正交矩阵与正交化方法

TheMethodforConstructingBlock

SparseMeasurementMatrix

BasedonOrthogonalVectors󰀅

RuizhenZhao1,2,ZhouQin1,2,andJinhuiTang3

1InstituteofInformationScience,BeijingJiaotongUniversity,Beijing100044,China2KeyLaboratoryofAdvancedInformationScienceandNetworkTechnologyofBeijing,Beijing100044,China3SchoolofComputerScience,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China

pressivesensingisanewwayofinformationprocessingwhichrecovertheoriginalsignalthroughacquiringmuchfewermeasure-mentswithameasurementmatrix.Themeasurementmatrixhasanim-portanteffectinsignalsamplingandreconstructionalgorithm.However,therearetwomainproblemsincurrentlyexistingmatrices:thedifficultyofhardwareimplementationandhighcomputationcomplexity.Inthispaper,weproposedaclassofhighlysparseanddeterministicscram-bledblockmeasurementmatricesbasedonorthogonalvectors(SBOV).Itcouldimprovesensingefficiencyandreducecomputationcomplexity.Thosematricesconstructedbytheproposedmethodonlyneedverylit-tlememoryspaceandtheycouldbeeasilyimplementedinhardwareduetotheirsimpleentries.Someexperimentsshowthebetterimagingper-formancecomparabletoscrambledblockHadamardmatrix(SBH)anddensepartialHadamardmatrix.SBOVmatricesaresimplerandsparserthanSBHmatrix.

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关于正交矩阵和正交变换新的引入方法

作者：李满 朱玉清

来源：《课程教育研究·上》2015年第11期

【摘要】本文运用实际生活中的例子引入正交矩阵和正交变换的课程内容，这可以有效的提高学生对知识点的兴趣，并且较好的学习正交矩阵和正交变换的基本概念和了解这个知识点的应用。

【关键词】正交矩阵 ;正交变换 ;向量组

【中图分类号】TP391.41 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）11-0108-01

1.引言

正交变换是欧氏空间中的一种重要的变换，是保持内积及长度不变的线性变换，因而不会改变曲线或曲面的形状。正交变换不仅在高等代数、数学分析及其它数学分支中起着独到的作用，而且在自动化技术、计算机技术、物理等领域都有十分广泛的应用。

2.正交矩阵和正交变换

理解正交矩阵和正交变换概念，会判断一个矩阵是否为正交矩阵，了解正交变换的分类。

定义1：如果n阶方阵A满足AAT=E，则称是A正交矩阵，也可简称为正交阵。由AA-1=E，即AT=A-1。

定理：A为正交矩阵的充分必要条件为A的列（行）向量组为正交单位向量组。

这个定理主要用来判断一个矩阵是否为正交矩阵，例如判断下面两个矩阵是否是正交矩阵。

例：（1）A=-1 0 ;00 ; 1 ;00 ; 0 ;1 ; ; ; （2）A=cosθ ;-sinθ ;0sinθ ; cosθ ; 00 ; ; ; 0 ; ; ;1

解：（1）把A按列分块A=（a1，a2，a3），由于每个向量是单位向量，且任意两向量正交，a1，a2，a3为正交单位向量组，即A为正交矩阵。 同样的可得（2）也是正交矩阵。

性质：如果A，B为正交矩阵，AT也是正交矩阵，A-1=AT也是正交矩阵;AB也是正交矩阵;|A|=1，|A|=-1。

第３７卷第１Ｏ期　２０１５年１０月　湖州师范学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｖｏ１．３７　Ｎｏ．１０　０ｃｔ．，２０１５　

三阶实对称矩阵正交对角化的简便方法　

林林，欧阳成　

（湖州师范学院理学院，浙江湖州３１３０００）　

摘　要：利用属于相异特征值特征向量的几何特征，给出当三阶实对称矩阵具有二重特征值时如何快速将矩阵正　交对角化的简便方法，从而有效地规避实对称矩阵正交对角化过程中的复杂计算．通过实例分析阐述了该方法在　高等代数、解析几何等方面的应用．　关键词：特征值；特征向量；几何特征；正交矩阵　

中图分类号：０１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—１７３４（２０１５）１０—０００９—０４　ＭＳＣ　２０１０：１５Ａ１８　

０　引言　

实对称矩阵的对角化是高等代数的重要研究内容，其计算量较大．彳艮多数学研究工作者对此做了大量　

研究，并提出了不同的求解方法简化计算过程．如由解方程组求实对称矩阵的正交特征向量将实对称矩阵　

对角化　；利用合同变换和相似变换将实对称矩阵对角化　；利用Ｈｏｕｓｅｈｏｌｄｅｒ变换直接将实对称矩阵对　

角化口　；黄泽霞等　利用实对称矩阵的一个性质，找到了一个求其特征向量的简便方法；李蕊　通过简单　

的初等行变换求出实对称矩阵的两两正交的特征向量，从而得到将实对称矩阵正交相似对角化的简便方　

法；顾央青　通过解方程组直接求出矩阵Ａ的正交特征向量；李先明　给出了用行初等变换化实对称矩阵　

为对角形的方法．　

本文主要研究三阶实对称矩阵Ａ一（口　，）。　。（口　一倪　）有二重特征值时的正交对角化问题，利用属于相　

异特征值的特征向量互相正交的几何特征，给出快速求解正交矩阵Ｑ，使得Ｑ　ＡＱ—Ｑ　ＡＱ—ｄｉａｇ（２　，　，　

。）为对角矩阵，其中　（一　）与　。为三阶实对称矩阵两个相异的特征值．在高等代数中求正交变换将实　

二次型化为标准形，以及在解析几何中化简某些二次曲面方程，其本质与三阶实对称矩阵的正交对角化问　

规范正交化

正交化是数学中常用的一个概念，用于描述向量空间中向量之间的相互关系。在实际应用中，正交化有助于简化计算、提高计算精度和减少冗余信息。本文将介绍正交化的概念、常用的正交化方法以及其在不同领域中的应用。

一、正交化的概念

正交化是指将非正交向量集合转化为正交向量集合的过程。在向量空间中，正交向量具有特殊的相互关系，即两两之间的夹角为90度，且长度可以不同。正交化的目标是使得向量集合中的每个向量都与其他向量正交。

二、常用的正交化方法

1. 施密特正交化方法（Gram-Schmidt Orthogonalization）

该方法是最常用的正交化方法之一，对于一个非正交向量集合{v1, v2, ..., vn}，依次求取正交向量集合的方法如下：

a) 设v1为原始向量集合中的第一个向量，令u1 = v1；

b) 对于第k（k > 1）个向量vk，计算其在前k-1个向量的张成空间中的投影，得到正交向量uk；

c) 将uk标准化，得到单位正交向量ek = (1/||uk||) * uk。

2. QR分解

QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的过程。在QR分解中，正交矩阵Q的列向量即为原始矩阵的正交向量集合。QR分解可以通过多种方法实现，如Gram-Schmidt算法、Givens变换、Householder变换等。

3. 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）

SVD是矩阵分解的一种方法，将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵。在SVD中，U的列向量和V的行向量即为原始矩阵的正交向量集合。

三、正交化的应用

正交化在许多领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用示例。

1. 数据压缩

正交化可以用于数据压缩的过程中，通过去除非正交向量的冗余信息，从而减小数据大小。例如，在图像压缩中，正交化可以用于将图像的原始数据转化为正交基下的表示，从而减小图像数据的维度。