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第二章直线和圆的方程（思维导图+知识清单）【人教A版（2019）】2.1 直线的倾斜角与斜率【知识点1 直线的倾斜角与斜率】1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°斜率(范围)k ＝0k >0不存在k <0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【知识点2 两条直线平行的判定】1．两条直线(不重合)平行的判定类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1＝k 2l 1∥l 2⇔两直线的斜率都不存在图示【知识点3 两条直线垂直的判定】1．两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【注】判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．2.2 直线的方程（一）：直线方程的几种形式【知识点1 直线的点斜式、斜截式方程】1．直线的点斜式方程(1)直线的点斜式方程的定义：设直线l经过一点，斜率为k，则方程叫作直线l的点斜式方程.(2)点斜式方程的使用方法：①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为l上每一个点的横坐标都等于x1，所以直线方程为x=x1；若直线的倾斜角，则直线的斜率，直线的方程为.2．直线的斜截式方程(1)直线的斜截式方程的定义：设直线l的斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线方程为y=kx+b，这个方程叫作直线l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.【知识点2 直线的两点式、截距式方程】1．直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义：设直线l经过两点()，则方程叫作直线l的两点式方程.(2)两点式方程的使用方法：①已知直线上的两个点，且时，可以直接使用该公式求直线方程.②当(或③当时，直线方程为().2．直线的截距式方程(1)直线的截距式方程的定义：设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a≠0，b≠0，则方程l的截距式方程.(2)直线的截距式方程的适用范围：选用截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线l在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.(3)截距式方程的使用方法：①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为0时，可以直接使用该公式求直线方程.②已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为y=kx，利用直线经过的点的坐标求解k，得到直线方程.【知识点3 直线的一般式方程】1．直线的一般式方程(1)直线的一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.对于方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成y=x它表示斜率为，在y轴上的截距为线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成x=x轴的直线.(2)一般式方程的使用方法：直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.2．辨析直线方程的五种形式方程形式直线方程局限性选择条件点斜式不能表示与x轴垂直的直线①已知斜率；①已知一点斜截式y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线①已知在y轴上的截距；①已知斜率两点式不能表示与x轴、y轴垂直的直线①已知两个定点；①已知两个截距截距式不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线①已知两个截距；①已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积一般式Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程【知识点4 方向向量与直线的参数方程】除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.如图1，设直线l经过点，=(m,n)是它的一个方向向量，P(x,y)是直线l上的任意一点，则向量与共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使=t，即)=t(m,n)，所以①.在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数.由上可知，对于直线l上的任意一点P(x,y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x,y).我们把①称为直线的参数方程.2.3 直线的方程（二）【知识点1 求直线方程的一般方法】1．求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).【知识点2 两条直线的位置关系】1．两条直线的位置关系斜截式一般式方程l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2相交k1≠k2（当时，记为）垂直k1·k2=-1（当时，记为）平行k1=k2且b1≠b2或（当时，记为）重合k1=k2且b1=b2A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)（当时，记为）2平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.3．垂直的直线的设法垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.【知识点3 直线方程的实际应用】1．直线方程的实际应用利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.2.4 直线的交点坐标与距离公式【知识点1 两条直线的交点坐标】1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线直线.方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行【知识点2 距离公式】平面内两点间的距离公式为.特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP.2．点到直线的距离公式(1)定义：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.(2)公式：已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d3．两条平行直线间的距离公式(1)定义两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.(2)公式设有两条平行直线d.4．中点坐标公式公式：设平面上两点，线段的中点为，则.2.5 点、线间的对称关系【知识点1 点关于点的对称】1．点关于点的对称【知识点2 直线关于点的对称】1．直线关于点的对称【知识点3 点关于直线的对称】1．两点关于某直线对称(4)几种特殊位置的对称：点对称轴对称点坐标P(a,b)x轴(a,-b)y轴(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a) x=m(m≠0)(2m-a,b) y=n(n≠0)(a,2n-b)【知识点4 直线关于直线的对称】2.6 圆的方程【知识点1 圆的方程】1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2．圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3．圆的一般方程(1).(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；方程，求待定系数D，E，F.【知识点2 二元二次方程与圆的方程】1．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：二元二次方程，对比圆的一般方程我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是.【知识点3 点与圆的位置关系】1．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为A的一般方程为.平面内一点.判断方法位置关系几何法代数法(标准方程) 代数法(一般方程)点在圆上|MA|=r(x0-a)2 +(y0-b) 2=r2点在圆内|MA|<r(x0-a)2 +(y0-b) 2<r2点在圆外|MA|>r(x0-a)2 +(y0-b) 2>r2【知识点4 轨迹方程】求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.2.求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；(2)列出关于x,y的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答.【知识点5 与圆有关的对称问题】1．与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.(2)圆关于点对称①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.(3)圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.2.7 直线与圆的位置关系【知识点1 直线与圆的位置关系及判定】1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下：位置相交相切相离交点个两个一个零个数图形d与r的关系d<r d=r d>r方程组解的情况有两组不同的解仅有一组解无解(2)直线与圆的位置关系的判定方法①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.①几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【知识点2 圆的切线及切线方程】1．自一点引圆的切线的条数：(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.2．求过圆上的一点的圆的切线方程：(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程.(2)重要结论：①经过圆上一点P.②经过圆上一点P的切线方程为③经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.【知识点3 圆的弦长】1．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为(1)几何法如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：(2)代数法将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为B.①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得的关系式，通常把或叫作弦长公式.【知识点4 与圆有关的最值问题的解题策略】1．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离；②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.①形如u=.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题..(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.【知识点5 直线与圆的方程的应用】1．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据；②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.(2)建系原则建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.2.8 圆与圆的位置关系【知识点1 圆与圆的位置关系及判定】1．圆与圆的位置关系及判断方法(1)圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切统称为相切.(2)圆与圆的位置关系的判定方法①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：与d，则d=位置关系关系式图示公切线条数外离d>r1+r2 四条外切d=r1+r2三条相交|r1-r2|<d<r1+r两条2内切d=|r1-r2|一条内含0≤d<|r1-r2| 无②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.当>0时，两圆有两个公共点，相交；当=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当<0时，两圆无公共点，包括内含与外离.【知识点2 两圆的公切线】1．两圆的公切线(1)两圆公切线的定义两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.(2)两圆的公切线位置的5种情况①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；③相交时，有2条公切线，都是外公切线；④内切时，有1条公切线；⑤内含时，无公切线.判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。
第2章直线和圆的方程章末重难点归纳总结重点一 直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110PA k -+==--，直线PB 的斜率11120PB k +==-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．故选：C【例1-2】（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈； ①若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ①若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α． 【答案】①①①【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误； 对于①中，当倾斜角[0,)2πα∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >；当倾斜角(,)2παπ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以①错误；对于①中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以①错误.故答案为：①①①. 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2【答案】BCD 【解析】由题意得110132AB a a k a a+-==<----，即20a +>，所以2a >-，故选：BCD ．2．（2022·黑龙江黑河）直线l 经过点()1,1P -和以()()3,1,3,2M N -为端点的线段相交，直线l 斜率的取值范围是（ ） A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】D【解析】13,22PM PN k k =-=，画出图象如下图所示，由图可知，直线l 的斜率k 满足PN k k ≥或PM k k ≤ 所以直线l 的斜率的取值范围是13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故选：D3．（2022·全国·高二课时练习）已知()3,1A ，()1,2B ，若直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(2,1)-【答案】A【解析】直线20x ay +-=过点()2,0C ， 画出图象如下图所示，20212BC k -==--，10132AC k -==-， 由于直线20x ay +-=与线段AB 没有公共点，当0a =时，直线2x =与线段AB 有公共点，不符合题意， 当0a ≠时，直线20x ay +-=的斜率为1a -，根据图象可知1a-的取值范围是()()2,00,1-⋃，所以a 的取值范围是1(,1),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A重点二 直线的位置关系【例2-1】（2022·江西）已知条件p ：直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，条件q ：1a =，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行，则221a a =+，故1a =或12a =-．当1a =时，()2110a x a y ++-=即为2+-1=0x y ，此时直线2-40x y +=与直线()2110a x a y ++-=平行；当12a =-时，()2110a x a y ++-=为111024x y +-=，即2-40x y +=，此时直线2x ＋y －4＝0与直线()2110a x a y ++-=重合，不符合，即1a =，故p 是q 的充要条件．故选：A ．【例2-2】．（2022·河南）已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =， 所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件． 故选：B ． 【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12//l l ，则斜率12k k =； ①若斜率12k k =，则12//l l ； ①若12//l l ，则倾斜角12a a =；①若倾斜角12a a =，则12//l l ； 其中正确命题的个数是______． 【答案】4【解析】因为1l 与2l 为两条不重合的直线，且它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k . ①由于斜率都存在，若12//l l ，则12k k =，此命题正确；①因为两直线的斜率相等即斜率12k k =，得到倾斜角的正切值相等即12tan tan a a =，即可得到12a a =，所以12//l l ，此命题正确；①因为12//l l ，根据两直线平行，得到12a a =，此命题正确；①因为两直线的倾斜角12a a =，根据同位角相等，得到12//l l ，此命题正确； 所以正确的命题个数是4． 故答案为：4．2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（ ） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =【答案】A【解析】因为直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，易知0a =时，两直线垂直， 所以l m ∥的充要条件是11a aa a=≠，即1a =-． 故选：A ．3．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）（多选）若直线过点()1,2P 且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ） A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y ++=【答案】ABC【解析】A ：显然()1,2P 在10x y -+=上，且在x 、y 轴上的截距均为1，符合； B ：显然()1,2P 在30x y +-=上，且在x 、y 轴上的截距均为3，符合； C ：显然()1,2P 在20x y -=上，且在x 、y 轴上的截距均为0，符合； D ：()1,2P 不在10x y ++=上，不符合. 故选：ABC4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（ ） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在 C ．直线l 可能过点()2,1 D ．直线l 的横、纵截距可能相等 【答案】BD【解析】因为直线:10l x my m -+-=， 若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确； 若0m ≠，则直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误； 将点()2,1代入直线方程得2110m m -+-=≠，故C 错误； 令1m =，则直线方程为0x y -=，横纵截距均为0，故D 正确． 故选：BD5．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值可能为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3【答案】AD【解析】由题意得(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=.解得1a =-或3a =． 故选：AD ．6．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，下列命题中正确的有（ ）A ．当3m =时，1l 与2l 重合B ．若12l l ∥，则0m =C ．1l 过定点(6,0)-D ．2l 一定不与坐标轴平行【答案】AC【解析】当3m =时，直线1:360l x y ++=，直线2:360l x y ++=，即两直线重合，故A 正确； 当12l l ∥时，有(2)3m m -=且26(2)m m ≠-，解得1m =-，故B 错误； 因为6060m -+⨯+=，所以直线1l 过定点(6,0)-，故C 正确；当2m =时，直线24:3l y =-与x 轴平行，故D 错误；故选：AC ．重点三 直线与圆的位置关系【例3-1】（2022·全国·高二单元测试）已知直线1l ：122y x =+，直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线，则直线2l 的方程是（ ） A ．3yxB ．1533y x =+C ．37y x =-+D ．37y x =+【答案】D【解析】设直线1l 的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，又直线2l 是直线1l 绕点()2,1P -逆时针旋转45︒得到的直线， 所以直线2l 的倾斜角为45θ+︒，故直线2l 的斜率为()11tan tan 452tan 45311tan tan 45112θθθ++︒+︒===-⋅︒-⨯， 故直线2l 的方程是()132y x -=+，即37y x =+， 故选：D ．【例3-2】（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）过点4,2P 且与直线3460x y -+=垂直的直线方程是（ ） A ．43190x y --= B ．43100x y +-= C ．34160x y --= D ．3480x y +-=【答案】B【解析】由题设，与直线3460x y -+=垂直的直线斜率为43-，且过4,2P ，所以42(4)3y x +=--，整理得43100x y +-=.故选：B【例3-3】（2022·福建省福州第二中学高二期末）已知直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=，则aba b+的最大值为（ ） A ．322+ B ．322-C 2 D ．16【答案】B【解析】圆C ：222420170x y x y +---=，∴圆心(1,2)C ，直线()100,0ax by a b +-=>>平分圆C ：222420170x y x y +---=， ∴直线()100,0ax by a b +-=>>过圆心(1,2)C ，即()210,0a b a b +=>>， 11112()(2)3223a b b aa b ab a b a b a b+∴=+=++=++≥， (322)322223(223)(322)ab a b -∴≤=-+++-当且仅当2b a a b =，即22212b a ==，ab a b +的最大值为322- 故选：B【一隅三反】1（2022·云南曲靖·高二期末）（多选）已知圆22(1)(1)4x y -+-=与直线20x my m +--=，则（ ） A ．直线与圆必相交B ．直线与圆不一定相交C ．直线与圆相交所截的最短弦长为23D ．直线与圆可以相切【答案】AC【解析】由题意，圆22(1)(1)4x y -+-=的圆心()1,1C ，半径2r =，直线20x my m +--=变形得()210x m y -+-=，得直线过定点()21A ，， ①()()22211112CA =-+-<，①直线与圆必相交，故A 对，B 、D 错；由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为22223r CA -C 对； 故选：AC ．2．（2022·全国·高二课时练习）方程()2y k x =-表示（ ） A ．通过点()2,0的所有直线B ．通过点()2,0且不垂直于y 轴的所有直线C ．通过点()2,0且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点()2,0且除去x 轴的所有直线 【答案】C【解析】(2)y k x =-为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点()2,0． 故选：C3．（2022·全国·高二课时练习）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 的斜率可以等于0 B ．直线l 的斜率有可能不存在C ．直线l 可能过点()2,1D ．直线l 在x 轴、y 轴上的截距不可能相等【答案】B【解析】若0m =，则直线的斜率不存在，故B 正确； 若0m ≠，直线的斜率存在，且斜率1k m=，不可能为0，故A 错误； 将点(2,1)代入直线方程得：2110m m -+-=≠，故C 错误；令1m =，则直线方程为：0x y -=，横纵截距均为0，故D 错误.故选：B.重点四 圆与圆的位置关系【例4-1】（2022·全国·高二课时练习）“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，22(0)021a --+=+，所以a ＝－3或a ＝3； 22(0)021a --+=-，所以a ＝1或a ＝－1． 当3a =时，圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切，所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分条件． 当圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切时，3a =不一定成立， 所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的不必要条件． 所以“a ＝3”是“圆221x y +=与圆()224x a y ++=相切”的充分不必要条件． 故选：A 【一隅三反】1．（2022·全国·高二课时练习）已知圆221:1C x y +=和222:540C x y x +-+=，则两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离【答案】C【解析】由题意，知圆1C 的圆心1(0,0)C ，半径1r =.圆2C 的方程可化为225924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则其圆心25,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径32R =.因为两圆的圆心距12531+22C C R r ===+，故两圆外切. 故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知圆1O 的方程为()()224x a y b -+-=，圆2O 的方程为()2211x y b +-+=，其中a ，b ∈R ．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】ABD【解析】由题意可得圆心()1,O a b ，半径12r =，圆心()20,1O b -，半径21r =，则2121211O O a r r =+=-，所以两圆不可能内含．故选：ABD ．3．（2022·山东青岛·二模）（多选）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（ ） A ．圆C 的半径3r =B ．点(1,22在圆C 的内部 C ．直线:330l x y +=与圆C 相切D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交【答案】ACD【解析】由2260x y x +-=，得22(3)9x y -+=，则圆心(3,0)C ，半径13r =， 所以A 正确，对于B ，因为点(1,2222(31)(022)233-+-=>，所以点(1,22在圆C 的外部，所以B 错误，对于C ，因为圆心(3,0)C 到直线:330l x y +=的距离为()12233313d r +===+，所以直线:330l x +=与圆C 相切，所以C 正确，对于D ，圆()22:14C x y '++=的圆心为(1,0)C '-，半径22r =，因为2(31)4CC '=+=，12124r r r r -<<+，所以圆()22:14C x y '++=与圆C 相交，所以D 正确， 故选：ACD重点五 切线问题【例5-1】（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆22:124C x y 的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（ ） A 6B 10 C 14D ．32【答案】C【解析】由圆22:124C x y ，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆22:124C x y 的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上， 所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ， 所以()223332AC =-+=所以22218414AB AC =--故选：C【例5-2】．（2022·全国·高三专题练习）直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为25r b + 因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长， 所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =， 由已知()1,2P --，(2,2)C ，22||=3+4PC ，圆的半径为3， 所以224PQ PC r =-=， 故选：B.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）设点()P a b ，为直线3y x =-上一点，则由该点向圆222430x y x y ++-+=所作的切线长的最小值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由题知3a b =+，圆化简为：22(1)(2)2x y ++-=，则圆心()12-，2 所以由点()a b ，向圆所作的切线长为：()()()()22221223122a b b b ++--=+++--()2224182116b b b ++++ 当1b =-时，切线长取得最小值4. 故选：C.2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知圆22:4480C x y x y +---=，直线:280l x y -+=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为点A ，B ，圆C 的圆心为C ，当四边形PACB 的面积最小时，AB =（ ） A 25B 45C 65D 85【答案】D【解析】圆C 化为()()222216x y -+-=，①圆心为()2,2C ，半径为4.若使四边形PACB 的面积最小，则需使PAC △的面积最小，即PA 最小， ①22PC PA AC =+C 到直线l 的距离，2228255d ⨯=-+=此时25PC =2PA =， 111222AB PC PA AC ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭， ①85225AB =. 故选：D3．（2022·全国·高二专题练习）若直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ，则AB =（ ）A ．1B 2C 3D ．22【答案】C【解析】如下图所示，设直线l 交x 轴于点M ，由于直线l 与圆()221:11C x y ++=，圆()222:14C x y -+=都相切，切点分别为A 、B ， 则1AC l ⊥，2BC l ⊥，12//AC BC ∴，2122BC AC ==，1C ∴为2MC 的中点，A ∴为BM 的中点，1122MC C C ∴==， 由勾股定理可得22113AB MA MC AC ==-=故选：C.4．（2022·广东）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______． 【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =， 所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ， 所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=. 故答案为：20x y +-=5．（2022·全国·高二课时练习）设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若23AB =l 的方程为___________. 【答案】0x =或34120x y +-=【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =， 由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或013x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 此时23AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =， 所以圆心C 到直线l 的距离2213211k k d k k -++++因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-， 所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=. 综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=. 故答案为：0x =或34120x y +-=6．（2022·河北衡水·高三阶段练习）过圆22:2O x y +=上一点P 作圆()()22:442C x y -+-=的切线，切点为Q ，则PQ 的最小值为___________.【答案】4【解析】由题意(4,4)C ，半径为2CQ2222PQ PC CQ PC =--224442CO =+22:2CO x y +=的半径为2r =min 42232PC = 所以2min (32)24PQ -=．故答案为：4．。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆、圆与圆的位置关系综合考点必刷题一、单选题1．（2022·全国高二课时练习）若点(4,2)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为（）A ．2100x y +-=B ．280x y --=C ．280x y +-=D ．260x y --=2．（2022·全国高二课时练习）已知圆221:84110C x y x y +--+=和圆222:230C x y y ++-=，则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．（2022·全国高二课时练习）已知圆22:()4(0)M x a y a -+=>与圆221:()1x y N +-=外切，则直线0x y --=被圆M 截得的线段的长度为（）A ．1BC ．2D ．4．（2022·全国高二课时练习）若直线:20l kx y --=与曲线1C x =-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．442,,233⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国高二专题练习）不经过坐标原点的直线:0l x y m ++=被曲线22:2220C x y x y +---=截得的弦的长度等于l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（）A ．22440x y x y +--=B ．22440x y x y +++=C ．22330x y x y +++=D ．22220x y x y +--=6．（2021·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度为M 与圆22:61240N x y x y +---=的位置关系是（）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离7．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+=被圆224x y +=截得的弦长为(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·云南弥勒市一中高二月考（理））已知圆()22:116C x y ++=，过点()0,1P 的直线l 交C 于A ，B 两点，当圆上的点到直线l 的距离最大为6时，直线l 的方程为（）A ．1x =B ．1y =或0x =C ．1y =D ．1x =或0y =9．（2021·南昌市豫章中学高二开学考试（文））若圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，则实数a 的取值范围是（）A ．2921,44⎡⎤-⎢⎣⎦B ．91,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．91,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．2921,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭10．（2021·山东聊城·）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,2B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞U D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞二、多选题11．（2021·全国高二单元测试）已知圆22:40C x y x +-=上存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交，则实数m 的值可以是（）A ．14B ．2C ．4D ．812．（2022·全国高二专题练习）已知圆22:68210C x y x y +--+=，O 为坐标原点，以OC 为直径的圆C '与圆C 交于AB 两点，则（）A ．圆C '的方程为22340x y x y +--=B ．直线AB 的方程为34210x y --=C ．,OA OB 均与圆C 相切D ．四边形CAOB 的面积为13．（2021·湖南长沙·高二期末）已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于A ､B 两点，若ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（）A ．12B ．1C ．2D ．314．（2021·全国高二单元测试）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．||PQ 的最小值为0B ．||PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交弦所在直线的方程为68250x y --=15．（2022·全国高二专题练习）过直线()40x y x +=<<4上一点P 作圆O ：224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与x ，y 轴分别交于点M ，N ，则（）A ．点O 恒在以线段AB 为直径的圆上B ．四边形PAOB 面积的最小值为4C ．AB的最小值为D ．OM ON +的最小值为416．（2022·全国高二专题练习）已知圆221:1C x y +=，圆()()()2222:340C x y r r -++=>，则（）A ．若圆1C 与圆2C 无公共点，则04r <<B ．当=5r 时，两圆公共弦长所在直线方程为6810x y --=C ．当2r =时，P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，则PQ 的取值范围为[]28,D ．当04r <<时，过直线268260x y r -+-=上任意一点分别作圆1C 、圆2C 切线，则切线长相等三、填空题17．（2022·全国高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)(8)1C x y -+-=，圆222 (6)(69:)C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的标准方程是___________.18．（2022·全国高二专题练习）已知直线230x y +-=与圆C ：()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，则ABC 面积为___________.19．（2022·全国高二课时练习）当直线l ：()()121740m x m y m +++--=（R m ∈）被圆C ：()()222125x y -+-=截得的弦最短时，实数m 的值为______．20．（2021·安徽滁州·高二期中（文））已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点(0,4)P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长最长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为______.21．（2021·上海青浦·高二期末）已知点P （0，2），圆O ∶x 2+y 2=16上两点11(,)M x y ，22(,)N x y 满足(R)MP PN λλ→→=∈，则1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为___________.四、解答题22．（2022·全国高二专题练习）已知圆C 1：x 2＋y 2＋6x －4＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6y －28＝0.（1）求两圆公共弦所在直线的方程；（2）求经过两圆交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程.23．（2022·全国高二课时练习）已知圆C 的方程为224x y +=．（1）求过点()2,1P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点()2,1P ，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =m 的方程．24．（2022·全国高二课时练习）已知圆C 过点(0,2)M -，(3,1)N ，且圆心C 在直线210x y ++=上．（1）求圆C 的标准方程．（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于不同的两点A ，B ，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．25．（2021·全国高二单元测试）已知圆22:2430C x y x y ++-+=.（1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆C 外一点()11,P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，若||||PM PO =，求||PM 的最小值及使得||PM 取得最小值的点P 的坐标.26．（2021·全国高二单元测试）已知点(,)M x y 与两个定点1(26,1)M ，2(2,1)M 之间的距离的比为5:1，记点M 的轨迹为曲线C .（1）求点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹 C 是什么图形；（2）过点(2,3)Q -的直线l 被轨迹C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程.27．（2021·湖南岳阳·高二期末）已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()3,P p 分别作C 的两条切线PQ ，PR （Q 、R 为切点），()1,0B -，PB 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ABN 的面积最大？若存在，求出点P 坐标：若不存在，请说明理由.28．（2020·浙江高二期中）已知圆M过A，B，且圆心M在直线y x=上.(10,4)（1）求圆M的标准方程；-的直线m截圆M所得弦长为m的方程；（2）过点(0,4)（3）过直线l:x+y+4=0上任意一点P向圆M作两条切线，切点分别为C，D.记线段CD的中点为Q，求点Q到直线l的距离的取值范围.29．（2022·全国高二专题练习）已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S 的取值范围.第10页共25页2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：直线与圆、圆与圆的位置关系综合考点必刷题参考答案1．C【详解】2260x y x +-= 的圆心坐标为(3,0) ，∴所求直线的斜率1120243k =-=---，∴直线方程为1 2(4)2y x -=--，即280x y +-=，故选:C2．C【详解】圆1C 的标准方程为22(4)(2)9x y -+-=，则圆心为1(4,2)C ，半径13r =；圆2 C 的标准方程为22(1)4x y ++=，则圆心为2(0,1)C -，半径22r =.因为两圆的圆心距125C C =，所以1212C C r r =+，即圆1C 和圆2C 外切，可知两圆有3条公切线.故选：C.3．D【详解】圆22:()4(0)M x a y a -+=>的圆心为(),0M a ，半径为2,，圆221:()1x y N +-=的圆心为()0,1，半径为1，21=+，0a >，解得a =圆心()M到直线0x y -=的距离1d ==，∴直线0x y -被圆M截得的线段的长度为 =.故选：D.4．A【详解】直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x =-表示以点 (1,1)为圆心，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)．当直线 l 经过点(1,0)时， l 与曲线C 有两个不同的交点，此时2k =，直线记为1l ；当 l1=，得43k =，切线记为2l ．分析可知当423k <≤时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选：A ．5．A 【详解】曲线C 的方程可整理为：()()22114x y -+-=，则曲线C 为圆心为()1,1，半径为2的圆；∴圆心到直线l 的距离d =∴==解得：0m =或4m =-，又l 不经过坐标原点，4m ∴=-，即:40l x y +-=，l ∴与坐标轴的交点坐标为()4,0A ，()0,4B ，∴直线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为AB 中点()2,2M ，半径r =∴所求外接圆方程为()()22228x y -+-=，即22440x y x y +--=.故选：A.6．A 【详解】圆M 的圆心为()0,M a ，半径为1,0r a a =>，圆心()0,M a 到直线0x y +=，所以22222a a ⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()10,2,2M r =.圆N 的圆心为()3,6N ，半径27r =，215MN r r ==-，所以两个圆的位置关系是内切.故选：A 7．A 【详解】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，圆心到直线的距离1d =，所以22m n +的最小值为21d =.故选：A8．C 【详解】由点()0,1P 可得()2201116++<，所以点()0,1P 在圆的内部，设圆心到直线的距离为d ，则圆上的点到直线的距离的最大值为4d +，所以46d +=，可得2d =．当直线l 的斜率存在时，直线方程1y kx =+，即10kx y -+=，所以2d ==，解得0k =，所以直线方程为1y =；当直线的斜率不存在时，直线l 为0x =，不满足题意，故选：C ．9．A 【详解】解:将圆的方程化为标准形式得圆()()22216x a y -++=,所以圆心坐标为(),2a -,半径为4r =因为圆22224120x y ax y a +-++-=上存在到直线4320x y --=的距离等于1的点，所以圆心到直线的距离d 满足15d r ≤+=,即4455a d +=≤,解得:2921,44a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:A 10．C 【详解】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<解得02a <<或4a >故选：C 11．BC 【详解】方程2240x y x +-=可化为22(2)4x y -+=，所以04m ≤≤，224m n m +=，因为直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交，所以圆心 O 到直线l 的距离小于圆 O 的半径，即1r =所以11>，解得14m >.综上，144m <≤，故选：BC 12．AC 【详解】解：由圆22:68210C x y x y +--+=，得()()22344x y -+-=，则圆心()3,4C ，线段OC 的中点坐标为3,22⎛⎫⎪⎝⎭，则以OC 为直径的圆的方程为22325(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，整理得：22340x y x y +--=，即圆C '的方程为22340x y x y +--=，故A 正确；联立222234068210x y x y x y x y ⎧+--=⎨+--+=⎩，两式作差可得：34210x y +-=，即直线AB 的方程为34210x y +-=，故B 错误；∵,A B 在以OC 为直径的圆上，∴,CA OA CB OB ⊥⊥，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得,OA OB 均与圆C 相切，故C 正确；∵CA OA ⊥，且5,2OC CA ==，∴OA =∴四边形CAOB 的面积为1222S =⨯⨯=D 错误．故选：AC ．13．ACD 【详解】圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r =，由于ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则d =则0sin d CAB r <∠=整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<，且1a ≠.所以()(21,2a ∈-⋃+.故选A CD .14．BC 【详解】解：根据题意，圆221:1C x y +=，其圆心1(0,0)C ，半径1R =，圆222:68240C x y x y +-++=，即22(3)(4)1x y -++=，其圆心2(3,4)C -，半径1r =，圆心距12||5C C =，则||PO 的最小值为123C C R r --=，最大值为127C C R r ++=，故A 错误，B 正确；对于C ，圆心1(0,0)C ，圆心2(3,4)C -，则两个圆心所在的直线斜率404303k --==--，C 正确，对于D ，两圆圆心距125C C =，有122C C R r >+=，两圆外离，不存在公共弦，D 错误．故选：BC ．15．BCD 【详解】对于A ，在四边形PAOB 中，AOB ∠不一定是直角，故A 错误；对于B ，连接PO ，由题易知Rt Rt PAO PBO ≌，所以四边形PAOB 的面积1222S PA OA PA =⨯⋅==PO 的最小值为点O 到直线4x y +=的距离，即PAOB 面积的最小值为4=，B 正确；设(),P a b ，则以线段OP 为直径的圆的方程是()()0x x a y y b -+-=，与圆O 的方程224x y +=相减，得4ax by +=，即直线AB 的方程为4ax by +=，又点P 在直线4x y +=上，所以4a b +=，则4b a =-，代入直线AB 的方程，得()440a x y y -+-=，即()440a x y y -+-=，令x y =，则440y -=，得1x =，1y =，所以直线AB 过定点()1,1C ，所以OC =，数形结合可知AB 的最小值为=C 正确；在4a by +=中，分别令0y =，0x =得到点4,0M a ⎛⎫⎪⎝⎭，40,N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以44OM ON a b +=+，因为点(),P a b 在直线()40x y x +=<<4上，所以4a b +=且04a <<，04b <<，则()4411224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，所以OM ON +的最小值为4，D 正确．故选：BCD.16．BCD【详解】由题意，圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =；圆()()()2222:340C x y r r -++=>的圆心为()23,4C -，半径为r ；则圆心距为125C C ==；A 选项，若圆1C 与圆2C 无公共点，则只需121C C r <-或121C C r >+，解得6r >或04r <<，故A 错；B 选项，若=5r ，则圆()()222:3425C x y -++=，由221x y +=与()()223425x y -++=两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为6810x y --=，故B 正确；C 选项，若2r =，则()()222:344C x y -++=，此时125213C C =>+=，所以圆1C 与圆2C 相离；又P 、Q 分别是圆1C 与圆2C 上的点，所以()12121212C C PQ C C -+≤≤++，即28PQ ≤≤，故C 选项正确；D 选项，当04r <<时，由A 选项可知，两圆外离；记直线268260x y r -+-=上任意一点为()00,M x y ，则20068260x y r -+-=，所以1MC =，2MC ===，因此切线长分别为1d ==，2d ==，即12d d =，故D 正确；故选：BCD.17．2281x y +=【详解】设圆C 的方程为222()x a y r -+=，则圆C 与圆1C 的公共弦方程为22(28)16790()a x y r a --++-=*，因为圆C 平分圆1C 的圆周，所以直线()*经过圆1C 的圆心，即228810a a r --+=①，同理由圆C 平分圆2C 的圆周，得2212810a a r --+=②，由①②得0a =，281r =，故圆C 的标准方程为2281x y +=.故答案为：2281x y +=18．【详解】圆C 的圆心为()2,3，半径3r =，圆心到直线230x y +-=的距离为d ==所以4AB ===，所以11422ABC S AB d =⨯⨯=⨯=故答案为：19．34-【详解】直线l ：()()121740m x m y m +++--=，即()()2740m x y x y +-++-=，圆C ：()()222125x y -+-=的圆心()2,1C ，半径为5．由270,40,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得1,3,x y =⎧⎨=⎩故直线l 经过定点()1,3A ．要使直线l 被圆C 截得的弦长最短，需CA 和直线l 垂直，故1CA l k k ⋅=-，即31111221m m -+⎛⎫⋅-=- ⎪-+⎝⎭，解得34m =-．故答案为：34-．20．40【详解】圆M 的标准方程为22(3)(4)25x y -+-=，即圆是以(3,4)M 为圆心，5为半径的圆，且由22(03)(44)925-+-=<，知点(0,4)P 在圆内，则最短的弦是以(0,4)P 为中点的弦，所以2||2592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过(0,4)P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =，且AC BD ⊥，故1402ABCD S AC BD =⋅⋅=.故答案为：40.21．48【详解】由题意，,,M P N 三点共线，设T 为MN 的中点，,,M T N 在直线:34250l x y ++=的射影分别为111,,M T N ，点O 到直线:34250l x y ++=的距离|304025|545d ⨯+⨯+==>，∴:34250l x y ++=与圆22:16O x y +=相离，如图：而11221122|3425||3425||3425||3425|555x y x y x y x y ++++⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭()1115||||10||MM MM TT =+=，易得OT MN ⊥，即OT PT ⊥，∴T 在以OP 为直径的圆C 上，其中()0,1C .∵11|304125|24||||1155TT CT ⨯+⨯+≥-=-=，当1,,C T T 共线，且T 在1,C T 之间时取“=”.∴1122|3425||3425|x y x y +++++的最小值为2410485⨯=.故答案为：48.22．（1）x －y ＋4＝0；（2）x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.【详解】解：（1）设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组2222640 6280x y x x y y ⎧++-=⎨++-=⎩的解，两式相减得x －y ＋4＝0， A ，B 两点坐标都满足此方程，∴x －y ＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；(2)解方程组22226406280x y x x y y ⎧++-=⎨++-=⎩得两圆的交点A (－1，3)，B (－6，－2)，设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，所以b ＝a －4，a ＝12，所以圆心为17,22⎛⎫- ⎪⎝⎭所以圆的方程为212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋272y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.23．（1）2x =或34100x y +-=；（2）4350x y --=或1y =．【详解】解：（1）根据题意，点P 在圆外，分两种情况讨论：当直线l 的斜率不存在时，过点()2,1P 的直线方程是2x =，与圆C ：224x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，直线与圆相切时，圆心()0,02=，解得34k =-．此时，直线l 的方程为34100x y +-=．所以满足条件的直线l 的方程是2x =或34100x y +-=；（2）根据题意，若AB =m的距离1d ==，结合（1）知直线m 的斜率一定存在．设直线m 的方程为()12y n x -=-，即210nx y n --+=，则1d =，解得0n =或43n =．所以满足条件的直线方程是4350x y --=或1y =．24．（1）22(3)(2)9x y -++=；（2）不存在；理由见解析．【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则有1024201030DE EF D E F ⎧--+=⎪⎪-+=⎨⎪+++=⎪⎩，解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的方程为226440x y x y +-++=，化为标准方程，22(3)(2)9x y -++=．（2）设存在符合条件的实数a ，由于直线 l 垂直平分弦AB ，故圆心(3,2)C -必在直线 l 上，所以直线 l 的斜率2PC k =-，又1AB PC k a k ==-，所以12a =．把直线10ax y -+=，代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=．由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()22Δ3613610a a =--+>，解得0a <，与12a =矛盾，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线 l 垂直平分弦AB ．25．（1）(2y x =+或(2y x =或10x y ++=或 30x y +-=；（2）min PM =点P 的坐标为33 ,105⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】（1）将圆C 的方程化为标准方程，为22(1)(2)2x y ++-=，其圆心(1,2)C -，半径r =①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为y kx =，=，即2420k k --=，解得2k =±.∴切线方程为(2y x =或(2y x =-.②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为 0x y a +-=，=即|1|2a -=，解得3a =或 1-.∴切线方程为10x y ++=或 30x y +-=.综上所述，所求切线方程为(2y x =或(2y x =-或10x y ++=或 30x y +-=.（2）∵|PO |＝|PM |，∴2211x y +＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上．当|PM |取最小值时，即|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0，解得方程组202430x y x y +=⎧⎨-+=⎩得31035x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P 点坐标为33,105⎛⎫- ⎪⎝⎭．26．（1）点M 的轨迹C 的方程是22(1)(1)25x y -+-=，轨迹C 是以(1,1)为圆心，5为半径的圆；（2）2x =-或512460x y -+=.【详解】（1）由题意，得125MM MM =5=，化简得2222230x y x y +---=，即22(1)(1)25x y -+-=.∴点M 的轨迹C 的方程是22(1)(1)25x y -+-=，轨迹C 是以(1,1)为圆心，5为半径的圆.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，此时所截得的线段的长为8=，符合题意.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=，圆心(1,1)到直线l 的距离d 由题意，得22245⎛⎫+=，解得512k =，∴直线l 的方程为5230126x y -+=，即512460x y -+=.综上，直线l 的方程为2x =-或512460x y -+=.27．（1）以()1,0-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点()0,0O ；（ⅱ）存在，()3,4P ±.【详解】（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=.化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=.故曲线C 是以()10-，为圆心，半径为2的圆.（2）（ⅰ）证明：由题意知，PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则BQ PQ ⊥，BR PR ⊥，则B 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以BP 为直径的圆上（如图）.设()1,0B -，又()()3,0P p p ≠，则BP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，216BP p =+以线段BP 为直径的圆的方程为()222216122p p x y +⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22230x y x py +---=，①（也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得.）又Q 、R 在22:230C x y x ++-=上，②由两圆方程作差即②-①得：40x py +=.所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=.则QR 恒过坐标原点()0,0O .（ⅱ）122ABN N N S AB y y =⋅=△，因为PB QR ⊥，所以点N 在以BO 为直径的圆周上，故max12Ny =，即()max 1ABN S =△，此时11,22N ⎛⎫-± ⎪⎝⎭，又由点P ，N ，B 三点共线，所以BP PN k k =，14p=±，所以4p =±，即()3,4P ±.28．（1）22(4)(4)36x y -+-=；（2）34160x y --=，或0x =；（3）32,62⎡⎣.【详解】（1） 圆心M 在直线y x =上，∴设圆M 的标准方程为：222()()x a y a r -+-=，圆M 过点A ，(10,4)B ，222222)()(10)(4)a a r a a r ⎧-+=⎪∴⎨-+-=⎪⎩，解得46a r =⎧⎨=⎩∴圆M 的标准方程为22(4)(4)36x y -+-=.（2）①当斜率不存在时，直线m 的方程为：0x =，直线m 截圆M 所得弦长为l ==，符合题意；②当斜率存在时，设直线m ：4y kx =-，圆心M 到直线m 的距离为d ==∴根据垂径定理可得，222(2r d =+，∴216=，解得34k =．∴直线m 的方程为34160x y --=，或0x =.（3）设(,4)P m m --，则切点弦CD 所在的直线方程为(4)(4)(8)(4)36m x m y --+---=，直线MP 的方程为(8)(4)(4)(4)0m x m y ------=，联立可得222236(4)36(8)(4,4(4)(8)(4)(8)m m Q m m m m -++--++-++，根据点到直线距离公式可得，218440d m m ⎡=-∈⎣++．29．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以()1,0-为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=.化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=.故曲线C 是以()1,0-为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，216DP p +以线段DP 为直径的圆的方程为()222216122p p x y +⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得.)又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=②上，由两圆方程作差即②-①得：40x py +=.所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=.法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)：设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)，即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=.又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩.显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程.而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=.则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=.设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+.因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.)因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==.设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=；点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎣⎦，.。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程【题型归纳】考点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C (a ，b )，半径长为r .(2)方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r 的圆的方程是x 2＋y 2＝r 2.考点二点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M 在圆上|CM |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2点M 在圆外|CM |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2点M 在圆内|CM |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2考点三圆的一般方程1．圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形条件图形D 2＋E 2－4F <0不表示任何图形D 2＋E 2－4F ＝0表示一个点－D 2，－E 2D 2＋E 2－4F >0表示以－D 2，－E2为圆心，以D 2＋E 2－4F2为半径的圆【题型归纳】考点一：求圆的标准方程1．与圆22:2350C x y x +--=同圆心，且面积为C 面积的一半的圆的方程为（）A ．22(1)3x y -+=B ．22(1)6x y -+=C ．22(1)9x y -+=D ．22(1)18x y -+=2．已知(4,5)A --、(6,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是()A ．22(1)(3)29x y ++-=B ．22(1)(3)29x y -++=C ．22(1)(3)116x y ++-=D ．22(1)(3)116x y -++=3．若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y =1相切，则圆C 的方程是（）A ．22(2)4x y -+=B ．2225(2)4x y -+=C ．223(2)()42x y -++=D ．22325(2)()24x y -++=考点二、点与圆的位置关系4．若点(1,3)A a +在圆22()(1)x a y m -+-=外，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,)+∞B ．(,5)-∞C ．(0,5)D ．[0,5]5．若点()2,1a a +在圆()2215x y +-=的内部，则实数a 的取值范围是A ．(-1,1)B ．(0,1)C ．11,5⎛-⎫⎪⎝⎭D ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知圆22:2410C x y x y +-++=，点P 在圆C 上，点(2,2)Q -在圆C 外，则PQ 的最大值为()A ．5B ．6C ．7D ．8考点三：圆的一般方程的问题（参数）7．已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A ．226160x y y +--=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=8．若直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，则a =（）A ．9B ．-9C ．1D ．-19．圆226230x y x y +--+=的圆心到直线10x ay +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．2考点四：求圆的方程类型10．已知方程222(31)20x y t x ty t +++++-=表示一个圆．（1）求t 的取值范围；（2）若圆的直径为6，求t 的值．11．已知点()21A ，在圆22:860M x y x y m +--+=上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆N 过点()1,2P -，且与圆M 相切于点A ，求圆N 的标准方程．12．已知圆C 的方程为：22240x y x y m +--+=．（1）求m 的取值范围;（2）设直线10x y --=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．考点五：圆的对称问题13．已知圆2210x y ax by ++++=关于直线1x y +=对称的圆的方程为221x y +=，则a b +=（）A ．-2B ．2±C ．-4D ．4±14．已知从点()2,1-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：22(1)(1)1x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A ．3210x y --=B ．3210x y -+=C ．2310x y -+=D ．2310x y --=考点六：动点的轨迹方程15．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．22(3)4x y ++=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=16．已知圆经过点(1,0)A 和(1,2)B --，且圆心在直线:10l x y -+=上.（1）求圆的标准方程；（2）若线段CD 的端点D 的坐标是()4,3，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点M 的轨迹方程.【双基达标】一、单选题17．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（）A ．(x -2)2+(y -3)2=4B ．(x +2)2+(y +3)2=16C ．(x +2)2+(y +3)2=4D ．(x -2)2+(y -3)2=1618．若方程2246120x y x y m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．()6,-+∞B ．()6,+∞C ．()7,-+∞D ．()7,+∞19．已知直线l 经过圆22:20C x y y ++=的圆心且与直线0:2320l x y -+=平行，则l 的方程是（）A ．3220x y --=B ．2310x y --=C ．2330x y --=D ．3220x y ++=20．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．()()2211100x y ++-=B ．()()221125x y -++=C ．()()2211100x y -++=D ．()()221125x y ++-=21．方程2222230x y ax ay a a ++-++=表示的图形是半径为()0r r >的圆，则该圆圆心位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）A ．(1，＋∞)B ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1，＋∞)∪1(,)5-∞D ．R23．已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为（）A ．22430x y x y +--=B ．2230x y x y +-+=C ．22550x y x +--=D ．2270x y x y +-+=24．若23,2,1,0,,13a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=能表示的不同圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．425．已知圆C 经过A （0，0），B （2，0），且圆心在第一象限，△ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为()A ．（x –1）2+（y –1）2=4B ．22(2)(2)2x y -+-=C ．（x –1）2+（y –1）2=2D ．（x –1）2+（y –2）2=526．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是()A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <2327．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．()2234x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++=28．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是（）A ．9B ．8C ．4D ．2【高分突破】一：单选题29．已知圆()22:22440C x y x my m m R ++---=∈，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）A ．5B ．6C ．51-D ．51+30．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．106B ．206C ．306D ．40631．圆:C ()()22439x y -++=关于直线:l 30x y +-=对称的圆的标准方程是（）A ．()()22619x y -++=B ．()()22619x y ++-=C ．()()22619x y -+-=D ．()()22619x y +++=二、多选题32．已知圆22410x y x +--=，则下列说法正确的有（）A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称33．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为A ．1B ．2C ．3D ．434．（多选）点()1,1在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值不可能是（）A ．2-B ．12-C ．12D ．235．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为322B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为22C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝436．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A ．221x y +=B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=37．实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -的最大值为3B ．1yx -的最小值为3-C ．1y x -的最大值为33D ．1y x -的最小值为33-三、填空题38．已知过点(2,1)A -的圆C 和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上，则圆C 的标准方程为________________．39．已知a ∈R ，方程()22222850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是______．40．已知等腰三角形ABC 的底边BC 对应的顶点是()4,2A ，底边的一个端点是()3,5B ，则底边另一个端点C 的轨迹方程是___________41．已知圆224x y +=与圆22620x y x y m +-++=关于直线对称，则直线l 方程___________.42．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.四、解答题43．已知圆C 过三个点(1,0)M ，(3,2)N ，(5,0)R ．（1）求圆C 的方程；（2）过原点O 的动直线l 与圆C 相交于不同的A 、B 两点，求线段AB 的中点Q 的轨迹．44．求满足下列条件的各圆的标准方程：（1）圆心为点()8,3C -，且经过点()5,1P ．（2）经过()1,0M ，()2,1N 两点，且圆心C 在直线220x y +-=上．45．矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2，0），AB 边所在直线的方程为x -3y -6＝0，点T （-1，1）在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆E 的方程；（3）已知点P 是（2）中圆E 上一动点，点Q （8，0），求线段PQ 的中点R 的轨迹方程.46．已知ABC ∆的三个顶点分别为(4,0)A -，(0,2)B ，(2,2)C -，求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）ABC ∆的外接圆的方程．47．已知点及圆.(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程【答案详解】1．D【详解】由题得圆22:(1)36C x y -+=，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径为6.设所求的圆的半径为r ，所以2216,322r r ππ=⨯⨯∴=.所以所求的圆的方程为22(1)18x y -+=.故选：D2．B【详解】解：由(4,5)A --、(6,1)B -，设圆心为C ，则圆心C 的坐标为46(2-+，51)2--即(1,3)C -；所以22||(41)(53)29AC =--+-+=，则圆的半径29r =，所以以线段AB 为直径的圆的方程是22(1)(3)29x y -++=．故选：B ．3．D【详解】因为圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y =1相切，可设圆心为()2,b ，1b <，则圆心到原点的距离等于到1y =这条直线的距离，即2221b b +=-，解得32b =-，则半径为52，圆心为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的方程为：22325(2)()24x y -++=故选：D4．C.【详解】由题意，得22(1)(31)a a m +-+->，即5m <，又易知0m >，所以05m <<.故选：C5．A【详解】因为点()2,1a a +在圆()2215x y +-=的内部，则()()222115a a ⎡⎤++-<⎣⎦，解得11a -<<.故选A .6．C【详解】圆C 的标准方程为：()()22124x y -++=，又2PQ CP CQ CQ ≤+=+，()()2212225CQ =+++=，故PQ 的最大值为7，当且仅当,,P C Q 三点共线时等号成立.故选C.7．C 【详解】因为线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率为62140-=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为4(2)y x -=--，即6y x =-与直线l 方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆的半径22(30)(32)10r =-+-=，所以，圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.8．B【详解】因为直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，所以直线250x y a -+=经过该圆的圆心()2,1-，则()22510a ⨯-⨯-+=，即9a =-.选B.9．B【详解】圆226230x y x y +--+=，即()()22317x y -+-=.圆心()3,1到直线10x ay +-=的距离2211a d a +==+，∴34a =-.故选：B10．（1）33(,)2-+∞；（2）932．【详解】（1）由题意，方程222(31)20x y t x ty t +++++-=表示圆，则满足222224(31)4(2)2390D E F t t t t +-=++--=+>，解得332t >-，即实数t 的取值范围33(,)2-+∞.（2）由圆的直径为6，可得22114239322r D E F t =+-=+=，解得932t =．11．（1）()()22438x y -+-=；（2）()2212x y -+=.【详解】解：（1）将点(2,1)A 代入圆22:860M x y x y m +--+=，可得17m =，所以圆22:86170M x y x y +--+=，化为标准方程可得()()22438x y -+-=．（2）设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)N a b ，直线AM 的方程为123142y x --=--，即 1y x =-，把(,)N a b 代入得1b a =-，又()()()()22222112a b a b -+-=-++，解得1a =，0b =，所以()()2212012r =-+-=，故圆N 的标准方程为()2212x y -+=．12．【详解】（1）由题知：()()222440m -+-->，解得5m <（2）假设存在得以AB 为直径的圆过原点，设()11,A x y ，()22,B x y ，222240285010x y x y m x x m x y ⎧+--+=⇒-++=⎨--=⎩，()()28850m ∆=--+>，解得3m <，又因为5m <，所以3m <.124x x +=，1252m x x +=.()()()12121212511114122m m y y x x x x x x +-=--=-++=-+=.因为以AB 为直径的圆过原点，则222OA OB AB +=，即()()()()22222211221212x y x y x x y y +++=-+-，整理可得12120x x y y +=，即121251022m m x x y y +-+=+=，解得23m =-<.所以存在得以AB 为直径的圆过原点.13．C【详解】本题考查圆的方程和圆的几何性质.圆221x y +=的圆心是坐标原点()0,0，半径为1，易得点()0,0关于直线1x y +=对称的点的坐标为()1,1，所以圆221x y +=关于直线1x y +=对称的圆的方程为()()22111x y -+-=，化为一般式为222210x y x y +--+=，所以2a b ==-，即4a b +=-.故选：C14．C【详解】由题意反射光线过圆心(1,1)，又点(2,1)-与圆心连线与x 轴平行，所以入射光线与x 的交点的横坐标为21122-+=-，即入射光线与x 轴交点为1(,0)2-．所以反射光线所在的直线方程为1110112y x --=---，即2310x y -+=．故选：C ．15．B【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩， 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B16．（1）()2214x y ++=；（2）2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）设圆心的坐标为(),1t t +，则有()()()()22221113t t t t -++=+++，整理求得1t =-，故圆心为()1,0-，半径r 满足()()222114r t t =-++=，则圆的方程为()2214x y ++=；（2）设线段CD 中点(),M x y ，()11,C x y ，由()4,3D 可知124x x =-，123y y =-，∵点C 在圆()2214x y ++=上运动，∴()()22241234x y -++-=，∴M 的轨迹方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．D解：由圆的标准方程得：圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：22(2)(3)16x y -+-=．故选：D ．18．A由()22464120m +-->，得 6m >-．故选：A ．19．C【详解】由圆22:20C x y y ++=，可得圆心坐标(0,1)C -，又由直线l 与直线0:2320l x y -+=平行，可设直线:230(2)l x y m m -+=≠，因为直线l 经过圆22:20C x y y ++=的圆心(0,1)C -，代入可得203(1)0m ⨯-⨯-+=，解得3m =-，即l 的方程是2330x y --=.故选：C.20．D【详解】法1：以线段AB 为直径的圆的直径式方程为()()()()35240x x y y -+++-=，整理得到：()()221125x y ++-=，故选：D.法2：因为圆以AB 为直径，故圆心为AB 的中点()1,1-，又228610AB =+=，故圆的半径为5，故以线段AB 为直径的圆的方程为：()()221125x y ++-=.故选：D.21．D【详解】方程2222230x y ax ay a a ++-++=表示的图形是半径为()0r r >的圆，222(2)4(23)0a a a a ∴+--+>，求得40a -<<，故圆心(2a -，)a 在第四象限，故选：D ．22．A【详解】因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D 2＋E 2―4F ＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.23．D【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩，解得7D =-，1E =，0F =，所以圆的方程是2270x y x y +-+=．故选：D ．24．B【详解】由圆的方程2222210x y ax ay a a +++++-=，可化简得2223()()124a x a y a a +++=--+，可得23140a a -->+，即23440a a +-<，解得223a -<<，又因为23,2,1,0,,13a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，所以1a =-或0a =，所以方程2222210x y ax ay a a +++++-=能表示的不同圆的个数为2个.故选：B.25．C【解析】因为圆心在弦的中垂线上，所有可设()1,C m ，由于ABC ∆为等腰直角三角形，所以221,0,1,AC m m m ==+>∴=∴ 圆心坐标为()1,1，圆的半径为2，所以圆C 的方程为()()22112x y -+-=，故选C.26．D【分析】先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a 的范围.【详解】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化标准方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=（其中2240D E F +->），圆心为(,)22D E --，半径2242D E F r +-=．27．D【详解】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，因为点P 在圆221x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()222341x y ++=.故选：D.28．A【详解】圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b b c⋅＝4.当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.故选：A29．D【详解】由2222440x y x my m ++---=得()()222145x y m m m ++-=++，因此圆心为()1,C m -，半径为()2245211r m m m =++=++≥，当且仅当2m =-时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为()1,2C --，半径为1r =，因此圆心到坐标原点的距离为()()22125d r =-+-=>，即原点在圆C 外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为51d r +=+.故选：D.30．B【详解】设OMN 的外接圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，由O （0，0），M （6，0），N （8，4），得()()()222222222684a b r a b r a b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得345a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD |＝225146-=，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |•|BD |＝12×10×46＝206．故选：B ．31．A【详解】由题意有，圆C 的圆心C ()4,3-，半径为3，设所求圆的圆心为'(,)C a b ，由圆C 和圆C’关于直线l 对称得，点C 和点C ’关于直线l 对称，则4330223·(1)14a b b a +-+⎧+-=⎪⎪⎨+⎪-=-⎪-⎩，解得61a b =⎧⎨=-⎩，则所求圆的标准方程是()()22619x y -++=．故选：A ．32．ABC【详解】22224102)5(x y x x y +--=⇒+=-，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A 项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线0y =过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线320x y +-=过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线20x y -+=不过圆心，所以本选项不正确．故选：ABC ．33．AB【详解】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <.综上，3a <.故选：AB.34．AD【详解】由已知条件可得()()22114a a -++<，即2224a +<，解得11a -<<.故选：AD.35．AD【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d ＝1112---＝322.若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.36．AD 【详解】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离445155d -==>，又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-，因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又22(2)313OA =-+=，22(2)(1)5OB =-+-=，226(1)37OC =+-=，由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，即圆的半径为37，则圆的方程为2237x y +=.故选：AD.37．CD 【详解】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =，即2211kk =+，整理可得231k =，解得33k =±，所以33133y x ⎡⎤∈-⎢⎥-⎣⎦，，即1y x -的最大值为33，最小值为33-.故选：CD.38．22(1)(2)2x y -++=【详解】由题意，设(,2)C a a -，则|21||1|22a a a r --+==，∴圆C 的标准方程为222(1)()(2)2a x a y a +-++=，又(2,1)A -在圆上，∴222(1)(2)(21)2a a a +-+-=，整理得2(1)0a -=，即1a =，∴圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -++=.故答案为：22(1)(2)2x y -++=39．()1,4--【详解】方程()22222850a x a y x y a +++++=表示圆，所以220a a =+≠，解得1a =-或2a =，当1a =-时，方程222850x y x y +++-=，配方可得()()221422x y +++=，所得圆的圆心坐标为()1,4--；当2a =时，方程224428100x y x y ++++=，即22152022x y x y ++++=，此时221523240224⎛⎫+-⨯=-< ⎪⎝⎭，方程不表示圆．综上所述，圆心坐标是()1,4--．故答案为：()1,4--．40．()()224210x y -+-=（去掉()()3,5,5,1-两点）【详解】设(),C x y ，由题意知，()()22||345210AB =-+-=，因ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，于是有||||10CA AB ==，即点C 的轨迹是以A 为圆心，10为半径的圆，又点,,A B C 构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B ()3,5及点B 关于点A 对称的点()5,1-，所以点C 的轨迹方程为()()224210x y -+-=(去掉()()3,5,5,1-两点).故答案为：()()224210x y -+-=(去掉()()3,5,5,1-两点)41．350x y --=【详解】由于半径相等，易求6m =，由圆224x y +=的圆心坐标为O (0，0)，圆226260x y x y +-++=的标准方程为()()22314x y -++=，可得圆心(3,1)A -，则OA 的中点坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，且OA 的斜率为13OA k =-，可得所求直线的斜率为3k =，所以直线l 的方程为13322y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即350x y --=.故答案为：350x y --=.42．15【详解】令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3），∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=，所以圆的半径为3，圆心为(5,6)，圆心(5,6)到直线AB 的距离22|354612|34d ⨯+⨯-==+275，所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=，所以ABC S 的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=，所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=.故答案为：1543．（1）22(3)4x y -+=；（2）M 的轨迹是以3(,0)2为圆心，32为半径的圆（点M 在圆C 内，不与边界重合）．【详解】（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则10943202550D F D E F D F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得605D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆方程为22650x x y -++=，即22(3)4x y -+=；（2）由（1）(3,0)C ，设(),Q x y ，则由OQ QC ⊥得，0OQ CQ ⋅=，即(,)(3,)0x y x y ⋅-=，2230x x y -+=，2239()24x y -+=．又Q 在圆C 内部，所以Q 的轨迹是以3(,0)2为圆心，32为半径的圆（点Q 在圆C 内部）．44．（1）()()228325x y -++=；（2）()2221x y -++=．【详解】（1）设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆心为点()8,3C -，即8a =，3b =-，又由圆经过点()5,1P ，则()()2285315r PC ==-+--=所以圆的标准方程为()()228325x y -++=．（2）线段MN 的中垂线方程为20x y +-=，由20220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得圆心C 的坐标()2,0，所以半径1r =，圆C 的方程为()2221x y -++=.45．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）（x -2）2＋y 2＝8；（3）（x -5）2＋y 2＝2.【详解】解：（1）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T （-1，1）在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y -1＝-3（x ＋1），即3x ＋y ＋2＝0；（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为(0,2)-.因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M （2，0）.所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又()()22200222AM =-++=.从而矩形ABCD 外接圆E 的方程为（x -2）2＋y 2＝8；（3）设点P （x 0，y 0），点R （x ，y ），则由中点坐标公式得082x x +=，002y y +=，即x 0＝2x -8，y 0＝2y .因为点P 在圆E 上，所以()220028x y -+=，故有22(282)(2)8x y --+=，即22(5)2x y -+=，即点R 的轨迹方程为圆22(5)2x y -+=.46．（1）2x+y-2=0；（2）x 2+y 2+2x+2y-8=0【详解】（1）直线AB 的斜率为12，AB 边上的高所在直线的斜率为-2，则AB 边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0（2）设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0由4160{2402280D F E F D E F -++=++=-++=，解之可得2{28D E F ===-故△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+2x+2y-8=047．（1）或；（2）；（3）不存在.【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即.当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．即直线的方程为或.(2)由于，而弦心距，所以.所以恰为的中点．故以为直径的圆的方程为.(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.由于直线交圆于两点，故，即，解得.则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以.由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.。
微专题强化练(二) 与圆有关的最值问题一、选择题1．(2022·安徽省池州一中期中)若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为( )A．B．C．D．2．(2022·重庆市巴蜀中学月考)直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋1＝0与圆C：x2－4x＋y2＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值是( )A．0 B．2 C．2D．43．(2021·北京卷)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k的值发生变化时，直线l 被圆C所截得的弦长的最小值为2，则m的值为( )A．±2 B．±C．±D．±34．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A．5 B．10 C．15 D．205．点A是圆C1：(x－2)2＋y2＝1上的任一点，圆C2是过点(5，4)且半径为1的动圆，点B 是圆C2上的任一点，则AB长度的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6．设点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最大值为________．7．在平面直角坐标系xOy中，圆Ω经过点(0，0)，(2，4)，(3，3)，则圆Ω上的点到原点的距离的最大值为________．8．已知圆C：x2＋y2＋2(a－1)x－12y＋2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为________；若此时圆C的一条对称轴为直线l：mx＋ny－6＝0(m>0，n>0)，则的最大值为________．三、解答题9．已知P是圆C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一个动点，它关于点A(9，0)的对称点为Q，O为原点，线段OP绕原点O逆时针方向旋转90°后，所得线段为OR，求|QR|的最小值与最大值．微专题强化练(二)1．D2．C3．C4．A5．B6．＋2 7．28．－19．解：如图所示，设点P的坐标是(x，y)，则点Q的坐标是(18－x，－y)．线段OR由OP绕原点逆时针旋转90°得到，则点R的坐标为(－y，x)，则|QR|＝＝．∵P(x，y)为圆(x－5)2＋(y－5)2＝r2上的点，∴的几何意义为点M(9，－9)到圆上的点P(x，y)的距离．连接PM，当|PM|最小时，|QR|也最小；当|PM|最大时，|QR|也最大．连接MC，则|PM|min＝||MC|－r|＝|－r|＝|2－r|，|PM|max＝|MC|＋r＝2＋r．∴|QR|min＝|2－r|，|QR|max＝(2＋r)．。
2.4圆的方程 期末复习拔高卷一、单选题 1．已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（ ） A ．(),20-∞B ．(),5-∞C ．()5,+∞D ．()20,+∞2．已知在圆22:4240M x y x y +-+-=内，过点()0,0O 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．123．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．3(,)2-+∞4．已知圆22:2440C x y x y ++++=，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ）A 1B CD ．65．已知点A （1，2）在圆C ：22220x y mx y ++-+=外，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()()3,22,--+∞ B ．()()3,23,--⋃+∞ C ．()2,-+∞D ．()3,-+∞6．AB 为∪C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为∪C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]7．在直角坐标系内，已知()3,3A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN ⋅-=，其中点(),0M m -、(),0N m ，则m 的取值范围为 A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(3,7)D ．[3,7]8．已知二次函数22(0)y x x m m =-+≠交x 轴于,A B 两点(,A B 不重合)，交y 轴于C 点. 圆M 过,,A B C 三点.下列说法正确的是 ∪ 圆心M 在直线1x =上； ∪ m 的取值范围是(0,1)； ∪ 圆M 半径的最小值为1；∪ 存在定点N ，使得圆M 恒过点N .A ．∪∪∪B ．∪∪∪C ．∪∪D ．∪∪二、多选题9．“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点()11,P x y ，()22,Q x y 的曼哈顿距离为1212PQ L x x y y =-+-．若点()2,1P -，Q 是圆()()22:111M x y -+-=上任意一点，则PQ L 的取值可能为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．110．在平面直角坐标系x O y 中，已知点A (﹣4，0)，点B 是圆C ：22(2)4x y -+=上任一点，点P 为AB 的中点，若点M 满足MA 2＋MO 2＝58，则线段PM 的长度可能为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．811．已知动直线m ：0x y λλ-+=和n ：320x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A ､B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是（ ） A ．B 点的坐标为()3,2- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．·PA PB 的最大值为10 12．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线C ：2222x y x y +=+就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ）A ．曲线C 围成的图形有4条对称轴B ．曲线C 围成的图形的周长是 C ．曲线C 上的任意两点间的距离不超过6D ．若(),T a b 是曲线C 上任意一点，4318a b +-的最小值是11-三、填空题13．已知抛物线223y x x =+-与坐标轴交于A ，B ，C 三点，则ABC 外接圆的标准方程为___________.14．若圆22:20C x y Dx y +++=的圆心在直线210x y -+=上，则C 的半径为______． 15．已知圆C 过三点()1,3，()4,2，()1,7-，则圆C 的方程是___________.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，2AD =，1AA 点Q 是正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且QC =，则线段BQ 的长度的最大值为___. 四、解答题17．判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)与圆22(5)(6)10x y --＋＝的位置关系．18．已知圆C 过点()4,0A ，()0,4B ，且圆心C 在直线:60l x y +-=上．(1)若从点(4,1)M 发出的光线经过直线y x =-反射，反射光线1l 恰好平分圆C 的圆周，求反射光线1l 所在的直线方程．(2)若Q 在直线l 上运动，()0,2D ，求22QA QD +的最小值．19．在∪圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为 ∪圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;∪圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由．问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上． 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A 、B 间的距离为2，动点P满足PA PB= 求22PA PB +的最小值．21．已知圆N 经过点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上. （1）求圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程；（2）若点D 为圆N 上任意一点，且点()3,0C ，求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 22．如图，在直角ABC 中，π2A =，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c . AC 边的中线BD 所在直线方程为720x y ++=；AB 边的中线CE 所在直线方程为131610x y ++=.(1)若A 点坐标为()1,4-，求ABC 外接圆的方程；(2)若a =ABC 的面积S .参考答案1--8BDAAA DBD9．ABC 10．BC 11．BD 12．ACD 13．22(1)(1)5x y +++= 1415．22(1)(2)25x y -++= 16．617．圆的方程为22(5)(6)10x y --＋＝， 分别将()()()693353M N Q ，，，，，代入得， 22(65)(96)10M --∴＋＝，在圆上； 22(35)(36)1310N --∴＋＝＞，在圆外； 22(55)(36)910Q --∴＋＝＜，在圆内.故M 在圆上， N 在圆外，Q 在圆内. 18．（1）解：设点()4,1M 关于直线y x =-的对称点()1,M a b ， 11==141+4+=22MM b k a b a ---⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得=1=4a b --⎧⎨⎩，所以()114M --，， 由于圆C 过点()4,0A ，()0,4B ，因为圆心C 在直线l ：60x y +-=上，AB 垂直平分线的方程为=y x ，由=+6=0y x x y -⎧⎨⎩，解得=3=3x y ⎧⎨⎩，所以圆心()33C ，， 则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，()()11347314M C l k k --===--， 由点斜式得1l 为()7334y x -=-，整理得7490x y --=； （2）解：设点()00,Q x y ，则0060x y +-=，则00=6y x -， 所以()()222222000042Q Q x y A x y D -+++-=+222200000007=2+284+20=428684192x y x y x x x ⎛⎫---+=-+ ⎪⎝⎭，故当072x =时，22QA QD +的最小值为19． 19．选择条件∪：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b == 由垂径定理得223r b =+解得1b =， 所以2a =，2r =所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件∪：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a = 因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =- 联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r =所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件∪：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r +可得：2540b b -=，因为该方程∆<0，所以方程无解 故不存在满足题意的圆C ．20．以经过A 、B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -、()10B ,，设点(),P x y ，因为PA PB==22610x y x +-+=，即()2238xy -+=，所以点P 的轨迹是以()3,0C 为圆心，则()()()222222222112222PA PB x y x y x y OP +=+++-+=++=+，当点P 为线段OC 与圆C的交点时，OP 取得最小值，所以，()(222min23236PA PB+=⨯-+=-21．解析（1）由已知可设圆心(,32)N a a -，又由已知得||||NA NB =， =2a =， 所以圆N 的圆心为(2,4)N ，半径r = 所以圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=， 圆心关于30x y -+=的对称点为(1,5)，所以圆N 关于直线30x y -+=对称的圆的方程为22(1)(5)10x y -+-=. （2）设(,)M x y ，()11,D x y ，则由()3,0C 及M 为线段CD 的中点得， 113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得11232x x y y =-⎧⎨=⎩. 又点D 在圆22:(2)(4)10N x y -+-=上，所以22(232)(24)10x y --+-=，即225(2)2x y ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭52=，故所求的轨迹方程为:2255(2)22x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.22．（1）因为点B 在直线720x y ++=上，设点B 坐标为()0072,y y --， 因为A 点坐标为()1,4-，E 是AB 的中点，所以点E 坐标为00714,22y y ---⎛⎫⎪⎝⎭， 因为点00714,22y y E ---⎛⎫⎪⎝⎭在直线131610x y ++=上， 所以0071131610422y y +-⎛⎫⎪⎝⎭⨯-+⋅+=，解得：01y =-，所以()5,1B -， 设点()11,D x y ，则()1121,24C x y -+，所以()()11117201321162410x y x y ++=⎧⎨-+++=⎩，解得：1120x y =-⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()5,4C -， 因为π2A =，所以线段BC 是ABC 外接圆的直径， BC 的中点坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，半径12r BC ==所以ABC 外接圆的方程为：22312524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭. （2）设CE 与BD 相交于点G ，则联立方程：720131610x y x y ++=⎧⎨++=⎩，解得：1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以11,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点G 是ABC 的重心，则有23BG BD =，23CG CE =则3ABCGBCSS=因为()()22113323BG BD BC BA BC BA ==⨯+=+，()()22113323CG CE CA CB CA CB ==⨯+=+ 故()()21111199999BG CG BC BA CA CB BC CA BC BA CA BA CB ⋅=+⋅+=⋅-+⋅+⋅ 因为2A π=，所以0BA CA ⋅=，故()22112999BG CG BC CA BA BC BC ⋅=⋅--=- 因为a =22500BC a == 所以10009BG CG ⋅=-设直线720x y ++=的斜率为117k =-，直线131610x y ++=的斜率为21316k =-则由到角公式得：21121313167tan 131151167k k BGC k k -+-∠===-++⨯ 因为点G 在圆的内部，所以∪BGC 为钝角则sin BGC ∠=cos BGC ∠=1000cos 9BG CG BG CG BGC BG CG ⋅=⋅⋅∠=-⋅⋅=-解得：200BG CG⋅= 所以11100sin 223GBCS BG CG BGC =⋅⋅∠==所以3100ABCGBCSS==。
重难点专题02：圆系方程知识梳理曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合；曲线系方程是指含有参数的二元方程，当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线；其中最简单的就是具有某种性质的直线系与直线系方程；(1)过圆22:0O x y Dx Ey F ++++=与直线:0l Ax By C ++=交点的圆系方程为()220(x y Dx Ey F Ax By C λλ+++++++=为参数).(2)过圆221111:0O x y D x E y F ++++=与圆222222:0O x y D x E y F ++++=的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(不包括圆2,O λ为参数．当1λ=一时,为一条直线(根轴,即过两圆交点的直线).(3) 若()00,x y 表示圆22:0C x y Dx Ey F ++++=上任意一点,则曲线系方程:()()()2222000(x y Dx Ey F x x y y λλ⎡⎤+++++-+-=⎣⎦为参数)表示与C 相切于点()00,x y 的所有圆.考点01：直线与圆有交点的圆系方程 1．求经过直线1y =与圆222410x x y y -+-+=的交点，且面积最小的圆的一般方程．2．分别求过直线240x y ++=和圆22241=0x y x y ++-+的交点且满足下列条件的圆的方程. （1）过原点；（2）面积最小．3.已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问:是否存在斜率为1的直线l ,使直线l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,说明理由.4.求过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点,且面积最小的圆的方程;5.判断方程()22241010200(x y kx k y k k ++++++=为参数,1k ≠-表示何种曲线?找出通过定点的坐标;考点02：两圆相交的圆系方程6．求过两圆222440x y x y ++--=和224220x y x y +-++=的交点，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程（ ） A ．226086x y x y ++-+=B ．224460x y x y +-++=C ．226086x y x y +--+=D ．224046x y x y +--+=考点03：与圆相切的圆系方程11．求与圆2248150x y x y +--+=切于点(3,6)A ，且过点(5,6)B 的圆的方程.12．过点()1,1A -，且与圆22:100O x y +=切于点(8,6)B 的圆的方程为 ．13.求与圆2248150x y x y +--+=切于点()3,6A ,且过点()5,6B 的圆的方程.。
2.4圆的方程考点01：由圆心（或半径求圆的方程）1．圆心坐标为()2,1-，并经过点()2,2A -，则圆的标准方程为（ ） A ．()()22215x y -+-=B ．()()22215x y ++-= C ．()()222125x y +++= D ．()()222125x y ++-= 2．已知半径为3的圆C 的圆心与点()2,1P -关于直线10x y -+=对称，则圆C 的标准方程为（ ） A ．22(1)(1)9x y ++-=B ．22(1)(1)81x y -+-=C ．22(1)9x y ++=D ．229x y +=考点02：求过已知三点圆的标准方程 3．ABC 的三个顶点的坐标分别为()()()1,0,3,0,3,4A B C ，求ABC 的外接圆的方程. 4．已知圆C 经过点()()1,41,2A B --,且圆心C 在直线280x y -+=上.(1)求圆C 方程；(2)若E 点为圆C 上任意一点，且点()3,0F ，求线段EF 的中点M 的轨迹方程.考点03：由标准方程确定圆心（或半径）5．（多选）设有一组圆()()()224：k C x k y k k -+-=∈R ，下列命题正确的是（ ） A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆kC 均不经过点()3,0C ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4考点04：圆的一般方程与标准方程之间的互化7．直线230x y --=平分圆222210x y ax y +-+-=（R a ∈），则=a （ ）A ．1B ．-1C ．3D ．-3考点05：二元二次方程表示的曲线与圆的关系9．（多选）已知方程2220x y x m ++-=，下列叙述正确的是（ ）A ．方程表示的是圆B ．方程表示的圆的圆心在x 轴上C ．方程表示的圆的圆心在y 轴上D ．当0m =时，方程表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆考点06：求圆的一般方程11．过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）A ．22230x y x y +--=B ．22230x y x y ++-=C ．22230x y x y +-+=D ．22230x y x y +++=考点07：圆过定点问题13．对任意实数m ，圆2236920x y mx my m +--+-=恒过定点，则定点坐标为 ．14．点(),P x y 是直线250x y +-=上任意一点，O 是坐标原点，则以OP 为直径的圆经过定点（ ） A ．()0,0和()1,1 B ．()0,0和()2,2 C ．()0,0和()1,2 D ．()0,0和()2,1考点08：由圆一般方程确定圆心和半径。
与圆有关的最值问题考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021秋•东城区校级月考）已知⊙C：x2﹣2x+y2﹣1＝0，直线l：y＝x+3，P为l上一个动点，过点P作⊙C的切线PM，切点为M，则|PM|的最小值为（）A．1B．2C．2D．6 2．（2021春•利通区校级期末）已知圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1上一点P到直线3x﹣4y﹣3＝0的距离为d，则d的最小值与最大值的差为（）A．35B．45C．1D．﹣2 3．（2021秋•南明区校级月考）若直线mx﹣ny+3＝0（m＞0，n＞0）截圆C：x2+y2+6x﹣4y+5＝0所得的弦长为42，则2+1的最小值为（）A．8−433B．8+433C．8−43D．8+43 4．（2021春•五华区期末）已知M为直线y＝x+1上的动点，N为圆x2+y2+2x+4y+4＝0上的动点，则|MN|的最小值是（）A．2B．2−2C．1D．2−1 5．（2021•海淀区校级模拟）从点P（m，3）向圆（x+2）2+（y+2）2＝2引切线，则切线长的最小值为（）A．26B．5C．26D．23 6．（2021•唐山开学）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0），设直线l：x+2y﹣8＝0与两坐标轴的交点分别为A，B，若圆O上存在点P满足|AP|＝|BP|，则r的最小值为（）A．655B．65C．25D．37．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9，M，N分别为圆C1，C2上的点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．17B．17−1C．6−22D．52−48．（2021•丙卷模拟）已知定直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2）（k＜0），点Q是直线l上的动点，过点Q作圆C：（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线，M是切点，C是圆心，若△QMC 面积的最小值为2，则此时直线l上的动点E与圆C上动点F的距离|EF|的最小值为（）A．13B．2C．43D．52二．多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．（2021•江阴市开学）已知圆O：x2+y2＝4和圆M：x2+y2+4x﹣2y+4＝0相交于A，B两点，则（）A．直线AB的方程为y＝2x+2B．两圆有两条公切线C．线段AB的长为65D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为5+310．（2021秋•罗湖区月考）已知圆C：x2+y2＝r2（r＞1），P为直线l：y＝x+b上的动点，则下列结论正确的为（）A．当b＝2r时，l与C可能相交B．若Q为C上的动点，且PQ的最小值为r，则|U=22C．若b＝3r，则C上恰有2个点到l的距离为2rD．若=+1，且圆P的半径为r﹣1，则圆P与C不可能内切11．（2021•邯郸开学）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝16，直线l：（2m﹣1）x+（m﹣1）y ﹣3m+1＝0．下列说法正确的是（）A．直线l恒过定点（2，1）B．圆C被y轴截得的弦长为215C．直线l被圆C截得弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x+y﹣3＝0D．直线l被圆C截得弦长存在最小值，此时直线l的方程为x﹣2y﹣4＝0三．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．（2021秋•青浦区校级月考）已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆截得的弦的长度的最小值为．13．（2021•5月份模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P是y＝x+2上的动点，过点P 作圆C：x2﹣4x+y2＝0的切线，切点为A，B，当直线AB的斜率为正时，直线AB在x 轴和y轴上的截距之和的最大值为．14．（2021•北京开学）已知圆C：x2+y2＝r2.若直线x﹣y+4＝0上存在一点P，使得经过点P 与圆C相切的两条切线互相垂直，则r的最小值为．四．解答题（共5小题）15．（2021•仁寿县校级开学）实数x，y满足x2+y2+2x﹣4y+1＝0，求：（1）K4的最大值和最小值；（2）2x+y的最大值和最小值．16．（2021秋•重庆月考）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4．（1）若直线l过点A（2，3）且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程；（2）若直线l过点B（1，0）与圆C相交于P，Q两点，求△CPQ的面积的最大值，17．（2021春•赤峰期末）已知点C到点A（2，0）的距离与到点B（﹣2，0）的距离的比为3．（1）求点C的轨迹方程；（2）当A、B、C构成三角形时，求△ABC面积的最大值．18．（2021春•万载县校级期末）已知圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+m＝0与直线l：3x﹣4y﹣7＝0相交于M，N两点且|M|=23；（1）求m的值；（2）过点P作圆C的切线，切点为Q，再过P作圆C'：（x+2）2+（y+2）2＝1的切线，切点为R，若|PQ|＝|PR|，求|OP|的最小值（其中O为坐标原点）．19．（2021春•赣州期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝3，过点P （﹣3，0）的直线与圆O相交于不同的两点A，B．（1）求△OAB面积的最大值；（2）若|AB|＝22，求直线AB的方程．。
圆专题：与圆有关的最值问题一、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.二、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于三、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.C P C r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC NPC C l C l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M CN C l l PM lCPM四、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.五、利用代数法的几何意义求最值 1、形如ax by y --=的最值问题，可以转化为过点),(y x 和点),(b a 的动直线斜率的最值问题；2、形如22)()(b y a x z -+-=的最值问题，可以转化为点),(y x 和点),(b a 的距离的平方的最值问题；3、形如by ax z +=的最值问题，可以转化为动直线纵截距的最值问题题型一 圆上的点到定点的距离最值【例1】若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．【答案】13131⎡⎤⎣⎦【解析】曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，C P P MN表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC +因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦【变式1-1】在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．【答案】()32-，【解析】()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.【变式1-2】已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（ ）A ．1B ．2C 2D 32 【答案】C【解析】由圆C ：222x y +=，得圆()0,0C ，半径r 2，所以()2223269AC m m m m =+--+()23239222m -+ 所以点A 到圆C 3222.故选：C.【变式1-3】已知点()2,0A -，()2,0B ，()4,3C ，动点P 满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为（ ）A ．[]2,5B ．[]2,8C ．[]3,7D ．[]4,6 【答案】C【解析】由题设，P 在以||AB 为直径的圆上，令(,)P x y ，则224x y +=(P 不与,A B 重合)，所以PC 的取值范围，即为()4,3C 到圆224x y +=上点的距离范围，又圆心(0,0)到C 的距离22(40)(30)5d -+-，圆的半径为2， 所以PC 的取值范围为[,]d r d r -+，即[]3,7.故选：C【变式1-4】已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆223)7)1:((C x y -+=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为A ．9B ．14C ．26D ．28 【答案】C【解析】设O 为坐标原点，设(,)P x y ，圆C 圆心为7)C ，则()222222222||||(2)(2)282|8|AP BP x y x y x y PO +=+++-+=++=+， 又222min ||(||)(41)9PO OC r =-=-=，所以()22min ||||18826AP BP +=+=，故选：C.【变式1-5】已知直线l 与圆22:9O x y +=交于A ，B 两点，点()4,0P 满足PA PB ⊥，若AB 的中点为M ，则OM 的最大值为（ ） A ．222+B ．32 C ．322 D ．322【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点(,)M x y ，则122x x x +=，122y y y +=，又22119x y +=，22229x y +=，则222212121212112222(()2)182x y x y x x x x y y y y +--++=+=++，所以221221229x y y x x y -=++，又PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=，而11(4,)PA x y =-，22(4,)PB x y =-， 所以1212124()160x x x x y y -++=+，即1212816x x x y y -=+，综上，22228169x y x --=+，整理得22(2)12x y +-=，即为M 的轨迹方程， 所以M 在圆心为(2,0)2的圆上， 则22max(20)(02220)OM-=-=+，故选：A.题型二 两圆上的动点的距离最值【例2】已知点,P Q 分别为圆()()221:241C x y -++=与圆()()222:234C x y +++=的任意一点，则PQ 的取值范围是（ ）A ．17174⎡⎤⎣⎦B ．17173⎡⎤⎣⎦C ．17172⎡⎤⎣⎦D ．17171⎡⎤⎣⎦【答案】B【解析】()()221:241C x y -++=的圆心为()12,4C -,半径11r =，()()222:234C x y +++=的圆心为()22,3C --,半径22r =，圆心距()()221222431712d r r =++-+=>+=+，∴两圆相离，∴[]1212,PQ d r r d r r ∈--++=17173⎡⎤⎣⎦，故选：B.【变式2-1】已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，点Q 是圆22(2)(3)3x y -+-=上的动点，则PQ 的最大值为（ ）A ．53B ．53+C ．323+D ．323-【答案】B【解析】设(,)P x y ，因为2PA PB =2222(2)2(1)x y x y ++=-+22(2)4x y ∴-+=因此PQ 最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为22(22)3+2+3=5+3-+【变式2-2】已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ） A ．32 B ．52 C ．522+ D ．322+【答案】C 【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --2，22(12))(13)5CD +++，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.【变式2-3】设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( )A ．3157-B ．3137-C ．524-D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．【变式2-4】已知圆221:(1)(1)1C x y -+-=，圆222:(3)(2)4C x y -+-=，动点P 在x 轴上，动点M ，N 分别在圆1C 和圆2C 上，则||||PM PN +的最小值是 ． 133【解析】如图所示，圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标(1,1)A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标2(3,2)C ，半径为2， 连接2AC ，故2||4913AC =+=， 故||||PM PN +的最小值是133- 故答案为：133-．【变式2-5】已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PNPM-的最大值是（ ）A ．254B ．9C ．7D ．252 【答案】B【解析】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max minmaxPN PM PN PM-=-，又2max 3PN PC =+，1min 1PM PC =-，所以，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC -=+--=-+． 点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，()()2221211241515PC PC PC PC C C ''-=-≤=-+-+，所以，()max 549PN PM -=+=， 故选：B ．【变式2-6】已知圆()221:2(3)1C x y ++-=，圆222:(4),(2)4,C x y M N -+-=分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN -的最大值为（ ）A 371B 373C ．351D ．2013173【答案】B【解析】由已知圆心1(2,3)C -，半径为1，圆心2(4,2)C ，半径为2，11PM PC C M ≤+，22PN PC C N ≥-，∴11PM PN PC C M -≤+-()22PC C N -1211123PC PC C M C N PC PC =-++=-+123373C C ≤+=，当且仅当12,,P C C 三点共线时等号成立，此时M 为1PC 的延长线与圆1C 的交点，N 为线段2PC 与圆2C 的交点． 故选：B ．题型三 圆上的点到直线的距离最值【例3】点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3y x的最短距离为（ ）A ．22B ．1C 2D ．22【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -+=+-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=．故选：C ．【变式3-1】已知P 是半圆C 22y y x -=-上的点，Q 是直线10x y --=上的一点，则PQ 的最小值为（ ） A 32 B 21 C 21 D 2【答案】D2222202(1)1(0)20x y y x x y x x y y -≥⎧-=-⇒⇒+-=≤⎨+-=⎩，如图所示，显然当P 运动到坐标原点时，PQ 有最小值， 最小值为原点到直线10x y --=的距离， 即22min 1221(1)PQ -=+-=，故选：D【变式3-2】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎤⎣⎦，又可求得22AB =， 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.【变式3-3】圆面224440x y x y --++≤与圆面222220x y x y ---+≤的公共部分M(含边界)上的点到直线3450x y ++=的最短距离为（ ） A ．225B ．325 C ．165 D ．95【答案】D【解析】由224440x y x y --++≤，即()()22224x y -+-≤，圆心为()2,2C ，半径12r =，222220x y x y ---+≤，即()()22114x y -+-≤，圆心为()1,1B ，半径22r =，则两圆面公共部分M 的平面区域如下图黑色阴影部分所示： 则圆心C 到直线3450x y ++=的距离223242519534d ⨯+⨯+=+， 则黑色阴影区域内的点到直线3450x y ++=的最短距离为1199255d r -=-=； 故选：D题型四 圆的切线长度最值问题【例4】直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B【变式4-1】已知过坐标原点O 的直线与圆22:86210C x y x y +-++=相切，则切线长（点O 与切点间的距离）为（ ） A ．3 B ．4 C 21 D ．5 【答案】C【解析】圆C 的标准方程为()()22434-++=x y ，圆心()4,3C -，半径2r =，所以5OC =，切线长为22225221L OC r =-=-故选C.【变式4-2】已知圆O ：223x y +=，l 为过(2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2，故直线l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x =-，即230x -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+ 251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭【变式4-3】若圆C ：222270x y x y +---=关于直线30ax by ++=对称，由点P (,)a b 向圆C 作切线，切点为A ，则线段P A 的最小值为___． 14【解析】圆22:2270C x y x y +---=化为22(1)(1)9x y -+-=，圆的圆心坐标为()1,1，半径为3r =．圆22(1)(1)9x y -+-=关于直线30ax by ++=对称，所以()1,1在直线上，∴30++=a b ，即3b a =--， 点(,)a b 22(1)(1)a b -+-所以点(,)a b 向圆C 所作切线长：()()2223711924212a b a ⎛⎫-+--=++ ⎪⎝⎭ 当且仅当32a =-14．题型五 过圆内定点的弦长最值【例5】直线()13y k x -=-被圆()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ）A 2B ．23C ．22D 5【答案】C【解析】圆22(2)(2)4x y -+-=的圆心为(2,2)C ，半径2r =，又直线1(3)y k x -=-，∴直线恒过定点(3,1)P ，当圆被直线截得的弦最短时，圆心(2,2)C 与定点(3,1)P 的连线垂直于弦， 22(23)(21)2-+-∴所截得的最短弦长：2222(2)22-=C ．【变式5-1】已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．5D ．35【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-，圆O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．【变式5-2】当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.【变式5-3】已知点P 在直线4x y +=上，过点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆22:(4)(5)1G x y -+-=上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（ ）A ．4B ．6C 101D 131【答案】B【解析】根据题意，设(,)P m n 为直线4x y +=上的一点，则4m n +=，过点P 作圆22:4O x y +=的切线，切点分别为A 、B ，则有OA PA ⊥，OB PB ⊥，则点A 、B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的圆心为C (2m ，)2n ，半径221||2m nr OP +==，则其方程为2222()()224m n m n x y +-+-=，变形可得220x y mx ny +--=，联立222240x y x y mx ny ⎧+=⎨+--=⎩，可得圆C 和圆O 公共弦AB 为：40mx ny +-=， 又由4m n +=，则有(4)40mx m y +--=， 变形可得()440m x y y -+-=， 则有0440x y y -=⎧⎨-=⎩，解可得1x y ==，故直线AB 恒过定点()1,1Q ，点M 在圆22:(4)(5)1G x y -+-=上，则点M 到直线AB 距离的最大值为22||1(41)(51)16GQ +-+-=．故选：B ．题型六 利用代数式几何意义求最值【例6】已知实数x ，y 满足2266140x y x y +--+=，求2223x y x +++的最大值与最小值．【答案】最大值为51，最小值为11【解析】已知方程2266140x y x y +--+=可化为()()22334x y -+-=，则此方程表圆，且圆心C 的坐标为()3,3，半径长2r =．又()22222312x y x x y +++=+++．它表示圆上的(),P x y 到()1,0E -的距离的平方再加2；所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P 与点E 距离的最大值为2CE +， 点P 与点E 距离的最小值为2CE -. 又因为()223135CE =++=，则2223x y x +++的最大值为27251+=，2223x y x +++的最小值为23211+=；即2223x y x +++的最大值为51，最小值为11.【变式6-1】已知点(),P x y 在圆：()2211x y +-=上运动．试求：（1）(223x y +的最值；（2）12y x --的最值； 【答案】（1）最大值为9，最小值为1；（233 【解析】（1）设圆()2211x y +-=的圆心为()0,1A ，半径1r =，点(),P x y 在圆上，所以(223x y +表示(),P x y 到定点()3,0E 的距离的平方， 因为()22312AE =+=，所以AE r PE AE r -≤≤+，即13PE ≤≤，所以(22139x y ≤+≤，即(223x y +的最大值为9，最小值为1；（2）点(),P x y 在圆上，则12y x --表示圆上的点P 与点()2,1B 的连线的斜率， 根据题意画出图形，当P 与C （或)D 重合时，直线()BC BD 与圆A 相切，设直线BC 解析式为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，∴圆心(0,1)到直线BC 的距离d r =，即2|2|11k k -=+，解得3k =， 333k ，即31323y x --， ∴12y x --33【变式6-2】设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为( )A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1，圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．【变式6-3】已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=，点(0,1)A -与(0,1)B ，P 为圆C 上动点，当22||||PA PB +取最大值时点P 坐标是 ． 【答案】18(5，24)5． 【解析】设(,)P x y ，则22222222||||(1)(1)2()2d PA PB x y x y x y =+=++++-=++，22x y +的几何意义是(,)P x y 到原点的距离，由已知，圆心(3,4)C ，半径为1，C 到O 的距离||5CO =，∴22x y +的最大值是516+=，d ∴的最大值为226274⨯+=，由直线43y x =与圆22:(3)(4)1C x y -+-=，可得(512)(518)0x x --=，125x ∴=或185x =，∴当22||||PA PB +取最大值时点P 坐标是18(5，24)5．故答案为：18(5，24)5．题型七 面积的最值问题【例7】已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，(2,0)C ． （1）求圆E 的方程；（2）若P 为圆E 上的一动点，求ABP ∆面积的最大值． 【答案】（1）22(1)1x y -+=【解析】（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，22(40)D E F +->，由题意可得020420F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得200D E F =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆E 的方程为2220x y x +-=即22(1)1x y -+=； （2）(0,0)A ，(1,1)B AB ∴的方程：0x y -=，且||2AB =，∴圆心(1,0)E 到直线AB 的距离为|1|222d ==， ∴点P 到直线AB 的距离的最大值为212+， ∴121212||(1)2(1)22222ABPS AB ∆+⨯⨯+=⨯⨯+=． 故ABP ∆面积的最大值为122+．【变式7-1】已知圆22:(1)(1)4C x y -+-=，P 为直线:220l xy 上的动点，过点P 作圆C 的切线PA ，切点为A ，当PAC △的面积最小时，PAC △的外接圆的方程为（ ）A ．22115224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．22119224x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ．221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】由题可知，PA AC ⊥，半径2AC =，圆心(1,1)C ，所以222142PACSPA AC PA PC AC PC =⋅==-=-要使PAC △的面积最小，即PC 最小，PC 的最小值为点(1,1)C 到直线:220l xy 22212521+++即当P 点运动到PC l ⊥时，PACS最小，直线l 的斜率为2-，此时直线PC 的方程为11(x 1)2y -=-，由11(1)2220y x x y ⎧-=-⎪⎨⎪++=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，所以(1,0)P -，因为PAC △是直角三角形，所以斜边PC 的中点坐标为10,2⎛⎫⎪⎝⎭，而()()2211105PC =++-所以PAC △的外接圆圆心为10,2⎛⎫⎪⎝⎭5，所以PAC △的外接圆的方程为221524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.故选：C.【变式7-2】已知C ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB 的方程为 ____． 【答案】210x y ++=【解析】C ：222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=，则圆心()11C ，，半径2r =． 因为四边形MACB 的面积22?22||4CAM S S CA AM AM CM ====- 要使四边形MACB 面积最小，则需CM 最小，此时CM 与直线l 垂直， 直线CM 的方程为()121y x -=-，即21y x =-，联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩，解得()0,1M -．则5CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=．【变式7-3】点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小， 即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 222521==+OP 故所求最小值为()222548-=.。
