二项式定理
一、基本知识点
1、二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n
n 2、几个基本概念
（1）二项展开式：右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式 （2）项数：二项展开式中共有1+n 项
（3）二项式系数：),,2,1,0(n r C r
n
=叫做二项展开式中第1+r 项的二项式系数 （4）通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r
r n r n
r ==-+ 3、展开式的特点
（1）系数 都是组合数,依次为C 1n ,C 2n ,C n
n ,…,C n
n
(2)指数的特点①a 的指数 由n 0( 降幂)。 ②b 的指数由0 n （升幂）。 ③a 和b 的指数和为n 。
(3)展开式是一个恒等式，a ，b 可取任意的复数，n 为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： （1）对称性:
在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即 （2）增减性与最值
二项式系数先增后减且在中间取得最大值
当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n
C
当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21
-n n
C
=21+n n
C
（3）二项式系数的和：
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即
m
n n m n C C -=n
n
n k n n n n C C C C C 2
210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++∴02
13
n-1
n n n n C +C +=C +C +
=2
二项式定理的常见题型
一、求二项展开式
1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x
x +的展开式；a
2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x
x -的展开式；
3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算c C C C n
n n n n n n 3)1( (279313)
2
1
-++-+-；
二、通项公式的应用 1．确定二项式中的有关元素
例4．已知9)2(x x a -的展开式中3x 的系数为4
9
，常数a 的值为
2．确定二项展开式的常数项 例5．103
)1(x
x -展开式中的常数项是
3．求单一二项式指定幂的系数 例6． 9
2)21(x
x -展开式中9x 的系数是
三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数
例7．5432)1()1()1()1()1(-+---+---x x x x x 的展开式中，2x 的系数等于
例8．
72)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是
四、利用二项式定理的性质解题 1． 求中间项 例9．求（103)1x
x -的展开式的中间项；
。
2． 求有理项 例10．求103)1(x
x -的展开式中有理项共有 项；
3． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例11．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
（2） 一般的系数最大或最小问题 例12．求84)21(x
x +展开式中系数最大的项；
（3）系数绝对值最大的项
例13．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ________ ；
五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和
例14．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，
则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
例15．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ； 六、利用二项式定理求近似值
例16．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；
七、利用二项式定理证明整除问题
例17．求证：1
5151 能被7整除。
