数量积的坐标表示

8.2（3）向量的数量积的坐标表示 民本中学 龚亚霞
教学目标：
（1）通过学习，理解和掌握向量数量积的坐标表示； （2）会根据坐标求两个向量的夹角
（3）能把向量的垂直关系坐标化并掌握向量的数量积与向量垂直的充要条件。

教学重点和难点：
（1）向量数量积的坐标表示； （2）两向量垂直的坐标之间的关系；
（3）利用向量的数量积公式及坐标表示，求两向量的夹角。

思想方法：数形结合的思想方法在解题中的应用。

教学过程：
一、复习上节课知识点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式以及向量垂直的应用
二、新课引入：提出问题并解决问题（问题驱动）
问题1：已知||2,||3,a b a b ==
与的夹角是45 ，
求⋅)(1
||)(-22
(3)a b
在的方向上的投影。

问题2：已知232-=⋅==b a b a ,||,||，求a b 与的夹角以及a b
在的方向上的投影。

问题3：已知(2,3),(3,1),.a b b a b λλ=-=-
且与垂直求的值
三、新课内容
在解决以上三个问题的过程中，通过变换条件，不仅让学生复习了向量数量计的公式，巩固上节课的知识点，而且提出了问题：在向量的坐标表示下如何求出向量的数量积？
根据向量的正交分解可得：1122(,),(,)a x y b x y ==
由
11
22:=,=a x i
y j b x i y j ++
知 从而有以下等式： （1） 设1122(,),(,),a x y b x y ==
则2121y y x x +=⋅
即：两向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。

问题4：能否在问题3的条件下求出a b
与的夹角θ?
[分析]当向量的坐标给出后,除零向量外，向量的方向就惟一确定了,那么它们的夹角也就确定了,所以我们能够求出夹角θ.联想上节课利用向量的数量积求两个向量夹角的方法,根据坐标计算出两个向量的数量积时,意味着只要能根据坐标求出向量的模,问题就迎刃而解了.
解：|||a b ==
，
故：
1212cos )
||||arccos
130
a a
b b a b θθπθ+=
==≤≤∴=
（2）两个向量的夹角公式
一般地,设两个非零向量()11,y x a =,()22,y x b =的夹角为θ,
则
22
2221
21
2121cos y
x y
x y y x x b a +++=
=
θ
应用此夹角公式时，应注意两个向量的夹角的范围是[0,]π。

（3）.两个向量垂直的充要条件 当两个向量垂直时，它们的夹角是
2π，而c o s 02
π
=，所以可得到：02121=+y y x x 即：已知()11,y x =，()22,y x b =，那么⊥的充要条件是02121=+y y x x . [说明]把之前学习的两个向量垂直的充要条件坐标化，渗透着数形结合的思想.简洁的形式,使之成为判断两个向量垂直最常用的方法. 四：应用
（一）基础解答：
1.=(3,4),=(2,5),=(3,2),)().a b c a b c a b c -- 已知求:(和的值
[分析]学生熟练运用向量的数量积公式，并注意区别)()a b c a b c
(和的值通常是
不相等的。

2.,,,C A B C ∆AB 中已知三点的坐标分别为：（2，-2），（-2，3），（3，7）， 求证：C ∆AB 为直角三角形。

[分析]此题根据三角形的三个顶点坐标,通过坐标运算,将坐标关系转化为位置关系.本题解法多样,可用两个向量垂直的充要条件、勾股定理或解析几何相关知识解答.在教学中可充分调动学生的积极性,引导学生得出多种解法,在此基础上,启发学生比较各种解法的优劣,体会应用代数方法进行几何证明的优越性.
3.(1,2),(2,2),a b ==- 已知求||,||a b a b
及与的夹角θ
154.,,,0,,||3,||5,4
ABC ABC AB a AC b a b S a b a b ∆∆==<===
求与的夹角。

[分析]以上两题均注意用两向量的夹角公式，同时角的范围是[0,]π （二）巩固提高：
1.(2,1),(,1),a b m m a b =-=-
已知若与的夹角为锐角，求m 的取值范围。

2.,(3,4),(,1),Rt ,m .ABC AB AC m ABC ∆=-=∆∆
中是求的值
3.(cos ,sin ),(cos ,sin ),|||,k 0
a b a b ka b a kb ααββ==+=-> 已知与足系式其中
(1);a b 用k表示(2),a b a b
求的最小值并求此是与的夹角θ的大小。

五：小结
1、向量的数量积的坐标表示;两个向量的夹角公式;向量垂直的充要条件的坐标表示.
2、求两个向量的数量积时，注意数量积的结果是数，而实数与向量乘法的结果是向量，这是不同的概念。

3、利用向量的代数性和几何特征,将向量的度量计算(两个向量的夹角、长度)和位置关系(平行与垂直)判断转化为坐标运算，使几何可能计算，问题更加简洁和形式化、机械化，体现了现代几何学的发展方向---几何代数化.
六：作业
七、教学设计说明
1 本节课的主要内容是两个向量数量积的坐标运算，两个向量夹角的坐标计算公式以及垂直向量的坐标关系.向量坐标化的意义在于用代数方法刻画几何量，体现了数形结合的数学思想.本节课在学生学习向量的坐标、向量的数量积的定义和几何意义的基础上，进一步将数量积坐标化，将两个向量的度量计算(夹角、长度)转化为坐标计算.既是前述知识的延续，又为学生提供了数形结合的借鉴模型.在教学中,着力解决的问题有两个：第一个，怎样将两个向量的数量积、夹角计算以及位置关系坐标化；第二个，几何量坐标化以后体现了怎样的优越性，这可以通过解决数学问题的过程让学生体会.第一个问题是非常重要的，如果学生不能了解问题坐标化的过程和意义，也就失去了学习的主旨，使得本节课变成了一节课上轻松、课后糊涂的计算课，所以教师要在学生理解向量坐标意义的基础上揭示坐标化的过程,本节课的引例就是为此而设计的，要重视对向量坐标的意义的理解.
2 在教学时注意区别实数与向量的乘法和两个向量的数量积的运算结果的区别，实数与向量的乘法的运算结果是向量，而两个向量的数量积的结果是数.在讲解例题时建议可由学生先尝试完成，然后师生共同讨论，观察、分析两者的区别.这样学生的理解比较深刻.。