第四章图形的相似

九年级上册第四章图形的相似重点题型归纳图形的相似是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形变换和比例问题中起到关键作用。

在九年级上册的第四章中，我们学习了图形的相似性质及其相关的题型。

本文将对这些重点题型进行归纳总结，帮助同学们理解和掌握。

1. 相似三角形的判定和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

我们可以利用以下条件判定两个三角形是否相似：- AA判定法：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。

- SSS判定法：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。

- SAS判定法：如果两个三角形的两对边成比例且夹角相等，那么它们是相似三角形。

相似三角形的性质：- 对应角相等：相似三角形对应角相等，即它们的内角相等。

- 对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即它们的对应边的长度比相等。

2. 相似三角形的应用相似三角形的应用涉及到长度、面积、坐标等方面的计算和问题求解。

以下是常见的相似三角形的应用题型：- 根据已知条件求解未知长度：利用相似三角形的性质，我们可以根据已知条件的比例关系计算未知长度。

- 根据已知条件求解面积：相似三角形的面积比等于对应边的长度比的平方。

- 坐标变换问题：当一个图形通过平移、旋转或缩放而变换时，我们可以利用相似三角形的性质求解坐标的变换关系。

3. 黄金分割黄金分割是指将一条线段分成两部分，使整体线段与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。

黄金分割具有以下特点：- 黄金分割比例是1：（√5+1）/2，约等于1：1.618。

- 黄金分割线段具有美学上的完美比例，被广泛应用在建筑、绘画等领域。

- 黄金矩形具有一些特殊性质，例如，它的长边和短边的比例等于整个矩形和长边之比。

4. 相似图形的比例尺比例尺用于表示实际对象与图形之间的比例关系。

当我们绘制地图、建筑设计等图形时，需要确定适当的比例尺。

常见的比例尺形式包括文字比例尺和线性比例尺。

- 文字比例尺：用文字描述实际距离与图形上距离的比例关系，例如，“1cm表示10公里”。

位似、投影、视图教学目标1、掌握位似的概念及比例、坐标的计算；2、熟悉投影及比例的计算；3、掌握三视图。

重难点分析重点：1、位似与比例计算；2、位似与坐标计算；3、投影与比例计算；4、视图的读取。

难点：1、位似、投影中的相似与计算。

知识点梳理1、相似的进一步学习（1）证明三角形相似；（2）相似性质的应用。

'2、如果两个相似多边形每组对应顶点A、A'的连线都经过同一个点O，且有OA=kAO⋅（0≠k），那么这两个相似多边形叫做位似多边形，点叫做位似中心。

实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

3、画位似图形的步骤：（1）确定位似中心（可以在图形外部、内部、某一边上、某一顶点）；（2）连接图形各顶点与位似中心的连线（延长线）；（3）按相似比取点；（4）顺次连接个点，所得图形就是所求图形。

4、位似图形的坐标变化规律5、中心投影与平行投影6、物体的视图：主视图、左视图、俯视图知识点1：相似的进一步认识△中，D是AC上一点，联结BD，且∠ABD =∠ACB.【例1】已知：如图，在ABC（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=5，AB= 7，求AC的长.【随堂练习】△中，D是AB上一点， E是AC上一点，1、已知: 如图，在ABC且∠ADE =∠ACB.（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若DE: CB=3:5 ，AE=4, 求AB的长.2、已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．（1）求证：△ABE∽△DEA；的值．（2）若AB=4，求AE DE3、如图，在△ABC中，点D在边AB上，满足且∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，求DB 的长.影子三角尺灯泡O AA'知识点2：位似图形的识别与画法【例1】如图，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，下面的说法中：①ABC ∆与DEF ∆是位似图形； ②ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：2；③ABC ∆与DEF ∆的周长之比为2：1； ④ABC ∆与DEF ∆的面积之比为4：1．正确的是【 】 A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．②③④【例2】如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的94，则 AB ：DE= ．【随堂练习】 1、三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示. 若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是【 】 A ．5：2 B ．2：5 C ．4：25 D ．25：42、如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中画．．．．出．△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2︰1．3、如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD=OD ′，则A ′B ′:AB 为【 】A.2:3B.3:2C.1:2D.2:14、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点)0,2(-A ，)2,1(-B ，请以为位似中心，将OAB ∆放大，使放大后的B A O ''∆与的对应线段比为1:2【例3】如图，在平面直角坐标系中，A （-1，1），B （-2，-1）．（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ；（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为 ，点B 的对应点D 的坐标为 ．【例4】如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A 、B 的对应点分别为A ′，B ′，A ′，B ′均在图中格点上，若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为【 】 A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（2m ，2n ） D ．（m ，2n）【例5】如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为31，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为【 】 A ．（3，2） B ．（3，1） C ．（2，2） D ．（4，2）【随堂练习】1、如图，在直角坐标系中，△OAB 和△OCD 是位似图形，O 为位似中心，若A 点的坐标为（1，1），B 点的坐标为（2，1），C 点的坐标为（3，3），那么点D 的坐标是 ．2、如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD=90°，CO=CD ．若B （1，0），则点C 的坐标为______________.3、如图，已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形， P 是位似中心，若点B 的坐标为（2，4），点E 的坐标为（﹣1，2），则点P 的坐标为【例6】图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是【 】 A ．点M B ．点N C ．点O D ．点P【随堂练习】1、如图，ABO ∆与O B A '''∆是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．2、如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点 ．【例7】如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中．（1）画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1．（2）以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2．【例8】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；（2）点B′的坐标为（，）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（）【随堂练习】1、已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）B（3，﹣2）C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．2、将图中的四边形作下列运动，画出相应的图形，并写出各个顶点的坐标；（1）关于y轴对称的四边形A′B′C′D′；（2）以坐标原点O为位似中心，放大到原来的2倍的四边形A″B″C″D″．知识点3：中心投影与平行投影【例1】下图是我国北方某地一棵树在一天不同时刻拍下的五张图片，说出这五张图片所对应时间的先后顺序.【例2】如图，晚上小明由甲处径直走到乙处的过程中，他在路灯M下的影长在地面上的变化情况是【】A、逐渐变短B、先变短后变长C、先变长后变短D、逐渐变长【随堂练习】1、如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在【】A.△ACEB.△BFDC.四边形BCEDD.△ABD2、把一个正六棱柱如图1摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是【】A． B． C． D．3、夜晚当你靠近一盏路灯时，你发现自己的影子是【】A．变短 B．变长 C．由短变长 D．由长变短【例3】小明希望测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝2米，DB＝4米，CD＝1.5米，则电线杆AB长＝_____。

第四章 图形的相似4.1 成比例线段【知识点】1. 线段的比：两条线段长度之比称为线段的比（单位一致）。

2.比例线段：若四条线段a 、b 、c 、d 满足d c b a =，则称四条线段a 、b 、c 、d 为成比例线段。

2. 判断线段是否成比例的方法：①一排（从小到大或从大到小排序）②二算（计算比值是否相等）③三判断（判断是否成比例）。

注意：当四条线段成比例时，若其中一条长度未知，那么在确定比例关系时，有多种对应情况，需要分类讨论。

3.比例中项：若db b a =（或ad b =2），则称b 为比例中项。

4.比例基本定义：若a 、b 、c 、d 满足d c b a =（或a ：b=c ：d ），则称a 、b 、c 、d 为比例的项，a 、d 为比例外项，b 、c 为比例内项。

5.比例基本性质：若dc b a =（或a ：b=c ：d ），则ad=bc ； 若ad=bc （a 、b 、c 、d 都不为0），则d c b a =。

3. 合分比性质：若d c b a =，则d d c b b a ±=±；若d c b a =，则dkd c b kb a ±=±。

4. 等比性质：若ba n f db m ec a n m f ed c b a =⋯++++⋯+++=⋯===则,（b+d+f+...+n ≠0）。

考点1 线段的比1.如果在比例1：10000000的地图上，A 、B 两地的图上距离为2.4厘米，那么A 、B 两地的实际距离为 _千米．2.某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则在图上距离和实际距离的比是（ ）A.1:2000B. 1:200C. 200:1D. 2000:1考点2 比例线段1.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，则 d 的长度为( )A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．9cm2.下列四条线段中，不能成比例的是 ( )．A ．a=3，b=6，c=2，d=6B ．a=4，b=6，c=5，d=10C ．a=1，b=2，c=6，d=3D ．a=2，b=5，b=15，d=323.已知三条线段a 、b 、c ，其中 a=1cm ，b=4cm ，c 是 a 、b 的比例中项，则c= cm4.已知三条线段的长分别为 1.5，2，3，则下列线段中不能与它们组成比例线段的是 ( )A ．1B ．2.25C ．4D ．25.如图，在平行四边形 ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC 找出图中的一组比例线段，并说明理由．考点3 比例性质1.已知 xy=mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 ( )A.y m n x = B ．x n m y = C ．y n m x = D ．ny m x = 2.若 35b a =，则 bb -a = _． 3.已知 a ：b ：c=2:3:4，则b ac a -+= ． 4.已知53f e d c b a ===，b+d+f=50，那么a+c+e= .5.已知k c b a b c a a c b =+=+=+，则 k=6.把一张矩形纸片沿图中虚线裁成三张大小相同的矩形纸片，若得到的小矩形纸片长边与短边的比等于原来大矩形纸片的长边与短边的比，则大矩形纸片的长与宽之比为7.已知线段a 、b 、c ，满足623c b a == ，且a+2b+c=26，求c b a +的值．8.在△ABC 和△DEF 中，已知43===FD CA EF BC DE AB ,且△ABC 的周长为18，求△DEF 的周长。

第四章图形的相似第1讲相似三角形常见模型一．知识梳理(一)【知识回顾】相似三角的判定方法1.如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2.如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3.如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（二）相似三角形基本类型1.平行线型2.相交线型3.子母型4.旋转型二.实战演练训练角度1 平行线型1.如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.(1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．典例分析训练角度2 相交线型2.如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且EOBO＝DOCO，试问△ADE 与△ABC相似吗？请说明理由．训练角度3 子母型3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：ABAC＝DFAF.训练角度4 旋转型4.如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)ADAE＝BDCE.1.下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似2.如图，给出下列条件，其中不能单独判定△ABC∽△ACD的条件为（）A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．=D．=3.如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F．过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对课堂训练4.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）5.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M．下列结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD．正确的有（）个．A.4B.3C.2D.16.若四边形ABCD的四边长分别是4，6，8，10，与四边形ABCD相似的四边形A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形A1B1C1D1的最小边长是__________.7.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽∽。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。