下载文档原格式
课时作业64 算法与程序框图一、选择题1．如下框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于()．A．7 B．8 C．10 D．112．(2012江西南昌模拟)若如下程序框图所给的运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是()．A．k＝9 B．k≤8 C．k<8 D．k>83．(2012北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()．A．2 B．4 C．8 D．164．阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是()．A．i>5 B．i>6 C．i>7 D．i>85．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()．A．S＝S·(n＋1) B．S＝S·x n＋1 C．S＝S·n D．S＝S·x n6．(2012山东高考)执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为()．A．2 B．3 C．4 D．57.若下面的程序框图输出的S是126，则①应为()．A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤8二、填空题8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．9. (2012上海十三校联考)根据右面的程序框图，要使得输出的结果在区间[－1,0]上，则输入的x的取值范围是__________．10．(2012陕西高考改编)下图是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q的程序框图，则图中空白框内应填入__________．三、解答题11. 已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…若程序运行中输出的一个数组是(x，－8)，求x的值．12. 程序框图如图，运行此程序，试求输出的b的值．参考答案一、选择题1．B 解析：∵x 1＝6，x 2＝9， ∴x 1＋x 22＝6＋92＝7.5≠8.5， ∴输出的p ＝x 2＋x 32＝9＋x 32＝8.5， ∴x 3＝8.2．D 解析：据程序框图可得当k ＝9时，S ＝11；k ＝8时，S ＝11＋9＝20.∴应填入“k ＞8”．3．C 解析：初始：k ＝0，S ＝1，第一次循环：由0＜3，得S ＝1×20＝1，k ＝1； 第二次循环：由1＜3得，S ＝1×21＝2，k ＝2；第三次循环：由2＜3得，S ＝2×22＝8，k ＝3.经判断此时要跳出循环．因此输出的S 值为8.4．A5．D 解析：这里要求的S 是x 1，x 2，…，x 10的乘积，S 从1开始每循环一次就乘以一个xn ，直到符合S ＝x 1x 2·…·x n 为止，然后跳出循环，输出S .6．B 解析：由程序框图知，当n ＝0时，P ＝1，Q ＝3；当n ＝1时，P ＝5，Q ＝7；当n ＝2时，P ＝21，Q ＝15，此时n 增加1变为3，满足P ＞Q ，循环结束，输出n ＝3.7．B 解析：程序是计算21＋22＋…＋2n ＝126，解得n ＝6，所以判断框内应填“n ≤6”．二、填空题8．5 解析：第1次循环：k ＝3，a ＝43，b ＝34；第2次循环：k ＝4，a ＝44，b ＝44； 第3次循环：k ＝5，a ＝45，b ＝54.此时，满足条件a ＞b ，循环终止，因此，输出的k 的值是5.9.⎣⎡⎦⎤2，52 解析：由程序框图可得输出值y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x <0，4－2x ，x ≥0， 若y ∈[－1,0]，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x 2≤0，x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤4－2x ≤0，x ≥0， 解得2≤x ≤52. 10．q ＝M M ＋N 解析：由框图可知M 表示及格人数，N 表示不及格人数，所以q ＝M M ＋N. 三、解答题11．解：开始n ＝1，x 1＝1，y 1＝0→n ＝3，x 2＝3，y 2＝－2→n ＝5，x 3＝9，y 3＝－4→n ＝7，x 4＝27，y 4＝－6→n ＝9，x 5＝81，y 5＝－8，则x ＝81.12．解：运行程序各次结果分别为i ＝10，a ＝1012，b ＝a ＝1012；i ＝9，a ＝947，b ＝a ＝947；…；i ＝5，b ＝a ＝613；i ＝4，a ＝6＜613，b ＝a ＝6；i ＝3，a ＝7＞6，此时程序结束，故输出b 的值为6.。
第十二章推理与证明、算法、复数12.3算法与程序框图课内基础通关1．算法与程序框图(1)算法①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．②应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．(2)程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．2．三种基本逻辑结构3.算法语句(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能(2)条件语句①程序框图中的条件结构与条件语句相对应．②条件语句的格式a．IF—THEN格式b．IF—THEN—ELSE格式(3)循环语句①程序框图中的循环结构与循环语句相对应．②循环语句的格式a．UNTIL语句b．WHILE语句【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．(×)(2)程序框图中的图形符号可以由个人来确定．(×)(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(×)(4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(√)(5)5＝x是赋值语句．(×)(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)考点自查1．已知一个算法：(1)m＝a.(2)如果b<m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3)如果c<m，则m＝c，输出m.否则执行第(4)步．(4)输出m.如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是()A．3 B．6C．2 D．m答案 C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C.2．(2020·全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于()A．7 B．12C．17 D．34答案 C解析由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17，故选C. 3．(2020·广州调研)下列赋值能使y的值为4的是()A．y－2＝6 B．2*3－2＝yC.4＝yD.y＝2*3－2答案 D解析赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量．4．(2020·太原月考)如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是()A．k≤6? B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9?答案 B解析第一次执行循环，得到S＝10，k＝9；第二次执行循环，得到S＝90，k＝8；第三次执行循环，得到S＝720，k＝7，此时满足条件．5．执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．答案 3解析 第一次循环：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2； 第二次循环：F 1＝5，F 0＝3，n ＝3.此时1F 1＝15＝0.2满足1F 1≤ε＝0.25，故输出n ＝3.高考题型分类精讲题型一 顺序结构与条件结构 命题点1 顺序结构例1 如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．(1)该程序框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x 的值为3时，输出的值为多大？ (3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x 的值应为多大？ 解 (1)该程序框图解决的是求二次函数f (x )＝－x 2＋mx 的函数值的问题． (2)当输入的x 的值为0和4时，输出的值相等， 即f (0)＝f (4)．因为f (0)＝0，f (4)＝－16＋4m ， 所以－16＋4m ＝0， 所以m ＝4，f (x )＝－x 2＋4x . 则f (3)＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x 的值为3时，输出的f (x )的值为3. (3)因为f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， 当x ＝2时，f (x )最大值＝4，所以要想使输出的值最大，输入的x 的值应为2. 命题点2 条件结构例2 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]答案 A解析 根据程序框图可以得到分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，进而在函数的定义域[－1,3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t <1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上可知，函数的值域为[－3,4]，即输出的s 属于[－3,4]． 引申探究若将本例中判断框的条件改为“t ≥1”，则输出的s 的范围是什么？解 根据程序框图可以得到，当－1≤t <1时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，此时－5≤s <3；当1≤t ≤3时，s ＝3t ∈[3,9]．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s 属于[－5,9]． 思维升华 应用顺序结构与条件结构的注意点 (1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的． (2)条件结构利用条件结构解决算法问题时，重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为________．答案 2解析 当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时输出S 的值为1；当条件x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1成立时S ＝2x ＋y ，下面用线性规划的方法求此时S 的最大值． 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)，由图可知当直线S ＝2x＋y 经过点M (1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.题型二 循环结构命题点1 由程序框图求输出结果例3 (2020·全国乙卷)执行下面的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( )A ．y ＝2xB ．y ＝3xC ．y ＝4xD ．y ＝5x答案 C解析 执行题中的程序框图，知 第一次进入循环体：x ＝0＋1－12＝0，y ＝1×1＝1，x 2＋y 2<36； 第二次执行循环体：n ＝1＋1＝2，x ＝0＋2－12＝12，y ＝2×1＝2，x 2＋y 2<36；第三次执行循环体：n ＝2＋1＝3，x ＝12＋3－12＝32，y ＝3×2＝6，x 2＋y 2>36，满足x 2＋y 2≥36，故退出循环，输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x ，故选C.命题点2 完善程序框图例4 (2020·保定质检)如图给出的是计算12＋14＋16＋…＋120的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )A ．i >10?B ．i <10?C ．i >11?D ．i <11?答案 A解析 经过第一次循环得到s ＝12，i ＝2，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到s ＝12＋14，i ＝3，此时的i 不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s ＝12＋14＋16，i ＝4，此时的i 不满足判断框中的条件；…；经过第十次循环得到s ＝12＋14＋16＋…＋120，i ＝11，此时的i 满足判断框中的条件，执行输出，故判断框中的条件是“i >10？”． 命题点3 辨析程序框图的功能例5 根据下面框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( )A．a n＝2n B．a n＝2(n－1)C．a n＝2n D．a n＝2n－1答案 C解析由程序框图可知，第一次运行：i＝1，a1＝2，S＝2；第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；第三次运行：i＝3，a3＝8，S＝8；第四次运行：i＝4，a4＝16，S＝16.故选C.思维升华与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知程序框图，求输出的结果，可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．(2)完善程序框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3)对于辨析程序框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．(2020·四川)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9 B．18 C．20 D．35答案 B解析初始值n＝3，x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18，故选B.题型三基本算法语句例6阅读下面两个算法语句：图1图2执行图1中语句的结果是输出________；执行图2中语句的结果是输出________．答案i＝4i＝2解析执行图1中语句，得到(i，i·(i＋1))的结果依次为(1,2)，(2,6)，(3,12)，(4,20)，故输出i ＝4.执行图2中语句的情况如下：i＝1，i＝i＋1＝2，i·(i＋1)＝6<20(是)，结束循环，输出i＝2.思维升华解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．(2020·江苏改编)根据如图所示的语句，可知输出的结果S＝________.答案7解析I＝1，S＝1；S＝1＋2＝3，I＝1＋3＝4＜8；S＝3＋2＝5，I＝4＋3＝7＜8；S＝5＋2＝7，I＝7＋3＝10＞8.退出循环，故输出S＝7.认真纠错谨防丢分13．程序框图中变量的取值典例执行如图所示的程序框图所表示的程序，则输出的A等于()A．2 047 B．2 049C．1 023 D．1 025错解展示解析将每次运算的A值用数列{a n}表示，将开始的A＝1看作a0，则a1＝2a0＋1＝1，a2＝2a1＋1＝3，…∴a10＝2a9＋1＝210－1＝1 023.答案 C现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{a n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2 047.答案 A纠错心得程序框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．后作业认真做1．(2020·全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于()A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6，n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－(－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意，结束循环．2．(2020·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．8 B．9 C．27 D．36答案 B解析①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2；②S＝0＋13＝1，k＝1＋1＝2，满足k≤2；③S＝1＋23＝9，k＝2＋1＝3，不满足k≤2，输出S＝9.3．(2020·天津)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．－10 B．6C．14 D．18答案 B解析运行相应的程序，第一次循环：i＝2，S＝20－2＝18；第二次循环：i＝4，S＝18－4＝14；第三次循环：i＝8，S＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S＝6，故选B.4．阅读程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11 答案 B解析 i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.5．(2020·成都调研)定义某种运算，ab 的运算原理如图所示．设S ＝1x ，x ∈[－2,2]，则输出的S 的最大值与最小值的差为( )A ．2B ．－1C ．4D ．3答案 A解析 由题意可得，S (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，－2≤x ≤1，1，1<x ≤2，∴S (x )max ＝2，S (x )min ＝0， ∴S (x )max －S (x )min ＝2.6．给出一个算法的程序框图(如图所示)，该程序框图的功能是( )A ．输出a ，b ，c 三数中的最大数B ．输出a ，b ，c 三数中的最小数C ．将a ，b ，c 按从小到大排列D ．将a ，b ，c 按从大到小排列 答案 B解析 先比较a ，b 的值，把较小的值赋值给a ；再比较a ，c 的值，把较小的值赋值给a ，输出a .7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为________．(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)答案 24解析 n ＝6，S ＝12×6×sin 60°＝332≈2.598<3.1，不满足条件，进入循环；n ＝12，S ＝12×12×sin 30°＝3<3.1，不满足条件，继续循环；n ＝24，S ＝12×24×sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6>3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.8．以下给出了一个程序，根据该程序回答：(1)若输入4，则输出的结果是________；(2)该程序的功能所表达的函数解析式为________． 答案 (1)15 (2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3解析 (1)x ＝4不满足x <3，∴y ＝x 2－1＝42－1＝15.输出15. (2)当x <3时，y ＝2x ，当x >3时，y ＝x 2－1；否则， 即x ＝3，y ＝2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <3，2，x ＝3，x 2－1，x >3.9．对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i 次观测得到的数据为a i ，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是________．答案 7解析 本题计算的是这8个数的方差，因为a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44，所以S ＝(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋428＝7.10．如图(1)(2)所示，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为：(1)____________； (2)______________． 答案 (1)n 3<1 000 (2)n 3≥1 000解析 第一个图中，n 不能取10，否则会把立方等于1 000的正整数也输出了，所以应该填写n 3<1 000；第二个图中，当n ≥10时，循环应该结束，所以填写n 3≥1 000.11．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值是________．答案 0,1,3解析 根据题意，本程序框图表示分段函数：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5，由于输入的x 值与输出的y 值相等， 由x 2＝x 解得x ＝0或x ＝1，都满足x ≤2； 由x ＝2x －3解得x ＝3，也满足2<x ≤5； 由1x ＝x 解得x ＝±1，都不在x >5内，舍去． 可见满足条件的x 共三个：0,1,3.12．(2020·抚州质检)某框图所给的程序运行结果为S ＝20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是________．答案 k >8?解析 由题意可知输出结果为S ＝20，第1次循环，S ＝11，k ＝9，第2次循环，S ＝20，k ＝8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为“k >8？”．13．(2020·长沙模拟)运行如图所示的程序框图，若输出的y 值的范围是[0,10]，则输入的x 值的范围是________．答案 [－7,9]解析 该程序的功能是计算分段函数的值， y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－1，x 2，－1≤x ≤1，x ＋1，x >1.当x <－1时，由0≤3－x ≤10可得－7≤x <－1；当－1≤x ≤1时，0≤x 2≤10恒成立； 当x >1时，由0≤x ＋1≤10可得1<x ≤9. 综上，输入的x 值的范围是[－7,9]．*14.(2020·宣城模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋12x 2在x ＝－1处取得极大值，记g (x )＝1f ′(x ).程序框图如图所示，若输出的结果S >2 0152 016，则判断框中可以填入的关于n 的判断条件是________．(填序号)①n ≤2 015？ ②n ≤2 016? ③n >2 015？ ④n >2 016?答案 ②解析 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋x ，由f ′(－1)＝0， 得a ＝13，∴f ′(x )＝x 2＋x ，即g (x )＝1x 2＋x ＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1. 由程序框图可知S ＝0＋g (1)＋g (2)＋…＋g (n ) ＝0＋1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，由1－1n ＋1>2 0152 016，得n >2 015. 故可填入②.。
卜人入州八九几市潮王学校【走向高考】2021年高考数学总复习12-1算法与算法框图课后作业北师大一、选择题1．(文)(2021·理，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出i的值是()A．3 B．4C．5 D．6[答案]B[解析]此题主要考察循环框图，第一次运行完毕：i＝1，a＝2第二次运行完毕：i＝2，a＝5第三次运行完毕：i＝3，a＝16第四次运行完毕：i＝4，a＝65，故输出i＝4，选B.(理)(2021·理，4)执行如以下图的程序框图，输出的s值为()A．－3 B．－C. D．2[答案]D[解析]由框图可知i＝0，s＝2→i＝1，s＝→i＝2，s＝－→i＝3，s＝－3→i＝4，s＝2，循环终止，故最终输出s的值是2.2．(文)执行如以下图的算法框图，假设p＝4，那么输出的S＝()A. B.C. D.[答案]A[解析]程序执行过程为：n＝1，S＝；n＝2，S＝＋n＝3，S＝＋＋；n＝4，S＝＋＋＋＝.程序完毕，输出S＝，应选A.(理)下面算法框图所进展的运算是()A.＋＋＋…＋B．1＋＋＋…＋C．1＋＋＋…＋D.＋＋＋…＋[答案]A[解析]n＝2，s＝0＋＝；n＝4，s＝＋；n＝6，s＝＋＋……；n＝20，s＝＋＋＋……＋.3．(2021·文)假设执行如图的框图，输入N＝5，那么输出的数等于()A. B.C. D.[答案]D[解析]此题考察了程序框图的有关知识，并且浸透了裂项求和的方法，在解题时要注意首先弄清楚程序框图的功能，然后看限制条件，题目定位是中档题．根据程序框图可知，该程序框图的功能是计算S＝＋＋＋…＋，如今输入的N＝5，所以满足条件k<N 的结果为S＝＋＋＋＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝，应选D.4．(2021·理，6)执行下面的程序框图，假设输入的n是4，那么输出的p是()A．8 B．5C．3 D．2[答案]C[解析]本小题考察的内容为程序框图中的循环构造．k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3.二、填空题5．(2021·理，12)某程序框图如以下图，那么该程序运行后输出的k的值是________．[答案]5[解析]此题考察循环构造程序框图等根底知识第一次执行循环体时，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于a<b，所以执行第二次循环．第二次执行循环体时，k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，由于a＝b，所以执行第三次循环．第三次执行循环体时，k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，由于a>b，退出循环构造，输出k＝5，应填：5.6．(2021·文)函数y＝如图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写上________；②处应填写上________．[答案]x<2，y＝log2x[解析]此题考察了算法中以判断框为主的程序框图与分段函数的结合点问题．根据分段函数解析式及程序框图知，判断框中条件为x<2，②中为y＝log2x.三、解答题7．国家法定工作日内，每周工作时间是满工作量为40小时，每小时工资8元；如因需要加班，那么每小时工资为10元．某人在一周内工作时间是为x小时，但他须交纳个人住房公积金、失业险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的程序框图．(注：满工作量外的工作时间是为加班)[解析]算法如下：S1输入工作时间是x小时；S2假设x≤40，那么y＝8x×(1－10%)；否那么，y＝40×8(1－10%)＋(x－40)×10(1－10%)．S3输出y值．程序框图：一、选择题1．(文)(2021·文，6)执行如以下图的程序框图，假设输入A的值是2，那么输出的P值为()A．2 B．3C．4 D．5[答案]C[解析]此题主要考察程序框图的相关知识．P＝1，S＝1―→P＝2，S＝1＋＝―→P＝3，S＝＋＝―→P＝4，S＝＋＝>2，所以输出P＝4.(理)(2021理5)阅读下面的算法框图，那么输出的S＝()A．26 B．35C．40 D．57[答案]C[解析]本小题主要考察算法框图．由算法框图，S＝3×1－1＋3×2－1＋…＋3×5－1＝3×(1＋2＋…＋5)－5＝40.应选C.2.执行如以下图的流程图，假设输出的b的值是16，那么图中判断框内①处应填()A．3 B．4C．5 D．2[答案]A[解析]按照流程图依次执行：初始a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出b的值，故判断框中的条件应为a≤3，应选A.3．(2021·文)假设执行以下图的程序框图，输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于()A．720 B．360C．240 D．120[答案]B[解析]考察程序框图中的计算问题．k＝3＋1＝4p＝60(6－4＋4)＝3604＜4否输出p＝360选B.4．(2021·理，8)以下图中，x1，x2，x31＝6，x2＝9，p＝时，x3等于()A．11 B．10C．8 D．7[答案]C[解析]由于p＝,6<p<9，根据程序框图可知应执行x1＝x3，所以＝，所以x3＝8，应选C.二、填空题5．(2021·理，13)执行以下图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，那么输出的y的值是________．[答案]68[解析]此题主要考察了框图及条件分支构造．依题意，l＝2，m＝3，n＝5，那么l2＋m2＋n2≠0，∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105∴y＝278－105＝173.又173>105，∴y＝173－105＝68<105.∴y＝68.6．(文)(2021·模拟)如图是计算函数y＝的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是______________．[答案]y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0[解析]由程序框图所表达的意义知①②③处应分别填入的是y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0.(理)执行如以下图的程序，P＝0.9，那么输出的n值是______．[答案]5[解析]由程序框图可知，第一次运行n＝1，S＝0.5，第二次运行n＝2，S＝0.75，第三次运行n＝3，S＝0.875，第四次运行n＝4，S＝0.9375，第五次运行n＝5，此时不满足S<P，因此输出n＝5.三、解答题7．(2021·一模)某企业2021年的消费总值为200万元，技术创新后预计以后每年的消费总值将比上一年增加5%，问：最早哪一年的消费总值将超过300万元？试写出解决该问题的一个算法，并画出相应的程序框图．[分析]设第n年后该企业消费总值为a，那么a＝200×(1＋0.05)n，此时为2021＋n年．[解析]算法设计如下：S1n＝0，a＝200，r＝0.05；S2T＝ar(计算年增量)；S3a＝a＋T(计算年产量)；S4假设a≤300，那么n＝n＋1，重复执行S2；否那么执行S5；S5N＝2021＋n；S6输出N.程序框图如下：。
2021年高考数学一轮精选练习： 56《算法与程序框图、基本算法语句》一、选择题1.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为( )A.f(x)=cos x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2且x ≠0B.f(x)=2x－12x ＋1C.f(x)=|x|xD.f(x)=x 2ln(x 2＋1)2.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为 ( )A.121B.81C.74D.493.执行如图所示的程序框图，如果输出的k 的值为3，则输入的a 的值可以是 ( )A.20B.21C.22D.234.如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A.i ＞100，n=n ＋1B.i ＜34，n=n ＋3C.i ＞34，n=n ＋3D.i ≥34，n=n ＋35.如果执行如图程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A.A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数6.秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值可为 ( )A.6B.5C.4D.37.执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x的值为7，第二次输入的x的值为9，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )A.0,0B.1,1C.0,1D.1,08.如图(1)是某县参加2017年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数).图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图.现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写( )图(1) 图(2)A.i＜6?B.i＜7?C.i＜8?D.i＜9?9.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的语句是 ( )A.i ＜7，s=s －1i ，i=2iB.i ≤7，s=s －1i ，i=2iC.i ＜7，s=s 2，i=i ＋1D.i ≤7，s=s2，i=i ＋110.如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是( )A.f(a)·f(m)＜0？；b=mB.f(b)·f(m)＜0？；b=mC.f(a)·f(m)＜0？；m=bD.f(b)·f(m)＜0？；m=b 二、填空题11.如图是一个算法流程图.若输入x 的值为116，则输出y 的值是 .12.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为.13.程序框图如图，若输入的S=1，k=1，则输出的S为.14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为.(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)15.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4(单位：吨).根据如图所示的程序框图，若x1，x2，x3，x4分别为1,1.5,1.5,2，则输出的结果s为________.16.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为.答案解析1.答案为：B ；解析：由程序框图知该程序输出的是存在零点的奇函数，选项A 、C 中的函数虽然是奇函数，但在给定区间上不存在零点，故排除A 、C.选项D 中的函数是偶函数，故排除D.选B.2.答案为：B ；解析：a=1，S=0，n=1，第一次循环：S=1，n=2，a=8； 第二次循环：S=9，n=3，a=16； 第三次循环：S=25，n=4，a=24； 第四次循环：S=49，n=5，a=32；第五次循环：S=81，n=6，a=40>32，输出S=81.3.答案为：A ；解析：根据程序框图可知，若输出的k=3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S=2×0＋3=3，执行第2次时，S=2×3＋3=9，执行第3次时，S=2×9＋3=21，因此符合题意的实数a 的取值范围是9≤a ＜21，故选A.4.答案为：C ；解析：算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n=n ＋3，令1＋(i －1)×3=100，解得i=34，∴终止程序运行的i 值为35，∴判断框内(1)处应为i ＞34，故选C.5.答案为：C ；解析：不妨令N=3，a 1＜a 2＜a 3，则有k=1，x=a 1，A=a 1，B=a 1；k=2，x=a 2，A=a 2；k=3，x=a 3，A=a 3.故输出A=a 3，B=a 1，故选C.6.答案为：C ；解析：模拟程序的运行，可得x=3，k=0，s=0，a=4，s=4，k=1，不满足条件k ＞n ；执行循环体，a=4，s=16，k=2，不满足条件k ＞n ；执行循环体，a=4，s=52，k=3，不满足条件k ＞n ；执行循环体，a=4，s=160，k=4，不满足条件k ＞n ；执行循环体，a=4，s=484，k=5，由题意，此时应该满足条件k ＞n ，退出循环，输出s 的值为484，可得5＞n ≥4，所以输入n 的值可为4.故选C.7.答案为：D ；解析：当x=7时，∵b=2，∴b 2=4＜7=x.又7不能被2整数，∴b=2＋1=3.此时b 2=9＞7=x ，∴退出循环，a=1，∴输出a=1.当x=9时，∵b=2，∴b 2=4＜9=x. 又9不能被2整除，∴b=2＋1=3.此时b 2=9=x ，又9能被3整除，∴退出循环，a=0.∴输出a=0.8.答案为：C ；解析：统计身高在160～180 cm 的学生人数，则求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的值. 当4≤i ≤7时，符合要求.9.答案为：D ；解析：由题意可知第一天后剩下12，第二天后剩下122，……，由此得出第7天后剩下127，则①应为i ≤7，②应为s=s2，③应为i=i ＋1，故选D.10.答案为：B ；解析：用二分法求方程x 5－2=0的近似解，在执行一次m=a ＋b 2运算后，分析是f(a)f(m)＜0还是f(b)f(m)＜0，所得新的区间应该保证两端点处的函数值的乘积小于0，从框图中给出的满足判断框中的条件执行以a=m 可知，判断框中的条件即①处应是“f(b)f(m)＜0？”，若该条件不满足，应执行“否”路径，该路径中的②处应是“b=m ”，然后判断是否满足精度或是否有f(m)=0，满足条件算法结束，输出m ，不满足条件，继续进入循环.一、填空题11.答案为：-2；解析：本题考查算法与程序框图.∵x=116＜1，∴y=2＋log 2116=－2.12.答案为：3；解析：i=1，a=1，b=8；i=2，a=3，b=6；i=3，a=6，b=3，a ＞b ，所以输出i=3.13.答案为：57；解析：执行程序框图，第一次循环，k=2，S=4； 第二次循环，k=3，S=11； 第三次循环，k=4，S=26； 第四次循环，k=5，S=57.此时，终止循环，输出的S=57.14.答案为：24；解析：n=6，S=12×6×sin 60°=332≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n=12，S=12×12×sin 30°=3＜3.1，不满足条件，继续循环；n=24，S=12×24×sin 15°≈12×0.258 8=3.105 6＞3.1，满足条件，退出循环，输出n 的值为24.15.答案为：1.5；解析：第一次执行后，s 1=0＋1=1，s=1，i=2；第二次执行后，s 1=1＋1.5=2.5，s=12×2.5=1.25，i=3；第三次执行后，s 1=2.5＋1.5=4，s=43，i=4；第四次执行后，s 1=4＋2=6，s=14×6=1.5，i=5>4，结束循环，故输出的结果s 为1.5.16.答案为：9；解析：法一：i=1，S=lg 13=－lg 3＞－1；i=3，S=lg 13＋lg 35=lg 15=－lg 5＞－1；i=5，S=lg 15＋lg 57=lg 17=－lg 7＞－1；i=7，S=lg 17＋lg 79=lg 19=－lg 9＞－1；i=9，S=lg 19＋lg 911=lg 111=－lg 11＜－1，故输出的i=9.法二：因为S=lg 13＋lg 35＋…＋lg ii ＋2=lg 1－lg 3＋lg 3－lg 5＋…＋lg i －lg (i ＋2) =－lg(i ＋2)，当i=9时，S=－lg(9＋2)＜－lg 10=－1，所以输出的i=9.。
1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观看某一大事A 是否消灭，称n 次试验中大事A 消灭的次数n A 为大事A 消灭的频数，称大事A 消灭的比例f n (A )＝n An为大事A 消灭的频率．(2)对于给定的随机大事A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，大事A 发生的频率会在某个常数四周摇摆并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机大事A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机大事A 的概率，记作P (A )． 2．大事的关系与运算定义符号表示 包含关系 假如大事A 发生，则大事B 肯定发生，这时称大事B 包含大事A (或称大事A 包含于大事B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并大事 (和大事) 若某大事发生当且仅当大事A 发生或大事B 发生，称此大事为大事A 与大事B 的并大事(或和大事) A ∪B (或A ＋B ) 交大事 (积大事) 若某大事发生当且仅当大事A 发生且大事B 发生，则称此大事为大事A 与大事B 的交大事(或积大事) A ∩B (或AB )互斥大事若A ∩B 为不行能大事(A ∩B ＝∅)，则称大事A 与大事B 互斥A ∩B ＝∅对立大事若A ∩B 为不行能大事，A ∪B 为必定大事，那么称大事A 与大事B 互为对立大事P (A )＋P (B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必定大事的概率P (E )＝1. (3)不行能大事的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式假如大事A 与大事B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立大事的概率若大事A 与大事B 互为对立大事，则P (A )＝1－P (B )．【学问拓展】互斥大事与对立大事的区分与联系互斥大事与对立大事都是两个大事的关系，互斥大事是不行能同时发生的两个大事，而对立大事除要求这两个大事不同时发生外，还要求二者之一必需有一个发生，因此，对立大事是互斥大事的特殊状况，而互斥大事未必是对立大事． 【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)大事发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机大事和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个大事的和大事是指两个大事都得发生．( × )(5)对立大事肯定是互斥大事，互斥大事不肯定是对立大事．( √ ) (6)两互斥大事的概率和为1.( × )1．一个人打靶时连续射击两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是( ) A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶 答案 D解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥大事是两次都不中靶．2．从某班同学中任意找出一人，假如该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8答案 B解析 由于必定大事发生的概率是1，所以该同学的身超群过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B. 3．(2021·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1 365石答案 B解析 由于样品中米内夹谷的比为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此正面消灭的概率是37；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．答案 0解析 ①错，不肯定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述大事中，是对立大事的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的大事，②是对立大事，③④不是互斥大事.题型一 大事关系的推断例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记大事A 为“只订甲报纸”，大事B 为“至少订一种报纸”，大事C 为“至多订一种报纸”，大事D 为“不订甲报纸”，大事E 为“一种报纸也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .解 (1)由于大事C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即大事A 与大事C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥大事．(2)大事B “至少订一种报纸”与大事E “一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B 与E 是互斥大事．由于大事B 不发生可导致大事E 肯定发生，且大事E 不发生会导致大事B 肯定发生，故B 与E 还是对立大事． (3)大事B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，大事C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个大事可能同时发生，故B 与C 不是互斥大事．(4)由(3)的分析，大事E “一种报纸也不订”是大事C 的一种可能，即大事C 与大事E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥大事．思维升华 对互斥大事要把握住不能同时发生，而对于对立大事除不能同时发生外，其并大事应为必定大事．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪几个试验结果，从而判定所给大事的关系．推断下列各对大事是不是互斥大事或对立大事：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，其中： ①恰有1名男生和恰有2名男生； ②至少有1名男生和至少有1名女生； ③至少有1名男生和全是女生． 解 ①是互斥大事，不是对立大事．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不行能同时发生，所以是互斥大事，不是对立大事．②不是互斥大事，也不是对立大事．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生． ③是互斥大事且是对立大事．“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不行能同时发生，且其并大事是必定大事，所以两个大事互斥且对立． 题型二 随机大事的频率与概率例2 (2021·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品 顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估量顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估量为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为1001 000＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机大事消灭的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机大事发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机大事概率的估量值．(2)随机大事概率的求法：利用概率的统计定义求大事的概率，即通过大量的重复试验，大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球竞赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 解 (1)依据公式f ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的四周摇摆，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.题型三 互斥大事、对立大事的概率 命题点1 互斥大事的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记大事“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立大事的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故大事A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N ，则大事N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和；二是间接法，先求该大事的对立大事的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成果，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．解 记大事“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则大事A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为大事A ，那么当A 9，A 10之一发生时，大事A 发生，由互斥大事的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的大事为B ，则B 表示大事“射击一次，命中不足8环”． 又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥大事概率的加法公式得 P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.23．用正难则反思想求互斥大事的概率典例 (12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨 若某一大事包含的基本大事多，而它的对立大事包含的基本大事少，则可用“正难则反”思想求解． 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]温馨提示(1)要精确理解题意，擅长从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定大事间的关系，擅长将A转化为互斥大事的和或对立大事，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估量总体．(2)不能正确地把大事A转化为几个互斥大事的和或对立大事，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．2．从集合角度理解互斥大事和对立大事从集合的角度看，几个大事彼此互斥，是指由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．[失误与防范]1．正确生疏互斥大事与对立大事的关系：对立大事是互斥大事，是互斥大事中的特殊状况，但互斥大事不肯定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需精确理解题意，特殊留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设大事M：“两次消灭正面”，大事N：“只有一次消灭反面”，则大事M 与N互为对立大事；②若大事A与B互为对立大事，则大事A与B为互斥大事；③若大事A与B为互斥大事，则大事A与B互为对立大事；④若大事A与B互为对立大事，则大事A∪B为必定大事，其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④ D．①②答案 B解析对①，一枚硬币抛两次，共消灭{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则大事M与N 是互斥大事，但不是对立大事，故①错；对②，对立大事首先是互斥大事，故②正确；对③，互斥大事不肯定是对立大事，如①中两个大事，故③错；对④，大事A、B为对立大事，则一次试验中A、B肯定有一个要发生，故④正确．故B正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17 B.1235 C.1735D．1答案 C解析设“从中取出2粒都是黑子”为大事A，“从中取出2粒都是白子”为大事B，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C，则C＝A∪B，且大事A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的大事是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案 A解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，故选A.4．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37答案 A解析取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估量概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45 答案 D解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则全部矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列大事： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必定大事；________是不行能大事；________是随机大事． 答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机大事A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 9．(2022·陕西)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示大事“赔付金额为3 000元”，B 表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得 P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P (C )＝0.24.10．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测同学身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估量该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的全部男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，大事E＝{|x－y|≤5}，大事F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解(1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在其次组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估量这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估量这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180,185)的人数为4，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种状况，因大事E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以大事E包含的基本大事为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种状况，故P(E)＝7 15.由于|x－y|max＝195－180＝15，所以大事F＝{|x－y|>15}是不行能大事，P(F)＝0.由于大事E和大事F是互斥大事，所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝715.B组专项力量提升(时间：30分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是() A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事B．B＋C与D是互斥大事，也是对立大事C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事答案 D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事，故选D.12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为________．答案45解析记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5次综合测评的平均成果是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成果是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)，令90>15(442＋x)，解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为810＝45.13．若A，B互为对立大事，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．答案9解析由题意可知4x＋1y＝1，则x＋y＝(x＋y)(4x＋1y)＝5＋(4yx＋xy)≥9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时等号成立．14.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估量相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2.15．(2021·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估量西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续2天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率．解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为78.。
第十二章算法初步与框图、推理与证明考纲链接1.算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义，了解算法的思想．(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．2．基本算法语句了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．3．框图(1)通过具体实例进一步认识程序框图．(2)通过实例了解工序的流程图．(3)能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．(4)通过实例了解结构图．(5)会运用结构图梳理已学过的知识结构、整理收集到的信息资料．4．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用．5．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．6．了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点．7．了解反证法的思考过程和特点．§12.1算法、程序框图、结构图1．算法的概念及特点(1)算法的概念在数学中，算法通常是指按照一定______解决某一类问题的________和________的步骤．(2)算法的特点之一是具有______性，即算法中的每一步都应该是确定的，并能有效地执行，且得到确定的结果，而不应是模棱两可的；其二是具有______性，即算法步骤明确，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行后一步，并且每一步都准确无误才能解决问题；其三是具有______性，即一个算法应该在有限步操作后停止，而不能是无限的；另外，算法还具有不唯一性和普遍性，即对某一个问题的解决不一定是唯一的，可以有不同的解法，一个好的算法应解决的是一类问题而不是一两个问题．2．程序框图(1)程序框图的概念程序框图又称流程图，是一种用________、________及________来表示算法的图形．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．4．算法的基本逻辑结构(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按__________的顺序进行的．它是由若干个__________的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的基本结构．顺序结构可用程序框图表示为如图所示的形式．(2)条件结构在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向．常见的条件结构可以用程序框图表示为如图所示的两种形式．(3)循环结构在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是________．反复执行的步骤称为________．循环结构有如下两种形式：①如图1，这个循环结构有如下特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．因此，这种循环结构称为____________．②如图2表示的也是常见的循环结构，它有如下特征：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．因此，这种循环结构称为____________．自查自纠：1．(1)规则明确有限(2)确定有序有穷2．(1)程序框流程线文字说明(2)①终端框(起止框) ②输入、输出框③处理框(执行框) ④判断框⑤流程线⑥连接点4．(1)从上到下依次执行(3)循环结构循环体①直到型循环结构②当型循环结构下列各式中的S 值不可以用算法求解的是( )A ．S ＝1＋2＋3＋4B ．S ＝12＋22＋32＋…＋1002C ．S ＝1＋12＋13＋…＋110000D ．S ＝1＋2＋3＋4＋…解：由算法的有限性知，D 不正确，而A ，B ，C 都可以通过有限步骤操作，输出确定结果，故选D.给出下列算法：第一步，输入正整数n (n >1)．第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则输出n ；若n >2，则执行第三步．第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行第四步；若能整除n ，则执行第一步．第四步，输出n .则输出的n 的值是( )A ．奇数B ．偶数C ．质数D ．合数解：根据算法可知n ＝2时，输出n 的值为2；若n ＝3，输出n 的值为3；若n ＝4，2能整除4，则重新输入n 的值，…，故输出的n 的值为质数．故选C.(2014·北京)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1B ．3C ．7D ．15解：由程序框图知：S ＝1＋21＋22＝7.故选C.(2014·辽宁)执行下面的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝____________．解：输入x ＝9，则y ＝5，|y －x |＝4>1，不满足条件；x ＝5，y ＝113，|y －x |＝43>1，不满足条件；x ＝113，y ＝299，|y －x |＝49<1，满足条件，输出y ＝299.故填299. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是__________．解：初始值s ＝0，n ＝2.第一次循环得s ＝12，n＝4；第二次循环得s ＝12＋14，n ＝6；第三次循环得s ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，此时退出循环，输出的s＝1112.故填1112.类型一算法的概念下列语句是算法的个数为( )①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；②统筹法中“烧水泡茶”的故事；③测量某棵树的高度，判断其是否为大树；④已知三角形的两边及夹角，利用三角形的面积公式求出该三角形的面积．A．1 B．2 C．3 D．4 解：①中勾画了从济南到巴黎的行程安排，完成了任务；②中节约时间，烧水泡茶完成了任务；③中对“树的大小”没有明确的标准，无法完成任务，不是有效的算法构造；④是纯数学问题，利用三角形的面积公式求出三角形的面积．故选C.点拨：算法过程要做到一步一步地执行，每一步执行的操作必须确切，不能含糊不清，且在有限步后必须得到问题的结果．下列叙述能称为算法的个数为( )①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；②顺序进行下列运算：1＋1＝2，2＋1＝3，3＋1＝4，…，99＋1＝100；③从宜昌乘火车到武汉，从武汉乘飞机到北京；④3x>x＋1；⑤求所有能被3整除的正数，即3，6，9，12，….A．2 B．3 C．4 D．5解：①②③可称为算法，④⑤不是，故选B.类型二经典算法“韩信点兵”问题．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，为了保守军事机密，他在点兵时采用下述方法：先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样，韩信很快就知道了自己部队士兵的总人数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．解：在本题中，士兵从1～3报数，最后一个士兵报2，说明士兵的总人数是除以3余2，其他两种情况依此类推．(算法一)步骤如下：第一步：先确定最小的满足除以7余4的数是4；第二步：依次加7就得到所有满足除以7余4的数：4，11，18，25，32，39，46，53，60，…；第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：18；第四步：依次加上35，得18，53，88，…；第五步：在第四步得到的一列数中，找到最小的满足除以3余2的正整数：53，这就是我们要求的数．(算法二)步骤如下：第一步：先确定最小的满足除以3余2的数是2；第二步：依次加3就得到所有满足除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，53，56，…；第三步：在第二步所得的一列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8；第四步：然后依次加15就得8，23，38，53，…，不难看出，这些数既满足除以3余2，又满足除以5余3；第五步：在第四步所得的一列数中找到满足除以7余4的最小数是53，这就是我们要求的数．点拨：给出一个问题，设计算法时要注意：(1)认真分析问题，研究解决此问题的一般方法；(2)将解决问题的过程分解成若干步骤；(3)用简练的语言将各步骤表示出来；(4)把解题过程条理清楚地表达出来，就得到一个明确的算法．对于同一问题，可以设计不同的算法，其最终的结果是一样的，但解决问题的繁简程度不同，我们要寻找最优算法．一位商人有9枚银元，其中有一枚略轻的是假银元．请设计一种算法，用天平(不用砝码)将假银元找出来．解：算法如下：第一步：把银元分成3组，每组3枚；第二步：先将两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称的第3组内；第三步：取出含假银元的那一组，从中任取两枚银元放在天平的两边．如果左右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平两边平衡，则未称的那一枚就是假银元．类型三顺序结构已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P(x0，y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图．解：算法如下：第一步：输入x0，y0及直线方程的系数A，B，C.第二步：计算z1＝Ax0＋By0＋C.第三步：计算z2＝A2＋B2.第四步：计算d＝||z1z2.第五步：输出d.流程图如图所示．点拨：顺序结构是一种最简单、最基本的结构，可严格按照传统的解题思路写出算法步骤，画出程序框图．注意语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的．阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b，c的值分别是21，32，75，则输出的a，b，c分别是( )A．75，21，32 B．21，32，75C．32，21，75 D．75，32，21解：该程序框图的执行过程是：输入21，32，75；x＝21；a＝75；c＝32；b＝21；输出75，21，32.故选A.类型四条件结构(2015·深圳调研)执行如图所示的程序框图，如果依次输入函数：f(x)＝3x，f(x)＝sin x，f(x)＝x3，f(x)＝x＋1x，那么输出的函数f(x)为( )A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝x ＋1x解：依题意得，输出的函数应满足：f (－x )＝－f (x )(x ∈R )，即函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋m )>f (x )，其中m >0，即函数f (x )是定义在R 上的增函数．对于A ，函数f (x )＝3x不是奇函数；对于B ，函数f (x )＝sin x 不是定义在R 上的增函数；对于C ，函数f (x )＝x 3既是奇函数又是定义在R 上的增函数；对于D ，函数f (x )＝x ＋1x的定义域不是实数集．综上所述，只能输出f (x )＝x 3，故选C.点拨：条件结构的运用与数学的分类讨论有关．设计算法时，哪一步要分类讨论，哪一步就需要用条件结构．(2015·全国卷Ⅱ)如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14 解：执行该程序，输入a ，b 的值依次为a ＝14，b ＝18；a ＝14，b ＝4；a ＝10，b ＝4；a ＝6，b ＝4；a ＝2，b ＝4；a ＝b ＝2，此时退出循环，输出的a ＝2.故选B.类型五 循环结构(2014·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55 C．78 D．89解：运行程序：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y ＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55，跳出循环，输出结果是55.故选B.点拨：如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作，且先后参与运算的数之间有相同的规律，就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量)，应用循环结构．在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等，特别要使条件的表述恰当、准确．(2015·陕西)根据下边的框图，当输入x为2006时，输出的y＝( )A．28 B．10 C．4 D．2解：初始条件：x＝2006.第1次运行：x＝2004；第2次运行：x＝2002；第3次运行：x＝2000；…；第1003次运行：x＝0；第1004次运行：x＝－2，不满足条件，跳出循环，所以输出的y＝32＋1＝10，故选B.类型六结构图总结高中所有有关函数的内容，画出知识结构图．解：如图所示：点拨：画结构图时，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来标明各要素之间的关系．某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．解：如图所示：1．设计算法时，要根据题目进行选择，以简单、程序短、易于在计算机上执行为原则．2．画程序框图首先要进行结构选择，套用格式．若求只含有一个关系式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断才能执行后继步骤的，就必须引入条件结构；如果问题涉及的运算进行了许多重复的步骤，有规律，就可引入变量，应用循环结构．当然，应用循环结构一定要用到顺序结构与条件结构．3．循环结构的循环控制通过累加变量记录循环次数，通过判断框决定循环终止与否．用循环结构来描述算法，在画出算法程序框图之前，需要确定的三件事是：(1)确定循环变量与初始条件；(2)确定循环体；(3)确定终止条件．注意直到型循环与当型循环的区别，二者判断框内的条件表述在解决同一问题时恰好相反．解决循环结构框图问题，当循环次数比较少时，可依次列出；当循环次数较多时，可先循环几次，找出规律．要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．4．在具体绘制程序框图时，要注意以下几点：(1)流程线上要标有执行顺序的箭头．(2)判断框后边的流程线应根据情况标注“是(Y)”或“否(N)”．(3)框图内的内容包括累加(积)变量初始值，计数变量初始值，累加值，前后两个变量的差值都要仔细斟酌，不能有丝毫差错．(4)判断框内条件常用“>”“≥”“<”“≤”“＝”等符号，它们的含义是各不相同的，要根据所选循环结构的类型，正确地进行选择．5．结构图与流程图的异同相同点：绘制结构图的一般步骤与绘制流程图类似，先确定组成系统的基本要素，以及这些要素之间的关系，然后画出框图表示整个系统．不同点：流程图描述具有时间特征的动态过程，结构图刻画静态的系统结构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．1．结合下面的算法：第一步：输入x.第二步：判断x是否小于0，若是，则输出x ＋2，否则执行第三步．第三步：输出x－1.当输入的x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为( )A．－1，0，1 B．－1，1，0C．1，－1，0 D．0，－1，1解：根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤，当x的值为－1，0，1时，输出的结果分别为1，－1，0，故选C.2．如图的程序框图输出的结果是( )A．4 B．3 C．2 D．0解：该算法首先将1，2，3三个数分别赋给x，y，z；然后先让x取y的值，即x变成2，再让y 取x的值，即y的值是2，接着让z取y的值，即z 的值为2，从而最后输出z的值为2.故选C.3．(2014·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2，2]，则输出的S属于( )A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4，5] D．[－3，6]解：由程序框图可得S＝⎩⎪⎨⎪⎧2t2＋1－3，t∈[－2，0），t－3，t∈[0，2]，其值域为[－3，6]．故选D.4．(2015·福建)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解：执行程序，得S ＝0，i ＝2；S ＝－1，i ＝3；S ＝－1，i ＝4；S ＝0，i ＝5；S ＝0，i ＝6＞5，跳出循环，输出S ＝0.故选C.5．(2014·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ＞12B ．s ＞35C ．s ＞710D ．s ＞45解：当输出k 的值为6时，s ＝1×910×89×78＝710，结合各选项知，C 符合要求．故选C .6．(2015·全国课标Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解法一：执行程序，S ＝12，m ＝14，n ＝1；S ＝14，m ＝18，n ＝2；S ＝18，m ＝116，n ＝3；S ＝116，m ＝132，n ＝4；S ＝132，m ＝164，n ＝5；S ＝164，m ＝1128，n ＝6；S ＝1128<t ＝0.01，m ＝1256，n ＝7，循环结束，输出n ＝7.解法二：记第n 次循环后S 的值为a n ()n ＝0，1，2，…，，其中a 0＝1，则a n ＝a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，递推可得a n ＝a 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝12n ≤t ＝0.01. 显然n >6，故n ＝7.故选C.7．(2015·安徽)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 为________．当a＝1.416时，跳出循环，输出的n为4.故填4.8．(2014·湖北)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________．解法一：当a＝123时，b＝321－123＝198≠123；当a＝198时，b＝981－189＝792≠198；当a＝792时，b＝972－279＝693≠792；当a＝693时，b＝963－369＝594≠693；当a＝594时，b＝954－459＝495≠594；当a＝495时，b＝954－459＝495＝a，终止循环，输出b＝495.解法二：设I(a)＝100x＋10y＋z，D(a)＝100z ＋10y＋x，x<y<z，x，y，z∈N*，则D(a)－I(a)＝99(z－x)，因此各位数字都不是0且没有重复数字，而且是99的倍数的三位数有：198，297，396，495，594，693，792，891，经检验知只有495满足题意．故填495.9．某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼、羊及青菜三者之一，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜．请设计安全过河的算法．解：第一步，人带羊过河．第二步，人自己返回．第三步，人带青菜过河．第四步，人带羊返回．第五步，人带狼过河．第六步，人自己返回．第七步，人带羊过河．10．设计一个算法，找出区间[1，1000]内的能被7整除的整数，画出程序框图．解：第一步，取k＝1.第二步，判断k≤1000是否成立，若不成立，则执行第五步．第三步，若k除以7的余数为0，则输出k.第四步，将k的值增加1，返回执行第二步．第五步，结束．程序框图如图．11．设计一个算法计算11×3＋13×5＋15×7＋…＋12013×2015的值，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步，令S＝0，k＝1.第二步，若k<2015成立，则执行第三步，否则输出S.第三步，计算S＝S＋1k（k＋2），k＝k＋2，返回第二步．程序框图如图所示：意大利数学家斐波那契，在1202年出版的《算盘全书》一书里提出了这样一个问题：一对兔子饲养到第二个月进入成年，第三个月生一对小兔，以后每个月生一对小兔，所生小兔能全部存活并且也是第二个月成年，第三个月生一对小兔，以后每月生一对小兔．问这样下去到年底应有多少对兔子？试画出解决此问题的程序框图．解：根据题意可知，第一个月有1对小兔，第二个月有1对成年兔子，第三个月有两对兔子，从第三个月开始，每个月的兔子对数是前面两个月兔子对数的和，设第N个月有F对兔子，第N－1个月有S对兔子，第N－2个月有Q对兔子，则有F＝S ＋Q，一个月后，即第N＋1个月时，式中变量S的新值应变为第N个月兔子的对数(F的旧值)，变量Q 的新值应变为第N－1个月兔子的对数(S的旧值)，这样，用S＋Q求出变量F的新值就是N＋1个月兔子的对数，依此类推，可以得到一个数序列，数序列的第12项就是年底应有兔子对数，我们可以先确定前两个月的兔子对数均为1，以此为基准，构造一个循环程序，让表示“第x(x≥3)个月的i从3逐次增加1，一直变化到12，再循环一次得到的F”就是所求结果．流程图如图所示．§12.2基本算法语句1．输入(INPUT)语句输入语句的一般格式：_______________.要求：(1)输入语句要求输入的值是具体的常量；(2)提示内容提示用户输入的是什么信息，必须加双引号，“提示内容”原原本本地在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；(3)一个输入语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔．2．输出(PRINT)语句输出语句的一般格式：_______________.功能：实现算法输出信息(表达式)．要求：(1)表达式是指算法和程序要求输出的信息；(2)提示内容提示用户要输出的是什么信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；(3)如同输入语句一样，输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能，不同的表达式之间可用“，”分隔．3．赋值语句赋值语句的一般格式： .赋值语句中的“＝”叫做赋值号，它和数学中的等号不完全一样．作用：赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量．要求：(1)赋值语句左边只能是变量，而不是表达式，右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式．如：2＝x是错误的；(2)赋值号的左右两边不能对换．赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量．如“A＝B”“B＝A”的含义和运行结果是不同的，如x＝5是对的，5＝x是错的，A＋B＝C是错的，C＝A＋B是对的；(3)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等)．4．条件语句(1)“IF—THEN”语句格式：____________________．说明：当计算机执行“IF—THEN”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体，否则执行END IF之后的语句．(2)“IF—THEN—ELSE”语句格式：____________________．说明：当计算机执行“IF—THEN—ELSE”语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果(IF)条件符合，那么(THEN)执行语句体1，否则(ELSE)执行语句体2.5．循环语句(1)直到型循环语句直到型(UNTIL型)语句的一般格式为：______________．(2)当型循环语句当型(WHILE型)语句的一般格式为：________________．自查自纠：1．INPUT “提示内容”；变量2．PRINT “提示内容”；表达式3．变量＝表达式4．(1)IF 条件THEN语句体END IF5.(1)WHILE 条件循环体WEND(2)DO循环体LOOP UNTIL 条件下列赋值语句正确的是( )A．S＝S＋i2B．A＝－AC．x＝2x＋1 D．P＝x解：在程序语句中乘方要用“^”表示，所以A 项不正确；乘号“*”不能省略，所以C项不正确；D项中x应用SQR(x)表示，所以D项不正确；B选项是将变量A的相反数赋给变量A，则B项正确．故选B.下面程序运行后输出结果是3，则输入的x值一定是．0解：该程序语句是求函数y＝|x|的函数值，∵y＝3，∴x＝±3.故选C.( )解：这是一个当型循环程序，当i＝(1＋5)＋5＝11>10时，退出循环，输出的i＝11.故选D.(2)输入x＝20，则p＝____________．解：(1)x＝6满足x≤10，∴p＝6×0.35＝2.1；(2)x＝20时不满足x≤10，∴p＝10×0.35＋(20－10)×0.7＝10.5.故填2.1；10.5.下列循环语句，循环终止时，n＝____________．n＝2WHILE n<＝7n＝n＋1WEND解：该循环语句是当型循环语句，循环终止时，条件n≤7开始不成立，故填8.类型一输入、输出和赋值语句请写出下面运算输出的结果．(1)a＝5b＝3c＝(a＋b)/2d＝c*cPRINT “d＝”；d(2)a＝1b＝2c＝a＋bb＝a＋c－bPRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c(3)a＝10b＝20c＝30a＝bb＝cc＝aPRINT “a＝，b＝，c＝”；a，b，c解：(1)语句“c＝(a＋b)/2”是将a，b之和的一半赋值给变量c，语句“d＝c*c”是将c的平方赋值给d，最后输出d的值．故输出结果为d＝16.(2)语句“c＝a＋b”是将a，b之和赋值给c，语句“b＝a＋c－b”是将a＋c－b的值赋值给了b.故输出结果为a＝1，b＝2，c＝3.(3)经过语句“a＝b”后a，b，c的值是20，20，30，经过语句“b＝c”后a，b，c的值是20，30，30，经过语句“c＝a”后a，b，c的值是20，30，20.故输出结果为a＝20，b＝30，c＝20.点拨：①将一个变量的值赋给另一个变量，前一个变量的值保持不变；②可先后给一个变量赋多个不同的值，但变量的取值总是最后被赋予的值．阅读下列两个程序，回答问题：①x＝3y＝4x＝y②x＝3y＝4y＝x①中程序输出的x值为__________，②中程序输出的y值为__________．解：程序①中的x＝y是将y的值4赋给x，赋值后x的值变为4；②中y＝x是将x的值3赋给y，赋值后y的值为3.故填4；3.类型二条件语句已知函数y＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－1，x≥0，2x2－5，x<0，画出程序框图并编写一个程序，对每输入的一个x值，都得到相应的函数值．解：程序框图如下．点拨：条件语句：“IFTHEN”及“IFTHENELSE”的用法在“考点梳理”栏有说明，需要注意的是，若是三段或三段以上的分段函数，通常需用条件语句的嵌套结构．编写程序，使得任意输入的3个整数按从小到大的顺序输出．解：算法分析：用a，b，c表示输入的3个整数，为了节约变量，把它们重新排列后，仍用a，b，c表示，并使a≤b≤c.具体操作步骤如下．第一步：输入3个整数a，b，c.第二步：将a与b比较，并把大者赋给b，小者赋给a.第三步：将a与c比较，并把大者赋给c，小者赋给a(此时a已是三者中最小的)．第四步：将b与c比较，并把大者赋给c，小者赋给b(此时a，b，c已按从小到大的顺序排列好)．第五步：按顺序输出a，b，c.上述操作步骤可以用程序框图直观地表达出来．程序框图如图．根据程序框图，写出计算机程序为：类型三循环语句若下面程序中输入的n值为2017，则输出的值为解：本程序是计算S＝1×2＋2×3＋…＋1n（n＋1）.裂项得S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1.所以当n ＝2017时，S ＝20172018.故填20172018.点拨：计算机执行此程序时，遇到WHILE 语句，先判断条件是否成立，如果成立，则执行WHILE 和WEND 之间的循环体，然后返回到WHILE 语句再判断上述条件是否成立，直至返回到WHILE 语句判断上述条件不成立为止，这时不再执行循环体，而执行WEND 后面的语句，这是当型循环．计算12＋22＋32＋…＋1002的值，分别用WHILE 型语句和UNTIL 型语句编写程序．当型循环与直到型循环的区别(1)WHILE 型是先判断条件，后执行循环体，而UNTIL 型则是先执行循环体，后判断条件；(2)WHILE 型是当条件满足时执行循环体，不满足时结束循环，而UNTIL 型则是条件不满足时执行循环体，条件满足时结束循环；(3)UNTIL 型至少执行一次循环体，而WHILE 型执行循环体的次数可能为0.A 的值为( )A ．1B ．5C ．15D ．120解：该程序的功能是计算A×2×3×4×5的值，则120＝A×2×3×4×5，故A＝1，即输入A的值为1.故选A.A．1 B．10 C．25 D．26解：由条件可知，b＝5×5＋1＝26.故选D.3．读程序回答问题．( )A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同解：甲、乙两程序显然不同，但都是求1＋2＋…＋1000的和，所以结果相同，故选B.4．下列程序语句是求函数y＝|x－4|＋1的函5C．y＝5－x D．y＝x＋5解：y＝|x－4|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x－3，x≥4，5－x，x<4，故选C.5．(2014·陕西模拟)下面程序运行后，输出的值是( )解：程序的功能是利用循环计算i2<2000(i∈N)的最大i值，∵442<2000，452>2000，∴输出的i为44.故选C.6，那么输出的结果为( )A．6 B．720 C．120 D．1解：当n＝6时，这个程序的实际含义是计算S ＝1×2×3×4×5×6，结果是720.故选B.7．运行如图所示的程序，输出的结果是．a＝1b＝2a＝a＋bPRINT aEND解：a＝1，b＝2，则a＋b＝3，根据赋值语句的含义，有a＝3.故填3.8．下列程序输出结果为____________．(SQR(a)表示非负数4，b ＝－2，执行第五句后，a ＝4×(－2)4×4＝128，故输出a 的值为128.故填128.s ＝10，n ＝9；s ＝19，n ＝8；s ＝27，n ＝7；s ＝34，n ＝6；s ＝40，n ＝5，这时s ≥40，跳出循环，输出结果为5.10．高等数学中经常用到符号函数y ＝sgnx ，其定义为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，试编写程序，根据输入的x 值，输出对应的 y 值．解：根据x的取值，此函数为三段分段函数，则需用条件语句嵌套．程序如下．11．编写一个程序，求满足1＋12＋13＋…＋1n＞10的n 的最小值．某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30000台？画出解决该问题的程序框图，并编写相应程序．解：根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同，设总销售量为S ，n 年达到30000台．则S ＝5000＋5000(1＋10%)＋5000(1＋10%)2＋…＋5000(1＋10%)n －1＝50000(1.1n－1)．令S ≥30000，可得n ≥5，即大约5年可使总销售量达30000台．程序框图如图所示．程序如下．。
温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word文档返回原板块。
核心考点·精准研析考点一顺序结构与条件结构1.阅读如图所示程序框图,运行相应的程序,若输入x=1,则输出的结果为()A.-1B.2C.0D.无法判断2.阅读程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数x 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,-1]C.[-1,2]D.[2,+∞)3.(2020·郑州模拟)已知某程序框图如图所示,当输入的x的值为5时,输出的y的值恰好是,则在空白的处理框中应填入的关系式可以是 ( )A.y=x3B.y=C.y=3xD.y=3-x【解析】1.选B.因为输入的x值为1大于0,所以执行y=2x=2,输出2.2.选B.分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数f(x)=的函数值.又因为输出的函数值在区间内,所以x∈[-2,-1].3.选C.由程序框图可知,当输入的x的值为5时,第一次运行,x=5-2=3;第二次运行,x=3-2=1;第三次运行,x=1-2=-1,此时x≤0,退出循环,要使输出的y 的值为,只有C中的函数y=3x符合要求.应用顺序结构与条件结构的注意点(1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按顺序进行.(2)条件结构:利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一程序框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足.考点二循环结构命题精解读考什么:(1)考查利用程序框图求输入、输出的值、补全程序框图.(2)考查数学运算的核心素养.怎么考:与基本初等函数、数列等结合,考查程序框图的应用.学霸 1.循环结构问题的解题思路好方法(1)要关注初始值和输入值.(2)要关注循环结构的运算次数,当运算即将结束时,要采用逐一代入的方法进行验证.(3)关注判断条件的选择,如判断条件中的等号是否选取问题,应验证相等时运算是否符合题意.2.交汇问题与基本初等函数、数列、三角知识交汇时,注意相关的知识、方法在计算中的应用.求输出值【典例】(2019·全国卷Ⅲ)执行程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s的值等于 ( )A.2-B.2-C.2-D.2-【解析】选C.第一次循环:s=1,x=;第二次循环:s=1+,x=;第三次循环:s=1++,x=;第四次循环:s=1+++,x=;…第七次循环:s=1+++…+,x=,此时循环结束,可得s=1+++…+=2-.结合本题说出解题基本流程?提示:首先明确输入量、起始值、运算方法,然后根据框图结构,一步一步代入求值.求输入值【典例】执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为 ( )A.5B.4C.3D.2【解析】选D.程序执行过程如下:t=1,M=100,S=0,1≤N,S=0+100=100,M=-=-10,t=2,2≤N,S=100-10=90,M=-=1,t=3,3>2,输出S=90<91.符合题意.所以N=2成立.故2是最小值.本题的解题方法是什么?提示:根据程序框图逐步运算,直到输出的S<91即可得到t的最大值,即N的最小值.补全程序框图【典例】(2019·深圳模拟)某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填( )A.k>3?B.k>4?C.k>5?D.k>6?【解析】选A.程序在运行过程中,各变量的值变化如表:k S 是否继续循环前 1 1 /第一次 2 4 是第二次 3 11 是第三次 4 26 否可得,当k=4时,S=26.此时应该结束循环并输出S的值为26,所以判断框应该填入的条件为k>3?.解决此类题的关键是什么?提示:通过逐步运算,确定运算执行的总次数是关键.判断运算次数【典例】若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k的值是()A.5B.6C.7D.8【解析】选A.当n=5时,n不满足第一个判断框中的条件,n=16,k=1,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=8,k=2,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=4,k=3,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=2,k=4,n不满足第二个判断框中的条件,n满足第一个判断框中的条件,n=1,k=5,n满足第二个判断框中的条件,退出循环,即输出的结果为k=5.1.某程序框图如图所示,则运行该程序后输出S= ( )A. B. C. D.【解析】选D.模拟执行程序框图,可得S=1,n=1,不满足条件n>5,S=1+,n=2;不满足条件n>5,S=1++,n=3;不满足条件n>5,S=1+++,n=4;不满足条件n>5,S=1++++,n=5;不满足条件n>5,S=1+++++,n=6;满足条件n>5,退出循环,输出S的值.S=1+++++=.2.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍以此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是( )A.i<20,S=S-,i=2iB.i≤20,S=S-,i=2iC.i<20,S=,i=i+1D.i≤20,S=,i=i+1【解析】选D.根据题意可知,第一天S=,所以满足S=,不满足S=S-,故排除A,B,由框图可知,计算第二十天的剩余时,有S=,且i=21,所以循环条件应该是i≤20.3.执行如图所示的程序框图,若输出i的值为2,则输入x的最大值是( )A.5B.6C.11D.22【解析】选D.执行该程序可知解得即8<x≤22,所以输入x的最大值是22.1.按如图所示的流程图进行计算.若输出的x=202,则输入的正实数x 值的个数最多为 ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.程序框图当x>100时结束循环,输出x的值为202:令202=3x+1,解得x=67,即输入x=67时,输出结果为202.202=3(3x+1)+1,解得x=22,即输入x=22时,输出结果202.202=3(3(3x+1)+1)+1.即201=3(3(3x+1)+1),所以67=3(3x+1)+1,即22=3x+1,解得x=7,输入x=7时,输出结果202.202=3(3(3(3x+1)+1)+1)+1.解得x=2,输入x=2时,输出结果202.202=3(3(3(3(3x+1)+1)+1)+1)+1.解得x=,输入x=时,输出结果202.综上,共有5个不同的正实数x值.2.执行如图所示的程序框图,输出的s的值为________.【解析】依题意,数列的项以6为周期重复出现,且前6项和等于0,因为2 017=6×336+1,所以数列的前2 017项和等于336×0+sin =,执行题中的程序框图,输出s的值等于数列的前2 017项和,等于. 答案:考点三程序框图的交汇问题【典例】1.(2020·合肥模拟)中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”即“有数被三除余二,被五除余三,被七除余二,问该数为多少?”为解决此问题,现有同学设计如图所示的程序框图,则框图中的“”处应填入 ( )A.∈N?B.∈N?C.∈N?D.∈N?2.(2019·太原模拟)执行如图所示的程序框图,设输出的数据构成的集合为A,从集合A中任取一个元素a,则函数y=x a,x∈[0,+∞)是增函数的概率为________.【解题导思】序号联想解题1 由三三数之剩二,七七数之剩二,想到最小公倍数212 由幂函数在[0,+∞)上是增函数,想到a>0【解析】1.选A.根据题意可知,此程序框图的功能是找一个满足下列条件的数a:a=3k+2,a=5n+3,a=7m+2,k,n,m∈N,根据程序框图可知,数a已经满足a=5n+3,n∈N,所以还要满足a=3k+2,k∈N和a=7m+2,m∈N 并且还要用一个条件给出,即a-2既能被3整除又能被7整除,所以a-2能被21整除,故在“”处应填入∈N?.2.执行程序框图,x=-3,y=3;x=-2,y=0;x=-1,y=-1;x=0,y=0;x=1,y=3;x=2,y=8;x=3,y=15;x=4,退出循环,则集合A中的元素有-1,0,3,8,15,共5个,若函数y=x a,x∈[0,+∞)为增函数,则a>0,所以所求的概率为.答案:程序框图与其他知识点的交汇问题(1)涉及古代数学文化的题目关键是理解文言条件,将条件翻译过来后进行解题.(2)与初等函数等知识点融合的题目关键是利用相关的性质进行求值、判断,与程序框图有机结合.1.某校为了了解高三学生日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位学生进行调查.如表是这50位学生睡眠时间的频率分布表:组别(i) 睡眠时间组中值(Z i) 频数频率(P i)1 [4.5,5.5) 52 0.042 [5.5,6.5) 6 6 0.123 [6.5,7.5) 7 20 0.404 [7.5,8.5) 8 18 0.365 [8.5,9.5) 9 3 0.066 [9.5,10.5] 10 1 0.02现根据如图所示的程序框图用计算机统计平均睡眠时间,则判断框①中应填入的条件是( )A.i>4?B.i>5?C.i>6?D.i>7?【解析】选 B.根据题目中程序框图,用计算机统计平均睡眠时间,总共执行6次循环,则判断框①中应填入的条件是i>5?(或i≥6?). 2.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果n=________.【解析】第一次循环,得S=2;第二次循环,得n=2,a=,A=2,S=;第三次循环,得n=3,a=,A=4,S=;第四次循环,得n=4,a=,A=8,S=>10,结束循环,输出的n=4.答案:4关闭Word文档返回原板块。
