(完整)大一下高数下册知识点,推荐文档

高等数学（下）知识点x 2 + y 2 + z 2 b =高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘； b = (b x ,b y ,b z )3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设 a = ( a x , a y , a z ) ， (a ± b , a ± b , a ± b ) ,= (a,a ) ；则 a ± = xa xyyzzx ,a yz5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模： r；2） 两点间的距离公式： AB =3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,4） 方向余弦： cos= x, c os =ry , cos = z rcos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 =5） 投影： Pr j u a a cos，其中为向量a 与u 的夹角。

（二） 数量积，向量积1、 数量积： a ⋅ b = a b cos 21） a ⋅ a = a 2） a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0(x - x ) + ( y - y ) + (z - z ) 2 2 22 1 2 1 21r高等数学（下）知识点x 2 + z2 x 2 + y 2 a a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z2、 向量积： c = a ⨯ b大小： a b sin ，方向： a ,b , c 符合右手规则1） a ⨯a = 02） a // b ⇔ a ⨯ b = 0i j k a ⨯ b = xb x a y a z b y b z运算律：反交换律 b ⨯ a = -a ⨯ b（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念： S : f (x , y , z ) = 02、 旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0 ，绕 y 轴旋转一周： f ( y ,± ) = 0 绕 z 轴旋转一周： f (± , z ) = 03、 柱面：F (x , y ) = 0 表示母线平行于 z 4、 二次曲面轴，准线为 ⎪F (x , y ) = 0 ⎪z = 0 的柱面⎩x2 1）椭圆锥面：a2+y2b2=z 2x2 2）椭球面：a2x2旋转椭球面：a2+y2b2+y2a2z 2+=1c2+z 2=c21 x23）单叶双曲面：a2x2+y2 z 2b2 -c2 =1y2z 24）双叶双曲面：a2x2 5）椭圆抛物面：a2-b2-=c2+y2b2 =zx2 y26）双曲抛物面（马鞍面）：a2-b2 =zx2 7）椭圆柱面：a2x2 8）双曲柱面：a2 9）抛物柱面：x2y2+=1b2-y2=b2=ay（四）空间曲线及其方程1、 一般方程： ⎨⎪F(x,y,z)=0⎩G(x, y, z) =011n a B C ⎧x = 2、 参数方程： ⎨ y = ⎪ ⎩z = x (t ) y (t ) z (t ) ⎧x，如螺旋线： ⎨ y ⎪⎩z = a cos t = a sin t= bt3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪F (x , y , z ) = 0 ⎪H (x , y ) = 0⎨ ⎩⎪G (x , y , z ) = 0，消去 z ，得到曲线在面 xoy 上的投影⎪⎩z = 0（五） 平面及其方程1、 点法式方程： A (x - x 0) + B ( y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0法向量：= ( A , B ,C ) ，过点 (x 0 , y 0 , z 0 )2、 一般式方程： Ax + By + Cz + D = 0截距式方程： x + y + z = 1 b c3、 两平面的夹角： n = ( A , B ,C ) ， n = ( A , B ,C ) ，cos =11112222∏1 ⊥ ∏2 ⇔ A 1A 2 + B 1B 2 + C 1C 2 = 0∏ // ∏ ⇔ A 1 = B 1 = C 11 22224、 点 P 0(x 0 , y 0 , z 0 ) 到平面 Ax + By + Cz + D d =（六） 空间直线及其方程= 0 的距离：A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2A 2 +B 2 +C 2 ⋅ 1 1 1 A 2 + B 2 + C 2 2 2 2Ax 0 + By 0 + Cz 0 + DA 2 +B 2 +C 2As 1、 一般式方程： ⎪⎨A 1x +B 1 y +C 1z +D 1 = 0 ⎩ A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0x - x 0 2、 对称式（点向式）方程： m = y - y 0 n = z - z 0p方向向量： = (m , n , p ) ，过点 (x 0, y 0, z 0 ) ⎧x = x 0 + mt 3、 参数式方程： ⎨ y =⎪y 0 + nt⎩z = z 0 + pt 4、 两直线的夹角： s = (m , n , p ) ， s = (m , n , p ) ，cos=1 1 1 12 2 2 2L 1 ⊥ L 2 ⇔m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2 = 0L 1 // L 2 ⇔ m 1 = n 1 =p 1m 2 n 2 p 25、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，sin =L // ∏ ⇔ Am + Bn + Cp = 0L ⊥ ∏ ⇔ A = B = Cm n p第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念m 1m 2 + n 1n 2 + p 1 p 2m 2 + n 2 + p 2 ⋅ 1 1 1m 2 + n 2 + p 2 2 2 2Am + Bn + CpA 2 +B 2 +C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 22充分条件定义必要条件43函数连续偏导数存在函数可微偏导数连续 121、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

2、 多元函数： z = f (x , y ) ，图形：3、 极限： lim ( x , y )→( x 0 , y 0 )4、 连续：lim( x , y )→( x 0 , y 0 )5、 偏导数：f (x , y ) = A f (x , y ) = f (x 0 , y 0 )f x (x 0 , y 0 ) = lim∆x →0f ( x 0 + ∆x , y 0 ) - ∆xf ( x 0 , y 0 )f y (x 0 , y 0 ) = lim∆ y → 0 f (x 0 , y 0 + ∆y ) - ∆yf (x 0 , y 0 )6、 方向导数：∂ f = ∂ f cos + ∂ fcos 其中, 为 l 的方向角。

∂ l ∂ x ∂ y 7z = f (x , y ) ， 则 gradf (x , y ) = f (x , y + f (x , y、 梯度： 0 z = f (x , y )d z = ∂0 z x d x + )i ∂0z d yy 0 0 ) j 。

8、 全微分：设 ，则（二） 性质∂x ∂y1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：f = 0 2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理） 3、 微分法1） 定义：u x2） 复合函数求导：链式法则z若 z = f (u , v ), u = u (x , y ), v = v (x , y ) ，则vy∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v ， ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅∂v ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y3） 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用 1、 极值1） 无条件极值：求函数 z = f (x , y ) 的极值解方程组 ⎪⎨ f x = 0 ⎪ y求出所有驻点，对于每一个驻点(x 0 , y 0 ) ，令A = f x x (x 0 , y 0 ) ，B = f x y (x 0 , y 0 ) ，C = f yy (x 0 , y 0 ) ，① 若 AC - B 2 > 0 ， A > 0 ，函数有极小值， 若 AC - B 2 > 0 ， A < 0 ，函数有极大值； ② 若 AC - B 2 < 0 ，函数没有极值； ③ 若 AC - B 2 = 0 ，不定。

2） 条件极值：求函数 z = f (x , y ) 在条件(x , y ) = 0 下的极值令： L (x , y ) =f (x , y ) + (x , y )——— Lagrange 函 数⎧L x = 0 ⎪解方程组 ⎨L y = 0⎪⎩(x , y ) = 02、 几何应用1） 曲线的切线与法平面⎧x = x (t ) 曲线Γ: ⎨ y = ⎪ y (t )，则Γ 上一点 M (x 0 , y 0 , z 0 ) （对应参数为t 0 ）处的 ⎩z = z (t )x - x 0 = y - y 0 =z - z 0切线方程为： x '(t 0) y '(t 0 ) z '(t 0 ) 法平面方程为： x '(t 0 )(x - x 0 ) + 2） 曲面的切平面与法线y '(t 0 )(y - y 0 ) + z '(t 0 )(z - z 0 ) = 0曲面 ∑ : F (x , y , z ) = 0 ，则∑ 上一点 M (x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面方程为：F x (x 0 , y 0 , z 0 )(x - x 0 ) + F y (x 0 , y 0 , z 0 )( y - y 0 ) + F z (x 0 , y 0 , z 0 )(z - z 0 ) = 0x - x 0=y - y 0=z - z 0法线方程为： F x(x 0 , y 0 , z 0 )F y (x 0 , y 0 , z 0 ) F z (x 0 , y 0 , z 0 )第十章 重积分 （一） 二重积分 1、 定义：⎰⎰f (x , y ) d= lim ∑nf ( , )∆kkk→0Dk =1 2、 性质：（6 条）3、 几何意义：曲顶柱体的体积。

4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎰⎰⎰⎰⎩⎭⎰⎰⎰⎰⎩⎭11⎰⎰⎰=⎰⎰⎰Ωa D⎩D=⎧(x ,y)1(x)≤y ≤2(x)⎫⎨a ≤x ≤b⎬，f (x, y)d x d y = b d x 2 ( x ) f (x,y) d ya 1( x)DD =⎧(x, y) 1( y) ≤x ≤2( y)⎫⎨c ≤y ≤d⎬，f (x, y)d x d y = d d y 2( y ) f (x,y) d xc 1(y )D2）极坐标D=⎧(,) 1()≤≤2()⎫⎨≤≤⎬⎰⎰f (x, y)d x d y =D⎰d2()⎰() f (cos,sin) d（二）三重积分n1、定义：2、性质：3、计算：⎰⎰⎰Ω f (x, y, z) d v = lim∑→0k =1f (k,k,k)∆vk1）直角坐标z2 ( x, y )⎰⎰⎰Ωf ( x, y, z) d v =⎰⎰D d x d y⎰z ( x, y ) f (x, y, z) d z------------------- “先一后二”bf (x, y, z) d v d z f (x, y, z) d x d y ------------------------ “先二后一”Z2）柱面坐标Ω Ω⎧x = cos⎨ y = sin ⎪⎩z = z3） 球面坐标， ⎰⎰⎰Ωf (x , y , z ) d v =⎰⎰⎰Ωf (cos ,sin , z )d d d z ⎧x = r sin cos⎨ y = r sin sin ⎪⎩z = r cos⎰⎰⎰ f (x , y , z ) d v = ⎰⎰⎰ f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2sin d r d d （三） 应用 曲面 S : z =A = ⎰⎰Df (x , y ) , (x , y ) ∈ D 的面积：d x d y第十一章 曲线积分与曲面积分 （一） 对弧长的曲线积分1、 定义：f (x , y )d s = lim ∑nf (,) ⋅ ∆s⎰L2、 性质：→0i iii =11） ⎰L [f (x , y ) + (x , y )]d s =⎰Lf (x , y )d s + ⎰Lg (x , y )d s .2）⎰Lf (x , y )d s = ⎰L f (x , y )d s + ⎰L f (x , y )d s .(L = L 1 + L 2 ).3） 在 L 上，若 f (x , y ) ≤ g (x , y ) ， 则⎰Lf (x , y )d s ≤ ⎰Lg (x , y )d s .1+ ( ∂ z )2 + ( ∂ z )2∂ x ∂ y12⎰⎰4）⎰Ld s = l ( l 为曲线弧 L 的长度)3、 计算：⎪x = (t ),(≤ t ≤)，设 f (x , y ) 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为 ⎪⎩y =(t ),其中(t ),(t )在[,]上具有一阶连续导数，且'2(t ) +'2 (t ) ≠ 0 ，则⎰Lf (x , y )d s = ⎰ f [(t ),(t )], (< )（二） 对坐标的曲线积分1、 定义：设 L 为 xoy 面内从 A 到 B 的一条有向光滑弧，函数 P (x , y ) ，nQ (x , y ) 在 L 上有界，定义 ⎰ nP (x , y )d x = lim ∑ P (k , )∆k x →0k =1k L ，⎰ Q (x , y )d y = lim ∑Q ( k,)∆k y .→0k =1向量形式： ⎰L F ⋅d r = ⎰L P (x , y )d x + Q (x , y )d y2、 性质：-用 L 表示 L 的反向弧 , 则 ⎰L -F (x , y ) ⋅ d r = -⎰LF (x , y ) ⋅ d r3、 计算：设P (x , y ), Q (x , y ) 在有向光滑弧 L 上有定义且连续,⎪x =(t ),L 的参数方程为⎪⎩ y =(t ), (t :→ )，其中(t ),(t )在[,]上具有一阶连续导数，且'2 (t ) +'2 (t ) ≠ 0 ，则P (x , y )d x + Q (x , y )d y ={P [(t ),(t )]'(t ) + Q [(t ),(t )]'(t )}d tL4、 两类曲线积分之间的关系：'2 (t ) +'2 (t )d t'2(t ) +'2 (t ) '2(t ) +'2 (t ) L ⎰x y设平面有向曲线弧为L 为 ⎪x =(t ) ⎪⎩ y =(t ) ， L 上点(x , y ) 处的切向量的方向角为： , cos ='(t )cos ='(t )，，，则 ⎰L P d x + Q d y =⎰L (P cos + Q cos )d s .（三） 格林公式1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数 P (x , y ),Q (x , y ) 在D 上具有连续一阶偏导数, 则有 ⎰⎰⎛ ∂Q∂P ⎫ d x d y = P d x + Q d y⎝ ∂ x -∂ y ⎭⎪ ⎰ 2、G 为一个单连通区域，函数 P (x , y ),Q (x , y ) 在G 上具有连续一阶偏导数，则∂Q = ∂ P ⇔ 曲线积分 ⎰ P d x + Q d y 在G 内与路径无关∂ x ∂ y L⇔ 曲线积分 P d x + Q d y = 0 L⇔ P (x , y )d x + Q (x , y ) d y 在G 内为某一个函数u (x , y ) 的全微分（四） 对面积的曲面积分 1、 定义：设∑ 为光滑曲面，函数 f (x , y , z ) 是定义在∑ 上的一个有界函数，定 义 ⎰⎰ nf (x , y , z ) d S = lim ∑f ( ,i ,i ) ∆i S →0i =12、 计算：———“一单二投三代入”∑ : z = z (x , y ) ， (x , y ) ∈ D xy ，则⎰⎰∑ f (x , y , z ) d S = ⎰⎰Df [x , y , z (x , y )] 1 + z 2 (x , y ) + z 2 (x , y ) d x d yx yD1（五） 对坐标的曲面积分1、 预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、 定义：设∑ 为有向光滑曲面，函数 P (x , y , z ),Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 是定义在∑ 上的有界函数， R (x , y , z ) d x d y = lim ∑nR ( , , ) (∆S )定义 ⎰⎰∑ii i →0i =1ni xy同理， ⎰⎰∑ P (x , y , z ) d y d z = lim ∑P (i ,i ,i ) (∆S i ) y z→0 ni =1Q (x , y , z ) d z d x = lim ∑R (i ,i ,i ) (∆S i )zx→03、 性质： 1） ∑ = ∑1 + ∑2 ，则i =1⎰⎰∑ P d y d z + Q d z d x + R d x d y= ⎰⎰∑ P d y d z + Q d z d x + R d x d y +⎰⎰P d y d z + Q d z d x + R d x d y2） ∑- 表示与∑ 取相反侧的有向曲面 , 则⎰⎰∑-R d x d y = -⎰⎰ ∑R d x d y4、 计算：——“一投二代三定号”∑ : z = z (x , y ) ， (x , y ) ∈ D xy ， z = z (x , y ) 在 D xy 上具有一阶连续偏导数， R (x , y , z ) 在 ∑ 上连续，则⎰⎰∑R (x , y , z ) d x d y = ±⎰⎰D x yR [x , y , z (x , y )]d x d y , ∑ 为上侧取“ + ”，∑ 为下侧取“ - ”.5、 两类曲面积分之间的关系：⎰⎰∑P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ⎰⎰∑ (P cos + Q cos + R cos )d S其中, ,为有向曲面∑ 在点(x , y , z ) 处的法向量的方向角。