2016届江苏省镇江市高三年级第一次模拟考试数学

绝密★启用前2016年高考冲刺卷（1）数学试卷【江苏版】数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题．．卡相应位置．．．．．上．． 1.已知集合},0{a A =，}3,1,0{=B ，若}3,2,1,0{=B A ，则实数a 的值为 ． 2.已知复数()1z i i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 象限． 3.运行如图所示的伪代码，其结果为 .4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n = ． 5．函数()f x =的单调减区间是 .6．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .7．以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．8.已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足12AB AC AD +=，且||CD =，那么DA DC ⋅=．9.若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ． 10. 若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 .11．已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱锥ABC D -的体积为 ．S ←1For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 . 13．n S 是等差数列{a n }的前n 项和，若2412++=n n S S n n ，则=53a a ________． 14．已知函数2()|3|f x x x =+,x R ∈.若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 .二、解答题 ：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． (本小题满分14分) 已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+．⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状． 16．（本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O . （1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面； （2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .17．（本小题满分14分）已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝ 24006,040,740040000,40.x x x xx -<≤⎧⎪⎨->⎪⎩(Ⅰ)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求1EAB出最大利润．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆12222=+by a x （0＞＞b a ）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足MP M F λ=1（R ∈λ），M F PO 2⊥，O 为坐标原点. （1）若椭圆方程为14822=+y x ，且），（22P ，求点M 的横坐标； （2）若2=λ，求椭圆离心率e 的取值范围19．（本小题满分16分）已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和． （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积． 20．（本小题满分16分）已知函数2()(2)xf x ax x e =++（0＞a ），其中e 是自然对数的底数.（1）当2=a 时，求)(x f 的极值；（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围； （3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.高考冲刺卷（1）数学试卷(江苏版)数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多答，则按作答的前两小题给分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．【选修4－1：几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.B ．【选修4－2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，求矩阵A 的特征值和特征向量． C ．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在极坐标系中，求圆θρsin 8=上的点到直线3πθ=（R ∈ρ）距离的最大值.D ．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知正实数,,a b c 满足231a b c ++=，求证：24627111a b c ++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4， AA 1⊥平面ABC ；AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； （2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．23．（本小题满分10分)已知,N*k m ∈，若存在互不相等的正整数12,,a a …,m a ，使得1223,,a a a a …11,,m m m a a a a -同时小于k ，则记()f k 为满足条件的m 的最大值．（１） 求(6)f 的值；（２） 对于给定的正整数n (1)n >，ABDEOC·1A 1B 1C ABC（ⅰ）当(2)(1)(2)n n k n n +<≤++时，求()f k 的解析式； （ⅱ）当(1)(2)n n k n n +<≤+时，求()f k 的解析式．。

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}210A x x =-=，{}1,2,5B =-，则A B I = .2．已知复数21iz i+=-（i 是虚数单位），则||z = . 3．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 . 4．运行如图所示的伪代码，其结果为 .5．某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人， 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出55人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽 取的人数为 .6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 .7．已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 .8．设一个正方体与底面边长为则该正方体的棱长为 . 9．在ABC ∆中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若5a =，4A π=，3cos 5B =，则边c = .10．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 .11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 .12．过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为 .S ←1For I From 1 To 7 step 2 S ←S + I End For Print S第4题图AB CD第11题图13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22x x mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 .14．设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)设函数()sin()(0,0,,)22f x A x A x R ππωϕωϕ=+>>-<<∈的部分图象如图所示.（1）求函数()y f x =的解析式； （2）当[,]22x ππ∈-时，求()f x 的取值范围16．(本小题满分14分)如图，已知直三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 是正方形，点O 是侧面11ACC A 的中心，2ACB π∠=，M 是棱BC 的中点.（1）求证：//OM 平面11ABB A ；（2）求证：平面1ABC ⊥平面1A BC .17．(本小题满分14分)如图所示，,A B 是两个垃圾中转站，B 在A 的正东方向16千米处，AB 的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB 的北面建一个垃圾发电厂P . 垃圾发电厂P 的选址拟满足以下两个要求（,,A B P 可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点P 到直线AB 的距离要尽可能大）. 现估测得,A B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为30吨和50吨，问垃圾发电厂该如何第15题图A CB M OA 1C 1B 1 第16题图选址才能同时满足上述要求？18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若r =. ①求证：1214k k =-； ②求OP OQ ⋅的最大值.19．(本小题满分16分)已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x<+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.B A ··居民生活区 第17题图第18题图20．(本小题满分16分)设数列{}n a 共有(3)m m ≥项，记该数列前i 项12,,,i a a a L 中的最大项为i A ，该数列后m i -项12,,,i i m a a a ++L 中的最小项为i B ，(1,2,3,,1)i i i r A B i m =-=-L . （1）若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，求数列{}i r 的通项公式；（2）若数列{}n a 是单调数列，且满足11a =，2i r =-，求数列{}n a 的通项公式； （3）试构造一个数列{}n a ，满足n n n a b c =+，其中{}n b 是公差不为零的等差数列，{}n c 是等比数列，使得对于任意给定的正整数m ，数列{}i r 都是单调递增的，并说明理由.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接,AD BD . 若4AC =，3DE =，求BD 的长.ABDEOC·B .（选修4—2：矩阵与变换） 设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为221x y +=，求曲线C 的方程.C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点A 的极坐标为)4π-，圆E 的极坐标方程为4cos 4sin ρθθ=+，试判断点A 和圆E 的位置关系.D ．(选修4—5：不等式选讲）已知正实数,,,a b c d 满足1a b c d +++=.≤[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=u u u r u u u r. （1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60︒，求实数λ的值.23．（本小题满分10分）BACDB 1A 1C 1第22题图设集合{}1,2,3,,(3)M n n =≥L ，记M 的含有三个元素的子集个数为n S ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为n T .（1）求33T S ，44TS ，55T S ，66T S 的值； （2）猜想n nTS 的表达式，并证明之.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {}1-2.3. 3104. 175. 3406. 927. 3- 8. 29. 7 10. 20 11. 2- 12. 340x y ±+= 13. 33[,]22-14. 1(0,]1e + 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．解：（1）由图象知，2A =， …………2分又54632T πππ=-=，ω>，所以22T ππω==，得1ω=. …………4分所以()2sin()f x x ϕ=+，将点(,2)3π代入，得2()32k k Z ππϕπ+=+∈，即2()6k k Z πϕπ=+∈，又22ππϕ-<<，所以6πϕ=. …………6分所以()2sin()6f x x π=+. …………8分 （2）当[,]22x ππ∈-时，2[,]633x πππ+∈-， …………10分所以sin()[6x π+∈，即()[2]f x ∈. …………14分16．证明：（1）在1A BC ∆中，因为O 是1AC 的中点，M 是BC 的中点，所以1//OM A B . ...............4分又OM ⊄平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以//OM 平面11ABB A . ...............6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，所以1CC BC ⊥，又2ACB π∠=，即BC AC ⊥，而1,CC AC ⊂面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以BC ⊥面11ACC A . ...............8分而1AC ⊂面11ACC A ，所以BC ⊥1AC ， 又11ACC A 是正方形，所以11AC AC ⊥，而,BC 1AC ⊂面1A BC ，且1BC AC C =I ， 所以1AC ⊥面1A BC . ...............12分又1AC ⊂面1ABC ，所以面1ABC ⊥面1A BC . ...............14分17．解法一：由条件①，得505303PA PB ==. ...............2分 设5,3PA x PB x==，则222(5)16(3)8cos 2165105x x x PAB x x+-∠==+⨯⨯， ...............6分所以点P到直线AB的距离sin 5h PA PAB x =∠=== ...............10分所以当234x =，即x =时，h 取得最大值15千米. 即选址应满足PA =千米，PB =千米. ...............14分解法二：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系. ...............2分则(8,0),(8,0)A B -. 由条件①，得505303PA PB ==. ...............4分 设(,)(0)P x y y >，则= 化简得222(17)15(0)x y y -+=>， ...............10分即点P 的轨迹是以点（17,0）为圆心、15为半径的圆位于x 轴上方的半圆. 则当17x =时，点P 到直线AB 的距离最大，最大值为15千米.所以点P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为(17,15)即可. ...............14分18．解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为，所以圆心M 的坐标为1)2±， ...............2分从而圆M的方程为2211(()24x y -+±=. …………4分（2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， …………6分同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=， 所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根， …………8分从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. …………10分 ②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， …………12分 同理，222222222244,1414k x y k k ==++，所以222212222211224444()()14141414k k OP OQ k k k k ⋅=+⋅+++++ 22221211222212114(1)4(1)4411614141414k k k k k k k k ++++=⋅=⋅++++ ……………14分221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52. ……………16分 19. 解：（1）由题意得(1)()xa x f x e-'=，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11af '==，得1a =. ……………4分（2）由（1）知21()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立， 所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ……………6分又不等式整理可得22x e k x x x <+-，令2()2x e g x x x x =+-，所以22(1)()2(1)(1)(2)0x xe x e g x x x x x-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分（3）结论是12()02x x g +'<. ……………11分证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1xg x x x-'=-=， 易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212x x +>即可. ……12分因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln xx x x -=，不妨令211x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1tx t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201t t t t ϕ-=->+， ……………14分因为22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=，综上所述，函数()g x 总满足12()02x xg +'<成立. ……………16分20．解：（1）因为2n n a =单调递增，所以2i i A =，12i i B +=，所以1222i i ii r +=-=-，11i m ≤≤-. ……………4分（2）若{}n a 单调递减，则11i A a ==，i m B a =，所以10i m r a a =->，不满足2i r =-，所以{}n a 单调递增. ……………6分则i i A a =，1i i B a +=，所以12i i i r a a +=-=-，即12i i a a +-=，11i m ≤≤-， 所以{}n a 是公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-，11i m ≤≤-. ……………10分（3）构造1()2nn a n =-，其中n b n=，1()2n n c =-. ……………12分下证数列{}n a 满足题意.证明：因为1()2n n a n =-，所以数列{}n a 单调递增，所以1()2ii i A a i ==-，1111()2i i i B a i ++==+-， ……………14分所以1111()2i i i i r a a ++=-=--，11i m ≤≤-， 因为2121111[1()][1()]()0222i i i i i r r ++++-=-----=>， 所以数列{}i r 单调递增，满足题意. ……………16分（说明：等差数列{}n b 的首项1b 任意，公差d 为正数，同时等比数列{}n c 的首项1c 为负，公比(0,1)q ∈，这样构造的数列{}n a 都满足题意.）附加题答案21.A、解：因为CD 与O e 相切于D ，所以CDA DBA ∠=∠， …………2分又因为AB 为O e 的直径，所以90ADB ∠=︒.又DE AB ⊥，所以EDA DBA ∆∆:，所以EDA DBA ∠=∠，所以EDA CDA ∠=∠. …………4分又90ACD AED ∠=∠=︒，AD AD =，所以ACD AED ∆≅∆.所以4AE AC ==，所以5AD ==， ………… 6分又DE AEBD AD=，所以154DE BD AD AE =⋅=. …………10分B 、由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x y x y '=⎧⎨'=+⎩，代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=. ………10分C、解：点A的直角坐标为(2,2)-， …………2分圆E的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=， …………6分则点A 到圆心E 的距离4d r ==>=，所以点在圆E外. …………10分 D 、解：因24(12121212)a b c d +≤+++++++，………6分又1a b c d +++=，所以224≤， 即+≤ …………10分22．解：分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C …………2分（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-u u u u r ，11(0,4,0)AC =u u u u r，1(1,2,2)A D =-u u u u r ，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =u r，又111111cos ,||||DB n DB n DB n ⋅<>===u u u u r u ru u u u r u r u u u u r u r ，所以直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值为. …………6分 （2）BD DC λ=u u u r u u u r Q ，24(,,0)11D λλλ∴++，11(0,4,0)AC ∴=u u u u r ，124(,,2)11A D λλλ=-++u u u u r ， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+u r. (8)分又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =u u r ，由题意得121|cos ,|2n n <>=u r u u r ，12=，解得1λ=-或1λ=-（不合题意，舍去）， 所以实数λ的值为1-. …………10分23.解：（1）332T S =，4452T S =，553T S =，6672T S =. ……………4分 （2）猜想12n n T n S +=. ……………5分下用数学归纳法证明之.证明：①当3n =时，由（1）知猜想成立；②假设当(3)n k k =≥时，猜想成立，即12k k T k S +=，而3k k S C =，所以得312k k k T C +=. ……6分则当1n k =+时，易知311k k S C ++=，而当集合M 从{}1,2,3,,k L 变为{}1,2,3,,,1k k +L 时，1k T +在k T 的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和(1)k -个k ， ……………8分 所以1k k T T +=+213243(1)k k ⨯+⨯+⨯++-L 3222223412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+ 3322233412[]2k k k C C C C C +=++++⋅⋅⋅+3311222k k k C C ++-=+3122k k C ++=1(1)12k k S +++=，即11(1)12k k T k S ++++=. 所以当1n k =+时，猜想也成立.综上所述，猜想成立. ……………10分 （说明：未用数学归纳法证明，直接求出n T 来证明的，同样给分.）。

江苏省南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试1. {-1} 【解析】由题意知A={-1,1},所以A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B }={-1}.2.102【解析】方法一:由题意知z=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=1+3i 2=12+32i ,所以|z|= 122+ 32 2= 102.方法二:|z|=|2+i||1-i|= 52= 102. 3. 3【解析】从5本书中取出2本书,基本事件有10个.从3本数学书中取出2本书的事件有3个,故所求的概率为310. 4. 17【解析】由伪代码可知,I 的取值依次为1,3,5,7,相应的S 的值为2,5,10,17.故输出的S 的值为17. 5. 17【解析】因为高一年级400人中抽取20人,所以高二年级360人中应抽取18人,所以高三年级学生中应抽取的人数为55-20-18=17(人). 6. 92【解析】设抛物线的方程为y 2=2px.由题意知32=2×1×p ,解得p=92,故其焦点到准线的距离为92. 7. -3【解析】作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=x-y 经过点(1,4)时,取得最小值,且最小值为1-4=-3.(第7题)8. 2【解析】由题意知正四棱锥的高为 ( 10)2-( 6)2=2,所以该正四棱锥的体积为1×2×(2 3)2=8,故原正方体的棱长为2. 9. 7【解析】在△ABC 中,因为cos B=35,所以sin B=45.又A=π4,所以sinC=sin (A+B )=sin A cos B+cos A sin B= 22×35+ 22×45=7 210.由正弦定理csin C =asin A ,得c=7.10. 20 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ,若q=1,则S 6-2S 3=0,不符合题意,舍去,故q ≠1.因为S 6-2S 3=a 4+a 5+a 6-S 3=q 3S 3-S 3=(q 3-1)S 3=5,所以S 3=5q 3-1,且q 3-1>0,所以S 9-S 6=a 7+a 8+a 9=q 6·S 3=q 6·5q 3-1=5·(q 3-1+1)2q 3-1=5(q 3-1)+1q 3-1+2≥5×4=20.当且仅当q 3-1=1,即q= 23时取等号.故S 9-S 6的最小值为20. 11. -2【解析】方法一:由余弦定理得,BC 2=9+9-2×3×3×13=12,所以BC=2 所以cos ∠ABC= 33,所以AD ·BC =(BD -BA )·BC =13BC 2-BA ·BC =4-6=-2.方法二:如图,以BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,由方法一知B(-3,0),C(3,0),D-3,0,A(0,6),所以AD=-3,-6,BC=(23,0),所以AD·BC=-33,-6·(23,0)=-2.(第11题)12.x±3y+4=0【解析】方法一:设点B的坐标为(x0,y0),因为A是线段PB的中点,所以点A的坐标为x0-42,y02,所以(x0-1)2+y02=5,x0-4 2-12+y022=5,解得x0=2,y0=±2,所以直线l的方程为y=±13(x+4),即x±3y+4=0.方法二:设圆心C到直线l的距离为d,则CA2=d2+AB22=5,又CP2=d2+3AB22=25,解得d=52.设直线l的方程为y=k(x+4),则k+1=52,解得k=±13,所以直线l的方程为x±3y+4=0.13.-32,32【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以m=-1,所以f(x)=2x-1x.作出函数f(x)的图象如图(1)所示,则由此得到函数g(x)的图象如图(2)所示.若函数y=g (x )-t 有且只有一个零点,根据图象知直线y=t 与函数g (x )的图象有且只有一个交点.因为g (1)=-32,所以g (-1)=32,所以实数t 的取值范围是-32,32.图(1) 图(2)(第13题)14. 0,1e+1【解析】作出函数的图象如图所示,由图设点P 的横坐标为x 0,则点Q 的横坐标为-x 0.①若点P ,Q 都在y=-x 3+x 2(x<e )上,由OP ⊥OQ ,知-x 03+x 02x 0·x 03+x 02-x 0=-1,即x 04-x 02+1=0,方程无解.②若点P ,Q 分别在函数y 的两段上,由OP ⊥OQ ,知a ln x 0x 0·x 03+x 02-x 0=-1,即a=1(x0+1)·ln x0.令函数f(x)=1(x+1)·ln x,当x≥e时,f(x)为减函数,所以f(x)的值域为0,1e+1,故实数a的取值范围是0,1e+1.(第14题)15.(1)由图象知,A=2.(2分)因为T4=5π6-π3=π2,且ω>0,所以T=2π=2πω,即ω=1,(4分)所以f(x)=2sin(x+φ).又函数f(x)=2sin(x+φ)过点π3,2,所以π+φ=π+2kπ,k∈Z,即φ=π6+2kπ,k∈Z.又-π2<φ<π2,所以φ=π6,(6分)所以f(x)=2sin x+π6.(8分)(2)当x∈-π2,π2时,x+π6∈-π3,2π3,(10分)所以sin x+π6∈-32,1,所以f(x)∈[-3,2],因此,当x∈-π,π时,函数f(x)的值域为[-3,2].(14分)16.(1)在△A1BC中,因为O是A1C的中点,M是BC的中点,所以OM∥A1B.(4分)又OM⊄平面ABB1A1,A1B⊂平面ABB1A1,所以OM∥平面ABB1A1.(6分)(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥底面ABC,所以CC1⊥BC.又∠ACB=π,所以BC ⊥AC.因为CC1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.(8分)又AC1⊂平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.因为四边形ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1.又BC⊂平面A1BC,A1C⊂平面A1BC,且BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.(12分)因为AC1⊂平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面A1BC.(14分)17. 方法一:由条件①得,PA PB =5030=53. (2分)设PA=5x ,PB=3x , 则cos ∠PAB=(5x )2+162-(3x )22×16×5x=x10+85x , (6分)所以点P 到直线AB 的距离h=PA ·sin ∠PAB=5x · 1-x 10+85x= -14x 4+17x 2-64 = -14(x 2-34)2+225,(10分)所以当x 2=34,即x= 34时,h 取得最大值15 km .即垃圾发电厂P 的选址应满足PA=5 34 km ,PB=3 34 km .(14分)方法二:如图,以AB 所在直线为x 轴、线段AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系xOy , (2分)(第17题)则A (-8,0),B (8,0). 由条件①,得PA =50=5. (4分)设P (x ,y )(y>0),则3 (x +8)2+y 2=5 (x -8)2+y 2, 化简得,(x-17)2+y 2=152(y>0),(10分)即点P 的轨迹是以点(17,0)为圆心、15为半径的圆且位于x 轴上方的半圆,则当x=17时,点P 到直线AB 的距离最大,且最大值为15 km . 故点P 的选址应满足在上述坐标系中,其坐标为(17,15)即可. (14分)18. (1) 因为椭圆C 的右焦点坐标为( 3,0), 所以圆心M 的坐标为 ±12,(2分)所以圆M 的方程为(x- 3)2+ y ±12 2=14. (2) ①因为圆M 与直线OP :y=k 1x 相切, 所以100k 1+1=2 55, 即(4-5x 02)k 12+10x 0y 0k 1+4-5y 02=0.(6分)同理,有(4-5x 02)k 22+10x 0y 0k 2+4-5y 02=0,所以k 1,k 2是方程(4-5x 02)k 2+10x 0y 0k+4-5y 02=0的两个根,(8分)所以k 1k 2=4-5y 024-5x 02=4-5 1-14x 02 4-5x 02=-1+54x 024-5x 02=-1.(10分)②设点P 1的坐标为(x 1,y 1),点P 2的坐标为(x 2,y 2),联立 y =k 1x ,x 24+y 2=1,解得x 12=41+4k 12,y 12=4k 121+4k 12.(12分)同理,x 22=41+4k 22,y 22=4k 221+4k 22,所以OP 2·OQ 2=41+4k 12+4k 121+4k 12·41+4k 22+4k 221+4k 22=4(1+k 12)1+4k 12·4(1+k 22)1+4k 22=4+4k 121+4k 12·1+16k 121+4k 12(14分)≤5+20k 1222(1+4k 12)2=254,当且仅当k 1=±12时取等号,所以OP ·OQ 的最大值为5. (16分) 19. (1) 由题意得,f'(x )=a (1-x )e x, 因为函数f (x )在x=0处的切线方程为y=x , 所以f'(0)=a 1=1,得a=1. (2) 由(1)知f (x )=x e x <1k +2x -x 2对任意的x ∈(0,2)恒成立,所以k+2x-x 2>0,即k>x 2-2x 对任意的x ∈(0,2)恒成立,所以k ≥0. (6分)又不等式整理可得k<e x x +x 2-2x ,令g (x )=e x x +x 2-2x ,所以g'(x )=e x (x -1)x 2+2(x-1)=(x-1)e x x 2+2,令g'(x )=0,得x=1. (8分)当x ∈(1,2)时,g'(x )>0,函数g (x )在(1,2)上单调递增; 当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,函数g (x )在(0,1)上单调递减. 所以k<g (x )min =g (1)=e -1.综上所述,实数k 的取值范围是[0,e -1). (10分)(3) 结论是g'x 1+x 22<0. (11分)证明:由题意知函数g (x )=ln x-x-b , 所以g'(x )=1x-1=1-xx(x>0), 易得函数g (x )在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以只需证明x 1+x 22>1即可. (12分)因为x 1,x 2是函数g (x )的两个零点,所以 x 1+b =ln x 1,x 2+b =ln x 2,两式相减得x 2-x 1=ln x 2x 1.不妨令x2x 1=t>1,则x 2=tx 1, 则tx 1-x 1=ln t ,所以x 1=1t -1ln t ,x 2=t t -1ln t , 即证t +1t -1ln t>2, 即证明φ(t )=ln t-2·t -1t +1>0. (14分)因为φ'(t )=1t -4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2>0,所以φ(t )在(1,+∞)上单调递增,所以φ(t )>φ(1)=0.综上所述,函数g (x )总满足g'x 1+x 22<0成立. (16分)20. (1) 因为a n =2n 是逐项递增的,所以A i =2i ,B i =2i+1, 所以r i =2i -2i+1=-2i ,1≤i ≤m-1. (4分) (2) 若{a n }是逐项递减的,则A 1=a 1=1,B i =a m , 所以r i =a 1-a m >0,不满足r i =-2, 所以{a n }是逐项递增的.(6分)则A i =a i ,B i =a i+1,所以r i =a i -a i+1=-2,即a i+1-a i =2,1≤i ≤m-1, 所以{a n }是公差为2的等差数列,a n =1+2(n-1)=2n-1,1≤i ≤m-1. (10分)(3) 构造a n =n- 12n ,其中b n =n ,c n =- 12n . (12分)下面证明数列{a n }满足题意:因为a n =n- 12n ,所以数列{a n }是逐项递增的, (14分) 所以A i =a i =i- 12i ,B i =a i+1=i+1- 12i +1, 所以r i =a i -a i+1=-1- 1 i +1,1≤i ≤m-1. 因为r i+1-r i = -1- 12i +2 - -1- 12 i +1 = 12i +2>0, 所以数列{r i }是逐项递增的,满足题意. (16分)(注:等差数列{b n }的首项b 1任意,公差d 为正数,同时等比数列{c n }的首项c 1为负,公比q ∈(0,1),这样构造的数列{a n }都满足题意)江苏省无锡市2016届高三第一次模拟考试1. -1 【解析】因为A ∩B={-1,0},所以a=-1.2. 22【解析】方法一:因为z=(1-2i)(3+i)(3-i)(3+i)=5-5i 10=12-12i ,所以|z|= 12+ -12 = 22.方法二:|z|=|1-2i||3-i|= 5 10= 22. 3. 5【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S 与A 的值依次为3,2;7,3;15,4;31,5;63,6.故判断框中的条件应为A ≤5,即M=5. 4. 2【解析】设[50,60]年龄段应抽取x 人,则根据分层抽样得,x 8=0.0050.005+0.015,解得x=2.5. 2sin 2x -π3【解析】由题意知g (x )=f x -π6 =2sin 2 x -π6,整理得g (x )=2sin 2x -π.6. 2【解析】从四个数中随机取两个数,基本事件有6个.其中一奇一偶的事件有4个:(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),故所求的概率为46=23. 7. 725【解析】方法一:由题意知-45°<α-45°<45°,则cos (α-45°)=7 210,所以cos 2α=-sin (2α-90°)=-2sin (α-45°)·cos (α-45°)=-2× - 210×7 210=725. 方法二:由sin (α-45°)=- 210,展开得sin α-cos α=-15,所以0°<α<45°,平方得sin 2α=2425,因为0°<2α<90°,所以cos 2α=7.8.33【解析】方法一:设点O到平面VAB的距离为h.由题意知V三棱锥VOAB =V三棱锥OVAB,所以13×12×1=13×32×h,解得h=33.方法二:取AB的中点M,连接OM,VM,在Rt△VOM中,点O到VM的距离即为点O到平面VAB的距离.因为VO=1,OM=22,VM=62,所以点O到VM1×2262=33,故点O到平面VAB的距离为33.9.2+1【解析】设双曲线的标准方程为x 2a2-y2b2=1,则由题意知,AB=2c,2a=CA-CB=2(2-1)c,所以c=12-1=2+1,即双曲线的离心率为2+1.10. 8【解析】由题意知,数列{b n}是公差为1的等差数列,且b3=-2,所以b n=b3+(n-3)×1=n-5,所以a n+1-a n=n-5,所以a n+1=(a n+1-a n)+(a n-a n-1)+…+(a2-a1)+a1=n(n+1)2-5n+a1.令n=2,则a3=3-10+a1=1,解得a1=8.11.0,233【解析】如图,由正弦定理得|α|sinθ=1sin60°,所以|α|=23sin θ∈0,233.(第11题)12.5【解析】由题意知y'=1+1x2(x>0),所以在点P处的切线斜率为1+1x02,切线方程为y- x0-1x0=1+1x02(x-x0),该切线与x轴交于点A2x01+x02,0,与y轴交于点B0,-2x0.因为S△OAB=12·2x0·2x01+x02=13(其中x0>0),所以解得x0=5.13.14【解析】若圆C上存在两点A,B,使得PA·PB≤0,则∠APB≥90°.如图,过点P作圆C的两条切线PA0,PB0(A0,B0为切点),则∠A0PB0≥90°,故在Rt△PCA0中,只要∠CPA0≥45°即可.由正弦定理PC=CA00,得PC=2.因为sin∠CPA0≥2,所以PC≤22.又圆心C(2,0)到直线l:y=x+1的距离d=2,点P在线段EF上,所以EF≤2PC2-d2≤28-92=14,故线段EF长度的最大值是14.(第13题)14. 1e,1 【解析】当t ≥1时,f (t )-kt=ln t-kt ≤0恒成立,即k ≥ln t t.设g (x )=ln x(x ≥1),则g'(x )=1-ln x2,当x ∈(1,e )时,g'(x )>0,g (x )在(1,e )上单调递增;当x ∈(e ,+∞)时,g'(x )<0,g (x )在(e ,+∞)上单调递减.因此,当x=e 时,g (x )取得最大值,且最大值为1e,所以k ≥1e. 当0<t<1时,f (t )-kt=-t (t-1)2-kt ≤0恒成立,即k ≥-(t-1)2,因为-(t-1)2∈(-1,0),所以k ≥0; 当t=0时,f (t )=0=kt ,所以k ∈R ;当t<0时,f (t )-kt=t (t-1)2-kt ≤0,则k ≤(t-1)2,因为(t-1)2∈(1,+∞), 所以k ≤1.综上,实数k 的取值范围为 1e,1 .15. (1) 因为a ⊥b ,所以sin 2B-sin 2C+sin A (sin C-sin A )=0, 即sin A sin C=sin 2A+sin 2C-sin 2B. (2分)由正弦定理得ac=a 2+c 2-b 2, 所以cos B=a 2+c 2-b 22ac=12.(4分) 因为B ∈(0,π),所以B=π. (6分)(2) 因为c ·cos A=b , 所以b c =b 2+c 2-a 22bc,即b 2=c 2-a 2. (8分)又ac=a 2+c 2-b 2,b=2R sin B= 3, (10分)解得a=1,c=2,(12分)所以S △ABC =1ac sin B= 3.(14分)16. (1) 因为平面PAC ⊥平面ABC ,AC 为两平面的交线, 且AC ⊥BC ,BC ⊂平面ABC , 所以BC ⊥平面PAC.(2分)又PE ∥CB ,M ,N 分别为AE ,AP 的中点,所以MN ∥PE , (3分)所以MN ∥BC ,所以MN ⊥平面PAC. (5分)又MN ⊂平面CMN ,所以平面CMN ⊥平面PAC. (7分)(2) 因为PE ∥CB ,BC ⊂平面ABC ,PE ⊄平面ABC , 所以PE ∥平面ABC.(9分)设平面PAE 与平面ABC 的交线为l ,则PE ∥l. (10分) 又MN ∥平面ABC ,MN ⊂平面PAE ,所以MN ∥l , (11分) 所以MN ∥PE.(12分)因为M 是AE 的中点, 所以N 为PA 的中点.(14分)17. 方案一:如图(1),过点Q 分别作QM ⊥AC 于点M ,QN ⊥BC 于点N ,(第17题(1))因为△PQR 为等腰直角三角形,且QP=QR , 所以△RMQ ≌△PNQ , 所以QM=QN , 所以Q 为AB 的中点, (2分)则QM=QN=5m . (3分) 设∠RQM=α, 则RQ=5,α∈[0°,45°), 所以S △PQR =12×RQ 2=252cos 2α, (4分)所以S △PQR 的最小值为252m 2.(6分)方案二:如图(2),设CQ=x ,∠RQC=β,β∈(0°,90°),(第17题(2))在△RCQ 中,RQ=x cos β, (8分)在△BPQ 中,∠PQB=90°-β,∠BPQ=45°+β, 所以QP sin B =BQsin ∠BPQ, 即x22cos β=10-x,化简得x cos β=10sin β+2cos β, (10分)所以S △PQR =1×RQ 2=50(sin β+2cos β)2.因为(sin β+2cos β)2≤5, (12分)所以S △PQR 的最小值为10m 2. (13分)综上,应选用方案二.(14分)18. (1) 由题意知 c =1,a 2c-c =3,解得 a =2,c =1,所以b= 3,(2分)所以椭圆M 的方程为x 24+y 23=1, (4分)圆N 的方程为(x-1)2+y 2=5. (5分)由直线l :y=kx+m 与椭圆M 只有一个公共点,联立x24+y23=1, y=kx+m,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,①(6分)所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,得m2=3+4k2.②(7分)由直线l:y=kx+m与圆N只有一个公共点,得|k+m|1+k=5,即k2+2km+m2=5+5k2,③(8分)将②代入③得km=1.④由②④且k>0,得k=1,m=2,(9分)所以直线l的方程为y=12x+2.(10分)(2)由(1)可知,点A的坐标为-1,32,(11分)点B的坐标为(0,2).(12分)设点P的坐标为(x0,y0),因为PBPA=22,则x02+(y0-2)2 (x0+1)2+y0-322=8,化简得7x02+7y02+16x0-20y0+22=0.⑤(13分)又点P(x0,y0)满足x02+y02-2x0=4,⑥将⑤-7×⑥得,3x0-2y0+5=0,即y0=3x0+52.⑦(14分)将⑦代入⑥得,13x02+22x0+9=0,解得x0=-1或x0=-9,代入⑦得,y0=1或y0=19,(15分)所以点P 的坐标为(-1,1)或 -913,1913 . (16分)19. (1) 当a=2时,函数f (x )=ln x+e , 则f'(x )=1x -e x2=x -ex 2(x>0), (2分)当x ∈(0,e )时,f'(x )<0,函数f (x )在(0,e )上单调递减; (3分) 当x ∈(e ,+∞)时,f'(x )>0,函数f (x )在(e ,+∞)上单调递增.(4分)所以函数f (x )的单调增区间为(e ,+∞),单调减区间为(0,e ). (2) 由题意知ln x+a +e-2x≥a 在(0,+∞)上恒成立,等价于x ln x+a+e -2-ax ≥0在(0,+∞)上恒成立. (6分) 令g (x )=x ln x+a+e -2-ax , 则g'(x )=ln x+1-a. 令g'(x )=0,得x=e a-1,(7分)所以g (x )的最小值为g (e a-1)=(a-1)e a-1+a+e -2-a e a-1=a+e -2-e a-1. (9分) 令t (x )=x+e -2-e x-1, 则t'(x )=1-e x-1. (10分)令t'(x )=0,得x=1,当x 变化时,t'(x ),t (x )(11分)所以当a ∈(0,1)时,g (x )的最小值 t (a )>t (0)=e -2-1e =e(e-2)-1e>0,所以a ∈(0,1); (12分)当a ∈[1,+∞)时,g (x )的最小值t (a )=a+e -2-e a-1≥0=t (2), (14分)所以a ∈[1,2]. (15分)综上,实数a 的取值范围为(0,2].(16分)20. (1) 由b n =2n-3且q=2,得a n+1-a n =4,所以数列{a n }为等差数列. (2分)又a 1=1,所以a n =4n-3.(4分)(2) 由条件可知a n -a n-1=q (b n -b n-1),所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=q (b n -b n-1)+q (b n-1-b n-2)+…+q (b 2-b 1)+a 1=qb n -qb 1+a 1=qb n -2q+1, (6分)不妨设{b n }的公比为λ(λ≠1),则a n =2qλn-1-2q+1.因为{a n }是等比数列,所以a 22=a 1a 3,解得q=12, (7分)经检验,a n =λn-1,此时{a n }是等比数列,所以q=12满足条件. (8分)(3) 由条件可知a n -a n-1=q (b n -b n-1),所以a n =(a n -a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=q (b n -b n-1)+q (b n-1-b n-2)+…+q (b 2-b 1)+a 1=qb n -qb 1+a 1,即a n =q n+1-q 2+q , (10分)a 2n =q 2n+1-q 2+q.因为q ∈(-1,0),所以a 2n+2-a 2n =q 2n+3-q 2n+1=q 2n+1(q 2-1)>0,则数列{a 2n }逐项递增;(11分)a 2n+1-a 2n-1=q 2n+2-q 2n =q 2n (q 2-1)<0,则数列{a 2n-1}逐项递减.(12分)又a 2n -a 1=q 2n+1-q 2<0,所以数列{a n }的最大项为a 1=q=M , (13分)a 2n+1-a 2=q 2n+2-q 3=q 3(q 2n-1-1)>0,所以数列{a n }的最小项为a 2=q 3-q 2+q=m , (14分)所以M =q q 3-q 2+q =1q 2-q +1.因为q ∈(-1,0), 所以q 2-q+1∈(1,3), 所以M m∈ 13,1 ,所以M m的取值范围为 13,1 . (16分)江苏省苏州市2016届高三第一次模拟考试1. {2} 【解析】由题意知,集合A={x|x ≥ 5,x ∈N },则∁U A={x|2≤x< 5,x ∈N }={2}.2. -5 【解析】因为|z|=|a i||1+2i|=|a |5= 5,所以|a|=5,又a<0,所以a=-5.3. 3【解析】由题意知a=2,b= 5,所以c=3,所以双曲线的离心率为3. 4. 2【解析】由9+8+x +10+115=10,知x=12,所以方差为15×[(10-9)2+(10-8)2+(10-12)2+(10-10)2+(10-11)2]=2. 5. 9 【解析】由题意知a ·(a-b )=0,即a 2-a ·b=0,所以5-(x-4)=0,解得x=9.6. 53【解析】由流程图可知,在循环的过程中,x ,y ,z 的数据依次为1,2,3;2,3,5;3,5,8.故最后输出的y x的值是53. 7. (-∞,1] 【解析】当x ≤0时,0<2x ≤1;当x>0时,-x 2+1<1.所以函数f (x )的值域为(-∞,1]. 8. 1【解析】连续抛掷骰子两次,基本事件有36个.两次向上的数字之和等于7的事件有6个:(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1).故所求的概率为636=16. 9. 5【解析】半径为5的圆的周长是10π,由题意知2πr 1+2πr 2+2πr 3=10π,所以r 1+r 2+r 3=5. 10. -31【解析】由sin θ-2cos θ=-2,得sin θ=2cos θ-2,平方整理得125cos 2θ-40cos θ-21=0,解得cos θ=-725或cos θ=35(舍去),所以sin θ=-2425,所以sin θ+cos θ=-3125. 11. 5或6【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,则 a 1+4d =15,a 1+9d =-10,解得 a 1=35,d =-5,所以数列{a n }的前n 项和为S n =-52n 2+752n ,则T n =S n+5-S n-1=-30n+165(n ≥2,n ∈N *).又T 1=S 6=135,所以对n ∈N *,总有|T n |=|-30n+165|,则当n=5或6时,|T 5|=|T 6|=15,此时|T n |取得最小值. 12. 18【解析】由题意知两平行线l 1,l 2将圆C 的周长四等分,所以相应弦所对的圆心角为90°,所以弦心距为 22×2 2=2.因为圆心C (1,2)到直线l 1:y=x+a 的距离为2=2,解得a=1±2 2,所以a=1+2 2,b=1-2 2或a=1-2 2,b=1+2 2,所以a 2+b 2=18. 13. 1【解析】令f (x )=0,得|sin x|=kx.当x ≥0时,如图,作出函数y 1=|sin x|和y 2=kx的图象.若函数f (x )有且只有三个零点,则当x ∈(π,2π)时,y 2=kx 与y 1=-sin x 相切,且x 0为切点的横坐标,即(-sin x )'|x =x 0=-sin x 0x 0,所以tan x 0=x 0,所以x 0(1+x 02)sin2x 0 =tan x 0(1+tan 2x 0)sin2x 0=sin x 0·cos x 0sin2x 0=12.(第13题)14. 4+4 23【解析】因为b=14a,a ∈(0,1),所以11-a +21-b =11-a +21-14a=11-a +24a -1+2=2a +1-4a 2+5a -1+2.令2a+1=t ,则a=t -12,原式=t -t 2+92t -92+2=192- t +92t+2≥192-2 t ·92t+2=4+4 23.当且仅当t=3 22,即a=3 2-24∈(0,1)时取等号.故原式的最小值为4+4 23. 15. (1) 由余弦定理知a cos B+b cos A=a ·a 2+c 2-b 22ac+b ·b 2+c 2-a 22bc=2c 22c =c ,(3分)所以a cos B +b cos Ac=1, 所以cos C=12. (5分)又C ∈(0,π),所以C=π3.(7分)(2) 因为S △ABC =1ab sin C=2 3, 所以ab=8. (10分)又因为a+b=6,所以c 2=a 2+b 2-2ab cos C=(a+b )2-3ab=12, (13分)所以c=2 3.(14分)16. (1) 如图,连接AC ,因为E ,F 分别是AB ,BC 的中点,所以EF 是△ABC 的中位线,所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1知AA 1CC 1, 所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形, 所以AC ∥A 1C 1. (5分) 所以EF ∥A 1C 1,故A 1,C 1,F ,E 四点共面.(7分)(第16题)(2) 如图,连接BD ,在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1,所以DD1⊥A1C1.(9分)因为底面A1B1C1D1是菱形,所以A1C1⊥B1D1.又DD1⊂平面BB1D1D,B1D1⊂平面BB1D1D,DD1∩B1D1=D1,所以A1C1⊥平面BB1D1D.(11分)因为OD⊂平面BB1D1D,所以OD⊥A1C1.又OD⊥A1E,A1C1∩A1E=A1,A1C1⊂平面A1C1FE,A1E⊂平面A1C1FE,所以OD⊥平面A1C1FE.(14分)17.(1)如图,以AB所在的直线为x轴、AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,因为AB=2 m,所以半圆O的半径为1 m,则半圆O的方程为x2+y2=1(-1≤x≤1,y≤0).(3分)因为水深CD=0.4 m,所以OD=0.6 m,在Rt△ODM中,DM=OM2-OD2=1-0.62=0.8(m),(5分)所以MN=2DM=1.6 m,故渠中水面的宽度为1.6 m.(6分)(第17题)(2)为使挖出的土最少,等腰梯形的两腰必须与半圆O相切.设切点为P(cos θ,sin θ)-π<θ<0是BC上的一点,如图,过点P作半圆的切线得直角梯形OCFE,则切线EF的方程为x cos θ+y sin θ=1.(8分),0,令y=0,得E1cosθ,-1.令y=-1,得F1+sinθcosθ设直角梯形OCFE的面积为S,则S=12(CF+OE )·OC=121cos θ+1+sin θcos θ×1=2+sin θ2cos θ-π2<θ<0. (10分)S'=cos θcos θ-(2+sin θ)(-sin θ)2cos 2θ=1+2sin θ2,令S'=0,解得θ=-π6.当-π2<θ<-π6时,S'<0,函数S 在 -π2,-π6上单调递减; 当-π6<θ<0时,S'>0,函数S 在 -π6,0 上单调递增. (12分)所以当θ=-π6时,面积S 取得最小值,且最小值为 32.此时CF=1+sin -π6 cos -π6= 33,即当渠底宽为2 33 m 时,所挖的土最少. (14分)18. (1) 由题意知B (0,1),C (0,-1),焦点F ( ,0),当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时,直线PM 的方程为 3+y -1=1,即y= 33x-1.联立 x 24+y 2=1,y = 33x -1,解得 x =837,y =17或 x =0,y =-1(舍去),即点M 的坐标为 8 3,1 . (2分)连接BF ,则直线BF 的方程为x 3+y 1=1, 即x+ 3y- 3=0. 又BF=a=2,点M 到直线BF 的距离为d=8 37+ 3×17- 3 1+( 3)=2 372= 37,(4分)故△FBM 的面积为S △MBF =12·BF ·d=12×2× 37= 37. (5分)(2) 方法一:①设P (m ,-2),且m ≠0,则直线PM 的斜率为k=-1-(-2)0-m=-1,则直线PM 的方程为y=-1x-1.联立 y =-1m x -1,x 24+y 2=1,消去y ,得1+4m 2x 2+8m x=0,解得点M 的坐标为-8mm 2+4,4-m 2m 2+4, (8分)所以k 1=4-m 2m 2+4-1-8m m 2+4=-2m 2-8m =14m ,k 2=1-(-2)0-m =-3m , 所以k 1·k 2=-3m ·14m=-34为定值.(10分)②由①知,PB =(-m ,3),PM=-8mm 2+4-m ,4-m 2m 2+4+2=-m 3-12m m 2+4,m 2+12m 2+4,所以PB ·PM =(-m ,3)·-m 3+12m m 2+4,m 2+12m 2+4=m 4+15m 2+36m 2+4.(13分)令m 2+4=t>4,则PB ·PM =(t -4)2+15(t -4)+36t=t 2+7t -8t =t-8t+7.因为y=t-8+7在t ∈(4,+∞)上单调递增,所以PB ·PM =t-8+7>4-8+7=9,故PB ·PM 的取值范围为(9,+∞).(16分)方法二:①设点M 的坐标为(x 0,y 0)(x 0≠0),则直线PM 的方程为y=y 0+1x 0x-1,令y=-2,得点P 的坐标为-x 0y0+1,-2, (7分)所以k 1=y 0-1x 0,k 2=-2-1-x 0y 0+1=3(y 0+1)x 0,所以k 1·k 2=y 0-1x 0·3(y 0+1)x 0=3(y 02-1)x 02=3(y 02-1)4(1-y 02)=-34为定值.(10分)②由①知,PB= x 0y 0+1,3 , PM = x 0+x 00,y 0+2 ,所以PB ·PM =x 0y 0+1x 0+x 0y 0+1 +3(y 0+2)=x 02(y 0+2)(y 0+1)2+3(y 0+2)=4(1-y 02)(y 0+2)(y 0+1)2+3(y 0+2)=(7-y 0)(y 0+2)y 0+1.(13分)令t=y 0+1∈(0,2), 则PB·PM =(8-t )(t +1)t =-t+8t+7. 因为y=-t+8t+7在t ∈(0,2)上单调递减, 所以PB ·PM =-t+8t +7>-2+82+7=9, 故PB·PM 的取值范围为(9,+∞). (16分)19. (1) 若q=0,则a n+1-a n =p ·3n-1, 所以a 2=a 1+p=12+p ,a 3=a 2+3p=12+4p.由数列{a n }为等比数列,得 1+p 2=1· 1+4p ,解得p=0或p=1. (3分) 当p=0时,a n+1=a n ,所以a n =12符合题意; (4分)当p=1时,a n+1-a n =3n-1, 所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=12+(1+3+…+3n-2)=12+1-3n -11-3=12·3n-1,所以a n +1n=3符合题意. (6分)(2) 方法一:若p=1,则a n+1-a n =3n-1-nq ,所以a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=12+(1+3+…+3n-2)-[1+2+…+(n-1)]q=12[3n-1-n (n-1)q ].(8分)因为数列{a n }的最小项为a 4,所以对任意的n ∈N *,有12[3n-1-n (n-1)q ]≥a 4=12(27-12q )恒成立,即3n-1-27≥(n 2-n-12)q 对任意的n ∈N *恒成立. (10分) 当n=1时,有-26≥-12q , 所以q ≥13;当n=2时,有-24≥-10q , 所以q ≥12;当n=3时,有-18≥-6q ,所以q ≥3; 当n=4时,有0≥0,所以q ∈R ; (12分)当n ≥5时,n 2-n-12>0, 所以有q ≤3n -1-27n 2-n -12恒成立. 令c n =3n -1-27n 2-n -12(n ≥5,n ∈N *), 则c n+1-c n =2(n 2-2n -12)3n -1+54n(n -16)(n -9)>0,即数列{c n }为逐项递增数列, 所以q ≤c 5=274.(15分)综上所述,q 的取值范围为 3,274. (16分)方法二:因为p=1,a n+1-a n =3n-1-nq , 又a 4为数列{a n }的最小项, 所以 a 4-a 3≤0,a 5-a 4≥0,即 9-3q ≤0,27-4q ≥0,所以3≤q ≤274.(8分)此时a 2-a 1=1-q<0,a 3-a 2=3-2q<0, 所以a 1>a 2>a 3≥a 4. (10分)当n ≥4时,令b n =a n+1-a n ,则b n+1-b n =2·3n-1-q ≥2·34-1-274>0, 所以b n+1>b n ,所以0≤b 4<b 5<b 6<…, 所以a 4≤a 5<a 6<a 7<….(14分)综上所述,当3≤q ≤274时,a 4为数列{a n }的最小项, 故所求q 的取值范围为 3,27 . (16分)20. (1) 当a=1时,f (x )=e x (2x-1)-x+1,f'(x )=e x (2x+1)-1, (1分)令f'(x )=0,则x=0.当x ∈(0,+∞)时,e x >1,2x+1>1,所以f'(x )>0,所以函数f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当x ∈(-∞,0)时,0<e x <1,2x+1<1,所以f'(x )<0,所以函数f (x )在(-∞,0)上单调递减. (4分) 所以函数f (x )的单调增区间为(0,+∞),单调减区间为(-∞,0). (2) ①由f (x )<0得e x (2x-1)<a (x-1). 当x=1时,不等式显然不成立; 当x>1时,a>e x (2x -1)x -1; 当x<1时,a<e x (2x -1)x -1. (6分)记g (x )=e x (2x -1)x -1,g'(x )=e x (2x +1)(x -1)-e x (2x -1)(x -1)2=e x (2x 2-3x )(x -1)2,所以函数g (x )在(-∞,0)和 32,+∞ 上单调递增,在(0,1)和 1,32上单调递减. 所以当x>1时,a>g 32=4e 32;当x<1时,a<g (0)=1. (8分)综上所述,实数a 的取值范围为(-∞,1)∪(4e 32,+∞). (9分)②由①知,当a<1时,x 0∈(-∞,1), 由f (x 0)<0,得g (x 0)>a.又g (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,且g (0)=1>a ,所以g (-1)≤a ,即a ≥32e,所以3≤a<1;(12分)当a>4e 32时,x 0∈(1,+∞), 由f (x 0)<0,得g (x 0)<a.又g (x )在 1,3 上单调递减,在 3,+∞ 上单调递增,且g 3 =4e 32<a , 所以 g (2)<a ,g (3)≥a ,解得3e 2<a ≤5e 32.(15分)综上所述,实数a 的取值范围为 32e,1 ∪ 3e 2,5e 32. (16分)江苏省常州市2016届高三第一次模拟考试1. 2-2i 【解析】由题意知z=52+i-i =2-i -i =2-2i . 2. {2}【解析】由题意知∁U A={2,4},则B ∩∁U A={2}.3. 6 【解析】根据分层抽样应抽取初中学校20×3010+30+60=6(所).4. 5【解析】由题意知双曲线C 的渐近线y=-b x 过点P (1,-2),所以b =2,所以该双曲线的离心率e=c = 1+ b2= 5.5. -∞,32【解析】因为(-x 2+2 ∈(-∞,2 所以函数f (x )=log 2(-x 2+2 )的值域为-∞,32. 6. 910【解析】从5名学生中选出3名学生,基本事件有10个.只有选出的“3名学生全是女生”这1个事件不符合要求,故所求的概率为1-1=9. 7. 2【解析】由流程图可知,在循环的过程中,S 与k 的值依次为-1,2;2,3;3,4;-12,5;23,6;…,3,2 014;-12,2 015;23,2 016.故最后输出的S 的值是23.8. 3 【解析】由题意知V三棱锥MPAD=V三棱锥PADM=13× 12×2× 3 ×3= 3.9. 152【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数z=2x+y 经过点 54,5 时,取得最大值,且最大值为2×54+5=152.(第9题)10. 2【解析】由a ⊥b ,知a ·b=0,即4x +2x -2=0,解得2x =1,所以a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=(0,2),故|a-b|=2. 11. 117【解析】设等比数列{a n }的公比为q (q>0),由题意知49(q 2+q 4)=40,解得q=3,所以a 1=19,则原式=a 1(q 6+q 7+q 8)9=32+33+34=117. 12.7+4 34【解析】如图,建立平面直角坐标系,则AB=(4,0),AD =(0,4).设AP =(x ,y ),则BC 所在直线为4x+3y=16.由(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x=4m ,y=4n (m ,n>0),所以16m+12n=16,即m+34n=1,那么1m +1n =1m +1nm+34n=74+3n 4m +m n ≥74+2 3n 4m ·m n =74+ 3=7+4 34.当且仅当3n 2=4m 2时取等号.(第12题)13.-203,4【解析】设点P的坐标为(x,y),则x+3y-b=0.若切线长PB=2PA,则(x-4)2+y2-4=4(x2+y2-1),即3x2+3y2+8x-16=0,即4x2+(8-2b)x+b2-16=0.由题意知Δ=(8-2b)2-16(b2-16)>0,即3b2+8b-80<0,解得-203<b<4,所以实数b的取值范围是-203,4.14.[-3,e2]【解析】当x≤0时,由f(x)≥kx恒成立,知2x2-3x≥kx恒成立,则k≥2x-3恒成立.令g(x)=2x-3,则k≥g(x)max=g(0)=-3,所以k≥-3;当x>0时,先求函数y=e x+e2(x>0)的图象的过坐标原点的切线.设切点为(x0,y0),由y'=e x,得e x0=y0x0,即x0·e x0=e x0+e2.当x0>2时,x0·e x0>e x0+e2;当0<x0<2时,x0·e x0<e x0+e2.故上述方程有唯一的解x0=2,即y=e x+e2过坐标原点的切线方程是y=e2·x.要使e x+e2≥kx恒成立,则k≤e2.综上,实数k的取值范围是[-3,e2].15.(1)因为A+B+C=π,所以A=π-(B+C).由cos(B-C)=1-cos A,得cos(B-C)=1+cos(B+C),展开,整理得sin B·sin C=12.(2分)(2)因为b,a,c成等比数列,所以a2=bc,由正弦定理得sin2A=sin B sin C,所以sin2A=1.(6分)因为A∈(0,π),所以sin A=2,又因为边a 不是最大边,所以A=π4. (8分) (3) 因为B+C=π-A=3π,所以cos (B+C )=cos B cos C-sin B sin C=- 2,sin (B+C )= 2,所以cos B cos C=1- 2, (10分)所以tan B+tan C=sin B cos B +sin C cos C =sin(B +C )cos B cos C = 221- 22=-2- 2.(14分)16. (1) 连接AC 1,BC 1,因为四边形AA 1C 1C 是矩形,D 是A 1C 的中点, 所以D 是AC 1的中点. (2分)在△ABC 1中,因为D ,E 分别是AC 1,AB 的中点, 所以DE ∥BC 1.(4分)又DE ⊄平面BB 1C 1C ,BC 1⊂平面BB 1C 1C , 所以ED ∥平面BB 1C 1C.(6分) (2) 因为△ABC 是正三角形,E 是AB 的中点,所以CE ⊥AB. 又因为在正三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,平面ABC ⊥平面ABB 1A 1,平面ABC ∩平面ABB 1A 1=AB ,CE ⊂平面ABC , 所以CE ⊥平面ABB 1A 1. 又A 1B ⊂平面ABB 1A 1, 所以CE ⊥A 1B.(9分)在矩形ABB 1A 1中, 因为A 1B 11= 2=B 1B, 所以Rt △A 1B 1B ∽Rt △B 1BE , 所以∠B 1A 1B=∠BB 1E ,所以∠B 1A 1B+∠A 1B 1E=∠BB 1E+∠A 1B 1E=90°, 所以A 1B ⊥B 1E.(12分)又因为CE ⊂平面B 1CE ,B 1E ⊂平面B 1CE ,CE ∩B 1E=E ,所以A 1B ⊥平面B 1CE. (14分)17. (1) 由题意得dk +a 1-d =k 2+2, ①2dk +a 1-d =(k +2)2, ②(2分)②-①,得d=4+2k .因为k ∈N *,d 为整数,所以k=1或k=2. (4分)当k=1时,d=6,代入①,解得a 1=3, 所以a n =6n-3;当k=2时,d=5,代入①,解得a 1=1, 所以a n =5n-4.(6分)综上,k=1,a n =6n-3或k=2,a n =5n-4. (2) 因为a 1>1,所以a n =6n-3,所以S n =3n 2. (7分)由S 2S m=T 3,得123m 2=1+q+q 2, 整理,得q 2+q+1-4m 2=0. (9分)因为Δ=1-4 1-4m 2≥0, 所以m 2≤163.因为m ∈N *,所以m=1或m=2. (11分)当m=1时,q=- 13-12(舍去),q= 13-12; 当m=2时,q=0或q=-1(均舍去). 综上所述,q=13-12. (14分)18. (1) 在△COP 中,CP 2=CO 2+OP 2-2CO ·OP cos θ=10-6cos θ,所以△CDP 的面积S △CDP = 34CP 2= 32(5-3cos θ).又因为△COP 的面积S △COP =12OC ·OP ·sin θ=32sin θ,(6分)所以S=S△CDP+S△COP-S扇形OBP=1 23sinθ-33cosθ-θ +532,0<θ≤θ0<π,cos θ0=1-10512.(9分)注:定义域占2分.当DP所在直线与半圆相切时,设θ取得最大值θ0,此时在△COP中,OP=1,OC=3,∠CPO=30°,CP=10-6cos θ0,由正弦定理得10-6cos θ0=6sin θ0,cos θ0=1-10512或cos θ0=1+10512(舍去)(2)存在.由(1)知,S'=123cos θ+33sin θ-1=3sin θ+π6-12,(12分)当0<θ<θ0时,S'>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值.(14分)另解:因为0<θ<π,所以存在唯一的θ0∈π2,π ,使得sin θ0+π6=16.当0<θ<θ0<π时,S'>0,所以当θ=θ0时,S取得最大值此时cos θ0+π6=-356,cos θ0=cosθ0+π6-π6=1-10512.(16分)19.(1)由题意知abc=23,a=2,又a2=b2+c2,解得b=3,c=1,(4分)所以椭圆C的方程为x 24+y23=1.(5分)(2)点A在椭圆C上.证明如下:设切点为Q(x0,y0),x0≠0,则x02+y02=3,切线l的方程为x0x+y0y-3=0.当y P =2 3时,x P =3-2 3y 0x 0, 即点P 的坐标为3-2 3y 0,2 3 , 则k OP =2 33-23y 0x 0=2x 03-2y ,(7分)所以k OA =2y 0- 30,则直线OA 的方程为y=2y 0- 30x. (9分)联立y =2y 0- 32x 0x ,x 0x +y 0y -3=0,解得 x =06- 3y 0y =0 3)6- 3y 即点A 的坐标为6x 06- 3y ,0 3)6- 3y . (11分)因为6-3y 024+0 3)6-3y 032=0202 3y 03y 2-123y +36=02 3y 03y 2-123y +36=1,所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程. (14分)当y P =-2 时,同理可得点A 的坐标也满足椭圆C 的方程, 综上,点A 在椭圆C 上.(16分)20.(1)由题意知F(x)=|x2-ln x-b|+2b+1,记t(x)=x2-ln x,x∈12,2,则t'(x)=2x-1x,令t'(x)=0,得x=2.(1分)当1<x<2时,t'(x)<0,函数t(x)在1,2上单调递减;当22<x<2时,t'(x)>0,函数t(x)在22,2上单调递增.又t12=14+ln 2,t(2)=4-ln 2,t22=1+ln22且t(2)-t12=154-2ln 2>0,所以函数t(x)的值域为1+ln22,4-ln 2.(3分)当b∈[1,3]时,记v(t)=|t-b|+2b+1,则v(t)=-t+3b+1,1+ln22≤t≤b, t+b+1,b<t≤4-ln2.因为函数v(t)在1+ln22,b 上单调递减,在(b,4-ln 2]上单调递增,且v1+ln22=3b+1-ln22,v(4-ln 2)=b+5-ln 2,v1+ln22-v(4-ln 2)=2b+ln2-92,所以当b≤9-ln24时,最大值M(b)=v(4-ln 2)=b+5-ln 2;当b>9-ln24时,最大值M (b )=v1+ln22 =3b+1-ln22. 所以M (b )=b +5-ln2,1≤b ≤9-ln2,3b+1-ln22,9-ln24<b ≤3.(5分)(2) 由题意知h (x )=ln xx(x>0), ①h'(x )=1-ln x 2,h'(x 0)=1-ln x0x 02, 所以y (x )=1-ln x 0x 02(x-x 0)+y 0. g (x )=ln xx -y 0-1-ln x 0x 02(x-x 0),且g (x 0)=0, (7分)g'(x )=1-ln x x 2-1-ln x 0x 02,g'(x 0)=0. 令G (x )=g'(x )=1-ln x x 2-1-ln x 0x 02, G'(x )=-3+2ln x 3, 所以g'(x )在(0,e 32)上单调递减,在(e 32,+∞)上单调递增. 若x 0<e 32,则当x ∈(0,x 0)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (x )<g (x 0)=0;当x ∈(x 0,e 32)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,g (x )<g (x 0)=0,不符合题意;若x 0>e 32,则当x ∈(e 32,x 0)时,g'(x )<0,g (x )单调递减,g (x )>g (x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x )>0,g (x )单调递增,g (x )>g (x 0)=0,不符合题意; 若x 0=e 32,则当x ∈(0,e 32)时,g (x )<0;当x ∈(e 32,+∞)时,g (x )>0,符合题意.综上,存在x 0满足要求,且x 0的取值集合为{e 32}.(10分)。

2024~2025学年度上学期高三期初试卷数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】借助百分位数定义计算即可得. 【详解】由60.53⨯=，故这组数据的中位数为7982+=. 故选：C.2. 已知集合{}2340A x x x =--≤，{}20B x x =∈->N ，则A B =（ ）A. {3,4}B. {0,1}C. {}1,0,1-D. {2,3,4}【答案】B【解析】由题意可得{}14A x x =-≤≤，{}|2B x x =∈<N ，则{0,1}A B =.故选：B.3. 已知0x >，0y >，4xy =，则2x y +的最小值为（ ）．A. 4B.C. 6D. 【答案】B【解析】由于0x >，0y >，所以2x y +≥=，当且仅当2x y ==2x y +的最小值为故选：B4. 由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ） A.23B.56C.34D.12【答案】A【解析】将234，，组成没有重复数字的三位数，共有33A 6=种， 而其中偶数有两种情况：①以为个位数的三位数，是342342，，共有2种 ②以为个位数的三位数，是234324，，共有2种 所以，这个三位数是偶数的情况共有224+=种， 所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则()4263P A ==. 故选：A.5. 若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）B.C.D.【答案】C【解析】如图，正三棱锥P ABC -，3PA PB PC AB AC BC ======， 取BC 中点，连接AD ABC 的中心，连接PO ， 由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面， ∴⊥PO 平面ABC即三棱锥P ABC -的高为PO ， ∵3AB AC BC ===，∴AD =，∴AO =∴OP ==∴111·33332P ABC ABCV S OP -==⨯⨯⨯= 故选：C6. 随机变量服从2N μσ（，），若13P X P X ≥≤（）＝（）， 则下列选项一定正确的是（ ） A 31P X ≥（）＝ B.1σ＝C. 2μ＝D. 311P X P X ≥≤（）＋（）＝【答案】C【解析】因为13P X P X ≥≤（）＝（），由正态分布的对称性，可得2μ=，正态分布方差无法判断，()31P X ≥<，()()311P X P X ≥+≤<，所以ABD 错误. 故选:：C7. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，点为侧面四边形11CDD C 的中心，则四面体11NCB C 的外接球的体积为（ ）A. 2πB. 4πC.D.3【答案】D【解析】如图：取1B C 中点，连结11111,,,,,NO NC NC NB ND B D ， 因为1111ABCD A B C D -的棱长为的正方体，所以11OC OB OC ===1112ON B D ==所以四面体11NCB C 的外接球的球心为为，且外接球半径R =所以四面体11NCB C 的外接球的体积34π3V ==. 故选：D.8. 已知定义域为R 的函数()f x ，满足()()()()()11f x f y f x y f x f y --++=，且()()00,10f f ≠-=，则以下选项错误的是（ ）A. ()10f =B. ()f x 图象关于()2,0对称C. ()f x 图象关于()1,0对称D. ()f x 为偶函数【答案】B【解析】对于A ，令1,0x y ==，则()(0)1(1)(1)(0)f f f f f +=，所以f (1)=0，故A 正确； 对于B ，令0x y ==，则()(1)1(0)(0)(0)f f f f f +=，即2(0)(0)f f =， 解得：()00f =或()01f =，因为()00f ≠，所以()01f =， 令1x y ==，()(0)0(2)(1)(1)f f f f f +=，所以(2)1f =-， 所以()f x 图象不关于(2,0)对称，故B 错误；对于C ，令1y =，则有()()()()()1011f x f f x f x f -++= 即()()110f x f x -++=，故()f x 图象关于(1,0)对称，故C 正确. 对于D ，令1y =-，则有()()()()()1211f x f f x f x f -+-=- 即()()110f x f x --+-=，即()()11f x f x -=-，即()()()11f x f x f x =--=-，因为函数()f x 的定义域为R ， 所以()f x 为偶函数，故D 正确. 故选：B .公众号：高中试卷君二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列求导运算正确的是（ ）A. 3(e 3e x x '=)B. 221x x x '⎛⎫= ⎪+⎝⎭C. (2sin 3)2cos x x '-=D. ()2ln 22x x x x '⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 【答案】CD【解析】对于A 选项，()()'333e e 33e xx x x '=⋅=，A 错误；对于B 选项，()()()()()()()()22222222212122122221212121x x x x x x x xx xx x x x '''⋅+-⋅+⋅+-⎛⎫+==⎪++++⎝⎭＝，B 错误；对于C 选项，()2sin 32cos x x '-=，C 正确；对于D 选项，()()()221122ln 22222x x x x x x x x x x x x x''--⋅--⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭--，D 正确. 故选：CD.10. 已知事件A 与B 发生的概率分别为()()34,55P A P B ==，则下列说法正确的是（ ） A. ()1225P AB = B. ()2|5P A B >C. ()2325P A B +=D. ()2|13P B A ≤≤【答案】BD【解析】对于A ，由于题目中没确定事件A 与B 是否相互独立，所以()()()34125525P AB P A P B =⋅=⨯=，不一定成立，故A 错误； 对于B ，由于()()()()()34155P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-≤，则()25P AB ≥，则()()()2125|4255P AB P A B P B =≥=>，故B 正确； 对于C ，由于题目中没确定事件A 与B 是否相互独立， 所以()()()()341223552525P A B P A P B P AB +=+-=+-=，也不一定成立，故C 错误； 对于D ，()()()225|335P AB P B A P A =≥=，故()2|13P B A ≤≤，故D 正确； 故选：BD.11. 函数y =f (x )的定义域为，区间D I ⊆，对于任意1x ，()212x D x x ∈≠，恒满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ） A. ()ln f x x = B. ()e xf x =C ()2f x x =D. ()f x =【答案】AD【解析】对A ：1x ，()20,x ∞∈+，()()12121212ln ln ln ln 2222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫≥⇔≥= ⎪⎝⎭由()ln f x x =在(0,+∞)上单调递增，故其等价于122x x +≥化简可得20≥，故满足题意，故A 正确；对B ：1x ，2x ∈R ，()()121212122e e e 222x x x xf x f x x x f ++++⎛⎫≥⇔≥ ⎪⎝⎭， 取11x =-，21x =，可得1202ee 1x x +==，121e e ee 22x x ++=，又11e e 2<+，故此时不满足题意，故B 错误；对C ：1x ，2x ∈R ，()()222121212122222f x f x x x x x x x f ++++⎛⎫⎛⎫≥⇔≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()2120x x -≤恒成立，不满足题意，故C 错误； 对D ：1x ，[)20,x ∈+∞，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥⇔≥ ⎪⎝⎭左右平方后化简可得20≥，故满足题意，故D 正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.【答案】516【解析】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布1~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()()()44341153342216P X P X P X C ⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：51613. 已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =_______．【答案】22x x -（答案不唯一） 【解析】设f (x )=ax 2+bx +c ， 则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δf x f a x b x c a b c a x a b x x+-++++-++==+++-，由题意知223a a b =⎧⎨+=⎩，解之得21a b =⎧⎨=-⎩，显然c 的取值不改变结果，不妨取0c =，则()22f x x x =-.故答案为：22x x -14. 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD 的正四面体ABCD 的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD 内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．【答案】2 【解析】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球， 由对称性知，勒洛四面体ABCD 内切球球心是正四面体ABCD 的内切球、外接球球心，正BCD △外接圆半径13O B =，正四面体ABCD的高13AO ==，设正四面体ABCD 的外接球半径为，在1Rt BOO △中，222()()33R R =-+，解得2R =， 因此，勒洛四面体ABCD内切球半径为2故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．（1）求一位顾客抽到的2（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．【答案】（1）45（2）答案见详解 【解析】【小问1详解】从6张奖券中，任取2张奖券共有2615C =种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法， 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为1534155P -==. 【小问2详解】的所有可能取值为80，85，90，()1122261C C 2380C 5P X +⋅⨯===，()1122261C C 185C 3P X +⋅===， ()261190C 15P X ===， X ∴的分布列为：()80859053153E X ∴=⨯+⨯+⨯=. 16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA =//AD BC ，1AD =，2AB BC==，AD ⊥平面PAB ，PD AB ⊥，E ，F 分别是棱PB ，PC 的中点．（1）证明：//DF 平面ACE ； （2）求二面角A CE B --的正弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2【解析】【小问1详解】如图，连接EF ，因为,E F 分别为,PB PC 的中点，所以//EF BC ，12EF BC =， 又//AD BC ，12AD BC =， 所以//EF AD ，EF AD =，所以四边形ADFE 是平行四边形，则//DF AE ， 因为AE ⊂平面ACE ，DF ⊄平面ACE ， 所以//DF 平面ACE . 【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,PA AB ⊂平面PAB ， 所以AD AP ⊥，AD AB ⊥，又AB PD ⊥，,AD PA 是平面PAD 内两条相交直线，AB ∴⊥平面PAD ，又PA ⊂，AB PA ∴⊥，所以,,AB AP AD 两两互相垂直，以为坐标原点，AB ，AP ，AD 的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，()2,0,0B ，()2,0,2C ，()0,0,1D ，()E ，()2,0,2AC =，()AE =，()0,0,2BC =，()BE =-，设平面ACE 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则1100n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112200x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令11y =-，得1x =1z =(13,1,n ∴=-， 设平面BCE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200z x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21y =，得2x =，20z =， ()23,1,0n ∴=， 设二面角A CE B --的平面角为，12123cos77n n n n θ⋅-∴===⋅，则sin 7θ=. 所以二面角A CE B --的正弦值为7. 17. 我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：()222,a b ab a b +≥∈R ，当且仅当a b=时，222a b ab +=等号成立．公众号：高中试卷君（1）证明“三元不等式”：3333a b abc +≥+[)(),,0,a b c ∞∈+ ．（2）已知函数()22f x x x=+． ①解不等式()5f x ≥；②对任意x ∈(0,+∞)，()22f x m m ≥+恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）①((][),10,12,x ∞∞∈--⋃⋃+；②[]3,1-.【解析】小问1详解】因为[),,0,a b c ∞∈+，则()()()3322323222a b a b b a a a b b b a a a b b b a +-+=-+-=-+-()()()()2220a b a b a b a b =--=-+≥（当且仅当a b =时取等），所以3322a b a b b a +≥+（当且仅当a b =时取等），同理3322a c a c c a +≥+（当且仅当a c =时取等），3322b c b c c b +≥+（当且仅当c b =时取等）， 三式相加可得：()()()()3332222222222222a b c a b b a a c c a b c c b a b c b c a c a b ++≥+++++=+++++， 又因为2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥，所以()33322226a b c abc abc abc abc ++≥++=，所以3333a b c abc +≥+（当且仅当a b c ==时取等）.【小问2详解】①由()5f x ≥可得：225x x +≥， 所以3250x x x +-≥，即32222420x x x x x x -+--+≥，即()()()222220x x x x x x -+---≥，则()()22210x x x x -+-≥，所以()(21100x x x x x ⎧-+++≥⎪⎨≠⎪⎩，解得：((][),10,12,x ∞∞∈--⋃⋃+②因为当x ∈(0,+∞)时，()2221133f x x x x x x =+=++≥=， 当且仅当211x x x ==，即1x =时取等，所以当x ∈(0,+∞)时，()min 3f x =，对任意x ∈(0,+∞)，()22f x m m ≥+恒成立，则()()2min 213m m f x f +≤==，所以2230m m +-≤，解得：31m -≤≤.所以实数的取值范围为：[]3,1-.18. 在如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1145A AB A AD ∠=∠=，160,1,2,BAD AB AD AA ∠====（1）求1AC 的长度；（2）求二面角1B AA D --的大小；（3）求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积．【答案】（1）（2）π2（3）【解析】【小问1详解】根据图形可知：111AC AB BC CC AB AD AA =++=++， 则2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AD AA AB AA =++=+++⋅+⋅+⋅ 148212cos60222cos452222cos45=+++⨯⨯+⨯+⨯⨯=【小问2详解】公众号：高中试卷君作11,BE AA DF AA ⊥⊥，则,EB FD 等于二面角1B AA D --的一个平面角，因为1145A AB A AD ∠=∠=，11,2,AB AD AA ===则2cos 45,cos 45222AE AB AF AD BE DF =⋅==⋅=⇒== 易知()()EB FD EA AB FA AD EA FA EA AD AB FA AB AD ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅12cos13521cos13512cos602=+⨯+⨯⨯+⨯⨯0=， 所以cos ,0EB FD EB FD EB FD ⋅==⋅，所以π,2EB FD =， 即二面角1B AA D --的大小为π2； 【小问3详解】由（2）知BE ⊥平面11ADD A ，而四边形11ADD A 的面积14S AA DF =⨯=，则平行六面体1111ABCD A B C D -的体积4V BE =⋅=.19. 已知函数()2e 1e x xf x ax -=+．（1）函数()y f x =是否具有奇偶性?为什么?（2）当1a =-时，求()f x 的单调区间；（3）若()f x 有两个不同极值点1x ，2x ，证明：()()1278f x f x +<．【答案】（1）函数()y f x =不具有奇偶性（2）()f x 的单调递增区间为(),0-∞，单调递减区间为()0,∞+（3）证明见解析【解析】【小问1详解】()22e 1e e e x x x x f x ax ax ----=-=--，而()2e e x xf x ax --=-+，显然()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，故函数y =f (x )不具有奇偶性.【小问2详解】1a =-时，()2e 1e x xf x x -=-，()()()()222422e e 2e e 1e 2e 12e e 1e e e x xx x x x x x x x x f x ---+---=-=='，故当0x <时，f ′(x )>0，()f x 在(),0∞-上单调递增，当0x >时，f ′(x )<0，()f x 在(0,+∞)上单调递减，故()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为(0,+∞)【小问3详解】()222e e ex xx a f x -+'=， 因为()f x 有两个不同极值点1x ，2x ，故()0f x '=即202e e x x a -+=有两个不等的实根， 令e x t =，所以202a t t -+=有两个不等的正数根12,t t ， 所以1212Δ1801020a t t a t t a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，得108a <<，且1212e ,e x x t t ==， 所以()()()12121212121222221211e 1e 1ln ln e e x x x x t t f x f x ax ax a t t t t ----+=+++=+++ ()()()2212121212122212221142221ln ln 44t t t t t t t t a a a a a t t a a a t t a a a ⋅-++-++=+=+=++， 设()21ln 4g a a a a =++，()221ln 1ln 0g a a a -='=+>， 所以()g a 在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()11113ln 2317ln16888482828g a g ⎛⎫<=++=+<+= ⎪⎝⎭， 故()()1278f x f x +<. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据题意转化为202a t t -+=有两个不等的正数根12,t t ，进而得108a <<，且1212e ,e x x t t ==，再得 ()()1221ln 4f x f x a a a +=++，利用单调性可证()()1278f x f x +<.。

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" R x : 9 /49$%4,#%,! m : 9 /$9,"%,! !,:3##.9.% 9,%,! %/9.-$:3#012!!"|/: 9 B !,:3##%Zyz { B % -$:3#Zyz } ~:!,:3##/"%,!$:3## : -$:3# /%,'$:3#:!,:3# #$: -$:3# /#%,:3#$)##$Q %.)$:3#-R 9:b ; % /: -$:3# /%,'$:3#Q %,)$:3#-R 9:b ; % /:!,:3##/"%,!$:3###$; % /%,'$:3# !.%.)$:3#- "%,!$:3##)$:3#-/%.-012! '*# < 4 /:344<3 4 /!$:344# <3 4* /!$:34*4#* #$5 4 /!$:34*4#*4$4* ,5* = 4 /:344$5*$!$:34*4#*4$4* = 4* /*! +*=3 4 /!$:344#$!$:34*4#* =3 4* /*!`> 4 /=3 4 /!$:344#$!$:34*4#*>3 4 /$",#:344"#$=3 4 B * ."# Zyz { B ."# ,( Zy z }!4*/."# mQ 4" * 4* R =3 4 ,* = 4 yz } = 4 /=4* /* Q 4" 4* ."# R =3 4 /* = 4 yz { =4 /=4* /* 7 NO 4*,."mQ 4" ."4* R =3 4 /* = 4 yz { = 4 ,=4* /* Q 4" 4* ,( R =3 4 ,* = 4 yz } = 4 ,=4* /* 7 NO 4*/."# mQ 4" * ."# R = 4 /* 4" ."# ,( R = 4 ,* NO !YZ ^B 4*tu ~4*?ab "."! !**!" O? /+ ^B /4* &? 4* /+,q #$|/5/? 4 ?b " l /!5/!#.4B @ ,( Z 8}|/b "@#. ,(!!!*|/5/:344 53/!$:344#Q 4/.R 53/* Q 4,.R 53,* 5B . ,( Z"yz}|/ Q */4/.R 53/* 5B * . Z"yz{|/! @,. m|/5/:344B * . Z8}|/ B . @ Z8{|/ b "$( !. +!./@#.7 NO VW !"**/@.. m|/5/:344B * @ Z8}|/ b "$( :3@@%NO&@#..:3@@n @#$#.:3@.*!! x A @ /@#$#.:3@ A 3 @ /#@$#.@/# @#$. @Q */@/槡.R A 3 @ /* A @ B * 槡. Z"yz{|/Q @,槡.R A 3 @ ,* A @ B 槡. . Z"yz}|/!#$Q @槡/.R A @ 9 b A 槡. /* 45A @ -* ,q Q~ Q @槡/.R A @ /* !! !'*% & A @ /* #$@槡/.!YZ#[ /@?ab " 槡. ! !&*!"#$%&!"#$'()*+,-./012;<=3/456789:!#, !#!,-;<")#m )")(/)#! #* !""#/"$##$)"$#/)###$)"$#/)")(! -* !""2$#$##$)"$#/)$"(##$)$"(/)")(! &* +)"$(/))"(##$#"$((#)"(! 4* #$$("(/"()(#n "(#/())($! !** .-%NO_&#-'%%'%!!/4;'%!!#&,#/4#-,%/4!#U&&/&#%/-!# '* #$&#'%--$!'%#/$#'%-##$A 6?rs"$$##-&! !** /- 7 "oHrsef"4槡,"5,-/*! "*B $Z a A "$槡&012 #槡#2%3 &# "'*##&#m A " oL 7? "*/4槡&012 槡,&2%3 ,-4#/槡#"2%3 , $&-,-#/槡#"2%3 ,$&-,-#! +* Q / -R #*a&9:b #9:b"槡#,"#MR "A"$槡"#!&! !** 0-!"4-$454#$-44$54#/$-$45,#4$#5&$-$45$#4,#5&#* /$#,4&$#$5&$#$4&$#,5&/$-$4#&$-$5#&,*# +*+444/##454/###$4-$454,#44$54! !** !!!!!$!&$""r sA # qi # ? ¡o H r s¢"45B #m "$*#*#*&##$!#*#*&#$$!#!#*&#(!$*#!#!&##!$!#$!#!&#k 8$&#%#*&#m (!568/$&#%$!#$!&# "* %(!568)56"$/&,%$!/*#(!568)"#56!/&$%/*!#&&/%/!## '*#$8!##!##$&*#n 8""$?@A ! &*$#&%$!&waEF #!"$? £¤¥¦ !/(!568/!##$!##$&$!! +* kEF #!"#?¤¥¦ #/$4#5#B &#% #)56"#/4/*# #)"#56!/4$5,B /*!#&4/*#5/B !#a #/$*#!#!&! 4* m 012+ !# #,/$"#槡#;槡"#/$槡"## )* #$§FH $#!"#?EFH?¨2b"槡"#! !** !%!$!&%&,$&,$!/$&,&$!&$&,,!$&$,$!&&$&$!$&,$&$,&$&$!/&,,#$&$,$#&$&$!/&,,!! "* $#&©ªQ ,$,"1+&"«/R #&,/7,C D*$$!&C <C ,$C%,$#C ! -*jF¬/­®¯¤gh°£©ª!Q ,/#R #&#/&"$&$"&$&$!/&#,!,&$#/&,!$&&#$!/%#$!#±²,q ! 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）18．已知数列满足，.{a n }12a =132(N )n n a a n *+=+∈(1)求证：数列为等比数列；{}1n a +(2)设，求数列的前项和.(1)n n b n a =+{b n }n n S 19．已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.,a b ()e 1x f x ax b =-+-e 2.71828= (1)讨论函数的单调性；()f x (2)若对任意的恒成立，求的最小值.()R,0x f x ∈≥a b +答案：题号12345678910答案C A A D B A A D ABD ABD 题号11 答案ABD1．C 【详解】由题意可知：，(){}{}{}2|log 1|10|1A x y x x x x x ==-=->=>，所以.{}{}|2|0x B y y y y -===>()1,A B ⋂=+∞2．A 【详解】，故A 错；，故B 正确；()()()21i 222i1i 1i 1i 1i 2z ----====---+-+--()221i 2iz =--=的虚部为-1，故C 正确；，故D 正确.z ()()22112z =-+-=3．A 【详解】由，，若，则，解得或，()1,1a =-()22,b x x =-a b ∥22xx =-2x =-1x =故“”是“”的充分不必要条件，2x =-a b∥4．D 【详解】函数是R 上的增函数，，解得.(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩1402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩48a ≤<5．B 【详解】求导可得，所以切线的斜率为，()()2221212121x xy x x ---'==--1k =-所以切线方程为，即，()11y x -=--20x y +-=6．A 【详解】因为,又因为,所以221sin ,sin cos 13ααα=+=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,22122cos 1sin 133αα⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭所以.π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯=⎪⎝⎭7．A 【详解】由题意可知，601545,906030,453015,DAC CAB CBD ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒，45ABD ∠=︒所以在中，ABD 304575,DAB ∠=︒+︒=︒180754560,ADB ∠=︒-︒-︒=︒因为，()62sin 75sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304+︒=︒+︒=︒︒+︒︒=，()62cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 304+︒=︒-︒=︒︒+︒︒=由正弦定理可得：，则，解得：sin 60sin 75AB BD =︒︒6032624BD =+，2660410630232BD +⨯==+在中，所以，所以在，由余弦定理可得：ABC V 180306090,ACB ∠=︒-︒-︒=︒30BC =BDC ，2222cos15DC BD BC BD BC =+-⋅︒()()22610630290021063023015004+=++-⋅+⋅⋅=所以.1015km DC =8．D 【详解】数列的前项和为，且满足，且，{a n }n n S 122,3a a ==21n n n a a a +++=可得，，所以数列3214325431,2,3a a a a a a a a a =-==-=-=-=-6547651,2,a a a a a a =-=-=-= 是周期为6的数列，其中，所以.{a n }1234560a a a a a a +++++=202433762125S S a a ⨯+==+=9．ABD 【详解】对A ，因为函数在上均单调递增，则在上单1,y x y x ==-()0,∞+1y x x =-()0,∞+调递增，若，则，即，故A 错误；对B ，令，解得1a b >>11a b a b ->-11a b b a +>+2280y x x =--=或4，则其零点为或4，故B 错误；对C ，，解得，则2x =-2-2320x x -+<12x << ，{}|12x x <<{}|2x x <则是成立的充分不必要条件，故C 正确；对D ，令，则，2320x x -+<2x <24t x =+2t ≥，，1y t t =+2t ≥根据对勾函数的单调性知：在上单调递增，，故D 错误.1y t t =+[)2,+∞min 15222y ∴=+=10．ABD 【详解】由题得)cos(2))cos(2)662ππ2π2π()sin(22sin(2266f x x x x x ++=⎥++⎡⎤=++⎢⎣⎦，πππ2sin(2)2sin(2)6412x x 5=++=+对于A ，函数最小正周期为，故A 正确；2ππ2=对于B ，函数最大值为，故 B 正确；2对于C ，将函数的图象向左平移个单位可得到函数解析式为2cos 2y x =π24，2cos 22cos(2)2sin(2)2sin(2)1ππππ7π24122212y x x x x ⎛⎫=+=+=++=+ ⎪⎝⎭所以该函数图象不会与已知函数的图象重合，故C 错误；对于D ，当，，因为正弦函数在区间上单调递减，13(,)24π4π2x ∈532(,)122π2ππx +∈sin y x =π3π(,)22所以函数在区间上单调递减，故D 正确.()y f x =π13π(,)242411．ABD 【详解】由于函数的定义域为为偶函数，()f x (),1f x -R 则，即，则的图象关于直线对称，A 正确；()()11f x f x --=-()()2f x f x --=()f x 1x =-又为奇函数，则，即，()1f x +()()11f x f x -+=-+()()2f x f x -+=-故的图象关于点对称，B 正确；()f x ()1,0由于，令，则，()()11f x f x -+=-+0x =()()()11,10f f f =-∴=又的图象关于直线对称，故，C 错误；()f x 1x =-()()310f f -==又，，则，()()2f x f x --=()()2f x f x -+=-()()22f x f x --=--+故，即，则，即的一个周期为8，D 正()()22f x f x -=-+()()4f x f x +=-()()8f x f x +=()f x 确，12．【详解】由题意知，则593tan 4α=；()2212AC AB AD AB AB AC AD AD AB AD =⋅+⋅--⋅-+⋅.()14cos 604cos 6044cos 6044cos 6022=+---+=- 15．【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，，2cos c b a B +=sin sin 2sin cos C B A B +=又代入上式得，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B 由，则为锐角，且，所以.π2A =B c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝π4B =（2）由（1）知，，因为，，所以，则，()sin sin B A B =-2a =1b =A B >0πA B <-<，π02B <<故，或（舍去）.所以，又，，B A B =-πB A B A +-==2A B =2a =1b =由正弦定理得，则，则，sin sin 22cos 2sin sin A B a B B B b ====2cos 2B =π4B =由余弦定理得，则，化简得，解得，2222cos b a c ac B =+-2212222c c=+-⨯2210c c -+=1c =所以.故△ABC 的面积为.1121sin 22222ABC S ac B ==⨯⨯= 1216．【详解】（1）()233sin 3sin cos 22f x a b x x x =⋅+=++ 1cos 233sin 2222x x -=++，令，31sin 2cos 2222x x =-+πsin 226x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z 解得，所以的单调递减区间为π5ππ6, π3k x k k +≤≤+∈Z ()f x π5πππ,,36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）由（1）知，因为，所以，()πsin 226f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π,4x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2ππ22,636x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为在区间上的最大值为3，所以在区间上的最大值为，()f x π,4m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π,4m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3所以，即，所以的最小值为.ππ262m -≥π3m ≥m π3) 23所以,计算得，所以不符合,2π·32cos 4·223m n m n λ===⨯+ 232λ=62λ=±[]0,1λ∈不存在线段上点E ，使得平面与平面的夹角为.11C D EBD 11ABB A π418．【详解】（1）证明：因为，所以，又，所以，132n n a a +=+113(1)n n a a ++=+113a +=1131n n a a ++=+故数列是首项为，公比为的等比数列.{}1n a +33（2）由（1）知，数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，即{}1n a +11333n n n a -+=⋅=，31n n a =-所以，，则，(1)3n n n b n a n =+=⋅231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯ 两式相减得，231233333n n n S n +-=+++-⨯ ()()11313131233132n n n n n ++-⎡⎤=-⨯=--⎣⎦-所以.()1121334n n S n +⎡⎤=-+⎣⎦19．【详解】（1）易知，因为，所以，R x ∈()e 1x f x ax b =-+-()e x f x a '=-当时，恒成立，此时在上单调递增，0a ≤()e 0x f x a ='->()f x R 当时，由，得到，0a >()e 0x f x a '=-=ln x a =当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间ln x a <()0f x '<ln x a >()0f x '>()f x (,ln )a -∞上单调递增，(ln ,)a +∞综上，时，在上单调递增，时，的减区间为，增区间为.0a ≤()f x R 0a >()f x (,ln )a -∞(ln ,)a +∞（2）因为当时，时，，0a <x →-∞()f x →-∞（3）由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，()R,0x f x ∈≥0a >()ln ln e ln 10a f a a a b =-+-≥即恒成立，得到，ln 10a a a b -+-≥ln 1b a a a ≥-+所以，ln 1ln 1a b a a a a a a +≥+-+=+令，则，由，得到，()ln 1g x x x =+()ln 1g x x '=+()ln 10g x x +'==1e x =当时，，时，，10e x <<()0g x '<1e x >()0g x '>所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，()ln 1g x x x =+1(0,)e 1(,)e +∞所以，故的最小值为.1111()()ln 11e e e e g x g ≥=+=-a b +11e -。

S数学I试卷第1 页(共12 页)

S←１I←１While I5 S←S＋2 I←I＋1 End While Print S（第4题）苏北四市2016届高三第一次模拟考试数学试卷参考公式：锥体的体积公式：13VSh，其中S是锥体的底面面积，h是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1．已知集合{0,}Aa，{0,1,3}B，若{0,1,2,3}AB，则实数a的值为▲　．2．已知复数z满足24z，若z的虚部大于0，则z▲　．3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90 km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h以下的汽车有▲　辆．4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为▲　．5．函数()2sin()(0)fxx+的部分图象如图所示，若AB= 5，则的值为▲　．6．若随机安排甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天值班的概率为▲　．7．抛物线24yx的焦点到双曲线221169xy渐近线的距离为▲　．8. 已知矩形ABCD的边4AB，3BC，若沿对角线AC折叠，使平面DAC平面BAC，则三棱锥DABC的体积为▲　．9．若公比不为1的等比数列{}na满足21213log()=13aaa，等差数列}{nb满足77ba，则1213+bbb的值为▲　．10.定义在R上的奇函数()fx满足当0x≥时，2()log(2)(1)fxxaxb（,ab为常数）.若(2)1f，则(6)f的值为▲　．11.已知||=||=2OAOB，且=1OAOB．若点C满足||=1OACB，则||OC的取值范围是▲　．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。频率组距速度(km/h) 0.01 0.02 0.03 0.04 50 60 70 80 90 （第3题）x y O A B 2

【答案】{}0,1．【命题立意】本题旨在考查集合的概念和交集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小． 【解析】{}{}12,1,0,1A x x B =-<<=-，根据交集定义可得{}0,1AB =．【答案】5±．【命题立意】本题旨在考查复数及模的概念与复数的运算，考查运算求解的能力. ，难度较小． 【解析】由题意得243z a =+= ，即25a =，解得5a =±．【答案】56． 【命题立意】本题旨在考查古典概型的求法，枚举法在求古典概型中的应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】随机地抽取2个数总可能数为6种，两个数之积为偶数的为：1，2；1，4；2，3；2，4；3，4，共有5种，那么所取的2个数之为偶数的概率为56P =．【答案】21【命题立意】本题旨在考查算法伪代码，考查学生的阅读能力．考查推理运算能力，难度较小。

【解析】模拟执行程序，开始有I=1，S=0，此时满足条件S ≤10；接下来有I=2，S=1，此时满足条件S ≤10；接下来有I=3，S=1+4=5，此时满足条件S ≤10；接下来有I=4，S=5+16=21，此时不满足条件S>10，退出循环，输出S=21．【易错警示】此题容易出错的地方就是循环的结束的确定．【答案】2000．【命题立意】本题旨在考查统计的概念，直方图．考查概念的理解和运算能力，难度较小.【解析】由题意得，被调查的10000户家庭中，消费额在1000元以下的户数有：（0.0001+0.0003）×500×10000=2000户．【答案】63．【命题立意】本题旨在考查等比数列的基本运算，等比数列的求和，考查学生的运算能力，难度中等. 【解析】由等比数列前n 项和的性质232,,,n n n n n S S S S S -- 成等比数列，则24264,,S S S S S --成等比数列，()()26153315S -=⨯-，解得663S =．法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ．显然q ≠1，由题意得⎩⎨⎧a 1(1－q 2)1－q ＝3a 1(1－q 4) 1－q＝15．解之得：⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝±2．所以，S 6＝1－q 61－q ＝63．法二：由等比数列的性质得 q 2＝S 4－S 2S 2＝4，(下同一)法三：由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列 所以 (S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，得S 6＝63．【答案】22112x y -=． 【命题立意】本题旨在考查双曲线的标准方程，双曲线几何性质，渐近线等概念．考查概念和运算和推理能力，难度中等.【解析】法一： 由题意可得221112a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得22121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．故双曲线的方程为22112x y -=．法二：设所求的双曲线方程为：2x 2－y 2＝λ，因为点P (1，1)，所以λ＝2－1＝1．所以，所求的双曲线方程为：2x 2－y 2＝1．【答案】112． 【命题立意】本题旨在考查多面体的概念，三棱锥的体积求法．考查计算能力，难度较小． 【解析】根据等体积法可得1111111132212B ADE D AB E V V --==⨯⨯⨯⨯=． 法一：V B 1－ADE ＝V D －AB 1E ＝13×AD ×S △AB 1E ＝13×1×12×1×12＝112．法二：因为AD ⊥B 1E ，所以V B 1－ADE ＝16×AD ×B 1E ×d ×sin θ＝16×1×12×1×1＝112．(其中d 为异面直线AD 与B 1E 的距离，θ为异面直线AD 与B 1E 所成的角)． 法三：设F 、G 、H 分别为棱CC 1、DD 1、AA 1的中点， 则V B 1－ADE ＝12V B 1－ADEF ＝16×V B 1C 1GH －ADEF ＝112V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝112．【答案】1-．【命题立意】考查函数，分段函数的概念，函数的奇偶性，函数的求值等基础知识．考查数形结合的思想方法，考查分析问题、解决问题的能力，难度中等. 【解析】法一：因为函数f (x )为奇函数，所以 f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎨⎧1(1－b )＝a (－1+2)2(2－b )＝2a (－2+2)，解得a ＝－1，b ＝2．经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件． f (a +b )＝f (1)＝－1．法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称． 当x ＞0，二次函数的图象顶点为(b 2，－ b 24)．当x ＜0，二次函数的图象顶点为(－1，－a )．所以，－b 2＝－1，－b 24＝a ，解得a ＝－1，b ＝2．(下略)．【答案】59． 【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本性质，诱导公式，两角和与差三角函数，三角函数的恒等变换，考查运算能力，难度中等. 【解析】225sin sin sin sin 63626x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 25sin 1sin 669x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．法一：sin(x －5π6)＝sin(x ＋π6－π)＝－sin(x ＋π6)＝－13．sin 2(π3－x )＝cos 2(x ＋π6)＝1－sin 2(x ＋π6)＝1－19＝89，所以sin(x －5π6)+sin 2(π3－x )＝89－13＝59．法二：sin(x －5π6)+sin 2(π3－x )＝－sin(x ＋π6)+12－12cos(2π3－2x )＝－13+12+12cos(2x +π3)＝－13+12+12［1－2sin 2(x ＋π6)］＝59．【答案】22,22⎡⎤-⎣⎦．【命题立意】本题旨在考查直线与圆的位置关系，点到直线距离．考查学生的运算能力，灵活运用有关知识解决问题的能力．难度中等.【解析】法一：设满足条件P A ＝2PB 的P 点坐标为(x ，y )，则(x －4)2+y 2＝4(x －1)2+4y 2，化简得x 2+y 2＝4．要使直线x －y +m ＝0有交点，则|m|2≤2．即－22≤m≤22．法二：设直线x －y +m ＝0有一点(x ，x +m )满足P A ＝2PB ，则 (x －4)2+(x +m )2＝4(x －1)2+4(x +m )2． 整理得2x 2+2mx +m 2－4＝0 (*)方程(*)有解，则△＝4m 2－8(m 2－4)≥0， 解之得：－22≤m ≤22．【答案】3．【命题立意】本题旨在考查向量的线性运算，向量的数量积，向量的坐标运算．考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力．难度中等.【解析】法一：设AB →＝→a ，AC →＝→b ．则→a ·→b ＝8．设AP →＝λAB →+μAE →＝λ→a ＋μ3→b ，AP →＝ηAD →＝η2→a +η2→b ，又B 、P 、E 三点共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝η2μ3＝η2λ+μ＝1解之得：λ＝14，μ＝34，η＝12．PB →＝AB →－AP →＝34→a －14→b ，PD →＝14→a +14→b ，PB →·PD →＝(34→a －14→b )(14→a +14→b )＝116(3→a 2＋2→a ·→b －→b 2）＝3．法二：以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，B (－2，0)，C (－2，0)，A (0，23)，E (23，433)，P (0，3)．所以，PB →·PD →＝(－2，－3)·(0，－3)＝3．【答案】43．【命题立意】本题旨在考查导数的概念，函数的切线方程．考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力，难度中等.【解析】由题设函数y ＝x 2在A (x 1，y 1)处的切线方程为：y ＝2x 1 x －x 12， 函数y ＝x 3在B (x 2，y 2)处的切线方程为y ＝3 x 22 x －2x 23．所以⎩⎨⎧2x 1＝3x 22x 12＝2x 23，解之得：x 1＝3227，x 2＝89． 所以x 1x 2＝43．【答案】124．【命题立意】本题旨在考查二次函数、函数性质、基本不等式、绝对值的概念. 考查恒等变换，代换技巧，抽象概括能力和综合运用数学知识解决问题能力，难度中等. 【解析】法一：由|f (x )|≤1，得|2a +3b |≤1， 所以，6ab ≤|2a ·3b |＝|2a +3b －3b |·|3b |≤22333()2a b b b +-+≤21(23)4a b +≤14．且当2a ＝3b ＝±12时，取得等号．所以ab 的最大值为124．法二：由题设得⎩⎨⎧f (0)＝3b f (1)＝2a +3b⇒⎩⎨⎧a ＝12(f (1)－f (0)) b ＝13f (0)，ab ＝16(f (1)－f (0))f (0)≤16(f (1)2)2≤124．【答案】（1）23π；（23【命题立意】本题旨在考查三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、向量的数量积等基本知识，考查运算求解能力．难度较小．【解析】【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．难度较小．【解析】【答案】（1）22182x y+=；（2）12y x=-．【命题立意】本题旨在考查直线、圆、解三角形等基础知识，考查学生的抽象概括能力、运算求解能力，建系能力，考查学生的数学应用意识．难度中等．【解析】【答案】（1）①()21sinsin22Sαπαα+⎛⎫=<<⎪⎝⎭②()3211tS tt=>-；（233【命题立意】本题旨在考查椭圆的标准方程和几何性质，直线与椭圆的交点，直线斜率等基础知识．考查运算能力．难度中等．【答案】（1）函数()f x 的单调增区间为()2,e -+∞，单调减区间为()20,e -；（2）当12a e ->时，()f x 的零点个数为0；当12a e -=时，或0a ≤时，()f x 的零点个数为1；当102a e -<<时，()f x 的零点个数为2．【命题立意】本题旨在考查函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．难度较大．【答案】（1）①121n n a -=+；②略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查数列的概念、等差数列、等比数列的的通项公式与求和公式、不等式的求解等基本性质．考查学生创新意识．难度较大． 【解析】【答案】18 5【命题立意】本题旨在考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识，考查推理论证能力．难度较小．【解析】【答案】112或【命题立意】本题旨在考查矩阵乘法，矩阵相等，矩阵的逆等基础知识，考查学生的运算能力．难度较小．【答案】sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 【命题立意】本题旨在考查抛物线的参数方程、参数方程化普通方程、直线与曲线的交点、直线被曲线所截的弦长．考查数形结合思想和运算求解能力．难度较小．【答案】略【命题立意】本题旨在考查算术—几何平均不等式等基本知识，考查应用综合法、分析法证明不等式，考查学生推理论证能力．难度较小．【答案】（1）34141；（2）4242【命题立意】本题旨在考查空间向量，空间坐标系，向量的运算，直线与直线所成的角，二面角的求法等基础知识．难度中等．【答案】（1）()()()()11cos 1sin f x x x x x =++--， ()()()22sin 2cos f x x x x x =-+--；（2） ()()()sin cos 22n n n f x x n x x n x ππ⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，证明略．word专业资料-可复制编辑-欢迎下载【命题立意】本题旨在考查导数，三角函数，递推方法，数学归纳法等基础知识．考查学生探究能力和推理论证能力．难度较大．。

DCBAP江苏省镇江市第一中学2016届上学期期中考试第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1.已知集合{}|12A x x =-≤<，集合{}|1B x x =<，则A B ⋂= .2.某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人.现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 人. 3．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝2+b i ，z 2＝1－2i ，若12z z 是实数，则实数b = . 4．根据如图所示的伪代码，已知输出值为1，则输入值 ．5．已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ．6．已知||2a = ，||3b = ，,a b 的夹角为120 ，则|2|a b +=_________.7．已知一元二次不等式()0f x >的解集为()(),12,-∞⋃+∞，则(l g )0f x <的解集为 ．8. 设α为锐角，若9．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD，底面ABCD 是菱形，若 2,60AB BAD ︒=∠=.则当四棱锥P ABCD -的体积等于时，则PC = .10. 在平面直角坐标系xOy 中,过点(4,3)P 引圆222:()1(04)C x y m m m +-=+<<的两条切线,切点分别为A 、B ,则直线AB 过定点.11．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a =1，若10p q-=，则p q a a -==x12．若曲线ln y a x =与曲线212y x e =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则st= . 13．已知 ABCD 的面积为2，P 是边AD 上任意一点，则22PB PC + 的最小值为 ．14. 设函数348,12,2()1(), 2.22x x f x x f x ⎧--⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩≤≤，则函数()()6g x xf x =-在区间2015[1,2]内的所有零点的和为 .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cos C =230a c -=． （2）若π(0,)3∈B ，且4cos()5A B -=，求sin B ．16.（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．17.（本小题满分14分）某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收.园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形ABCD 作为绿化区域，其余NDCBAP作为市民活动区域.其中ABD ∆区域种植花木后出售，BCD ∆区域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为a 元，花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍. 若6BC = km ，4AD CD == km（1）若BD =km ，求绿化区域的面积；（2）设BCD θ∠=，当θ取何值时，园林公司的总销售金额最大.18. (本小题满分16分) 已知A,B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右顶点，F 为其右焦点，在直线4x =上任取一点P （点P 不在x 轴上），连结PA,PF ,PB ．若半焦距1c =，且2PF PA PB k k k =+（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线PF 交椭圆于,M N ，记△AMB 、△ANB 的面积分别为S 1、S 2，求12S S 的取值范围．19.（本小题满分16分）已知函数()()ln R =+∈f x ax x a ，2()ln x g x x x=-．（1）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（2）若()()()h x f x g x =-恰有三个不同的零点123,,x x x （123x x x <<）． ①求实数a 的取值范围；②求证：2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等比数列． （1）设11a =，48a =． ①若22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ，*N ∈n ，求实数M 的值； ②若在11a 与41a 之间插入k 个数12,,,k b b b ，使得12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，求这k 个数的和k S ；（2）若一个数列{}n c 的所有项都是另一个数列{}n d 中的项，则称{}n c 是{}n d 的子数列.已知数列{}n b 是公差不为0的等差数列，11b a =，22b a =，3m b a =,其中m 是某个正整数，且3m ≥，求证：数列{}n a 是{}n b 的子数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修4-1：几何证明选讲）如图，BCD 内接于O ，过B 作O 的切线AB ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，且DB BE ⊥.求证：DB ＝DC .B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρθ=.若点P的坐标为(，求PA PB +的值.D ．（选修4-5：不等式选讲）若关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为()1,2,求函数()((f x a b =--.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2,（1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？ （2）求锐二面角O-CE-B 的余弦值.23. （本小题满分10分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且当2n ≥时，1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：当2n ≥时，2224n n a a n n a a +-+≤.参考答案第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. [)1,1-.2. 600. 3．-4. 4．-1 . 5．23. 【解析】m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2，直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6．. 7．()10,100 . 8. 2425. 【解析】因为α所以6πα+24sin(2)2sin()cos()36625πππα+=α+α+=，又因为cos(2)sin(2)63ππα-=α+，所以24cos(2)625πα-=. 9【解析】因为，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD ︒=∠=，所以，12sin 60222ABCD S AB AD ︒=⨯⨯⨯=⨯=PA ⊥平面ABCD ，所以，四棱锥P﹣ABCD 的高为PA ，所以，13PA ⨯=3PA =，因为，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以，PA ⊥AC ，在Rt △PAC中，PB =.10. 5(,3)2- . 【解析】直线AB 上任取一点(,)Q x y ,则2=CQ CP CB CP CB ⋅=⋅ ，因为(,),(4,3)CQ x y m CP m =-=-，所以24(3)()1x m y m m +--=+,即431(3)0x y m y +--+=.所以直线AB :431(3)0x y m y +--+=，令431030x y y +-=⎧⎨+=⎩,则523x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB 过定点5(,3)2-. 11．15 . 【解析】等差数列公差为d ，由题意知0d >，因为04536442=--d d所以12. .【解析】 对曲线ln y a x =求导可得a y x '=，对曲线212y x e =求导可得xy e'=，因为它们在公共点(),P s t 处具有公共切线，所以a s s e=，即2s ea =，又21lns 2t a s e ==，即22lns ea s =，将2s ea =代入，所以1a =.所以12t =，s =，即st=. 13．4.【解析】 因为2ABCD S = ，所以1PBC S =△，如图，取BC 的中点M ，连PM ，过点PHM P DCBA作PH BC ⊥于H ，则2PB PC PM += ，PM PH ≥，且1=12S BC PH ⋅=△PBC ，所以2BC PH ⋅=222212()22PB PC PB PC PC PB PB PC BC ⎡⎤+=⋅+-=⋅+⎢⎥⎣⎦()()2222222211142+222PB PC PB PC BC PM BC BC PM BC ⎡⎤⎡⎤=+--+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2212224 4.2PBC PM BC PM BC PH BC S ∆=+≥⋅≥⋅==当且仅当12PM BC =，且点M 与点H 重合时等号成立．所以2PB PC BC ⋅+ 的最小值为4．14.201523()21-.【解析】当312x ≤≤时，88f x x =-（），所以()2(82)18g x x =--，此时当32x =时，0max g x =（）；当322x ≤＜时，168f x x =-（），所以28120g x x =--+（）（）＜；由此可得12x ≤≤时，0max g x =（）．下面考虑122n n x -≤≤且2n ≥时，g x （）的最大值的情况．当12232n n x --≤≤⋅时，由函数f x （）的定义知()11112()2)(22n n x f x f f x --==⋯=,因为13122n x -≤≤，所以()2225(1282)n n g x x --=--，此时当232n x -=⋅时，0max g x =（）；当2322n n x -⋅≤≤时，同理可知()1225(182)20n n g x x --=--+，＜．由此可得122n n x -≤≤且2n ≥时，0max g x =（）．综上可得：对于一切的*n N ∈，函数g x （）在区间12]2[n n -，上有1个零点，从而()g x 在区间[1]2n ，上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，所以，当2015n =时，所有这些零点的和为201523()21-． 二、解答题15.因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A ，因为()A 0,∈π，且cos A 0≠，所以tan A A 3π=. …………4分 （1）因为22sin C cos C 1+=，cos C =()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -=.…………7分（2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， …………10分 所以()()sin sin sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---=.……14分 16.（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2， ……………… 2分又因E 为PB 的中点，N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE =CD 所以四边形CDNE 是平行四边形所以DN ∥CE ； ……………… 4分 又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC …所以DN ∥平面PBC ………………………… 6分 （2）连接AM ，PM ．因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， …………8分 因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， …………… 10分 又因为AM PM M = ， ,AM PM ⊂平面PAM ， 所以BC ⊥平面PAM ． ……… 12分 因为NM ⊂平面PAM ，所以MN ⊥BC ． …………………………… 14分 17.（1）在BCD ∆中，BD =，6BC =，4CD =，由余弦定理得，(222222641cos 22642BC CD BDBCD BC CD+-+-∠===⨯⨯ 因为[)0,180BCD ∠∈︒︒， 所以60BCD ∠=︒， …………… 2分 又因为A 、B 、C 、D 共圆，所以120BAD ∠=︒. 在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠ ，MNDCBAPB将4AD =，BD =代入化简得24120AB AB +-=，解得2AB =（6AB =-舍去）. ……… 4分所以1124sin12046sin 6022ABCD ABD BCD S S S ︒︒=+=⨯⨯+⨯⨯=即绿化空间的面积为2km ……… 6分（2）在BCD ∆、ABD ∆中分别利用余弦定理得22264264cos BD θ=+-⨯⨯ ①()222424cos -BD AB AB πθ=+-⨯ ②联立①②消去BD 得28cos 48cos 360AB AB θθ++-= ，得()()68cos 60AB AB θ++-=，解得68cos AB θ=-（6AB =-舍去）. (10)分因为0AB >，所以68cos 0θ->，即3cos 4θ<. ()()11sin 68cos 4sin 12sin 16sin cos 22ACD S AB AD πθθθθθθ∆=-=-⨯=- 11sin 64sin 12sin 22BCD S BC CD ∆==⨯⨯= θθθ 因为草皮每平方米售价为a 元，则花木每平方米售价为3a 元，设销售金额为y 百万元.()()()312sin 16sin cos 12sin 48sin sin cos y f a a a θθθθθθθθ==-+=- …… 12分()()()()()22248cos cos sin 482cos cos 1482cos 1cos 1f a a a θθθθθθθθ'=-+=-++=-+-令0y '>，解得1cos 12-<<θ，又3cos 4<θ，不妨设03cos 4=θ，则函数()f θ在02,3πθ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数；令0y '<，解得1cos 2θ<-，则函数()f θ在2,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以当23=πθ时，()max f =θ.答：（1）绿化区域的面积为2km ；（2）当23πθ=时，园林公司的销售金额最大，最大为百万元. … 14分18. （1）令0(4,)P y ,(,0),(,0)A a B a -, 因为1c =，所以(1,0)F 因为2PF PA PB k k k =+，所以00024144y y ya a=+-+-， ………2分 解得2a =，从而2223b a c =-=故椭圆方程为22143x y += ………6分（2）令1122(,),(,)M x y N x y ，设直线PF 方程为1x my =+ 由2234121x y x my ⎧+=⎨=+⎩消x , 得22(34)690m y my ++-=， 122634m y y m +=-+① 122934y y m =-+ ② 所以2122214234y y m y y m ++=-+，令12y t y =，则222161110810334334m t t t t m m ++=+==-++ ………12分所以11023t t <+<，从而133t <<且1t ≠，因为121212AMBANBAB y S t S AB y == ， 所以()1,11,33AMB ANB S S ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭………16分 19.（1）当1a =时，()ln f x x x =+，定义域为()0+∞，． ()11'1x f x x x+=+=． 所以()'0f x >，()f x 在()0+∞，上单调递增； 即()f x 的单调增区间为()0+∞，. ………3分 （2）①由题意可得，关于x 的方程2ln ln x ax x x x=+-在()0+∞，上有三个不同的解． 即关于x 的方程ln ln x xa x x x=--在()0+∞，上有三个不同的解． 令()ln ln x xF x x x x=--，()0+x ∈∞，．所以()()()()()2222ln 1ln 2ln 1ln 1ln ln ln x x x x xx F x x x x x x x ----'=-=--． ………5分 显然，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->，证明如下： 令()2ln 0y x x x =->，121'2x y x x-=-=． 当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，'0y <，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当12x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，'0y >，函数2ln y x x =-在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增． 所以当12x =时，2ln y x x =-取最小值11ln 2-．所以，当()0+x ∈∞，时，2ln 0x x ->． ………7分 令()0F x '=，可得1x =或e ． 将x,h 1(x),h(x)变化情况列表如下又当0,(),() 1.x h x x h x →→+∞→+∞→时当， 所以，实数a 的取值范围为1(1,)1e e e--． ………10分 ②由①可知，当12301x x e x <<<<<时，ln 1ln ln ln 1x x xa x x x x x x=-=---．令ln x t x =，则11a t t=--， 即()2110t a t a +-+-=，1210t t a +=-<，1210t t a =-<． ………12分 不妨设12t t <，则120t t <<． 又()()ln 0x t x x x =>，()21ln 'xt x x-=，当()0x e ∈，时，()'0t x >，()t x 在()0e ，上单调递增； 当()x e ∈+∞，时，()'0t x <，()t x 在()e +∞，上单调递减． 显然，当()01x ∈，时，()0t x <；当()x e ∈+∞，时，()0t x >． 所以111ln x t x =，32223ln ln x x t x x ==． ………14分 所以 2223121212312ln ln ln ln ln 11111x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()2122111t t t =---()()21211t t =--⎡⎤⎣⎦()212121t t t t =-++⎡⎤⎣⎦()()2111a a =--+-⎡⎤⎣⎦1=．即2312123ln ln ln 1111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ………16分 20.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由11a =，48a =，得2q =， ………2分① 因为{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，且公比为12，22212212111111()n nM a a a a a a +++=+++ ， 所以22111()1()22111124n nM --=⋅--对*n N ∈都成立， 所以32M =； ………4分 ②因为111a =，4118a =，51116a =，因为12145111,,,,,,k b b b a a a 成等差数列，所以公差5411116d a a =-=-，6分 且4111(1)k d a a -=+，即111(1)()816k -=+⨯-，解得13k =； 所以这13个数的和1131313()131117(1)22816b b S +==+=……8分 （2）设数列{}n b 的公差为d ，则0d ≠，由条件得11b a =，11b d a q +=，211(1)b m d a q +-=，所以2(1)(1)(1)m q q --=-，因为0d ≠，所以1q ≠，从而2q m =-，因为m 是某个正整数，且3m ≥，所以q 也是正整数，且1q >，10分 因为11b a =，22b a =，3m b a =,所以1a ，2a ，3a 是数列{}n b 中的项， ………12分 当4n ≥时，若n t a b =，则1111(1)(1)n a q a t a q -=+--， 化简得1221111n n q t q q q q----==++++- ， 即222n t q q q -=++++ ，且q 是正整数， 所以，t 也是正整数，所以对任意4,n n N *≥∈，存在t N *∈，使得n t a b =，即数列{}n a 中的每一项都是数列{}n b 中的项． 所以，数列{}n a 是{}n b 的子数列． ………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．如图，连接DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，则∠DCE ＝90°， 所以，DBE DEC ≅ ，所以，DB ＝DC . ………10分 B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得0 10 x y =⎧⎨=⎩，， 21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ． ………10分C．由ρθ=，可得220x y +-=，即圆C的方程为22(5x y +=．将l的参数方程3,,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= ………10分 D ．因为不等式20x ax b -+<的解集也为()1,2,所以可得，3a =,2b =.又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得:22222(21]≤++,当且仅当16[3,5]5x =∈时取等号, 所以，当165x =时,函数()(1(1f x a b =--. …10分 22．（1）因为AB 是圆O 的直径，所以AC CB ⊥以C 为原点，CB 为x 轴正方向，CA 为y 轴正方向，CD 为z 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 因为AC=BC=BE =2,所以C (0,0,0),B(2,0,0),A (0,2,0),O (1,1,0),E (2,0,2)，D (0,0,2)， 所以(0,2,2)AD =-设BE 边上是否存在一点M ，设[](2,0,),0,2M λλ∈所以(2,0,)CM λ=所以1cos ,2AD CM <>==解得2λ=所以，当点M 与点E 重合时，AD 和CM 的夹角为60︒. ………5分（2）平面BCE 的法向量()0,1,0m = ，设平面OCE 的法向量()000,,n x y z =由()()2,0,2,1,1,0CE CO ==所以00n CE n CO ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0000220,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩，故0000,,z x y x =-⎧⎨=-⎩ 令()01,1,1,1x n =-=-因为二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则cos ,m n m n m n<>==.故锐二面角O-CE-B的余弦值为3.....................................10分 23．（1）当2n =时，由1121112()(1)()n n nS S n S S S --=++++ ， 可得22123(1)1a a =⨯++，所以22a =，同理33a = 猜想n a n =.当1,2n =时，命题成立，假设当n k =时命题成立，即k a k =， 则当n=k+1时，11211112()(11)()k k k S S k S S S ++-=+++++ 所以1121111111()2k k k k a S S S S ++++=++++ 因为(1)2k k k S +=， 所以121111111111112(1)()()2231k k k k S S S S k k S a ++⎡⎤++++=-+-++-+⎢⎥++⎣⎦ 1111212(1)11k k k k k k S a k S a ++=-+=+++++， 即11221(1)212k k k k a k k k a ++⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥++⎢⎥+⎣⎦解得11k a k +=+所以，当1n k =+时命题成立，综上，n a n =. ……………5分（2）当n ≥2时，欲证2224n n a a n n a a +-+≤，只需证明214nn ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，因为0112222222(1)41()()()1242nn nnn n n n n C C C C n n n n n -⎛⎫+=++++≥++⋅≥ ⎪⎝⎭所以对任意正整数n (n ≥2)，都有2224n n a a n n a a +-+≤成立． …………10分。