中考数学 阅读材料

阅读理解（二）（24题）典型例题： 例1、进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制．现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一．对于任意一个用n ()10n ≤进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~()1n −进行记数，特点是逢n 进一．我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数()252342535469=⨯+⨯+=，记作5(234)69=， 七进制数()271361737676=⨯+⨯+=，记作7(136)76=． （1）请将以下两个数转化为十进制：5(331)= ，7(46)= ；（2）若一个正数可以用七进制表示为()7abc ，也可以用五进制表示为()5cba ，请求出这个数并用十进制表示．例2、如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如： 223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索： 小明的方法是一个一个找出来的：220-00=，220-11=，221-23=，220-24=，222-35=，223-47=，221-38=，224-59=，225-611=，。

小王认为小明的方法太麻烦，他想到:设k 是自然数，由于12)1)(1)122+=−+++=−+k k k k k k k （（。

所以，自然数中所有奇数都是智慧数。

问题：(1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数。

(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由。

例3、如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…，都是“妙数”．（1） 若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为；（2） 证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除；（3） 在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一个新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字．是否存在一个一位自然数n ，使得自然数(9)A n +各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由．例4、连续整数之间有许多神奇的关系，如：32+42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于最大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广：设三个连续整数为a ，b ，c （a ＜b ＜c ）若a 2+b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a 2+b 2<c 2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a 2+b 2>c 2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”。

中考阅读材料题——代数1．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则===91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则===9x+y+为正整数．故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．解答：解：（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：最高位到个位排列：d，c，b，a个位到最高位排列：a，b，c，d．由题意，可得两组数据相同，则：a=d，b=c，则===91a+10b为正整数．∴四位“和谐数”能被11整数，又∵a，b，c，d为任意自然数，∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：x，y，z．最高位到个位排列：z，y，x．由题意，两组数据相同，则：x=z，故==101x+10y，故===9x+y+为正整数．故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．2．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．【分析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0，∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，∴y=x+2，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，F（79）=，∵＞＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．3.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，......如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”。

中考数学材料阅读题1．定义一种新运算n•x n﹣1dx＝a n﹣b n，例如2xdx＝k2﹣n2，若﹣x﹣2dx＝﹣，则m为（）A．﹣1+B．﹣1﹣C．±1D．﹣1±【解析】：由题意可得：（m2﹣1）﹣1﹣（m﹣1）﹣1＝﹣，故﹣＝﹣，整理得：m2+2m﹣1＝0，解得：m＝﹣1±，故选：D．2．若a≠2，则我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，……，依此类推，则a2020＝（）A．3B．﹣2C．D．【解析】：∵a1＝3，∴a2＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝3，……发现规律：这些数每四个数循环一次，∵2020÷4＝505，∴a2020＝a4＝，故选：D．3．如图，图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】：①是相反数是，故该同学判断正确；②|﹣（﹣2）|＝2，故该同学判断错误；③1，2，2，3的众数是2，故该同学判断错误；④（a2）3＝a6，故该同学判断正确；⑤（﹣a）3÷a＝﹣a2，故该同学判断错误；所以他做对的题数是①④共2个．故选：A．4．（2019秋•东阳市期末）已知max表示取三个数中最大的那个数，例如：当x＝9时，max＝81．当max时，则x的值为（）A．B．C．D．【解析】：当max时，①＝，解得：x＝，此时＞x＞x2，符合题意；②x2＝，解得：x＝；此时＞x＞x2，不合题意；③x＝，＞x＞x2，不合题意；故只有x＝时，max．故选：C．5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程【解析】：A、解方程x2﹣3x+2＝0得x1＝1，x2＝2，所以A选项的说法正确，不符合题意；B、解方程得x1＝2，x2＝﹣，当﹣＝2×2，则4m+n＝0；当﹣＝×2，则m+n＝0，所以B选项的说法错误，符合题意；C、解方程得x1＝2，x2＝﹣，而m+n＝0，则x2＝1，所以C选项的说法正确，不符合题意；D、解方程得x1＝﹣m，x2＝n，而2m+n＝0，即n＝﹣2m，所以x2＝2x1，所以D选项的说法正确，不符合题意．故选：B．6．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“求抛物线y＝2x2+4x﹣4的顶点坐标”，规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（）A．只有丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丁【解析】：y＝2x2+4x﹣4＝2（x2+2x﹣2），故甲错误；y＝x2﹣2x﹣2＝x2﹣2x+1﹣3，故乙正确；y＝x2﹣2x+1﹣3＝（x﹣1）2﹣3，故丙正确；y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标为为（1，﹣3），故丁错误；故选：D．7．中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位．刘微提出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，由此求得圆周率π的近似值．如图，设半径为r的圆内接正n边形的周长为C，圆的直径为d，当n＝6时，π≈＝＝3，则当n＝12时，π≈＝ 3.11．（结果精确到0.01，参考数据：sin15°＝cos75°≈0.259，sin75°═cos15°≈0.966）【解析】：如图，圆的内接正十二边形被半径分成12个如图所示的等腰三角形，其顶角为30°，即∠AOB＝30°，作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝15°，∵AO＝BO＝r，∵Rt△AOH中，sin∠AOH＝，即sin15°＝，∴AH＝r×sin15°，AB＝2AH＝2r×sin15°，∴l＝12×2r×sin15°＝24r×sin15°，又∵d＝2r，∴π≈．故答案为：3.11．8．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB ＝BC＝CD，点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有6个．【解析】：根据题意可知：当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA∴发出警报的可能最多有6个．故答案为6．9．如图，曲线AB是抛物线y＝﹣4x2+8x+1的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线y＝（k≠0）的一部分．曲线AB与BC组成图形W．由点C 开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．若点P（2020，m），Q（x，n）在该“波浪线”上，则m的值为1，n的最大值为5．【解析】：∵y＝﹣4x2+8x+1＝﹣4（x﹣1）2+5，∴当x＝0时，y＝1，∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（1，5），∵点B（1，5）在y＝（k≠0）的图象上，∴k＝5，∵点C在y＝的图象上，点C的横坐标为5，∴点C的纵坐标是1，∴点C的坐标为（5，1），∵2020÷5＝404，∴P（2020，m）在抛物线y＝﹣4x2+8x+1的图象上，m＝﹣4×0+8×0+1＝1，∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，∴n的最大值是5，故答案为：1，5．10．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y＝x上，T1与x轴交于点A1（2，0），A2（A2在A1右侧），T2与x 轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为．【解析】：设抛物线T1，T2，T3…的顶点依次为B1，B2，B3…，连接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，过抛物线各顶点作x轴地垂线，如图所示：∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵顶点都在直线y＝x上，设，∴OC1＝m，，∴，∴∠B1OC1＝30°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1＝2＝A1B2，∴A1C1＝A1B1•cos60°＝1，，∴OC1＝OA1+A1C1＝3，∴，A2（4，0），设T1的解析式为：，则，∴，∴T1：，同理，T2的解析式为：，T3的解析式为：，…则T n的解析式为：，故答案为：．11．我国明代数学家程大位在他六十岁时终于完成了《算法统宗》的编撰．这是﹣﹣木简明实用的数学书，书中列出了许多应用题的数字计算请从A，B两题中任选一题作答．A．有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差半斤，设所分银子共x两．根据题意列出的方程是．（注：明代时1斤＝16两．故有“半斤八两”这个成语）B．用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果．其中四文钱可以买甜果七个，十一文钱可以买苦果九个，设买了x个甜果，根据题意列出的方程是．【解析】：A、由题意，得．B、由题意，得．故答案是：；．12．在2019年全国信息学奥利匹克联赛中，重庆八中学子再创辉煌，竞赛成绩全市领先，共56人获得全国一等奖，同时摘下高一年级组冠军，高二年级组第二名，包揽初二年级组冠、亚、季军．在校内选拔赛时，某位同学连续答题40道，答对一题得5分，答错一题扣2分，最终该同学获得144分．请问这位同学答对多少道题？下面共列出4个方程，其中正确的是AB．（多选）A．设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144B．设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144C．设答对题目得a分，则可列方程：+＝40D．设答错题目扣b分，则可列方程﹣＝40【解析】：A、若设答对了x道题，则可列方程：5x﹣2（40﹣x）＝144，故本选项符合题意；B、若设答错了y道题，则可列方程：5（40﹣y）﹣2y＝144，故本选项符合题意；C、若设答对题目得a分，则可列方程：+＝40，故本选项不符合题意；D、设答错题目扣b分，则可列方程+＝40，故本选项不符合题意．故答案是：AB．13．数学课上李老师让同学们做一道整式的化简求值题，李老师把整式（7a3﹣6a3b）﹣3（﹣a3﹣2a3b+a3﹣1）在黑板上写完后，让一位同学随便给出一组a，b的值，老师说答案．当刘阳刚说出a，b的值时，李老师不假思索，立刻说出了答案．同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？【解析】：原式＝7a3﹣6a3b+3a3+6a3b﹣10a3+3＝3，由多项式化简可知：多项式的值跟a和b无关，∴无论多项式中a和b的值是多少，多项式的值都是3．14．滴滴公布了新的滴滴快车计价规则，车费由“总里程费+总时长费”两部分构成，不同时段收费标准不同，具体收费标准如下表，如果车费不足起步价，则按起步价收费．时间段里程费（元/千米）时长费（元/分钟）起步价（元）06：00﹣10：00 1.800.8014.0010：00﹣17：00 1.450.4013.0017：00﹣21：00 1.500.8014.0021：00﹣6：000.800.8014.00（1）小明早上7：10乘坐滴滴快车上学，行车里程6千米，行车时间10分钟，则应付车费多少元？（2）小云17：10放学回家，行车里程2千米，行车时间12分钟，则应付车费多少元？（3）下晚自习后小明乘坐滴滴快车回家，20：45在学校上车，由于堵车，平均速度是a 千米/小时，15分钟后走另外一条路回家，平均速度是b千米/小时，10分钟后到家，则他应付车费多少元？【解析】：（1）由题意得，应付车费＝1.8×6+0.8×10＝18.8（元）＞14元，答：应付车费18.8元；（2）由题意得，1.5×2+0.8×12＝12.6（元）＜14元，∴应付车费＝14元，答：应付车费14元；（3）根据题意得，他应付车费＝1.5×a a+0.8×15+0.8×a b+0.8×10＝（元）．答：他应付车费（）元．15．若在一个两位正整数N的个位数与十位数字之间添上数字5，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“广善数”，如34的“广善数”为354；若将一个两位正整数M加5后得到一个新数，我们称这个新数为M的“广美数”，如34的“广美数”为39．（1）26的“广善数”是156，“广美数”是31．（2）求证；对任意一个两位正整数A，其“广善数”与“广美数”之差能被45整除．【解析】：（1）有定义可得：26的“广善数”是256，26的，“广美数”是26+5＝31，故答案为156，31；（2）设A的十位数字是x，个位数字是y，则A的“广善数”是100x+50+y，A的“广美数”是10x+y+5，∴100x+50+y﹣（10x+y+5）＝90x+45＝45（2x+1），∴45（2x+1）能被45整除，∴A的“广善数”与“广美数”之差能被45整除．16．若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y 是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．（1）判断：9是“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；（2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”．若m既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m的所有平方差分解．【解析】：（1）∵9＝52﹣42，∴9是“明礼崇德数”，故答案为是；（2）∵N是“明礼崇德数”，∵x＞y+1，∴x+2＞y+3，∴N＝x2﹣y2+4x﹣6y+4﹣9＝（x+2）2﹣（y+3）2，∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x+2）2﹣（y+3）2，∴k＝﹣5；（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，∴x＝1或x＝2，当x＝1时，这个三位数是178，∴m＝178＝2×89，此时m不是“明礼崇德数”；当x＝2时，这个三位数是279，∴m＝279＝3×93＝9×31，∴m＝482﹣452＝202﹣112，∴48与45是m的平方差分解；21与11是m的平方差分解．17．定义：关于x的两个一次二项式，其中任意一个式子的一次项系数都是另一个式子的常数项，则称这两个式子互为“田家炳式”．例如，式子3x+4与4x+3互为“田家炳式”．（1）判断式子﹣5x+2与﹣2x+5不是（填“是”或“不是”）互为“田家炳式”；（2）已知式子ax+b的“田家炳式”是3x﹣4且数a、b在数轴上所对应的点为A、B．①化简|x+a|+|x+b|的值为7，则x的取值范围是﹣3≤x≤4；②数轴上有一点P到A、B两点的距离的和P A+PB＝11，求点P在数轴上所对应的数．（3）在（2）的条件下，①若A点，B点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，且3秒后，2OA＝OB，求点A的速度．②数轴上存在唯一的点M，使得点M到A、B两点的距离的差MA﹣MB＝m，求m的取值范围．（直接写出结果）【解析】：（1）∵﹣5x+2与﹣2x+5的其中一个式子的一次项系数不是另一个式子的常数项，∴它们不互为“田家炳式”，故答案为：不是；（2）①∵式子ax+b的“田家炳式”是3x﹣4，∴a＝﹣4，b＝3，∵|x+a|+|x+b|＝7，∴|x﹣4|+|x+3|＝7，当x＜﹣3时，4﹣x﹣x﹣3＝7，解得x＝﹣3（舍去）；当﹣3≤x≤4时，4﹣x+x+3＝7，解得，x为﹣3≤x≤4中任意一个数；当x＞4时，x﹣4+x+3＝7，解得x＝4（舍去）．综上，﹣3≤x≤4．故答案为：﹣3≤x≤4．②∵P A+PB＝11，∴当P点在A作左边时，有P A+P A+AB＝11，即2P A+7＝11，则P A＝2，于是P为﹣4﹣2＝﹣6；当P点在A、B之间时，有P A+PB＝AB＝7≠11，无解；当P点在B点右边时，有2PB+AB＝11，则PB＝2，于是P为3+2＝5，综上，点P在数轴上所对应的数是﹣6或5；（3）①设A点运动的速度为x个单位/秒，∵A点的速度是B点速度的2倍，且3秒后，2OA＝OB当点A在原点左边时，有2（4﹣3x）＝3+3×x，解得，x＝当点A在原点右边时，有2（3x﹣4）＝3+3×x，解得，x＝，∴点A的速度为个单位/秒或个单位/秒；②由题意可知，当M点在AB的中点与B之间（包括中点，不包括B点），则存在唯一一点M，使得MA﹣MB＝m，此时0＜MB≤3.5，∵m＝MA﹣MB＝AB﹣MB﹣MB＝7﹣2MB，∴0≤m＜7．故答案为：0≤m＜7．18．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱．现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？请你建立适当的数学模型，解决上面问题．【解析】：设买美酒x斗，普通酒y斗，依题意，得：，解得：．答：买美酒0.25斗，普通酒1.75斗．19．已知a，b，c，d都是有理数，现规定一种新的运算：，例如：（1）计算；（2）若，求x的值．【解析】：（1）根据题中的新定义得：原式＝﹣2×5﹣3×5＝﹣10﹣15＝﹣25；（2）由题中的新定义化简得：2x﹣（﹣3）×（1﹣x）＝6，去括号得：2x+3﹣3x＝6，移项合并得：﹣x＝3，解得：x＝﹣3．20．阅读下面的材料：如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．证明：设0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）＝（x＞0）是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）＝+2x（x＜0），f（﹣1）＝+（﹣2）＝﹣1，f（﹣2）＝+（﹣4）＝﹣（1）计算：f（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝﹣；（2）猜想：函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想．【解析】：（1）∵f（x）＝+2x（x＜0），∴f（﹣3）＝+2×（﹣3）＝﹣，f（﹣4）＝+2×（﹣4）＝﹣故答案为：﹣，﹣；（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1＜x2＜0，∵f（x1）﹣f（x2）＝+2x1﹣﹣2x2＝（x1﹣x2）（2﹣）∵x1＜x2＜0，∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）＝+2x（x＜0）是增函数．21．在平面直角坐标系中，已知点A（0，a）和点B（b，0），给出如下定义：以AB为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形ABCD，则称正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．例如，当a＝﹣4，b＝3时，点A，B的逆序正方形如图1所示．（1）图①中，点C的坐标为（﹣1，3）．（2）改变图①中点A的位置，其余条件不变，则点C的纵坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为3．（3）已知正方形ABCD为点A，B的逆序正方形．判断：结论“若点C落在x轴上，则点D一定落在第一象限内．”错误（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图②中画出一个反例．（4）若a＝4，b＞0，且抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2恰好经过点C时，求m的取值范围．【解析】：（1）如图1，过点C作CE垂直x轴，垂足为E，∴∠CEB＝∠BOE＝90°，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∵正方形ABCD，∴BC＝AB，∠ABC＝90°，∴∠CBO+∠ABO＝90°，∴∠BCE＝∠ABO，∴△BCE≌△ABO（AAS），∴BE＝AO＝4，CE＝BO＝3，∴C（﹣1，3），故答案为（﹣1，3）；（2）∵△BCE≌△ABO，∴CE＝BO＝3，∴改变图1中的点A的位置，其余条件不变时，点C的纵坐标总是3，故答案为：纵，3；（3）结论“若点C落在x轴上，则点D一定落在第一象限内．”错误，反例如图2；点C在x轴上，当点D在第三象限；故答案为：错误．（4）如图，若a＝4，b＞0时，与（1）同理可证△BCE≌△ABO，∴CE＝BO＝b，BE＝OA＝4，∴点C（b+4，b），∴点C在直线y＝x﹣4（x＞4）上，作直线y＝x﹣4（x＞4），交坐标轴于M，N两点，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，∴M（0，﹣4），N（4，0），①当抛物线经过N点时，如图3，有m2﹣8m+14＝0，解得：（舍去），，②当抛物线与直线y＝x﹣4只有一个交点时，如图4，有﹣x2+2mx﹣m2+2＝x﹣4，△＝（1﹣2m）2﹣4（m2﹣6）＝0，解得：m＝．∴．22．问题探究：（1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是等腰直角三角形．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：△ABC的面积．问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC＝60°，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解析】：（1）如图1中，△OP1P2是等腰直角三角形．理由：∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，∴OP＝OP1＝OP2，∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠AOP+∠BOP）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形．故答案为等腰直角．（2）如图2中，在AD上取一点E，使得AE＝EC，连接EC．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠EAC＝∠BAC＝15°，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝15°，∴∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝30°，设CD＝BD＝x，则EC＝EA＝2x，DE＝x，∵AD＝2+，∴2x+x＝2+，∴x＝1，∴BC＝2CD＝2，∴S△ABC＝•BC•AD＝×2×（2+）＝2+．（3）如图3中，不存在．理由：∵点P关于AB，BC的对称点分别为M，N，∴PB＝BM＝BN＝10，∠PBA＝∠ABM，∠PBC＝∠CBN，∵∠ABC＝60°，∴∠MBN＝2（∠ABP+∠PBC）＝120°，∴△BNM是顶角为120°，腰长为10的等腰三角形，∴MN为定值，∵PM+PN≥MN，∴当点P落在AB或BC上时，PM+PN＝MN＝定值，此时△PMN不存在，∴△PMN的周长不存在最小值．23．综合与实践：折纸中的数学问题情境：在矩形纸片ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．将△AEM沿EM折叠，点A的对应点为点P．将△NCF沿NF折叠，点C 的对应点为点Q．数学思考：（1）如图①，若点P，Q分别落在边BC，AD上，则四边形PNQM的形状是平行四边形．（2）如图②，若点P，Q均落在矩形ABCD的内部，其他条件不变，你认为（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展探究：（3）如图③，在（2）的条件下，若AD＝2AB＝4，当四边形PNQM为菱形时，求AE的长度．【解析】：（1）结论：四边形PNQM是平行四边形．理由：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，∵AE＝CF，∴△EAM≌△FCN（SAS），∴∠AME＝∠CNF，∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ，∴∠AMP＝∠QNC，∵AD∥BC，∴∠AQN＝∠CNQ，∴∠AMP＝∠AQN，∴PM∥QN，∵MQ∥PN，∴四边形PNQM是平行四边形．故答案为平行四边形．（2）成立．理由如下：如图②中，延长NQ交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∵点M，N分别是AD，BC的中点，∴AM＝NC，∴PM＝NQ，∵AE＝CF，∴△EAM≌△FCN（SAS），∴∠AME＝∠CNF，∵∠AME＝∠EMP，∠CNF＝∠FNQ，∴∠AMP＝∠QNC，∵AD∥BC，∴∠AHN＝∠CNH，∴∠AMP＝∠AHN，∴PM∥NH，∴四边形PNQM是平行四边形．（3）如图③中，连接MN，PQ交于点O，延长PQ交CD于H，延长QP交AB于G．∵四边形PNQM是菱形，∴MN⊥PQ，∵PQ∥AD∥BC，∴AG＝DK＝OM＝AB＝AD＝1，∵PM＝AM＝2，∴sin∠MPO＝，∴∠MPO＝30°，∵∠EPM＝90°，∴∠EPG＝90°﹣30°＝60°∴OP＝OM＝，∵OG＝2，∴EG＝PG•tan60°＝2﹣3，∴GP＝2﹣，∴AE＝AG﹣EG＝1﹣（2﹣3）＝4﹣2．24．在探究三角形内角和等于180°的证明过程时，小明同学通过认真思考后认为，可以通过剪拼的方法将一个角剪下来，然后把这个角进行平移，从而实现把三角形的三个内角转移到一个平角中去，如图所示：（1）小明同学根据剪拼的过程，抽象出几何图形；并进行了推理证明，请你帮助小明完成证明过程．证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M∵BN∥AC∴∠NBM＝∠A（两直线平行，同位角相等；）∠CBN＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义）∴∠CBA+∠A+∠C＝180o（等量代换）（2）小军仿照小明的方法将三角形的三个内角都进行了移动，也将三个内角转移到一个平角中去，只不过平角的顶点放到了AB边上，如图所示：请你仿照小明的证明过程，抽象出几何图形再进行证明．（3）小兰的方法和小明以及小军的方法都不相同，她将三角形三个内角分别沿某一条直线翻折，一共进行了三次尝试，如图所示：小兰第三次成功的关键是什么，请你写出证明思路．【解答】（1）证明：过点B作BN∥AC，延长AB到M，∵BN∥AC，∴∠NBM＝∠A（两直线平行，同位角相等），∠CBN＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠CBA+∠CBN+∠NBM＝180°（平角定义），∴∠CBA+∠A+∠C＝180o（等量代换）．故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；（2）证明：过点O作ON∥AC，交BC于点D，过点O作OM∥BC，∵ON∥AC，∴∠NOB＝∠A，∠ODB＝∠C，∵OM∥BC，∴∠MOA＝∠B，∠MON＝∠ODB，∵∠AOM+∠MON+∠NOB＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180o．（3）小兰第三次成功的关键：将△ABC沿点C所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB 的交点为H，使点C与点H重合，确定折痕MN，将△MAH沿点M所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB的交点为E，将△NBH沿点N所在的垂直于AB的直线翻折，折痕与AB的交点为F．证明思路：∵△CMN翻折得到△HMN，∴CH⊥AB，△CMN≌△HMN，MN是CH的垂直平分线，∴MN∥AB，∠CMN＝∠A，∠CDM＝∠MEA，CD＝ME，∴△CMD≌△MAE（AAS），∴CM＝MA＝MH，同理CN＝NB＝NH，∴△MAE≌△MHE，△NBF≌NHF，∵∠MHN+∠MHE+∠NHB＝180°，∴∠A+∠B+∠C＝180o．25．阅读下列材料，完成相应的任务数学活动课上，老师提出如下问题：如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC 边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少．小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，根据勾股定理，可得AP+DP＝+．但没有办法继续求解．小明：利用轴对称作图，如图②，作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP的最小值转化为求线段A'D的长．由△A′BP∽△DCP，得＝＝所以BP＝．过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝＝＝10．所以当BP＝时，AP+DP有最小值，最小值为10．任务：（1）类比探究：对于函数y＝+，当x＝1时，y有最小值，最小值为4．（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5．连接AB，AC．求△ABC周长的最小值．【解析】：（1）∵y＝+＝+，如图，取BC＝4，AB＝1，CD＝3，AB⊥BC于B，CD⊥CB于C，设BP＝x，则CP＝BC﹣BP＝4﹣x，AP+DP＝+＝y，要y最小，则AP+DP最小，作点A关于BC的对称点A'，连接A'P，当点A'，P，D在同一条线上时，AP+DP最小＝A'D，∵∠A'BP＝∠DCP＝90°，∠A'PB＝∠DPC，∴△A′BP∽△DCP，∴，∴，∴x＝1，过点A'作AH∥BC交DC的延长线于H，则四边形BA'HC是矩形，∴CH＝A'B＝AB＝1，A'H＝BC＝4，∠H＝90°，∴DH＝CD+CH＝4，在Rt△A'HD中，根据勾股定理得，A'D＝＝4，故答案为1，4；（2）设BD＝a，则CD＝BC﹣BD＝5﹣a，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝，在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AC＝＝，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝++5，要△ABC的周长最小，则有（+）最小，同（1）的方法得，（+）最小＝＝，即：△ABC的周长最小为+5．。

拓展题型 阅读理解题1. (2019湘潭)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)． 立方差公式：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2)．根据材料和已学知识，先化简，再求值：3xx 2－2x －x 2＋2x ＋4x 3－8，其中x ＝3.2. (2019自贡)阅读下列材料：小明为了计算1＋2＋22＋…＋22017＋22018的值，采用以下方法： 设S ＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018， ① 则2S ＝2＋22＋…＋22018＋22019, ② ②－①得2S －S ＝S ＝22019－1，∴S ＝1＋2＋22＋…＋22017＋22018＝22019－1. 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1＋2＋22＋…＋29＝________； (2)3＋32＋…＋310＝________；(3)求1＋a ＋a 2＋…＋a n 的和(a >0，n 是正整数，请写出计算过程)．3. (2019荆州)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的顶点在一次函数y ＝kx ＋t (k ≠0)的图象上，则称y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为y ＝kx ＋t (k ≠0)的伴随函数，如：y ＝x 2＋1是y ＝x ＋1的伴随函数．(1)若y ＝x 2－4是y ＝－x ＋p 的伴随函数，求直线y ＝－x ＋p 与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数y ＝mx －3(m ≠0)的伴随函数y ＝x 2＋2x ＋n 与x 轴两个交点间的距离为4，求m ，n 的值．4. (2019甘肃省卷)阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM＝MN.求证：∠AMN＝60°；点拨：如图②，作∠CBE＝60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM.易证：△ABM≌△EBM(SAS)，可得AM＝EM，∠1＝∠2；又AM＝MN，则EM＝MN，可得∠3＝∠4；由∠3＋∠1＝∠4＋∠5＝60°，进一步可得∠1＝∠2＝∠5，又因为∠2＋∠6＝120°，所以∠5＋∠6＝120°，即：∠AMN ＝60°；问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点(不含端点B1，C1)，N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上—点，且A1M1＝M1N1.求证：∠A1M1N1＝90°.第4题图5. (2019咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：(1)如图①，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，C D.求证：四边形ABCD 是等补四边形；探究：(2)如图②，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由；运用：(3)如图③，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．第5题图6. (2019天水)如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥B D.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2；(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．第6题图(2019甘肃省卷)主题学习通过对下面数学模型的研究学习，解决第7题、第8题．【模型呈现】如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下：【模型应用】7.如图，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)连接FC交AB于点G，连接F B.求证：FG2＝GO·G B.第7题图【模型迁移】8.二次函数y＝ax2＋bx＋2的图象交x轴于A(－1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C.动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接A C.设运动的时间为t 秒．(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的表达式； (2)连接BD ，当t ＝32时，求△DNB 的面积；(3)在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标； (4)当t ＝54时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC ＋∠OAC ＝90°，求点Q 的坐标．第8题图参考答案1. 解：原式＝3xx （x －2）－x 2＋2x ＋4（x －2）（x 2＋2x ＋4）＝3x －2－1x －2 ＝2x －2. 当x ＝3时，原式＝23－2＝2.2. 解：(1)210－1；【解法提示】1＋2＋22＋…＋29＝210－1. (2)311－32；【解法提示】设S ＝3＋32＋…＋310，① 则3S ＝32＋33＋…＋311，② ②－①得2S ＝311－3， ∴S ＝311－32.(3)设S ＝1＋a ＋a 2＋…＋a n ，① 则aS ＝a ＋a 2＋…＋a n ＋a n＋1,②当a ＝1时，S ＝1＋1＋…＋1＝n ＋1；当a ＞0且a ≠1时，②－①得(a －1)S ＝a n ＋1－1， ∴S ＝a n ＋1－1a －1.3. 解：(1)y ＝x 2－4的顶点坐标为(0，－4)， 将(0，－4)代入y ＝－x ＋p 中得p ＝－4， ∴y ＝－x －4， 令y ＝0，x ＝－4，∴与x 轴的交点坐标为(－4，0)， 令x ＝0，y ＝－4，∴与y 轴的交点坐标为(0，－4)， ∴S ＝12×4×4＝8；(2)设y ＝x 2＋2x ＋n 与x 轴的两交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1－x 2|＝4，令y ＝0，x 2＋2x ＋n ＝0，x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝n ，∴x 21＋x 22－2x 1x 2＝16，(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16， 4－4n ＝16，解得n ＝－3， ∴y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4， ∴顶点坐标为(－1，－4)， 将(－1，－4)代入y ＝mx －3中， 得－m －3＝－4，得m ＝1， ∴m ＝1，n ＝－3.4. 证明：如解图，延长N 1C 1交A 1B 1的延长线于点E 1，连接E 1M 1.第4题解图∵C 1N 1平分∠D 1C 1H 1， ∴∠N 1C 1H 1＝∠B 1C 1E 1＝ ∠B 1E 1C 1＝45°， ∴B 1E 1＝B 1C 1＝A 1B 1. 在△A 1B 1M 1和△E 1B 1M 1中， ⎩⎪⎨⎪⎧B 1M 1＝B 1M 1∠A 1B 1M 1＝∠E 1B 1M 1＝90°A 1B 1＝E 1B 1， ∴△A 1B 1M 1≌△E 1B 1M 1， ∴∠1＝∠2，A 1M 1＝E 1M 1. 又∵A 1M 1＝M 1N 1， ∴E 1M 1＝N 1M 1， ∴∠3＝∠4.∵∠4＋∠5＝45°，∠1＋∠3＝45°， ∴∠1＝∠5＝∠2. ∵∠2＋∠6＝90°， ∴∠5＋∠6＝90°. ∴∠A 1M 1N 1＝90°.5. (1)证明：∵四边形ABCD 为圆内接四边形， ∴∠A ＋∠C ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴AD ︵＝CD ︵， ∴AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是等补四边形； (2)解：AC 平分∠BCD ，理由如下：如解图①，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 的延长线于点F ，第5题解图①则∠AEB ＝∠AFD ＝90°， ∵四边形ABCD 是等补四边形， ∴∠B ＋∠ADC ＝180°. 又∵∠ADC ＋∠ADF ＝180°， ∴∠B ＝∠ADF . ∵AB ＝AD ，∴△ABE ≌△ADF (AAS )， ∴AE ＝AF ，∴AC 是∠BCF 的平分线，即AC 平分∠BCD ； (3)解：如解图②，连接AC ，第5题解图②∵四边形ABCD 是等补四边形， ∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°， 又∵∠BAD ＋∠EAD ＝180°， ∴∠EAD ＝∠BCD ， ∵AF 平分∠EAD ，∴∠F AD ＝12∠EAD ，由(2)知，AC 平分∠BCD ， ∴∠FCA ＝12∠BCD ，∴∠FCA ＝∠F AD ， 又∵∠AFC ＝∠DF A ， ∴△ACF ∽△DAF ， ∴AF DF ＝CF AF ， 即5DF ＝DF ＋105， ∴DF ＝52－5.6. (1)解：四边形ABCD 是垂美四边形， 证明：如解图①，连接AC 、BD 交于点E ， ∵AB ＝AD ，∴点A 在线段BD 的垂直平分线上． ∵CB ＝CD ，∴点C 在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线， ∴AC ⊥BD ，即四边形ABCD 是垂美四边形；第6题解图①(2)证明：∵AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝90°， 由勾股定理得AD 2＋BC 2＝AO 2＋DO 2＋BO 2＋CO 2， AB 2＋CD 2＝AO 2＋BO 2＋CO 2＋DO 2， ∴AD 2＋BC 2＝AB 2＋CD 2；(3)解：如解图②，连接CG 、BE ，设AB 与CE 的交点为M ，第6题解图②∵∠CAG ＝∠BAE ＝90°，∴∠CAG ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，即∠GAB ＝∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AC ，∠GAB ＝∠CAE ，AB ＝AE ，∴△GAB ≌△CAE ， ∴∠ABG ＝∠AEC .又∵∠AEC ＋∠AME ＝90°，∠AME ＝∠BMC ， ∴∠ABG ＋∠BMC ＝90°，即CE ⊥BG ， ∴四边形CGEB 是垂美四边形， 由(2)得CG 2＋BE 2＝CB 2＋GE 2， ∵AC ＝4，AB ＝5，∴BC ＝3，CG ＝42，BE ＝52， ∴GE 2＝CG 2＋BE 2－CB 2＝73， ∴GE ＝73.7. 证明：(1)∵∠DAE ＝∠ABC ，∠ABC ＋∠BAC ＝90°， ∴∠DAE ＋∠BAC ＝90°.∴∠BAD ＝180°－(∠DAE ＋∠BAC )＝90°. ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AD 是⊙O 的切线； (2) 如解图，∵OA ＝12AB ，AD ＝AB ，AC ＝DE ＝1，BC ＝2，∴OA AD ＝AC BC ＝12. 又∵∠OAD ＝∠ACB ＝90°， ∴△OAD ∽△ACB . ∴∠AOD ＝∠CAB .∵∠BFG ＝∠CAB (同弧所对的圆周角相等)， ∴∠AOD ＝∠BFG . 又∵∠BGF ＝∠FGO ， ∴△OFG ∽△FBG . ∴FG OG ＝BG FG. ∴FG 2＝OG ·BG .第7题解图8. 解：(1)将A (－1，0)、B (4，0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋2中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝0，16a ＋4b ＋2＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝32，∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋32x ＋2； (2)易得C (0，2)，又∵B (4，0)，∴直线BC 的函数解析式为y ＝－12x ＋2. 由题意得A (－1，0)，AM ＝2t ，∴OM ＝2t －1，BM ＝4－(2t －1)＝－2t ＋5.当t ＝32时，BM ＝－2×32＋5＝2， ∴M (2，0)，N (2，1)，D (2，3)．∴S △DNB ＝S △DMB －S △NMB ＝12·BM ·(DM －NM )＝12×2×(3－1)＝2； (3)易得BC ＝22＋42＝2 5.∵△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形，∴点P 在直线BC 下方，CP ＝BP ＝22BC ＝22×25＝10. 如解图①，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点G ，过B 作y 轴的平行线交GP 延长线于点H ，第8题解图①根据已知模型，可得△PCG ≌△BPH ，∴PG ＝BH ＝PM .∴PM ＝2t －1.又∵BM ＝－2t ＋5，在Rt △BPM 中，由勾股定理得PM 2＋BM 2＝BP 2，即(2t －1)2＋(－2t ＋5)2＝(10)2，解得t 1＝1，t 2＝2.当t ＝1时，D (1，3)，当t ＝2时，D (3，2)；(4)∵A (－1，0)，B (4，0)，C (0，2)，∴AB ＝5，AC ＝12＋22＝5，BC ＝22＋42＝2 5.∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°.∴∠OCA ＋∠OCB ＝90°.∵∠AQC ＋∠OAC ＝90°，∠OCA ＋∠OAC ＝90°，∠OCB ＋∠ABC ＝90°， ∴∠AQC ＝∠OCA ＝∠ABC .当t ＝54时，M (32，0)， 易得抛物线的对称轴为x ＝32，且A 、B 两点关于此对称轴对称． ∴此时直线MN 与抛物线的对称轴重合．如解图②，以AB 为直径画圆，交抛物线对称轴分别于点Q 1，Q 2.第8题解图②由圆周角定理知，∠AQ 1C ＝∠AQ 2C ＝∠ABC .∴点Q 1，Q 2符合要求．∴MQ 1＝MQ 2＝AM ＝12AB ＝52， ∴Q 1(32，52)，Q 2(32，－52)． 综上，点Q 的坐标为(32，52)或(32，－52).。

中考数学阅读题训练精选（1）1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝40，BC＝60，点A对应的数是30．【综合运用】（1）点B表示的数是，点C表示的数是．（2）如图2，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的4倍，点Q的速度是点R的速度3倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；（3）如图3，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R 从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．2．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）求线段MN的长．（2）若点P到点M和点N的距离相等，求x的值．（3）若点P到M和点N的距离之和为6？请写出所有满足条件的x值．3．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A，B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，．4．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离AB ＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点M表示的数为．已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为﹣21，9，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）运动开始前，A，B两点的距离为；线段AB的中点M所表示的数．（2）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为；（用含t的式子表示）（3）它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距5个单位长度？（4）若A，B按上述方式继续运动下去，线段AB的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间．5．根据教育部印发《规定》，“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h．为此，某初中数学名师工作室就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了部分初中学生，现将调查结果绘制成如下不完全的统计图，其中分组情况是：A组：t＜0.5h；B组：0.5h≤t＜1h；C组：1h≤t＜1.5h；D组：t≥1.5h．请根据上述信息解答下列问题：（1）本次调查的人数是人；（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；（3）D组对应扇形的圆心角为°；（4）本次调查数据的中位数落在组内；（5）若我市约有160000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少．6．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．线段AB的中点表示的数为．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）填空：①A、B两点之间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为．②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．③当t＝时，P、Q两点相遇，相遇点所表示的数为．（2）当t为何值时，PQ＝AB．7．【问题背景】已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）．数形结合和分类讨论是初中数学的基本思想方法，应用广泛．以形助数或以数解形，相互转化，可以化繁为简，抽象问题具体化；而对问题进行合理的分情况探究，则可以使结果不重不漏．（1）我国著名数学家说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”（请将正确选项的字母代号填写在答题卡相应位置上）A．华罗庚B．陈景润C．苏步青D．陈省身（2）若该二次函数的对称轴为x＝1，关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4﹣t＝0（t 为实数）在﹣3＜x＜2的范围内无解，则t的取值范围是．（3）若该二次函数自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为12，则m的值为．【拓展应用】（4）当m＝1时，二次函数图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D与原点O关于直线BC对称，点E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接OE并延长交射线CD于点F，连接DE，△DEF为等腰三角形时，求线段DF的长．8．课本再现下面是人教版初中数学教科书七年级上册第102页探究1的部分内容．探究1 销售中的盈亏（1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是（填“盈利”、“亏损”或“不盈不亏”）．拓展应用（2）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利20%的预期目标？9．数轴是初中数学中一个重要的工具，研究数轴可以发现许多重要的规律．如数轴上的点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．解决问题：现数轴上有一点A表示的数为﹣10，点B表示的数为18，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）填空：①A、B两点之间的距离AB＝，到A、B两点距离相等的点表示的数是．②当t＝时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为．（2）求当t为何值时，PQ＝AB．（3）折叠数轴使点A与P重合，折点记为M，还原后再折叠数轴使点B与P重合，折点记为N，点P在运动过程中，M、N两点间的距离是否发生变化？若不变，请求出线段MN的长度．10．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．（1）【特例感知】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，﹣2，则A，B两点之间的距离为，线段AB的中点表示的数为；（2）若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b．①【分类讨论】若a＞b＞0，则A，B两点之间的距离为：AB＝a﹣b；若a＞0＞b，则A，B两点之间的距离为：AB＝a﹣b；若0＞a＞b，则A，B两点之间的距离为：AB＝；②【类比探究】线段AB的中点表示的数为；（3）【综合运用】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，﹣2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当P，Q相遇时，停止运动．设运动时间为t秒（t＞0），点P，Q在运动过程中，①P，Q两点之间的距离为；（用含t的代数式表示）②若点M为P A的中点，点N为QB的中点，线段MN的长度为．（用含t的代数式表示）11．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝60，点A对应的数是40．【综合运用】（1）点B表示的数是．（2）若BC：AC＝4：7，求点C到原点的距离．（3）如图2，在（2）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；（4）如图3，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，m（m＜5）个单位长度秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．若PT﹣MN的值为定值，请求出m的值．12．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN＝|m﹣n|，线段MN的中点表示的数为．如图，数轴上点M表示的数为﹣1，点N表示的数为3．（1）直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为；（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：|x+1|+|x﹣3|有最小值是，|x+1|﹣|x﹣3|有最大值是；（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x﹣1＝x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN＝PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由．13．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞1）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；（2）求当t为何值时，；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．14．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直观推导和解释．（1）如图1，是一个重要的乘法公式的几何解释，请你写出这个公式．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系为．（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a，b，c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．15．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要结论和规律．小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题．如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a+5|+（b+1）2＝0，c＝3，d＝8．（1）m和n的长度分别为：、；（2）小亮把木棒m、n同时沿数轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s．设平移时间为t（s）①点B表示的数为：（用含t的代数式表示），点D表示的数为：（用含t的代数式表示）．②若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝（s）；（3）在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，请直接写出t的值为．16．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B 两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；（2）求当t为何值时，PQ＝AB；（3）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．17．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式的值．解：∵，∴即∴∴材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则，，，∴根据材料解答问题：（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．。

2024中考数学全国真题分类卷模型四手拉手模型强化训练类型一全等型1.阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC＝AE，∠ADC ＝120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程；【拓展迁移】(2)如图②，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由；②若AE2＋AG2＝10，试求出正方形ABCD的面积．第1题图类型二相似型2.如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠BAC＝∠BDE＝30°，BC ＝3，BE＝2.(1)特例发现：如图①，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE＝________，直线AD与直线CE的位置关系是________；(2)探究证明：如图②，将图①中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图③，将图①中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD，EC，它们的延长线交于点F，当DF＝BE时，求tan(60°－α)的值．第2题图3.已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．(1)如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；(2)当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．第3题图参考答案与解析1.(1)证明：如解图①，连接DC，第1题解图①∵△ABC与△BDE均为等边三角形，∴BE＝BD，AB＝CB，∠EBD＝∠ABC＝60°，∴∠EBA＋∠ABD＝∠ABD＋∠DBC，∴∠EBA＝∠DBC，在△EBA和△DBC中，＝DB，EBA＝∠DBC＝CB∴△EBA≌△DBC(SAS)，∴∠AEB＝∠CDB＝60°，AE＝CD，∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝120°，∴△ADC为钝角三角形，∴以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形；(2)解：①以AE、AG、AC为边的三角形是直角三角形．理由如下：如解图②，连接CG，第1题解图②∵四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，∴∠EBG＝∠ABC，EB＝GB，AB＝CB，∴∠EBA＋∠ABG＝∠ABG＋∠GBC＝90°，∴∠EBA＝∠GBC，∵EG 为正方形BGFE 的对角线，∴∠BEA ＝∠BGA ＝45°，在△EBA 和△GBC 中，＝GBEBA ＝∠GBC ＝CB，∴△EBA ≌△GBC (SAS)，∴AE ＝CG ，∠BEA ＝∠BGC ＝45°，∴∠AGC ＝∠BGA ＋∠BGC ＝45°＋45°＝90°，∴△AGC 为直角三角形，∴以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形；②由①可知，△EBA ≌△GBC ，AE ＝CG ，△AGC 为直角三角形，∵AE 2＋AG 2＝10，∴AC ＝CG 2＋AG 2＝10，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ACB ＝45°，∴AB ＝BC ＝22AC ＝5，∴S 正方形ABCD ＝AB 2＝5.2.解：(1)3，AD ⊥CE (或垂直)；【解法提示】∵∠BAC ＝∠BDE ＝30°，∴∠ACB ＝60°，DE ∥AC ，∴AD AB ＝CE BC ，即AD CE＝AB BC ，∵在Rt △ABC 中，AB BC ＝tan 60°＝3，∴AD CE＝3，∵AD 与CE 的延长线交于点B ，∠ABC ＝90°，∴AD ⊥CE .(2)结论成立．证明如下：在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴tan 30°＝BC AB ，即BC AB ＝33，∴AB BC ＝3，同理得BD BE ＝3，∴AB BC ＝BD BE ，即AB BD ＝BC BE.∵∠ABD ＋∠DBC ＝∠CBE ＋∠DBC ＝90°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ∽△CBE ，∴AD CE ＝AB CB ＝3，∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＋∠ACB ＝90°，∴∠BCE ＋∠ACB ＝90°，即∠ACE ＝90°，∴AD ⊥CE ；(3)如解图，延长BC ，AF 交于点P ，由(2)知AB BD ＝BC BE，由旋转知∠ABD ＝∠CBE ＝α，∴△ABD ∽△CBE ，∴∠BAD ＝∠BCE ，∵∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝30°＋∠CAD ，∴∠BCE ＝30°＋∠CAD ，∴∠ACE ＝∠ACB ＋∠BCE ＝60°＋30°＋∠CAD ＝90°＋∠CAD ，∵∠ACE ＝∠AFC ＋∠CAD ，∴∠AFC ＝90°，∵∠DBE ＝90°，DF ＝BE ，DE ＝ED ，∴Rt △DEF ≌Rt △EDB (HL)，∴EF ＝BD ，∴四边形BEFD 是平行四边形，∴DF ∥BE ，∴∠P ＝∠CBE ＝α，∠BEF ＝90°，∵BC ＝3，BE ＝2，∠BAC ＝∠BDE ＝30°，∴EF ＝BD ＝23，CE ＝BC 2－BE 2＝5，AC ＝6，∴CF ＝EF －CE ＝23－5，由(2)知AD CE＝3，∴AD ＝15，∴AF ＝AD ＋DF ＝15＋2，∵∠ACB ＝90°－∠BAC ＝60°，∴∠CAF ＝∠ACB －∠P ＝60°－α，∴tan (60°－α)＝tan ∠CAF ＝CF AF ＝23－515＋2＝85－9311.第2题解图3.解：(1)如解图①，连接AF ，AC ，第3题解图∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都是正方形，∴AC ＝2AB ，AF ＝2AG ，∠CAB ＝∠CAD ＝∠GAF ＝45°，∠BAD ＝90°，∴∠CAD ＋∠DAG ＋∠GAF ＝∠CAB ＋∠DAG ＋∠CAD ，∴∠CAF ＝∠BAG ，∵AC AB ＝AF AG，∴△CAF ∽△BAG ，∴CF BG ＝AF AG＝2；(2)BE ＝2MN ，MN ⊥BE ，理由如下：如解图②，连接ME ，过点C 作CH ∥EF ，交EM 的延长线于点H ，连接BH ，设CF 与AD 的交点为P ，CF 与AG 的交点为R ，∵CH ∥EF ，∴∠FCH ＝∠CFE ，∵点M 是CF 的中点，∴CM ＝MF .又∵∠CMH ＝∠FME ，∴△CMH≌△FME(ASA)，∴CH＝EF，MH＝ME，∴AE＝CH.∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠ARC.∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF＋∠HCF＝∠APR＋∠ARC.∵∠DAG＋∠APR＋∠ARC＝180°，∠BAE＋∠DAG＝180°，∴∠BCH＝∠BAE.又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE(SAS)，∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°.∵MH＝ME，点N是BE的中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；(3)9π.【解法提示】如解图③，取AB的中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝62.∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝12AF＝32，ON＝12AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，32为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积为π×(32)2－π×32＝9π.第3题解图③。

专题五 阅读理解问题错误!A 组 全国中考题组一、填空题1．(2015·湖南株洲，16，4分)“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为S ＝a ＋b 2－1，孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积，a 和b 中有一个表示多边形边上(含顶点)的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形(如图1)进行验证，得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是_____，并运用这个公式求得图2中多边形的面积是_____．解析 如题图1，∵三角形内由1个格点，边上有8个格点，面积为4，即4＝1＋82－1；矩形内由2个格点，边上有10个格点，面积为6，即6＝2＋102－1；∴公式中表示多边形内部整点个数的字母是a ；题图2中，a ＝15，b ＝7，故S ＝15＋72－1＝17.5.答案 a 17.52．(2015·四川资阳，16，4分)已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为________．解析 ∵y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴A 点坐标为(－1，0)，解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2＋2x ＋1，y ＝2x ＋2得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4， ∴点C ′的坐标为(1，4)，∵点C 和点C ′关于x 轴对称，∴C (1，－4)，设原抛物线解析式为y ＝a (x －1)2－4，把A (－1，0)代入得4a －4＝0，解得a ＝1，∴原抛物线解析式为y ＝(x －1)2－4＝x 2－2x －3.答案 y ＝x 2－2x －3二、解答题3．(2015·浙江绍兴，21，10分)如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M (1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式，小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4.请你写出一个不同于小敏的答案．(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．解 (1)不唯一，如y ＝x 2－2x ＋2.(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b ，c ＋b 2＋1)，且－1＋2b ＋c ＋1＝1，∴c ＝1－2b ，∵顶点纵坐标c ＋b 2＋1＝2－2b ＋b 2＝(b －1)2＋1，∴当b ＝1时，c ＋b 2＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小；此时c ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x .4．(2015·浙江温州，20，8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形，如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G .Pick ，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S ＝a＋12b －1，其中a 表示多边表内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图，a ＝4，b ＝6，S ＝4＋12×6－1＝6.(1)请在图甲中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积；(2)请在图乙画一个格点三角形，使它的面积为72，且每条边上除顶点外无其它格点．解 (1)画法不唯一，如图①或图②，面积分别为9，5.(2)画法不唯一，如图③，图④等．5．(2015·浙江宁波，24，10分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a ，边界上的格点数为b ，则格点多边形的面积可表示为S ＝ma ＋nb －1，其中m ，n 为常数．(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；(2)利用(1)中的格点多边形确定m ，n 的值．解 (1)答案不唯一(2)三角形：a ＝4，b ＝6，S ＝6；平行四边形：a ＝3，b ＝8，S ＝6；菱形：a ＝5，b ＝4，S ＝6；任选两组数据代入S ＝ma ＋nb －1，解得m ＝1，n ＝12.6．(2015·浙江杭州，19，8分)如图1，⊙O 的半径为r (r ＞0)，若点P ′在射线OP 上，满足OP ′·OP ＝r 2，则称点P ′是点P 关于⊙O 的“反演点”．如图2，⊙O 的半径为4，点B 在⊙O 上，∠BOA ＝60°，OA ＝8，若点A ′，B ′分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，求A ′B ′的长．解 因为OA ′·OA ＝16，且OA ＝8，所以OA ′＝2，同理可知，OB ′＝4，即B 点的反演点B ′与B 重合．设OA 交⊙O 于点M ，连结B ′M .因为∠BOA ＝60°，OM ＝OB ′，所以△OB ′M 为正三角形，又因为点A ′为OM 的中点，所以A ′B ′⊥OM .根据勾股定理，得：OB ′2＝OA ′2＋A ′B ′2，即16＝4＋A ′B ′2，解得：A ′B ′＝2 3.B 组 全国中考题组一、选择题1．(2012·浙江嘉兴，9，4分)定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”．如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是( ) A.14 B.310 C.12 D.34解析 从1，3，4，5中任选两数共有12种可能情况，其中属于“V 数”的有6种可能情况，所以从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是12，故选C.答案 C 2．(2013·山东潍坊，12，3分)对于实数x ，我们规定[x ]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若[x ＋410]＝5，则x 的取值可以是( )A ．40B ．45C ．51D ．56解析 法一 ∵将x ＝40代入[x ＋410]得[40＋410]＝4，选项A 错误；将x ＝45代入[x ＋410]得[45＋410]＝4，选项B 错误；将x ＝51代入[x ＋410]得[51＋410]＝5，选项C 正确；将x ＝56代入[x ＋410]得[56＋410]＝6，选项D 错误．故选C.法二由[x ＋410]＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋410≥5，x ＋410＜6，解得46≤x ＜56，故选C. 答案 C二、填空题3．(2014·山东德州，17，4分)如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1，A2，A3，…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1，A2，A3，…A n，…，则顶点M2 014的坐标为(________________)．解析∵抛物线的顶点M1，M2，M3，…M n，…都在直线L：y＝x上，∴设平移后的抛物线为y＝(x－m)2＋m，由题意可知抛物线y＝(x－m)2＋m经过点A2 014(2014，2 0142)，∴2 0142＝(2014－m)2＋m，解得m＝4 027或m＝0(不合题意舍去)，∴M2 014(4 027，4 027)，故答案为：(4 027，4 027)．答案(4 027，4 027)4．(2014·北京，22，5分)阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD ＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长．图1图2小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．请回答：∠ACE的度数为________，AC的长为________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，∠CAD ＝30°，∠ADC ＝75°，AC 与BD 交于点E ，AE ＝2，BE ＝2ED ，BC 的长为________．解析 ∵CE ∥AB ，∴∠BAC ＋∠ACE ＝180°.∵∠BAD ＝75°，∠CAD ＝30°，∴∠ACE ＝180°－∠BAC ＝180°－75°－30°＝75°，∠E ＝∠BAD ＝75°，∴∠E ＝∠ACE ，∴AC ＝AE .∵CE ∥AB ，∴△ABD ∽△ECD ，∴AD ED ＝BD CD .∵BD ＝2DC ，∴AD ＝2ED .∵AD ＝2，∴ED ＝1，∴AC ＝AE ＝AD ＋ED ＝2＋1＝3.过点D 作DF ⊥AC 于点F ，∵∠BAC ＝90°，∴AB ∥DF ，∴△ABE ∽△FDE .∴AB FD ＝AE FE ＝BE DE ＝2，∴EF ＝1，AF ＝AE ＋EF ＝3.∵∠CAD ＝30°，∴DF ＝AF ·tan 30°＝3，AD ＝2DF ＝2 3.∵∠ADC ＝75°，∴∠ACD ＝180°－∠ADC －∠CAD ＝75°.∴AD ＝AC ，∴AC ＝2 3.∵AB FD ＝2，∴AB ＝2 3.在Rt △ABC 中，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2 6.答案 75° 23 2 65．★(2013·山东菏泽，12，3分)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段图3叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”)．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是________(写出1个即可)．解析 如图，(1)等边三角形的高AD 是它的一条面径，AD ＝32×2＝3；(2)当EF ∥BC 时，EF 为它的一条面径，此时，⎝ ⎛⎭⎪⎫EF BC 2＝12，解得EF ＝ 2. 所以，它的面径长可以是2， 3. 答案 2或 3三、解答题6．(2014·安徽，22，12分)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝2x 2－4mx ＋2m 2＋1，和y 2＝ax 2＋bx ＋5，其中y 1的图象经过点A (1，1)，若y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x ≤3时，y 2的最大值．解 (1)答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y ＝x 2和y ＝2x 2；(2)把点A (1，1)坐标代入到y 1＝2x 2－4mx ＋2m 2＋1中，得2×12－4m ×1＋2m 2＋1＝1，解得m ＝1.∴y 1＝2x 2－4x ＋3，∵y 1＋y 2＝2x 2－4x ＋3＋ax 2＋bx ＋5＝(a ＋2)x 2＋(b －4)x ＋8，又∵y 1＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1，其顶点为(1，1)，且y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b －42（a ＋2）＝1，4（a ＋2）×8－（b －4）24（a ＋2）＝1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－10.∴y 2＝5x 2－10x ＋5＝5(x －1)2，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，当x ＝3时，y ＝5×(3－1)2＝20，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时，y ＝5×(0－1)2＝5，故当0≤x ≤3时，y 2的最大值是20.7．(2012·浙江绍兴，21，10分)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若P A ＝PB ，则点P 为△ABC 的准外心．应用：如图2，CD 为等边三角形ABC 的高，准外心P 在高CD 上，且PD ＝12AB ，求∠APB 的度数．探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边BC ＝5，AB ＝3，准外心P 在AC 边上，试探究P A 的长．解 应用：若PB ＝PC ，则∠PCB ＝∠PBC .∵CD 为等边三角形的高，∴AD ＝BD ，∠PCB ＝30°，∴∠PBD ＝∠PBC ＝30°，∴PD ＝33DB ＝36AB .与已知PD ＝12AB 矛盾，∴PB ≠PC .若P A ＝PC ，同理可得P A ≠PC .若P A ＝PB ，由PD ＝12AB ，得PD ＝BD ＝AD ，因此点A ，P ，B 在以AB 为直径的圆上，∴∠APB ＝90°，故∠APB ＝90°.探究：若PB ＝PC ，设P A ＝x ，则x 2＋32＝(4－x )2，∴x ＝78，即P A ＝78.若P A ＝PC ，则P A ＝2.若P A＝PB，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或7 8.8．(2012·浙江台州，24，14分)定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m＋4，n)是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，当m＝2，n＝2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是______；当m＝5，n＝2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______．(2)如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解(1)2 5(2)如图甲，过点A 作直线EF ⊥x 轴，当点B 落在圆A 上，且位于EF 的右侧(或EF 上)时，线段BC 与线段OA 的距离即圆A 的半径，此时4≤m ≤6，且d ＝2.如图乙，当点B 落在圆A 上，且位于EF 的左侧时，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，垂线段BN 的长即为线段BC 与线段OA 的距离，此时2≤m ＜4.图甲图乙在Rt △ABN 中，∠ANB ＝90°，AN ＝4－m ，AB ＝2，由勾股定理可得：d ＝BN ＝22－（4－m ）2＝4－16＋8m －m 2 ＝－m 2＋8m －12.∴d 关于m 的函数解析式为：d ＝⎩⎨⎧－m 2＋8m －12 （2≤m ＜4），2 （4≤m ≤6）.(3)①如图丙，由题意可知：当线段BC 的端点B 或端点C 沿环形跑道运动时，方可使得动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，由线段PI ，IJG ︵，线段GK ，KQP ︵所围成的封闭图形就是点M 随线段BC 运动所围成的．∴点M 随BC 运动所围成的封闭图形的周长为：2×π×2＋2×2×4＝16＋4π.图丙②∵m ≥0，n ≥0，∴点M 随线段BC 运动所形成的图形是M 0E ，EF ︵，如图丁所示．图丁∵Rt △AOD 中，OD ∶OA ＝1∶2，∴若△AMH 与△AOD 相似，则必有MH ∶HA ＝1∶2或MH ︰HA ＝2∶1. ∵当2≤m ＋2＜4时，显然M 1H 1＞H 1A ，∴M 1H 1∶H 1A ＝2∶1.∵M 1H 1＝2，∴H 1A ＝1，∴OH 1＝3.∴m 1＝3－2＝1.当4≤m ＋2≤6时，即点M 2在线段TE 上时，同理可求：m 2＝5－2＝3.当6＜m ＋2≤8时，即点M 3在EF ︵上时，∵AH 3≥2≥M 3H 3，∴M 3H 3∶AH 3＝1∶2.设M 3H 3＝x ，则AH 3＝2x ，∴RH 3＝2x －2.∵RM 3＝2，∴(2x －2)2＋x 2＝22，解方程可得：x 1＝85，x 2＝0(不合题意，舍去)．∴此时，OH 3＝4＋2x ＝365.∴m 3＝365－2＝265.综上所述，在平移过程中存在△AHM 与△AOD 相似，相应m 的值为1，3，265.。

2021年重庆年中考24题阅读材料题综合专题（重庆育才试题集）1（育才2021级初三上定时训练二）中国古贤常说万物皆自然．而古希腊学者说万物皆数．小学我们就接触了自然数，在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另一种特殊的自然数﹣﹣“欢喜数”．定义：对于一个各数位不为零的自然数，如果它正好等于各数位数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”．例如：24是一个“欢喜数”，因为24＝4×（2+4），125就不是一个“欢喜数”因为1+2+5＝8，125不是8的整数倍．（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各数位数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”．2（育才2020级初三下中考模拟5月份）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）若F（a）=且a为100以内的正整数，则a=（2）如果m是一个两位数，那么试问F（m）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大（或最小）值以及此时m的取值并简要说明理由．3（育才2020级初三下中考模拟二）先阅读，再解答问题．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如当x＝时，求﹣x2﹣x+2的值，为解答这题，若直接把x＝代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一将条件变形．因x＝，得x﹣1＝．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式．原式＝（x3﹣2x2﹣2x）+2＝[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2＝[x（x﹣1）2﹣3x]+2＝（3x﹣3x）+2＝2方法二先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1＝，可得x2﹣2x﹣2＝0，即，x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式＝x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）若a2﹣3a+1＝0，求2a3﹣5a2﹣3+的值；（2）已知x＝2+，求的值．4（育才2020级初三下中考模拟三））阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）解：原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）……＝例2：因式分解：x4+x2+1解：原式＝x4+x2+1＝x4+2x2+1﹣x2＝（x2+1）2﹣x2＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）根据材料解决下列问题：（1）计算：；（2）小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x4+4来表示，所以他决定先对x4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题．请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x4+4；②计算：．5（育才2019级初三下中考模拟一）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．解决间题：（1）比较大小：（用“＞”“＜”或“＝”填空）；（2）计算：+；（3）设实数x，y满足，求x+y+2019的值6（育才2020级初三下中考模拟二练习）我们已经知道一些特殊的勾股数，如三个连续正整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；事实上，勾股数的正整数倍仍然是勾股数．（1）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派提出的公式：a＝2n+1，b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数．（2）然而，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国古代的著名数学著作《九章算术》中，书中提到：当a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2）（m、n为正整数，m＞n时，a、b、c构成一组勾股数；利用上述结论，解决如下问题：已知某直角三角形的边长满足上述勾股数，其中一边长为37，且n＝5，求该直角三角形另两边的长．7（双福育才2020级初三下中考模拟一）阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解:22228160m mn n n -+-+= ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a、b、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.8（育才2020级初三下入学测试）阅读材料：材料1：数学世界里有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：11、171、1661、134431、…，像这样的数我们叫它“完美数”．材料2：如果一个三位数abc ，满足9=++c b a ，我们就称这个三位数为“长久数”．（1）请直接写出既是“完美数”又是“长久数”的所有三位数；（2）若三位数是大于500的“完美数”，它的各位数字之和等于k ，k 是一个完全平方数且k 为奇数，求这个三位数（请写出必要的推理过程）．9（育才2020级初三上第二次月考）阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m 都可以表示为：q p m +=2（p 、q 是正整数），在m 的所有这种表示中，如果q p -最小时，规定：()pq m F =．例如：21可以表示为：54123172201212222+=+=+=+=，因为54123172201->->->-，所以()4521=F ．（1）求()33F 的值；（2）如果一个正整数n 可以表示为t t -2（其中2≥t ，且是正整数），那么称n 是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n ，都有()1=n F ；（3）一个三位自然数k ，c b a k ++=10100（其中90,90,91≤≤≤≤≤≤c b a ，且c a ≤，c b a ,,为整数，）满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k 与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k 中()k F 的最小值．10（双福育才2020级初三下第二次诊断性测试）一个形如abcde 的五位自然数（其中a 表示该数的万位上的数字，b 表示该数的千位上的数字，c 表示该数的百位上的数字，d 表示该数的十位上的数字，e 表示该数的个位上的数字，且0,0a b ≠≠），若有,a e b d ==且c a b =+，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”.同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，224334693-=，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。

1．材料一：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，且千位数字小于百位数字，则称这个四位数为“美好数”，例如3443为“美好数”；材料二：一个正整数x 能写成22b a x -=（a ，b 均为正整数，且b a ≠），则称x 为“美满数”，a ，b 为x 的一个平方差分解，在x 的所有平方差分解中，若22b a +最大，则称a ，b 为x 的最佳平方差分解，此时ba x F =)(。

例如：222521-=，21为“美满数”，5和2为21的一个平方差分解，2222221748111348-=-=-=，因为22222217481113+>+>+，所以13和11为48的最佳平方差分解，所以1113)48(=F . 根据材料回答：（1）求证：任一个美好数的各数位上的数字之和为6的倍数，则这个“美好数”一定能被33整除；（2）若一个数m 既是“美好数”又是“美满数”，并且另一个“美好数”的前两位数字组成的两位数与后两位数组成的两位数恰好是m 的一个平方差分解，求出所有满足条件的数m 中)(m F 的最大值。

2．材料一：一个正整数x 能写成b a b a x ，(22-=均为正整数，且)b a ≠，则称x 为“雪松数”，b a ，为x 的一个平方差分解，在x 的所有平方差分解中，若22b a +最大，则称b a ，为x 的最佳平方差分解，此时22)(b a x F +=。

例如：225724-=，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，227932-=，222632-=，因为22222679+>+，所以9和7为32的最佳平方差分解，2279)32(+=F 。

材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”。

根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t 既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t 的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t 中)(t F 的最大值。

以函数新定义为背景阅读材料压轴题1.考向分析1(2023•义乌市校级模拟)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n (n ≥0)的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点13，13 是函数y =x 图象的“12阶方点”；点(2，1)是函数y =2x图象的“2阶方点”．(1)在①-2，-12 ；②(-1，-1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y =1x图象的“1阶方点”的有　②③　(填序号)；(2)若y 关于x 的一次函数y =ax -3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；(3)若y 关于x 的二次函数y =-(x -n )2-2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．2(2023•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线x =3上某一点P 顺时针旋转90°，再关于直线x =3对称，得到图形N ，我们称图形N 为图形M 关于点P 的二次关联图形．已知点A (0，1)．(1)若点P 的坐标是(3，0)，直接写出点A 关于点P 的二次关联图形的坐标；(2)若点A 关于点P 的二次关联图形与点A 重合，求点P 的坐标(直接写出结果即可)；(3)已知⊙O 的半径为1，点A 关于点P 的二次关联图形在⊙O 上且不与点A 重合．若线段AB =1，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在⊙O 及其内部，求此时P 点坐标及点B 的纵坐标y B 的取值范围．3(2022•婺城区模拟)定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y=x+1的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y=x+1(x≥0)-x+1(x<0)，也可以写成y=|x|+1．(1)在图③中画出函数y=-2x+l的“新生函数“的图象．(2)函数y=x2-2x+2的“新生函数“与直线y=-x+m有三个公共点，求m的值．(3)已知A(-1，0)，B(3，0)，C(3，-2)，D(-1，-2)，函数y=x2-2nx+2(n>0)的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．2.压轴题速练1(2023•信阳模拟)定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”．例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y=x+1(x≥0)，也可以写成y=|x|+1．-x+1(x<0)(1)在图③中画出函数y=-2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象．(2)函数y=x2-2x+2关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=-x+m有三个公共点，求m的值．(3)已知抛物线y=ax2-4ax+2(a<0)，关于直线x=0的“镜面函数”图象上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2 )，当t-1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围．2(2022•零陵区模拟)九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2 =0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：(1)函数y=x2-4x+3的“旋转函数”是2；(2)若函数y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”，求(m+n)2022的值；(3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y=2(x-1)(x+3)互为“旋转函数”．3(2022•长沙县校级三模)规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O-函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P(1，1)在函数y=x2上，点Q(-1，-1)在函数y=-x-2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y=x2和y=-x-2互为“O-函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．(1)已知函数y=-2x-1和y=-6x互为“O-函数”，请求出它们的“XC点”；(2)已知函数y=x2+2x+4和y=4x+n-2022互为“O-函数”，求n的最大值并写出“XC点”；(3)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与y=2bx+1互为“O-函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)其中0<x1<x2，AB=c2-2c+6c，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为-t，连接OP，AP，BP．若∠OPA=∠OBP，求t 的最小值．4(2022•顺德区校级三模)我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．(1)请直接写出函数y=2-x的不动点M的坐标；(2)若函数y=3x+8x+a有两个关于原点对称的不动点A，B，求a的值；(3)已知函数y=ax2+(b+1)x+(b-1)，若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出a的取值范围．5(2022•长沙二模)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“CJ 三角形”．(1)判断下列三角形是否为“CJ 三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形；(2)如图1，点A 在双曲线y =k x(k >0)上且横坐标为1，点B (4，0)，C 为OB 中点，D 为y 轴负半轴上一点，若∠OAB =90°．①求k 的值，并求证：△ABC 为“CJ 三角形”；②若△OAB 与△OBD 相似，直接写出D 的坐标；(3)如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，E 为BC 边上一点，BE >CE 且△ABE 是“CJ 三角形”，已知A (-6，0)，记BE =t ，过A ，E 作抛物线y =ax 2+bx +c (a >0)，B 在A 右侧，且在x 轴上，点Q 在抛物线上，使得tan ∠ABQ =1t -3，若符合条件的Q 点个数为3个，求抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式．6(2022•滨海县模拟)如图1，直线l：y=kx+b(k<0，b>0)与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l 叫做抛物线W的关联直线．(1)已知直线l1：y=-3x+3，求直线l1的关联抛物线W1的表达式；(2)若抛物线W2：y=-x2-x+2，求它的关联直线l2的表达式；(3)如图2，若直线l3：y=kx+4(k<0)，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=102，求直线l3的关联抛物线W3的表达式；(4)在(3)的条件下，将直线CD绕着C点旋转得到新的直线l4：y=mx+n，若点P(x1，y1)与点Q(x2，y2)分别是抛物线W3与直线l4上的点，当0≤x≤2时，|y1-y2|≤4，请直接写出m的取值范围．7(2022•淮安二模)我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y=x2的图象上，存在一点P(-1，1)，则P为二次函数y=x2图象上的“互反点”．(1)分别判断y=-x+3、y=x2+x的图象上是否存在“互反点”？如果存在，求出“互反点”的坐标；如果不存在，说明理由．(2)如图①，设函数y=-5x(x<0)，y=x+b的图象上的“互反点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为5时，求b的值；(3)如图②，Q(m，0)为x轴上的动点，过Q作直线l⊥x轴，若函数y=-x2+2(x≥m)的图象记为W1，将W1沿直线l翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出m的取值范围．8(2022•石家庄三模)抛物线L：y=x2-2bx+c与直线a：y=kx+2交于A、B两点，且A(2，0)．(1)求k和c的值(用含b的代数式表示c)；(2)当b=0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C．①求△ABC的面积；②当1≤x≤5时，则y的取值范围是．(3)抛物线L：y=x2-2bx+c的顶点M(b，n)，求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高．(4)在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b=-20时，直接写出“美点”的个数；若这些美点平均分布在直线y=kx的两侧，k的取值范围：　-22 21<k<-4543<4341　．9(2023春•雨花区期中)约定：如果函数的图象经过点(m，n)，我们就把此函数称作“(m，n)族函数”．比如：正比例函数y=2x的图象经过点(1，2)，所以正比例函数y=2x就是“(1，2)族函数”．(1)①以下数量关系中，y不是x的函数的是(填选项)②以下是“(-1，1)族函数”的是(填选项)A.y=-1xB.|y|=xC.y=x2+2x-4D.y=|x|+1E.y2=-xF.y=2x+3(2)已知一次函数y=kx-k+1(k为常数，k≠0)．①若该函数是“-1 2，4族函数”，求k的值．②无论k取何值，该函数必经过一定点，请写出该定点的坐标．(3)已知一次函数y=2x+4和y=-x+1都是“(m，n)族函数”．当m≤x≤1时，一次函数y=kx+b的函数值y恰好有12n≤1y≤-12m，求该一次函数的解析式．10(2022秋•海门市期末)定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点-1 3，13是函数y=x图象的“直旋点”．(1)在①(3，0)，②(-1，0)，③(0，3)三点中，是一次函数y=-13x+1图象的“直旋点”的有(填序号)；(2)若点N(3，1)为反比例函数y=k x图象的“直旋点”，求k的值；(3)二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C，点D是二次函数y =-x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．11(2022秋•大兴区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点C，若△ABC是以AB 为一条直角边，且满足AC>AB的直角三角形，则称点C为线段AB的“从属点”．已知点A的坐标为(0，1)．(1)如图1，若点B为(2，1)，在点C1(0，-2)，C2(2，2)．C3(1，0)，C4(0，3)中，线段AB的“从属点”是，C2　；1(2)如图2，若点B为(1，0)，点P在直线y=-2x-3上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；(3)点B为x轴上的动点，直线y=4x+b(b≠0)与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．12(2023春•鄱阳县期中)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a=-x，b=x-y，那么我们把点M(a，b)与点N(b，a)称为点P的一对“和美点”．例如：点P(-1，2)的一对“和美点”是点(1，-3)与点(-3，1)．(1)点A(4，1)的一对“和美点”坐标是与；(2)若点B(2，y)的一对“和美点”重合，则y的值为；(3)若点C的一个“和美点”坐标为(-2，7)，求点C的坐标．13(2022秋•石景山区校级期末)在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC，其中点A(5，0)，B (5，4)，C(0，4)．给出如下定义：若点P关于直线l：x=t的对称点P'在矩形OABC的内部或边上，则称点P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线l：x=3的“关联点”．(1)如图2，在点P1(4，1)，P2(-3，3)，P3(-2，0)，P4(-6，-2)中，是矩形OABC关于直线l：x=-1的“关联点”的为2，P3　；(2)如图3，点P(-2，3)是矩形OABC关于直线l：x=t的“关联点”，且△OAP'是等腰三角形，求t的值；(3)若在直线y=12x+b上存在点Q，使得点Q是矩形OABC关于直线l：x=-1的“关联点”，请直接写出b的取值范围．14(2023春•崇川区校级月考)我们定义：若点P在一次函数y=ax+b(a≠0)图象上，点Q在反比例函数y=cx(c≠0)图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y=ax2+bx+c为一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．(1)若二次函数y=x2+2x+1是一次函数y=ax+b与反比例函数y=c x的“衍生函数”，则a=，b=，c=；(2)若一次函数y=x+b和反比例函数y=c x的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；(3)若一次函数y=ax+2b(a>b>0)和反比例函数y=-2x的“衍生函数”经过点(2，6)．①试说明一次函数y=ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y=ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1-x2|的取值范围．15(2023•定远县校级一模)已知一系列具备负整数系数形式规律的“负倍数二次函数”：y1=-x2-2x，y2=-2x2-4x，y3=-3x2-6x，⋯(1)探索发现，所有“负倍数二次函数”都有同一条对称轴直线x=．(2)求二次函数y n的解析式及其顶点坐标．(3)点(-1，10)是否是“负倍数二次函数”中某一抛物线的顶点，若是，请求出它所在的抛物线解析式，并求出-2≤x≤1对应的y的取值范围；若不是，请说明理由．16(2023春•兰溪市月考)阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x=a与x=-a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y=x2，在实数范围内任取x=a时，y=a2；当x=-a时，y=(-a)2=a2，所以y=x2是“对称函数”．(1)函数y=2|x|+1对称函数(填“是”或“不是”)．当x≥0时，y=2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x<0时，y=2|x|+1的图象．(2)函数y=x2-2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y=-x+n恰有3个交点时，求n的值．(3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(-3，0)，B(2，0)，C(2，-3)，D(-3，-3)，当二次函数y=x2-b|x|+1(b>0)的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．17(2023春•东台市校级期中)定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y=x2与y=-x2关于原点O互为“伴随函数”．(1)函数y=x+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为，函数y=(x-2)2+1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为2；(2)已知函数y=x2-2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m<x<7时，函数y=x2-2x 与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y=ax2-2ax-3a(a>0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y=ax2-2ax-3a(a>0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．18(2023春•北京月考)在平面直角坐标系xOy中．⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A′B′(A′，B′分别为A，B的对应点)，则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．(1)如图2，点A1，B1，A2，B2，A3，B3的横、纵坐标都是整数．①在线段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙O的关于直线y=x+2对称的“关联线段”是1B1　；②若线段A1B1，A2B2，A3B3中，存在⊙O的关于直线y=-x+m对称的“关联线段”，则m=；(2)已知直线y=-33x+b(b>0)交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1．若线段AB是⊙O的关于直线y=-33x+b(b>0)对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．。