第4章复习课 相似

第4章相交线和平行线复习课1.两条直线被第三条直线所截,就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”.为了便于记忆,同学们可仿照下图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线,食指代表截线).下列三幅图依次表示()A.同位角、同旁内角、内错角B.同位角、内错角、同旁内角C.同位角、对顶角、同旁内角D.同位角、内错角、对顶角2.如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC=3,P是边BC上的动点,则AP的长不可能是()A.2.5B.4C.5D.63.如图,AB∥CD,截线EF与AB,CD分别相交于M,N两点,若∠1∶∠2=1∶5,则∠6等于()A.100°B.120°C.150°D.170°4.如图,直线AB与直线CD相交于点O,E是∠AOD内一点,已知OE⊥AB,∠BOD=45°,则∠COE的度数是.5.如图,这是由边长为1的小正方形组成的网格,请仅用直尺在网格中画图:过点C 作AB的平行线CD.【能力巩固】6.下列结论正确的是()A.平行线的一组同位角的平分线相交B.平行线的一组内错角的平分线平行C.平行线的一组同旁内角的平分线平行D.平行线的一组同位角互补7.如图,直线l1∥l2,则∠1+∠2=.8.如图,为了解决A,B,C,D四个小区的缺水问题,市政府准备投资修建一个水厂.(1)要使水厂到四个小区的距离之和最小,请你画图确定水厂H的位置.(2)另外,计划把河流EF中的水引入水厂H中,使之到H的距离最短.请你画图确定铺设引水管道的位置,并说明理由.9.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角之间有什么关系?某同学为了探究这两个角的关系,画出下面两个不同的图形,请你根据图形完成以下问题:(1)如图1,如果AB∥CD,BE∥DF,那么∠1与∠2的关系是;如图2,如果AB∥CD,BE∥DF,那么∠1与∠2的关系是. (2)根据(1)的探究过程,我们可以得到结论:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角的关系是.(3)利用结论解决问题:如果有两个角的两边分别平行,且一个角比另一个角的3倍少40°,那么这两个角分别是多少度?【素养拓展】10.感知:如图1,若AB∥CD,点P在AB,CD内部,则∠P,∠A,∠C之间的数量关系是.探究:如图2,若AB∥CD,点P在AB,CD外部,则∠APC,∠A,∠C之间的数量关系是.请补全以下证明过程:证明:如图3,过点P作PQ∥AB,∴∠A=.∵AB∥CD,PQ∥AB,∴∥CD,∴∠C=∠.∵∠APC=∠-∠,∴∠APC=.应用:(1)图4为北斗七星的位置图,如图5,将北斗七星分别标为点A,B,C,D,E,F,G,其中B,C,D三点在一条直线上,AB∥EF,求∠B,∠D,∠E之间的数量关系,并说明理由.(2)如图6,在(1)问的条件下,延长AB到点M,延长FE到点N,过点B和点E分别作射线BP和EP,交于点P,使得BD平分∠MBP,EN平分∠DEP,若∠MBD=25°,求∠D-∠P=的度数.参考答案1.B2.A3.C4.135°5.解:如图所示.【能力巩固】6.B7.30°8.解:(1)如图,连接AC,BD,线段AC和BD的交点为点H,点H就是水厂的位置. (2)如图,过点H作HM⊥EF,M是垂足,HM最短.理由是垂线段最短.9.解:(1)相等;互补.提示:题图1中,∵AB∥CD,BE∥DF,∴∠1=∠3,∠2=∠3,∴∠1=∠2,即∠1与∠2的关系是相等;题图2中,∵AB∥CD,BE∥DF,∴∠1=∠3,∠2+∠3=180°,∴∠1+∠2=180°,即∠1与∠2的关系是互补.故答案为相等;互补.(2)相等或互补.(3)由题意可设两个角为x°和3x°-40°,∵两个角的两边分别平行,则这两个相等或互补,∴x=3x-40或x+3x-40=180,解得x=20或x=55,即这两个角为20°,20°或55°,125°.【素养拓展】10.解:感知:∠P=∠A+∠C.探究:∠APC=∠A-∠C.证明:∠APQ,PQ,CPQ,APQ,CPQ,∠A-∠C.应用:(1)∠D+∠B-∠E=180°.理由:如图1,过点D作DH∥EF,∴∠HDE=∠E.∵AB∥EF,DH∥EF,∴AB∥DH,∴∠B+∠BDH=180°,即∠BDH=180°-∠B,∴∠HDE+∠BDH=∠E+180°-∠B,即∠BDE+∠B-∠E=180°,∴∠D+∠B-∠E=180°.(2)如图2,过点P作PH∥EF,∴∠EPH=∠NEP.∵AB∥EF,PH∥EF,∴AB∥PH,∴∠MBP+∠BPH=18 0°,∵BD平分∠MBP,∠MBD=25°.∴∠MBP=2∠MBD=2×25°=50°,∴∠BPH=180°-50°=130°.∵EN平分∠DEP,∴∠NEP=∠DEN,∴∠BPE=∠BPH-∠EPH=∠BPH-∠NEP=∠BPH-∠D EN=130°-(180°-∠DEF)=∠DEF-50°.由(1)知∠D+∠ABD-∠DEF=180°,∵∠MBD=25°,∴∠ABD=155°,∴∠D+155°-∠DEF=1 80°,∴∠DEF=∠D-25°,∴∠BPE=∠DEF-50°=∠D-25°-50°=∠D-75°,即∠D-∠BPE=75°,即∠D-∠P=75°,故答案为75°.。

第四章 图形的相似7相似三角形的性质第2课时 相似三角形中的周长和面积之比素材一新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，求这个地块的实际周长及面积．图4－7－29问题1 在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？问题2 要解决这个问题，需要什么知识？问题3 你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？ 问题4 如何说明你的猜想是否正确呢？ [说明与建议] 说明：学生们在一个开放的环境中思考生活中遇到的实际问题，亲身经历和感受数学知识来源于生活中的过程．建议：小组交流、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．复习导入 复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：①如果a b ＝43，那么a ＋b b ＝__73__，a －b b ＝__13__；②如果a b ＝c d ＝e f ＝57，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝__57__；③在四边形ABCD 和四边形EFGH 中，已知AB EF ＝BC FG ＝CD GH ＝DA HE ＝23，四边形ABCD 的周长是60cm ，求四边形EFGH 的周长．[说明与建议] 说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相似比的关系．引导学生思考问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相似形周长之比与相似比之间的关系．悬念激趣 某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：马路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB 的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4－7－30[说明与建议] 说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的积极性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思考，让学生带着问题学习新课，同时教师引出新课．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验．素材二教材母题挖掘110页例2如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．图4－7－31【模型建立】根据相似三角形的性质——相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能准确找出相似的两个三角形，再利用性质求解．【变式变形】1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．图4－7－32[答案：BC＝20 cm，AC＝25 cm，A′B′＝18 cm，A′C′＝30 cm]2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图4－7－33[答案：△DEF的周长为12，面积为12]3．如图4－7－34所示，在ABCD中，AE∶EB＝1∶2，且S△AEF＝6 cm2.(1)求△AEF与△CDF的周长比；(2)求△CDF 的面积．图4－7－34[答案：(1)1∶3 (2)54 cm 2]4．如图4－7－35，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E.若AB ＝10，BC ＝6，DE ＝2，求四边形DEBC 的面积．图4－7－35[答案：643]素材三考情考向分析[命题角度1] 利用相似三角形的性质求周长比相似三角形的周长比等于相似比，有了边长的关系，就可以求出周长比．例 [湘西中考] 如图4－7－36，在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长比是(A )图4－7－36A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5[命题角度2] 利用相似三角形的性质求面积比灵活运用相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解题．例 [南京中考] 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A′B′C′的面积比为(C )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1[命题角度3] 利用相似三角形的性质求相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方．反过来，当已知两个相似三角形面积之间的关系时，也可以求出相似比．例 [滨州中考] 如图4－7－37，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB的值是多少？图4－7－37[答案：22]素材四教材习题答案P110随堂练习判断正误：(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；( )(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．( )[答案] (1)√(2)×P110习题4.121．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相似？如果相似，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相似，周长比为2∶1 ；面积比为4∶1.2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？解：(1)2∶1 (2)4∶1.3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相似？如果相似，试确定其周长比和面积比．解：相似；周长比为1∶2，面积比为1∶4.4．一块三角形土地的一边长为120 m，在地图上量得它的对应边长为0.06 m，这边上的高为0.04 m，求这块地的实际面积．解：4800 m2.5．小明同学把一幅矩形图放大欣赏，经测量其中一条边由10 cm变成了40 cm，那么这次放大的比例是多少？ 这幅画的面积发生了怎样的变化？解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．6．一个小风筝与一个大风筝形状相同，它们的形状如图所示，其中对角线AC ⊥BD .已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12 cm 和14 cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)如果在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少需要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1) 设AC 和BD 的交点是O ，风筝面积＝△ABD 的面积＋△BCD 的面积＝12×BD ×AO ＋ 12×BD ×CO ＝12×BD ×(AO ＋CO )＝ 12×BD ×AC ＝12×12×14＝84(cm 2)．(2) 3× (AC ＋BD )＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3) 彩纸面积＝12×14×3×3，容易看出裁下的面积是彩纸的一半， 故废弃部分面积＝3×3×12×14×12＝756(cm 2)．7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC . (1)若AD ∶DB ＝1∶1，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 等于多少？(2)若S △ADE ＝S 四边形DBCE ，则DE ∶BC ，AD ∶DB 各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE ∶BC ＝1∶2，AD ∶DB ＝1∶(2－1)．素材五图书增值练习 专题一 相似三角形性质的综合运用1．已知两个相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm ，求它们的周长．2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？（2）已知Rt△ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求Rt△DEF的周长与面积．3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相似多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么AB∶AD等于．5．已知两个相似多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【知识要点】1．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相似比．2．相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．3．相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．2．不要误认为相似三角形面积的比等于相似比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种情况：（1）两个图形是否相似，若是相似图形，则面积比等于相似比的平方；（2）两个图形不相似时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．【方法技巧】1．利用相似三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中经常用到．3．应用相似三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相似的判定相结合．4．相似多边形的定义是判定多边形相似的主要依据，也是多边形相似的重要性质．参考答案：1．解：设一个三角形周长为C cm，则另一个三角形周长为（C＋560）cm，则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240cm，800cm．2．解：（1）由相似变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2•S△BEF＝×4＝9．4．[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB．又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，则＝＝．5．20 [解析]根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．根据题意得：x＋4x＝25，解得x＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD•BC＝4×9＝36．∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．【知识要点】1.几种特殊四边形的性质和判定：（1）特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，需要注重各自图形的特殊性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等; ②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。

第四章数据的收集与简单统计图复习课教学目标：1.学会收集数据、整理数据、分析数据2.能从条形统计图、折线统计图、扇形统计图中获取信息，能制作扇形统计图.3.了解不同统计图的特征，能根据具体问题选择合适的统计图清晰、有效地表示数据.4.通过收集、整理、分析数据，让学生体会数学和生活是不可分割的，人人要学有用的数学.教学重点：1.让学生经历数据处理的过程：收集数据、整理数据、分析数据,获得和他人合作的数学活动经验.2.三种统计图的分析和制作，并从中获得更多的信息.教学难点：三种统计图的特点，以及在现实环境下选择适当的统计图并制作统计图，培养对数据处理的能力等统计观念.教学方法：讨论—总结法教学过程：一.回顾与思考本章的内容［师］第四章《数据的收集与简单统计图》我们已全部学完了.这节课，我们通过回顾和思考下列几个问题，归纳、总结本章的内容.出示投影：（回答下列问题：）1.通过本章的学习，大家不断地获得很多数据，总结一下，你曾用什么方法获得过数据.2.分别说一说扇形统计图、条形统计图、折线统计图的特点.3.举例说明如何做扇形统计图.下面我们先来思考第(1)个问题.［生］我们要了解地球陆地面积分布，世界人口分布需查找资料；在了解本班同学对“月球上有水吗”的想法时，我们对本班各种想法做了调查统计.而有些时候我们要得到一些数据就需要做实验.例如我们要得到100万步能绕400米的跑道跑几圈，要获得此数据，就需要实验，测量自己的步长.所以我们获得数据的方法是①查阅资料，②实验，③问卷调查. ③实地调查我们接着看投影中第2个问题.［生］条形统计图的特点是能清楚地表示出每个项目的具体数目.例如要统计咱们班某一次体育达标情况，想了解一下“优、良、合格、待合格各有多少人”，我们就应该选择条形统计图.扇形统计图的特点是能清楚地反映出各部分在总体中所占的百分比.还是上面的例子，如果想了解“优、良、合格、待合格的同学占全班同学的百分比”，我们就应该选择扇形统计图.折线统计图的特点是能清楚地反映事物的变化情况.例如在股评中，单独反映某种股票的涨跌情况，选用的便是折线统计图.首先我们来选择一下用什么样的统计图表示下列数据.［生］第(1)题可选用条形统计图.因为条形统计图才能清楚地反映各种受威胁的动物种类数.［生］第(2)题选择扇形统计图.扇形统计图可以清楚地反映出各种家庭所占某城市家庭数的百分比.［生］第(3)题可选择折线统计图，反映自1949年以来历次人口普查情况的变化.［生］第(3)题也可用条形统计图，能清楚地反映每次普查的人口数的具体情况.［师］同学们分析的都很好.(1)、(3)题的统计图课后完成.第(2)题扇形统计图如何制作呢？［生］我们把圆作为一个整体，然后根据每一部分占总体的百分比确定对应的扇形的圆心角的度数.即23%×360°≈83°42%×360°≈151°21%×360°≈76°9%×360°≈32°3%×360°≈11°2%×360°≈7°制作扇形统计图就是相应的在一个整体圆中画出含上述圆心角的扇形.(如下图).课堂小结总结一下本节课的内容，与同学交流一下，说说你的收获与疑惑。