第2章 第9讲第九讲 函数的应用

第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。

第九讲 一次分式函数【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a dcx b ax y ++=的函数，叫做一次分式函数。

（1）特殊地，)0(≠=k xk y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c ca y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。

【典例分析】例1 说明函数13+=x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。

例2 求函数x x y +-=11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。

例3 将函数xx f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。

例4 求函数)0(123≥+-=x x x y 的值域。

例5 函数1)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。

例6 已知)0,0(>>=a x xa y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；（2）设)0,0(>>=a x xa y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。

【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。

2、函数312+--=x x y 的图象关于点_____________对称。

3、若直线y=kx 与函数59++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。

4、画出函数1||1--=x x y 的图象。

5、若函数21++=x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。

函数[x]与{x}1.定义：对任意实数x ，以[]x 表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如[4.2]4=，[7.6]8-=-等．定义{}[]x x x =-，称它为x 的小数部分，如{3.1}0.1=，{7.6}0.4-=等等．对x R ∀∈，[]y x =和{}y x =均是x 的函数．2.性质（1）[]y x =的定义域为R ，值域为Z ；{}y x =的定义域为R ，值域为[0,1)． （2）[]{}x x x =+，[]01x x ≤-<，[][]1x x x <+≤，[1]x x x -<≤． （3）①若x y ≤，则[][]x y ≤，即函数[]y x =在R 上不减． ②{}y x =是周期函数，最小正周期为1． ③对整数n ，有[][]x n x n +=+，{}{}x n x +=． ④[][][]x y x y +≥+，{}{}{}x y x y +≤+．⑤[][],{}{}1[][][]1,{{1}}x y x y x y x y x y ++<⎧+=⎨++≥+⎩．⑥[],[][]1,x x x Z x x Z -⎧-=⎨--∉∈⎩．⑦0,{}1{},Zx x x x Z⎧-=⎨-∉∈⎩．定理 （1）设a 与b 是正整数，则在1,2,,a 中能被b 整除的整数恰有[]ab个。

（2）在!n 的质因数分解式中，素数p 的指数是231[][][][]rr n n nnp p pp ∞=+++=∑。

（3）设n 是正整数，则1[]!r r np p nn p ∞=≤∑=∏，其中p n≤∏表示对不超过n 的所有素数p 求积。

1. n N +∈，=_________。

2. 2n ≥，222111[]23n+++=_________。

3.100123101n n==∑_________4. r R ∈，192091[][][]546100100100r r r ++++++=，[100]r =_________ 5.方程[29]2xx -=的实数解为_________6.方程56157[]85x x +-=的解集为_________ 7.解方程2440[]510x x -+=． 8. 解方程4{}2[]x x x +=．9. (0,)2x π∈，22cos sin33x x M =+的整数部分是_________10. 12015x =+++[]x =_________ 11.用n a n N +∈，122000111S a a a =+++，[]S =_________ 12. 200~500的整数中7的倍数有________个 13.解不等式[]{}1x x x <-．14. *n N ∈，证明[][][]x xn n=． 15.证明：x R ∀∈有1[][][2]2x x x ++=．16.证明：x R ∀∈，n N ∈有121[][][][][]n x x x x nx n nn-+++++++=． 对于数列{}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,na ，即正整数k 恰好有k 个，是否存在整数,,r s t 使得对于任意正整数n ，都有n a r t =+恒成立？933110[]103+末尾两位数字是_________ x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足2[1]10x -=的x 的集合是_________[]x 表示不超过x 的最大整数，使333[log 6][log 7[log 29]]00n +++=的正整数n =_________对整数1n >，设1112x n=+++，lg 2lg3lg y n =+++，则满足[][]x y =的所有正整数n 构成的集合为_________[]92x x =的实数解为_________关于x 的函数()[]f x x x a =-+存在最大值()M a ，则正实数a 的取值范围是_______(n a n n =++2[]na n =_________ 函数:f R R →对任意的实数,,x y z 都有111()()()()224f xy f xz f x f yz+-≥，求[(1)][2(2)][2011(2011f f f +++．关于x 的方程1[31]22x x +=-的全部实数根之和为_________在平面上由满足22[][]50x y +=的点所围成的图形的面积为_________设11a =，1)n a n N ++=∈，2013a =_________x N +∈，记23[][][[]]2222k x x x m x=++++，其中k 是满足2k x ≥的最小整数，x m -称为正整数x 的方程数，则方程数为9的最小正整数x 为_________2222[log 1][log 2][lo [log 22]31g ]0++++=_________分解12!为质因数的乘积。

第九讲函数与方程知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理知识点一函数的零点1．函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．2．几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)(3)(4)．重要结论1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数两个零点一个零点无零点双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( ×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac<0时没有零点．( √)(3)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(×)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在(a，b)内没有零点．( ×)(5)函数y＝2x与y＝x2只有两个交点．( ×)[解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．(2)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴无交点，故没有零点．(3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f(b)>0.(4)若在区间[a，b]内有多个零点，f(a)·f(b)>0也可以．(5)y＝x2与y＝2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x＝2和x＝4处都有交点．题组二走进教材2．(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1 2 3 4 5f(x) －4 －2 1 4 7在下列区间中，函数f(x)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)[解析]由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)<0，所以函数在(2，3)内有零点，故选B．3．(必修1P92AT1改编)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( C )[解析]A，B图中零点两侧不异号，D图不连续．故选C．4．(必修1P92AT4改编)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确度0.1)如下表所示：x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.5 1.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 3 0.210 1 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为( C )A．1.32 B．1.39C．1.4 D．1.3[解析]通过上述表格得知函数唯一的零点x0在区间(1.375，1.437 5)内，故选C．题组三走向高考5．(2015·安徽，5分)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1[解析]y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，故选A．6．(2019·全国卷Ⅲ，5分)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( B )A．2 B．3C．4 D．5[解析]f(x)＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，则sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一,函数的零点考向1 确定函数零点所在区间——自主练透例1 (1)若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是( D )A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点(2)(2021·开封模拟)函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( C )A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(3)(多选题)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)·(x－c)＋(x－c)(x－a)的零点位于区间可能为( BC )A．(－∞，a) B．(a，b)C．(b，c) D．(c，＋∞)[解析](1)因为f(1)·f(2)·f(4)<0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小于0.若f(1)<0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(2)<0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点；若f(4)<0，则在(0，4)内有零点．故选D．(2)解法一：利用零点存在性定理因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，所以由零点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C．解法二：数形结合函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在范围．如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内．(3)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)·(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C．名师点拨MING SHI DIAN BO确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 考向2 函数零点个数的确定——师生共研例2 (1)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x≤0，－1＋ln x ，x>0的零点个数为( B )A ．3B ．2C ．7D ．0(2)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，x>0，2|x|，x≤0，则函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点个数为5．[解析] (1)解法一：(直接法)由f(x)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f(x)共有2个零点．解法二：(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点． (2)令2f 2(x)－3f(x)＋1＝0，解得f(x)＝1或f(x)＝12，作出f(x)的简图：由图象可得当f(x)＝1或f(x)＝12时，分别有3个和2个交点，则关于x 的函数y ＝2f 2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为5.名师点拨 MING SHI DIAN BO函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：利用函数y ＝f(x)的图象与x 轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．〔变式训练1〕(1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x≤0，1＋1x ，x>0，则函数y ＝f(x)＋3x 的零点个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x －3，则f(x)的零点个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(3)(2020·河南名校联考)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0，则函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4的零点个数是( A )A ．5B ．4C ．3D ．6[解析] (1)由已知得y ＝f(x)＋3x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x≤0，1＋1x＋3x ，x>0.令x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.令1＋1x ＋3x ＝0(x>0)可得3x 2＋x ＋1＝0.因为Δ＝1－12<0，所以方程3x 2＋x ＋1＝0无实根．所以y ＝f(x)＋3x 的零点个数是2.(2)f(x)＝e x＋x －3在(0，＋∞)上为增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－52<0，f(1)＝e －2>0，∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(－∞，0)上也有一个零点，又f(0)＝0，所以f(x)有三个零点，故选C ．(3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系．函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4＝[3f(x)－2][f(x)－2]的零点，即方程f(x)＝23和f(x)＝2的根．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，x>0，2x ，x≤0的图象如图所示，由图可得方程f(x)＝23和f(x)＝2共有5个根，即函数g(x)＝3[f(x)]2－8f(x)＋4有5个零点． 考向3 函数零点的应用——多维探究 角度1 与零点有关的比较大小例3 已知函数f(x)＝2x＋x ，g(x)＝x －log 12x ，h(x)＝log 2x －x 的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系为( D )A ．x 1>x 2>x 3B ．x 2>x 1>x 3C ．x 1>x 3>x 2D ．x 3>x 2>x 1[解析] 由f(x)＝2x＋x ＝0，g(x)＝x －log 12x ＝0，h(x)＝log 2x －x ＝0，得2x＝－x ，x ＝log 12x ，log 2x＝x ，在平面直角坐标系中分别作出y ＝2x与y ＝－x 的图象；y ＝x 与y ＝log 12x 的图象；y ＝log 2x 与y ＝x 的图象，由图可知：－1<x 1<0，0<x 2<1，x 3>1.所以x 3>x 2>x 1.角度2 已知函数的零点或方程的根求参数例4 (2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( C ) A ．[－1，0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)[解析]令h(x)＝－x －a ，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y ＝f(x)，y ＝h(x)图象的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y ＝f(x)的图象与y ＝h(x)的图象有2个交点．由图知－a≤1，∴a≥－1.名师点拨 MING SHI DIAN BO 1．比较零点大小常用方法：(1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法．2．已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解． 〔变式训练2〕(1)(角度1)(2021·安徽蚌埠月考)已知函数f(x)＝3x＋x ，g(x)＝log 3x ＋x ，h(x)＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( B )A ．a<b<cB ．a<c<bC ．a>b>cD ．c>a>b(2)(角度2)(2021·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x≤0，2x －1，x>0(a∈R)，若函数f(x)在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( D )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1，0)D ．(0，1][分析] (1)解法一：依据零点存在定理，确定a ，b ，c 所在区间，进而比较大小；解法二：分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝x 3与y ＝－x 的图象，比较其交点横坐标的大小即可．[解析](1)解法一：∵f(－1)＝3－1－1＝－23，f(0)＝1，∴a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＋13＝－23，g(1)＝1，∴b∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，显然c ＝0，∴a<c<b，故选B ．解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y ＝3x、y ＝log 3x 、y ＝－x 的图象，结合图象及c ＝0可知a<c<b ，故选B ．解法三：由概念知b>0，a<0，c<0，∴b 最大，选B ．(2)∵当x>0时，f(x)＝2x －1， 由f(x)＝0得x ＝12，∴要使f(x)在R 上有两个零点， 则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0，1]． 故所求a 的取值范围是(0，1]．考点二 二分法及其应用——自主练透例5 (1)用二分法研究函数f(x)＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈(0，0.5)，第二次应计算f(0.25)．(2)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2． (3)在用二分法求方程x 2＝2的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是7．[解析] (1)因为f(0)<0，f(0.5)>0，由二分法原理得一个零点x 0∈(0，0.5)；第二次应计算f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f(0.25)．(2)区间(1，2)的中点x 0＝32，令f(x)＝x 3－2x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－4<0，f(2)＝8－4－1>0，则根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. (3)设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n<0.001，即2n >100.由26＝64，27＝128，知n ＝7. 名师点拨 MING SHI DIAN BO1．用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．2．利用二分法求近似解需注意的问题(1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0； (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．(3)虽然二分法未单独考过，但有可能像算法中的“更相减损术”一样，嵌入到程序框图中去考查．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数零点的综合问题例6 (2021·山西五校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x≤0－x 2＋x ，x>0，若函数g(x)＝f(x)－a 恰有三个互不相同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是( A )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，132 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 [解析] 解法一：显然x≤0时，－2x ＝a ，有一根不妨记为x 1，则x 1＝－a 2(a≥0)，当x>0时－x 2＋x＝a 即x 2－x ＋a ＝0有两个不等正根，不妨记为x 2，x 3，则Δ＝1－4a>0，即a<14，从而－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0且x 2x 3＝a.∴x 1x 2x 3＝－a 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，0，故选A ．解法二：作出y ＝f(x)及y ＝a 的图象，显然0<a<14，不妨设x 1<x 2<x 3显然x 1<0，x 2>0，x 3>0，∴x 1x 2x 3<0排除C 、D ，又当x 2趋近x 3时，x 2x 3趋近14，x 1趋近－18，故x 1x 2x 3趋近－132.故选A ．名师点拨 MING SHI DIAN BO以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数学知识及其联系，快速解决该问题．〔变式训练3〕(2021·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x≤0，|lg x|，x>0.若f(x)＝a(a∈R)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)[解析] 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围． 设四个根依次为x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)， 则－2≤x 1<－1，－1<x 2≤0，x 1＋x 2＝－2， 由|lg x 3|＝|lg x 4|，得－lg x3＝lg x4，则lg x3＋lg x4＝lg(x3x4)＝0，∴x3x4＝1，∴x1x2x3x4＝x1x2＝(－2－x2)x2＝－(x2＋1)2＋1∈[0，1)．故选B．。

第九讲:函数的奇偶性——单纯奇偶性问题比较简单，高考题中多把奇偶性与单调性、周期性、反函数及图象变换联系,综合命题一．建构知识网络1.函数的奇偶性的定义:由定义知：定义域必关于原点对称;2.奇偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称;这也是判奇偶函数的依据；3.若奇函数f（ｘ)的定义域包含0，则ｆ(０）=0;ｆ（x）为偶函数 f(x）＝f(|x｜)４.判断函数的奇偶性,先看定义域，再看是否f(-x)＝±f(ｘ或等价形式:()()0 f x f x±-=，()1 ()f xf x=±-５.设f(ｘ),g(x)的定义域分别是Ｄ1,D２，那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇＝偶,偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇6.若函数ｇ(x),f(x)，f[ｇ（ｘ)]的定义域都是关于原点对称的,则u＝ｇ(x)，y＝f(ｕ)都是奇函数时，ｙ=f[ｇ(x)]是奇函数；ｕ=g（ｘ)，ｙ=f（u)都是偶函数，或者一奇一偶时,y=f[g（ｘ)]是偶函数．７.奇偶性与单调性奇函数在对称区间(-b,-a）与(a，ｂ)上增减性相同。

偶函数在对称区间(-ｂ，-a）与(a，b)上增减性相反。

二．双基题目练练手1.已知函数ｆ（x）=aｘ２＋ｂx＋ｃ(a≠0）是偶函数，那么g（x)=ax3+bｘ２+ｃx是( )Ａ.奇函数Ｂ.偶函数C.既奇且偶函数D．非奇非偶函数2.（2005重庆)若函数f(ｘ)是定义在R上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数,且ｆ（2)=０，则使得ｆ（ｘ）<0的ｘ的取值范围是( ）A.(-∞,2) B．（2,+∞)C. (-∞,-2）⋃(2,+∞) Ｄ.(-2,2)3.设f(ｘ)是定义在R上的增函数，又f(x)＝f（ｘ)-f(-x),那么Ｆ(x)一定是 ( )A.奇函数，且在(-∞,+∞)上是增函数Ｂ.奇函数，且在（-∞,+∞)上是减函数C .偶函数，且在(-∞,＋∞)上是增函数D .偶函数,且在(-∞，＋∞)上是减函数4.已知22()21x x a a f x ⋅+-=+是R 上的奇函数，则a = 5．(2006春上海) 已知函数ｆ（x )是定义在(-∞,＋∞)上的偶函数. 当x ∈（－∞,０)时，ｆ(ｘ)＝x -x 4,则 当x ∈(0.+∞)时，f （x )= .6．已知y=f (x )是偶函数,且在),0[+∞上是减函数,则ｆ(1-ｘ2)是增函数的区间是 简答：1-３、A ＤA ；４、由f (0)=0得a =1；５、4x x --；6.画出u =１-x 2的图象，在［-1，１]上,ｕ≥０,其它ｕ<０，在结合f(ｘ）的单调性可得f (１-x 2)的单调区间为(,1](0,1]-∞-；三．经典例题做一做【例１】判断下列函数的奇偶性：(1）ｆ（x )=lg (12+x -x ）;（２)f (x )=2-x +x -2(３) ｆ（x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 解：(1)此函数的定义域为Ｒ.∵ｆ(-ｘ）＋f (x )＝lg x )+ｌg x )=lg 1=0∴f （-ｘ)＝-f (ｘ)，即f (x )是奇函数。

第九讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式【学习目标】1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.【基础知识】1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.2.一元二次不等式的形式：任意一个一元二次不等式都可以利用不等式的性质变成二次项系数大于0的形式，并且可以化为下列形式中的一种：(1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)；(3)ax2＋bx＋c≥0(a>0)；(4)ax2＋bx＋c≤0(a>0).3.一元二次不等式与一元二次函数的关系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.4.简单的分式不等式的解法系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”5.一元二次不等式恒成立问题(1)转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，Δ<0，ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ<0.(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.6.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：(1)选取合适的字母表示题目中的未知数；(2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；(3)求解所列出的不等式(组)；(4)结合题目的实际意义确定答案.【考点剖析】考点一：解不含参数的一元二次不等式例1．不等式(1)(4)0x x +-的解集为( )A ．{|14}x x -B ．{|4x x 或1}x -C ．{|14}x x -<<D ．{|4x x >或1}x <- 【答案】B【解析】不等式(1)(4)0x x +-可化为(1)(4)0x x +-，解得1x -或4x ；所以该不等式的解集为{|1x x -或4}x ．故选B ．考点二：解含参数的一元二次不等式例2．已知不等式20x ax b -+<的解是23x <<，则a ，b 的值分别是( )A ．5-，6B ．6，5C ．5，6D ．6-，5【答案】C【解析】不等式20x ax b -+<的解是23x <<，所以2和3是方程20x ax b -+=的解，由根与系数的关系知，2323a b +=⎧⎨⨯=⎩， 解得5a =，6b =．故选C ．考点三：一元二次不等式及其应用例3．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．[0，4)D ．(0,4)【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点则2040k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<综上k 的取值范围是[0，4)故选C ．考点四：一元二次方程的根的分布与系数的例4方程2210x ax -+=的两根分别在(0,1)与(1,3)内，则实数a 的取值范围为() A ．513a << B ．1a <或53a > C ．513a -<< D ．513a -<<-【答案】A【解析】令2()21f x x ax =-+，方程2210x ax -+=的两根分别在(0,1)与(1,3)内，∴(0)0(1)0(3)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴102201060a a >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，513a ∴<<，a ∴的取值范围为5(1,)3．故选A ．【真题演练】1．不等式(1)(2)0x x +-<的解集为( )A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|21}x x -<< 【答案】B【解析】不等式(1)(2)0x x +-<对应方程的实数根是1-和2，所以该不等式的解集是{|12}x x -<<．故选B ．2．关于x 的一元二次不等式2560x x --<的解集为( )A ．{|1x x <-或6}x >B ．{|16}x x -<<C ．{|2x x <-或3}x >D ．{|23}x x -<< 【答案】B【解析】不等式2560x x --<可化为(1)(6)0x x +-<，解得16x -<<，所以不等式的解集为{|16}x x -<<．故选B ．3．关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(2,2)-C ．[2-，2]D ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞ 【答案】B【解析】关于x 的不等式210x mx -+>的解集为R ，所以△22()41140m m =--⨯⨯=-<，解得22m -<<，所以实数m 的取值范围是(2,2)-．故选B ．4．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是( )A ．(0,)+∞B ．[0，)+∞C ．[0，4)D ．(0,4)【答案】C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点则2040k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<综上k 的取值范围是[0，4)故选C ．5．不等式220ax bx ++>的解集是1(2-，1)3，则a b -等于( )A ．4-B ．14C ．10-D ．10【答案】C 【解析】因为21120,23ax bx ⎛⎫++>- ⎪⎝⎭的解集是 所以11,23-是方程220ax bx ++=的根， 所以112042112093a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩12a =-，2b =- 所以10a b -=-故选C ．6．一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式20ax bx c ++的解集为()A ．{|1x x <-或2}x >B ．{|1x x <-或2}xC ．{|12}x x -<<D ．{|12x x -}【答案】D【解析】一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{|12}x x -<<，所以不等式对应方程20ax bx c ++=的两个实数根是1-和2，且0a <；所以不等式20ax bx c ++的解集为{|12}x x -．故选D ．7．若关于x 的不等式230ax x b -+<的解集为{|12}x x <<，则实数a ，b 的值是( )A ．1a =，2b =B ．2a =，1b =C ．1a =-，2b =D ．2a =，1b =-【答案】A【解析】由题意可知，1和2是方程230ax x b -+=的两根，且0a >，312a ∴+=，12ba ⨯=，解得1a =，2b =．故选A ．8．已知关于x 的方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则实数a 的取值范围是( )A ．(4,)+∞B ．(,4)-∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A【解析】设2()3f x x ax =-+，若方程230x ax -+=有一根大于1，另一根小于1，则只需要f （1）0<，即f （1）130a =-+<，得4a >，即实数a 的取值范围是(4,)+∞，故选A ．9．关于x 的不等式()(3)0ax b x -+<的解集为(-∞，3)(1-⋃，)+∞，则关于x 的不等式0ax b +>的解集为( ) A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞【答案】A 【解析】由题意可得0a <，且1，3-是方程()(3)0ax b x -+=的两根，1x ∴=为方程0ax b -=的根，a b ∴=，则不等式0ax b +>可化为10x +<，即1x <-，∴不等式0ax b +>的解集为(,1)-∞-．故选A ．【过关检测】1．不等式(1)0x x +的解集为( )A ．(-∞，1](0,)-+∞B ．(-∞，1][0-，)+∞C ．[1-，0]D ．[1-，0) 【答案】B【解析】(1)0x x +=的两根为1-、0，又函数(1)y x x =+的图象开口向上，(1)0x x ∴+的解集是{|1x x -或0}x ，故选B ．2．不等式220x x +->的解集为( )A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x -<<C ．{|2x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或2}x >【答案】C【解析】不等式220x x +->可化为(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x >，所以不等式的解集是{|2x x <-或1}x >．故选C ．3．若关于x 的不等式242x x mx -+>的解集为{|02}x x <<，则实数m 的值为( )A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据题意得0x =和2x =是方程242x x mx -+=的实数根，所以484m -+=，解得1m =．故选B ．4．一元二次不等式2230x x -+->的解集是( )A ．∅B ．(3,1)-C ．(1,3)-D ．(3,1)--【答案】A【解析】因为2223(1)220x x x -+-=----<恒成立，所以不等式的解集为∅．故选A ．5．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|41}x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为()A ．4{|1}3x x -<<B ．{|1x x <或4}3x > C ．{|14}x x -<< D ．{|2x x <-或1}x >【答案】A【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为(4,1)-，则04141a b ac a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得4c a =-，3b a =，且0a <，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为：2340x x +-<，解得413x -<<， 故选A ．6．不等式(2)8x x -<的解集是( )A ．{|42}x x -<<B ．{|4x x <-或2}x >C ．{|24}x x -<<D ．{|2x x <-或4}x >【答案】C【解析】不等式(2)8x x -<可化为2280x x --<，即(4)(2)0x x -+<，解得24x -<<，所以不等式的解集是{|24}x x -<<．故选C ．7．已知不等式220ax bx -+>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为( )A ．1{|1}2x x -<<B ．{1x <-或1}2x >C ．1{|1}2x x -<<D ．1{|2x x <-或1}x > 【答案】A【解析】不等式220ax bx -+>的解集为{|12}x x -<<，所以1-，2是方程220ax bx ++=的两个实数根，且0a <， 由根与系数的关系知12212b a a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得1a =-，1b =-； 所以不等式220x bx a ++<化为2210x x --<， 解得112x -<<； 所以不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<． 故选A ．8．关于x 的不等式2(1)10(0)ax a x a -++><的解集为( )A ．1{|1}x x a <<B ．{|1x x <或1}x a >C ．1{|x x a <或1}x >D ．1{|1}x x a<< 【答案】A【解析】不等式可化为(1)(1)0ax x -->，0a <，∴原不等式等价于1()(1)0x x a--<， 且不等式对应的一元二次方程的根为1a 和1； 又11a<， 原不等式的解集为1{|1}x x a <<． 故选A ．9．解下列不等式：（1）223x x -+<-；（2）2210x x -+．【解析】（1）2223230(1)(3)0x x x x x x -+<-⇒-->⇒+->，由“两实数相乘，同号得正，异号得负”可得1030x x +>⎧⎨->⎩①，或1030x x +<⎧⎨-<⎩②， 解①得3x >，解②得1x <-，故223x x -+<-的解集是(-∞，1)(3-⋃，)+∞；（2）22210(1)0x x x -+⇒-，解得1x =，故2210x x -+的解集是{1}．10．若不等式2460kx x -+>的解集是{|31}x x -<<．（1）求k 的值；（2）解不等式22(2)0x k x k +-->．【解析】（1）不等式2460kx x -+>的解集是{|31}x x -<<， 所以3-和1是方程2460kx x -+=的两实数根， 所以460k -+=，解得2k =-；（2）由（1）知，不等式22(2)0x k x k +-->可化为22420x x ++>， 即2210x x ++>，解得1x ≠-，所以该不等式的解集为{|1}x x ≠-．。

第九讲 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的性质学习目标1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相． 知识点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象思考1 用“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？ 答案 依次为0，π2，π，3π2，2π.思考2 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)时，五个关键的横坐标取哪几个值？答案 用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的简图，先令t ＝ωx ＋φ，再由t 取0，π2，π，3π2，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋π2ω，－φω＋πω，－φω＋3π2ω，－φω＋2πω.梳理 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤 第一步：列表：第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 知识点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质知识点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的振幅是－2.( × ) 提示 振幅是2.2．函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的初相是π4.( × ) 提示 初相是－π4.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .( √ ) 提示 令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，解得x ＝π4＋k π，k ∈Z ，即f (x )的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .类型一 用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象例1 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象． 考点 正弦函数的图象 题点 五点法作正弦函数图象 解 (1)列表：(2)描点画图：反思与感悟 (1)用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3π2，2π，解出x ，从而确定这五点．(2)作给定区间上y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若x ∈[m ，n ]，则应先求出ωx ＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x ，y 的值，描点、连线并作出函数的图象．跟踪训练1 已知f (x )＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，画出f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象． 考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数图象解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－54π，34π. 列表如下：(2)描点，连线，如图所示．类型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 解 方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A ＝3，又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2. 由点⎝⎛⎭⎫－π6，0可知，－π6×2＋φ＝2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，得φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3，又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有⎩⎪⎨⎪⎧π3·ω＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，5π6·ω＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，|φ|<π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 方法三 (图象变换法)由T ＝π，点⎝⎛⎭⎫－π6，0，A ＝3可知， 图象是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得到的，∴y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.反思与感悟 若设所求解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A ，ω，φ.(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.(2)由函数图象与x 轴的交点确定T ，由T ＝2π|ω|，确定ω.(3)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.跟踪训练2 (2018·牌头中学月考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6(x ∈R ) B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π6(x ∈R )C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3(x ∈R ) D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π3(x ∈R ) 考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 A类型三 函数y ＝A sin ()ωx ＋φ，|φ|<π2性质的应用例3 设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用 解 (1)由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z ，令k π2＋π4－φ2＝π8，k ∈Z ，得φ＝k π＋π4，k ∈Z . ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．同理可得函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π8，k π＋9π8(k ∈Z )．当2x －3π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π8(k ∈Z )时，函数取得最大值1；当2x －3π4＝2k π－π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，函数取得最小值－1.反思与感悟 有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．跟踪训练3 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2上最高点为(2，2)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x 轴交于点(6,0)． (1)求函数的解析式；(2)求函数在x ∈[－6,0]上的值域． 考点 三角函数图象的综合应用 题点 三角函数图象的综合应用解 (1)由题意可知A ＝2，T4＝6－2＝4，∴T ＝16，即2πω＝16，∴ω＝π8，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又图象过最高点(2，2)，∴sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1， 故π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π4＋2k π，k ∈Z ， 由|φ|≤π2，得φ＝π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. (2)∵－6≤x ≤0，∴－π2≤π8x ＋π4≤π4，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4≤1.即函数在x ∈[－6,0]上的值域为[－2，1].。