高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用
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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及应用课件 理 高三全册数学课件
第二章
函数(hánshù)、导数及其应用
2021/12/11
第一页，共三十九页。
第九节 函数模型(móxíng)及应用
2021/12/11
第二页，共三十九页。
2021/12/11
第三页，共三十九页。
知识(zhī shi)梳理·自主学 习
课堂(kètáng)探究·深度剖 析
2021/12/11
第四页，共三十九页。
应生产该商品数量为 18 万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x) 有最大值．
2021/12/11
第十页，共三十九页。
知识点二 三种函数模型性质比较
2021/12/11
第十一页，共三十九页。
3．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律 为 y＝ekቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，
则经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为 1 024 个．
1
解析：当 t＝0.5 时，y＝2，所以 2＝e 2 ， k 所以 k＝2ln2，所以 y＝e2tln2， 当 t＝5 时，y＝e10ln2＝210＝1 024.
2021/12/11
第十二页，共三十九页。
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
2021/12/11
第五页，共三十九页。
知识点一 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
函数(hánshù)、导数及其应用
2021/12/11
第一页，共三十九页。
第九节 函数模型(móxíng)及应用
2021/12/11
第二页，共三十九页。
2021/12/11
第三页，共三十九页。
知识(zhī shi)梳理·自主学 习
课堂(kètáng)探究·深度剖 析
2021/12/11
第四页，共三十九页。
应生产该商品数量为 18 万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x) 有最大值．
2021/12/11
第十页，共三十九页。
知识点二 三种函数模型性质比较
2021/12/11
第十一页，共三十九页。
3．某种病毒经 30 分钟繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律 为 y＝ekቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(其中 k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，
则经过 5 小时，1 个病毒能繁殖为 1 024 个．
1
解析：当 t＝0.5 时，y＝2，所以 2＝e 2 ， k 所以 k＝2ln2，所以 y＝e2tln2， 当 t＝5 时，y＝e10ln2＝210＝1 024.
2021/12/11
第十二页，共三十九页。
4．一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示，直
知识梳理·自主学习
课前热身 稳固根基
2021/12/11
第五页，共三十九页。
知识点一 几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及应用课件
4x00－40x0200，x>40.
(1)写出年利润 W(万美元)关于年产量 x(万部)的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款 iPhone 手机的
生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
12/11/2021
第二十五页，共四十二页。
【解】 (1)当 0<x≤40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－6x2＋384x－40， 当 x>40 时，W＝xR(x)－(16x＋40) ＝－40 x000－16x＋7 360.
此商品的定价(单位：元/件)应为( C )
A．4
B．5.5
C．8.5
D．10
12/11/2021
第二十二页，共四十二页。
解析：由题意可设定价为 x 元/件，利润为 y 元，则 y＝(x－ 3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当 x＝8.5 时，y 有最 大值，故选 C.
12/11/2021
第三页，共四十二页。
01知识梳理 诊断自测
02考点探究 明晰规律
课时作业
12/11/2021
第四页，共四十二页。
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
12/11/2021
第五页，共四十二页。
知识点一 指数、对数、幂函数模型性质比较
12/11/2021
第六页，共四十二页。
12/11/2021
第二十一页，共四十二页。
1．某商场销售 A 型商品，已知该商品的进价是每件 3 元，
且销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10
日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160
高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 第9节 函数模型及其应用课件 理 新人教版
答案：200
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确 理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定 函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性．
[小题纠偏] 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次， 其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆 一次 0.2 元．若普通车存车量为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是__________．
的函数关系是 C(x)＝50x＋k 250(x≥0，k 为常数)．记 y 为该 企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费 之和． (1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并 化简； (2)当 x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
考点一 二次函数模型 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天) 的函数，且日销售量近似地满足 g(t)＝－13t＋1132(1≤t≤100，t∈ N)．前 40 天价格为 f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后 60 天价格为 f(t) ＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大 值和最小值．
解析
考点二 函数y＝x＋ax模型的应用 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需
要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单
1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确 理解题意，选择适当的函数模型．
2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定 函数的定义域．
3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数 学结果对实际问题的合理性．
[小题纠偏] 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次， 其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆 一次 0.2 元．若普通车存车量为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是__________．
的函数关系是 C(x)＝50x＋k 250(x≥0，k 为常数)．记 y 为该 企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年共将消耗的水费 之和． (1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式并 化简； (2)当 x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？
答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
考点一 二次函数模型 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
经市场调查，某商品在过去 100 天内的销售量和价格均为时间 t(天) 的函数，且日销售量近似地满足 g(t)＝－13t＋1132(1≤t≤100，t∈ N)．前 40 天价格为 f(t)＝14t＋22(1≤t≤40，t∈N)，后 60 天价格为 f(t) ＝－12t＋52(41≤t≤100，t∈N)，试求该商品的日销售额 S(t)的最大 值和最小值．
解析
考点二 函数y＝x＋ax模型的应用 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需
要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米 厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消耗费用 C(单
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用课件
考点二 构建函数模型求解实际问题
考向 1 构建二次函数、分段函数模型 [例 1]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则 给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数75 为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元. (1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
A.1.2 天
B.1.8 天 C.2.5 天
D.3.5 天
解析：因为 R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以 r＝3.286－1＝ 0.38，所以 I(t)＝ert＝e0.38t，设在流行病发生的初始阶段，累计感 染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1 天，则 e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以 e0.38t1＝2，即 0.38t1＝ln 2，所以 t1＝0ln.328≈00..6398≈1.8 天.故选 B.
即 S＝9－010x0－(x－156000)20＋，201＜00x≤0，303，0＜x≤75. 因为 S＝900x－15 000 在区间(0，30]上单调递增，故当 x＝30 时，S 取最大值 12 000.又 S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30，75]， 所以当 x＝60 时，S 取得最大值 21 000. 故当每团人数为 60 时，旅行社可获得最大利润.
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大， 图象与 y 轴 接近平行
随 x 值增大， 图象与 x 轴 接近平行
随 n 值变化 而不同
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)解模：求解数学模型，得出数学结论. (4)还原：将数学问题还原为实际问题.
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第9节函数模型及其应用课件
2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近
的一个是( )
A．y＝2x－2 C．y＝log3x
B．y＝12(x2－1) D．y＝2x－2
(2)通过圆心角 α 将弧长 x 与时间 t 联系起来． 圆的半径为 1，设弧长 x 所对的圆心角为 α，则 α＝x，如图 所示，cos α2＝1－t，即 cos 2x＝1－t，则 y＝cos x＝2cos22x－1＝ 2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象为开口向上，在[0,1] 上的一段抛物线．
备
分
高
层
考
限
时
跟
踪
练
理 教
第九节 函数模型及其应用
材
专
题
突
研
破
考 点
提 练
备高考| 3 个任务 1．考查借助函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程． 2．考查应用所给函数模型解决实际问题的能力． 3．考查选择合适的函数模型，对已知数据的处理能力．
理教材| 回扣自测
要点梳理
一、三种函数模型之间增长速度的比较
当 x＝18 时，L(x)有最大值． 【答案】 B
5．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)
满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品
在 0 ℃的保鲜时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 ℃
考向 3 构建函数模型解决实际问题
高三数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件.ppt
A．10 元
B．20 元
C．30 元
D.430元
14
(2)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时，能卖出 400 个。若该商品每个涨
价 1 元，其销售量就减少 20 个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )
A．115 元
B．105 元
C．95 元
D．85 元
解析：(1)设 A 种方式对应的函数解析式为 s＝k1t＋20， B 种方式对应的函数解析式为 s＝k2t， 当 t＝100 时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15。 t＝150 时，150k2－150k1－20＝150×15－20＝10。 选 A。
越来越□5 _慢___
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大，图象与 随 x 值增大，图象与□7 随 n 值变化而不
□6 _y___轴接近平行 __x__轴接近平行
同
5
2.几种常见的函数模型
(1)一次函数模型：y＝□8 _a_x_＋__b_，__a_≠__0___；
(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；
8
2．抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内剩下的空气少于原来的
0.1%，则至少要抽( )
(参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
A．15 次
B．14 次
C．9 次
D．8 次
解析：依题意，先建立容器内剩余空气量 y 与抽气次数 x 的函数关系式，即 y＝ (1－0.6)x＝0.4x。要使容器内剩余空气少于原来的 0.1%，则有 y＜0.1%。即 0.4x＜0.001 ＝10－3，两边取常用对数，得 xlg0.4＜－3，即 x(2lg2－1)＜－3，解得 x＞7.5。又 x ∈N*，故 x＝8。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件 文
12/8/2021
第二十二页，共五十九页。
②当x∈[144,500]时，
yx＝12x＋800x00－200≥2 12x×800x00－200＝200， 当且仅当12x＝800x00，即x＝400时，yx取得最小值200. 因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能 使每吨的平均处理成本最低．
第2章 函数、导数(dǎo shù)及其应用
2.9 函数(hánshù)模型及其应用
12/8/2021
第一页，共五十九页。
12/8/2021
第二页，共五十九页。
基础知识过关(guò〃guān)
12/8/2021
第三页，共五十九页。
[知识梳理] 1．七类常见函数模型
12/8/2021
第四页，共五十九页。
12/8/2021
第二十八页，共五十九页。
(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系 式；
(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入 A，B两种产品的生产．
①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该 企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
12/8/2021
第十五页，共五十九页。
(2)(2017·朝阳区模拟)某商场2017年一月份到十二月份 月销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：
①f(x)＝p·qx(q>0，q≠1)； ②f(x)＝logpx＋q(p>0，p≠1)； ③f(x)＝x2＋px＋q. 能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模 型为___③_____(填写相应函数的序号)，若所选函数满足f(1) ＝10，f(3)＝2，则f(x)＝_x_2_－__8_x_＋__1_7_.
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理
必修(bìxiū)部分
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
第二章 函数(hánshù)、导数及其应用
第九节 函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大 利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值． 答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会 合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一 类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函 数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
2023版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用课件
1 10
.
故每年砍伐面积的百分比为 1－12110 .
(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 22，
则
a(1－x)m＝
22a，把
x＝1－21
1 10
代入，
即12
m 10
＝21
1 2
，即1m0＝12，解得
m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年.
考向 3 构建 y＝x＋ax(a＞0)函数模型 [例 3]某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营 运，据市场分析，每辆客车营运的总利润 y(单位：万元) 与营运年数 x 的关系如图 2-9-7 所示(抛物线的一段)，则为 使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________.
题组二 走进教材
2.(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折
出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具
的进货价是( )
A.118 元
B.105 元
C.106 元
D.108 元
答案：D
3.(教材改编题)在某个物理实验中，测得变量 x 和变量
y 的几组数据，如下表：
解：(1)设 A，B 两种产品分别投资 x 万元(x≥0)，所获 利润分别为 f(x)，g(x)万元，由题意可设 f(x)＝k1x，g(x)＝ k2 x，根据图象 f(1)＝0.25，g(4)＝4，得 f(x)＝0.25x(x≥0)， g(x)＝2 x(x≥0).
(2)①由(1)，得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6. ∴总利润 y＝8.25 万元. ②设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该 企业可获总利润为 y 万元. 则 y＝14(18－x)＋2 x，0≤x≤18.
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.9 函数模型及其应用课件 文 北师大版
k (2)反比例函数模型：y＝__x_(k_>_0_)___型，图像增长特点是 y 随 x 的增大
而减小。
(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)型，图像增长特点是随 着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地 称为指数爆炸。
(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)型，图像增长特点是 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0)。
把①代入③得 e22k＝14982＝41，即(e11k)2＝41，
所以 e11k＝21。
所以当储藏温度为 33℃时，保鲜时间 y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝18×192
＝24(小时)。
答案 C
4．(2016·苏州模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每 件利润为8元。每提高一个档次，每件利润增加2元。用同样工时，可以生 产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品。则获得利润最大时 生产产品的档次是____9____。
(5)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：
________y_＝__a_x_2_＋__b_x(＋a≠c 0)，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值先
减小，后增大(a>0)。
f1x，x∈D1， (6)分段函数模型：y＝f…2x，x∈D2，
fnx，x∈Dn，
第二章 函数、导数及其应用
第九节 函数模型及其应用
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数 模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用。
而减小。
(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)型，图像增长特点是随 着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b>1，a>0)，常形象地 称为指数爆炸。
(4)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)型，图像增长特点是 随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢(底数a>1，m>0)。
把①代入③得 e22k＝14982＝41，即(e11k)2＝41，
所以 e11k＝21。
所以当储藏温度为 33℃时，保鲜时间 y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝18×192
＝24(小时)。
答案 C
4．(2016·苏州模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每 件利润为8元。每提高一个档次，每件利润增加2元。用同样工时，可以生 产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品。则获得利润最大时 生产产品的档次是____9____。
(5)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：
________y_＝__a_x_2_＋__b_x(＋a≠c 0)，图像增长特点是随着自变量的增大，函数值先
减小，后增大(a>0)。
f1x，x∈D1， (6)分段函数模型：y＝f…2x，x∈D2，
fnx，x∈Dn，
第二章 函数、导数及其应用
第九节 函数模型及其应用
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
最新考纲 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道 直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数 模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型)的广泛应用。
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对于选项 B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客 量逐年增加，故 B 正确；
对于选项 C，D，由图可知显然正确．故选 A.
触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、 最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增 加、减少的缓急等)相吻合即可．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( × ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( × ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中．( √ )
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的 变化规律．( √ )
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图 象与性质
[必会结论] “f(x)＝x＋ax(a＞0)”型函数模型 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模 型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在 [－ a，0]和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
第2章 函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0)
解析 设 n 小时后才可以驾车，由题意得 0.8(1－50%)n ＝2,0.5n＝14，即 n＝2，即至少经过 2 小时后才可以驾驶机动 车．
板块二 典例探究·考向突破
考向 利用函数图象刻画实际问题 例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化 规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下 面的折线图．
(5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售， 后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获 利．( √ )
(6)当 x＞4 时，恒有 2x＞x2＞log2x.( √ )
2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶， 途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行 驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100交通事故的主要原因， 交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得 超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50% 的速度减少，则至少经过____2____小时他才可以驾驶机动 车．(精确到小时)
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月 份明显高于 12 月份，故 A 错；
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
考向 已知函数模型解决实际问题 例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间 y(单位：小 时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜 时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品 在 33 ℃的保鲜时间是( ) A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．28 小时
【变式训练 1】 [2015·北京高考]汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确 的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
4．[课本改编]某家具的标价为 132 元，若降价以九折 出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具 的进货价是( )
A．118 元 B．105 元 C．106 元 D．108 元 解析 设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a ＝10%·a，解得 a＝108.
解析 出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留， 距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排 除 B.
3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为 4 万平方米， 则其周长至少为( )
A．800 米 B．900 米 C．1000 米 D．1200 米
解析 设这个广场的长为 x 米，则宽为400x00米，所以 其周长为 l＝2x＋400x00≥800，当且仅当 x＝400x00，即 x ＝200 时取等号．
对于选项 C，D，由图可知显然正确．故选 A.
触类旁通 用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、 最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增 加、减少的缓急等)相吻合即可．
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)函数 y＝2x 的函数值比 y＝x2 的函数值大．( × ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( × ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内 变化量较大的实际问题中．( √ )
(4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的 变化规律．( √ )
对数函数型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数型
f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
考点 2 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图 象与性质
[必会结论] “f(x)＝x＋ax(a＞0)”型函数模型 形如 f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模 型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在 [－ a，0]和(0， a]上单调递减． (2)当 x＞0 时，x＝ a时取最小值 2 a， 当 x＜0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.
第2章 函数、导数及其应用
第9讲 函数模型及其应用
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 1 常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数函数型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1， b≠0)
解析 设 n 小时后才可以驾车，由题意得 0.8(1－50%)n ＝2,0.5n＝14，即 n＝2，即至少经过 2 小时后才可以驾驶机动 车．
板块二 典例探究·考向突破
考向 利用函数图象刻画实际问题 例 1 [2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化 规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下 面的折线图．
(5)某种商品进价为每件 100 元，按进价增加 25%出售， 后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获 利．( √ )
(6)当 x＞4 时，恒有 2x＞x2＞log2x.( √ )
2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶， 途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行 驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
5．[2018·抚顺模拟]某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年) 的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第 2 年有 100 只，则 到第 8 年它们发展到的只数为___2_0_0___．
解析 ∵alog33＝100，∴a＝100交通事故的主要原因， 交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得 超过 0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到 0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时 50% 的速度减少，则至少经过____2____小时他才可以驾驶机动 车．(精确到小时)
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在 7,8 月 D．各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳
解析 对于选项 A，由图易知月接待游客量每年 7,8 月 份明显高于 12 月份，故 A 错；
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速 度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米，所以 A 错误．对于 B 选 项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时 的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选 项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以 D 正 确．
考向 已知函数模型解决实际问题 例 2 [2015·四川高考]某食品的保鲜时间 y(单位：小 时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718… 为自然对数的底数，k，b 为常数)．若该食品在 0 ℃的保鲜 时间是 192 小时，在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时，则该食品 在 33 ℃的保鲜时间是( ) A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．28 小时
【变式训练 1】 [2015·北京高考]汽车的“燃油效率” 是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确 的是( )
A．消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升 汽油 D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油
4．[课本改编]某家具的标价为 132 元，若降价以九折 出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具 的进货价是( )
A．118 元 B．105 元 C．106 元 D．108 元 解析 设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a ＝10%·a，解得 a＝108.
解析 出发时距学校最远，先排除 A，中途堵塞停留， 距离没变，再排除 D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排 除 B.
3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为 4 万平方米， 则其周长至少为( )
A．800 米 B．900 米 C．1000 米 D．1200 米
解析 设这个广场的长为 x 米，则宽为400x00米，所以 其周长为 l＝2x＋400x00≥800，当且仅当 x＝400x00，即 x ＝200 时取等号．