利用仰俯角解直角三角形-人教版九年级数学下册优秀教案设计

典案一教学设计课题第1课时仰角、俯角与解直角三角形授课人教学目标知识技能理解仰角、俯角的概念，并能通过作高构造直角三角形进而解直角三角形．数学思考结合实际问题，弄清仰角、俯角的概念，通过解直角三角形，获得解决物体的高、宽等一些测量经验．问题解决要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，通过解直角三角形解决实际问题．情感态度运用数形结合思想，把实际问题转化为数学问题，培养学生的自主探究精神，并提高合作交流的能力，培养学数学用数学的思想．教学重点利用俯角、仰角计算物体的高和宽等．教学难点把实际问题转化为数学模型．授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.解直角三角形的主要依据是什么？2．解直角三角形主要有哪两种类型？1.两锐角的关系、三边之间的关系、边角之间的关系.2．(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境导入新课【课堂引入】2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343 k m的圆形轨道上运行，如图28－2－37，当组合体运行到地球表面点P的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与点P的距离是多少(地球半径约为6400 k m, π取3.142，结果取整数)?图28－2－37通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究交流新知1.解决问题：师生活动：教师引导学生分析问题，将实际问题转化为数学问题，并画出示意图.分析问题：从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．如图28－2－38，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的⊙O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点，PQ︵的长就是地球表面上P，Q两点间的距离．为计算PQ︵的长需先求出∠POQ(即α)的度数.2.仰角、俯角的应用：例题：热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼有多高(结果取整数)？仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.如图28－2－38，仰角α＝30°，俯角β＝60°. 图28－2－38在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地，可以求出CD，进而求出BC的长度.设置的实际问题都是从现实生活中提取出来而又高于现实的，既丰富了学生的知识，使他们更有兴趣学习，又让学生进一步经历用三角函数解决实际问题的过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1如图28－2－39，小明想测量河对岸的一幢高楼AB的高度，在河边C处测得楼顶A的仰角是60°，在距C处60米的E处有幢楼房，小明从该楼房距离地面20米的D处测得高楼顶端A的仰角是30°(点B，C，E在同一直线上，且AB，DE均与地面BE垂直)，求楼AB的高度. 图28－2－39分析：过点D作DF⊥AB于点F.设AB的高度为x米，则AF＝(x－20)米．在Rt△ABC和Rt△ADF中分别求出BC和DF的长度，然后根据CE＝BE－BC，代入数值求出x的值.例1主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，培养学生解决实际问题的能力.【拓展提升】例2如图28－2－40，为了测量顶部不能达到的建筑物AB的高度，现在地平面上取一点C，用测量仪测得点A的仰角为45°，再向前进20米取一点D，使点D在BC的延长线上，此时测得点A的仰角为30°.已知测量仪的高为1.5米，求建筑物AB的高度. 图28－2－40(10 3＋11.5)米例2主要是通过两次解直角三角形建立一元一次方程，通过解方程，求出相应的线段，从而解决求建筑物高的问题.【学习目标】1．知识技能(1)进一步掌握解直角三角形的方法；(2)比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．2．解决问题(1)通过学习懂得仰角、俯角的意义，学会把实际问题转化为数学模型，发展学生的抽象思维能力；(2)在研究有关仰角、俯角的问题的过程中，发展学生的合情推理能力，体会数形结合的思想．3．数学思考通过解决与仰角、俯角有关的实际问题，发展学生的应用意识．4．情感态度(1)在研究有关仰角、俯角的实际问题的过程中，渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养生活中应用数学的意识；(2)通过一系列探究活动，培养与他人合作、交流的意识和探究精神．【学习重难点】1．重点：(1)能够灵活应用边与边、角与角、边与角的关系解直角三角形；(2)能将某些与仰角、俯角有关的实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题．2．难点：(1)把实际问题转化为数学问题的能力的培养；(2)灵活应用解直角三角形的知识及仰角、俯角等知识解决实际问题．课前延伸【知识梳理】1．解直角三角形是指：__由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程__．2．解直角三角形主要依据什么？课内探究一、课堂探究1(问题探究，自主学习)如图28－2－44，为了测量旗杆的高度AB，在离旗杆33米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，求旗杆AB的高(精确到0.1米)．图28－2－44二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)例1如图28－2－45，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高？图28－2－45 图28－2－46例2如图28－2－46, 在上海的黄浦江东岸，矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生在黄浦江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°，后退340 m到点A测得塔尖D的仰角为30°.设塔底C与A，B在同一直线上，试求该塔的高度(结果保留根号)．三、反馈训练1．从1.5 m高的测量仪上，测得某建筑物顶端的仰角为30°，测量仪距建筑物60 m，则该建筑物的高大约为( B )A．34.65 m B．36.14 m C．28.28 m D．29.78 m2．如图28－2－47，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角a＝30°.已知观察所A的标高(当水位为0 m时的高度)为42 .64 m，当时水位为＋2 .14 m，求观察所A 到船只B的水平距离BC＝________(精确到1 m)．图28－2－473．在山顶上D处有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底D 测得点A的俯角β＝45°.已知塔高BD＝30米，求山高CD(结果保留根号)．图28－2－48课后提升如图28－2－49，测量楼房AC的楼顶上的电视天线AE的高度，在地面上一点B处测得楼顶A的仰角为30°，前进15米到点D，测得天线顶端E的仰角为60°.已知楼高AC 为15米，求天线AE的高度．图28－2－49。

的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例第2课时 利用仰（俯）角解直角三角形【学习目标】⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km 的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P 点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km ，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。

的邻边的对边AA∠∠28.2.2 应用举例第2课时利用仰俯角解直角三角形【学习目标】⑴使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．⑵逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．⑶渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．【学习难点】实际问题转化成数学模型【导学过程】一、自学提纲：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．三、教师点拨：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)斜边的邻边AA∠=cos斜边的对边AA∠=sin例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?四、学生展示：一、课本76页练习第1 、2题五、课堂小结：六、作业设置：课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题七、自我反思：本节课我的收获:。

课题：28.2.2解直角三角形的应用1（仰角和俯角）课型：新授课 班级：9.7教学目标知识与技能：能根据解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．过程与方法：借助辅助线把实际问题转化为解直角三角形的问题，渗透转化思想和数形结合的思想.情感态度与价值观：在探索过程中，发展学生的探究意识和合作交流的习惯. 学情分析解直角三角形的应用1的主要内容是利用解直角三角形的基本理论知识去解决生活中与仰角和俯角有关的简单实际问题.学生已经学习了"锐角三角函数、解直角三角形的条件、方法，已具备了一定的几何识图及计算能力，也掌握了一定的数学思想方法和数学活动经验。

但是把一些实际问题转化为解直角三角形的数学问题，对学生分析问题的能力要求较高，而我所任教班级的学生在这方面的能力有所欠缺，所以这会使学生学习感到困难，因此在教学中我以例题为主，进行了层层递进的变式训练，引导学生学会分析问题，获得解决实际问题的一般策略。

教学重点：根据解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题教学难点：将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.教学流程一、复习回顾：直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1) 三边之间关系：(2) 锐角之间关系：(3) 边角之间关系：设计意图：引导学生回顾直角三角形中五个元素的关系， 为学生利用解直角三角解决实际问题为做好铺垫。

说明：此环节用PPT 课件显示，省时、高效，知识的内在联系一目了然。

AC B a c b二、新知探究（一）仰角、俯角的概念介绍在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.设计意图：结合动画图例，让学生直观地理解仰 角和俯角概念，为例题分析解除知识障碍。

（二）典型例题剖析例题1: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高？解法一：（作A D ⊥BC 于D ，在Rt △ABD 和RtACD 中，分别利用tan ∠BAD 和tan ∠CAD 求出BD 和 D和CD ，再求和即可。

部审人教版九年级数学下册教学设计28.2.2 第2课时《利用仰俯角解直角三角形》一. 教材分析人教版九年级数学下册第28.2.2节《利用仰俯角解直角三角形》是直角三角形相关知识的一部分。

这部分内容主要让学生了解并掌握仰俯角的概念，学会利用仰俯角解直角三角形的方法。

教材通过实例引入仰俯角的概念，然后引导学生通过观察、思考、探究，掌握利用仰俯角解直角三角形的方法。

教材内容丰富，既有理论知识，也有实践操作，能够激发学生的学习兴趣，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的相关知识，对解直角三角形有一定的了解。

但是，对于仰俯角的概念和利用仰俯角解直角三角形的方法可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过观察、思考、探究，让他们在实践中掌握这部分知识。

同时，学生已经具备了一定的数学思维能力和解决问题的能力，可以通过引导和启发，让他们自主发现和总结利用仰俯角解直角三角形的方法。

三. 教学目标1.让学生了解并掌握仰俯角的概念。

2.引导学生通过观察、思考、探究，掌握利用仰俯角解直角三角形的方法。

3.培养学生的动手能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.仰俯角的概念。

2.利用仰俯角解直角三角形的方法。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。

2.实践法：让学生动手操作，通过实际操作加深对知识的理解和掌握。

3.总结法：引导学生自主发现和总结，培养学生的数学思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、黑板、粉笔等。

2.准备一些实际的例子，以便引导学生观察和思考。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题，让学生思考如何利用仰俯角解直角三角形。

例如，可以提出一个关于建筑物高度的问题，让学生思考如何通过测量角度来求解建筑物的高度。

2.呈现（10分钟）讲解仰俯角的概念，并通过实例展示仰俯角的含义和作用。

九年级数学《解直角三角形的应用（仰、俯角问题）》学案 人教新课标版【学习目标】1、会将实际中的仰、俯角问题转化为解直角三角形问题，并运用三角函数等知识加以解决。

2、经历探索仰、俯角问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用，体验数学 来源于生活又服务于生活的意识。

【学习导航】用解直角三角形的有关知识和方法解决仰、俯角问题 【知识链接】用解直角三角形的有关知识解决实际问题的一般步骤是什么？ 【探究新知】1、 仰、俯角的意义水平线从 观察 的目标时， 与 所成的锐角叫仰角；反之，从 观察 的目标时， 与 所成的锐角叫俯角。

2、下面两个问题是与仰、俯角有关的实际生活问题，你能独立解决吗？⑴如图，甲乙两楼相距30m ，甲楼高40m ，在甲楼楼顶A 30°，乙楼有多高？⑵如图，物华大厦离小伟家60m ，小伟从自家的窗中眺望大厦，测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是30°，求该大厦的高度（结果精确到0.1cm ）回思：此例与上一例有何不同?（3）如图，小明想测量塔CD 的高度，他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 到B 处，测得仰角为60°，小明的身高为1.5cm ，那么该塔有多高？（结果精确到0.1cm ）回思：此例与前面两例有什么变化？你还能列出其它的算式吗？ 【巩固新知】一座大楼高30米，附近有一座塔BC ，某人在楼底测得塔顶的仰角为60，爬到楼顶测得塔顶的仰角为30，求塔高和楼与塔间的距离（结果精确到0.01）【拓展延伸】 （跨学科练习题）如图，公园里的小河边有盏路灯A ，在高出水面3米的点B 处观测灯的仰角为30°，同时测得在小河中的像的俯角为45°，求此灯距离水面的高度（结果保留根号）【回顾反思】本节课的练习题在按排上体现了“由易到难、层层递进”的设计意图，解决问题的方式还是解直角三角形的有关知识。

仰角、俯角1.理解解直角三角形在实际问题中的应用(1)解决实际问题时,关键是根据题意抽象出其几何模型,然后再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案.(2)与斜三角形有关的问题,往往通过作一边上的高,把其转化为的问题.2.掌握与测量有关的几个概念如图,在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线的角叫仰角,在水平线的角叫俯角.重点一:解直角三角形解决简单实际问题利用解直角三角形解决实际问题的步骤:(1)将实际问题抽象为数学问题;(2)画出平面图形,转化为三角形的问题;1. 如图所示,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90°,∠C=40°,则AB等于( )(A)asin 40°米(B)acos 40°米(C)atan 40°米(D)米2. 如图是某水库大坝横断面示意图.其中CD、AB分别表示水库上下底面的水平线,∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( )(A)25 m (B)25 m (C)25 m (D) m3.某学校的校门是伸缩门,伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60°(如图1),校门打开时,每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图2).问校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 5°≈0.0872,cos 5°≈0.9962,sin 10°≈0.1736,cos 10°≈0.9848)重点二:有关仰角、俯角的测量问题4. (2013绵阳改编)如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )(A)20米(B)10米 (C)15米(D)5米5. 如图所示,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( )(A)200米(B)200米 (C)220米(D)100(+1)米6.(2014昆明)如图,在数学实践课中,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC=22米,求旗杆CD的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62).7. (2013遵义改编)某中学在创建“特色校园”的活动中,将该校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处,用1米高的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学楼方向走了4米到达点F处,又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米,且点A,B,M在同一直线上,求宣传牌AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).A层(基础)1. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米,则旗杆的高度约为( )(A)24米(B)20米(C)16米 (D)12米2. 在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图所示,已知李明距假山的水平距离BD为12 m,他的眼睛距地面的高度为1.6 m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为( )(A)(4+1.6) m (B)(12+1.6) m (C)(4+1.6) m (D)4 m3. (2013山西)如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )(A)100 m (B)50 m (C)50 m (D) m4. 如图所示,某风景区为了方便游人参观,计划在主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处,若在A处测得C处的俯角为30°,两山峰的底部B、D相距900 m,则缆车线路AC的长为( )(A)300 m (B)600 m (C)900 m (D)1800 m5.如图甲、乙两楼的楼间距AC为10米,某人在甲楼楼底A处测得乙楼的楼顶B的仰角为60°,在乙楼的楼底C处测得甲楼的楼顶D的仰角为45°,则甲楼比乙楼矮米.6. 如图所示,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)7. 如图所示,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD 为90米,且点A、D、B在同一直线上,建筑物A、B间的距离为米.8. (2013十堰)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.9. 某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73).10. (2013包头)如图,一根长 6米的木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A'时,B端沿地面向右滑行至点B'.(1)求OB的长;(2)当AA'=1米时,求BB'的长.教后反思：。