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线性时不变系统的因果和稳定性

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信号与系统课件：第二章 LTI系统

信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2

《数字信号处理的数学基础》复习

《数字信号处理的数学基础》复习

二、求连续信号的频谱：第12页，傅里叶变换公式； 几类基本信号频谱的计算P17表2-1；频谱基本性 质的证明P21表2-2. 参见24页8题。 第二章 离散信号和抽样定理
一、基本离散信号：离散 (n)函数，离散单位阶跃
信号u(n), 及二者之间的关系，离散周期信号。 二、截频及乃奎斯特频率的定义、计算：参见 39
一个图像窗口分割成6个子窗口后，接下来将在第 5
个子窗口绘图。
二、设
连续信号
s(t
)
et
,
0,
试求其频谱S( f ).
t 0,（其中 0）， t 0,
解
S ( f ) s(t)ei2 ftdt
e( i2 f )tdt e( i2 f )t
0
i2 f
0
1
1 lim (et ei2 ft )
页例 2。 三、乃奎斯特抽样定理（抽样条件）：第 37、39 页，
乃奎斯特抽样定理；参见 49 页，6 题。
四、离散信号频谱的抽样定理、重抽样定理、假频 现象：第 41 页，抽样定理；参见 49 页，8、10 题。
五、什么是假频与假频现象。
第三章 滤波与褶积
一、滤波的两种表现形式。 二、离散信号褶积的计算及 MATLAB 实现：参见 57 页例 1、例 2。 三、离散信号的能量，离散信号频谱的简化形式、 褶积的简化形式。 四、离散信号的 Z 变换及其性质，由 Z 变换展开式 求信号：70 页例 2-例 5；76 页例 2-例 3；79 页 11-13 题。
3,
h, n 5, 其他.
3 ） 取 抽 样 间 隔 1 s ， 由 抽 样 公 式 500
X ( f
)
n
X(

线性时不变系统的因果和稳定性

线性时不变系统的因果和稳定性
x(n) y(n)
b0
Z-1
-a1
模拟信号数字处理方法
xa (t )
（ a） 抽 样 器 原 理 ）
$ x a (t )
模拟信号数字处理方法
研究内容：信号被抽样后其频谱会有什么变化？在什么 条件下，可以从抽样数据信号中不失真地恢复出原来 的信号？ 理想抽样
冲激函数序列：δ T (t ) =
m =−∞
则有：y3 (n) = a nu (n) + a n −1u (n − 1)
显然：y3 (n) ≠ y1 (n) + y2 (n)
结论：一个常系数线性差分方程并不一定对应一个LSI 系统，只有选择合适的边界条件才可能是LSI系统。
差分方程
差分方程与系统结构
例如：一个一阶差分方程：y (n) = b0 x(n) − a1 y (n − 1)
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(−1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=a a=a 2
M
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
y(n) h1(n)+h2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 因果系统
某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前的时刻的输 入的系统。
即：n=n 0的输出y (n)只取决于n ≤ n0的输入x(n) |n≤ n0
对于因果系统：若n<n 0，x1(n)=x2(n)，则n<n 0时，y1(n)=y2(n)

2.3系统的稳定性与因果性

2.3系统的稳定性与因果性

思考：
对于系统 y(n) T[x(n)] ex(n) 设 x(n) M 判断该系统 是否是稳定的？
解： y(n) ex(n) e x(n) eM N
所以系统是稳定系统
2.3 系统的稳定性和因果性
• 稳定性 • 因果性
一、稳定性
1、定义 对于每个有界输入x(n)，都产生有 界输出y(n)的系统。即 对于任意n，总存在数N,M，使得
当 x(n) M 时，有 y(n) N
2、充要条件 其单位取样响应h(n)是绝对可 和的。即
S h(n) P (1)
n
证：1)充分性
例如： y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(n-1) 是因果系统 y(n)=T[x(n)]=x(n)+x(n+1) 是非因果系统
2、充要条件 h(n) 0 n 0
证明：根据线性非时变系统的卷积关系，n n0 时刻
的输出为：
y(n0 )
x(k)h(n0 k)
k
n0
x(k)h(n0 k) x(k)h(n0 k)
设（1）式成立，且 x(n) 有界，即 S , x(n) M.
则
y(n) h(k)x(n k) h(k) x(n k)
k
k
M h(k)
k
MS
即 y(n) 是有界的。充分性得证。
2)必要性
利用反证法。假设系统稳定，但它的单位采样响应 h(n)不是绝对可和的，即来自S h(n) n
|
h(n)
|
例：某LSI系统，其单位抽样响应为
h(n) anu(n)
试讨论其是否是因果的、稳定的。
解：讨论因果性： n 0时 h(n) 0
该系统是非因果系统

第五章线性时不变系统的变换分析

第五章线性时不变系统的变换分析

相位失真：线性相移 一种轻微的失真 产生序列上的移位 延迟失真 （不产生波形上的变形） 近似理想滤波器设计：线性相位响应 理想模型 例：具有线性相位的理想低通滤波器
具有线性相位的理想频率选择性滤波器： 分隔输入信号频带(频率选择) 非因果 输出延迟nd 群延迟（group delay）: 相位特性线性程度的一种度量 定义： 含义：对窄带输入x[n]=s[n]cos(ω0n) s[n] 为包络，ω0载波频率 即X(ejω)仅在ω= ω0附近为非零 系统的相位效果（在ω= ω0附近）： 即系统的输出： 包络的延迟 相位特性导数的负值
表示H(z)的全部零点在单位圆内。 当且仅当H(z)的零点和极点都在单位圆内时。 稳定因果系统 稳定因果逆系统 定义为：最小相位系统（minimum-phase systems）
5.2.3 有理系统函数的单位脉冲响应 H(z)作z反变换（部分分式法） h[n] 一阶极点的有理系统函数：
若系统因果，可得：
例子：衰减和群延迟的效果
5.2 用线性常系数差分方程表征系统的系统函数
理想频率选择性滤波器 （近似、逼近）一类频率选择性滤波器 考虑由线性常系数差分方程表示的一类系统：
a
k 0
N
k
y[n k ] bk x[n k ]
k 0
M
对于初始松弛（initial rest）的辅助条件因果、线性、时不变 z变换 （分析、描述） 线性常系数差分方程（表示系统）的性质、特征 方程两边z变换 N M k k a z Y ( z ) b z k k X ( z)
j 1
极点：z = 0 零点：z = rejӨ 频率响应： ( z
e j )
e re H (e ) j e

数字信号处理试题库判断题

数字信号处理试题库判断题

一、判断题（正确的在题后括号内打“√”，错的打“╳”）信号都可以用一个确定的时间函数来描述。

( )信号的时移只会对相位谱有影响，不影响幅度谱。

( ) 是周期序列。

( )周期分别为N1,N2的两离散序列，在进行周期卷积后，其结果也是周期序列。

( )设y(n)=k x (n)+b, k>0,b>0为常数，则该系统是线性系统。

( )y(n)=x2(n)+3所代表的系统是时不变系统。

（）已知某离散时间系统为，则该系统为线性时不变系统。

()是线性时不变系统。

( )是因果稳定系统。

（）一个因果的线性时不变系统的逆系统也是因果的。

（）一个稳定的线性时不变系统的逆系统也是稳定的。

（）一个线性时不变离散时间系统的单位抽样响应为，则该系统为稳定的非因果系统。

（）如果是实因果序列，则可由求出和。

( )离散傅立叶变换是Z变换在单位圆周上取值的特例。

( ) x(n) ,y(n)的线性卷积的长度是x(n) ,y(n)的各自长度之和。

（）同一个Z变换，由于收敛域的不同，可能代表了不同序列的Z变换函数。

( )相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。

（）一个线性时不变的离散系统，它是因果系统的充分必要条件是：系统函数H(Z)的极点在单位圆内。

（）因果稳定的离散时间系统的系统函数的极点必然在单位圆内。

( )如果一个系统函数的收敛域包括单位圆，则系统稳定。

( ) 只要找到一个有界的输入，产生有界输出，则表明系统稳定。

( ) 一个线性时不变离散系统是因果系统的充要条件是系统函数H(Z)的极点在圆内。

（）一个线性时不变离散系统的因果性和稳定性都可以由系统的单位取样响应h(n)来决定。

( )n<0时，h(n)=0是系统是因果系统的充分条件。

( ) 一个系统的系统函数为：，可以通过选择适当的收敛域使该系统因果稳定。

（）IIR滤波器必是稳定的。

( ) FIR滤波器必是稳定的。

( ) 在Z平面上的单位圆上计算出的系统函数就是系统的频率响应。

2013《数字信号处理》期末复习(填空选择判断)真题

2013《数字信号处理》期末复习(填空选择判断)真题

一、填空、选择、判断：1. 一线性时不变系统，输入为 x （n ）时，输出为y （n ） ；则输入为2x （n ）时，输出为 2y(n) ；输入为x （n-3）时，输出为 y(n-3) 。

2. 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2121-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。

3.4. 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 时域离散信 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。

5. 单位脉冲响应不变法缺点 频谱混迭 ，适合____低通带通 滤波器设计，但不适合高通带阻 滤波器设计。

6. 请写出三种常用低通原型模拟滤波器特沃什滤波器、切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器。

7. FIR 数字滤波器的单位取样响应为 h(n), 0≤n≤N -1, 则其系统函数 H(z)的极点在 z=0 是 N-1 阶的。

8. 对于N 点（N ＝2L ）的按时间抽取的基2FFT 算法，共需要作 2/NlbN 次复数乘和 _NlbN 次复数加。

9. 从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs 与信号最高频率f max 关系为：fs>=2f max 。

10. 已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X （e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X（e jw ）的 N 点等间隔 采样 。

11. 有限长序列x(n)的8点DFT 为X （K ），则X （K ）=()70()nk N n X k x n W ==∑。

12. 用脉冲响应不变法进行IIR 数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的 交叠 所产生的现象。

13. 若数字滤波器的单位脉冲响应h （n ）是奇对称的，长度为N ，则它的对称中心是 (N-1)/2 。

14. 用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较 窄 ，阻带衰减比较 小 。

数字信号处理_东南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

数字信号处理_东南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

数字信号处理_东南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.对x(n)(【图片】)和【图片】分别作20点的DFT，得X(k)和Y(k)，F(k)=X(k)Y(k)【图片】，f(n)=IDFT[F(k)]，n在范围内时，f(n)是x(n)和y(n)的线性卷积。

答案:2.计算两个N点序列的线性卷积，至少要做多少点得到DFT？答案:2N-13.在脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器时，数字角频率【图片】与模拟角频率【图片】的关系为，其中T为采样周期。

答案:4.系统【图片】，其中【图片】，【图片】表示输出，【图片】表示输入。

试确定系统的因果性和稳定性。

答案:非因果稳定系统5.系统【图片】其中【图片】表示输出，【图片】表示输入，试确定系统是否是线性系统？是否是时不变系统？答案:线性时不变系统6.小信号极限环振荡是由运算的舍入引起的。

答案:正确7.频率采样法设计FIR滤波器只能用频率采样型结构实现。

答案:错误8.大信号极限环振荡是由舍入运算引起的。

答案:错误9.设模拟滤波器的系统函数为【图片】，若利用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器，采样周期为T，则IIR数字滤波器的系统函数为。

答案:10.巴特沃斯滤波器阶数越高，则。

答案:阻带衰减越大11.滤波器是带内带外等波纹的。

答案:椭圆12.在IIR数字滤波器设计中，用方法只适于分段常数频响特性滤波器的设计。

答案:双线性变换法13.请确定以下序列的周期长度：【图片】答案:5614.已知信号x(t)为带限信号，最高截止频率300Hz，当采样频率为500Hz时，采样信号频谱不会产生混叠。

答案:错误15.一带通模拟信号如图所示，现用以下采样频率对其采样。

（1）10Hz （2）25Hz(3)50Hz (4) 100Hz求采样后哪几种采样频率存在混叠？【图片】答案:(1)_(2)16.按照阻带衰减顺序将窗口排序为。

答案:布莱克曼窗，汉明窗，矩形窗17.已知FIR数字滤波器的单位脉冲响应为【图片】,则该滤波器为的线性相位FIR数字滤波器。

线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性

线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。

数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析

数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析

数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析第５章线性时不变系统的变换分析[教学⽬的]1．了解LTI 系统频率响应的概念；2．掌握线性常系数差分⽅程所表征系数的系统函数的⽅法； 3．掌握有理系统频率响应分析⽅法4．理解线性相位系统、⼴义线性相位系统与因果⼴义线性相位系统的概念，⼏类线性相位系统。

[教学重点与难点] 重点：1．线性常系数差分⽅程所表征系数的系统函数的⽅法； 2．有理系统频率响应分析⽅法； 3．⼏类线性相位系统。

难点：1．有理系统频率响应分析⽅法⼏类线性相位系统5.1 LTI 系统的频率响应前⾯已经讨论过，在时域中，⼀个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h (n )来表⽰。

对于⼀个给定的输⼊x (n )，其输出y (n )为对等式两端取Z 变换，得则 (5-1)两边做离散傅⽴叶变换有: |Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)| (5-2)|Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)|arg ［Y (e j ω)］=arg ［H (e j ω)］+arg ［X (e j ω)］|H (e j ω)| 幅度响应 : 增益/幅频特性调整输⼊信号各频率分量的相对强度(幅度)关系Arg[H (e j ω)] 频率响应的相位响应 : 相移/相频特性调整输⼊信号各频率分量的相对位置(相位)关系H (e j ω) 调整输⼊信号各频率分量的相对⼤⼩(幅度)及位置(相∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()()()()(z X z H z Y =)()()(z X z Y z H =位)关系5.1.1 理想低通滤波器的选择性5.1.2相位失真与延时线性相位 : 不会改变信号的相对位置,时延相同线性相位的效应 : 时延⾮线性相位：改变信号的相对位置时延不相同≤<≤=πωωωωω||,0||,1)(c c j H n n n h c F πωsin ][=?→←()()|()|j H j H j H j e ωωω= 0 : ()near Phase H j t ωω=- 0()H j tωω≠-5.2 ⽤线性常系数差分⽅程所表征系统的系统函数⼀个线性时不变系统也可以⽤常系数线性差分⽅程来表⽰，其N 阶常系数线性差分⽅程的⼀般形式为若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z 变换，利⽤Z 变换的线性特性和移位特性可得这样就得到系统函数为（5-3）由此看出系统函数分⼦、分母多项式的系数分别就是差分⽅程的系数。

第2章 线性时不变系统

第2章 线性时不变系统
y(t ) x( )h(t )d h( ) x(t )d
0 t
2.4 LTI系统的性质
举例：累加系统（accumulator）
y[n]
k
x[k ]
n
它是LTI系统，其单位脉冲响应为
h[n] u[n]
h[n] k [n] Memory h[n] 0, n 0 Causal
2.4 LTI系统的性质
从以上推导得出以下结论： DT LTI 系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数； DT LTI 系统的单位脉冲响应是其单位阶跃响应的一次差分 同理，对于CT LTI 系统： 单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数
s(t ) h( )d
t
单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数
2.7小结
2.1概述
（1）线性与时不变性（Linearity and Time-Invariance）： 很多物理过程都具有这两个性质 这些物理过程能用LTI系统表征 可以对LTI系统进行详细的分析：
能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合表示 根据该系统对基本信号的响应，利用叠加性质求得整个系统的输出
2.4 LTI系统的性质
离散时间LTI系统用 卷积和表示
连续时间LTI系统用 卷积积分表示
LTI系统的特性可以 完全由其单位冲激响 应决定
2.4 LTI系统的性质
卷积的交换律性质 The Commutative Property of Convolution
2.4 LTI系统的性质
卷积的三个代数性质：交换律、结合律、分配律 Three algebraic properties of convolution

数字信号处理讲义线性时不变系统的变换分析

数字信号处理讲义线性时不变系统的变换分析

第５章线性时不变系统的变换分析[教学目的]1．了解LTI 系统频率响应的概念；2．掌握线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法；3．掌握有理系统频率响应分析方法4．理解线性相位系统、广义线性相位系统与因果广义线性相位系统的概念，几类线性相位系统。

[教学重点与难点]重点：1．线性常系数差分方程所表征系数的系统函数的方法；2．有理系统频率响应分析方法；3．几类线性相位系统。

难点：1． 有理系统频率响应分析方法几类线性相位系统5.1 LTI 系统的频率响应前面已经讨论过，在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h (n )来表示。

对于一个给定的输入x (n )，其输出y (n )为对等式两端取Z 变换，得则 (5-1)两边做离散傅立叶变换有:|Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)| (5-2)|Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)|arg ［Y (e j ω)］=arg ［H (e j ω)］+arg ［X (e j ω)］|H (e j ω)| 幅度响应 : 增益/幅频特性调整输入信号各频率分量的相对强度(幅度)关系Arg[H (e j ω)] 频率响应的相位响应 : 相移/相频特性调整输入信号各频率分量的相对位置(相位)关系H (e j ω) 调整输入信号各频率分量的相对大小(幅度)及位置(相∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()()()()(z X z H z Y =)()()(z X z Y z H =位)关系5.1.1理想低通滤波器的选择性5.1.2相位失真与延时线性相位 : 不会改变信号的相对位置,时延相同线性相位的效应 : 时延 非线性相位：改变信号的相对位置时延不相同⎩⎨⎧≤<≤=πωωωωω||,0||,1)(c c j H n n n h c F πωsin ][=−→←()()|()|j H j H j H j eωωω=0 : ()near Phase H j t ωω=-0()H j t ωω≠-5.2 用线性常系数差分方程所表征系统的系统函数一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示，其N 阶常系数线性差分方程的一般形式为若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z 变换，利用Z 变换的线性特性和移位特性可得这样就得到系统函数为（5-3）由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。

系统的因果性和稳定性

系统的因果性和稳定性
若系统 n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前 的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为 因果系统。
LSI系统是因果系统的充要条件：
h(n) 0 n 0
满足上式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样 响应必然是因果序列。因果性系统的条件从概念上也容易 理解，因为单位取样响应是输入为δ(n)的零状态响应，在 n=0时刻以前即n<0时，没有加入信号，输出只能等于零， 注：关于此条件的严格证明可参考程佩青《数字信号处理 教程〉
N4 N0 N2
N5 N1 N3
x(n) h(n)
0 N0 N1 h(n m)
n0
N1 N00
m
h(n m)
0 n N0 m h(n m)
n 0 N2 N3
n
h(n m)
n N0 N2
0 N2
m
h(n m) n N1 N3
m
0
n N1 m 0
N3
3. 判断以下系统是否是（1）线性（2） 移不变（3）因果（4）稳定的？
由于x2 (n) x1(n 1)，而y2 (n) y1(n 1) y(1) 1边界条件下的系统不是移不变系统
当输入x3(n) x1(n) x2 (n) (n) (n 1)时，输出 y3(n) (1 a) (n) (1 a a2 )an1u(n 1)
an1u(n 1) y1(n) y2 (n) 不满足可加性 y(1) 1边界条件下的系统不是线性系统
（1）若边界条件
y(1) 0
求其单位抽样响应。 （2）若边界条件
求y其(单1) 位1抽样响应，并判断是否为 线性时不变系统。
解：1)令输入x(n) (n)，则输出y(n) h(n)，
又已知y(1) 0

线性时不变系统--习题

线性时不变系统--习题

dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t

判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P

判断下列系统的线性时不变性因果性和记忆性解析P

1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。

（解析P7） ①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。

（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =⋅-3.某系统，当输入为()tδτ-时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=---，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。

4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()teu t - ③()t te u t - ④te-5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =-（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =--+--画出()f t 波形。

（指导P13） 7.根据1.10图中(32)f t -+的波形，画出()f t 波形。

（指导P18） 8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1(2)2f t --的波形。

（指导P19） 9.已知(52)f t -的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。

（指导P20） 10.求下列函数值 ①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++-⎰②3'()te d τδττ--∞⎰ ③'2(9)t dt δ+∞-∞-⎰ （指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ-=+的周期。

（指导P36） 12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其角频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。

如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。

lecture2-因果稳定系统与LCCDE关系20130904

lecture2-因果稳定系统与LCCDE关系20130904
22
ytot (n) a y0 ba u(n)
n
n1
两种方法得到了相同的结果，解决 了解的唯一性问题。 y n ay n -1 x (n)
x (n) b (n) I .C. y (-1) y0
这些条件加起来是否定义了一个LTI 系统呢？ 为什么? No!!! 线性系统：在b＝0,即幅度因子为0的情况 下，对应的输出也为0，那么现在呢？
对于一阶差分方程的情况，只需要求 输出的前一个点为0
x ( n)
y ( n)
y(-1)=0
0
27
n
-1
n
LCCDE IRC
因果的LTI系统
H(Z)在某个圆 周之外
28
终止松弛条件(Final rest condition) 线性常系数差分方程＋终止松弛条件 线性时不变系统＋反因果 定义FRC, Final Rest Condition
n -2 2. y (n) ay (n -1) x(n) aY (n -1) y (n) - x(n) 1 1 y (n -1) y (n) x(n) a a 1 b y (-2) y (-1) (-1) a a 1 y0 a 1 y (-3) 2 y0 a y (n) a n 1 y0
③合并 齐次解＋特解
ytot yh (n) y p (n)
21
2.1 ytot (n) ka n ba nu (n) apply I .C. y (-1) y0 ytot (1) ka 1 ba 1 u (1) y0
0
k ay0
apply I .C. y (-1) y0 ytot (-1) y0 ka 1 ba 1u (0) k ay0 b k ay0 b

系统的稳定性以及稳定性的几种定义

系统的稳定性以及稳定性的几种定义

系统的稳定性以及稳定性的几种定义一、系统研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。

在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。

由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。

从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。

但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。

人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。

描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。

中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。

二、系统的稳定性一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。

即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf ，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。

三、连续（时间）系统与离散(时间)系统连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。

系统的激励和响应均为连续信号。

离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。

系统的激励和响应均为离散信号。

四、因果系统因果系统 (causal system) 是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。

也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。

即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。

判定方法对于连续时间系统：t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。

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则：T[ax1 (n)]=aT[x1 (n)]=ay1 (n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b(a、b为常数）所代表的系统 不是线性系统。
证：设T[x1(n)]=ax1(n)+b T[x2(n)]=ax2(n)+b
则：T[x1(n)+x2(n)]=a[x1(n)+x2(n)]+b
a n ∴ h(n)= 0 n≥0 n<0
或h(n) = a nu (n)
差分方程
是一因果系统，若|a|<1，系统稳定。 问题：一个常系数线性差分方程一定是一个因果系统吗？
例：常系数线性差分方程： y(n)=ay(n-1)+x(n) 求h(n)。边界条件假设：y(0)=0。
解：可得n > 0时，y(n)=h(n)=0(设x(n)=δ(n)）
例：某LSI系统，其单位抽样响应为：h(n)=-a n u(-n-1),讨论其 因果性和稳定性。
（）、因果性 n<0时，h(n) ≠ 0，故为非因果系统。 1
（2）稳定性。
n＝－∞
∑
∞
h(n) =
n =−∞
∑
−1
1 a −1 n a = ∞
a >1 a ≤1
差分方程
线性常系数差分方程
1 由方程得：y (n − 1) = [ y (n) − x(n)] a
h(n) = 0，n > 0 1 h(0) = [h(1) − x(1)] = 0 a
差分方程
1 h(−1) = [h(0) − x(0)] = −a −1 a 1 h(−2) = [h(−1) − x(−1)] = −a −2 a
x(n) y(n)
b0
Z-1
-a1
模拟信号数字处理方法
xa (t )
（ a） 抽 样 器 原 理 ）
$ x a (t )
模拟信号数字处理方法
研究内容：信号被抽样后其频谱会有什么变化？在什么 条件下，可以从抽样数据信号中不失真地恢复出原来 的信号？ 理想抽样
冲激函数序列：δ T (t ) =
m =−∞
非因果系统
系统现在的输出还取决于未来的输入
线性移不变系统的因果性和稳定性
理解：
因果系统固然重要，但并不是所有有实际意义的系统 都是因果系统。
（1）、图像处理。变量不是时间，此时，因果性往往不是 根本性的限制。
（2）、非实时情况。待处理的数据事先记录下来。例如：
为了去除噪声的变化，保留总的缓慢的变化趋势，常作取平均。 1 N y(n)= ∑ x(n − k ) 2N+1 k =−∞
x1(n)
5 4 3 2 1 4 3 2 1
-4
0
4
n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y1(n)
5 3 1 3
1
-2
0
2 x2(n)=x1(n-2)
5 4 4 3 2
n
3 2 11-2046 n
线性移不变系统的因果性和稳定性
y2(n)
5 3 1 3 1
-2
0
3
5
n
y1(n)
3 1 3 1
-2
0
2
n
m为任意整数
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：证明y(n)=ax(n)+b 是移不变系统
设m为任一固定整数。已知：T[x(n）]=ax(n)+b=y(n)
而： T[x(n-m)]=ax(n-m)+b
满足： T[x(n-m)]=y(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性
例：y(n)=nx(n)，讨论该系统是否为移不变系统。
∞ m=-∞
∞
m =−∞
⇐ 满足比例性和可加性 ⇐ 满足移不变性
＝ ∑ x(m)h(n-m)
线性移不变系统的因果性和稳定性 结论：
y ( n) = x ( n) * h( n)
x(n) LSI系 统 系 h(n) y(n)=x(n)*h(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 LSI系统性质
1、交换律
x(n) h1(n) h2(n) y(n)
x(n) h2(n) h1(n) y(n)
x(n) h1(n)*h2(n)
y(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性 3、分配律
x(n) *[h1 (n) + h2 (n)] = x(n) * h1 (n) + x(n) * h2 (n)
x(n) y(n)
=
x(n)
例：常系数线性差分方程： y (n) = ay (n − 1) + x(n) 边界条件：y (0) = 1。讨论它的移不变、线性问题。
（）、移不变问题 1
则：y1 (1) = ay1 (0) + x1 (1) = a y1 (2)=ay1 (1)+x1 (2)=a 2 M
令x1 (n) = δ (n)，y1 (0) = 1
不是移不变的 （2）、线性性问题 x1(n)=δ(n) → y1(n)=a n u(n)
x2(n)=δ(n-1)→ y2(n)=a n u(n)+a n-1u(n-1)+a n u(-n-1)
差分方程
令x3 ( n) = x1 ( n) + x2 (n) = δ (n) + δ (n − 1)；y3 (0) = 1
线性移不变系统的因果性和稳定性
LSI系统输入与输出的关系
单位抽样响应
x ( n) =
∞
h(n)=T[δ(n)]
设系统输入序列x(n）输出序列y(n) ,
∑ x(m)δ (n − m) y (n) = T [ ∑ x( m)δ (n − m)]
m =−∞ ∞
=
m =−∞
∑ x(m)T [δ (n − m)]
=ax1(n)+ax2(n)+b=y(n)
显然： y(n) ≠ y1(n)+y2(n)
线性移不变系统的因果性和稳定性
问题：为何系统的方程是一线性方程，而却不是 一线性系统？ y0(n)
x(n) 线性系统 ax(n) y(n)
线性系统部分： T[x(n)]=ax(n)
零输入响应[输入 x(n）＝0时的输出]是： y0(n)=b
差分方程
迭代法求解差分方程
差分方程在给定输入和给定边界（起始）条件下，可用迭代 的方法求系统的响应。如果输入是δ(n)这一特定情况，响应 就是单位抽样响应h(n)。如：利用δ (n)只在n = 0取值为1的特 点，可用迭代法求h(0)、h(1)、h(2)L h(n)。
例：常系数线性差分方程： y(n)-ay(n-1)=x(n) 求h(n)。设初始状态为：y(-1)=0。
线性移不变系统的因果性和稳定性
稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 若： x(n) ≤ M < ∞
则： y(n) ≤ P < ∞
LSI系统是稳定系统的充分必要条件：
n =−∞
∑
∞
h( n) = P < ∞
结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的（单边的） 且是绝对可和的。
y1 (n)=ay1 (n-1)+x1 (n)=a n
差分方程
1 同样利用：y (n − 1) = [ y (n) − x] a 递推求得：y1 (n) = 0，n ≤ −1
∴ y1 (n) = a nu (n)
令x2 (n) = δ (n − 1)，y2 (0) = 1
y2 (n) = a nu (n) + a n −1u (n − 1) + a nu (−n − 1)
探讨
y2 (n) = nδ (n − 1) = δ (n − 1)
该系统是有移变增量n的系统，若已知当前的输入是1，而不知 当前所在时刻，仍不能确定当前的输出是多少。
结论：系统有一个移变的增益，则系统一定是一个移变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性 深入讨论
例：考虑y(n)=x(2n)是否为移不变系统？
线性移不变系统的因果性和稳定性 2、移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统。 即：若输入x(n）产生输出为y(n)，则输入x(n-m)产生输出 y(n-m)。输入移动多少位，输出也移动相同的位数。
若： T[x(n)]=y(n），则有：
T [ x(n − m)] = y (n − m)
差分方程
设x(n)=δ(n)，且y(-1)=h(-1)=0 有 y(n)=h(n)=0，n<0
h(0) = ah(−1) + δ (0) = 1
依次迭代：
h(1)=ah(0)+δ(n)=ah(0)=a h(2)=ah(1)+δ(n)=a a=a 2
M
h(n)=ah(n-1)+δ(n)=a n +0=a n
M
1 h(n) = h(n + 1) = −a n a
0 n≥0 或：h(n）=-a n u(-n-1) ∴ h( n) = n − a n < 0 它是非因果系统。 a < 1，系统稳定。
差分方程
结论：一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统， 依据边界条件假设不同。 问题：一个常系数线性差分方程一定代表一个LSI系统吗？
方法一： T[x(n)]=nx(n)=y(n)
T[x(n-m)]=nx(n-m)
而y(n-m)=(n-m)x(n-m)
显然：T[x(n-m)] ≠ y(n-m) 时变系统
线性移不变系统的因果性和稳定性
方法二：寻找一个反例 x1(n)=δ(n)→ y1(n)=nδ(n)=0