生活中的变量关系课件北师大版必修(7)

(1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一 定是依赖关系.
(2)、若两个变量间存在依赖关系，且对于其中一
个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和
它对应，则两个变量间有函数关系.
(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变 量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系.
三、议一议
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较 大的变化.如图
收入和台数之间存在函数关系
y (2100 2000)x
⑵在一定量的水中加入蔗糖，在未到达饱和之前糖水 的质量浓度与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关 系？如果是函数关系，指出自变量和因变量。
存在函数关系.蔗糖的质量是自变量，糖水的质量浓 度为因变量.反之也成立.
五
大家一起来
函数关系和依赖关系. 若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变
量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则 两个变量间有函数关系.
六故知新
2、下图为匀速行驶中的汽车，它行驶的路程S是时间t的函数吗？ 3、右图为运行中的电梯， 它离地面的高度h是时间t的 函数吗？
二、合作探究
这是我国高速公路网的一角
二、合作探究
实例分析：阅读课文23—24页，回答下列问题
（1）课本高速公路的情景下研究了哪些函数关系？请 指出它们的自变量与因变量.
解：由图3知0≤t≤10,每毫升血液 中含药量的变化范围为 0≤y≤6,对 于0至10中的每一个时间t，在0 至6中都有唯一确定的y值与之对 应，因此每毫升血液中的含药量 y（毫克）与时间t（小时）构成 函数关系.
随堂练习
⑴某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机， 然后以2100元一台的价格售出，随着售出台数的变化， 商店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出的台数 之间存在函数关系吗？

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2.1 函数概念
目标导航 题型三 题型四
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型一 函数的概念 【例1】 判断下列函数是否为同一函数: |������| 1,������ ≥ 0, (1)f(x)= 与������(������ ) = ������ -1,������ < 0; (2)f(x)= ������ ������ + 1与������(������ ) = ������(������ + 1); (3)f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1; (4)f(x)=1与g(x)=x0(x≠0). 分析:判断函数的定义域和对应关系是否一致.
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2.1 函数概念
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
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S随堂演练
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【做一做1-1】 张大爷种植了10公顷小麦,每公顷施肥x kg,小麦 总产量为y kg,则( ) A.x,y之间有依赖关系 B.x,y之间有函数关系 C.y是x的函数 D.x是y的函数 答案:A 【做一做1-2】 某人骑车的速度是v km/h,他匀速骑行t h,走的路 程s是多少?路程是时间的函数吗? 解:t h走的路程是s=vt. 由于时间t每取一个值,路程s有唯一确定的值与之对应,所以路程 是时间的函数.
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2.1 函数概念
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
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(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更 不具有函数关系． (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量 存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的， 因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变 量．反之也是． 综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关 系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两 个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．

互动探究学案
命题方向1 ⇨正确理解常量与变量
一辆汽车由南京驶往相距 300 千米的上海，它的平均速度是 100 千 米/时，则汽车距上海的路程 s(千米)与行驶时间 t(时)的关系是 s＝300－100t，在这
300，－100 ，变量是_______. s，t 导学号 00814181 里，常量是___________

3．下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距 80km 的两城镇间旅行 时，路程和时间的函数图像，由图可知，骑自行车者用了 6 小时(含途中休息的 1 小时)，骑摩托车者用了 2 小时，有人根据这个函数图像，提供了这两个旅行者的
① 如下信息，其中比骑摩托车者早出发3小时，晚到1小时 ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动 ③骑摩托车者在出发1.5小时后追上了骑自行车者 [解析] 由图像可以看出骑自行车者早出发3个小时，而 晚到1小时，速度是先快后慢，然后再快，是变速运动．骑 摩托车者也是变速运动，但速度变化不大．骑摩托车者在出 发1小时后追上骑自行车者．所以正确的序号是①.

『规律总结』 1.判断两个变量之间是否具有依赖关系， 只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变 化即可，如果发生变化，则它们具有依赖关系，如果不发生 变化，则它们不具有依赖关系． 2．判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时， 可分以下两个步骤： (1)确定因变量和自变量． (2)判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一 确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数 关系．

每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应。
典例剖析
例6：某地电公司为励市民节约用电,采取阶梯电价，即按月用电量分段 计费办法居民每月应缴电费y(单位：元)与用电量x(单位kW·h)的关系是
对于变量“用电（x）”的每一个值，变量“应缴电费（y）” 都有唯一的值与之对应，所以应缴电费是用电量的函数，如图2-4.
探究新知
例如：一定量的水银，温度与其体积间存在函数关系，温度越高水银 的体积越大.因此，可以用这个体积表示温度，这就是制造温度计的 依据. 在银行，给定本金和利率后，活期存款的利息依存款的天数而定，利 息是天数的函数，天离和出手速度、出手角度出手高 度均有关系当出手速度和出手高度确定之后，调整好出手角度，会使 铅球掷得更远一些这时，运动员的掷远距离是出手角度的函数.
探究新知
总结：形如上述的函数，一般叫作分段函数。 生活中存在着许许多多的函数关系。正是函数概念中的关键词”
每一个” “唯一”“对应”恰当地反映了事物特征。
探究新知
总结：形如上述的函数，一般叫作分段函数。 生活中存在着许许多多的函数关系。正是函数概念中的关键词”
每一个” “唯一”“对应”恰当地反映了事物特征。
巩固练习
1.某电器商店以2000元/台的价格购进了一批电视剧，然后以2100 元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化 的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？ 2.坐电梯时，电梯地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系? 3.在一定量的水中加人蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之 间存在怎样的依赖关系?
2.1 生活中的变量关系
典例剖析
例1、图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体 储油罐储存汽油等燃料。储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高 度h，油面宽度w、储油量V是变量。

十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年约翰·贝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667～1748)在莱布尼兹函数概念的基 础上对函数概念进行了定义；1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些 变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数.”
十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1837年德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个 完全确定的值与之对应，则y是x的函数.” 1930年新的现代函数定义为，若对集合M中的任意元素x，总有集合N中 的确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y＝f(x). 元素x称为自变元，元素y称为因变元. 19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严 谨的集合和对应语言表述，言简意赅地讲述了数学中一个最重要的概 念——函数.
§1 生活中的变量关系
课标要求
素养要求
1.通过实例，理解变量间的依赖关系， 在变量间的依赖关系、函数关系概念
函数关系的含义.
的形成中，经历由具体到抽象的过程，
2.理解一变量随着另一变量变化而变 发展学生的数学抽象素养及逻辑推理
化的依赖关系即为函数关系.
素养.
新知探究
我们拨打国内长途电话时，要在拨打的号码前加上区号，每个区 号对应着一个确定的地区，每个地区也对应着一个确定的区号， 如北京的区号是010，0591是福州的区号. 问题 地名与区号之间是一种什么样的关系呢？你能找到生活中 具有函数关系的实例吗？ 提示 是一种依赖关系，也是一种函数关系.例如：1.超市买东西时，价格一定 时，买东西的重量与需付的钱数的关系；2.正方体的体积与边长间的关系.
第二章 函 数
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用 早期函数概念——几何观念下的函数

解析：D中，当x＝2时，y＝±3，即给定了一个x的值，有两
个y值与之对应，因此y不是x的函数；当y＝3时，x＝±2，即 给定了一个 y的值 ， 有两个 x值与之对应 ， 因此 x也不是 y的函 数．
3．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y
千克，则( A ) A．x，y之间有依赖关系
300，－100 ， t(时)的关系是 s＝300－100t， 在这里， 常量是_____________ s， t 变量是____________ ．
(链接教材 P24 实例分析 2)
[解析] 判断常量与变量的关键是看它们是否发生了变化，
在这里，常量是南京与上海的距离300千米和汽车行驶的平均
速度100千米/时，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和 行驶时间t.
积与其半径长存在依赖关系，也是函数关系． (2) 一般情况下，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关
系，不是函数关系．
(3) 一个人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身 高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高 与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系． (4) 某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩 并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同 学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成 绩之间存在依赖关系，但不是函数关系．
1．依赖关系与函数关系的联系与区别 函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的 是函数关系，有的不是函数关系．因此依赖关系不一定是函 数关系，而函数关系一定是依赖关系．
2．表示变量间的关系的两种方法 (1)图像法：它是一种常用的表示两变量关系的方法．在解此 类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互 依赖关系是如何变化的．

读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄

间x之间的函数关系的大致图象是( )
答案：D
解析：由题意得，从M到A的过程中，李老师与M的距离在增加，由 A经C到B的过程中，李老师与M的距离不变，都是半圆的半径长，由 B到M的过程中，李老师与M的距离逐渐减少，故选D.
8．(5分)“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度
与温度之间的变化关系：
10．(5分)向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的( )
答案：B
方法二 由函数图象知，随高度h的增加，注水量V也增加，但随h 变大，每单位高度的增加，注水量V的增加量变小，图象上升趋势变 缓，其原因只能是水瓶平行于底面的截面的半径由底到顶逐渐变小， 故B正确．
答案：是
6．(10分)下表给出的y与x的关系是函数关系吗？
x 1926 1932
y
1
2
1954 3
1954<x<2013 4
2013 5
2015 6
2016 7
7 ． (5 分 ) 如 图 ， 李 老 师 早 晨 出 门 锻 炼 ， 一 段 时 间 内 沿 半 圆 形 路 径
M→A→C→B→M匀速慢跑一周，那么李老师离出发点M的距离y与时
___越_高____．
题型1 依赖关系与函数关系的判断——自主完成 1．以下两个变量之间存在函数关系的是( ) A．商品的销售额与广告费的关系 B．玉米的亩产量与对应的施肥量间的关系 C．一个正三角形的面积与其对应边长的关系 D．学生的学习成绩与其娱乐时间的关系
答案：C
2．下列各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪 些是函数关系？
教材答疑 [教材1思考交流] 1．储油罐的长度是常量，油面面积是变量，油面面积与油面高度h 是函数关系；油面面积与油面宽度w是函数关系． 2．汽车以100 km/h的速度匀速行驶，在这一变化过程中，路程与时 间是变量，速度是常量，路程与时间是函数关系．

•
下列过程中，各变量之间是否存在依赖
关系？其中哪些是函数关系？
• (1)将保温瓶中的热水倒人茶杯中缓慢冷却，并将一
温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示 数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
• (2)商品的销售额与广告费之间的关系； • (3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
• (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关 系．
• 2．两个变量间的函数关系
• (1)并非具有依赖关系的两个变量都有函__数______关
系；
每一个值
• (2)函数关唯系一是确指定满足对于其中一个变量的 ________，另一个变量都有________的值与之对 应．
• 1.下列说法不正确的是( ) • A．依赖关系不一定是函数关系 • B．函数关系是依赖关系 • C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量
• 由图中曲线可判断该地2013年的降雨量与时间是否 具有函数关系？
• [解析] 因为对于2013年的每一个月都有唯一的降雨
课堂典例讲练
• 正确理解常量与变量
•
一辆汽车由南京驶往相距300千米的上
海，它的平均速度是100千米/时，则汽车距上海的
路程s(千米)与行驶时间t(时)的关系是s＝300－100t，
• (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中 存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影 响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商 品的销售额与广告费之间是不确定性关系，即不是 函数关系．
• (3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关 系，更不具有函数关系．
• (4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个 变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程 是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时 间是自变量，路程是因变量．反之也是．

“弹力”是”伸长量”的函数，即“弹力”与“伸长量”具有函数关系.
对于变量“伸长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的
值和它对应，
例4 如表，记录了几个不同气压下水的沸点:
沸点是气压的函数，即沸点与气压具有函数关系.
对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
因此，里程与年份具有依赖关系.
从2008年到2017年，高铁运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
二、函数关系
初中的函数概念：有两个变量和，对于变量的每一个值，变量都有唯一确定的值和它对应，那
么就是的函数，其中是自变量，是因变量，表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式.
减小而增大）
因此，与ℎ具有依赖关系，与具有依赖关系.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、依赖关系
例2 自年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截至年年底，
中国高铁运营里程突破.如图表示的是中国高铁年运营里程的变化.
如图，随着时间的变化，高铁运营里程在变化，（高铁运营里程随着时间的增多而增加）
存在着依赖关系.
对于油面高度的每一个取值，都有唯一的储油量和
它对应.
但是，每一个油面宽度的值，却对应着两个储油量.
像上面这样的变量关系，在实际生活中还有很多，摸清变量之间有何关系，能帮助我们解决很多
生活中的问题，因此，今天我们要更加深入地学习生活中的变量关系.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
没有群发功能）；而一个收信人却可以收到很多信，即一个只能对应一个，而一个却能有多个x与