规范正交向量组

第３２卷　

ＶｏＬ３２　第４期　

４　计算机工程　

Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　２００６年２月　

Ｆｅｂｒｕａｒｙ　２００６　

・安全技术・　文章编号，ｌ０００＿＿＿３４２８（２００６）０４－－＿ｏｌ　７４－－＿ｏ３　文献标识码ｌ　Ａ　中圈分娄号｝ＴＰ３０９　

基于正交向量组的多水印算法研究　

张伟．高珍，张志精　

（同济大学计算中心，上海２０００９２）　

摘要：在一组正交向量中，向量与自己的内标积为ｌ，向量之间的内标积为０，利用这一特性，对多个水印信息分别进行扩频调制。将　

调制后的信息线性组合后嵌入到裁体中，使得多个水印在嵌入和提取时互不影响；多个水印可以分多次嵌入到载体图像中，先后嵌入的水　印是彼此无关的，从而解决多水印算法中嵌入的水印信息之问相互干扰的问题，为数字图像产品的多著作权的保护提供了一种有效手段。　

实验表明，该算法对于噪声、旋转、缩放和ＪＰＥＧ压缩等常见攻击有良好的鲁棒性　

关ｔ词：正交ｒ口Ｊ量；小波变换；ｌ　ｌａｄａｍａｒｄ矩阵　

Ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｉｍａｇｅ　Ｗａｔｅｒｍａｒｋｉｎｇ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　Ｖｅｃｔｏｒｓ　

ＺＨＡＮ　Ｇ　Ｗｅｉ，ＧＡｏ　Ｚｈｅｎ，ＺＨＡＮＧ　Ｚｈｉｈａｏ　

（Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｃｅｎｔｅｒ，Ｔｏｎｇｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｓｈａｎｇｈａｉ　２０００９２）　

［Ａｂｓｔｒａｃｔ］Ｉｎ　ａ　ｇｒｏｕｐ　ｏｆ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｖｅｃｔｏｒｓ，ａ　ｖｅｃｔｏｒ’Ｓ　ｓｔａｎｄａｒｄ　ｐｒｏｄｕｃｔ　ｉｓ　１　ｗｉｔｈ　ｉｔｓｅｌｆ　ｗｈｉｌｅ　０　ｗｉｔｈ　ｏｔｈｅｒｓ．Ｗｉｔｈ　ｔｈｉｓ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ．ｗａｔｅｒｍａｒｋ　

ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｓｐｒｅａｄ　ｓｐｅｃｔｒｕｍ　ｂｙ　ｖｅｃｔｏｒ　ｆｒｏｍ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｖｅｃｔｏｒｓ，ｔｈｅｎ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｗａｔｅｒｍａｒｋ　ｉｎｔｂｒｍａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｃｏｍｐｏｕｎｄｅｄ　ａｎｄ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ　ａｓ　ａ　ｓｉｎｇｌｅ　ｉｎｔｂｌ　ｍａｔｉｏｎ．ｗａｔｅｒｍａｒｋ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｅｔｅｃｔｅｄ　ａｎｙｔｉｍｅ　ｗｉｔｈｏｕｔ　ｉｒｒ＠ａｃｔｅｄ　ｂｙ　ｏｔｈｅｒ　ｅｍｂｅｄｄｅｄ　ｗａｔｅｒｍａｒｋ．Ａｌｓｏ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｗａｔｅｒｍａｒｋ　

规范正交向量组

正交向量组是线性代数中的重要概念之一，它是指一个向量组中的任意两个向量的内积为0。在实际应用中，正交向量组具有很多优势，比如可以简化计算、提高计算精度、优化算法等。为了更好地理解和应用正交向量组，本文将介绍正交向量组的定义、性质，以及如何构造和判定正交向量组。

首先，我们来定义正交向量组。设有n个非零向量v1, v2, ...,

vn，如果这n个向量两两正交（即任意两个向量的内积为0），则称这n个向量为正交向量组。同时，如果这n个向量都是非零向量，且彼此互不共线，则称这n个向量为规范正交向量组。

接下来，我们来看一些正交向量组的性质。首先，如果一个向量组是正交向量组，则它的所有向量都是线性无关的。这是因为如果存在一个向量可以由其他向量线性表示，则它和其他向量的内积也应该为0，这与正交向量组的定义相矛盾。因此，正交向量组是线性无关的。

其次，一个向量组可以通过正交化处理来得到一个正交向量组。正交化的方法有很多种，其中最常用的就是施密特正交化方法。施密特正交化方法的基本思想是从第一个向量开始，每次将向量减去它在前面所有向量上的投影，得到一个新的向量，然后对新的向量进行归一化处理，使其成为单位向量。按照这种方法可以得到一个规范正交向量组。

最后，我们来讨论如何判定一个向量组是否为正交向量组。判定的方法非常简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积，如果所有内积都为0，则向量组是正交向量组。需要注意的是，判定正交向量组时，要确保向量组中的向量都是非零向量，否则可能会出现内积为0的情况。

总结起来，正交向量组是指一个向量组中任意两个向量的内积为0的向量组。规范正交向量组是指一个非零向量组中所有向量两两正交且彼此互不共线的向量组。正交向量组具有很多优势，如简化计算、提高计算精度、优化算法等。正交向量组的判定方法很简单，只需要计算向量组中任意两个向量的内积是否为0即可。对于给定的向量组，可以通过正交化处理得到一个正交向量组。

规范正交基

定义1.欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.

岩宝小提示：正交向量组是线性无关的. 事实上，设正交向量组

\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\

有一线性关系

k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{m}

\alpha_{m}=0 \\

用 \alpha_{i} 与等式两边作内积，即得

k_{i}\left(\alpha_{i}, \alpha_{i}\right)=0 \\

由 \alpha_{i} \neq 0, 有

\left(\alpha_{i}, \alpha_{i}\right)>0, \\

从而

k_{i}=0(i=1,2,3, \cdots, m) \\

以上结果也说明了在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个，这个事实的几何意义是清楚的.例如在平面上找不到三个两两垂直的的非零向量；在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.

定义2.在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

定义3. n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果AA'=E. 定理1. n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.

证明：设

\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\

是一正交向量组，我们对n-m作数学归纳法.

当 n-m=0 时 ,

\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \\

就是一组正交基了.

假设 n-m=k 时,也就是说，可以找到向量

\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{k} \\

使得

\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1},

第一讲

Ⅰ授课题目：

§5.1预备知识：向量的内积

Ⅱ教学目的与要求：

1.了解向量的内积及正交向量组的概念；

1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；

2.了解正交矩阵概念及性质。

Ⅲ教学重点与难点：

重点：正交向量组及正交矩阵

难点：施密特正交化方法

Ⅳ讲授内容：

一、向量的内积

前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方

面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算.

定义1设有n

维向量

x

1y

1



x

y



x

2

，y

2

，







x

y



n

n

令

x,y

x

1y

1x

2y

2x

n，



x,y

称为向量x

与y

的内积.

内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x

与y

都是列向量时，有



x,y

x

Ty

.

内积具有下列性质（其中x,y,z

为n

维向量，为实数）：

①

x,y



y,x

；

②



x,y



x,y

；

③

xy,z



x,y



x,z

.13



2

0



例1设有两个四维向量

，

.求



,

及



,

.



16





5

5



解



,

3062534





,

1412531

n

维向量的内积是数量积的一种推广，但n

维向量没有3维向量那样直观的长度和夹

角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义

n

维向量的长度和夹角：

定义2令x

=

x,x

x

1x

2x

n，则x

称为n

维向量x

的长度（或范数）.222

向量的长度具有下列性质：

①非负性当x0

时，x0

，当x0

时，x0

；

②齐次性

x

x

；

③三角不等式xyxy

.

向量的内积满足施瓦兹不等式

x,y



x,x



y,y

2

由此可得

x,y

xy1

（当xy0

时）

于是有下面的定义：

当x0

，y0

时，arccos

二、正交向量组