(本科)《微积分》第八章 练习

第八章多元函数微分学习题解第八章多元函数微分学习题解第8章多元函数微分学§8.1 多元函数的基本概念内容概要课后习题全解习题8-1★1.设222(,)xy f x y x y =+，求(1,)y f x。

解：222222(1,)1()yy xy x f y x x y x==++★2. 已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy +-。

解： 2(,,)()()xyx f x y x y xy x y xy +-=++★★3.设()z x y f x y =++-，且当0y =时，2z x =，求()f x 。

解：将0y =代入原式得： 20(0)xx f x =++- ，故 2()f x x x =-4.求下列函数的定义域： ★（1）2ln(21)zy x =-+解：要使表达式有意义，必须 2210yx -+>∴ 所求定义域为 2{(,)|210}D x y y x =-+>★（2）zx y=-解：要使表达式有意义，必须0x y ≥， ∴ {(,)|}D x y x y =≥★★（3）22ux y=+解：要使表达式有意义，必须11-≤≤∴{(,,)|D x y z z =≤≤★★★（4）z =解：要使表达式有意义，必须 222224010ln(1)0ln1x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨⎪--≠=⎩∴ 222{(,)|01,4}D x y x y y x =<+≤≤★★（5）22ln()1x z y x x y=-+--解：要使表达式有意义，必须220010y x x x y ⎧->⎪≥⎨⎪-->⎩∴ 22{(,)|1,0}D x y x y x y =+<≤<5.求下列极限：★（1）2210y x y x y→→+知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

第一章 函数极限与持续 【2 】一.填空题1.已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f .2.=-+→∞)1()34(lim22x x x x . 3.0→x 时,x x sin tan -是x 的阶无限小. 4.01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为. 5.=-∞→x e xx arctan lim .6.⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处持续,则=b .7.=+→xx x 6)13ln(lim0.8.设)(x f 的界说域是]1,0[,则)(ln x f 的界说域是__________. 9.函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________. 10.设a 长短零常数,则________)(lim =-+∞→xx ax a x . 11.已知当0→x 时,1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无限小,则常数________=a . 12.函数xxx f +=13arcsin )(的界说域是__________.13.lim ____________x →+∞=.14.设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ,则=a ________. 15.)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________.二.选择题1.设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,则中所给的函数必为奇函数. （Ａ）)()(x g x f +;（Ｂ）)()(x h x f +;（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f .2.xxx +-=11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有. （Ａ）α是比β高阶的无限小; （Ｂ）α是比β低阶的无限小;（C ）α与β是同阶无限小; （D ）βα~.3.函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1111)(3x k x x x x x f 在0=x 处持续,则=k .（Ａ）23; （Ｂ）32; （C ）1; （D ）0. 4.数列极限=--∞→]ln )1[ln(lim n n n n .（Ａ）1; （Ｂ）1-; （C ）∞;（D ）不消失但非∞.5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=01cos 000sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 是)(x f 的.（Ａ）持续点;（Ｂ）可去间断点;（C ）跳跃间断点;（D ）振荡间断点. 6.以下各项中)(x f 和)(x g 雷同的是（ ）（Ａ）2lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; （Ｂ）x x f =)(,2)(x x g =;（C ）334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;（D ）1)(=x f ,x x x g 22tan sec )(-=.7.||sin lim0x xx →= （ ）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （C ）0; （D ）不消失. 8.=-→xx x 10)1(lim （ ）（Ａ）1; （Ｂ）-1; （Ｃ）e ; （Ｄ）1-e .9.)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →消失的（ ）（Ａ）充分必要前提;（Ｂ） 充分前提;（C ）必要前提;（D ）既不充分也不必要前提. 10.=-+∞→)1(lim 2x x x x （ ）（Ａ）1; （Ｂ）2; （C ）21; （D ）0. 11.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有（ ） （A ）n n b a <对随意率性n 成立; （B ）n n c b <对随意率性n 成立;（C ）极限n n n c a ∞→lim 不消失 ; （D ）极限n n n c b ∞→lim 不消失.12.当1→x 时,函数11211---x e x x 的极限（ ） （Ａ）等于２; （Ｂ）等于０;（Ｃ）为∞;（Ｄ）不消失但不为∞. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 （1）12sin2lim -∞→n nn x ;（2）xxx x cot csc lim0-→ ;（3）)1(lim 1-→∞xx e x ; （4）xx x x 31212lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→;（5）1cos cos 21cos 2cos 8lim 223-+--→x x x x x π; （6）x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;（7）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ; （8）32324arctan )21ln(lim x x x --+→. ３.试肯定b a ,之值,使2111lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x . ４.运用极限消失准则求极限(1)nn n n 13121111131211lim++++++++++∞→ .（2）设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证实n n x →∞lim 消失,并求此极限值.5.评论辩论函数xx xx n n n n n x f --∞→+-=lim )(的持续性,如有间断点,指出其类型.6.设)(x f 在],[b a 上持续,且b x f a <<)(,证实在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f .第一单元 函数极限与持续习题解答一.填空题1.x 2sin 2.2sin 22)2sin21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴.2.0 .016249lim )1()34(lim3222=+-++=-+∞→∞→xx x x x x x x x .3.高阶.0)cos 1(lim )cos 1(tan lim sin tan lim000=-=-=-→→→x xx x x x x x x x ,x x sin tan -∴是x 的高阶无限小.4.0>k .x 1sin为有界函数,所以要使01sin lim 0=→xx kx ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k .5.0.0arctan lim =-∞→x e xx ))2,2(arctan ,0lim (ππ-∈=-∞→x e xx .6.2=b .b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0,2)1(lim )(lim 0=+=++→→xx x e x f ,,)0(b f =2=∴b .7.212163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x .8.e x ≤≤1依据题意 请求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1. 9.21-=-x ey )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y .10.ae 2原式=a aa x xa ax x e ax a 222)21(lim =-+⋅-⋅-∞→. 11.23-=a 由231231~1)1(ax ax -+（运用教材P58(1)1ax ax +-）与221~1cos x x --,以及1322131lim 1cos 1)1(lim 2203120=-=-=--+→→a x axx ax x x , 可得 23-=a . 12.2141≤≤-x 由反三角函数的界说域请求可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-011131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12141x x ,⇒)(x f 的界说域为2141≤≤-x . 13.0limlimx x =22lim0x ==.14.2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x aa-,所以x=3at a + 即：3211lim()lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t→∞→∞+=++-=38a e =2ln 32ln 8ln 318ln 33===⇒=a a .15.2)2(2)1(lim)2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→2121)111(2lim =++++=+∞→nn n .二.选择题1.选（Ｄ） 令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数,)(x h 是],[l l -上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴.2.选（Ｃ）])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim31311x x xx x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα23)1(31)1(1lim1=-⋅+-=→x x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-）3.选（A ） 233121lim 1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x xx x x f x x x （运用教材P58(1)1a x ax +-） 4.选（Ｂ）1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1nn n n n n n-→∞→∞--=--=-5.选（Ｃ）1)0(=-f , 0)0(=+f , 0)0(=f 6.选（Ｃ）在（A ）中2ln )(xx f = 的界说域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的界说域为0>x ,)()(x g x f ≠∴故不准确在（B ）x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错在（D ）中1)(=x f 的界说域为R,x x x g tan sec )(2-=的界说域为}2,{ππ+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错7.选（Ｄ） 1sin lim ||sin lim 00==++→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→xxx x x x ||sin lim0x xx →∴不消失8.选（Ｄ） 1)1(110)](1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x xx xx ,9.选（Ｃ）由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0x f x x →消失,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不必定有)(lim 0x f x x →消失,例如x x 1sinlim 0→,函数11sin 1≤≤-x有界,但在0=x 点极限不消失10.选（Ｃ）（lim ()lim x x x x x x →∞→∞==211111lim2=++=∞→xx 11.选（D ） （A ）.（Ｂ）显然不对,因为稀有列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情形,不可能得出“对随意率性n 成立”的性质.（Ｃ）也显著不对,因为“无限小·无限大”是不决型,极限可能消失也可能不消失.12.选（D ）002)1(lim 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++1111121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不是∞.三.盘算解答 1.盘算下列极限： （1）解：x x x n n n n n n 222lim 2sin2lim 11=⋅=-∞→-∞→.（2）解：2200001cos csc cot 1cos 1sin sin 2lim lim lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====.（3）解：11lim )1(lim 1=⋅=-∞→∞→xx e x x xx . （4）解：3212133])2111[(lim )1221(lim )1212(lim +-∞→∞→∞→-+=-+=-+x x x x x x x x x x . 113332211[lim(1)][lim(1)]1122x x x e x x -→∞→∞=+⋅+=--（5）解：)1)(cos 1cos 2()1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3223+-+-=-+--→→x x x x x x x x x x ππ212112141cos 1cos 4lim 3=++⨯=++=→x x x π.（6）解：)cos sin 1(tan cos sin 1limtan cos sin 1lim00x x x x x xx x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin limx x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=. 0lim(12x →+=（7）解：])1(1321211[lim +++⨯+⨯∞→n n x )]111()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)111(lim =+-=∞→n x . （8）解：33123232323241)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =+=--=--+→→→x xxx x x x x . ３.解：1)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==231b a４.（1） 1111211111312111++<+++++++++<n nn n而 1111lim=+++∞→n x 113121111131211lim=++++++++++∴+∞→nn n x .（2）先证有界（数学归纳法）1=n 时,a a a ax x =⋅>=12设k n =时,a x k >, 则a a ax x k k =>=+21数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,11<==+nnn n n x ax ax x x 且0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞→∴lim 消失,设A x n n =∞→lim ,则有 aA A =⇒0=A （舍）或a A =,a x n n =∴∞→lim５.解：先求极限 得 00010111lim )(22<=>⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f xxn 而 1)(lim 0=+→x f x 1)(lim 0-=-→x f x 0)0(=f)(x f ∴的持续区间为),0()0,(+∞-∞0=x 为跳跃间断点..６.解：令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在],[b a 上持续而0)()(>-=a a f a F0)()(<-=b b f b F由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f .第二章 导数与微分一.填空题1.已知2)3(='f ,则hf h f h 2)3()3(lim--→=.2.)0(f '消失,有0)0(=f ,则xx f x )(lim→=.3.πππ1arctan++=x y x ,则1='x y =.4.)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '=;y ''=.5.曲线xe y =在点处切线与衔接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行. 6.)]1ln[arctan(x y -=,则dy =. 7.42sin x y =,则dx dy =,2dx dy=. 8.若txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→,则)(t f '=.9.曲线12+=x y 于点_________处的切线斜率为2. 10.设xxe y =,则_______)0(=''y . 11.设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy eyx 肯定,则________=dxdy. 12.设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12则________22=dx yd . 二.单项选择 1.设曲线xy 1=和2x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ,则ϕtan =（ ）. （Ａ）1-;（Ｂ）1; （C ）2-;（Ｄ）3. 3.函数x ke xf tan )(=,且e f =')4(π,则=k （ ）.（Ａ）1;（Ｂ）1-; （C ）21;（Ｄ）2. 4.已知)(x f 为可导的偶函数,且22)1()1(lim-=-+→xf x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(-处切线的方程是.（Ａ）64+=x y ;（Ｂ）24--=x y ;（C ）3+=x y ;（Ｄ）1+-=x y .5.设)(x f 可导,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 220=.（Ａ）0;（Ｂ）)(2x f ; （C ）)(2x f ';（Ｄ）)()(2x f x f '⋅.6.函数)(x f 有随意率性阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()(x fn =.（Ａ）1)]([+n x f n ;（Ｂ）1)]([!+n x f n ;（C ）1)]()[1(++n x f n ;（Ｄ）2)]([)!1(x f n +.7.若2)(x x f =,则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim000=（ ）（Ａ）02x ; （Ｂ）0x ; （C ）04x ; （Ｄ）x 4.8.设函数)(x f 在点0x 处消失)(0x f -'和)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='是导数)(0x f '消失的（ ）（Ａ）必要非充分前提;（Ｂ）充分非必要前提; （C ）充分必要前提;（Ｄ）既非充分又非必要前提. 9.设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f （ ） （Ａ）99;（Ｂ）99- ; （C ）!99;（Ｄ）!99-. 10.若)(u f 可导,且)(2x f y -=,则有=dy （ ）（Ａ）dx x f x )(2-';（Ｂ）dx x f x )(22-'-;（C ）dx x f )(22-';（Ｄ）dx x f x )(22-'. 11.设函数)(x f 持续,且0)0('>f ,则消失0>δ,使得（ ）（A ）)(x f 在),0(δ内单调增长; （B ）)(x f 在)0,(δ-内单调削减;（C ）对随意率性的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;（D ）对随意率性的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >.12.设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=001sin)(2x bax x xx x f 在0=x 处可导,则（ ）（A ）0,1==b a ; （B ）b a ,0=为随意率性常数; （C ）0,0==b a ; （C ）b a ,1=为随意率性常数. 三.盘算解答 1.盘算下列各题 （1）xey 1sin 2=,求dy ; （2）⎩⎨⎧==3ln t y t x ,求122=t dx yd ;（3）y y x =+arctan ,22dxy d ; （4）x x y cos sin =,求)50(y ;（5）xxx y )1(+=,求y '; （6）)2005()2)(1()(+++=x x x x x f ,求)0(f ';（7）)()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有持续的一阶导数,求)()(a f a f '''、; （8）设)(x f 在1=x 处有持续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1-+→x f dxdx .2.试肯定常数b a ,之值,使函数⎩⎨⎧<-≥+++=0102)sin 1()(x e x a x b x f ax处处可导. 3.证实曲线a y x =-22与b xy =（b a ,为常数）在交点处切线互相垂直.4.一气球从距离不雅察员500米处离地匀速铅直上升,其速度为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问不雅察员视角的倾角增长率为若干.5.若函数)(x f 对随意率性实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证实)()(x f x f ='.6.求曲线5323-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程和法线方程.第二章 导数与微分习题解答一.填空题 1.1-1)3(21)21()3()3(lim 2)3()3(lim00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h 2.)0(f ')0(0)0()(lim )(lim00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3.ππ+x ln 1ln -+='ππππxy xππ+='∴=x y x ln |14.x x f cos )sin 1(⋅+',x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''x x f y cos )sin 1(⋅+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''5.)1),1(ln(--e e 弦的斜率1011-=--=e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y .6.])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--)1()1(11)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12x d x x x d x dy --+⋅-=--=])1(1[)1arctan(2x x dx-+⋅--=7.432sin 4x x ,422sin 2xx 433442sin 44cos sin 2x x x x x dxdy =⋅⋅= 4222sin 22x x xdxdy dx dy == 8.t t te e 222+ttx x te xt t f 22)11(lim )(=+=∞→t t te e t f 222)(+='∴9.)2,1(x y 2=' ,由220=x ⇒10=x ,21120=+=y12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为210. 2x x xe e y +=' ,xx x xe e e y ++=''2)0(00=+=''∴e e y11.)sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程双方对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e yx解得 )sin()sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++.12.34cos sin t tt t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy tt 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得32224cos sin 21sin cos 21'')'()'(ttt t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=⋅--===. 二.选择题1.选（Ｄ） 由⎪⎩⎪⎨⎧==21xy x y ⇒交点为)1,1(,1|)1(11-='==x x k ,2|)(122='=x x k3|1||)tan(|tan 211212=+-=-=∴k k k k ϕϕϕ3.选（Ｃ） x x k e x f k xk21tansec tan )(⋅⋅='-由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒21=k 4.选（A ） 由xf x f x f x f x x 2)1()1(lim2)1()1(lim00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f∴切线方程为：)1(42+=-x y 即 64+=x y 5.选（Ｄ） )()(2])([)()(lim2220x f x f x f xx f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6.选（Ｂ） )(2)()(2})]({[)(32x f x f x f x f x f ='⋅='='')(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()1(x f x f n x fn n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴7.选（Ｃ） )(22)()2(2lim )()2(lim 0000000x f xx f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆又x x x f 2)()(2='=' ,004)(2x x f ='∴8.选（Ｃ） )(x f 在0x 处可导的充分必要前提是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都消失且相等. 9.选（Ｄ）)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f )98()2)(1(---++x x x x!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f另解：由界说,)99()2)(1(lim 0)0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x!99!99)1(99-=⋅-= 10.选（Ｂ） )(2)()(])([2222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-dx x f x dy )(22-'-=∴11.由导数界说知0)0()(lim)0('0>-=→xf x f f x ,再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时0)0()(>-xf x f ,从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,是以C 成立,应选C. 12.由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处持续b b ax x f xx x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01sinlim )(lim 0020,所以0=b .又a xax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-++→-→→+0)0()(lim )0(,01sinlim 0)0()(lim )0(0200,所以0=a .应选C. 三.盘算解答 1.盘算下列各题 （1）dx x x x e x d edy xx)1(1cos 1sin 2)1(sin 21sin 21sin 22-⋅⋅==dx e xx x1sin 222sin 1-=（2）32313t tt dxdy ==,3222919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d （3）双方对x 求导：y y y'='⋅++2111⇒12+='-y y)11(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y y y y y y y （4）x x x y 2sin 21cos sin == )22sin(2cos π+=='∴x x y )222sin(2)22cos(2ππ⋅+=+=''x x y 设)22sin(21)(π⋅+=-n x yn n则)2)1(2sin(2)22cos(2)1(ππ++=⋅+=+n x n x yn n nx x y 2sin 2)2502sin(24949)50(-=⋅+=∴π（5）双方取对数：)]1ln([ln ln x x x y +-=双方求导：xx x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(xxx x x x y x +-++-+='∴（6）运用界说：!2005)2005()3)(2)(1(lim )0()(lim)0(00=++++=-='→→x x x x xf x f f x x（7）)()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴又ax a x a x x a x a f x f a f a x ax --'-+=-'-'=''→→)()()()(lim)()(lim)(ϕϕϕ )]()()([lim x ax a x ax ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'=[注：因)(x ϕ在a x =处是否二阶可导不知,故只能用界说求.]（8）]121)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++→→x x x f x f dx d x x121sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=++→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f2.易知当0≠x 时,)(x f 均可导,要使)(x f 在0=x 处可导则 )0()0(-+'='f f , 且)(x f 在0=x 处持续.即)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+-→→而020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭⎪⎬⎫=++=+-→→b a x f a b x f x x 又 b xa b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+22)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00a x axx e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(由⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=1102b a b a b a 3.证实：设交点坐标为),(00y x ,则a y x =-2020b y x =00对a y x =-22双方求导：yx y y y x ='⇒='⋅-022 ∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率010|y x y k x x ='== 又由2xb y x b y b y x -='⇒=⇒= ∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率2020|x by k x x -='== 又 1)(00200021-=-=-⋅=y x b x b y x k k ∴两切线互相垂直.4.设t 分钟后气球上升了x 米,则500tan x=α 双方对t 求导：2575001405001sec 2==⋅=⋅dt dx dt d αα αα2cos 257⋅=∴dt d 当500=x m 时, 4πα=∴当500=x m 时,50721257=⋅=dt d α（弧度/分） 5.证实：hx f h f x f h x f h x f x f h h )0()()(lim )()(lim)(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )0()()(lim )0()()()(lim00-=⋅-⋅=→→)()0()(x f f x f ='⋅=6.解：因为x x y 632+=',于是所求切线斜率为3|63121-=+=-=x x x k ,从而所求切线方程为)1(33+-=+x y , 即063=++y x又法线斜率为31112=-=k k 所以所求法线方程为)1(313+=+x y ,即 083=+-x y 第三章 中值定理与导数运用一.填空题1.=→x x x ln lim 0__________.2.函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增.3.函数()43384x x x f -+=的极大值是____________.4.曲线x x x y 3624+-=在区间__________是凸的.5.函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式是_________.6.曲线xxey 3-=的拐点坐标是_________.7.若()x f 在含0x 的()b a ,（个中b a <）内恒有二阶负的导数,且_______,则()0x f 是()x f 在()b a ,上的最大值.8.123++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点.9.________)1sin 1(cot lim 0=-→xx x x . 10._________)tan 11(lim 20=-→xx x x . 11.曲线2x e y -=的上凸区间是___________. 12.函数1--=x e y x的单调增区间是___________. 二.单项选择1.函数)(x f 有持续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2)(lim x xx f x （ ） （Ａ）不消失 ;（Ｂ）0 ;（Ｃ）-1 ;（Ｄ）-2.2.设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ） （Ａ）单调增凹的; （Ｂ）单调减凹的; （Ｃ）单调增凸的;（Ｄ）单调减凸的.3.)(x f 在),(b a 内持续,0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ,则)(x f 在0x x =处（ ）（Ａ）取得极大值; （Ｂ）取得微小值;（Ｃ）必定有拐点))(,(00x f x ;（Ｄ）可能取得极值,也可能有拐点.4.设)(x f 在[]b a ,上持续,在),(b a 内可导,则Ⅰ：在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ：在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系是（ ）（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要前提; （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分前提; （Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要前提;（Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分前提,也不是必要前提.5.设)(x f .)(x g 在[]b a ,持续可导,0)()(≠x g x f ,且)()()()(x g x f x g x f '<',则当b x a <<时,则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <;（Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <; （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <; （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >. 6.方程0133=+-x x 在区间),(+∞-∞内（） （Ａ）无实根; （Ｂ）有独一实根; （Ｃ）有两个实根; （Ｄ）有三个实根.7.已知)(x f 在0=x 的某个邻域内持续,且0)0(=f ,2cos 1)(lim 0=-→xx f x ,则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导; （Ｂ）可导,且0)0('≠f ; （C ）取得极大值; （Ｄ）取得微小值. ８.设)(x f 有二阶持续导数,且0)0('=f ,1||)("lim=→x x f x ,则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值; （Ｂ）)0(f 是)(x f 的微小值; （Ｃ）))0(,0(f 曲直线)(x f y =的拐点; （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点.9.设b a ,为方程0)(=x f 的二根,)(x f 在],[b a 上持续,在),(b a 内可导,则)('x f 在),(b a 内（ ） （A ）只有一实根; （B ）至少有一实根; （C ）没有实根; （D ）至少有2个实根. 10.在区间]1,1[-上知足罗尔定理前提的函数是（ ） （A ）21)(x x f =; （B ）||)(x x f =; （C ）21)(x x f -=; （D ）12)(2--=x x x f .11.函数)(x f 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内0)('>x f 是函数)(x f 在),(b a 内单调增长的（ ） （A ）必要但非充分前提; （B ）充分但非必要前提;（C ）充分必要前提; （C ）无关前提. 12.设)(x f y =是知足微分方程0'"sin =-+xey y 的解,且0)('0=x f ,则)(x f 在（ ）（A ）0x 的某个邻域单调增长; （B ）0x 的某个邻域单调削减; （Ｃ）0x 处取得微小值; （Ｄ）0x 处取得极大值. 三.盘算解答 1.盘算下列极限 (1)1arccos lim 1+-+-→x xx π;(2)xxx ln cot ln lim 0+→; (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→; (4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ;(5)30arctan limxxx x -→ ; (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +→. 2.证实以下不等式(1).设e a b >>,证实ab b a >. (2).当20π<<x 时,有不等式x x x 3sin 2tan >+.3.已知x x y sin 3=,运用泰勒公式求)0()6(y .4.试肯定常数a 与n 的一组数,使得当0→x 时,nax 与33)1ln(x x +-为等价无限小.5.设)(x f 在[]b a ,上可导,试证消失)(b a <<ξξ,使[])()(3)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-.6.作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V 最小,并求出该体积最小值.7.若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3x f x x F =,试证：在)1,0( 内至少消失一个ξ,使0)('"=ξF .第三章 中值定理与导数运用习题解答一.填空题1.00)(lim 11lim 1ln lim ln lim 02000=-=-==→→→→x xx x xx x x x x x2.),(+∞-∞0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增3.20)2(121224)(232--=-='x x x x x f令2,00)(21==⇒='x x x f当2<x 时,0)(>'x f ;当2>x 时,0)(<'x f∴极大值为 20)2(=f4.)1,1(-31243+-='x x y ,)1)(1(1212122-+=-=''x x x y当1-<x 时,0>''y .当)1,1(-∈x 时,0<''y ;当),1(+∞∈x 时,0>''y∴曲线在)1,1(-上是凸的5.m m x m x x 242)!2(1)1(!41!211-+++-（赐教材P13页,泰勒公式） 6.)32,32(2-e )31(3333x e xe ey x x x-=-='--- ,)32(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x令320=⇒=''x y ,当32<x 时,0<''y ;当32>x 时0>''y而当32=x 时,232-=e y ∴拐点为)32,32(2-e7.0)(0='x f ,0)(lim )()(lim)("000000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)(0<-'⇒x x x f 当0x x <时,)(,0)(0x f x f >'单调增长;当0x x >时,)(,0)(x f x f <'单调削减 8.10232>+='x y ,y ∴在),(+∞-∞上单调增长又-∞=-∞→y x lim +∞=+∞→y x lim .∴在),(+∞-∞内有1个零点.9.61 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 10.31 原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 2202203020==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 11.)22,22(-22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令220"±=⇒=x y ,当)22,22(-∈x 时,0"<y ,上凸,其它区间0">y ,上凹,故应填入)22,22(-. 12.),0(+∞ 函数1--=x e y x的界说区间为),(+∞-∞,在界说区间内持续.可导,且1'-=xe y ,因为在),0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增长.二.选择题 1.选（Ｃ） 12)(lim 21)(lim )(lim0020-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x 2.选（Ｂ） 当)1,21(∈x 时,0)(<'x f ,又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,21(∈x)(x f ∴在)1,21(上单调减且为凹的.3.选（Ｄ） 3)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,0=x 是3)(x x f =的拐点;设4)(xx f =,则0)0(")0('==f f ,而0=x 是4)(x x f =的极值点.4.选（Ｃ）由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要前提是在),(b a 内C x f ≡')(（C 为常数）,又因为)(x f 在],[b a 内持续,所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡.5.选（Ｃ）由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f)()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调削减,),(b a x ∈ )()()()(b f a f x g x f <∴. 6.选（Ｄ） 令13)(3+-=x x x f ,则)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f ;当1-<x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长, 当)1,1(-∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 单调削减 当),1(+∞∈x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增长. 而3)1(=-f ,1)1(-=f-∞=-∞→)(lim x f x ,+∞=+∞→)(lim x f x)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根,在),1(+∞上有一实根.７.选（Ｄ） 运用极限的保号性可以剖断)(x f 的正负号：0cos 1)(02cos 1)(lim0>-⇒>=-→xx f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由0cos 1>-x ,有)0(0)(f x f =>,即)(x f 在0=x 取微小值. 8.选（Ｂ） 由极限的保号性：0||)("01||)("lim 0>⇒>=→x x f x x f x （在0=x 的某空心邻域）;由此0)(">x f （在0=x 的某空心邻域）,)('x f 单调增,又由0)0('=f ,)('x f 在0=x 由负变正,由极值第一充分前提,0=x 是)(x f 的微小点.9.选（B ）由罗尔定理保证至少消失一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf .10.选（C ）,A 选项)(x f 在0=x 不持续,B 选项)(x f 在0=x 处不可导,D 选项)1()1(-≠f f .11.选（B ）,如3x y =在),(+∞-∞单增,但0)0('=f ,故非必要前提.12.选（Ｃ）,由0)('0=x f 有0)(')("00sin 0sin 0>=-=x x e x y ex y ,所以)(x f 在0x 处取得微小值. 三.盘算解答1.盘算极限（1）解： 1arccos lim 1+-+-→x x x π12111arccos 21lim 21+-⋅=+-→x x x x π2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解： 1sin cos sin lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 20200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→xx x x xx x x x x x x . (3)解： 613cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x (4)解：21])1(21[lim 2111lim )1ln(lim )]1ln(11[lim 002020-=--=--=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x (5)解： 31)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x . (6)解： b bx ax a ax bx b bx bx a ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )tan(1)(sec )tan(1lim )tan(ln )tan(ln lim 2202200 220cos ()lim 1cos ()x bx bx a ax ax b+→⋅⋅==⋅⋅ 2.(1)证实：b a a b b a ab ln ln >⇔>令 x a a x x f ln ln )(-=,则)(x f 在],[b a 上持续0ln )(>-='xa a x f ],[b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增长,)()(a f b f >∴得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b , 即ab b a > (2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2,0(π∈x 时03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=-+='x x xx x x x x x f 0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2π上单调增,又00lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x ++→→=+-= 0(0,),()lim ()02x x f x f x π+→∴∀∈>=, 即x x x 3sin 2tan >+ 3.解： 麦克劳林公式)(!)0(!2)0()0()0()()(2n n n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 212153m m m x o m x x x x x +--+-+-=-- ++-==∴!5!3sin 8643x x x x x y 比较 6x 的系数有：120!3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4.解： 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36023210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ,2113-=⇒=-a an 5.即证：332()()[3()()]b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 令)()(3x f x x F =,则)(x F 在],[b a 上知足拉格朗日定理的前提 ),(b a ∈∃∴ξ,使)()()(ξF ab a F b F '=-- 即3323()()3()()b f b a f a f f b aξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)()(1233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-6.解：设圆锥的高为h,底面圆半径为R,则有比例关系222r hrRR h r=⇒=-rhrhhRV23131222-⋅==∴ππ)2(rh>222222)2()42(31)2()2(231rhhrhhrrhrhrhhrdhdV---=---=ππ令⇒=0dhdV独一驻点rh4=所以,当rh4=时,体积最小,此时32238241631rrrrrVππ=-⋅⋅=7.解：由题设可知)('"),("),('),(xFxFxFxF在]1,0[上消失,又)1()0(FF=,由罗尔定理,)1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF,又0|)](')(3[)0('32=+==xxfxxfxF,可知)('xF在],0[1ξ上知足罗尔定理,于是),0(12ξξ∈∃,使0)("2=ξF,又0|)](")('6)(6[)0("32=++==xxfxxfxxxfF,对)(''xF在],0[2ξ上再次运用罗尔定理,故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ,使得0)('"=ξF.第四章不定积分一.填空题1.⎰dx xx=___________.2.⎰xxdx2=_____________.3.⎰+-dxxx)23(2=_____________.4.⎰-dxxxxsincos2cos=___________.5.⎰+xdx2cos1=____________.6.dttt⎰sin=___________.7.⎰xdxx sin=___________.8.⎰xdxarctan=__________.9.=+⎰dxxx2sin12sin____________.10.⎰=''dx x f x )(____________. 11.⎰=++dx x x 1)3(1________________. 12.⎰=++__________522x x dx .二.单项选择1.对于不定积分()dx x f ⎰,下列等式中（ ）是准确的.（A ）()()x f dx x f d =⎰;（B ）()()x f dx x f ='⎰;（C ）()()x f x df =⎰;（D ）()()x f dx x f dx d =⎰. 2.函数()x f 在()+∞∞-,上持续,则()[]dx x f d ⎰等于（ ）（A ）()x f ;（B ）()dx x f ;（C ）()C x f +;（D ）()dx x f '.3.若()x F 和()x G 都是()x f 的原函数,则（ ）（A ）()()0=-x G x F ;（B ）()()0=+x G x F ;（C ）()()C x G x F =-(常数);（D ）()()C x G x F =＋(常数).4.若⎰+='c xdx x f 33)(,则=)(x f （ ） （A ）c x +3556;（B ）c x +3559;（C ）c x +3;（D ）c x +. 5.设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=⎰dx x xf )(（ ）（A ）c x x ++)ln 4121(2;（B ）c x x ++)ln 2141(2; （C ）c x x +-)ln 2141(2;（D ）c x x +-)ln 4121(2. 6.设c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2（ ）（A ）c x +--22)1(2;（B ）c x +-22)1(2;（C ）c x +--22)1(21;（D ）c x +-22)1(21. ７.=+-⎰dx e e x x 11（ ）。

第8章 多元函数的微分法及其应用§8.1 多元函数的基本概念一、填空题1．已知22),(y x xyy x f -=+ ，则f(x,y)= 。

2．函数)1ln(4222y x y x Z ---=的定义域为 。

3．11lim0-+→→xy xy y x = 。

二、判断题1． 如果P 沿任何直线y=kx 趋于（0，0）,都有A P f kxy x ==→)(lim 0，则A y x f y x =-→→)(lim 00。

（ ）2． 从0)0,(lim 0=→x f x 和2)2,(lim 0=→x x f x 知),(lim 0y x f y x →→不存在。

（ ）3． 下面定义域的求法正确吗？)ln(11),(y x y x y x f -+-+=解：012)2()1()2(0)1(01>-⇒+⎩⎨⎧>->-+x y x y x 所以定义域为x>1/2的一切实数。

三、选择题1． 有且仅有一个间断点的函数是（ ）（A ）、x y （B ）、)22l n (y x e x +- （C ）、yx x+ （D ）、arctanxy 2.下列极限存在的是（ ） （A ）、y x x y x +→→00li m （B ）、y x y x +→→1l i m 00 （C ）、y x x y x +→→200l i m （D ）、yx x y x +→→1s i n lim 00四、求下列函数的定义域，并画出定义域的图形。

1．y x y x z --+=112.221)ln(yx x x y z --+-=3．)]1)(9ln[(2222-+--=y x y x z五、求下列极限，若不存在，说明理由。

1．22101lim y x xy y x +-→→2. 222200cos 1lim y x y x y x ++-→→3．y x x y x +→→00lim§8.2 偏导数一、判断题1． 如果f(x,y)在(x 0,y 0) 处，xf ∂∂存在，则一元函数f(x,y 0)在（x,y 0）处连续。

1习题8-11. 求下列函数的定义域： (1)y x z -= ；解：0,0x y D ≥≥⇒=(){,0,x y y x ≥≥(2)221)ln(yx xx y z --+-=；解：220,0,1y x x x y D -≥≥--⇒=(){}22,01x y y x xy >≥+<且(3))0(122222222>>-+++---=r R rz y x z y x R u ；解：222222220R x y z x y z r ≤---<++-⇒，0D ⇒=(){}22222,,x y z rx y z R <++≤(4)22arccosyx z u +=。

221,0x y D ≤+≠⇒=(){}22,0x y z x y +≠且2. 求下列多元函数的极限:： (1)22y 01)e ln(limyx x y x ++→→；解：y 1ln2x y →→==(2)xy xy y x 42lim0+-→→；解：令t=xy，1200001(4)12lim 14x t t y t -→→→→-+===-2(3)x xyy x sin lim50→→；解：0050sin sin lim5lim 55x x y y xy xyx x →→→→==(4) 22x 222200e)()cos(1lim y y x y x y x ++-→→；解：22222222222x 001cos()11cos()2(sin ),lim 20022()ey x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=⋅⋅=+(5)xy y x y x )(lim 220+→→。

解：0,xy >设22ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理2200222222lim ln()2222000ln()()ln()0lim ln()0,lim()1x y xy x y xyx x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e→→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得,3. 证明下列极限不存在： (1)y x yx y x -+→→00lim；证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x+===-当沿直线趋于原点(0,0)时.001lim,1x y x y mm x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。