圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题

巧解与圆有关的最值问题与圆有关的最值一般与圆的切线或圆心和半径有关系.解决这类问题大致可以分两步:1.将题目所给的式子赋予几何意义;2.数形结合解题;常见的数形结合点是过两点的斜率,两点见的距离,圆方程,直线方程,直线在y 轴上的截距等.例:已知实数y x ,满足03422=+-+x y x . 1>.ax b y --型,表示过点()y x ,与点()b a ,的斜率; 如:求2+x y 的最大值;它表示点()02,-与点圆上任意点()y x ,连线的斜率最大值,先设过这两点的直线为()2+=x k y 由图可知直线与圆在第一象限相切时,k 取最大值.此时有41==⊥AC PC AP CP ,,所以1515=∠=PAC k tan .所以2+x y 的最大值为1515.2>.by ax +型,令by ax +t =,则b t x b a y --=.bt -是在y 轴上的截距. 如:x y 2-的最小值;令x y 2-t =,则t x y +=2.t 是直线t x y +=2在y 轴上的截距.由图可知当直线t x y +=2与圆C 在第四象限相切时,()0 t t 取最小值.此时有134=+t,43--=t .所以x y 2-的最小值为43--.3>.()()22b y a x -+-型,表示点()y x ,与点()b a ,之间距离的平方,也可以看成以()b a ,为圆心的圆的标准方程.如:()()2243++-y x 的最值.它表示圆上的点()y x ,与点()43-,的距离的平方的最值.如图所示:很显然两点之间距离的最大值是1AP 1+=AC =117+,最小值是2AP 1-=AC 117-=. 所以()()2243++-y x 的最大值就是()2117+,最小值是()2117-.4>.求直线方程;如：1.经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2123,的且被圆截得的弦长最长的直线方程.弦长最长即就是该弦为直径时,圆心坐标()02,已知,利用两点式可以写出直线方程;2. 经过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2123,的且被圆截得的弦长最短的直线方程.如图所示:当弦长最短时,AC l ⊥,1-=*L AC K K ,所以1=L k .则直线l 的方程利用点斜式可以写为2321-=-x y ,即:1-=x y。

第11题与圆有关的最值问题一、原题呈现【原题】已知点P 在圆 225516x y 上,点 4,0A 、 0,2B ,则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA 最小时,PB D.当PBA 最大时,PB 【答案】ACD【解析】圆 225516x y 的圆心为 5,5M ,半径为4,直线AB 的方程为142x y,即240x y ,圆心M 到直线AB11545,所以,点P 到直线AB的距离的最小值为425 ,最大值为4105,A 选项正确,B 选项错误；如下图所示：当PBA 最大或最小时,PB 与圆M 相切,连接MP 、BM ,可知PM PB ,BM,4MP ,由勾股定理可得BP选项正确.故选ACD.【就题论题】本题涉及的与圆有关的最值问题是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,圆上点到动直线的距离也会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离、角最二、考题揭秘【命题意图】本题考查圆的方程及直线与圆的位置关系,考查直观想象、逻辑推理及数学抽象的核心素养.难度：中等【考情分析】圆的方程及直线与圆的位置关系一直是高考热点,通常作为客观题考查,长度、面积的计算,参数问题及最值问题是考查热点.【得分秘籍】(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离(2)与圆上点(x ,y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题,可转化为过点(a ,b )和点(x ,y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题,可转化为动点到定点(a ,b )的距离平方的最值问题．(3)与距离最值有关的常见的结论：①圆外一点A 到圆上距离最近为AO r ,最远为AO r ；②过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦；③直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r ,最近为d r ；④过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.⑤直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离；⑥两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.(4)与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【易错警示】(1)不善于借助图形进行分析,导致解法方法错误(2)不善于运用圆的几何性质进行转化,导致运算量过大,以致运算失误三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）一、单选题1．（2021山东省淄博市高三一模）圆22280x y x 截直线 1y kx k R 所得的最短弦长为（）A ．B ．C ．D ．22．（2021江苏省百师联盟高三下学期3月联考）已知圆22:4230C x y x y ,过原点的直线l 与圆C 相交于,A B 两点,则当ABC 的面积最大时,直线l 的方程为（）A ．0y 或43y xB ．2y x 或12y x C ．0x 或13y xD ．34y x3．（2021湖南省郴州市高三下学期3月第三次质量监测）设点M 在圆222(0)x y r r 外,若圆O 上存在点N ,使得4OMN,则实数r 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．4．（2021福建省龙岩市高三5月模拟）已知P 是圆C ：2246110 x y x y 外一点,过P 作圆的两切线,切点为A ,B ,则PA PB的最小值为（）A ．6B ．4 C ．2D ．5．（2021福建省宁德市高三第一次质量检查）已知点(2,4)M ,若过点(4,0)N 的直线l 交圆于C ：22(6)9x y 于A ,B 两点,则||MA MB的最大值为（）A ．12B ．C ．10D ．6．（2021河北省邯郸市高三三模）已知点P 在直线4x y 上,过点P 作圆22:4O x y 的两条切线,切点分别为A ,B ,则点(3,2)M 到直线AB 距离的最大值为（）A B C ．2D ．7．（2021江苏省苏州市高三5月三模）在平面直角坐标系xOy 中,点Q 为圆M ：22(1)(1)1x y 上一动点,过圆M 外一点P 向圆M 引-条切线,切点为A ,若|PA |=|PO |,则||PQ 的最小值为（）A 1B 1C 1D ．1 8．（2021山东省济宁市高三二模）“曼哈顿距离”是由赫尔曼 闵可夫斯基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中,点 11,P x y 、 22,Q x y 的曼哈顿距离为：1212PQ L x x y y ．若点 1,2P ,点Q 为圆22:4C x y 上一动点,则PQ L 的最大值为（）A ．1B ．1C ．3D ．3 9．（2021山东省日照市高三第二次模拟）若实数x y 、满足条件221x y ,则21y x 的范围是（）A ．B ．3,5 C ．,1 D ．3,410．（2021江苏省南通市高三阶段性测试）在平面直角坐标系xOy 中,给定两点(1,2)M ,(3,4)N ,点P 在x 轴的正半轴上移动,当MPN 取最大值时,点P 的横坐标为（）A ．52B ．53C ．3D ．10311．（2021湖南省怀化市高三下学期3月一模）若实数,x y 满足x 则x 最大值是（）A ．4B ．18C ．20D ．2412．（2021湖北省鄂州高三3月月考）已知直线1:310l mx y m 与直线2:310l x my m 相交于点P ,线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y 的一条动弦,且||AB ,则||PA PB的最大值为（）A ．B ．C ．D ．2二、多选题13．（2021山东省淄博市高三三模）已知圆221:230O x y x 和圆222:210O x y y 的交点为A ,B ,则（）A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线B ．直线AB 的方程为10x y C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ ABD ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为214．（2021江苏省南通学科基地高三全真模拟）集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合22,925A x y xy , ,B x y y x m , ,2C x y y kx k 则下列说法中正确的有（）A ．若AB ,则实数m 的取值范围为 m m B ．存在k R ,使AC C ．无论k 取何值,都有A CD ．A C ∩的最大值为415．（2021河北省沧州市高三三模）已知点 2,4P ,若过点 4,0Q 的直线l 交圆C ： 2269x y 于A ,B 两点,R 是圆C 上一动点,则（）A ．AB 的最小值为B ．P 到l 的距离的最大值为C ．PQ PR的最小值为12 D ．PR 的最大值为316．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）已知直线:0l kx y 与圆22:2210M x y x y ,则下列说法中正确的是（）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k ,则直线l 与圆M 相切C ．当1k 时,直线l 与圆M 的相交弦最长D ．圆心M 到直线l 三、填空题17．（2021湖北省襄阳市高三5月第二次模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是：已知动点M 与两个定点A ､B 的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O ：x 2+y 2=1和点1,02A,点B (4,2),M 为圆O 上的动点,则2|MA |+|MB |的最小值为___________18．（2021华大新高考联盟高三下学期3月教学质量测评）已知点M 在抛物线C ：24y x 上运动,圆C 过点 5,0, , 3,2 ,过点M 引直线1l ,2l 与圆C 相切,切点分别为P ,Q ,则PQ 的取值范围为__________.19．（2021湖南省益阳市高三下学期4月模拟）已知圆O ：x 2+y 2=1,A (3,3),点P 在直线l ：x ﹣y =2上运动,则|PA |+|PO |的最小值为___________.20．（2021江苏省南通市高三下学期5月四模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的一种作图工具,如图,O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动.当点D 在滑槽AB 内作往复移动时,带动点N 绕O 转动,点M 也随之而运动.记点N 的运动轨迹为1C ,点M 的运动轨迹为2C .若1ON DN ,3MN ,过2C 上的点P 向1C 作切线,则切线长的最大值为___________.。

高中数学与圆有关的最值问题
在解决与圆有关的最值问题时，我们可以使用以下方法：
1. 建立坐标系：将问题转化为在坐标系中求最值的问题。

2. 确定变量：确定影响最值的变量，并建立函数关系式。

3. 利用函数的性质：利用函数的单调性、对称性、最值等性质，求出最值。

4. 结合圆的性质：利用圆的性质，如半径、弦长、圆心等，求出最值。

下面是一个例子：
求圆x^2 + y^2 = 4 上一点到原点的距离的最大值和最小值。

解：设圆上的点为(2cosθ, 2sinθ)，则该点到原点的距离为√(4cos^2θ+ 4sin^2θ) = 2。

因此，最大值为2+2=4，最小值为2-2=0。

数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。

专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。

与圆有关的最值范、围问题的求解策略知识梳理 (1)要紧类型：①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．③过圆内必然点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值． ⑥解决与圆有关的最值问题的经常使用方式（1）形如u ＝y －bx －a 的最值问题，可转化为定点(a ，b )与圆上的动点(x ，y )的斜率的最值问题（2） 形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径1 、已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，那么PQ 的最小值为 .二、已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，那么QABS的最小值为 .3、由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，那么切线长的最小值为五、 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当|PT |最小时，点P 的坐标是( )A ．(－1,1)B ．(0,2)C ．(－2,0)D ．(1,3)六、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，那么当PC= 时，APB ∠最大．7、已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，那么四边形PACB 面积的最小值为 .八、已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标． 类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值九、假设实数x 、y 知足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．类型三：抓居处求式的几何意义转化为线性计划问题求最值 10、已知x ，y 知足x 2＋y 2＝1，那么y －2x －1的最小值为________．1一、P (x ，y )在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上移动，那么x 2＋y 2的最小值为________．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方式处置几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．现在应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．1二、已知圆O ：221x y +=，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为 类型五：向大体不等式问题转化13、已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交圆C与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．题型 有关定直线、定圆的最值问题13、 已知x ，y 知足x ＋2y －5＝0，那么(x －1)2＋(y －1)2的最小值为________． 题型三 综合性问题(1)圆中有关元素的最值问题(2)与其他知识相结合的范围问题14 、已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是________．1五、（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤那么点P 的横坐标的取值范围是 .1六、已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点． (1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点别离为P ，Q ，求∠PAQ 的大小； (2)假设圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值范围．。

点圆关系问题三、利用坐标特性进行转换【经典例题5】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A (0，1)、B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，点P 在以D(4，4)为圆心，1 为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则 t 的最大值是 .【解析】如图，连接AP ，∵点A(0，1)、点B(0，1+t)、C(0，1−t)(t>0)，∴AB=(1+t)−1=t ，AC=1−(1−t)=t ，∴AB=AC ，∵∠BPC=90∘，∴AP=21BC=AB=t ， 要t 最大，就是点A 到⊙D 上的一点的距离最大，∴点P 在AD 延长线上，∵A(0，1)，D(4，4)，∴AD=()51-4162=+， ∴t 的最大值是AP=AD−PD=5+1=6，最小值为4.故答案为：6，练习5-1如图，已知直线y=43x −3与x 轴、y 轴分别交于A. B 两点，P 是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA 、PB.则△PAB 面积的最大值是( ) A. 8 B. 12 C. 221 D. 217【解析】∵直线y=43x −3与x 轴、y 轴分别交于A. B 两点， ∴A 点的坐标为(4，0)，B 点的坐标为(0，−3)，3x −4y−12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC ，则由三角形面积公式得：21×AB×CM=21×OA×OC+21×OA×OB ， ∴5×CM=4×1+3×4，∴CM=516， ∴圆C 上点到直线y=43x−3的最大距离是1+516=521， ∴△PAB 面积的最大值是21×5×516=221， 故选：C.练习5-2如图，直线y=43x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是以C(1，0)为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA ，PB ，则△PAB 面积的最小值是( )A. 5B. 10C. 15D. 20【解答】作CH ⊥AB 于H 交⊙O 于E. F.∵C(1，0)，直线AB 的解析式为y=43x +3， ∴直线CH 的解析式为y=34-x +34， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=3433434x y x y 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=51254y x ，∴H(−54，512)， ∴CH=22)512()541(++=3， ∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，AB=5，∴EH=3−1=2，当点P 与E 重合时，△PAB 的面积最小，最小值=21×5×2=5，练习5-3如图，已知直线y=343-x 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA 、PB ，当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为________．【解析】过C 作CM ⊥AB 于M ，交x 轴于E ，连接AC ，MC 的延长线交⊙C 于D ，作DN ⊥x 轴于N ，∵直线y=343 x 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点， 令x=0，得y=-3，令y=9，得x=4 ∴A(4，0)，B(0，−3)，∴OA=4，OB=3，∴AB=则由三角形面积公式得，21×AB×CM=21×OA×BC ， ∴ 21×5×CM=21×4×(1+3)， ∴CM=516∴BM=∴圆C 上点到直线y=343 x 的最大距离是DM=1+ 516 = 521 当P 点在D 这个位置时，△PAB 的面积最大， ∵∠CMB=∠COE=90°，∠OCE=∠MCB ，∴△COE ∽△CMB ，∴∴∴OE=43，CE=45， ∴ED=1+45=49∵DN ⊥x 轴，∴DN ∥OC ，∴△COE ∽△DNE ，∴ ，即∴DN=59，NE=2027∴ON=NE−OE=2027−43=53∴D(−53，59)∴当△PAB 的面积最大时，点P 的坐标为(−53，59)故答案为：(−53，59)练习5-4在平面直角坐标系xOy 中，A(-m,0) ，B(m,0) （其中m>0 ），点P 在以点C(3,4)为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足∠APB=90°，（1）线段OP 的长等于________（用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为________．【解析】（1）∵OA=OB=m ，∴OP=21AB=m ； （2）连结OC 交⊙C 于D ，则OD 最短，∵OC==5，∴OD=OC －r=5－2=3．∴m 的最小值为3．故答案为（1）m ；（2）3．练习5-5如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C(-72，)为圆心，1为半径的⊙O 上的一个动点，已知A(-1，0)，B(1，0)，连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是 .【解析】P （x,y ），根据两点间距离公式PA 2=（x+1）2+y 2PB 2=（x-1）2+y 2OP 2=x 2+y 2当点P 处于OC 与圆的交点上是，OP 取得最值所以OP 最小值为CO-CP=15【经典例题6】如图，抛物线y=41x 2-4与x 轴交于A ，B 两点，P 是以点C （0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 是线段PA 的中点，连接OQ 。

专题09 圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。

故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。

如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。

例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．例2．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的PC的最大值为_____．一个动点，则PD﹣12例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B а，B e 的半径为2，P 为B e 上一动点，则12PD PC +的最小值_______．PC PD 的最小值_______∵221PB BG ==，422BC PB ==，∴PB BC BG PB =，∵PBG PBC Ð=Ð，∴PBG CBP D D :，∴PG BG PC PB =∴1PG PC =，∴1PD PC DP PG +=+，∵DP +3∵四边形ABCD 是菱形，且60ABC Ð=°，　∴AC ⊥BD ，∠AOB =90°，∠ABO =∠CBO =12∠ABC =30°，例4．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为___．例5．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+12BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有CDCP=CPCB=12，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴PDBP=12，∴PD=12BP，∴AP+12BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，13AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是 CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例6．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q ，BC PB PBG CBP \V :V ，\23PG PC \=，PD \221PB BG ==Q ，422BC PB ==，PBG CBP \V :V ，PG BG PC PB \=PD PG DG +³Q （当且仅当G PD PG \+的最小值为DG ， 例7．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点A B 、，则所有符合0(PA k k PB=>且1)k ¹的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OP k OD =，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==，又,POD MOP POM DOP Ð=Ð\Q V :V .任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D Ð=°==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练2．（2023·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（ ）A．B．12C．2D．8，3．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．4．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，∠C =90°，CA =3，CB =4．C e 的半径为2，点P 是C e 上一动点，则12AP BP +的最小值______________23+PB PA 的最小值_______∵12DC PC PC BC ==，∠PCD =∠BCP ，PDC BPC D ∽，∴12PD PB =，且12PA PB PA PD AD +=+³，∴229110AC CD =+=+=，∴PA PB 1+的最小值为10，故答案为：10；∵221PB BG ==，422BC PB ==，∴PB BC BG PB =，∵PBG PBC Ð=Ð，∴PBG CBP D D :，∴PG PC ∴12PG PC =，∴12PD PC DP PG +=+，3∵四边形ABCD 是菱形，且60ABC Ð=°，∴AC ⊥BD ，∠∴AO =12AB =2，BO =22224223AB AO -=-=，∴BD【答案】410【分析】延长OB 到2CM DM +的最小值问题转化为求【详解】解：延长6OM =Q ，3OD DB ==，MOD TOM Ð=ÐQ ，MOD \△2CM DM CM MT CT +=+³Q【答案】17【分析】取点(0,1)T ，连接PT ，12PT OP PA OA ==，进而可得12PT =则有1172BP AP +³，问题得解．【详解】解：如图，取点(0,1)T ，连接(0,1)T Q ，(0,4)A ，(4,0)B ，OT \2OP =Q ，2OP OT OA \=×，\OP OT11．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，在RT△ABC中，∠，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C，点P为圆B上的一动点，求AP PC的最小值．12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：图1 图2 图3（1）初步思考：如图1， 在PCB D 中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12 PD PC-的最大值．PB BC13．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，C e 的半径为2，点P 是C e 上的一动点，则12AP PB +的最小值为？由题意得：PC =2，∵CD =1，BC ∵∠PCB =∠PCD ，∴△PCD ∽△BCP14．（2022·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在Rt ABC △中，90C =o ∠，4CB =，6CA =，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求12AP BP +的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使1CD =，则12CD CP CP CB ==．又PCD BCP Ð=Ð，所以PCD V ∽BCP V ．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，90COD Ð=o ，6OC =，3OA =，5OB =，P 是 CD上一点，求2PA PB +的最小值．OP ，OAP ∽OPE V ，∴OA OP OP OE ==、P 、B 三点共线时，15．（2022·广东·九年级专题练习）如图，点A 、B 在O e 上，且OA ＝OB ＝6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O e 上．求2PC ＋PD 的最小值．16．【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB．【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为 ；＝ ．（2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长．【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接PA，PB，则3PB+2PA的最小值为 ．【解答】解：（1）∵AC2＝CD•BD，∴4CD＝4，∴CD＝1，∴BD＝BC﹣CD＝3，∵△CAB∽△CAD，∴＝＝＝，故答案是3，；（2）如图1，∵＝，∴∠B＝∠CAE，由上知，∴△ACE∽△BCA，∴＝＝＝＝，AC2＝CE•BC，∴AC＝2CE，∴4CE2＝CE•（CE+15），∴CE＝5，∴CD＝AC＝2CE＝10；【灵活运用】如图2，由题意得，OA ＝OB ＝9，∵且m 2+n 2＝36，∴OP ＝6，在OA 上截取OC ＝4，∴＝，又∵∠AOP 是公共角，∴△AOP ∽△POC ，∴＝，∴PA ＝PC ，∴PB +PA ＝PB +PC ≥BC ，当B 、P 、C 共线时，（PB +PC ）最小＝BC ＝＝，∵3PB +2PA ＝3（PB +PA ），∴（3PB +2PA ）最小＝3，故答案是3．17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求：①12AP BP +，②2AP BP +，③13AP BP +，④3AP BP +的最小值．∵1CD =，2CP =，4CB =∴12PD BP =，即12PD BP =，∴当A 、P 、D 三点共线时，∵在Rt ACD V 中，AD AC =②∵122(2AP BP AP BP +=+∵23CE =，2CP =，CA =又∵ECP PCA Ð=Ð，∴ECP V ∴当B 、P 、E 三点共线时，【问题呈现】如图1，∠AOB=90°，OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求12 AP【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以CP AP=又因为，所以1AP BP+[能力提升]在BC 上取一点E 2163CE BE \==，41123CF BF ==连接DE ，DF ，由DEC DBE S EC S BE =V V \点E ，F 到BD ，CD 的距离相等，Q 点D 是平面内任意一点，过点O 作DG AB ^交AB 的延长线于点【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点PC ，若有222PA PB PC =+，则称点P 为V (1)如图2，在55´的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B 、C 、点D 是ABC V 关于点______的勾股点；若点F 在格点上，且点E 是ABF △中画出ABF △；(2)如图3，菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是平面内一点，且点点E 的勾股点．①求证：OE AB =；②若12OA =，1OB =，则AE 的最大值为③若12OA =，1OB =，且ABE V 是以AE 为底的等腰三角形，求AE 的长．（2）解：①∵点O是∵菱形ABCD中，AC②∵12OA=，1OB=，∴点E在以O为圆心，半径为（3）解：如图4，在BC 上取点∵C 是ABE V 关于点A 的勾股点，在Rt ABC △中，22AC AB =又∵ECB FCE Ð=Ð，∴CFE △∴34AE BE AE EF +=+，∴当【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．。