上海高考中的数列问题

上海高考数学好题赏析全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：上海高考数学好题赏析上海作为中国最具经济活力和文化魅力的城市之一，其高考数学试题一直备受关注。

上海的高考数学试题以其难度适中，注重考查学生综合运用知识和解决问题的能力而闻名于世。

今天，我们就来一起欣赏一些上海高考数学试题，感受其中的精彩之处。

1. 下列数列中，哪个是等差数列？A. 1, 3, 5, 7, 9这道题考查的是数列的性质，学生需要根据数列中相邻两项的差值来判断是否是等差数列。

通过观察可知，选项A中的数列相邻两项的差值均为2，因此是等差数列，答案是A。

2. 已知等比数列的前四项依次是a，2a，4a，8a，若其首项a为正数，公比为2，求该数列的第n项。

这道题考查的是等比数列的性质，学生需要根据已知条件来求解未知的数列项。

根据等比数列的通项公式an=a*r^(n-1)，带入已知条件可得该数列的第n项为a*2^(n-1)。

3. 设函数f(x)=x^2-2x+1，求函数f(x)在定义域内的最小值。

这道题考查的是求函数的最小值，学生需要通过求导数和判断临界点的方法来求解。

对函数f(x)进行求导并令导数为0，可得临界点x=1 。

代入原函数f(x)可得最小值为0。

函数f(x)在定义域内的最小值为0。

4. 若正数a，b，c满足a+b+c=1，求最大值abc的值。

这道题考查了数学中的不等式性质，学生需要通过构造不等式和利用条件求解。

由AM-GM不等式可知，abc≤(a+b+c)/3=(1/3)^3=1/27。

最大值abc的值为1/27。

5. 一辆车从A地开往B地，车速为60km/h；另一辆车从B地开往A地，车速为80km/h。

两车相遇后，分别往各自的目的地开，车速均为80km/h。

假设A地和B地之间的距离为x千米，求两车相遇后再会合的时间。

这道题考查了运动学中的相关性质，学生需要通过距离、速度和时间之间的关系来求解。

首先计算两车相遇时的时间为x/(60+80)=x/140 小时；然后分别计算两车再次相遇的时间，分别为x/(80*2)=x/160 小时和x/(80+x)=x/(80+x)小时。

数列汇编一、题型一：等差数列及其求和1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设()()101100,10Z m m m m m f x a x a x a x a a m m --=++++≠≥∈ ，，记()()1n n f x f x -'=(1,2,,1)n m =-L ，令有穷数列n b 为()n f x 零点的个数()1,2,,1n m =- ，则有以下两个结论：①存在()0f x ，使得n b 为常数列；②存在()0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列.那么（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误2．（2024·上海松江·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.4．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.5．（2024·上海黄浦·二模）已知数列{}n a 是给定的等差数列，其前n 项和为n S ，若9100a a <，且当0m m =与0n n =时，m n S S -{}()*,|30,m n x x x ∈≤∈N 取得最大值，则00m n -的值为.6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =.7．（2024·上海崇明·二模）若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．8．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432m S >，求正整数m 的最小值.二、题型二：等比数列及其求和9．（2024·上海松江·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题10．（2024·上海普陀·二模）设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立11．（2024·上海青浦·二模）设n S 是首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，且202320252024S S S <<，则（）．A ．10a >B ．0q >C ．1n S a ≤D ．n S q<12．（2024·上海长宁·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①真②真B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假13．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.14．（2024·上海普陀·二模）设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki i i m t S ==-∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =.15．（2024·上海徐汇·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3122n n S a =-（n 是正整数），则5a =.16．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =.17．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为．18．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =．19．（2024·上海奉贤·二模）已知{}n a 是公差d =2的等差数列，其前5项和为15，{}n b 是公比q 为实数的等比数列，11b =，426b b -=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()221,na n n cb n n =+≥∈N ，计算1ni i c =∑．三、题型三：数列极限及新定义问题20．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列{}n a 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=.21．（2024·上海黄浦·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题22．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 满足2211n n n n n a a a a a +++=+（n 是正整数），121a a ==，定义函数11()1(0)!nkn k y f x x x k ===+≥∑，e 是自然对数的底数.(1)求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记函数()n y g x =，其中()1e ()x n n g x f x -=-.（i ）证明：对任意0x ≥，3430()()()≤≤-g x f x f x ；（ii ）数列{}n b 满足12n n nb a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和.数列{}n T 的极限的严格定义为：若存在一个常数T ，使得对任意给定的正实数u （不论它多么小），总存在正整数m 满足：当n m ≥时，恒有n T T u -<成立，则称T 为数列{}n T 的极限.试根据以上定义求出数列{}n T 的极限T .23．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．24．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域均为D .设0x D ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x .当1n ≥时，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +.依此类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于0x 的“N 数列”.(1)若()ln f x x =，{}n x 是函数()y f x =关于01ex =的“N 数列”，求1x 的值；(2)若()24f x x =-，{}n x 是函数()y f x =关于03x =的“N 数列”，记32log 2n n n x a x +=-，证明：{}n a 是等比数列，并求出其公比；(3)若()2xf x a x =+，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ≠，使得函数()y f x =关于0x 的“N 数列”{}n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由.参考答案一、题型一：等差数列及其求和1．（23-24高三下·上海浦东新·期中）设()()101100,10Z m m m m m f x a x a x a x a a m m --=++++≠≥∈ ，，记()()1n n f x f x -'=(1,2,,1)n m =-L ，令有穷数列n b 为()n f x 零点的个数()1,2,,1n m =- ，则有以下两个结论：①存在()0f x ，使得n b 为常数列；②存在()0f x ，使得n b 为公差不为零的等差数列.那么（）A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】C【分析】对于①，列举()0mf x x =验证，对于②，列举()()()()012f x x x x m =--- 验证.【详解】当()0mf x x =时，()()110m f x f x mx '-==，此时11b =，()()()2211m f x f x m m x '-==-，此时21b =，⋯()()()()12122m m f x f x m m m x '--==--⨯⨯ ，此时11m b -=，故存在()0f x ，使n b 为常数列；①正确；设()()()()012f x x x x m =--- ，则()0f x 有m 个零点1,2,3,,m ，则()1f x 在()()()1,2,2,3,,1,m m - 的每个区间内各至少一个零点，故()1f x 至少有1m -个零点，因为是一个1m -次函数，故最多有1m -个零点，因此()1f x 有且仅有1m -个零点，同理，()2f x 有且仅有2m -个零点，L ，()k f x 有且仅有m k -个零点，故n b m n =-，所以{}n b 是公差为1-的等差数列，故②正确.故选：C.2．（2024·上海松江·二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若35a S =，则使得n n S a <成立的n 的最大值为.【答案】53．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a 满足：①[0,2π)a ∈；②存在实数,(2π)b c a b c <<<，使得a ，b ，c 是等差数列，cos b ，cos a ，cos c 也是等差数列.则实数a 的取值范围是.4．（2024·上海杨浦·二模）某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于32米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为.【答案】134【分析】由题设信息，第一层有m根，共有n层，利用等差数列前n项和公式列出关系式，再借助整除的思想分析计算得解.【详解】设第一层有m根，共有n层，则(1)20242nn nS nm-=+=，4(21)404821123n m n+-==⨯⨯，显然n和21m n+-中一个奇数一个偶数，则1121368nm n=⎧⎨+-=⎩或1621253nm n=⎧⎨+-=⎩或23176nm=⎧⎨=⎩，即11179nm=⎧⎨=⎩或16119nm=⎧⎨=⎩或2377nm=⎧⎨=⎩，显然每增加一层高度增加53厘米，当11179nm=⎧⎨=⎩时，10531096.6h=⨯+≈厘米150<厘米，此时最下层有189根；当16119nm=⎧⎨=⎩时，155310139.9h=⨯+≈厘米150<厘米，此时最下层有134根；当2377nm=⎧⎨=⎩时，225310200.52150h=⨯+≈>厘米，超过32米，所以堆放占用场地面积最小时，最下层圆钢根数为134根.故答案为：1345．（2024·上海黄浦·二模）已知数列{}n a是给定的等差数列，其前n项和为n S，若9100a a<，且当m m=与0n n=时，m nS S-{}()*,|30,m n x x x∈≤∈N取得最大值，则00m n-的值为.【答案】21【分析】不妨设数列{}n a的公差大于零，不妨取m n>，则1mm n ii nS S a=+-=∑，设3030910iik S S a==-=∑，再分9,30n m>=和9,30n m<=两种情况讨论，可得出n的值，再讨论30m<，即可求出0m，即可得解.【详解】不妨设数列{}n a的公差大于零，6．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知等差数列{}n a 满足1612a a +=，47a =，则3a =.【答案】5【分析】由等差数列的性质可得.【详解】因为{}n a 是等差数列，所以1634a a a a +=+，则有3127a =+，解得35a =.故答案为：5.7．（2024·上海崇明·二模）若等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，则5a =．【答案】9【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】因为等差数列{}n a 的首项11a =，前5项和525S =，由等差数列的求和公式，可得15555()5(1)2522a a a S ⨯+⨯+===，解得59a =.故答案为：9.8．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列{}n a 满足25a =，9672a a +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 前n 项和为n S ，且221n n n b a a +=-，若432m S >，求正整数m 的最小值.【答案】(1)21n a n =+(2)10【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意根据等差数列通项公式得到关于1a 、d 的方程组，解得即可求出通项公式；（2）由（1）可得22188n n n b a a n +=-=+，利用等差数列求和公式求出n S ，再解不等式即可.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1115872(5)a d a d a d +=⎧⎨++=+⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故1(1)21n a a n d n =+-=+；（2）由（1）可得123n a n +=+，则22221(23)(21)88n n n b a a n n n +=-=+-+=+，所以18(2)n n b b n --=≥，则数列{}n b 是以116b =为首项，8为公差的等差数列，故()216884122n n n S n n++==+，因为432m S >，所以2412432m m +>，所以4(12)(9)0m m +->，所以9m >或12m <-，因为N*m ∈，所以9m >，所以m 的最小值是10．二、题型二：等比数列及其求和9．（2024·上海松江·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，有以下两个命题：①若{}n a 是公差不为零的等差数列且N k ∈，2k ≥，则12210k S S S -⋅= 是120k a a a ⋅= 的必要非充分条件；②若{}n a 是等比数列且N k ∈，2k ≥，则120k S S S ⋅= 的充要条件是10k k a a ++=.那么（）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，①是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题分析得解.10．（2024·上海普陀·二模）设n S 是数列{}n a 的前n 项和(1,N)n n ≥∈，若数列{}n a 满足：对任意的2n ≥，存在大于1的整数m ，使得()()10m n m n S a S a +--<成立，则称数列{}n a 是“G 数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列{}n a 是“G 数列”；②任意等比数列{}n a 都不是“G 数列”.则（）A ．①成立②成立B ．①成立②不成立C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【答案】D【分析】由题意可得任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1n m n a S a +<<，对命题①，分公差0d >或0d <两种情况讨论可判断结论，对于②，举例如2n n a =，可判断结论.【详解】由“G 数列”的定义，对任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，成立，则对任意的n ≥2，存在大于1的整数m ，使得1n m n a S a +<<，对于命题①不成立，理由如下：假设存在11n m n m a S a S ++<<<< ，当0d >时，总存在2k a d >，由于对任意正整数n ，有1n n a a d +-=，所以总存在正整数k ，使得1k S -与1S 2k k S d -->，所以不会存在112n k n k n a S a S a -++<<<<，当0d <时，总存在2k a d <，由于对任意正整数n ，有1n n a a d +-=，所以总存在正整数k ，使得1k S -与1S 2k k S d --<，所以不会存在112n k n k n a S a S a -++<<<<，对于命题②不成立，理由如下：举例说明：如2n n a =，有122n n S +=-，因为1n m n a S a +<<，所以112222n m n ++<-<，可以取m n =，就可以保证不等式成立，综上所述：①不成立，②不成立.故选：D.【点睛】考查新定义题型，考查转化思想与阅读理解能力，以及分类讨论思想的应用.11．（2024·上海青浦·二模）设n S 是首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，且202320252024S S S <<，则（）．A ．10a >B ．0q >C ．1n S a ≤D ．n S q<12．（2024·上海长宁·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A ．①真②真B ．①真②假C ．①假②真D ．①假②假【答案】B【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有22211n n S n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n 为奇数时，22111n n S a ==+=+；n 为偶数时，20111n n S a ==-+=+.这表明21n n S a =+恒成立，再令1c =就有2n n S a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.13．（2024·上海普陀·二模）设等比数列{}n a 的公比为(1,N)q n n ≥∈，则“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是.【答案】3q =（或2q =-,答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【详解】212a ，4a ，32a 成等差数列，则4232122a a a =+，即26q q =+，解得3q =或2q =-，故“212a ，4a ，32a 成等差数列”的一个充分非必要条件是3q =（或2)q =-．故答案为：3q =（或2q =-,答案不唯一）14．（2024·上海普陀·二模）设k ，m ，n 是正整数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，11n n S a +=+，若()11ki i i m t S ==-∑，且{0,1}i t ∈，记12()k f m t t t =+++ ，则(2024)f =.【答案】7【分析】根据数列递推式求出{}n a 的通项，从而可得i S ，进而可得m ，根据12()k f m t t t =+++ ，即可求出(2024)f ．15．（2024·上海徐汇·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a =-（n 是正整数），则5a =.16．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列{}n a 满足：12a =，2312a a +=，则通项公式为n a =.【答案】2n【分析】利用给定条件，求出等比数列{}n a 的公比，再写出通项公式.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为,0q q >，由12a =，2312a a +=，得21112a q a q +=，则260q q +-=，解得2q =，所以112n nn a a q -==.故答案为：2n17．（2024·上海静安·二模）已知等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则a 的值为．【答案】1-【分析】根据题意，分别求得112a a =+，214a =-，318a =-，结合2213a a a =，列出方程，即可求解.【详解】由等比数列的前n 项和为12nn S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得1112a S a ==+，22111()2414a S a S a ==+-=--+，33211()4818a S a S a ==+-=--+，所以2111()()()428a -=+⨯-，解得1a =-，经检验符合题意.故答案为：1-.18．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若202420226S S -=，则2024a =．【答案】4【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和的概念计算即可得解.【详解】因为20242022202420232023(1)6S S a a a q -=+=⋅+=，所以20232a =，故20242023224a a q =⋅=⨯=.故答案为：419．（2024·上海奉贤·二模）已知{}n a 是公差d =2的等差数列，其前5项和为15，{}n b 是公比q 为实数的等比数列，11b =，426b b -=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()221,na n n cb n n =+≥∈N ，计算ni c ∑．【答案】(1)23n a n =-，12n n b -=；(2)()5416n-．三、题型三：数列极限及新定义问题20．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列{}na 是严格减数列，其前n 项和为12,n S a =，若123,2,3a a a 成等差数列，则lim n n S →∞=.21．（2024·上海黄浦·二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为“T 数列”.对于命题：①存在“T 数列”{}n a ，使得数列{}n S 为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题【答案】A【分析】根据题意，结合“T 数列”的定义，举出实例说明①②，即可得出答案.【详解】对于命题①，对于数列{}n a ，令21,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，则11,12,2n n n S n -=⎧=⎨≥⎩，数列{}n S 为公比不为1的等比数列，当1n =时，11S =是数列{}n a 中的项，当2n ≥时，12n n S -=是数列{}n a 中的项，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，故命题①正确；对于命题②，等差数列{}n a ，令1a d =-，则()()112n a a n d n d =+-=-，则()()()123222n n n d n d n a a n n S d ⎡⎤-+-+-⎣⎦===，因为21n -≥-且2Z n -∈，()2313912228n n n -⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭，且()3N*,Z 2n n n -∈∈，所以对任意的*N n ∈，n S 都是数列{}n a 中的项，所以对于任意的实数1a ，都存在实数d ，使得以1a 为首项、d 为公差的等差数列{}n a 为“T 数列”，故命题②正确；故选：A.22．（2024·上海徐汇·二模）已知各项均不为0的数列{}n a 满足2211n n n n n a a a a a +++=+（n 是正整数），121a a ==，定义函数11()1(0)!nkn k y f x x x k ===+≥∑，e 是自然对数的底数.(1)求证：数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)记函数()n y g x =，其中()1e ()x n n g x f x -=-.（i ）证明：对任意0x ≥，3430()()()≤≤-g x f x f x ；（ii ）数列{}n b 满足12n n nb a -=，设n T 为数列{}n b 的前n 项和.数列{}n T 的极限的严格定义为：若存在一个常数T ，使得对任意给定的正实数u （不论它多么小），总存在正整数m 满足：当n m ≥时，恒有n T T u -<成立，则称T 为数列{}n T 的极限.试根据以上定义求出数列{}n T 的极限T .再证：343()()()≤-g x f x f x .又434()()4!-=f x f x x ，记334()()4!=-g x h x x ，则()()3333!''=-x h x g x ()3e 13!x x -=-，由0,e 10x x -≥-≤，故()30h x '≤且仅当0x =时等号成立，于是()3h x 在[)0,+∞上是严格减函数，故()()3300h x h ≤=，于是()4304!≤≤x g x ，证毕.（ii ）由题意知，()2112221(2)1!2!1!--=++++=- n n n f T n ，下面研究()n y f x =.将（i ）推广至一般情形.()111111e !1!n n k k k k xn g x x x k k -=-=⎡⎤⎛⎫'=-⎥⎛+⎢ ⎪⎝⎭⎭⎣ ⎝⎦⎫+⎪∑∑e !n x x n -=，由()*0,N ,e 0,!nxn x x n g x n -'≥∈=≥当且仅当0x =时等号成立，于是()n g x 在[)0,+∞上是严格增函数，故()()00n n g x g ≥=成立.①再证：1()()()n n n g x f x f x +≤-.()11()(1)!n n n f x f x x n ++-=+，记()1!()()1n n n h x g x x n ++=-，则()()!n n n x h x g x n ''=-()1!nx xe n -=-，由*0,N ,e 10x x n -≥∈-≤，故()0nh x '≤当且仅当0x =时等号成立，于是()n h x 在[)0,+∞上是严格减函数，故()()00n n h x h ≤=，于是()()101!n n x g x n +≤≤+，所以，()1101!11e (1)!n nxk k x x k n -+=≤-+≤+∑，即对任意0x ≥，10()()()n n n g x f x f x +≤≤-.于是对2n ≥，110()()()≤≤---n n n g x f x f x ，整理得1(0e e !)-≤-≤n n xxf x x n ，令2x =，得12(2)20e e !-≤-≤n x n n f ，即22e 20e !n n T n ⋅≤-≤，故22e 2e !n n T n ⋅-≤.（方法一）当6n ≥时，(1)(2)5416n n --≥⨯>故44222[1(2)(1)][23(3)](1)!n n n n n n -=⨯<⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯-=-…即2(1)!n n <-，23．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列{}n a 满足：存在正整数T ，使得n T n a a +=对一切正整数n 成立，则称{}n a 是周期为T 的周期数列．(1)若ππsin 3n n a m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中正整数m 为常数，N,1n n ∈≥），判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(2)若1sin (N,1)n n n a a a n n +=+∈≥，判断数列{}n a 是否为周期数列，并说明理由；(3)设{}n b 是无穷数列，已知1sin (N,1)n n n a b a n n +=+∈≥．求证：“存在1a ，使得{}n a 是周期数列”的充要条件是“{}n b 是周期数列”．【答案】(1){}n a 是周期为2m 的周期数列，理由见解析(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据题设定义，利用sin y x =的周期，即可得出结果；（2）分()1πZ a k k =∈与()1πa k k Z ≠∈两种情况讨论，当()1πZ a k k =∈，易得到{}n a 是周期为1的周期数列，当()1πZ a k k ≠∈时，构造()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，利用导数与函数单调性间的关系，可得出{}n a是严格增（或减）数列，从而可得出结果；（3）根据条件，利用充要条件的证明方法，即可证明结果.【详解】（1）因为2ππππππsin (2)sin 2πsin 333n m n n n a n m a mm m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以{}n a 是周期为2m 的周期数列．（2）①当12a a =时，1sin 0a =，()1πZ a k k =∈，所以当()1πZ a k k =∈时，{}n a 是周期为1的周期数列，②当()1πZ a k k ≠∈时，记()sin f x x x =+，则1()n n a f a +=，()1cos 0f x x '=+≥，当且仅当()()1121πZ x k k =+∈时等号成立，即()1cos 0f x x =+>'，所以()f x 在R 上严格增，若12a a <，则12()()f a f a <，即23a a <，进而可得1234a a a a <<<< ，即{}n a 是严格增数列，不是周期数列；同理，若12a a >，可得{}n a 是严格减数列，不是周期数列．综上，当1π()a k k =∈Z 时，{}n a 是周期为1的周期数列；当1π()a k k ≠∈Z 时，{}n a 不是周期数列．（3）必要性：若存在1a ，使得{}n a 是周期数列，设{}n a 的周期为0T ，则00011sin sin n T n T n T n n n b a a a a b +++++=-=-=，所以{}n b 是周期为0T 的周期数列，充分性：若{}n b 是周期数列，设它的周期为T ，记1a x =，则10()a f x x==211()sin a f x b x ==+，是关于x 的连续函数；3221()sin ()a f x b f x ==+，是关于x 的连续函数；…1()T T a f x -=，是关于x 的连续函数；11sin ()T T T a b f x +-=+，令1()sin ()T T g x x b f x -=--，则()g x 是连续函数，且1(2)2sin ()0T T g b f x -+=->，1(2)2sin ()0T T g b f x --=--<，所以()g x 存在零点c ，于是1sin ()0T T c b f c ---=，取1a c =，则111sin ()T T T a b f c c a +-=+==，从而211112sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，322223sin sin T T T a b a b a a +++=+=+=，……一般地，n T n a a +=对任何正整数n 都成立，即{}n a 是周期为T 的周期数列．（说明：关于函数连续性的说明不作要求）【点睛】方法点晴：对于数列的新定义问题，解决问题的关键在于准确理解定义，并结合定义进行判断或转化条件.24．（23-24高三下·上海浦东新·期中）已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的定义域均为D .设0x D ∈，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线交x 轴于点()1,0x .当1n ≥时，设曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线交x 轴于点()1,0n x +.依此类推，称得到的数列{}n x 为函数()y f x =关于0x 的“N 数列”.(1)若()ln f x x =，{}n x 是函数()y f x =关于01ex =的“N 数列”，求1x 的值；(2)若()24f x x =-，{}n x 是函数()y f x =关于03x =的“N 数列”，记32log 2n n n x a x +=-，证明：{}n a 是等比数列，并求出其公比；(3)若()2x f x a x=+，则对任意给定的非零实数a ，是否存在00x ≠，使得函数()y f x =关于0x 的“N 数列”{}n x 为周期数列？若存在，求出所有满足条件的0x ；若不存在，请说明理由.求出函数的单调区间，进而可得出结论.【详解】（1）由()ln f x x =，得()1f x x'=，因为01ex =，则()()001,e f x f x -'==，所以曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线方程为()11e e y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，令0y =，则2ex =，所以12ex =；（2）由()24f x x =-，得()2f x x '=，于是曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程为()()242n n n y x x x x --=-，令0y =，则2142n n nx x x x ++==，由题意得到2113332142222log log 2log 242222n n n n n n n n n nx x x x a a x x x x +++++++====+---，所以12n n a a +=，又因为0113333102232log 2log 2log 2log 52232x x a x x +++====---，所以数列{}n a 是以32log 5为首项，2为公比的等比数列；（3）由()2x f x a x =+，得()()222a x f x a x -'=+，所以曲线()y f x =在点()(),n n x f x 处的切线方程为()()2222n n n n n x a x y x x a x a x --=-++，令0y =，则3122n n n x x x x a+==-，设特征函数为()322x g x x a =-，则()()()()224222222326x x a x ax g x x a x a -'-==--，情况1：当a<0时，则()(),,x a a ∞∞∈---⋃-+，此时()()()2222230x x a g x x a --'=≥，所以函数()g x 在定义域内为增函数，情况2：当0a >时，x 令()0g x '>，得3x >令()0g x '<，得3a -所以不可能为0，所以数列不可能为周期数列；若k 为奇数，()()121ki j j k k k i j x x x x x x +--==+++++∑ 中，每一个括号内的式子都与k x 是同号的，所以不可能为0，所以数列不可能为周期数列；当()(),,,,33n a a x a a a a ∞∞⎛⎫⎛⎫∈--⋃--⋃⋃+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1n n x x +>，可得得到起初1,n n x x +是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列，故当0a >时，有13a x =±满足条件，使得数列成周期为2的周期数列，此时03a x =±，综上所述，存在03a x =±满足题意.【点睛】方法点睛：等比数列的两种判定方法：（1）定义法：1n na q a +=（常数）()N n *∈⇔数列{}n a 为等比数列；（2）等差中项法：()212N n n n a a a n *++=⋅∈⇔数列{}n a 为等比数列.。

*上海高考数学解答题之数列21．（2013静安一模）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知数列}{n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有33231221)(n n a a a a a a +++=+++ ．（1）当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列1a 、2a 、3a ；（2）试求出数列}{n a 的任一项n a 与它的前一项1-n a 间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列}{n a ，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列}{n a 的一个通项公式；若不存在，说明理由．23．（2013徐汇一模）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的无穷子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.23.（2013闵行一模）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，已知2*421()n n n S a a n N =++∈．(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)证明：对任意* 2m k p N m p k ∈+=、、，，都有112m p kS S S +≥； (3)对于(2)中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．22．（2013浦东一模）（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）定义数列}{n x ，如果存在常数p ，使对任意正整数n ，总有1()()0n n x p x p +--<成立，那么我们称数列}{n x 为“-p 摆动数列”．（1）设12-=n a n ，n n q b =（01<<-q ），*∈N n ，判断数列}{n a 、}{n b 是否为“-p 摆动数列”，并说明理由；（2）已知“-p 摆动数列”}{n c 满足111+=+n n c c ，11=c ，求常数p 的值． （3）设)12()1(-⋅-=n d n n ，且数列}{n d 的前n 项和为n S ，求证：数列}{n S 是“-p 摆动数列”，并求出常数p 的取值范围。

数列创新题型突破-------一、分段数列前后分段：和分段讨论，临界点，下标，首项，项或项数分段奇偶分段：递推，下标，首项，和分组，奇偶项联系，项或项数分奇偶（一）通项公式前后分段例1（上海高考题）数列中，则数列的极限值（）Ａ．等于Ｂ．等于Ｃ．等于或Ｄ．不存在分析：此数列的前1000项与后面的项的通项公式是不一样的，但数列的极限与数列的前有限项是没有关系的，因此，只需考虑当n≥1001时数列的通项公式来求极限.解：，选B.例2（上海高考题）.如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．例如，数列与数列都是“对称数列”．（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．分析：此题首先大家通过阅读要“读懂”什么叫“对称数列”.通过分析大家可以知道“对称数列”它的前若干项与后若干项通项公式是不一样的，它们之间存在着一种“对称”关系，而解此题的关键就在于理解并应用这种“对称”关系.尤其是第三问，由于数列的前后若干项的通项公式不同导致它们的前项和也只能以“分段”的形式给出.解：（1）由题意，数列的公差为，数列为．（2）67108861．（3）． 由题意得是首项为，公差为的等差数列．当时，．当时，．故（二）通项公式奇偶分段例3.已知数列的通项，求其前项和．分析：很显然，此数列的奇数列项与偶数项的通项公式不一样，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，因此我们在求其前项和时出必须对奇数项与偶数项分别求和.但要注意奇数项并不是以1为首项6为公差的等差数列，而是以1为首项12为公差的等差数列；偶数列项也不是以为首项公比为2的等比数列，而是以为首项公比为4的等比数列.解：当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，∴当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项，∴所以，例4在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（1）证明成等比数列；（2）求数列的通项公式；分析：本题最核心的条件当然是成等差数列，且公差为2k.对于题（1），可利用这一核心条件写出数列的前6项，即知成等比数列，而对于题(2),则可利用这一核心条件，先得到所有奇数项中的后一项与前一项的关系，从而通过累加的方法等到奇数项的通项公式，然后再得到偶数项的通项公式.解：（1）证明：由题设可知，，，，，.从而，所以，，成等比数列.（2）解：由题设可得所以.由，得，从而.所以数列的通项公式为.（三）递推公式前后分段例7（2008上海）已知以为首项的数列满足：．（1）当时，求数列的通项公式；（2）当，，时，试用表示数列前100项的和.分析：此数列后一项与前一项的关系依赖于前一项的大小。