生活中的变量关系

§2.1 生活中的变量关系【学习目标】1.通过学习结合实例来理解生活中变量之间的依赖关系和函数关系，特别要注意这两种关系之间的区别和联系；2． 2.结合初中学习过的函数，能描述因变量随自变量而变化的依赖关系；3． 3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验成功，创想快乐。

【学习重点】判断变量与变量间是否存在函数关系【学习难点】生活中变量关系与函数关系的区分预习案 一、相关知识 知识链接1：初中阶段我们已经知道常量与变量的含义，即在某个变化过程中，数值保存不变的量叫作______，可以取不同数值的量叫作______。

知识链接2：初中数学中函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果当变 量x 在某变化范围内任意取一个数值时，变量y 按照一定的法则总有_______确定的数值与它 对应，则称y 是x 的函数，通常_______叫自变量，_______叫因变量。

知识链接3：现实生活充满变化，在初中数学、物理等学科中我们都接触过一个变量随着 另一个变量而变化的实例，这些变量之间都有依赖关系吗？都是函数关系吗？ 二、教材助读 阅读课本p23实例分析，思考在高速公路的情况下，有哪些变量存在？哪些变量与变量之间无依赖关系，哪些变量与变量之间有依赖关系？它们是函数关系吗？ 问题1：高速公路的里程数与修建的年数之间有无依赖关系？若有它们是函数关系吗？ 问题2：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，行驶的路程与时间有无依赖关系？若有，它们是函数关系吗？问题3:观察课本 p24图2-2的高速公路加油站的图片，探究储油量v 与油面高度h ；储油量v 与油面宽度w 是否存在依赖关系？若有依赖关系，那它们是函数关系吗？为什么？问题4.进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些常量？哪些变量？ 哪些变量之间存在依赖关系？ 导学案装 订线哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？自主整理：非依赖关系：在变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值_______发生任何变化，这两个变量间具有非依赖关系。

2.1生活中的变量关系一、教学目标:1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度．二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度三、教学方法：探究交流法四、教学过程（一）、知识探索：阅读课文P25页。

实例分析：书上在高速公路情境下的问题。

在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？2．对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？问题小结：1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。

2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y 值与之对应。

3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。

（二）、新课探究——函数概念1．初中关于函数的定义：2．从集合的观点出发，函数定义：给定两个非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作或 f：A→B，或y=f(x),x∈A. ；此时x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合 {f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。

习惯上我们称y是x的函数。

3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则；4．函数值当x=a时，我们用f（a）表示函数y=f（x）的函数值。

（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）1.某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是 ,它们之间是______关系.【函数 y=100x,x∈D 】2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________ .(三个以上)【路程与时间；炮弹的射高与时间的变化关系问题；用电量与时间的关系。

举例说明生活中的变量
标题，生活中的变量。

生活中充满了各种各样的变量，它们时刻影响着我们的生活。

从天气的变化到
人际关系的变动，都是我们无法控制的变量。

让我们通过一些例子来看看生活中的变量是如何影响我们的。

首先，天气是一个常见的变量。

在夏天，天气可能会变得非常炎热，而在冬天
则可能会变得非常寒冷。

这种变化会影响我们的日常生活，比如我们可能会选择不同的衣服来适应不同的天气，或者改变我们的活动计划来应对天气的变化。

其次，人际关系也是一个重要的变量。

我们的家人、朋友和同事都会影响我们
的生活。

他们的情绪、行为和决定都会对我们产生影响。

比如，如果我们的朋友突然改变了计划，可能会影响我们原本的安排。

或者如果我们的同事情绪低落，可能会影响我们的工作效率。

另外，经济状况也是一个重要的变量。

通货膨胀、失业率和股市波动都会对我
们的生活产生影响。

比如，如果通货膨胀导致物价上涨，我们的购买力可能会下降。

或者如果失业率上升，我们可能会面临失业的风险。

总之，生活中的变量无处不在，它们时刻影响着我们的生活。

我们无法完全控
制这些变量，但我们可以通过适应和调整来应对它们。

在面对变量时，我们需要保持灵活性和适应性，以便更好地适应生活的变化。

生活中常见的自变量和因变量的例子1.喝水量（自变量）和体重（因变量）。

当一个人喝了更多的水时，他的体重通常会增加。

2.学习时间（自变量）和考试成绩（因变量）。

学生花费更多时间学习时，通常会获得更好的成绩。

3.消费金额（自变量）和信用卡账单（因变量）。

当人们消费的金额增加时，他们的信用卡账单通常也会相应地增加。

4.运动量（自变量）和睡眠质量（因变量）。

当人们运动量增加时，他们的睡眠质量通常会提高。

5.温度（自变量）和冰淇淋销量（因变量）。

当天气变得更热时，人们通常购买更多的冰淇淋。

6.研究时间（自变量）和论文质量（因变量）。

当研究者花费更多的时间进行研究时，他们的论文质量通常会提高。

7.饮食习惯（自变量）和健康状况（因变量）。

当人们养成更健康的饮食习惯时，他们的健康状况通常也会得到改善。

8.年龄（自变量）和记忆力（因变量）。

当人们年龄增加时，他们的记忆力通常会下降。

9.交通方式（自变量）和二氧化碳排放量（因变量）。

当人们使用公共交通工具而不是开车上班时，城市中的二氧化碳排放量通常会减少。

10.睡眠时间（自变量）和情绪状态（因变量）。

当人们睡眠时间不足时，他们通常会感到疲倦和情绪低落。

11.节食（自变量）和身体健康（因变量）。

当人们采用不适宜的节食方式时，他们的身体健康通常会受到损害。

12.儿童看电视时间（自变量）和学业成绩（因变量）。

研究发现，当儿童花费更多时间看电视时，他们的学业成绩通常会下降。

13.个人收入（自变量）和幸福感（因变量）。

当人们的收入增加时，他们的幸福感通常也会增加。

14.社交活动（自变量）和心理健康（因变量）。

当人们积极参与社交活动时，他们的心理健康通常会得到提高。

15.家长教育程度（自变量）和儿童成就感（因变量）。

研究表明，家长的教育程度与儿童的成就感有密切关系。

16.空气质量（自变量）和健康状况（因变量）。

当空气污染严重时，人们的健康状况通常会受到影响。

17.工作压力（自变量）和心理健康（因变量）。

2.1生活中的变量关系【学习目标】通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系。

能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系。

培养广泛联想的能力和热爱数学的态度。

让学生领悟生活中处处有变量，变量间充满了联系。

【学习重点】生活中变量间依赖关系和函数关系的区分。

【学习难点】依赖关系和函数关系的差别。

【课前预习案】一、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?答：________________________________________________________________________________________________________◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?二、课本导读：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题1.课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。

2.对实例分析3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？3.请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。

4.请同学们尝试归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。

区别：_______________________________联系：________________________________三、预习自测1.给出下列关系：①（她）拥有的财富之间的关系；②橘子的产量与气候之间的关系；③某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试次数之间的关系；其中不是函数关系的有____________2.小明从北京给榆林的爷爷打电话，电话费和时间这两个变量间存在依赖关系吗？这种关系是函数关系吗？3.一年之中有许多节日，如春节、元宵节、清明节等，试问：今年的各个节日和日期（公历）之间是否存在依赖关系？这是一种函数关系吗？4.某校建立学生电子档案，主要信息有：档案序号、姓名、学号、照片、家庭住址等。

第一节生活中的变量关系【教学目标】1、知识与技能了解生活中处处充满变量关系．掌握变量关系和函数关系的区别和联系，会判断变量关系是否是函数关系．2、过程与方法通过公路上的实际例子，引起学生积极思考和交流，使学生认识到生活中处处有变量之间的依赖关系，并利用初中对函数的认识理解函数关系．3、情态与价值通过对生活中变量的讨论，培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．【重点难点】区分生活中的变量关系是否是函数关系．【教学过程】一、章节引入师：请同学们翻开课本，阅读第二章引言．（让学生自己阅读章节引言，初步了解本章要学习的内容）二、导入新课师：我们的生活中存在着各种各样的变量，人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产和亩施肥量是函数关系吗？球体的体积和球半径是函数关系吗？如何判断变量之间是否是函数关系？本节课我们就一起来研究这个问题．（教师板书课题）三、新知探究师：请同学们回顾一下初中所学函数知识，回答问题：（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）（1）初中我们学习的函数定义是什么？（2）如何判断两个变量之间的关系是函数关系？生：（1）函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．（2）当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，则变量x和y之间具有函数关系，并且y是x的函数．师：在高速公路的情境下，你能发现哪些变量存在依赖关系？（教师给学生充分思考和交流的时间）四、应用示例例1：我国自1988年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底位居世界第八；1999年底位居世界第四；2000年底位居世界第三；2001年底超过加拿大，位居世界第二．（如表2-1）根据表内数据作图（如图2-1）（1）高速公路的里程数和年度的变化有什么特点？（2）高速公路的里程数和年度两个变量是函数关系吗？活动：学生利用函数的概念判断两个变量之间是否是函数关系，并学着用语言描述因变量与自变量之间的关系．生：（1）从1988年到2001年，高速公路里程数随年度的增加而不断增加，其中从1999年到2000年增长速度最快．（2）给定一个确定的年度，都有唯一确定的高速公路里程数和它对应，所以高速公路的里程数可以看作因变量，年度看成自变量，高速公路的里程数是年度的函数．师：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中每个时刻都有唯一的行驶路程与之对应．行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数．师：具有依赖关系的两个变量中只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值对应，才称它们之间有函数关系．例2：如图2-2是高速公路加油站的圆柱体储油罐图，储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度为h、油面宽度、储油量v是变量．这些变量中请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．解：储油量v和油面高度h存在依赖关系；储油量v和油面宽度存在依赖关系；油面高度h和油面宽度也存在依赖关系．油面高度h每取定一个值，都有唯一的一个储油量v与之对应，所以储油量v是油面高度h的函数；而油面宽度每取定一个值都有两个储油量v的值与之对应，所以储油量v不是油面宽度的函数；当油面宽度每取定一个值都有两个油面高度h的值与之对应，所以油面高度h不是油面宽度的函数．师：函数关系一定是依赖关系，但是依赖关系不一定的函数关系．请同学们思考下面的问题：（1）进一步分析上述储油罐问题，讨论：还有哪些是常量？哪些是变量？哪些变量之间存在依赖关系？哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？（2）请举出一些与公共交通有关的函数关系．（3）请思考在其它情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．（教师应该为学生留下必要的时间和空间，让其自主地活动，之后让学生试着表述，教师将学生的回答梳理）五、巩固练习课本P25练习1、2、3．解：1、随着售出台数的增加，商店获得的收入也就越多，售出的台数每确定一个值，都有唯一的商店收入值与之对应，所以商店收入是售出台数的函数．2、坐电梯时，给定一个具体的时间就相应的确定一个电梯距地面的高度，电梯距地面的高度是时间的函数．3、加入的蔗糖质量决定糖水的质量浓度，这种依赖关系是函数关系，其中加入蔗糖的质量为自变量，糖水的质量浓度为因变量．六、小结本节课学习了用定义法判断两个变量之间的函数关系．七、作业课本P25习题2-1，A组1、2．。

生活中的变量关系-北师大版必修1教案一、教学目标1.了解变量、常量、函数的基本概念和关系；2.通过实例学习变量、常量、函数在生活中的应用；3.培养学生对于变量关系的思辨和探究能力；4.提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点重点1.变量、常量的概念和区别；2.函数的概念和基本形式。

难点1.变量、函数的实际应用；2.理解函数的返回值和参数的概念。

三、教学内容和方法教学内容1.变量的概念和使用；2.常量的概念和区别；3.函数的概念和基本形式；4.生活中的实际应用。

教学方法1.案例教学法；2.互动式教学法。

四、教学过程1.引入通过生活中的实例引出变量、常量的概念。

比如：购物时的价格、数量、优惠券等都是变量；而超市的会员卡则是常量。

2.定义和区分变量、常量的概念讲解变量和常量的含义和区别，重点讲解变量在生活中的实际应用，比如：小明每天步行上下学路程相同，但所用时间不同。

如果时间用t表示，路程用s表示，那么t 就是变量，s就是常量。

3.函数的概念和基本形式讲解函数的定义和基本形式，重点讲解函数的返回值和参数的概念，比如：煮饭时，煲饭的时间和水的重量是有关系的。

这个关系可以表示为：V=f(t,w)，其中V是煲出的饭的重量，t是煲饭的时间，w是加入的水的重量。

在这个函数中，t和w是参数，V是返回值。

4.生活中实际应用通过实际例子让学生体会变量、常量、函数在生活中的应用。

比如：垃圾分类需要一个评价标准，一般是参照各类垃圾对环境的危害程度。

比如家庭垃圾中的果皮、纸屑等过期的有机物可以通过堆肥处理变成有机肥，可以视为一种“变量”；而废旧材料则需要通过回收处理给予循环利用，这些废旧材料对于不同材质、颜色甚至是否有污染等都需要评估，因此就是“函数”；而废弃物的分类标准则是“常量”。

5.总结和拓展在总结中让学生回顾重点和难点，进一步加深对变量关系的理解和应用。

在拓展环节中可以引入更多实际生活中的例子，让学生参与讨论，探究实际中的变量关系。

生活中的变量
六（1）郝子胥
1.婴儿体重的变化
从表格中可以发现：婴儿的体重随着月龄的变化而变化 关系式：w=4100+700t （月龄t ，体重w ）
2.汽车行驶（匀速）的路程
关系式1：路程=100*时间
从这个关系式中可以发现：路程随着时间的变化而变化 关系式2：速度*时间= 100km
从这个关系式中可以发现：速度越快，时间越短；速度越慢，时间越长
3.
从这两个圆柱中可以发现：高一样，半径大，体积就大（高
一样，体积随着半径的变化而变化）
4.单价数量与总量
上超市买东西，一种矿泉水，1.5元1瓶，买4瓶6元，买10瓶15元。

假设你只有3元，都买矿泉水，一种1.5元一瓶，另一种1元一瓶。

如果你买1.5元一瓶的，那你可以买2瓶；如果你买1元一瓶的，那你可以买3瓶。

从这段文字中可以得出：
1.东西的总价随着东西数量的变化而变化（买的越多，花钱越多）
2.总价一样时，数量随着价格的变化而相反的变化（价格越贵，数量越少，东西越便宜，数量越多）。

两个变量的关系分类变量啊，就像生活中的两个人，关系那叫一个复杂多样。

咱先说说正相关的变量关系。

这就好比你赚钱的多少和你能买的东西的好坏。

你工资越高，能买的东西就越好呗。

就像水涨船高一样。

你每个月挣一千块的时候，可能只能买些便宜的地摊货，等你月入一万了，那就能去专柜挑挑拣拣了。

这两个变量，一个增加，另一个也跟着增加，它们之间的关系就像是一对好朋友，你好我也好。

再看负相关。

这像啥呢？就像你吃的东西越不健康，你身体可能就越差。

你天天吃炸鸡喝可乐，身体的各项指标可能就往下掉。

一个变量增加，另一个变量就减少。

这就像两个人在拔河，一方用力，另一方就被拉过去了。

比如说温度和衣服的厚度。

温度越高，你穿的衣服就越薄，这两者之间就是负相关关系。

还有一种叫不相关。

这就有点像你今天出门先迈左脚还是右脚，和今天会不会下雨一样。

这两者之间完全没有联系。

你迈左脚出门，天该下雨还是下雨，你迈右脚出门，也不影响天气。

变量之间也是这样，一个变量怎么变，另一个变量根本不搭理它，完全按照自己的节奏来。

就像两条平行线，永远不会有交集。

那如果把变量比作两个人的话，正相关就是两个人互相扶持，一起进步。

负相关就是两个人背道而驰，你向东我向西。

不相关呢，就是两个陌生人，各自过各自的生活，谁也不影响谁。

有些变量之间的关系还不是那么简单直接的。

比如说，在一个复杂的生态系统里，兔子的数量和草的数量。

一开始兔子数量少的时候，草就长得茂盛，兔子有充足的食物，数量就会增加。

兔子数量增加了，草就会被大量吃掉，数量减少。

兔子没吃的了，数量又会减少，草又能慢慢长起来。

这就像是一场循环的舞蹈，两者的关系不是简单的正相关或者负相关，而是一种动态的、复杂的关系。

又比如说，在一个班级里，学生的学习时间和学习成绩。

有些学生学习时间很长，成绩却一般，有些学生学习时间短，成绩却很好。

这里面可能涉及到学习效率、学习方法等其他变量的影响。

这就像做菜，不是光有食材和时间就能做出美味的菜肴，还得看厨艺、调料等其他因素。