逆矩阵的定义及可逆条件

第一学期第十次课2.5.2可逆矩阵，方阵的逆矩阵1、可逆矩阵，方阵的逆矩阵的定义定义 设A 是属于K 上的一个n 阶方阵，如果存在属于K 上的n 阶方阵B ，使BA AB E ==，则称B 是A 的一个逆矩阵，此时A 称为可逆矩阵。

2、群和环的定义定义 设A 是一个非空集合。

任意一个由A A ⨯到A 的映射就成为定义在A 上的代数运算。

定义 设G 是一个非空集合。

如果在G 上定义了一个代数运算（二元运算），称为乘法，记作a b *，而且它适合以下条件，那么,G <*>就成为一个群：1、 乘法满足结合律对于G 中的任意元素a,b,c 有 ()()a b c a b c **=**；2、 存在单位元素e G ∈，对于任意a G ∈，满足 e a a *=；3、 对于任意a G ∈，存在b G ∈，使得 b a e *=。

关于群的性质，我们有如下命题：命题 对于任意a G ∈，同样有a b e *=证明 对于b ，存在c G ∈，使得cb e =，()()a e a c b a c b a c e =*=**=**=*，两端右乘b ，得到a b e *=。

命题 对于任意a G ∈，同样有a e a *=证明 ()()a e a a b a a b a a e =*=**=**=*。

命题 单位元素唯一证明 假设存在,'e e G ∈，均是单位元素，则''e e e e ==。

命题 对于任意a G ∈，存在唯一b G ∈，使得 a b b a e *=*=，于是元素b 就称为a 的逆元素，记为1a -。

证明 设存在,b c G ∈，满足条件，则 ()()b e b c a b c a b c e c =*=**=**=*=。

易知，11()a a --=。

命题 对于G 中的任意元素a,b ，方程a x b *=有唯一解。

定义 一个群G 称为一个交换群（Abelian Group ），若定义在上面的代数运算*满足交换律，即对于任意,a b G ∈，都有a b b a *=*。

矩阵的逆矩阵公式矩阵是线性代数中最基本的概念之一，逆矩阵则是矩阵理论中的一个非常重要的概念。

一个矩阵的逆矩阵是唯一的，其存在判定方法和求解方法也是线性代数中的重要内容之一。

首先，我们来介绍矩阵的逆矩阵的定义以及存在条件。

设A是一个n×n的方阵（即行数和列数相同的矩阵），若存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。

如果矩阵A存在逆矩阵A^-1，则称矩阵A是可逆的（或非奇异的），否则称其为不可逆的（或奇异的）。

那么，如何判定一个矩阵是否存在逆矩阵呢？一个n×n的矩阵A 可逆的充分必要条件是其行列式不等于0（即det(A) ≠ 0）。

接下来，我将介绍一种常见的求解矩阵逆矩阵的方法——高斯-约旦消元法。

这种方法也叫做矩阵的初等行变换法。

具体方法如下：1. 将A矩阵和n阶单位矩阵In作为一个n×2n的增广矩阵。

2. 对增广矩阵进行初等行变换，将矩阵A化为一个上三角矩阵。

3. 对上三角矩阵进行初等行变换，将其变为一个对角矩阵。

4. 对对角矩阵进行初等行变换，使其对角线上每个元素都为1。

5. 通过初等行变换，将单位矩阵In变为逆矩阵A^-1。

6. 最终得到逆矩阵A^-1。

通过以上步骤，可以快速地求出一个矩阵的逆矩阵。

需要注意的是，对于某些矩阵来说，其逆矩阵可能不存在，此时使用高斯-约旦消元法求解逆矩阵则会发现矩阵变成了不合法的矩阵。

总的来说，矩阵逆矩阵的概念及判定方法是线性代数中的重要内容之一。

在实际应用中，矩阵逆矩阵是非常重要的，能够帮助我们求解一些线性方程组，解决科学与工程中的很多问题。

逆矩阵的知识点总结一、逆矩阵的基本概念1.1 矩阵的逆在矩阵理论中，矩阵的逆是一个重要的概念。

如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B相乘得到单位矩阵I，那么矩阵B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A-1。

换句话说，如果AB=I，那么B就是A的逆矩阵。

1.2 逆矩阵的存在性并非所有的矩阵都有逆矩阵。

只有当矩阵是可逆的时候，才会存在逆矩阵。

一个矩阵是可逆的，当且仅当它是一个方阵且其行列式不为0。

1.3 逆矩阵的求解要求解矩阵的逆，可以使用多种方法。

其中最常用的方法是高斯-约当法求解逆矩阵。

这一方法通过行变换和列变换来将矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。

1.4 逆矩阵与解的关系在线性代数中，矩阵的逆与线性方程组的解密切相关。

如果一个矩阵是可逆的，那么它所代表的线性方程组一定有唯一解，反之亦然。

二、逆矩阵的性质2.1 逆矩阵的唯一性如果一个矩阵有逆矩阵，那么逆矩阵是唯一的。

这是因为如果存在两个不同的矩阵B和C，使得AB=I且AC=I，那么由矩阵乘法的结合律可得B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C，即B=C。

2.2 逆矩阵的乘法逆矩阵有一个重要的性质，即两个可逆矩阵的乘积仍然是可逆的，并且其逆矩阵等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。

换句话说，如果A和B都是可逆的矩阵，那么(AB)-1=B-1A-1。

2.3 逆矩阵与转置矩阵的关系矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

在逆矩阵的情况下，有一个重要的性质，即一个矩阵的逆与其转置的逆是相等的，即(A-1)T=(AT)-1。

2.4 逆矩阵与幂的关系矩阵的逆与幂有着密切的关系。

如果一个矩阵A是可逆的，那么其幂A^n也是可逆的，并且(A^n)-1=(A-1)^n。

2.5 逆矩阵与伴随矩阵的关系在矩阵理论中，有一个与逆矩阵密切相关的概念，即伴随矩阵。

伴随矩阵是一个矩阵的行列式和代数余子式构成的矩阵。

与逆矩阵的关系在于，如果一个矩阵A是可逆的，那么它的伴随矩阵乘以矩阵A的行列式就等于单位矩阵。

第三讲 §2.3 逆矩阵2.3.1 逆矩阵的定义与性质我们已经定义了矩阵的加、减、数乘等运算,但是如果已知A 、B ,如何由矩阵方程B X A =⋅求出X 这个矩阵呢?逆矩阵的概念将会很好地解决这个问题.定义2.3.1 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵．B 称为A 的逆矩阵．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为，如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22那么 22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质：（１）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的．（２）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．这是因为 E A A AEA A BB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())(( 所以 111)(---=A B AB ．这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（３）可逆矩阵A 的转置矩阵TA 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为 EE A A A A TTTT===--)()(11E E AA A A TTTT===--)()(11 所以 T TA A )()(11--=．（４）如果A 是可逆矩阵，则有11--=AA ．这是因为 E AA =-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以 111--==A AA．2.3.2 伴随矩阵定义 2.3.2 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).定义 2.3.3 设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212221212111*称为A 的伴随矩阵.定理2.3.1 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =- 证明: 必要性 设A 为可逆矩阵,则存在矩阵1-A ,有E AA =-1,在等式两边取行列式,得111=⋅=--A A AA所以0≠A .即A 是非奇异的.充分性 设A 是非奇异矩阵,则0≠A ,由行列式按一行(列)展开定理有)1(*1A AA AA =-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn nnn n nn n n n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a A2122212121112122221112111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A 0000001 E = 同理可得 E A A =-1,所以A 可逆,并且*11A AA =- 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 例2 设A 为n (n ≥2)阶方阵,证明:当0≠A 时A AA n 2)(-**=证明 : 当0≠A 时, 有0≠*A ,且1-*⋅=A A A 又1-*=n A A ,所以()1111)()(----****==A A AA A A n =AAA AA n n 211---=这道题当 0=A 时，在学了第三章后也可以证明。

一、逆矩阵的特点
1、逆矩阵是唯一的。

2、若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且。

二、逆变换的定义：
一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ=ρσ=I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换。

三、逆矩阵的定义：
对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记A的逆矩阵为。

1、逆变换的定义：一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ=ρσ=I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换。

2、逆矩阵的定义：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵，通常记A的逆矩阵为。

3、逆矩阵是唯一的。

4、若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且。