最新二项式定理知识点及典型题型总结

9.5 二项式定理5大题型【题型解读】【知识储备】1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n C0n a n C1n a n－1C k n n－k k C n n b n*(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n(3)(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．二项式系数的性质[常用结论]若二项展开式的通项为T r＋1＝g(r)·x h(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：(1)h(r)＝0⇔T r＋1是常数项．(2)h(r)是非负整数⇔T r＋1是整式项．(3)h(r)是负整数⇔T r＋1是分式项．(4)h(r)是整数⇔T r＋1是有理项．【题型精讲】【题型一求特定项的系数】方法技巧 三项式()()n a b c n N ++∈的展开式：()[()]n n a b c a b c ++=++()n rrr n C a b c -=+++()rq n r q qrn n r C C ab c---=++++r q n r q q r n n r C C a b c ---=++若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式()r q p q r n n r C C a b c p q r N p q r n -∈++=，，，，其中!(r)!!!()!!()!!!!r q n n r n n n C C r n r q n r q p q r --==---叫三项式系数． 例1 （2022·华师大二附中高三练习） 若()()()2880128111x a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则3a = ．例2 在73x⎛ ⎝的系数是 ．例3 （2022·江西模拟）在 5221y x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的展开式中，含 32x y 的项的系数是（ ）A ．10B ．12C ．15D ．20【题型精练】1. （2022·河南高三月考）在732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，5x 项的系数是（ ）A ．280B ．280-C ．560D ．560-2．（2022·全国高三课时练习）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为___________.3．（2022·枣庄模拟）在()622x x y-+的展开式中，含52x y 项的系数为（ ）A ．480B ．480C ．240D ．2404. （2022·汕头模拟）100的展开式中系数为有理数项的共有_______项.【题型二 已知项的系数求参】例4 （2022·四川模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则a =（ ） A ．2B ．2C ．2或2D ．4例5 （2022·武昌模拟）()()611ax x -+的展开式中，3x 项的系数为10，则实数a = .【题型精练】1．（2022·石家庄模拟）已知二项式52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 项的系数为40，则=a （ ）A ．2B ．2C ．2或2D ．42. （2022·临沂二模）已知 ()5221ax x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中 x 的系数为（ ） A ．120 B ．40 C ．40 D ．120【题型三 二项式定理的性质】例6 （2022·唐山二模）（多选）已知22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ） A ．n=9B ．11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是1例7 设m 为正整数，2()m x y +的展开式中二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++的展开式中的二项式系数的最大值为b .若158a b =，则m 的值为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【题型精练】1．（2022·高三课时练习）若()*1N nn x ⎛+∈ ⎝⎭的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．82.（2022·广东高三模拟）若n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项为_______．3. （2022·浙江高三模拟）在1)2n x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中6x 的系数为（ ） A ．454B ．358-C ．358D ．7【题型四 二项式系数和及系数和问题】方法技巧 系数和问题2012()...n n n ax b a a x a x a x +=++++，令1x =得系数和：01...()n n a a a a b +++=+①；令1x =-得奇数项系数和减去偶数项系数和：01230213...()(...)(...)n n a a a a a a b a a a a -+-=-=++-++②，联立①②可求得奇数项系数和与偶数项系数和．例8 （2022·福建泉州科技中学月考）在10(23)x y -的展开式中，求： （1）二项式系数的和； （2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； （4）奇数项系数和与偶数项系数和； （5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.【题型精练】1．（2022·常州市新桥高级中学高三模拟）若()5234501234513x a a x a x a x a x a x +=+++++，则012345a a a a a a -+-+-的值为 ．2.（2022·济北中学高三月考）设 ()()54234501234521x m x a a x a x a x a x a x ++-=+++++ .若01234532a a a a a a +++++= ，则实数 m = ， 3a = ．3. （2022·上虞模拟）已知()102100121031x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a = ，1012210333a a a ++⋅⋅⋅+= .【题型五 二项式定理的应用】例9 （2022福建省部分名校高三联合测评）（多选）若202051a +能被13整除，则实数a 的值可以为（ ） A ．0 B ．11 C ．12 D ．25例10 71.95的计算结果精确到个位的近似值为 A ．106 B ．107 C ．108 D ．109【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是 A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.342. 若1002100012100(21)x a a x a x a x +=++++，则()1359923a a a a ++++-被8整除的余数为___________.。

二项式定理1．二项式定理：( a b)n C n0a n C n1 a n 1b L C n r a n r b r L C n n b n (n N ) ，2．基本观点：①二项式睁开式：右侧的多项式叫做(a b)n的二项睁开式。

②二项式系数 : 睁开式中各项的系数 C n r( r0,1,2, , n) .③项数：共 ( r 1) 项，是对于 a 与b的齐次多项式④通项：睁开式中的第r 1 项C n r a n r b r叫做二项式睁开式的通项。

用T r1C n r a n r b r表示。

3．注意重点点：①项数：睁开式中总合有(n1) 项。

②次序：注意正确选择a ,b,其次序不可以改正。

(a b) n与 (ba)n是不一样的。

③指数： a 的指数从 n 逐项减到0，是降幂摆列。

b 的指数从0 逐项减到n，是升幂摆列。

各项的次数和等于 n .④系数：注意正确划分二项式系数与项的系数，二项式系数挨次是C n0, C n1 ,C n2 ,, C n r ,, C n n . 项的系数是 a 与b的系数（包含二项式系数）。

4．常用的结论：令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2L C n r x r L C n n x n ( n N )令 a1,b x,(1x) n C n0 C n1 x C n2 x2L C n r x r L(1)n C n n x n (n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两头“对距离” 的两个二项式系数相等，即 C n0C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令a b1,则二项式系数的和为C n0 C n1C n2L C n r L C n n2n，变形式 C n1 C n2L C n r L C n n2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b 1 ，则 C n0C n1 C n2C n3L( 1)n C n n(1 1)n0 ，进而获得： C n0C n2C n4 C n2 r C n1C n3 L C n2r112n2n 12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：( a x)n C n0 a n x0C n1a n 1x C n2a n 2 x2L C n n a0 x n a0a1x1a2x 2L a n x n( x a)n C n0 a0 x n C n1ax n 1C n2a 2 x n 2L C n n a n x0a n x n L a2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3 L a n(a 1)n①令 x1,则 a0a1a2a3L a n(a 1)n②①②得 ,a0a2a4 L a n(a1)n( a1)n(奇数项的系数和 )2①②得 , a1a3a5 L a n(a1)n(a1)n(偶数项的系数和)2n⑤二项式系数的最大项：假如二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数C n2获得最大值。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解与训练专题59二项式定理考点知识要点会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识融会贯通1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n. (3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++＋1项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.重点难点突破【题型一】二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数【典型例题】的展开式中，含x3项的系数为（）A．﹣60B．﹣12C．12D．60【再练一题】（x﹣1）（3x2+1）3的展开式中x4的系数是（）A．27B．﹣27C．26D．﹣26命题点2已知二项展开式某项的系数求参数【典型例题】若（）n的展开式中存在常数项，则n的值可以是（）A．8B．9C．10D．12【再练一题】若x（x）5的展开式中常数项为270，则实数a＝（）A．1B．2C．3D．4思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．【题型二】二项式系数的和与各项的系数和问题【典型例题】 （x ）5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（ ） A ．1B ．20C ．21D ．31 【再练一题】（2x ﹣3y ）n （n ∈N *）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x ﹣2y ）n 展开式中各项的二项式系数之和等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．128思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12. 【题型三】二项式定理的应用【典型例题】若（x ﹣2）5﹣3x 4＝a 0+a 1（x ﹣3）+a 2（x ﹣3）2+a 3（x ﹣3）3+a 4（x ﹣3）4+a 5（x ﹣3）5，则a 3＝（ ） A ．﹣70B ．28C ．﹣26D ．40 【再练一题】502019+1被7除后的余数为． 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．基础知识训练1．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知的展开式的各项系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A ．20B ．15C ．10D ．52．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月)质量检查考试】的展开式中的系数为( )A ．B ．C ．D ．3．【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】已知()()511x ax +-的展开式中2x 的系数为58-，则a =（ ） A ．1B ．12C ．13D ．144．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】已知5(1)(2)x x a ++的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含3x 项的系数是（ ） A ．-40B ．-20C ．20D ．405．【江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试】已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项( ) A ．32B ．24C ．4D ．86．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前15项和为（ ）A ．110B ．114C ．124D ．1257．【江西省新八校2019届高三第二次联考】若二项式3nx x ⎛- ⎝的展开式中第m 项为常数项，则m ，n 应满足（ ） A ．()341n m =+ B ．()431n m =+ C ．()341n m =-D ．()431n m =-8．【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第八次模拟】已知257017(232)(1)+--=++x x x a a x a x ，则0246a a a a +++=( ) A ．24B ．48C ．72D ．969．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】若()52a x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式的常数项等于-80，则a =（ ） A ．-2B ．2C ．-4D ．410．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】()5221x x --的展开式中2x 的系数为（ ）A ．400B ．120C ．80D ．011．【河北省石家庄市第二中学2019届高三第一学期期末】在4(1)x x +的展开式中，2x 项的系数为_______（结果用数值表示）.12．【安徽省泗县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考】若1(2)n x x-展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为-4，则n =_____．13．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】()5212x x +-展开式中的6x的系数为_______14．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试】组合恒等式11mm mn nn C C C -++=，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求()11n x ++和()()11nx x ++的展开式中m x 的系数．前者()11n x ++的展开式中m x 的系数为1mn C +；后者()()11nx x ++的展开式()()01111m m m mn n n n n n n x C C x C x C x C x --+++++++中m x 的系数为1111m m m m n n n nC C C C --⨯+⨯=+.因为()()()1111n nx x x ++=++，则两个展开式中m x 的系数也相等，即11m m mn n n C C C -++=．请用“算两次”的方法化简下列式子：()()()()222212nnnnnC C C C ++++=______．15．【安徽省泗县第一中学2018-2019学年高二下学期第三次月考】若2701277()(12)f x x a a x a x a x =+=++++.求：（1）017a a a ++⋯+； （2）1357a a a a +++； （3）0127a a a a ++++.16．【江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试】已知()*23nn N x ⎫∈⎪⎭的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是91∶． （Ⅰ）求展开式中各项二项式系数的和； （Ⅱ）求展开式中中间项．17．【青海省海东市第二中学2018-2019学年高二下学期7月月考】已知213nx ⎫⎪⎭的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14:3. （1）求n ；（2）求展开式中有理项．18．【江苏省泰州市田家炳中学2017-2018学年度第二学期高二第二次学情调研】已知2nx x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式前三项的二项式系数和为22．（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项．19．【陕西省西安市蓝田县2018-2019学年高二下学期期末考试】已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m . （I ）求m 的值； （II ）求342mx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.20．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简0112233434343434C C C C C C C C +++．案例：考察恒等式523(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2x 的系数． 因为右边2301220312232223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++， 所以，右边2x 的系数为011223232323C C C C C C ++，而左边2x 的系数为25C ，所以011223232323C C C C C C ++＝25C ．（2）求证：22212220(1)()(1)nr n nn n n r r Cn C n C --=+-=+∑．能力提升训练1．【贵州省部分重点中学2019届高三12月联考】的展开式的常数项为__________．2．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届高三年级第一次教学质量监测】如果的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数是__________．3．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】二项式()00nb ax a b x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭，的展开式中，设“所有二项式系数和”为A ，“所有项的系数和”为B ，“常数项”值为C ，若25670A B C ===，，则含6x 的项为_____．4．【浙江省杭州高级中学2019届高三上学期期中考试】如果的展开式中各项系数之和为128，则的值为___,展开式中的系数为____.5．【上海市嘉定（长宁)区2019届高三第二次质量调研（二模)】在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为_______．6．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】若，则__________，______．7．【四川省内江市2019届高三第一次模拟考试】的展开式中的系数为______. 8．【上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试】在32()n x x+的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________9．【江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中考试】已知．（1）若，求中含x 2项的系数；（2）若展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．10．【江苏省扬州中学2019届高三上学期12月月考】设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，n∈N*，n≥2．（1）设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；（2）设，S m＝b0＋b1＋b2＋…＋b m(m∈N，m≤n－1)，求|的值．。

高中数学二项式定理题型总结高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）(ab)CnaCnabCnan1rrn0n1nrnrbCnb(nN)，rnn（2）(1x)1CnxCnxx2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnarnrrnb(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：n(ab)展开式的二项式系数是Cn，Cn，Cn，，Cn．Cn可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnCnn2nmnmn012nr）直线rn2是图象的对称轴n12n1（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn（3）各二项式系数和：∵(1x)1Cnx Cnxx，令x1，则2CnCnCnCnCn，Cn2取得最大值n1rrnn012rn题型讲解例1如果在（x+12x4）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项解：展开式中前三项的系数分别为1，r=C8r1n2，n(n1)8，由题意得2×n2=1+n(n1)8358，得n=8设第r+1项为有理项，T1r163rx42点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=x，T9=1256x2例2求式子（｜x｜+解法一：（｜x｜+1|x|1|x|－2）3的展开式中的常数项－2）3=（｜x｜+1|x|－2）（｜x｜+1|x|1|x|－2）（｜x｜+1|x|－2）得到常数项的情况有：①三个括号11中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取3，一个括号取－2，得C3C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）r+（－12）=－20解法二：（|x|+1|x|－2）3=（|x|－1|x|）6设第r+1项为常数项，则Tr1=C6（－1）r（1|x|）r|x|6r=（－1）6C6|x|r62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C6=－203例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）+（1+x）++（1+x）的展开式中x的系数4x－4）4的展开式中的常数项；34503解：⑴原式=41x441x（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C846－1=14⑵（x+4x－4）=(x4x4)x42=(2x)x4，展开式中的常数项为C4824（－1）4=1120⑶方法一：原式(1x)[(1x)1](1x)1=(1x)(1x)x4展开式中x3的系数为C51方法二：原展开式中x3的系数为44C3+C3+C3++C3=C4+C3++C3=C5+C3++C3==C51505050444355点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键129例4求x展开式中x的系数2x解：Tr19Crr9x29r31r1183r令1r182rr12193C9xxC9x183r9,则r3,故x的系数为:C9＝－22x222rrr点评：①Cnanrb是ab展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，rn1第4项的二项式系数是C，第4项x的系数为C，二者并不相同2393939例5求3xr32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数解：Tr1C1003x100r23r100rrC100xr100r3223依题意：100r2,r3Z，r为3和2的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征解法一：x051例6求x223x2展开式中x的系数53x2x1x24505144455555C5xC5xC5xC5C5xC5x2C5x2C524故展开式中含5C5xC52C5C5x2Tr1C5x1r455544240x，故展开式中x的系数为240，解法二：x3x2252x23x52245r3x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即rT2C5x22，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的乘法法则，从23x15xx42x64x48x222228642442以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则积为x的一次项，此时系数为C53C42240 点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用144例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=Cna1+Cna2++Cnan12n（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3012nn024135n1点评：①记住课本结论：CnCnCnCn2，CnCnCnCnCnCn2②注意所求式中缺少一项，不能直接等于2例9已知2x解：令x1时，有22634a0a1xa2xa3xa4x，求a0a2a4a1a32342234a0a1a2a3a4，令x1时，有2234a0a1a2a3a4∵a0a2a4a1a3a0a1a2a3a4a0a1a2a3a4∴a0a2a4a1a322232434114点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y展开式中系数最大的项7rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1116222rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312rr1r22r!7r!3r17rr1!7r1!故系数最大项为T6C7x2y5255672xy25点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最12大；当n为奇数时，中间两项Tn121，Tn12的二项式系数相等且为最大1小结：1在使用通项公式Tr1=Cnarnrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Cn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，T rr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法学生练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D48解析：（2x+3（2x3－x）4=x2（1+2x）4，在（1+22x）4中，x的系数为C242=24答案：C1x）7的展开式中常数项是3A14B－14C42D－42解析：设（2x－1x）的展开式中的第r+1项是T7r=C7r1（2x）37r（－1x）r=C727r（－1）xr23(7x)，24一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C7（－1）621=14答案：A 解析：C1+C2++C20=220－1答案：D202X205已知（x－ax）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是B38A28C1或38D1或28rr4解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C36已知（x2+x13）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3解析：∵（x2+xr713）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项系数和为2n=128，∴n=7设该二项展开式中3的r+1项为Tr1=C（x2）7r6nn32*7若（x+1）=x++ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=________（x136311r）r=Cxr76，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C7=35答案：353解析：a∶b=Cn∶Cn=3∶1，n=11答案：11328（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－答案：289若（x3+r1xrr）=（－1）C8xr83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）C8=2821xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Trr=Cnr1（x）3n－r（x32）=Cxrn3n92r，令3n－92r=0，∴2n=3r∴n必为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Cn=C9=84答案：9610已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值解：由题意Cnn2＋Cnn1＋Cn=22，即Cn＋Cn＋Cn=22，∴n=6∴第4项的二项式系数最大∴C6（xn2103lgx）3=202*0，即x3lgx=1000∴x=10或x=1011若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②1①+②得a0+a2++a10=12点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（－26+0）=－32（1）求它是第几项；（2）求rab－的范围解：（1）设Tr1=C12（axm）12r（bxn）r=C12a12rbrxm∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，－r（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②由①得43451211109432a8b4≥12111032a9b3，∵a＞0，b＞0，∴由②得94b≥a，即ab≤94ab≥85，∴854≤ab≤9413在二项式（x+1）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项2x分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项解：前三项系数为Cn，012解得n=8或n=1（舍去）Cn，114Cn，由已知Cn=Cn+3r421014Cn，即n2－9n+8=0，2Tr=C8r1（x）8－r（24x）－rr=C812rx4∵4－3r4∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=358x，T9=1256x－2点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－14求证：2 扩展阅读：高中数学二项式定理题型总结二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：0n1nrnrrnn（1）(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN)，1rr（2）(1x)n1CnxCnxxn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4二项式系数表（杨辉三角）(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：01，Cn，Cn2，，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量(ab)n展开式的二项式系数是Cn的函数f(r)，定义域是{0,1,2,,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnnm）直线r是图象的对称轴n2（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项C，C取得最大值1rr（3）各二项式系数和：∵(1x)n1CnxCnxxn，012rn令x1，则2nCnCnCnCnCn题型讲解n2nn12nn12n例1如果在（的有理项x+124x）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中解：展开式中前三项的系数分别为1，n，n(n1)，由题意得2×n=1+n(n1)，2828得n=8设第r+1项为有理项，Tr1=Cr81r2x163r4，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=35x，T9=81256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+ 1－2）3的展开式中的常数项|x|解法一：（｜x｜+1111－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－|x||x||x||x|3 2）得到常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）3+|x|1（－12）=－20解法二：（|x|+－2）3=（|x|－1）6设第r+1项为常数项，则|x||x|一个括号取rTr1=C6（－1）r（1r）r|x|6r=（－1）6C6|x|62r，得|x|6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3C36=－20例3⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+4－4）4x的展开式中的常数项；⑶求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的展开式中x3的系数1x4解：⑴原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）1x24(2x)84444(x4x4)44C6－1=14⑵（x+－4）==4，展开式中的常数项为C8（－1）24xxx(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)344=1120⑶方法一：原式==展开式中x3的系数为C51x(1x)1方法二：原展开式中x3的系数为3333434334C33+C4+C5++C50=C4+C4++C50=C5+C5++C50==C51点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键192例4求x展开式中x的系数2x9解9：339Tr1Cxr929r1r1183r1r182rrC9xxC9x2x22rrr令211183r9,则r3,故x的系数为:C＝－223nnrr点评：①Cr是展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与ababn1某项系数的区别在本题中，第4项的二项式系数是C，第4项x 的系数为C，239939二者并不相同10033x2例5求展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数100rr,Z，r为3和232的倍数，即为6的倍数，又0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为0，解：Tr1Cr1003x100r23rCxr100100r3100r22依题意：r3公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6求x23x2展开式中x的系数555解法一：x23x2x1x25145C50x5C5xC54xC5C50x5C51x42C54x24C5525故展开式中含x的项为4554C5xC525C5C5x2424x0，故展开式中x的系数为240，解法二：TCx23x0r5,rN，要使x指数为1，只有r1才有可能，即TCx23x15xx42x64x48x2，故x的系数为152240，解法三：x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2x3x2，由多项式的x23x2x223xr115r525rr248556424422522222乘法法则，从以上5个括号中，一个括号内出现x，其它四个括号出现常数项，则14积为x的一次项，此时系数为C53C424240点评：此类问题通常有两个解法：化三项为二项，乘法法则及排列、组合知识的综合应用n例7设an=1+q+q2++qn1（n∈N*，q≠±1），An=C1na1+C2na2++Cnan（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3 ∴a0a2a42a1a322323141点评：赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在高考题中屡见不鲜，特别在二项式定理中的应用尤为明显赋值法是给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的望同学们在学习中举一反三例10求x2y7展开式中系数最大的项44rrr1r1Tr1项系数Tr项系数C72C72解：设第r1项系数最大，则有，即rrr1r1Tr1项系数Tr2项系数C72C727!7!rr1121622rr!7r!r1!7r1!r8r3又0r7,rN,r57!7!1312r2r2r17rr13r1!7r1!r!7r!52故系数最大项为T6C7x25y5672x2y5点评：二项式系数最大的项与系数最大的项不同二项式系数最大的项也即中间项：当n为偶数时中间项Tn的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项Tn1，Tn1212121的二项式系数相等且为最大小结：1在使用通项公式Tr1=Crnanrbr时，要注意：①通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项②展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同③通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n2证明组合恒等式常用赋值法课堂练习1已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A29B49C39D1解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9∴已知条件中只需赋值x=－1即可答案：B22x+x）4的展开式中x3的系数是A6B12C24D482解析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C22=24答4案：C3（2x3－1x）7的展开式中常数项是B－14A14C42D－42解析：设（2x3－r=C727r1xr）7的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x3）7r（－1x）（－1）x2rr3(7x)2，61当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）2=14答案：A4一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A20B219C220D220－1202X解析：C120+C2++C=2－1答案：D202X5已知（x－a）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各x项系数的和是A28B38C1或38D1或28rr解析：Tr1=C8x8－r（－ax－1）r=（－a）rC8x8－2r，令8－2r=0，∴r=4，4∴（－a）4C8=1120∴a=±2当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1，当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38答案：C6已知（x+x）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x5的系数是_____________（以数字作答）3213解析：∵（x+x）n的展开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得所有项r系数和为2=128，∴n=7设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r （x）3213n3213rr=C7x6311r6，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C37=35答案：357若（x+1）=x++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=________2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11答案：11nn68（x－1x）8展开式中x5的系数为_____________r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r（－1xr）=（－1）C8x83r2令8－3r22=5得r=2时，x5的系数为（－1）2C8=28答案：289若（x3+1xx）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________解析：Tr1=Crn （x3）n－r（x）r=Crnx3293nr2，令3n－9r=0，∴2n=3r∴n必26为3的倍数，r为偶数试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84答案：9 10已知（xlgx+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为202*0，求x的值2n1n10解：由题意Cn即C2∴n=6∴第4项的二项n＋Cn＋Cn=22，n＋Cn＋Cn=22，33lgxlgx式系数最大∴C3（x）=202*0，即x=1000∴x=10或x=611若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10解：（1）（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11令x=1，得a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，所以a1+a2++a11=－26－1=－65（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0②110①+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－322点评：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－112在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项（1）求它是第几项；（2）求a的范围rr解：（1）设Tr1=C12（axm）12－r（bxn）r=C12a12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项（2）∵第5项又是系数最大的项，4345∴有C12a8b4≥C12a9b3①C12a8b4≥C12a7b5②b由①得1211109a8b4≥121110a9b3，43232∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤94b4由②得a≥8，∴8≤a≤9b55b413在二项式（x+124x）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项111212210解：前三项系数为C0，C，C，由已知C=C+C，即n－9n+8=0，nnnnnn244解得n=8或n=1（舍去）rTr1=C8（x）8－r（24x）－r1r=C8r2x43r4∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0，r=4，r=8∴展开式中x的有理项为T1=x4，T5=35x，T9=8点评：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－3r∈Z即可，而不需要指数441256x－2－3r∈N414求证：2友情提示：本文中关于《高中数学二项式定理题型总结》给出的范例仅供您参考拓展思维使用，高中数学二项式定理题型总结：该篇文章建议您自主创作。

二项式定理知识点及常考题型一、 两项展开式的特定项1． 展开式：011222()n n n n k n k k n nn n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++；等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，展开式中一共有1n +项．2． 通项公式：1k n k kk n T C a b -+=；3．指数运算：①a mn ＝√a m n (a ＞0，m ，n ∈N ∗，且n ＞1) ②a−mn ＝1a m n(a ＞0，m ，n ∈N ∗，③a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)； ④(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q)； ⑤(ab)r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．例1．（2022·山东济宁·一模）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为___________．（用数字作答） 【答案】160- 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x 的次数为零，求出r ，从而可求出常数项 【详解】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为66621661(2)(1)2rr r r rr r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令620r -=，得3r =，所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为33636(1)2160C --⋅=-，故答案为：160-变式1－1．（2022·浙江·模拟预测）设,a b ∈R ，若二项式()3ax by +的展开式中第二项的系数是1，则二项式()6ax by +的展开式中第三项的系数是（ ） A ．13B ．1C ．53D ．5【答案】C【解析】 【分析】由二项展开式的公式展开可得二项式()3ax by +的展开式中第二项的系数231a b =，再由二项式()6ax by +的展开式中第三项的系数为4215a b ，代入即可得解． 【详解】由二项式()3ax by +的展开式中第二项122223()3T C ax by a bx y ==，所以231a b =，二项式()6ax by +的展开式中第三项242424236()()15T C ax by a b x y ==，所以422151515()33a b ==．故选：C变式1－2．（2022·山东临沂·一模）二项式612x x ⎫+⎪⎭的展开式中系数为无理数的项数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】2 【详解】展开式通项公式为666221661(2)()2rrrrr r r T C x C x x---+==，0,1,2,3,4,5,6r =， 当0,2,4,6r =时，62r -是整数，1,3,5r =时，62r-是不是整数，系数是无理数，共有3项． 故选：B ．作业1．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））在12332x x 的二项展开式中，第______项为常数项． 【答案】7 【解析】 【分析】直接利用二项式的通项公式，令x 的指数为0，求出r 即可． 【详解】解：12332x x 的二项展开式的通项为12212311231231()(22rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭，令12203r-=，解得6r =，即6r =时，二项展开式为常数项，即第7项是常数项． 故答案为：7．二、三项展开式的特定项方法一：将其中两项看作一个整体进行展开，再层层剥开； 方法二：利用排列组合，根据所求进行不同的组合形式，再相加。

二项式定理1•二项式定理：(a b)n=C0a n Ca n」b • ||「c n a n=b r•- C；；b n(n・ N ),2. 基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。

②二项式系数：展开式中各项的系数c n (r =0,1,2, , n).③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1项c n a n-b r叫做二项式展开式的通项。

用丁i =C；a n」b r表示。

3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有(n 1)项。

②顺序：注意正确选择a , b ,其顺序不能更改。

(a ■ b)n与(b ■ a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。

b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnw’c：,…,C；,…,c n.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。

4. 常用的结论：令a =1,b 二x, (1 - x)n=c0C：x C；x2十| • Qx r Fl C；x n(n N )令a =1,b = -x, (1 -x)n=C° -C：x C；x2-川C：x r ||( (-1)n C：x n(n N )5. 性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 - c n , •••C n^Cn J②二项式系数和：令a=b=1,则二项式系数的和为c0 ■ c1 ■ Cn- C；Jll ■ c；-2n,变形式c n C2-Cn^H c； =2^1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a =1,b = —1，贝y C0—c n +c2 —Cj+川+(_1)n c n =(1_1)n= 0 ,从而得到：C： +C： +C：…+- = cn +C；+IH+c：r41+ …二丄X2n= 2n_l2④奇数项的系数和与偶数项的系数和:n OnO 小Jn」2n _22[[. nOn 1 2』』L n(a x) C n a x C n a x C*a x . C*a x a。

高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。

二项式定理知识点和各种题型归纳带答案二项式定理1．二项式定理：( a b) n C n0 a n C n1a n 1b C n r a n r b r C n n b n (n N ) ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做(a b n) 的二项展开式。

②二项式系数 : 展开式中各项的系数 C n r( r 0,1,2, , n) .③项数：共 ( r 1) 项，是关于a与 b 的齐次多项式④通项：展开式中的第r 1 项C n r a n r b r叫做二项式展开式的通项。

用Tr 1C n r a n r b r表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(n1) 项。

②顺序：注意正确选择a ,b , 其顺序不能更改。

(a b n与(b a)n是不同的。

)③指数： a 的指数从 n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0 逐项减到n，是升幂排列。

各项的次数和等于 n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C n0 , C n1 ,C n2 ,, C n r ,,C n n . 项的系数是 a 与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2 C n r x r C n n x n (n N)令 a1,b x,(1x)n C n0 C n1 x C n2 x2C n r x r(1)n C n n x n ( n N )5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离” 的两个二项式系数相等，即C n0C n n，···C n k C n k 1②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为C n0 C n1C n2C n r C n n2n，变形式 C n1C n2C n r C n n2n1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b 1 ，则 C n0C n1C n2 C n3(1) n C n n(1 1)n0 ，从而得到： C n0C n2C n4C n2 r C n1C n3C n2r112n2n 12④奇数项的系数和与偶数项的系数和：( a x)n C n0a n x0 C n1a n 1 x C n2a n 2 x2C n n a0 x n a0 a1x1a2 x 2a n x n( x a)n C n0a0 x n C n1ax n 1C n2a2 x n 2C n n a n x0a n x n a2 x2a1x1a0令 x1, 则a0a1a2a3a n(a 1)n①令 x1,则a0a1a2a3a n(a 1)n②①②得 , a0a2a4a n( a1)n2(a 1)n(奇数项的系数和)①②得 , a1a3a5a n(a1)n2(a 1)n(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数C n2取得最大值。