上海高中数学数列的极限(2020年整理).pdf

7.6 数列的极限 【2 】课标解读：1.懂得数列极限的意义;2.控制数列极限的四则运算轨则. 目的分化：1.数列极限的界说：一般地,假如当项数n 无穷增大时,无穷数列{}n a 的项na 无穷地趋近于某个常数a (即||a an-无穷地接近于0),那么就说数列{}n a 认为a 极限.注：a 不必定是{}na 中的项.2.几个常用的极限：①CC n =∞→lim (C 为常数);②01lim=∞→n n ;③)1|(|0lim <=∞→q q n n ;3.数列极限的四则运算轨则：设数列{}n a .{}n b ,当a a n n =∞→lim ,bb n n =∞→lim 时,ba b a n n n ±=±∞→)(lim ;ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ;)0(lim≠=∞→b b ab a nn n4.两个主要极限：①⎪⎩⎪⎨⎧<=>=∞→001001lim c c c nc n 不存在②⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→11||111||0lim r r r r r n n 或不存在问题解析：一.求极限： 例1：求下列极限：(1)3214lim 22+++∞→n n n n(2)24323lim n n nn n -+∞→(3))(lim 2n n n n -+∞→例2：求下列极限：(1))23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ;(2)])23()13(11181851521[lim +⨯-++⨯+⨯+⨯∞→n n n例3：求下式的极限：)2,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+-∞→n n n n n二.极限中的分数评论辩论：例4：已知数列{}n a 是由正数构成的数列,31=a ,且知足ca a n n lg lg lg 1+=-,个中n 是大于1的整数,c 是正数.(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(2) 求1122lim +-∞→+-n nnn n a a 的值. 三.极限的运用：例5：已知p .q 是两个不相等的正整数,且2≥q ,求1)11(1)11(lim-+-+∞→q p n n n 的值.常识内化：1.=++++∞→n n n 212lim__________________. 2.=+-+++++∞→])1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________. 3.=⋅-⋅---+∞→1113232lim n n nn n n n ___________________.4.下列四个命题中准确的是（ ） A.若22lim A a n n =∞→,则Aa n n =∞→limB.若0>n a ,A a n n =∞→lim ,则0>AC.若Aa n n =∞→lim ,则22lim A a n n =∞→D.若0)(lim =-∞→n n n b a ,则nn n n b a ∞→∞→=lim lim5.已知数列{}n a .{}n b 都是由正数构成的等比数列,公比分离为p .q ,个中q p >且1≠p ,1≠q ,设n n n b a c +=,nS 为数列{}n c 的前n 项和,求1lim-∞→n nn S S .才能迁徙： 1.数列{}n a .{}n b 都是无穷等差数列,个中31=a ,21=b ,2b 是2a 与3a的等差中项,且21lim=∞→nn n b a ,求极限)111(lim 2211n n n b a b a b a +++∞→ 的值.根本演习： 一.填空题：1. =-+∞→322lim 22n b n n n ___________________.2.若nn x )12(lim -∞→的极限消失,则实数x 的取值规模__________________.3. 1)11(lim 2=---+∞→b an n n n ,则a =______________,b =____________________.4.数列{}n a 中,31=a ,且对随意率性大于1的正整数n ,点)1,(-n n a a 在直线03=--y x 上,则=+∞→2)1(limn a nn __________________.5.已知n n f +++= 21)(,则=∞→22)]([)(lim n f n f n __________________.6.数列{}n a 的公役d 是2,前n 项的和为n S ,则=-∞→nn n S n a 2lim _________________.7. 设数列{}n a .{}n b 都是公役不为0的等差数列,且2lim=∞→nnn b a ,则nnn na b b b 3221lim+++∞→ 等于______________________.8.将3133)2(3lim 1=-⋅+-⋅+∞→n n n n n n x n n ,则实数x 的取值规模是__________________. 9.已知数列{}n a ：21,3231+,434241++,…,109102101+++ ,…,那么数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的所有项的和为________________.10.已知等比数列{}n a 的首项1a ,公比q ,且有21)1(lim 1=-+∞→n n q q a ,则首项1a 的取值规模是__________________.二.选择题11.已知a .b .c 是实常数,且3lim 22=--∞→b cn c bn n ,则a cn c an n ++∞→22lim 的值是（ ）A.2B.3C.21D.612.{}n a 中,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤=1001,210001,1222n n n n n n a n ,则数列{}n a 的极限值（ ）A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不消失13.)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ ）A.0B.1C.2D.314.已知122lim =+-∞→nn nn n a a ,R a ∈,则a 的取值规模是（ ）A.0<aB.2-<a ,2>aC.22<<-aD.2<a 且2-≠a三.解答题15.已知等差数列前三项为a .4.a 3,前n 项和为n S ,2550=k S(1)求a 及k 的值;(2)求)111(lim 21n n S S S +++∞→16.曲线)0(1:>=x xy C 与直线x y l =:订交于1A ,作l B A ⊥11交x 辆于1B ,作l A B //21交曲线C 于2A ……依此类推.(1)求点1A ,2A ,3A 和1B ,2B ,3B 的坐标;(2)猜想nA 的坐标,并加以证实;(3)求n n n n n B B B B 11||lim-+∞→17.已知数列}{n a 知足)1)(1()1(1-+=-+n n a n a n 且62=a ,设)(*∈+=N n n a b n n(1)求}{n b 的通项公式;(2)求)21212121(lim 432-++-+-+-∞→n n b b b b 的值.18.设n T 为数列}{n a 前n 项的和,))(1(23N n a T n n ∈-=.数列}{n b 的通项公式为)(34N n n b n ∈+=(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)若},,,,{},,,,{321321 n n b b b b a a a a c ∈,则c 称为数列}{n a ,}{n b 的公共项,将数列}{n a 与}{n b 的公共项按它们在原数列中的先后次序排成一个新的数列,证实：数列}{n c 的通项公式为)(312N n c n n ∈=+;(3)设数列}{n c 中的第n 项是数列}{n b 中的第m 项,mB 为数列}{n b 前m 项的和;nD 为数列}{n c 前n 项的和,且nm n D B A -=;求：4)(limn n n a A ∞→.。

7.6 数列的极限之阳早格格创做课标解读：1、明白数列极限的意思；2、掌握数列极限的四则运算规则. 目标领会：1、数列极限的定义：普遍天，如果当项数n 无限删大时，无贫数列{}n a 的项n a 无限天趋近于某个常数a (即||a a n -无限天靠近于0)，那么便道数列{}n a 以a 为极限.注：a 纷歧定是{}n a 中的项.2、几个时常使用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim=∞→n n ；③)1|(|0lim <=∞→q q n n ；3、数列极限的四则运算规则：设数列{}n a 、{}n b ， 当aa n n =∞→lim ，bb n n =∞→lim 时，ba b a n n n ±=±∞→)(lim ；ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0(lim≠=∞→b b ab a n n n 4、二个要害极限：①⎪⎩⎪⎨⎧<=>=∞→001001lim c c c nc n 不存在②⎪⎩⎪⎨⎧-=>=<=∞→11||111||0lim r r r r r nn 或不存在问题剖析： 一、供极限：例1：供下列极限：(1) 3214lim22+++∞→n n n n(2) 24323lim n n nn n -+∞→(3))(lim 2n n n n -+∞→例2：供下列极限：(1) )23741(lim 2222n n n n n n -++++∞→ ；(2)])23()13(11181851521[lim +⨯-++⨯+⨯+⨯∞→n n n例3：供下式的极限： 二、极限中的分数计划： 例4：已知数列{}n a 是由正数形成的数列，31=a ，且谦脚c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数.(1) 供数列{}n a 的通项公式及前n 项战n S ；(2) 供1122lim +-∞→+-n nn n n a a 的值. 三、极限的应用： 例5：已知p、q是二个没有相等的正整数，且2≥q ，供1)11(1)11(lim-+-+∞→q p n n n 的值.知识内化：1、=++++∞→n n n 212lim__________________.2、=+-+++++∞→])1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________. 3、=⋅-⋅---+∞→1113232lim n n nn n n n ___________________.4、下列四个命题中精确的是（ ） A 、若22lim A a n n =∞→，则Aa n n =∞→limB 、若0>n a ，Aa n n =∞→lim ，则0>AC 、若Aa n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→D 、若)(lim =-∞→n n n b a ，则nn n n b a ∞→∞→=lim lim5、已知数列{}n a 、{}n b 皆是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中q p >且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项战，供1lim-∞→n nn S S .本领迁移：1、数列{}n a 、{}n b 皆是无贫等好数列，其中31=a ，21=b ，2b 是2a 与3a 的等好中项，且21lim=∞→n n n b a ，供极限)111(lim 2211n n n b a b a b a +++∞→ 的值.基础训练： 一、挖空题： 1. =-+∞→322lim 22n b nn n ___________________.2.若nn x )12(lim -∞→的极限存留，则真数x的与值范畴__________________. 3.1)11(lim 2=---+∞→b an n n n ，则a=______________，b =____________________.4.数列{}n a 中，31=a ，且对于任性大于1的正整数n ，面)1,(-n n a a 正在直线3=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn __________________.5. 已知n n f +++= 21)(，则=∞→22)]([)(lim n f n f n __________________. 6.数列{}n a 的公好d是2，前n项的战为nS ，则=-∞→nn n S n a 2lim _________________.7.设数列{}n a 、{}n b 皆是公好没有为0的等好数列，且2lim=∞→n nn b a ，则nnn na b b b 3221lim+++∞→ 等于______________________.8、将3133)2(3lim 1=-⋅+-⋅+∞→n n n n n n x n n ，则真数x的与值范畴是__________________.9、已知数列{}n a ：21，3231+，434241++，…，109102101+++ ，…，那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的所有项的战为________________.10、已知等比数列{}n a 的尾项1a ，公比q ，且有21)1(lim 1=-+∞→n n q qa ，则尾项1a 的与值范畴是__________________.二、采用题11、已知a 、b 、c 是真常数，且3lim 22=--∞→b cn c bn n ，则acn can n ++∞→22lim 的值是（ ）A 、2B 、3C 、21D 、612、{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤≤=1001,210001,1222n n n n n n a n ，则数列{}n a 的极限值（ ）A 、等于0B 、等于1C 、等于0或者1D 、没有存留13、)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ ）A 、0B 、1C 、2D 、314、已知122lim =+-∞→nn nn n a a ，R a ∈，则a 的与值范畴是（ ）A 、0<aB 、2-<a ，2>aC 、22<<-aD 、2<a 且2-≠a三、解问题15、已知等好数列前三项为a 、4、a 3，前n 项战为n S ，2550=k S(1)供a 及k 的值；(2)供)111(lim 21n n S S S +++∞→16、直线)0(1:>=x xy C 与直线x y l =:相接于1A ，做l B A ⊥11接x 辆于1B ，做l A B //21接直线C于2A ……依此类推. (1)供面1A ，2A ，3A 战1B ，2B ，3B 的坐标； (2)预测n A 的坐标，并加以道明；(3)供n n n n n B B B B 11||lim-+∞→17、已知数列}{n a 谦脚)1)(1()1(1-+=-+n n a n a n 且62=a ，设)(*∈+=N n n a b n n (1)供}{n b 的通项公式；(2)供)21212121(lim 432-++-+-+-∞→n n b b b b 的值.18、设n T 为数列}{n a 前n 项的战，))(1(23N n a T n n ∈-=.数列}{n b 的通项公式为)(34N n n b n ∈+= (1)供数列}{n a 的通项公式；(2)若},,,,{},,,,{321321 n n b b b b a a a a c ∈，则c 称为数列}{n a ，}{n b 的公同项，将数列}{n a 与}{n b 的公同项按它们正在本数列中的先后程序排成一个新的数列，道明：数列}{n c 的通项公式为)(312N n c n n ∈=+；(3)设数列}{n c 中的第n 项是数列}{n b 中的第m 项，m B 为数列}{n b 前m 项的战；n D 为数列}{n c 前n 项的战，且n m n D B A -=；供：4)(limn nn a A ∞→.。