矩阵等价与向量组等价的关系
矩阵是指排成n行m列的一个数表。在线性代数中矩阵是一个重要而有力的工具，应用
于线性代数的始末，与线性代数的每一章节内容都有牵连。
向量是一个数组。如果向量仅有一个分量，它就是通常意义上的数；如果向量的分量有
两个或三个，在解析几何中，它表示平面或空间的有向线段。在几何上与线性代数中向量的运算具有相同或相应的法则。向量可以作为特殊的矩阵，也可作为矩阵的一部分。n个m维列向量组成的向量组即可作成一个m×n矩阵。
所以矩阵与向量组之间有着千丝万缕的联系。例如矩阵与其行向量组及列向量组均有相
同的秩，方阵可逆的充要条件是其行（列）向量组线性无关等。但是矩阵的等价与向量组的等价却没有任何必然的联系！
矩阵等价的定义：如果矩阵A可以经过有限次初等变换成为矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价。矩阵等价的两个充要条件：存在可逆矩阵P、Q，使得PAQ =B；A与B同型，且r(A)=r(B)。
向量组的等价，是指两个向量组能相互线性表示。
矩阵等价与向量组等价有如下关系：
1.两矩阵等价，它们的行向量组与列向量组不一定等价！（《2012考研数学复习大全》
理工类338页有说明及具体反例）
2.两个向量组等价，它们作成的矩阵不一定等价！（向量组等价，两向量组中所含向量
个数可以不同，但矩阵等价，两矩阵必定具有相同的行数与列数）
在什么情况下矩阵等价其行向量组或列向量组等价呢？
1.若矩阵A经初等列变换成为矩阵B，即存在可逆矩阵Q，使AQ=B，也可以写为
（α1，α2，…，αn）Q=（β1，β2，…，βn）， 此时可知B的列向量组可以由A的列向量组线性表示，因为Q为初等矩阵的乘积，所以可逆，对AQ=B两边右乘Q -1，有A=BQ -1，故A的列向量组可以由B的列向量组线性表示。此时可得A的列向量组与B的列向量组等价。
2.同理可知：若矩阵A经初等行变换成为矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组
TheMethodforConstructingBlock
SparseMeasurementMatrix
BasedonOrthogonalVectors
RuizhenZhao1,2,ZhouQin1,2,andJinhuiTang3
1InstituteofInformationScience,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044,China2KeyLaboratoryofAdvancedInformationScienceandNetworkTechnologyofBeijing,Beijing100044,China3SchoolofComputerScience,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China
pressivesensingisanewwayofinformationprocessingwhichrecovertheoriginalsignalthroughacquiringmuchfewermeasure-mentswithameasurementmatrix.Themeasurementmatrixhasanim-portanteffectinsignalsamplingandreconstructionalgorithm.However,therearetwomainproblemsincurrentlyexistingmatrices:thedifficultyofhardwareimplementationandhighcomputationcomplexity.Inthispaper,weproposedaclassofhighlysparseanddeterministicscram-bledblockmeasurementmatricesbasedonorthogonalvectors(SBOV).Itcouldimprovesensingefficiencyandreducecomputationcomplexity.Thosematricesconstructedbytheproposedmethodonlyneedverylit-tlememoryspaceandtheycouldbeeasilyimplementedinhardwareduetotheirsimpleentries.Someexperimentsshowthebetterimagingper-formancecomparabletoscrambledblockHadamardmatrix(SBH)anddensepartialHadamardmatrix.SBOVmatricesaresimplerandsparserthanSBHmatrix.
第五章相似矩阵
§1 向量的内积和正交矩阵
§2 方阵的特征值与特征向量、相似矩阵
§3 方阵的对角化
§1向量的内积和正交矩阵2
(,)(,)(,)(,)XXXXXXXX向量的长度
定义5.1.2：令
称|| X || 为n 维向量X 的长度（或模）．
当|| X || = 1时，称X为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当X= 0（零向量）时，|| X || = 0；
当X≠0（零向量）时，|| X || >0．
齐次性：|| X || =| |·|| X || ．222
12||||(,)0
nXXxxXx
2||||(,)(,)||(,)||||||XXXXXXXX
向量的长度
定义5.1.2：令
称|| X || 为n 维向量X 的长度（或模）．
当|| X || = 1时，称X为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当X= 0（零向量）时，|| X || = 0；
当X ≠ 0（零向量）时，|| X || >0．
齐次性：|| X || =| |·|| X||．
三角不等式：|| X + Y || ≤|| X || + || Y ||．222
12(||,|)|
nXXxXxx
xyx + y
y
向量的正交性
施瓦兹（Schwarz）不等式
(X, Y)2 ≤ (X, X) (Y, Y) = || X || ·|| Y ||
当X ≠ 0 且Y ≠ 0 时，
定义5.1.3：当X ≠ 0 且Y ≠ 0 时，把
称为n 维向量X和Y的夹角．
当(X, Y) = 0，称向量X和Y正交．
结论：若X= 0，则X与任何向量都正交．(,)
arccos
||||||||XY
XY
(,)
1
||||||||XY
XY
xy
定义：一组两两正交的非零向量，称为正交向量组．
定理5.1.1：若n 维向量a
1, a
2, …, a
s 是两两正交的非零向量，
则a
1, a
2, …, a
第９卷第３期 ２ ００７年９月 辽宁师专学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ＶｏＩ．９ Ｎｏ．３ Ｓｅｐ．２ ０ ０ ７
【学术研究】
由解方程组法求实对称矩阵的正交特征向量
刘连福
（大连水产学院职业技术学院，辽宁瓦房店１６３０００）
摘 要：给出由解方程组求实对称矩阵正交特征向量的方法，该方法不用求方程组的基础解系，只需求相 应齐次线性方程组的一个非零解即可． 关键词：实对称矩阵；正交；特征向量 中图分类号：Ｏ１５１．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—５６８８（２００７）０３—０００９—０１
在用正交变换法化实对称矩阵为对角矩阵时，通常要先求方程组的基础解系得到属于同一特征值的线 性无关的特征向量，然后用施密特正交化法将其正交化，而施密特公式许多学生感觉难记，使用不方便， 为此本文给出一种由解方程组求实对称矩阵正交特征向量的方法，该方法不用死记硬背，同时也不用求方
程组的基础解系，便于学生掌握．
１方法简介
设 是 阶实对称矩阵Ａ的ｋ重根，对应的特征向量由方程组（Ａ— Ｅ）ｘ＝０解得，设 。＝（ｎ ｎ。 ，
…，ｎ。 ） 是（Ａ— Ｅ）Ｘ：０的一个非零解，构造线性方程组
｛ ０ 。 ㈩ ｌ ｘ：
再求方程组（１）的一个非零解 ＝（ｎ 。，ａ ，…，ｎ ） ，这里 。、 正交．再构造线性方程组
ｆ（Ａ一２Ｅ）Ｘ＝０
ｘ：０ （２） ｌ ｘ：０
求出方程组（２）的一个非零解 ＝（ｎ 。，ｎ ，…，ｎ ） ，这里 。、 、 正交．重复上面步骤，便可得到对应于
的志个正交的特征向量．根据解决问题的过程不难验证其正确性．
２应用举例
例１设Ａ＝ ２ —１ —１ １
—１ ２ １ —１
—１ １ ２ —１
１ —１ —１ ２ ，求一正交矩阵Ｐ，使Ｐ ＡＰ为对角矩阵…
解：首先求Ａ的特征值．因为Ｊ Ａ一２Ｅ Ｊ＝
的特征值 。：１（三重）， ２＝５ ２一
