大一下高数下册知识点

高等数学下册知识点第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量线性运算定理1：设向量a ≠0,则向量b 平行于a 的充要条件是存在唯一的实数λ,使 b ＝λa1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =,),,(z y x b b b b =；则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=,其中ϕ为向量a 与u的夹角;（二） 数量积,向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅12a a a =⋅2⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ,方向：c b a,,符合右手规则 10 =⨯a a 2b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ,绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴,准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++cz b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面马鞍面：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b ya x8） 双曲柱面：12222=-b y a x9） 抛物柱面：ay x =2 （四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ,如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ,消去z ,得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H （五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =,过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ,),,(2222C B A n =,4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式点向式方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ,过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ,),,(2222p n m s =,5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、 距离,邻域,内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,无界集;2、 多元函数：1定义：设n 维空间内的点集D 是R 2的一个非空子集,称映射f ：D →R 为定义在D 上的n 元函数;当n ≥2时,称为多元函数;记为U=fx 1,x 2,…,x n ,x 1,x 2,…,x n ∈D;3、 二次函数的几何意义：由点集D 所形成的一张曲面;如z=ax+by+c 的图形为一张平面,而z=x 2+y 2的图形是旋转抛物线;4、 极限：1定义：设二元函数fp=fx,y 的定义域D,p0x0,y0是D 的聚点D,如果存在函数A 对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点px,y ∈D ∩∪p0,δ时,都有Ⅰfp-A Ⅰ=Ⅰfx,y-A Ⅰ﹤ε成立,那么就称常数A 为函数fx,y 当x,y →x 0,y 0时的极限,记作多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：1在有界闭区域D 上的多元连续函数,必定在D 上有界,且能取得它的最大值和最小值；2在有界区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值; 6、 偏导数：设有二元函数z=fx,y,点x 0,y 0是其定义域D 内一点;把y 固定在y0而让x 在x0有增量△x,相应地函数z=fx,y 有增量称为对x/y 的偏增量如果△z 与△x/△y 之比当△x →0/△y →0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=fx,y 在x0,y0处对x/y 的偏导数记作xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆), (), (lim ),(0000000 7、 混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数f xy x,y 和f yx x,y 在D内连续,那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等;8、 方向导数： βαcos cos yfx f l f ∂∂+∂∂=∂∂其中βα,为l的方向角;9、 全微分：如果函数z=fx, y 在x, y 处的全增量△z=fx △x,y △y-fx,y 可以表示为△z=A △x+B △y+o ρ,其中A 、B 不依赖于△x, △y,仅与x,y 有关, 当Ρ→0,此时称函数z=fx, y 在点x,y 处可微分,A △x+ B △y 称为函数z=fx, y 在点x, y 处的全微分,记为 （二） 性质1、 函数可微,偏导连续,偏导存在,函数连续等概念之间的关系：微分法1） 定义： u x 2） 复合函数求导：链式法则 z若(,),(,),(,)zf u v u u x y v v x y ===,则 v yz z u z v x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂,z z u z vy u y v y∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 3） 隐函数求导：两边求偏导,然后解方程组 （三） 应用充分条件1、 极值1） 无条件极值：求函数),(y x f z =的极值解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧==00yx f f 求出所有驻点,对于每一个驻点),(00y x ,令),(00y x f A xx =,),(00y x f B xy =,),(00y x f C yy =,① 若02>-B AC ,0>A ,函数有极小值, 若02>-B AC ,0<A ,函数有极大值； ② 若02<-B AC ,函数没有极值； ③ 若02=-B AC ,不定;2） 条件极值：求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值 令：),(),(),(y x y x f y x L λϕ+=——— Lagrange 函数解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),(00y x L L y x ϕ2、 几何应用1） 曲线的切线与法平面曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ)()()(:t z z t y y t x x ,则Γ上一点),,(000z y x M 对应参数为0t 处的 切线方程为：)()()(00000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 法平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x2） 曲面的切平面与法线曲面0),,(:=∑z y x F ,则∑上一点),,(000z y x M 处的切平面方程为：法线方程为：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-第十章 重积分（一） 二重积分1、 定义：∑⎰⎰=→∆=nk k k kDf y x f 1),(lim d ),(σηξσλ2、 性质：6条3、 几何意义：曲顶柱体的体积;4、 计算： 1） 直角坐标⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=b x a x y x y x D )()(),(21ϕϕ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=d y c y x y y x D )()(),(21φφ,2） 极坐标 （二） 三重积分 1、 定义： ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k kv f v z y x f 1),,(limd ),,(ζηξλ2、 性质：3、 计算：1） 直角坐标⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDy x z y x z z z y x f y x v z y x f ),(),(21d ),,(d d d ),,( -------------“先一后二”⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩZD bay x z y x f z v z y x f d d ),,(d d ),,( -------------“先二后一” 2） 柱面坐标⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos ,(,,)d (cos ,sin ,)d d d f x y z v f z z ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3） 球面坐标 （三） 应用 曲面D y x y x f zS ∈=),(,),(:的面积：第十二章 无穷级数（一） 常数项级数 1、 定义：1无穷级数：+++++=∑∞=n n nu u u u u3211部分和：n n k kn u u u u uS ++++==∑= 3211,正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u交错级数：∑∞=-1)1(n n n u ,0≥n u 2级数收敛：若S S n n =∞→lim 存在,则称级数∑∞=1n n u 收敛,否则称级数∑∞=1n n u 发散 3绝对收敛：∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=1n n u 绝对收敛；条件收敛：∑∞=1n n u 收敛,而∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n u 条件收敛;定理：若级数∑∞=1n n u 绝对收敛,则∑∞=1n n u 必定收敛;2、 性质：1） 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,不影响级数的收敛性； 2） 级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 分别收敛于和s 与σ,,则∑∞=±1)(n n nb a收敛且,其和为s+σ3） 在级数中任意加上、去掉或改变有限项,级数仍然收敛；4） 级数收敛,任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变;5） 必要条件：级数∑∞=1n n u 收敛即0lim =∞→n n u . 3、 审敛法正项级数：∑∞=1n n u ,0≥n u1） 定义：S S n n =∞→lim 存在； 2）∑∞=1n nu收敛⇔{}nS 有界；3） 比较审敛法：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,且),3,2,1( =≤n v u n n若∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=1n n v 发散.4） 比较法的推论：∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,若存在正整数m ,当mn>时,n n kv u ≤,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛；若存在正整数m,当mn >时,n n kv u ≥,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散.做题步骤：①找比较级数等比数列,调和数列,p 级数1/n p ；②比较大小；③是否收敛;5） 比较法的极限形式：设∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 为正项级数,1若)0( lim +∞<≤=∞→l l v u n nn ,而∑∞=1n n v 收敛,则∑∞=1n n u 收敛； 2若0lim >∞→n n n v u 或+∞=∞→nnn v u lim ,而∑∞=1n n v 发散,则∑∞=1n n u 发散. 6） 比值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u u nn n =+∞→1lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.7） 根值法：∑∞=1n n u 为正项级数,设l u n nn =∞→lim ,则当1<l 时,级数∑∞=1n n u 收敛；则当1>l 时,级数∑∞=1n n u 发散；当1=l 时,级数∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散.8） 极限审敛法：∑∞=1n n u 为正项级数,若0lim >⋅∞→n n u n 或+∞=⋅∞→n n u n lim ,则级数∑∞=1n n u 发散；若存在1>p ,使得)0( lim +∞<≤=⋅∞→l l u n n pn ,则级数∑∞=1n n u 收敛.交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：∑∞=-1)1(n n nu ,0≥n u 满足：),3,2,1( 1 =≤+n u u n n ,且0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=-1)1(n n n u 收敛;任意项级数：∑∞=1n nu绝对收敛,则∑∞=1n nu收敛;常见典型级数：几何级数：⎪⎩⎪⎨⎧≥<∑∞=1 1 0q q aq n n发散，收敛， p -级数：⎪⎩⎪⎨⎧≤>∑∞=1p 1 11发散，收敛，p n n p（二） 函数项级数1、 定义：函数项级数∑∞=1)(n n x u ,收敛域,收敛半径,和函数；2、 幂级数：∑∞=0n nnx a收敛半径的求法：ρ=+∞→nn n a a 1lim ,则收敛半径 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∞++∞=+∞<<=0 , ,00 ,1ρρρρR。

大一高数下册知识点汇总在大一高等数学下学期的学习中，我们将继续学习和探索更深入的数学知识。

下面是对本学期知识点的汇总和总结。

一、向量代数1. 向量的基本概念和表示法：向量的定义，零向量，单位向量，向量的数量表示法。

2. 向量的加法和减法：向量之间的加法和减法运算，平行四边形法则，共线向量和共面向量。

3. 数乘和数量积：向量与实数的数乘运算，向量的数量积的定义和性质，向量的模长和方向余弦。

4. 向量的叉乘和向量积：向量的叉乘定义和性质，向量积的模长和方向。

二、空间解析几何1. 空间直线及其方程：空间直线的定义，向量方程和参数方程的转换，直线的方向向量和点向式方程。

2. 平面及其方程：平面的定义，平面的一般方程，点法式方程和一般法式方程。

3. 空间曲线及其方程：空间曲线的定义，参数方程，齐次方程和标准方程。

4. 空间曲面及其方程：二次曲面的方程和图像，球面和圆锥曲线的方程。

三、多元函数及其极限1. 多元函数的概念与性质：多元函数的定义，自变量和因变量的关系，函数的定义域和值域。

2. 多元函数的极限：二重极限和多重极限的概念，函数极限的性质与判定方法。

3. 偏导数：多元函数的偏导数定义，偏导数的计算方法，高阶偏导数，混合偏导数。

4. 微分：多元函数的微分及其几何意义，微分的计算方法。

四、多元函数的微分学1. 隐函数及其求导：隐函数的概念和性质，隐函数求导的方法。

2. 方向导数与梯度：方向导数的定义和计算，梯度的概念和性质。

3. 多元函数极值与条件极值：多元函数的极值判定，约束条件下的极值求解。

五、多元函数的积分学1. 重积分：二重积分的概念和性质，二重积分的计算，极坐标下的二重积分。

2. 三重积分：三重积分的概念和性质，三重积分的计算，柱面坐标和球面坐标下的三重积分。

3. 曲线与曲面积分：曲线积分的概念和计算，曲面积分的概念和计算。

六、无穷级数1. 数列极限与无穷级数：数列的极限概念和性质，常见数列的收敛与发散，无穷级数的概念和性质。

大一下高数期末知识点总结高等数学是大学理工科专业中的一门重要基础课程，对于理解和掌握其他专业课程具有至关重要的作用。

下面将对大一下学期高等数学的主要知识点进行总结。

一、极限与连续1. 极限的定义及基本性质- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 极限的四则运算法则2. 确定极限的方法- 代入法- 夹逼准则- 单调有界准则- 极限的唯一性3. 连续函数- 连续函数的定义- 连续函数的基本性质- 连续函数的四则运算法则二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 右导数与左导数- 导数与函数图像的关系2. 基本求导公式- 幂函数求导法则- 反函数求导法则- 乘积法则与商法则- 复合函数求导法则3. 高阶导数与高阶导数的求法 - 高阶导数的概念- 高阶导数的求法- Leibniz公式4. 函数的微分与线性化- 微分的定义- 微分的应用- 线性化的概念及应用三、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的线性性质- 不定积分的换元法则2. 基本初等函数的不定积分- 幂函数的不定积分- 三角函数的不定积分- 指数函数与对数函数的不定积分3. 特殊函数的不定积分- 有理函数的不定积分- 特殊三角函数的不定积分- 分部积分法四、定积分与其应用1. 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的换元法则2. 定积分的计算方法- 几何意义与微元法- 换元法- 分部积分法3. 积分学基本定理- 积分的存在性定理- 牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的收敛性五、微分方程1. 一阶常微分方程- 可分离变量的一阶方程 - 齐次方程与非齐次方程 - 线性方程与伯努利方程2. 二阶线性常微分方程- 齐次线性方程的解- 常系数非齐次线性方程的特解- 高阶线性常微分方程总结：高等数学是一门抽象而严谨的学科，其中的知识点需要通过理论学习和大量的练习才能掌握。

以上只是大一下学期高等数学的主要知识点总结，希望能为同学们的学习提供一定的参考。

大一高数下册知识点大一高数下册的学习内容丰富且具有一定的难度，以下为大家梳理一些重要的知识点。

一、空间解析几何与向量代数在这部分中，首先要理解空间直角坐标系的概念。

知道如何通过坐标来确定空间中的点，以及两点之间的距离公式。

向量是一个重要的概念。

要掌握向量的加减法、数乘运算，以及向量的数量积和向量积。

数量积可以用于计算向量的长度、夹角等；向量积则用于确定与两个向量都垂直的向量。

空间平面和直线的方程也是重点。

平面方程有一般式、点法式等；直线方程有点向式、参数式等。

要能够根据已知条件求出平面和直线的方程，并能判断它们之间的位置关系，如平行、垂直等。

二、多元函数微分学多元函数的概念是基础，要区分一元函数与多元函数的不同。

了解二元函数的极限、连续等概念，以及它们之间的关系。

偏导数和全微分是这部分的核心内容。

要学会求偏导数，理解偏导数的几何意义。

掌握全微分的定义和计算方法，以及可微、偏导数存在和连续之间的关系。

复合函数求导法则较为复杂，需要分清函数的复合关系，熟练运用链式法则进行求导。

方向导数和梯度也需要了解，它们在实际问题中有一定的应用。

三、重积分重积分包括二重积分和三重积分。

要理解二重积分和三重积分的概念，掌握它们的计算方法。

直角坐标系下的计算是基础，要熟练掌握先对 x 后对 y 或者先对 y 后对 x 的积分顺序。

极坐标系下的二重积分计算也是常考的内容，需要记住相应的变换公式。

对于三重积分，除了直角坐标系，还可能会用到柱面坐标和球面坐标来简化计算。

重积分的应用也很重要，比如可以用于求曲面的面积、空间立体的体积等。

四、曲线积分与曲面积分曲线积分分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分。

要掌握它们的定义、性质和计算方法。

格林公式是联系曲线积分和二重积分的重要公式，能够通过它将封闭曲线的曲线积分转化为二重积分进行计算。

曲面积分包括对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分，同样要理解其概念和计算方法。

高斯公式则是将闭曲面的曲面积分与三重积分相联系的重要公式。