6.3向量数量积的坐标表示

求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.

向量数量积的几何意义
投影长度
数量积表示向量$vec{A}$在向量 $vec{B}$上的投影长度。
角度余弦值
数量积等于两向量夹角的余弦值乘以 两向量的模的乘积，即$cos theta = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}$。
向量数量积的计算公式
几何意义
向量模的计算公式在几何上表示了从原点到该向量的有向线段的长度。
向量模的性质
性质1
向量的模满足三角不等式，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$left| overset{longrightarrow}{a} +
向量数量积的坐标表示、模、夹角
$number {01}
目 录
• 向量的坐标表示 • 向量数量积的坐标表示 • 向量的模 • 向量夹角 • 向量数量积、模、夹角之间的关
系
01
向量的坐标表示
定义与性质
定义
向量可以用坐标表示为 $overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$，$overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$。
向量夹角与点积的关系
当两个向量的夹角为90°时，它们的数量积为0，即A·B = 0；当两个向 量的夹角为0°或180°时，它们的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B = ||A|| ||B||。
05
向量数量积、模、夹角之间 的关系
向量数量积与模的关系
1 2
3
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积乘以它们夹角的余 弦值。

向量的数量积坐标表示公式
向量的数量积是两个向量之间的一种运算，它表示两个向量之间的相似程度，也称为点积或内积。

向量的数量积的坐标表示公式如下：设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是两个向量，则它们的数量积可以表示为：
A·B=x1x2+y1y2+z1z2
其中，x1、y1、z1分别是向量A的三个坐标分量，x2、y2、z2分别是向量B的三个坐标分量。

这个公式的意义是将向量的坐标分量分别相乘，然后将这些乘积相加得到向量的数量积。

这个结果是一个数，代表了向量A和向量B 之间的相似程度。

向量的数量积有很多应用，例如在力学、电磁学和几何学中都有广泛的应用。

在几何学中，向量的数量积可以用来计算向量的夹角和向量的长度。

在力学中，向量的数量积可以用来计算力的功和力矩。

在电磁学中，向量的数量积可以用来计算电场强度和磁场强度。

- 1 -。

3、 cos
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
4、 a // b x1y2 x2 y1 0
5、 a b x1x2 y1y2 0
6、已知:A（x1,x2),B(x1,x2)则
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
向量的模的公式： a
x12 y12 , b
x22 y22 .
（2）若设A(x1,y1),B(x2,y2)，则如何计算向量AB
的模？
两点间的距离公式：AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 ,
小组合作探究活动 （3）如何推导出向量夹角公式的坐标表示式？
向量的夹角的公式：
已知两个非零向量a=(x 1, y1) ， b=(x2 , y2)， 则
又 α＋β∈(0，π)，所以 α＋β＝34π.
变式练习
已知向量 a＝ sin α＋π6 ，3 ，b＝(1,4cosα)，α∈(0，π)． (1) 若 a⊥b，求 tanα的值； (2) 若 a∥b，求α的值．
分析
(1) a b x1x2 y1y2 0
(2) a // b x1y2 x2 y1 0
变式练习
解：(1)
因为
a⊥b，所以
sin
α＋π 6
＋12cosα＝0，
即 23sinα＋12cosα＋12cosα＝0，即 23sinα＋225cosα＝0.
又 cosα≠0，所以 tanα＝－25 3. 3
(2) 若 a∥b，则 4cosαsinα＋π6＝3，
即 4cosα 23sinα＋12cosα＝3，所以 3sin2α＋cos2α＝2，所以 sin2α＋π6＝1. 因为 α∈(0，π)，
若平行，需 sinαcosα＋2＝0，即 sin2α＝－4，