提公因式法课件

+
6y) ② 3x2 - 6xy+x= x(3x-6y)
③ - x2+xy-xz=
- x(x+y-z)
Page
7
学以致用
(1) 13.8×0.125+86.2×0.125
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
第四组： ① 8a3b2+12ab3c ②15a3-10a2
公因式是：各项系数的最大公约数与各项都含有的
相同字母（或相同因式）的最低次数幂的积。
Page 5
几点注意：
① a(x-y)+b(y-x) ② -4x2y-16xy+8x2 ③ 3x2
- 6xy+x
Page
6
火眼金睛
① 12x2y+18xy2= 3xy(4x
7．xy－x2y2－x3y3;
8．27x3+9x2y．
Page
10
以 m所得的商,像这种分解因式的方法叫做 ___________. 提公因式法
Page
4
你能把下列各式进行因式分解(写成乘积形式）吗？
第一组：①3x+3② 3x+3y ③ 2a-4b ④ 6m+4n
第二组：①ax+a ②mx+xy ③x2-x④x2+x3
第三组：①2a(b+c ) -3(b+c)
②(a+b)(a-b)-(a+b )
这个多项式分解因式.

珍珠山中学
zhen zhu shan zhong xue
3.2.1 提公因式法（二）
一、复习引入
将下列各式因式分解：
（1）am+an
（2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）-2x2y+4xy2–2xy
二、新知探究
将多项式am+an中的a换成（x-2）后
，公因式是什么？ (x-2)
三、例题精讲
（1）x(x-2)+y(2-x)
解：原式 =(x-2)•x+[-(x-2)•y] =(x-2)•x-(x-2)•y =(x-2)(x-y)
步骤: 第一步，找出公因式; 第二步，提取公因式 ； 第三步，将多项式化成两个 因式乘积的形式。
三、例题精讲
（2）a(a-b)2-b(b-a)2
解:原式=(a-b)2•a-(a-b)2•b =(a-b)2(a-b)
- （6）–s2+t2 =
(s2–t2）
二、新知探究
归纳：
（1）首先判断前后两个多项式底数部分是 相等关系还是互为相反数的关系； （2）当前后两个多项式的底数相等时，添 “+”号； （3）当前后两个多项式的底数部分互为相 反数时，若指数为奇数，添“-”号；若指 数为偶数，添“+”号。 二、新知探究七、拓展提升
因式分解： (m-n)4+m(n-m)3+n(n-m)3
因式分解： m (x-2) + n (x-2)
= (x-2)(m+n )
提取公因式时，有相同的多项式可直接提 出来，多项式的指数取较低的。
三、例题精讲
例2：将下列各式分解因式：
（1）x(x-2)+y(2-x) （2）a(a-b)2-b(b-a)2 （3）m(n-m)3-n(m-n)3 （4）-6(x-y)3+18(y-x)2-24(y-x)3

解：设高度设计为m,则
1 h ba am,m b 1 h
2
2
14
提取不彻底 只提取部分公因式,整个 式子未化成乘积形式。9例 Nhomakorabea：因式分解
（1）2a（b c） b c 2a（b c）（b c） （b c）（2a 1）
（2）（2 a b）2 a b
（2 a b）2 （a b）
（a b） （2 a b）1
（a b）（2a 2b 1）
b c （b + c）
1、提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式； 2、当首项系数为负时，应提取负因数，剩下的各项都要改号.
已知a+b=3,ab=2,求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2的值.
解：原式=ab（a+2ab+b） =2×（3+2 × 2） =14
h b
a
一幢房子一面墙的形状由一个长方形和一个三角形 组成(如图)，若把该墙面设计成长方形形状，面积保持 不变，且底边长仍为a,则高度应为多少？
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.
2.把下列各式分解因式：
（1）3x2 9xy
（2）n4 n3
3x（x 3y）
n（3 n 1）
（3）8ab2 16a3b5 （4） 2ab2 4a2b 10ab
8ab（2 1 2a2b3） 2ab(b 2a 5)
（课内练习3）下列因式分解对吗？如果不对，应怎样改正？
一个多项式 整式整式.
提取公因式法
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个
多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提 取出来进行因式分解,这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

例 4 把下列各式因式分解：
(1) ab2- ac2 解:原式= a( b2 - c2 ) (提公因式法)
= a (b+c) (b-c) (用平方差公式)
例 4 把下列各式因式分解：
(2) 3ax2+24axy+48ay2 解:原式=3a( x2+8xy+16y2 ) (提公因式法)
=3a[ x2 +2•x•4y +(4y)2 ] =3a(x+4y)2 (用完全平方公式)
Hale Waihona Puke 因式分解的完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
知识回顾
三、分解因式的一般步骤：
① 分解因式时，如果多项式各项中含有公因式，应 先考虑用提公因式法；
② 对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果 多项式有三项，则考虑用完全平方公式分解；如果多项 式有二项，则考虑用平方差公式分解；
8.4.3 综合运用提公因式法 与公式法分解因式
知识回顾
1、目前为止，我们已学过几种因式分解的方法？
① 提公因式法
② 公式法
2、什么是提公因式法？ 一般地，如果多项式的各项含有公因式，可以把这个公因式提
出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分
解因式的方法叫做提公因式法.
3、什么是公式法？ 利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法.
分解因式的一般步骤： ① 分解因式时，如果多项式各项中含有公因式，应先
考虑用提公因式法； ② 对于没有公因式的多项式考虑用公式法分解，如果

2.[2024·上海期中] 下列各式从左到右是因式分解的是( C
A.( + )( − ) = − −
B. − − = ( − ) −




C. − = ( − )( + )
D. − = (

− )

)
公因式
3.［知识初练］多项式 − 中各项系数的最大公因数是
= ⋯ = ( + )+ .
荣老师告诉你
1.因式分解与整式乘法是互逆变形，即
.
2.因式分解必须做到两点：(1)结果必须是因式的积的形式;(2)
每个因式都是整式且不能再分解.

× = .
(2). × . + . × . + × . .
解：原式= . × . + . × . + . × . =
. × (. + . + . ) = . × = .
+ + ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) (为正整数).
+ + ( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + )
= ( + )[ + + ( + ) + ⋯ + ( + )− ]
= ( + ) [ + + ⋯ + ( + )− ]
7.多项式 + 提取公因式后，剩下的因式是( C
A.
B. +
C. +

(3)a2-b2=(a+b)(a-b) √ (4)a2-2a+1=(a-1√)2
分析：(1)是由乘积形式转化为多项式，不属于因式分解. (2)变形后仍为和的形式，不属于因式分解. (3)(4)都由多项式转化成几个整式乘积形式， 属于因式分解.
初中数学
探究新知
问题：观察多项式pa＋pb＋pc，有什么特点吗？
初中数学
练习 下列因式分解正确的是（ C）
A. m(a b) n(a b应) 为 ((aa-bb)()mm+nn×) B. m(x y) n( y x) (x y)(m n×)
原式变形为m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)
C. mn(x y) mn (x y 1)mn√
D. 3(x y)2 2(x y) (x y)(2x 3y 2)×
(x-y)[3(x-y)+2] =(x-y)(3x-3y+2)
初中数学
例 用简便方法计算：
210 29 28
解： 210 29 28 28 (22 21 20 ) 28 (4 2 1)
256
初中数学
整式乘法
初中数学
x2 1
因式分解 整式乘法
(x 1)(x 1)
因式分解：是把一个多项式化为了几个整式乘积的形式. 互为逆运算
整式乘法：是把几个整式乘积的形式化为多项式.
初中数学
练习：下列变形中，属于因式分解变形的是_(3;ac × (2)x3+2x2-3=x2(x+2)-3×
练习 把下列各式分解因式：
(1) a3 a2b (3) 5x2 y 10xy2 15xy
(2) 12ab 6bc (4) 8a3b2 12ab3c ab

代数式的提公因式
总结词
代数式的提公因式是指将一个多 项式或表达式通过提公因式化为
更简单的情势。
详细描写
在代数式中，有时可以将某些项组 合起来，形成一个公因式，从而简 化全部表达式。
实例
在表达式 (a + b)(a - b) 中，可以提 公因式为 a(a - b) + b(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 b^2。
复杂多项式的提公因式
总结词
实例
复杂多项式是指项数较多或系数较复 杂的多项式，其提公因式需要仔细分 析。
3x^2y - 6xy^2 + 9xy 可以提公因式 为 3xy(x - 2y + 3)。
详细描写
对于形如 ax^n + bx^m + cx^p + ... 的多项式，需要视察各项的系数和 指数，找出公因式并提取。
提取公因式
将找到的公因式从每一项中提取出来 。
化简多项式
将提取公因式后的多项式进行化简， 得到最简情势。
举例
多项式$2x^2 + 4x + 3x$可以提取 公因式$x$，得到$x(2x + 4 + 3)$， 进一步化简为$x(2x + 7)$。
提公因式法的注意事项
确保提取的公因式是正确的
注意符号问题
应用领域的拓展
随着数学在其他学科中的应用 越来越广泛，提公因式法的应
用领域也将得到拓展。
提公因式法的应用前景
01
数学教育领域
在数学教育领域，提公因式法将继续作为基础数学课程的重要内容，帮
助学生掌握基本的数学技能。
02
科学研究领域

例题讲解
例1: 找 2 x 2 + 6 x3 的公因式。
2
定系数
2 定指数 x
定字母
所以，公因式是 2 x 2
小结：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大 公约数。 （当系数是整数时）
定字母及其指数： 相同字母的最低次幂。
思考：提公因式的目的是什么?
2
X2+
当多项式第一项系 数是负数，通常先
提出“ ”号，使
括号内第一项系数 成为正数，在提出 “—”号时，多项 式的各项都要变号。
自学指导2：
想一想
提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么 关系？
自学检测3
把下列多项式分解因式：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x
什么要注意的？
注意： (1)公因式要提尽；
(2)防止漏项；
(3)首相为负先提负号。
小结与反思
1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：
1)定系数 2)定字母 3）定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提出公因式； 三步，把多项式化成两个因式乘积的形式。
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
甲同学：
乙同学：
丙同学：
解:12x2y+18xy2 解:-x2+xy-xz
=3xy(4x+6y)
=-x(x+y-z)
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)

(3)定指数
3、提公因式法分解因式步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式
第三步，整式乘法检验
4、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽 （2）不遗漏1项 （3）多项式的首项取正号
The end,Thank you!
2、第一项为负，先提取负号
练一练
3
分解因式
2 2
(1)2ax 6a x
(2)27a bc 9ab c 3abc
2 2
2
(3) 3ab 6abc 9ac
(4) 5a 10ab 5abc
小结与反思
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：
(1)定系数
(2)定字母(因式)
提公因式法
近年来，由于过度采伐森林和破坏植被，使我国
许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，我国土地沙漠化
问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了
一次植物造林活动。每队都种树36行，其中一队种
树99列，二队种树100列，三队种树101列，完成这
次植树活动共需要多少棵树苗？
保护环境 从我做起
列式：36×99+36×100+36×101 =36×（99+100+101） =36×300=10800（棵） 36 ×99+36 ×100+ 36× 101 = 36 × 99 +100 +101） m a m b m c m （a b c m· a+m· b+m· m (a+b+c) c= 利用整式乘法验证： m (a+b+c)= m· a+m· b+m· c
探究与交流

2、把下列多项式因式分解：
（1）y( x-y )+x( x-y )；
（2）y( x-y )+x( y-x )；
（3）a( x-y )2-b( y-x )2；
（4）4a2b( a-b )-6ab2( a-b ).
答案：（1）( x-y )( x+y )； （2）-( x-y )2；
（3）( x-y )2( a-b )；（4）2ab( a-b )( 2a-3b ).
练习.
课程结束
谢谢观看
2.定字母：找多项式各项相同的字母．
3.定指数：相同字母的最低的次数.
当公因式为多项式时，把相同字母换成相同式子.
巩固练习
1. 把多项式 (x + 2)(x - 2) + (x - 2) 提取公因式 (x - 2) 后，余下的部分
是（ D ）
A．x + 1
B．2x
C．x + 2
D．x + 3
巩固练习
（3） − 1
2
+ 2 1 − 3 .
（2）33 + 92 ；
（4） − 3 + 2 3 − .
典例精析
【例5】把( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2因式分解.
解：( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2
= ( a+c )( a-b )2-( a-c )( b-a )2
归纳总结
提公因式法步骤（分两步）
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
注意：公因式既可以是一个单项式的情势，也可以是一
个多项式的情势.