2.2.2 对数函数及其性质(一)(人教A版必修1)

2.2.2　对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于( )A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a (x+c )的图象是由y=log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a ≠1,函数y=log a x ,y=a x ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( )2-1313g 1213A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=lo >lo =1,∴c>a>b.故选D .2-1313g 1213g 12126.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f = .(12)f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f =log 2=-1.(12)1217.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )=直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围{log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).g1(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.3能力提升1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=,则a=( )14A.2 B.-2 C. D.-1212,得g (x )=2x .∵g (a )=,∴2a =,∴a=-2.14143.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( )A. B.2 C.3D.1213y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=.故选A .125.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a==2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,log 43.6log 42∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x 位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )=其图象如右图所示.{lg x ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M.(1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围;(2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得解得-<a ≤-1.{2a +2≤0,5a +4>0,45所以a 的取值范围为.(-45,-1](2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.{4-4a 2<0,a >0,{a 2>1,a >0,所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 2(a 为常数)是奇函数.1+ax x -1(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 2是奇函数,1+axx -1∴f (-x )=-f (x ).∴log 2=-log 2.1-ax -x -11+ax x -1即log 2=log 2,∴a=1.ax -1x +1x -11+ax 令>0,解得x<-1或x>1.1+x x -1所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。

高中数学 2.2.2 对数函数及其性质（第3课时）课后强化作业新人教A版必修1一、选择题1．若log2x＝3，则x的值为( )A．4 B．6C．8 D．9[答案] C2．以下函数中，在区间(－∞，0)上为单调增函数的是( )A．y＝－log12 (－x) B．y＝2＋x1－xC．y＝x2－1 D．y＝－(x＋1)2[答案] B[解析] y＝－log12(－x)＝log2(－x)在(－∞，0)上为减函数，否定A；y＝x2－1在(－∞，0)上也为减函数，否定C；y＝－(x＋1)2在(－∞，0)上不单调，否定D，故选B.3．(2010·山东文，3)函数f(x)＝log2(1－3x)的值域为( )A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．[－∞，0)[答案] C[解析] 3x>0⇒0<1－3x<1⇒log2(3x＋1)<log21＝0，选C.4．(2013～2014山东梁山一中期中试题)已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.32则a、b、c 三者之间的大小关系为( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．b＞c＞a D．c＞b＞a[答案] C[解析] a＝log20.3＜log21＝0，b＝20.3＞20＝1，c＝0.32＜0.30＝1，又0.32＞0，∴b＞c＞a，故选C.5．(2013～2014衡水二中月考试题)若f(x)＝|lg x|,0＜a＜b且f(a)＞f(b)则下列结论正确的是( )A．ab＞1 B．ab＜1C ．ab ＝1D ．(a －1)(b －1)＞0[答案] B[解析] 由y ＝|lg x |图象可知，a ＜1＜b ，否定D.∵f (a )＞f (b )，∴|lg a |＞|lg b |即－lg a ＞lg b ∴lg a ＋lg b ＜0，∴lg(ab )＜0，∴0＜ab ＜1.故选B.6．已知函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．－8≤a ≤－6B ．－8<a <－6C ．－8<a ≤－6D ．a ≤－6[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧3－a ×－1＋5>0a6≤－1⇒－8<a ≤－6，故选C.[点评] 不要只考虑对称轴，而忽视了定义域的限制作用． 二、填空题7．(2012·全国高考数学江苏卷)函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案] (0，6][解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧x >01－2log 6x ≥0，所以x ∈(0，6]．8．(2013～2014衡水高一检测)已知函数f (x )＝a x＋log a x (a ＞0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．[答案] 2[解析] a ＞1时，f (x )为增函数，f (1)＋f (2)＝log a 2＋6，即a ＋log a 1＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，解得a ＝2，当0＜a ＜1时同理解得a 不存在． 9．若函数f (x )＝ax －1的图象经过点(4,2)，则函数g (x )＝log a1x ＋1的图象是________．[答案] ④[解析] 将点(4,2)代入f (x )＝ax －1，得2＝a4－1，解得a ＝213＞1.又函数y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递减，所以g (x )单调递减且图象过点(0,0)，所以④正确．三、解答题10．计算下列各式的值． (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋lg 22；(3)(2014·高考安徽卷)(1681)－34 ＋log 354＋log 345[解析] (1)原式＝log 2(743×12×17×6)＝log 2(12)＝log 22－12＝－12.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(1＋lg2)＋lg 22 ＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg2＋lg5) ＝2＋lg5＋lg2＝3. (3)(1681) －34 ＋log 354＋log 345＝[(23)4] －34 ＋log 354×45＝(23)－3＋log 13＝(32)3＝27811．(2013～2014福建省厦门第一中学高一月考)已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞03－x ＞0，解得－1＜x ＜3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)∵f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )]＝log a (－x 2＋2x ＋3)＝log a [－(x －1)2＋4]， 若0＜a ＜1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， ∴log a 4＝－2，a －2＝4，又0＜a ＜1，∴a ＝12.若a ＞1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值． 综上知，a ＝12.12．已知函数f (x )＝x 2－x ＋k ，且log 2f (a )＝2，f (log 2a )＝k ，a ＞0，且a ≠1. (1)求a ，k 的值．(2)当x 为何值时，f (log a x )有最小值？求出该最小值．[解析] (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧log 2f a＝2，f log 2a ＝k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋k ＝22，log 2a ＝0或log 2a ＝1，又a ＞0，且a ≠1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝2.(2)f (log a x )＝f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74.所以当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log a x )有最小值74.。