正交矩阵与正交变换的性质及应用

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正交矩阵与正交变换的性质及应用

程祥

河南大学数学与信息科学学院 开封 475004

摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广.

关键词:正交矩阵;正交变换;性质

1.1 正交矩阵的的定义及其判定

定义1 n阶实矩阵A, 若满足EAA', 则称A为正交矩阵.

性质1 A为正交矩阵1'AA.

性质2 A为正交矩阵'1,,,1,2,,0,,ijijijnij.的列向量为Ai.

性质3 A为正交矩阵'1,,1,2,...0,,ijijijnij.的行向量为Ai.

1.2 正交矩阵的性质

性质1]3[ 若A为正交矩阵则*'1,,AAA均为正交矩阵.

证明 有EAAAAEAAAA1''11''''')()(,)()(,

EAAAA*''**)()(,

可得

*'1,,AAA均为正交矩阵.

性质2 若A为正交矩阵则11)det(或A

证明 对EAA'两边同取行列式,

可得

1))(det(2A,

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故

11)det(或A.

性质3]4[ 若BA,为正交矩阵，则AB也为正交矩阵.

证明 有EAAAABBABAB''''))((,

可得

AB为正交矩阵.

性质4 正交矩阵的特征值的模为1.

证明 设A为正交矩阵，复数为其任一特征值X为其对应的特

征向量，即XAX，0X

两边取转置

'''XAX，

由此得

XXAXAX''',

有EAA'可得

XXXX'2',

从而1.

性质5 正交矩阵的实特征值为1.

性质6]5[ 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1.

证明 设A为n阶正交矩阵且1)det(A，n为奇数

则

''')()1()1(AEAEAAAAEnn

AEn)1(AE,

故

0AE,

即A有特征值1.

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性质7 行列式为1的正交矩阵必有特征值1.

证明 设A为正交矩阵且1)det(A

则

''')(AEAAEAAAAAE

AE,

故

0AE,

即

A有特征值1.

性质8]6[ 设为正交矩阵A的特征值，则1也为A的特征值.

证明 因为A的特征值

故存在特征向量A使得

从而

''AAA,

得

1'A,

即1为'A的特征值,

从而

1也为A的特征值.

性质9]8[ 设A为一n阶正交矩阵，有一特征值为)0(i，相应的特征向量为iyx，则.0,'''xyyyxx

证明 有))(()(iyxiiyxA,

得

yxyxA,

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两边转置得

'''''yxAyx,

令

yxZyyYxxX''',,,

故

YZZXYZZX,

计算可得

YZZXZXYYXZZYXZZZYX2)()(222222222,

比较第一行元素可知

ZYX2)1(22,

)()1(22YXZ,

又A为正交矩阵，有性质4知

122,

代入并注意到0有

)(2YXZ,

)(2YXZ,

可得

0))((22YX即YX,

易得

0Z,

从而

0,'''xyyyxx.

下面举具体例子说明正交矩阵上述性质的应用.

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例1]1[ 证明：不存在正交矩阵22,BABABA使得.

证明 设有正交矩阵22,BABABA使得,

则'22''',,BABABA以及都是正交矩阵,

且

BABABABA'22',,

故

BABA,为正交矩阵,

从而

BAABEBABAE2))((,

BAABEBABAE2))((,

两式相加，得

EE42,

矛盾 故得证.

例2 设1)(,0,BArBAnBA证明阶正交方阵且为

证明 因BA,为正交方阵，故

1,AEAA,

又

ABBA估,0,

从而

12ABABA,

得

BA有特征值-1,

故

0)1('BAAABAEn,

即

第 6 页 共 10 页 0,0)1()1('BABAABAAnn,

因此

1)(BAr.

例3]1[ 设1AA为一三阶正交方阵且证明：存在一实数31,kk

使得023EkAkAA.

证明 设321，，的三个特征值分别为A则

32131322123213)()()(AEf,

因为A为奇数阶正交矩阵且1A,

故

A有特征值1，不妨设11则122321A,

于是

32313221323211,1,

从而

1)(23kkAEf,

其中),(13232为实数或共轭虚数k,

有因正交矩阵的特征值的模为1,

故

323232)(,

得

2232,

于是

31k,

从而

023EkAkAA,31k.

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例4]7[有椭球面1222222czbyax的中心，引三条两两垂直的射线，分

交曲面于点321,,PPP ，设332211,,rOPrOPrOP.证明：

222232221111111cbarrr.

证明 设iiiiOP,,的方向余弦为， 31i

则

iiiiiiirrrP,,点坐标为，且1222iii,

代入曲面方程可得

22222221cbariiii,

故

223222122322212232221232221111cbarrr,

有321,,OPOPOP两两垂直可得333222111为正交矩阵,

故

1,1,1232221232221232221,

从而有

222232221111111cbarrr.

2.1正交变换的定义及等价条件

定义2：欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的V,，都有),(),(TT.

正交变换可以从几个不同的方面来加以刻画.

定理]2[ 设T是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面的四个命题是相互等

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价的：

(1) T是正交变换；

（2）T保持向量的长度不变，即对于TV,；

（3）如果n,,21是标准正交基，那么nTTT,,,21也是标准正交基；

（4）T在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.

2.2正交变换的性质和应用

由于矩阵与变换间存在一一对应的关系,因此正交矩阵性质可以平

移到正交变换上来.下面通过具体例子说明其应用.

例5]2[ 设T是欧氏空间的一个变换，证明：如果T是保持内积不变.即对于),(),(,,TTV，那么它一定是线性的，因而它是正交变换.

证：先证：.)(TTT由条件得

,0),(2),(),(),(2),(2),(),(2),(),()),((2)),((2))(),(())(,)((TTTTTTTTTTTTTTTTTT

从而

,)(,0)(TTTTTT

再证：).()(kTkT同理，由于

.).()(,0)()(0),(),(),(),(),()),(())(,())(),(())()(),()((222是线性变换，得证故TTkkTTkkTkkkkkkTTkTkTkkTTkkTkTkTkTkTkT

例6 设m,,,21与m,,,21是n维欧氏空间V的两组向量，证明：存在正