推理与证明
一、核心知识
1.合情推理
（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
2.演绎推理
(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
(2)演绎推理的主要形式：三段论
“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
3.直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
（1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式：要证A，只要证
B ，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法
（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。
（3）反证法的思维方法:正难则反 ．．．．
5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；
(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k ≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。 二、典型例题 例1. 已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ B ）
A.4()22x
f x =
+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2
()21
f x x =+. 例2. 已知*11
1()1()23f n n N n
=+++
+
∈，计算得3
(2)2f =，(4)2f >，
5(8)2f >
，(16)3f >，7
(32)2
f >，由此推测：当2n ≥时，有 *21
(2)()2
n n f n N +>
∈ 例3. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 2
3
125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_______________________________________=
2
3
（ * ）并给出（ * ）式的证明.
解：一般形式: 2
3)120(sin )60(sin sin 222=
++++ ααα 证明：左边 = 2)
2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =
)]2402cos()1202cos(2[cos 21
23 ++++-ααα= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2
1
23ααα]240sin 2sin α =
]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=2
3（将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60),2
ααα-+++=2223
sin (240)sin (120)sin 2
ααα︒︒-+-+=等均正确。
）例4．若c b a ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。求证：c b a ,,中至少有一个大于0。答案：（用反证法）
假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，而3)6
3
2()1()1()1()6
2()3
2()2
2(222222-+
+
+-+-+-=+-++-++-=++πππ
πππz y x x z z y y x c b a
=3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0。 例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=（n ∈N*）
三、课后练习
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B )
A.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)
B.⎩⎨⎧
a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *
，n ≥2) C.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *) D.⎩
⎨⎧
a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *
，n ≥2)
