识与技能．1、进一步掌握解直角三角形的方法；2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

二、过程与方法．1、在课堂中渗透数形结合的数学思想，让学生感受到生活中处处有数学；2、加强解直角三角形的两种基本图形的训练；3、让学生相互探讨，能够应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。

三、情感、态度与价值观．1、积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯；2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心；3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生生活中应用数学的意识。

教学重点：一、能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形二、要求学生善于将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决。

解决措施：在课堂中渗透数形结合的数学思想，培养学生的学习兴趣，加强解直角三角形的两种基本图形的训练。

教学难点：一、把实际问题转化为数学问题的能力的培养，二、灵活应用解直角三角形的知识、仰角、俯角等知识解决综合的实际问题解决措施：通过例题讲解与配套练习加以巩固。

教学设计思路：为充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在整个教学活动中始终处于主动探索的积极状态，根据本课特点我将课堂结构设计如下：1、概念的介绍；2、简单例题的导入（把解题格式呈现给学生）；3、从同一个点观测不同物体(讲练同步)；4、从不同点观测同一物体（讲练同步）；5、从不同点观测不同物体及实际问题的应用。

（让学生自己探究）理论依据：知识的建构主义理论教学过程：（一）回忆知识1．解直角三角形指什么2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a 2＋b 2＝c 2(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90° (3)边角之间的关系斜边的对A sin 边∠=A 斜边的A cos 邻边∠=A 边边的邻A 的对A tan ∠∠=A 对边邻边的A 的A co t ∠∠=A（二）新授概念1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。

28.2.2 应用举例第2课时 利用仰俯角解直角三角形1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题 【类型一】 利用仰角求高度星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A 处测得她看塔顶C 的仰角α为45°，小涛站在B 处测得塔顶C 的仰角β为30°，他们又测出A 、B 两点的距离为41.5m ，假设他们的眼睛离头顶都是10cm ，求塔高(结果保存根号)．解析：设塔高为x m ，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用CP PN＝tan30°，求出x 的值即可．解：设塔底面中心为O ，塔高x m ，MN ∥AB 与塔中轴线相交于点P ，得到△CPM 、△CPN 是直角三角形，那么x －〔1.6－0.1〕PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM ＝CP ＝x －1.5.在Rt△CPN 中，CP PN ＝tan30°，即x －1.5x －1.5＋41.5＝33，解得x ＝833＋894. 答：塔高为833＋894m. 方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞 第7题【类型二】 利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG ，高15米，从A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°.假设旗杆底部G 点为BC 的中点，求矮建筑物的高CD .解析：根据点G 是BC 的中点，可判断EG 是△ABC 的中位线，求出AB .在Rt △ABC 和Rt △AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC 、DF ，继而可求出CD 的长度．解：过点D 作DF ⊥AF 于点F ，∵点G 是BC 的中点，EG ∥AB ，∴EG 是△ABC 的中位线，∴AB ＝2EG ＝30m.在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴BC ＝AB tan ∠BAC ＝30×33＝103m.在Rt △AFD 中，∵AF ＝BC ＝103m ，∴FD ＝AF ·tan β＝103×33＝10m ，∴CD ＝AB －FD ＝30－10＝20m.答：矮建筑物的高为20m.方法总结：此题考查了利用俯角求高度，解答此题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第6题【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°(A 、B 、C 在同一条直线上)，那么河的宽度AB 约是多少m(精确到0.1m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)?解析：在Rt △ACD 中，根据条件求出AC 的值，再在Rt △BCD 中，根据∠EDB ＝45°，求出BC ＝CD ＝21m ，最后根据AB ＝AC －BC ，代值计算即可．解：∵在Rt △ACD 中，CD ＝21m ，∠DAC ＝30°，∴AC ＝CD tan30°＝2133＝213m.∵在Rt △BCD 中，∠EDB ＝45°，∴∠DBC ＝45°，∴BC ＝CD ＝21m ，∴AB ＝AC －BC ＝213－21≈15.3(m)．那么河的宽度AB 约是15.3m.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞 第3题【类型四】 仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的C 处观察，测得此建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°.求建筑物AB 的高(精确到1m ，可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7)．解析：过点C 作AB 的垂线CE ，垂足为E ，根据题意可得出四边形CDBE 是正方形，再由BD ＝12m 可知BE ＝CE ＝12m ，由AE ＝CE ·tan30°得出AE 的长，进而可得出结论．解：过点C 作AB 的垂线，垂足为E ，∵CD ⊥BD ，AB ⊥BD ，∠ECB ＝45°，∴四边形CDBE 是正方形．∵BD ＝12m ，∴BE ＝CE ＝12m ，∴AE ＝CE ·tan30°＝12×33＝43(m)，∴AB ＝43＋12≈19(m)．答：建筑物AB 的高为19m.方法总结：此题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4．仰角和俯角的综合．备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反应工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.第3课时多项式1．理解多项式的概念；(重点)2．能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数；3．能正确区分单项式和多项式．(重点)一、情境导入列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b ，那么长方形的周长是________；(2)图中阴影局部的面积为________；(3)某班有男生x 人，女生21人，那么这个班的学生一共有________人．观察我们所列出的代数式，是我们所学过的单项式吗？假设不是，它又是什么代数式？二、合作探究探究点一：多项式的相关概念 【类型一】 单项式、多项式与整式的识别 指出以下各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x 2＋y 2，－x ，a ＋b 3，10，6xy ＋1，1x ，17m 2n ，2x 2－x －5，2x 2＋x，a 7. 解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．解：2x 2＋x ，1x 的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式． 单项式有：－x ，10，17m 2n ，a 7； 多项式有：x 2＋y 2，a ＋b 3，6xy ＋1，2x 2－x －5； 整式有：x 2＋y 2，－x ，a ＋b3，10，6xy ＋1，17m 2n ，2x 2－x －5，a 7. 方法总结：(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【类型二】 确定多项式的项数和次数写出以下各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．(1)23x 2－3x ＋5； (2)a ＋b ＋c －d ；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2.解析：根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)23x 2－3x ＋5的项数为3，次数为2，二次三项式； (2)a ＋b ＋c －d 的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a 2＋a 2b ＋2a 2b 2的项数为3，次数为4，四次三项式．方法总结：(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．【类型三】 根据多项式的概念求字母的取值－5x m ＋104x m －4x m y 2是关于x 、y 的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式．解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m ＋2＝6，解得m ＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m ＋2＝6，解得m ＝4，此多项式是－5x 4＋104x 4－4x 4y 2.方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【类型四】 与多项式有关的探究性问题假设关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，求m 、n 的值．解析：多项式不含二次项和一次项，那么二次项和一次项系数为0.解：∵关于x 的多项式－5x 3－mx 2＋(n －1)x －1不含二次项和一次项，∴m ＝0，n －1＝0，那么m ＝0，n ＝1.方法总结：多项式不含哪一项，那么哪一项的系数为0.探究点二：多项式的应用如图，某居民小区有一块宽为2a 米，长为b 米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a 米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？解析：四个角围成一个半径为a 米的圆，阴影局部面积是长方形面积减去一个圆面积．解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为(2ab－πa2)平方米．所以需资金为[100πa2＋50(2ab－πa2)]元．方法总结：用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言表达中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序．三、板书设计多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快90%以上的学生都可以理解、掌握．虽然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能力也不知不觉地被忽略了．事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约．。

九年级上学期数学教学设计 第 课时 年 月 日 第 周 星期4.4解直角三角形的应用（1）--仰角与俯角【课堂类型】新知课【教学目标】1、进一步掌握直角三角形的边角关系。

2、理解仰角与俯角的概念，能在实际问题中识别仰角与俯角。

3、学会把实际问题转化为数学模型---解直角三角形，会利用解直角三角形来解决实际问题。

4、进一步积累数学活动的经验，并在学习活动中与人合作交流。

【重点难点】重点：灵活地运用三角函数关系式解直角三角形。

难点：运用解直角三角形的方法解决实际问题。

学会把实际问题转化为数学模型---解直角三角形。

【教学辅助】多媒体【教学过程】让我了解阅读教材第125-126页的内容，自主探究。

回答下列问题：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°, ∠A,∠B,∠C 的对边分别记作a ，b,c ，边、角之间有什么关系？（1）三边之间的关系： ；（2）两个锐角之间的关系： ；（3）边与锐角之间的关系：2、举例说一说：什么是仰角，什么是俯角？让我尝试根据以上的探究,自主解决下列问题,并与小组成员交流分享你的学习成果:任务一: 理解仰角、俯角的概念当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。

任务二:利用仰角、俯角解直角三角形直升飞机在跨江大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO =450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .变题1：直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P 点处，且A 、B 、O 三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .B云龙示范区云田中学 第四章 锐角三角函数50)变题2：直升飞机在高为200米的大楼AB 上方P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，求飞机的高度PO .变题3：直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.任务三:综合提升先尝试独立解决，再与小组成员合作交流，解释下列问题：有一块三形场地ABC ，测得其中AB 边长为60米，AC 边长50米，∠ABC =30°，试求出这个三角形场地的面积．让我做1.如图1AB 高为50m ，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD 为100m ，塔高CD为，则下面结论中正确的是（ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°2.如图2，在离铁塔BE 120m 的A 处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD =1.5m ，则塔高BE = _________ （根号保留）．2. 如图3，从地面上的C ，D 两点测得树顶A 仰角分别是45°和30°，已知CD =200m ，点C 在BD 上，则树高AB 等于 （根号保留）．图3【课堂小结】1．把实际问题转化成数学问题，这个转化包括两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的示意图；二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系.2．把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，画出直角三角形.【课后巩固】教材126页1、2题【教学反思】九年级上学期数学教学设计第课时年月日第周星期。

解直角三角形-仰角俯角教案解直角三角形——仰角、俯角一．教学目标1、巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。

2、学会运用三角函数解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的几种情况。

4、学习仰角与俯角。

二．教学重难点：重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯。

难点：运用三角函数解直角三角形。

三、教学设计： 1、复习回顾（1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（2）解直角三角形会用到的理论知识是：直角三角形的三边关系既勾股定理、边角关系既锐角三角函数、两锐角关系既锐角互余。

（2）已知，在Rt ∆ABC 中，∠C=90°，a=156，b=56，解这个直角三角形。

解：在Rt △ABC 中，∠C=90°∴512)56()156(2222=+=+=b a c ∵21sin ==c a A∴∠A=30°∴∠B=90-∠A=60° 答：2、新课讲授（1）仰角、俯角概念：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.例1 如图，为了测量电线杆的高度AB ，在离电线杆22.7米的C 处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B 的仰角a ＝22°，求电线杆AB 的高．（精确到0.1米） 解：在Rt △ABC 中， ∵)(4.1020.117.917.922tan 7.22tan tan m CDAE AE BE AB DB CE AE ≈+=+=+=∴≈︒⨯=⨯=⨯=αα答：电线杆的高度约为10.4米。

例2、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角a ＝16゜31′，求飞机A 到控制点B 的距离.（精确到1米）图（sin16°31′≈0.284,cos16°31′≈0.959）解：)(4225284.01200'3116sin 1200sin '3116//m AC AB ABC BCAD =≈︒==∴︒==∠∴αα答：AB 之间的距离4225米。