新北师大版九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》章末训练题含答案解析 (7)

期末专题突破：北师大版九年级数学上册 第三章 概率的进一步认识 单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在一个不透明的盒子中，红色、白色、黑色的球共有40个，除颜色外其他完全相同，老师在课堂上组织同学通过多次试验后发现其中摸到红色、白色的频率基本稳定在45%和15%，则盒子中黑色球的个数可能是（ ）.A. 16B. 18C. 20D. 222.在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a 个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为（ ）A. 9B. 12C. 15D. 183.在一个不透明的盒子中装有a 个除颜色外完全相同的球，这a 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0. 2左右，则a 的值约为 ( )A. 12B. 15C. 18D. 204.一个口袋中有红球、黄球共20个，这些除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后再放回口袋，不断重复这一过程，共摸了200次，发现其中有161次摸到红球．则这个口袋中红球数大约有（ ）A. 4个B. 10个C. 16个D. 20个 5.已知在一个不透明的口袋中有4个形状、大小、材质完全相同的球，其中1个红色球，3个黄色球．从口袋中随机取出一个球（不放回），接着再取出一个球，则取出的两个都是黄色球的概率为（ ）A. 34B. 23C. 916D. 12 6.下列随机事件的概率，既可以用列举法求得，又可以用频率估计获得的是（ ）A. 某种幼苗在一定条件下的移植成活率B. 某种柑橘在某运输过程中的损坏率C. 某运动员在某种条件下“射出9环以上”的概率D. 投掷一枚均匀的骰子，朝上一面为偶数的概率 7.甲、乙两人进行象棋比赛，比赛规则为3局2胜制．如果两人在每局比赛中获胜的机会均等，且比赛开始后，甲先胜了第1局，那么最后甲获胜的概率是（ ）A. 12B. 23C. 14D. 348.甲、乙两盒中各放入分别写有数字1，2，3的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同．从甲盒中随机抽出一张卡片，再从乙盒中随机摸出一张卡片，摸出的两张卡片上的数字之和是3的概率是（ ）A. 19B. 29C. 13D. 499.某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是( )．A. 15B. 25C. 35D. 45二、填空题（共10题；共30分）10.一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是________．11.在一只不透明的袋中装有红球、白球若干个，这些球除颜色外形状大小均相同．八（2）班同学进行了“探究从袋中摸出红球的概率”的数学活动，下表是同学们收集整理的试验结果：根据表格，假如你去摸球一次，摸得红球的概率大约是________ （结果精确到0.1）．12.（2017•锦州）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过大量摸球试验后发现摸到红色、黑色球的频率分别稳定在10%和30%，则口袋中白色球的个数很可能是________个．13.若小张投掷两次一枚质地均匀的硬币，则两次出现正面朝上的概率是________．14.从1，2，3这三个数字中任意抽取两个，其和是偶数的概率是________．15.小明和小亮做游戏,先是各自背着对方在纸上写一个自然数,然后同时呈现出来.他们约定:若两人所写的数都是奇数或都是偶数,则小明获胜;否则,小亮获胜.这个游戏对双方________.(填“公平”或“不公平”).16.从－2、1、这三个数中任取两个不同的数相乘，积是无理数的概率是________．17.一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有________个白球．三、解答题（共8题；共60分）18.小明与小亮玩游戏，如图，两组相同的卡片，每组三张，第一组卡片正面分别标有数字1，3，5；第二组卡片正面分别标有数字2，4，6．他们将卡片背面朝上，分组充分洗匀后，从每组卡片中各摸出一张，称为一次游戏．当摸出的两张卡片的正面数字之积小于10，则小明获胜；当摸出的两张卡片的正面数字之积超过10，则小亮获胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．19.用如图所示的A，B两个转盘进行“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色）．小亮和小刚同时转动两个转盘，若配成紫色，小亮获胜，否则小刚获胜．这个游戏对双方公平吗？画树状图或列表说明理由．20.一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3、4、5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．21.小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，B．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．22.在一个口袋中装有4个完成相同的小球,把它们分别标号1、2、3、4,小明从中随机地摸出一个球. （1）直接写出小明摸出的球标号为4的概率;（2）若小明摸到的球不放回,记小明摸出球的标号为x,然后由小强再随机摸出一个球记为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则:当x>y时,小明获胜,否则小强获胜.请问他们制定的游戏规则公平吗?请用树状图或列表法说明理由.23.一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色以外，其余都相同），其中红球2个，黄球2个，从中随机摸出一个球是蓝色球的概率为1．5（1）求袋子里蓝色球的个数；（2）甲、乙两人分别从袋中摸出一个球（不放回），求摸出的两个球中一个是红球一个是黄球的概率．24.中秋节来临，小红家自己制作月饼．小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）．做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个．请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率．25.王勇和李明两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了30次实验，实验的结果如下：（1）分别计算这30次实验中“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；（2）王勇说：“根据以上实验可以得出结论：由于5点朝上的频率最大，所以一次实验中出现5点朝上的概率最大”；李明说：“如果投掷300次，那么出现6点朝上的次数正好是30次”．试分别说明王勇和李明的说法正确吗？并简述理由；（3）现王勇和李明各投掷一枚骰子，请用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．答案解析部分一、单选题1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】C5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】C二、填空题10.【答案】1211.【答案】0.712.【答案】1213.【答案】1414.【答案】1315.【答案】公平16.【答案】17.【答案】9三、解答题18.【答案】解：这个游戏规则对双方公平．理由如下：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中摸出的两张卡片的正面数字之积小于10的结果数为4；摸出的两张卡片的正面数字之积超过10的结果数为4，所以小明获胜的概率= 49，小亮获胜的概率= 49．所以这个游戏规则对双方公平19.【答案】解：游戏不公平，理由如下：游戏结果分析如下：“√”表示配成紫色，“×”表示不能够配成紫色．P（配紫色）= 26=13，P（没有配紫色）= 46，∵13≠23，∴这个游戏对双方不公平．20.【答案】解：根据题意列表如下：十位上则十位上的数字和个位上的数字之和为9的两位数有45和54，所以其概率为：2÷9=29.21.【答案】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小明胜的概率为49，∵59≠ 49，∴这个游戏对双方不公平22.【答案】解：（1）小明摸出的球标号为4的概率为14;（2）他们制定的游戏规则是公平的．理由如下：如图所示：由树状图可知,共有12种机会均等的情况,其中满足x＞y的有6种,∵P （小明获胜）=612=12,P （小强获胜）=1﹣12=12, ∴P （小明获胜）=P （小强获胜）故他们制定的游戏规则是公平的．23.【答案】解：（1）设袋子里蓝色球的个数为x ，根据题意得：x x+4=15，解得：x =1；答：袋子里蓝色球的个数为1；（2）画树状图如下：由树状图可知：所有可能出现的结果共有20种，符合题意的结果有8种，∴P （一个是红球一个是黄球）=820=25； 答：摸出的两个球中一个是红球一个是黄球的概率为25．24.【答案】解：用字母A 表示芝麻馅，字母表示豆沙馅，画树状图：共有6种等可能的结果数，其中月饼都是豆沙馅的结果数为2，所以月饼都是豆沙馅的概率= 26=13 ．25.【答案】解：（1）“3点朝上”的频率为：630=15，“5点朝上”的频率为：1030=13； （2）王勇的说法是错误的因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当实验次数足够大时，该事件发生的频率才能稳定在事件发生的概率附近，也才能用该事件发生的频率区估计其概率．李明的说法也是错误的，因为事件的发生具有随机性，所以投掷300次，出现“6点朝上”的次数不一定是30次．（3）列表：∵朝上的点数之和为3的倍数共有12个，∴P（点数之和为3的倍数）=1236=13．。

第三章概率的进一步认识一选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)1.用频率估计概率,可以发现抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是() A.每两次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上C.必有5次正面向上D.不可能有10次正面向上2.在“众志成城,共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中,小晴和小霞分别从“A,B,C三个社区”中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一社区的概率是()A.13B.23C.19D.293.从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务,恰好抽到马鸣和杨豪的概率是()A.112B.18C.16D.124.在一个不透明的口袋中装有5个黑球和若干个白球,这些球除颜色不同外,其余均相同.在不允许将球倒出来的前提下,小明为估计口袋中白球的个数,采用了如下方法:将口袋中的球搅拌均匀,从口袋中随机摸出一个球,记下颜色,把它放回口袋中.不断重复上述过程,小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球有()A.5个B.10个C.15个D.20个5.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人.则选出的恰为一男一女的概率是()A. 12B.13C.25D.356.)若从1,2,3,4这四个数字中任选一个记为a,再从这四个数字中任选一个记为c,则关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为()A.14B.13C.12D.237.一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,它们除颜色外都相同.将球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再随机摸出一个球.两次摸到的球颜色相同的概率是()A.23B.25C.1325D.13208.我们把“十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数”叫做“A数”,如“371”就是一个“A数”.若十位上的数字为4,则从1,2,3,5中任取两个不同的数,能与4组成“A数”的概率为()A.12B. 14C.310D.349.在平面直角坐标系中,已知四个点的坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),在A1,A2和B1,B2中各取一个点,与原点O连接构成三角形,则所得三角形是等腰三角形的概率是()A.34B.13C.23D.1210.如图是用画树状图的方法画出的某个试验的所有可能发生的结果,则这个试验不可能是()A.在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球B.小明,小王两个人在一个路口,分别从直行、左转、右转三个方向中随机选一个方向C.从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答D.体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目 二 填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.在学习了“用频率估计概率”这一节内容后,某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”,他们将试验中获得的数据记录如下:试验次数 100 300 500 1000 1 6002 000“有2个人同月过 生日”的次数 80 229 392 7791 2511 562“有2个人同月 过生日”的频率0.80.7630.7840.7790.7820.781通过试验,该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是 (结果精确到0.01).12.为积极响应“无偿献血,传递温暖”的号召,某高校一寝室的4个同学参与到爱心献血的活动中,他们其中有2个A 型血,1个B 型血,还有1个O 型血,现从该寝室随机抽取2个同学参与第一批次献血,则2个同学都是A 型血的概率为 .13.如图是两个质地均匀的转盘,现转动转盘(1)和转盘(2)各一次(若指针指向分界线,则重转),则两个转盘的指针都指向红的部分的概率是 .转盘(1) 转盘(2)14.如图,有一电路AB 是由图示的开关控制,闭合a ,b ,c ,d ,e 五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路,则使电路形成通路的概率是 .15.将A ,B ,C 三只灯笼按如图所示的方式悬挂,每次摘取一只(摘B 前需先摘C ),直到摘完,则最后一只摘到B 的概率是 .三解答题(共6小题,共55分)16.(7分)2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”,冬残奥会吉祥物为“雪容融”,如图,现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片,卡片除正面图案不同外,其余均相同,其中两张正面印有冰墩墩图案的卡片分别记为A1,A2,正面印有雪容融图案的卡片记为B,将三张卡片正面向下洗匀,小明从中随机抽取一张卡片,记下图案后正面向下放回,洗匀后再从中随机抽取一张卡片,请用画树状图或列表的方法,求小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融的概率.17.(8分)某商场在“五一”促销活动中规定,顾客每消费100元就能获得一次抽奖机会.为了活跃气氛,设计了两种抽奖方案.方案一:转动转盘A一次,指针指向红的部分可领取一份奖品.方案二:转动转盘B两次,两次指针都指向红的部分可领取一份奖品.(两个转盘都被平均分成3份,若指针指向分界线,则重转)(1)转动一次转盘A,获得奖品的概率是;(2)如果你获得一次抽奖机会,你会选择哪种方案?请用列表法或画树状图法说明理由.18.(9分)一个不透明的袋子中有1个红球、1个绿球和n个白球,这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回,大量重复该试验后,发现摸到绿球的频率稳定在0.25附近,则n的值是;(3)当n=2时,先从袋中任意摸出1个球不放回,再从袋中任意摸出1个球,请用列表或画树状图的方法,求两次都摸到白球的概率.19.(10分)甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛,要从中选两位同学打第一场比赛.(1)请用画树状图法或列表法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率;(2)请利用若干个除颜色外其他都相同的乒乓球,设计一个摸球试验(至少摸两次),并根据该试验写出一个发生概率与(1)中所求概率相同的事件.20.(10分)如图(1),一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面,每个面上分别以1,2,3,4标号;如图(2),等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈.明明和亮亮想玩跳圈游戏,游戏的规则为:游戏者从圈A起跳,每投掷一次骰子,骰子着地的一面点数是几,就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长.如:若第一次掷得点数为2,就逆时针连续跳2个边长,落到圈C;若第二次掷得点数为4,就从圈C继续逆时针连续跳4个边长,落到圈A.(1)明明随机掷一次骰子,她跳跃后落到圈A的概率为;(2)明明和亮亮一起玩跳圈游戏:明明随机投掷一次骰子,亮亮随机投掷两次骰子,以最终落到圈A为胜者.这个游戏公平吗?请说明理由.图(1)图(2)21.(11分)为了解学生对食品安全知识的了解情况,学校随机抽取了部分学生进行问卷调查,将调查结果按照“A:非常了解,B:了解,C:了解较少,D:不了解”四类分别进行统计,并绘制了下列两幅统计图(不完整).请根据图中信息,解答下列问题:(1)此次共调查了名学生;扇形统计图中D所在扇形的圆心角为;(2)将上面的条形统计图补充完整;(3)若该校共有800名学生,请你估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数;(4)现有“非常了解”的男生2名,女生2名,从这4名学生中随机抽取2名学生进行座谈,刚好抽到同性别学生的概率是多少?概率的进一步认识1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B AC CD C B A D B11.0.78 12.1613.3814.3515.231.B抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,可能有5次正面向上.故选B.2.A画树状图如图:由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两人恰好选择同一社区的结果有3种,所以两人恰好选择同一社区的概率=39=13.故选A . 3.C 画树状图如图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中恰好抽到马鸣和杨豪的结果有2种,则恰好抽到马鸣和杨豪的概率是212=16.故选C .4.C ∵小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球,∴有150次摸到白球,∴白球与黑球的个数之比约为3∶1.∵黑球有5个,∴白球约有3×5=15(个).故选C.5.D 列表如下:男1 男2 男3 女1 女2男1(男1,男2) (男1,男3) (男1,女1) (男1,女2)男2 (男2,男1)(男2,男3) (男2,女1) (男2,女2) 男3 (男3,男1) (男3,男2)(男3,女1) (男3,女2) 女1 (女1,男1) (女1,男2) (女1,男3)(女1,女2) 女2 (女2,男1) (女2,男2) (女2,男3) (女2,女1)由表可知,共有20种等可能的结果,其中选出一男一女的结果有12种,则选出的恰为一男一女的概率是1220=35.故选D .6.C 画树状图如图:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中使42-4ac<0,即ac>4的结果有8种,∴关于x 的一元二次方程ax 2+4x+c=0没有实数根的概率为816=12.故选C . 7.B 画树状图如图:由树状图可知,共有20种等可能的结果,两次摸到的球颜色相同的结果有8种,∴两次摸出的球颜色相同的概率为820=25.故选B . 8.A 画树状图如图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中能与4组成“A 数”的结果有6种,所以能与4组成“A 数”的概率=612=12.故选A . 9.D 根据题意,列表如下:B 1 B 2 A 1 (A 1,B 1) (A 1,B 2) A 2(A 2,B 1)(A 2,B 2)由上表可知,所有等可能的情况共4种,其中所得三角形是等腰三角形的情况有2种,分别为(A 1,B 1),(A 2,B 2),则所求概率P=24=12.故选D.10.B 在一个不透明的袋中有3个除颜色外完全相同的小球,其中2个黑球,1个白球,从中随机取出2个球,设A ,B 表示黑球,C 表示白球,则可画出题中的树状图;从某学习小组的两名男生和一名女生中随机选取两名学生进行竞答,设A ,B 表示男生,C 表示女生,则可画出题中的树状图;体育测试中,随机从足球、篮球、排球三个项目中选择两个项目,设A 表示足球,B 表示篮球,C 表示排球,则可画出题中的树状图;而小明,小王两个人在一个路口,分别从直行、左转、右转三个方向中随机选一个方向,设A 表示直行,B 表示左行,C 表示右行,树状图为:故选B . 11.0.7812.16 【解析】列表如下:A AB O A (A,A) (B,A) (O,A) A (A,A) (B,A) (O,A) B (A,B) (A,B) (O,B) O(A,O) (A,O) (B,O)由表可知共有12种等可能的结果,其中2个同学都是A 型血的结果有2种,∴P (2个同学都是A 型血)=212=16.13.38 【解析】将转盘(1)中红的部分等分成3份,画树状图如下:由树状图可知,共有16种等可能的结果,其中两个转盘的指针都指向红的部分的结果有6种,所以P (两个转盘的指针都指向红的部分)=616=38.【排雷避坑】利用等可能事件的概率公式计算事件的概率时,需要建立在所有的结果都是等可能的基础上,当转盘被分割成面积不等的扇形时,需要转化为面积相等的扇形. 14.35【解析】根据题意,列表如下:a b c d e a (a ,b ) (a ,c ) (a ,d ) (a ,e ) b (b ,a ) (b ,c ) (b ,d ) (b ,e ) c (c ,a ) (c ,b ) (c ,d ) (c ,e ) d (d ,a ) (d ,b ) (d ,c ) (d ,e ) e(e ,a )(e ,b )(e ,c )(e ,d )由上表可知,一共有20种等可能的情况,其中使电路形成通路的情况有12种,所以P (使电路形成通路)=1220=35.15.23 【解析】画树状图如图:由树状图可知,共有3种等可能的结果,最后一只摘到B 的结果有2种,所以P (最后一只摘到B )=23. 16.【参考答案】画树状图如图:(4分)由树状图可知,共有9种等可能的结果,小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融的结果有4种,∴P (小明抽出的两张卡片一张正面印有冰墩墩,另一张正面印有雪容融)=49.(7分) 17.【参考答案】(1)13 (3分) (2)选择方案二.(4分)理由:画树状图如下.由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两次指针都指向红的部分的结果有4种, 所以P (转动转盘B 两次,领取一份奖品)=49. (6分)由(1)知转动转盘A 一次,领取一份奖品的概率是13, 因为13<49,所以选择方案二. (8分) 18.【解题思路】(1)当n=1时,结合已知条件进行判断即可.(2)先利用摸到绿球的频率估计摸到绿球的概率,再根据概率公式列方程求解即可.(3)先利用列表或画树状图法求得所有等可能的结果和两次摸出的球都是白球的结果,然后根据概率公式计算即可.【参考答案】(1)当n=1时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性相同. (2分) (2)2 (4分) 解法提示:利用频率估计概率可得,摸到绿球的概率为0.25, 则11+1+n =0.25,解得n=2.经检验,n=2是原方程的根. (3)画树状图如图所示:(6分)由树状图可知,共有12种等可能的情况,其中两次摸出的球都是白球的情况有2 种, 所以P (两次都摸到白球)=212=16.(9分)19.【参考答案】(1)根据题意,画树状图如下:(3分)由树状图,可知共有12种等可能的结果,其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种, 所以P (恰好选中甲、乙两位同学)=212=16.(5分)(2)答案不唯一.如:在一个不透明的袋子中,放入四个除颜色外其他都相同的乒乓球,它们的颜色分别为白、黄、粉、橙,从袋中随机摸出一个球记下颜色,不放回,再从袋中随机摸出一个球,记下颜色. 事件:两次摸出的球一个是白球,一个是粉球. (10分) 20.【参考答案】(1)14(3分)(2)这个游戏不公平. (4分)理由:画树状图如图,共有16种等可能的结果,其中亮亮随机投掷两次骰子,最终落到圈A 的结果数为5, 所以P (亮亮随机投掷两次骰子,最终落回到圈A )=516. (8分)因为14<516,所以这个游戏不公平.(10分) 21.【参考答案】(1)120 54°(2分)解法提示:(25+23)÷40%=120(名),360°×10+8120=54°.(2)D 所占的百分比为(10+8)÷120×100%=15%, A 中的人数为120×(1-40%-20%-15%)=30(名),其中男生有30-16=14(名), C 中的人数为120×20%=24(名),其中女生有24-12=12(名). 补全条形统计图如图所示:(5分)(3)800×(1-40%-20%-15%)=200(名),答:估计对食品安全知识“非常了解”的学生的人数为200. (7分)(4)画树状图:由树状图可知,共有12种等可能的结果,抽到同性别学生的结果有4种, 所以P (刚好抽到同性别学生)=412=13.(11分)。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第3章概率的进一步认识》期末综合复习训练（附答案）1．4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是（）A．B．C．D．2．一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则摸到绿球的概率约为（）A．0.2B．0.5C．0.6D．0.83．一个盒子里装有除颜色外都相同的3个球，其中2个红球，1个白球，现从盒子里随意摸出1个不放回，再摸出1个，两次均摸到红球的概率是（）A．B．C．D．4．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（）A．B．C．D．5．如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是（）A．B．C．D．6．有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（）A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D．游戏者配成紫色的概率为7．一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回袋中，通过多次试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5，则摸到红球的概率约为（）A．0.25B．0.5C．0.75D．0.858．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（）A．2个B．4个C．14个D．18个9．下列说法正确的是（）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等10．为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将6个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现的频率稳定在0.6附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为（）A．15B．10C．9D．411．52张扑克牌中（不含大小王），抽2张牌，抽出相同花色的概率为．12．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：每批粒数n100300400600100020003000发芽的频数m9628438057194819022848那么这种油菜籽发芽的概率是（结果精确到0.01）．13．现有三个自愿献血者，其中两人血型为O型，一人为A型，若在三人中随机挑选一人献血，两年后又从此三人中随机挑选一人献血，那么两次献血的人血型均为O型的概率是．14．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为．15．在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣2，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．小红先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为k的值，再把此球放回袋中搅匀，再随机摸出一个小球，记下数字作为b的值，则直线y＝kx+b 不经过第二象限的概率是．16．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为m2（结果取整数）．17．某班学生做抛掷图钉的实验，实验结果如下：抛掷次数n3004005006007008009001000钉尖着地的频数122158193231274311352389 m钉尖着地的频率0.40670.39500.38600.38500.39140.38880.39110.3890根据以上信息，估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为（精确到0.01）．18．某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了解、B：比较了解、C：基本了解、D：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：等级频数频率A200.4B15bC100.2D a0.1（1）频数分布表中a＝，b＝，将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．19．2020年初，由于疫情影响，开学延迟，为了不影响学生的学习，国务院、省市区教育行政部门倡导各校开展“停课不停教、停课不停学”，某校语文学科安排学生学习，内容包含老师推送的文本资料和视频资料两类，且这两类学习互不影响．已知其积分规则如下：每阅读一篇文本资料积1分，每日上限积6分；每观看一个视频资料积1分，每日上限积6分．经过抽样统计发现文本资科学习积分的分布表如表1所示，视频资料学习积分的分布表如表2所示．表1：123456学习文本资料积分人数200n30表2：123456观看视频资料积分人数002220（1）现随机抽取1人，估计学习文本积分为4分的概率是；估计观看视频积分为4分的概率是；（2）现随机抽取1人了解学习情况，估计其每日学习积分不低于9分的概率．（用树状图或列表）20．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定：转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．（1）请用树状图或列表法列出所有可能的结果；（2）若指针所指的两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则乙获胜，问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．21．某学校从九年级同学中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试．根据测试成绩绘制出的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 已知甲组的平均成绩为8.7分． 甲组成绩统计表：成绩 7 8 9 10 人数1955请根据上面的信息，解答下列问题：（1）m ＝ ，甲组成绩的中位数是 ，乙组成绩的众数是 ；（2）参考下面甲组成绩方差的计算过程，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更加稳定？ S 甲2＝＝0.81．（3）在甲组的5名满分同学中，有3名男生和2名女生，现从这5人中任选两人进行复测，请用列表或画树状图的方法求选中的这两人都是男生的概率．22．某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 （1）填空：a ＝ ，b ＝ ．（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用年级七年级八年级平均数88众数 a 7 中位数 8 b 优秀率80%60%列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．23．大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，始建于唐太宗贞观八年（634年）．小东周末乘坐公交车到遗址公园游玩，他从地图上查找路线时发现必须要换乘一次．在出发站点可供选择的有一辆空调车和两辆普通车，空调车用A表示，普通车分别用a、b表示，换乘站点可供选择的也有一辆空调车和两辆普通车，空调车用B表示，普通车分别用c、d表示．并且每辆车被选择的可能性相同．空调车投币2元，普通车投币1元（假设小东坐公交车时都选择投币）．（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为．（2）请你用列表或画树状图的方法，求小东到达遗址公园恰好投币3元的概率．24．某中药制剂厂新研发了两种分别含有甲、乙药物成分的中药制剂，为了解这两种药物成分在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成AB两组，每组100只其中A组白鼠给服甲成分药剂，B组白鼠给服乙成分药剂每只白鼠给服的药物质量与含量均相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内药物成分的百分比按药物成分残留百分比数据分段整理，根据这两组样本原始数据绘制成统计表：分组（x%）A组（只数）B组（只数）2.5≤x＜3.5153.5≤x＜4.58a4.5≤x＜5.527155.5≤x＜6.530b6.5≤x＜7.522207.5≤x＜8.51215若乙药物成分残留在实验白鼠体内的百分比不低于5.5的频率约为0.70．（1）a＝；b＝；（2）实验室常用各组数据的组中值代表各组的实际数据来估计数据的平均值，如对甲药物成分残留百分比的平均值估计如下：[（3×1）+（4×8）+（5×27）+（6×30）+（7×22）+（8×12）]＝6.00，用上述方法估计乙药物成分残留百分比的平均值；（3）甲、乙药物成分如残留体内会对生物体产生一定不良副作用，对原始数据进一步分析得到两组数据的中位数、众数、方差如表所示，请根据数据分析两种待检药物哪种相对更安全？请说明理由．分组中位数众数方差A组 5.4 6.0 1.29B组 5.9 6.1 1.7425．一个不透明的袋子中，装有1个红球，1个绿球，n个白球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后，从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回；搅匀后，再从袋中随机摸出一个球，记录其颜色后放回，…，经过大量重复该试验，发现摸到绿球的频率值稳定于0.2，则n的值是．（2）当n＝2时，从该不透明的袋子中一次摸出两个球，求摸出的两个球颜色相同的概率（用画树状图或列表法求）．参考答案1．解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的有8个，∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为＝，故选：D．2．解：大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率，∵经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，∴摸到绿球的概率约为0.2，故选：A．3．解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，两次均摸到红球的结果有2个，∴两次均摸到红球的概率为＝，故选：A．4．解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为＝，故选：A．5．解：方法一：由图可得，摇奖人中一等奖的概率是：＝＝＝，故选：B．方法二：在第二个扇形统计图中，4对应的圆心角是240°，相当于4出现两次，3出现一次，树状图如下所示：由图可知，一共有6种可能性，其中两次都是都是偶数的有2种可能性，故摇奖人中一等奖的概率是＝，故选：B．6．解：A、A盘转出蓝色的概率为、B盘转出蓝色的概率为，此选项错误；B、如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；D、画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为，故选：D．7．解：∵摸到红色球的频率稳定在0.5左右，∴摸到红色球的概率为0.5．故选：B．8．解：设袋中白球有x个，根据题意，得：，解得x＝2．所以袋中白球有2个．故选：A．9．解：A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，此选项说法错误；B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616，此选项说法正确；C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，此选项说法错误；D．试验得到的频率与概率可能相等，此选项说法错误；故选：B．10．解：设暗箱里白球的数量是x，则根据题意得：＝0.6，解得：x＝9，故选：C．11．解：52张扑克牌中（不含大小王），抽2张牌，所有可能出现的结果有52×52﹣52＝52×51（种），其中2张花色相同的有（13×13﹣13）×4＝13×12×4＝52×12（种），所以抽出相同花色的概率为＝＝，故答案为：．12．解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，则这种油菜籽发芽的概率是0.95，每批粒数n100300400600100020003000发芽的频数m9628438057194819022848发芽的频率0.9600.9470.9500.9520.9480.9510.949故答案为：0.95．13．解：列表如下：O O AO（O，O）（O，O）（O，A）O（O，O）（O，O）（O，A）A（A，O）（A，O）（A，A）共有9种等可能的情况，两次献血的人血型均为O型的有4种情况，∴两次献血的人血型均为O型的概率为，故答案为：．14．解：所有可能的结果如下表：男1男2女1女2男1（男1，男2）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，女1）（男2，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，女1）由表可知总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同．挑选的两位教师恰好是一男一女的结果有8种，所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为＝，故答案为：．15．解：列表：共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为2，所以直线y＝kx+b不经过第二象限的概率＝．故答案为：．16．解：假设不规则图案面积为xm2，由已知得：长方形面积为20m2，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：＝0.35，解得x＝7．故答案为：7．17．解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.39附近，所以估计掷一枚这样的图钉，落地后钉尖着地的概率为0.39，故答案为：0.39．18．解：（1）20÷0.4＝50（人），a＝50×0.1＝5（人），b＝15÷50＝0.3，故答案为：5，0.3；（2）1000×（0.4+0.3）＝700（人），答：该校1000学生中“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生大约有700人；（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有20种等可能出现的结果情况，其中两人中至少有一名女生的有14种，所以两个学生中至少有一个女生的概率为＝．答：两个学生中至少有一个女生的概率为．19．解：（1）由表2知，样本总人数为2+2+2＝6（人），∴n＝6﹣3﹣2＝1，∴学习文本积分为4分的概率为：1÷6＝，视频积分为4的概率为：2÷6＝，故答案为：，；（2）根据题意作树状图如下：∴学习积分不低于9分的概率为：×+×＝．20．解：（1）列表如下：12342（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）（2）因为，方程x2﹣5x+6＝0的解是：x1＝2，x2＝3，所以，从上表中可看出，指针所指的两个数字有12种等可能的结果，其中两个数字都是方程x2﹣5x+6＝0的解有4次，两个数字都不是方程x2﹣5x+6＝0的解有2次，所以，P（甲胜）＝＝，P（乙胜）＝，所以，此游戏甲获胜的概率大．21．解：（1）m＝20﹣2﹣9﹣6＝3（人），把甲组成绩从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是＝8.5（分），乙组成绩8分出现的次数最多，出现了9次，则乙组成绩的众数是8分．故答案为：3，8.5，8；（2）乙组平均成绩是：（2×7+9×8+6×9+3×10）＝8.5（分），乙组的方差是：×[2×（7﹣8.5）2+9×（8﹣8.5）2+6×（9﹣8.5）2+3×（10﹣8.5）2]＝0.75；∵S乙2＜S甲2，∴乙组的成绩更加稳定．（3）列表如下：男1男2男3女1女2男1男1男2男1男3男1女1男1女2男2男2男1男2男3男2女1男2女2男3男3男1男3男2男3女1男3女2女1女1男1女1男2女1男3女1女2女2女2男1女2男2女2男3女2女1∵一共有20种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有6种等可能的结果，∴P（选中的两人都是男生）＝＝．22．解：（1）由众数的定义得：a＝8，八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），故答案为：8，8；（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，∴七年级的学生党史知识掌握得较好；（3）500×80%+500×60%＝700（人），即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，画树状图如图：共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．23．解：（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为，故答案为：；（2）画树状图如图：共有9个等可能的结果，小东到达遗址公园恰好投币3元的结果有4个，∴小东到达遗址公园恰好投币3元的概率为．24．解：（1）b＝100×0.70﹣20﹣15＝35，a＝100﹣20﹣15﹣35﹣15﹣5＝10，故答案为：10，35；（2）[（3×5）+（4×10）+（5×15）+（6×35）+（7×20）+（8×15）]＝6.00，答：乙药物成分残留百分比的平均值为6.00；（3）从中位数、众数、方差看，A组，即甲药物相对比较安全，理由：甲药物的残留在体内药物成分的中位数、众数、方差都比乙药物残留在体内药物成分要小．25．解：（1）根据题意得：＝0.2，解得：n＝3，则n的值为3，故答案为：3；（2）根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中摸出的两个球颜色相同的有2种，则摸出的两个球颜色不同的概率是＝．。

用频率估计概率同步测试〔典型题汇总〕90次,那么黄色乒乓球的个数估计为1.盒子中有白色乒乓球 8个和黄色乒乓球假设干个, 为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学 进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色, 如此重复360次,摸出白色乒乓球A. 90 个B. 24 个C. 70 个D. 32 个2.从生产的一批螺钉中抽取 1000个进行质量检查,结果发现有5个是次品,那么从中任取1个是次品概率约为〔〕. 1A. ----------10001B.——2003.以下说法正确的选项是〔 〕.A .抛一枚硬币正面朝上的时机与抛一枚图钉钉尖着地的时机一样大;B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行;C.彩票中奖的时机是 1%,买100张一定会中奖;D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占 100%,于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为100 %的结论.4.小亮把全班 50名同学的期中数学测试成绩, 绘成如下图的条形图,其中从左起第一、二、 三、四个小长方形高的比是 1 ： 3 ： 5 ： 1.从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的 A.C. 11 一、一10 1011 —、一 210一1 1 B.一、一10 2 1 1 D .一、一225 .某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出 100黄豆,数出其中有10粒黄豆被染色,那么这袋黄豆原来有〔〕 A. 10 粒 B. 160 粒C. 450 粒D. 500 粒6 .某校男生中,假设随机抽取假设干名同学做 是否喜欢足球〞的问卷调查,抽到喜欢足球的同3 3学的概率是3,这个3的含义是〔〕. 55A.只发出5份调查卷,其中三份是喜欢足球的答卷；B.在答卷中,喜欢足球的答卷与总问卷的比为3 ： 8;C.在答卷中,喜欢足球的答卷占总答卷的-;5D.在答卷中,每抽出100份问卷,恰有60份答卷是不喜欢足球.7.要在一只口袋中装入假设干个形状与大小都完全相同的球,使得从袋中摸到红球的概率为-,四位同学分别采用了以下装法,你认为他们中装错的是〔〕. 5A. 口袋中装入10个小球,其中只有两个红球；B.装入1个红球,1个白毛1个黄球,1个蓝球,1个黑球；C.装入红球5个,白球13个,黑球2个；D.装入红球7个,白球13个,黑球2个,黄球13个.8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数,将每位同学的零用钱数记录了下来〔单位：元〕：2, 5, 0, 5, 2, 5, 6, 5, 0, 5, 5, 5, 2, 5, 8, 0, 5, 5, 2, 5, 5, 8, 6, 5, 2, 5, 5, 2, 5, 6, 5, 5, 0, 6, 5, 6, 5, 2, 5, 0.假设老师随机问一个同学的零用钱,老师最有可能得到的答复是〔〕.A. 2元B. 5元C. 6元D. 0元9 .同时抛掷两枚硬币,根据正面出现的次数,可以分为“2个正面〞、“1个正面〞和没有正面〞这3种可能的结果,小红与小明两人共做了6组实验,每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次,下表为实验记录的统计表：结果A组第二组第三组第四组第五组第六组两个止面335142一个止面655557没有止面120411由上表结果,计算得出现“2个正面〞、“1个正面〞和没有正面〞这3种结果的频率分别是.当试验组数增加到很大时,请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：.10 .红星养猪场400头猪的质量〔质量均为整数千克〕频率分布如下,其中数据不在分点上组别频数频率46 ~ 504051 ~ 558056 ~ 6016061 ~ 658066 ~ 703071~ 7510从中任选一头猪,质量在65kg以上的概率是 .11 .为配和新课程的实施,某市举行了应用与创新〞知识竞赛,共有1万名学生参加了这次竞赛(总分值100分,得分全为整数).为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取了局部学生的竞赛成绩,进行统计,整理见下表：组别分组频数频率149.5 〜59.5600.12259.5 〜69.51200.24369.5 〜79.51800.36479.5 〜89.5130c589.5 〜99.5b0.02合计a 1.00表中a=,b=, c=;假设成绩在90分以上(含90分)的学生获一等奖,估计全市获一等奖的人数为 .12 .小颖有20张大小相同的卡片,上面写有1~20这20个数字,她把卡片放在一个盒子中搅匀,每次从盒中抽出一张卡片,记录结果如下：实验次数20406080100120140160180200 3的倍数的频数51317263236394955613的倍数的频率(1)完成上表；(2)频率随着实验次数的增加,稳定于什么值左右？(3)从试验数据看,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？(4)根据推理计算可知,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少?13 .甲、乙两同学开展投球进筐〞比赛,双方约定：①比赛分6局进行,每局在指定区域内将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束；②假设一次未进可再投第二次, 以此类推,但每局最多只能投8次,假设8次投球都未进,该局也结束；③计分规那么如下：a.得分为正数或0; b.假设8次都未投进,该局得分为 0; c.投球次数越多,得分越低；d.6局比赛的总得分高者获月4 .〔1〕设某局比赛第n 〔n=1,2,3,4,5,6,7,8〕次将球投进,请你按上述约定, 用公式、表格或语言叙 述等方式,为甲、乙两位同学制定一个把n 换算为得分M 的计分方案；〔2〕假设两人6局比赛的投球情况如下〔其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数, "X 表示该局比赛8次投球都未进〕：A 局第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 X 4 8 1 3 乙82426X根据上述计分规那么和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025 ; 0.1 11. 50,10,0.26; 20012. ( 1) 0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31 ;(2) 0.31; ( 3) 0.31 ; (4) 0.3 13.解：(1)计分方案如下表：n 〔次〕 1 2 3 4 5 6 7 8 M 〔分〕87654321〔用公式或语言表述正确,同样给分 .〕〔2〕根据以上方案计算得 6局比赛,甲共得24分,乙共得分23分,所以甲在这次比赛中获 胜.用频率估计概率同步测试〔典型题汇总〕一、选择题1.在一个不透明的袋子里装有3个黑球和假设干白球, 它们除颜色外都相同. 在不允许将球倒出来数的前提下,小明为估计其中白球数,采用如下方法：随机从中摸出一球,记下颜色后 放回袋中,充分摇匀后,再随机摸出一球,记下颜色,…不断重复上述过程.小明共摸1001. D2. B3. B4. A5. C6. C7. C8. B9.3 113 10 20 20次,其中20次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球大约有〔〕A.10 个B.12 个C.15 个D.18 个答案：B解析：解答：二.小明共摸了100次,其中20次摸到黑球,・••有80次摸到白球,,摸到黑球与摸到白球的次数之比为1： 4,,口袋中黑球和白球个数之比为1: 4, 3+1=12 〔个〕.4应选B.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出算式解答.2.在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球,这些球中有4个红球, 每次将球摇匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中, 通过大量的重复摸球实验后发现,〕摸到红球的频率稳定在« ,因此可以推算出m的值大约是〔〕A.8B.12C.16D.20答案：C1 1解析：解答：:摸到红球的频率稳定在一,,摸到红球的概率为:,而m个小球中红球只4 4有4个,,推算出m的值大约是4+ —=16.4应选C分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,列出等式解答.3.某口袋里现有8个红球和假设干个绿球〔两种球除颜色外,其余完全相同〕,某同学随机的从该口袋里摸出一球,记下颜色后放回,共试验50次,其中有20个红球,估计绿球个数为〔〕A.6B.12C.13D.25答案：B解析：解答：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.8 _ 20 解：设袋中有绿球x个,由题意得：解得x=i2.* + & 50 …应选：B.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.4 .在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过屡次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,那么布袋中白球可能有〔〕A.15 个B.20 个C.30 个D.35 个答案：D解析：解答：设袋中有黄球x个,由题意得一=Q3, 50解得x=15,那么白球可能有50-15=35个.应选D.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.5 .在一个不透明的口袋中放着红色、黑色、黄色的橡皮球共有30个,它们除颜色外其它全相同.小刚通过屡次摸球试验后发现从中摸到红色球、黄色球的频率稳定在0.15和0.45之间,那么口袋中黑色球的个数可能是〔〕A.14B.20C.9D.6答案：B解析：解答：二.摸到红色球、黄色球的频率稳定在15%和45%,「•摸到黑球的频率在0.85到0.55之间,故口袋中黑色球的个数可能是30X 0.55=16.5至IJ 30X 0.85=25.5 ,满足题意的只有B选项.应选B.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,可以从比例关系入手求解.6 .在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球,这些球中有4个红球, 每次将球摇匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中, 通过大量的重复摸球实验后发现,工摸到红球的频率稳定在 4 ,因此可以推算出m的值大约是〔〕A.8B.12C.16D.20答案：C解析：解答：二.摸到红球的频率稳定在-,4,摸到红球的概率为—,而m个小球中红球只有4个,4,推算出m的值大约是4+1=16.应选C.4分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,所以可以从比例关系入手求解.7 . 一个盒子里装有假设干个红球和白球,每个球除颜色以外都相同. 5位同学进行摸球游戏,每位同学摸10次〔摸出1球后放回,摇匀后再继续摸〕,其中摸到红球数依次为8, 5, 9, 7, 6,那么估计盒中红球和白球的个数是〔〕A.红球比白球多B.白球比红球多C.红球,白球一样多D.无法估计答案：A解析：解答：.「5位同学摸到红球的频率的平均数为---------- ------ =7 ,・•・红球比白球多.应选A.分析：计算出摸出红球的平均数后分析,假设得到到的平均数大于5,那么说明红球比白球多,反之那么不是.8 .在做“抛掷两枚硬币实验〞时,有局部同学没有硬币, 因而需要用别的实物来替代进行实验,在以下所选的替代物中,你认为较适宜的是〔〕A.两张扑克牌,一张是红桃,另一张是黑桃B.两个乒乓球,一个是黄色,另一个是白色C.两个相同的矿泉水瓶盖D.四张扑克牌,两张是红桃,另两张是黑桃答案：D解析：解答：•.•硬币有正反两面,应该选两种既能区分其两面又能反映是两枚的实物代替较适宜. 选四张扑克牌,两张是红桃,另两张是黑桃,分别表示出两枚硬币及正反两面较适宜.应选D分析：应该选两种既能区分其两面又能反映是两枚的实物代替较适宜.9 .在一个不透明白^盒子里有n个除颜色外其它均相同的小球, 其中有8个黄球,采用有放回的方式摸球,结果发现摸到黄球的频率稳定在40%,那么可以推算出n大约是〔〕A.8B.20C.32D.40答案：B解析：解答：二.摸到黄球的频率稳定在40%,,估计摸到黄球的概率为0.4,••・2 = 0.4,：. n=20.应选B .分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.10 .做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上〞的频率约为0.44,那么可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上〞的概率约为〔〕A.0.22B.0.44C.0.50D.0.56答案：D解析：解答：瓶盖只有两面,“凸面向上〞的频率约为0.44,那么可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上〞的概率约为1-0.44=0.56.应选D.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,可以从比例关系入手求解.11 .在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,以下说法正确的选项是〔〕A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的,与频率无关D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率答案：D解析：解答：二.大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近, 可以用这个常数估计这个事件发生的概率,••.D选项说法正确.应选：D.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率.12 .一个口袋中有8个黑球和假设干个白球, 从口袋中随机摸出一球, 记下颜色,再放回口袋,不断重复上述过程,共做了200次,其中有50次摸到黑球,因此估计袋中白球有〔〕A.23 个B.24 个C.25 个 D.26 个答案：B工50解析：解答：设白球有x个,那么------- = ------ ,解之得x=24工 + 8 200应选B.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频度率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.13 .在一次质检抽测中,随机抽取某摊位20袋食盐,测得各袋的质量分别为〔单位：G〕: 492, 496, 494, 495, 498, 497, 501, 502, 504, 496497, 503, 506, 508, 507, 492, 496, 500, 501, 499根据以上抽测结果,任买一袋该摊位的食盐,质量在497.5 g〜501.5 g之间的概率为〔〕113 7 A： B C - D. -1-'答案：B解析：解答：位于497.5〜501.5g之间的数据有：498, 501, 500, 501 , 499,共5个,5 1位于497.5〜501.5g之间的数据的概率为——=一.应选B.20 4分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率.14 .在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个,除颜色外其他完全相同.小明通过屡次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在25%左右,那么口袋中红色球可能有〔〕A.5 个 B.10 个 C.15 个D.45 个答案：C解析：解答：二.摸到红色球的频率稳定在25%左右,,口袋中红色球的频率为25%,故红球的个数为60X 25%=15 〔个〕.应选：C.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率.15 .小鸡孵化场孵化出1000只小鸡,在60只上做记号,再放入鸡群中让其充分跑散,再任意抓出50只,其中做有记号的大约是〔〕A.40 只B.25 只C.15 只D.3 只答案：D解析：解答：小鸡孵化场孵化出1000只小鸡,在60只上做记号,那么做记号的小鸡概率为不立二,再任意抓出50只,其中做有记号的大约是上父50 = 3只.1000 50 50应选D.分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,这样先求出概率,再乘以50即可得到答案..填空题16 .某玩具店进了一排黑白塑料球,共5箱,每箱的规格、数量都相同,其中每箱中装有黑白两种颜色的塑料球共3000个,为了估计每箱中两种颜色球的个数,随机抽查了一箱,将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回箱子中, 屡次重复上述过程后,发现摸到黑球的概率在0.8附近波动,那么此可以估计这批塑料球中黑球的总个数,请将黑球总个数用科学记数法表示约为________ 个.答案：1.2 X104解析解答：设黑球的个数为x,•••黑球的频率在0.8附近波动,••・摸出黑球的概率为0.8,即------ =0.8,3000解得x=2400.所以可以估计黑球的个数为2400 X 5=12000=1.2 X 104个,故答案为：1.2 X 104.分析：由于摸到黑球的频率在 0.8附近波动,所以摸出黑球的概率为 0.8,再设出黑球的个数,根据概率公式列方程解答即可.17 .在一次摸球实验中,一个袋子中有黑色和红色和白色三种颜色除外,其他都相同.假设从 中任意摸出一球,记下颜色后再放回去,再摸,假设重复这样的实验 球,那么我们可以估计从口袋中随机摸出一球它为黄球的概率是 〔〕.……,,…………………98 49 解析：解答：从口袋中随机摸出一球它为黄球的概率是 ——=——400Z00分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频 率=概率即可求得答案.18 .在一块试验田抽取1000个麦穗考察它的长度〔单位：cm 〕对数据适当分组后看到落在 19 75〜6.05之间的频率为0.36,于是可以估计出这块田里长度为5.75〜6.05cm 之间的麦穗约占%. 答案：36解析：解答：•.・抽取 1000个麦穗考查它白^长度落在 5.75〜6.05之间的频率为0.36, ,这块田里长度为 5.75〜6.05cm 之间的麦约占36%. 故此题答案为：36%分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频 率=概率,概率在同一个问题当中是不变的.19.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲤鱼共 10 000尾,一渔民通过屡次捕捞实验后发现,鲤鱼、鲫 鱼出现的频率分别是 31%和42%,那么这个水塘里大约有鲤鱼 尾. .答案：2700解析：解答：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼 10000X 31%=3100尾,鲫鱼 10000 X42%=4200 尾,鲤鱼 10000-3100-4200=2700 尾.分析：首先明确在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近 即此时频率=概率,这样先求出概率,再乘以总尾数即可得到答案 .. 20.在一个不透明的布袋中装有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝球共200个,墨墨通过多400次,98次摸出了黄答案:492CC次摸球试验后发现,其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在25%和55%,那么口袋中可能有黄球_____ 个.答案：40解析：解答：根据频率估计概率得到摸到红色球和蓝色球的概率分别为25麻口55%,那么摸到黄色球的概率=1-25%-55%=20% ,所以口袋中黄球的个数=200X20%=40 .答：口袋中可能有黄球40个.故答案为40.分析：首先明确在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,这样先求出概率,再乘200即可得到答案..解做题21.袋中有红球、黄球、蓝球、白球假设干个,小刚又放入5个黑球后,小颖通过屡次摸球试验后,发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25%, 30%, 30%, 10%, 5%,试估计袋中红球、黄球、蓝球及白球各有多少个？答案：解：小刚放入5个黑球后,发现摸到黑球的频率为5%,— = 100那么可以由此估计袋中共有球5% 〔个〕,说明此时袋中可能有100个球〔包括5个黑球〕,那么有红球100X 25%=25 〔个〕,黄球100X30%=30 〔个〕,篮球100X 30%=30 〔个〕,白球100X 10%=10 〔个〕.解析：分析：先根据频率公式利用黑球的个数求出小球的总个数,再根据各个的频率,分别求出每个小球的个数,问题即可得到解决.22.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下,请你通过计算填出相应合格品的概率：“取台数501002003005001000合格品数〔台〕4092192285478954“率答案：解：由表可得:%-相应合格品的概率分别为： 50192——=0.96 200954——=0.954 100解析:分析：.首先明确在同样条件下, 大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近 即此时频率=概率,这样先求出正品的概率 ,再求次品的概率即可得到答案将袋中的球摇均匀.每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀,经过大量的实验,...... ........... (1)得到取出红球的频率是-,求:4〔1〕取出白球的概率是多少?答案：.〔2〕如果袋中的白球有18只,那么袋中的红球有多少只? 答案：6.解析：解答：〔1〕取出白球与取出红球为对立事件,概率之和为 故P 〔取出白球〕 =1-P〔取出红球〕(2)设袋中的红球有 x 只,那么有,X _ 1Z + 1S~ 4 解得x=6. 所以袋中的红球有 6只.由数据可以估出该厂生产的电视机次品的概率为:1-0.95=0.05 .23.一直不透明的口袋中放有假设干只红球和白球, 这两种球除了颜色以外没有任何其他区别,分拣：(1)根据概率之和为1,求出白球的概率；(2)明确在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,根据概率公式设未知数列方程即可得到答案..24.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小颖做摸球实验,她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据：摸球的次数n10020030050080010003000651241783024815991803摸到白球的次数mm—0.650.620.5930.6040.6010.5990.601摸到白球的频率=■■(1)请估计：当n很大时,摸到白球的频率将会接近 ;(精确到0.1)答案：0.6;(2)假设你摸一次,你摸到白球的概率P(白球尸;答案：0.6;(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？答案：24.解析：解答：(1)二•摸到白球的频率为( 0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601 ) +7 = 0.6,・•・当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6 .(2)二,摸到白球的频率为0.6,,假设你摸一次,你摸到白球的概率P (白球)=0.6.(3)盒子里黑、白两种颜色的球各有40-24=16, 40X0.6=24.分析：(1)计算出其平均值即可；(2)概率接近于(1)得到的频率；(3)白球个数=球的总数x得到的白球的概率,让球的总数减去白球的个数即为黑球的个25. 一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球各假设干个,每个球除了颜色以外没有任何区别.(1)小王通过大量反复的实验(每次取一个球,放回搅匀后再取第二个)发现,取出黑球的频率稳定在1左右,请你估计袋中黑球的个数;4答案：5个；(2)假设小王取出的第一个球是白色,将它放在桌上,闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出一个球,取出红球的概率是多少？“9答案：解析：解答：解：(1)取出黑球的频率稳定在工左右,即可估计取出黑球的概率稳定为4袋中黑球的个数为-X 20=5个;4(2)由于白球的数目减少了1个,故总数减小为19,所以取出红球的概率增加了, 变为2 2分析：(1)取出黑球的频率稳定在a左右,即可估计取出黑球的概率稳定为4,乘以球的总数即为所求的球的数目；(2)让红球的个数除以剩余球的总数,即为所求的概率.。

第01讲_概率的进一步认识知识图谱概率的计算知识精讲一．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．二．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．三点剖析一．考点：概率的计算二．重难点：用列表法和树状图法求事件概率三．易错点：（1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。

判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。

求简单事件的概率例题1、在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A.1 3B.23C.16D.34【答案】B【解析】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识例题2、围棋盒子中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 3．如果在原有的棋子中再放进4颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子为白色棋子的概率是12，则原来盒子中有白色棋子（）A.4颗B.6颗C.8颗D.12颗【答案】C【解析】由题意得14223xx yxx y⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪+⎩；解得48yx=⎧⎨=⎩，由此可得，原来盒子中有白色棋子8颗例题3、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，摸到都是黄球的顾客获得大奖，摸到不全是黄球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你讲转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，结合转盘简述获奖方式，不需要说明理由）．【答案】见解析【解析】（1）符合，一共出现20种可能性，并且每种可能性都相同，所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即（黄1，黄2）或（黄2，黄1），所以P（两黄球）212010==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36︒的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．随练1、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S 3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是=．故选C ．随练2、在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外全部相同，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗【答案】B【解析】解：由题意得：25134x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩故选：B ．随练3、有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是______颜色；（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】（1）白（2）16（3）公平【解析】（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．所以P （摸到白球）=3162=，P （摸到黄球）=2163=，P （摸到红球）=16；（3）答：公平．因为P （摸到白球）=12，P （摸到其他球）=21162+=，所以公平．列表法和树状图法求概率例题1、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】715【解析】列表得（1，8）（1，7）（1，6）（1，5）（1，4）；（2，8）（2，7）（2，6）（2，5）（2，4）；（3，8）（3，7）（3，6）（3，5）（3，4）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是715例题2、一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________．【答案】38【解析】画树状图，得因为共有16种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63168==．例题3、有十张正面分别标有数字3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b ．则数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为___________．【答案】710【解析】列表得：一共有(3,2)--、(2,1)--、(1,0)-、(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)；数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的情况有：(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)七种，则710P =．例题4、在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2-，0）、B （1，0）、C （4，0）、D （2-，92）、E （0，6-），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A 、B 、C 、D 、E 代表以上五个点．玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（对称轴平行于y 轴）的概率是（）A.12B.35C.710D.45【答案】B【解析】所有的摸球情况有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BCE 、BDE 、CDE 共有10种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而ABD 、ACD 、ADE 时，A 、D 的横坐标都是2-，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136--=，所以35P =．随练1、把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y ，以长度分别为x 、y 、5的三条线段能构成三角形的概率为__________．【答案】49【解析】列表可得因此，点(),A x y 的个数共有9个；则x 、y 、5的三条线段能构成三角形的有4组，可得49P =．随练2、在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字2-、1-、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A （2-，2）、B （3，2）构成直角三角形的概率是_________．【答案】25【解析】画树状图如下：共有25种情况，当点C的坐标为（2-，2-）、（2-，1-）、（2-，0）、（2-，3）、（1-，0）、（2，0）、（3，2-）、（3，1-）、（3，0）、（3，3）共10种情况时，构成直角三角形，P（直角三角形）102 255 ==．用频率估计概率例题1、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．例题2、某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：40075015003500700090003696621335320363358073根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为__________（精确到0.1）．【答案】0.9【解析】(0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902)70.9x=++++++÷≈例题3、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n）100150200500摸到白球次数（m）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数320125=⨯=个；黑球的个数22085=⨯=个．随练1、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．【答案】0.5【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．随练2、某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：的次数n 100150200500800”的次数m 68111136345564的频率m（2）请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1）【答案】（1）见解析；（2）0.7；（3）0.7；（4）252 【解析】（1）的次数n 100150200500800”的次数68111136345564的频（2）当n 很大时，频率将会接近681111363455647010.71001502005008001000+++++=+++++（3）获得铅笔的概率约是0.7（4）扇形的圆心角约是0.7360252⨯=拓展1、一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A.4 9B.13C.16D.19【答案】D【解析】列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为1 9．2、在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？【答案】（1）嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样【解析】（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P2=612=12，∵P1=34，P2=12，P1≠P2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．3、从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率____．【答案】13【解析】由关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，可求得a 的取值范围，继而求得答案．∵一次函数y=2x+a 与x 轴、y 轴的交点分别为：（﹣2a，0），（0，a ），∴|﹣2a|×|a|×12=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a ≥0，即a ≤4时，关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，∴使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：13．故答案为：134、王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是__________．【答案】王红【解析】共9种情况，和为7的情况数有3种，王红获胜的概率为39；和为8的情况数有2种，刘芳获胜的概率为29； 王红获胜的可能性较大．5、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n ）100150200500摸到白球次数（m ）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当\(n\)很大时，摸到白球的概率将会接近\(0.6\)．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是\(\frac{3}{5}\)，摸到黑球的概率是\(\frac{2}{5}\)；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数\(=20\times \frac{3}{5}=12\)个；黑球的个数\(=20\times \frac{2}{5}=8\)个．6、在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．。

北师大版数学九上第三章《概率的进一步认识》试卷、答案一、选择题（共12小题；共36分）1. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的个扇形）做游戏．游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是A. B. C. D.2. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统一了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是A. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取两球，取到两个白球的概率B. 任意写一个正整数，它能被整除的概率C. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率D. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率3. 小茜课间活动中，上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动，上午课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动．则小茜上午、下午都选中球类运动的概率是A. B. C. D.4. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是A. B. C. D.5. 在不透明的袋子中有黑棋子枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出枚记下颜色后放回，这样连续做了次，记录了如下的数据：次数黑棋数根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为A. 枚B. 枚C. 枚D. 枚6. 现有两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上都分别标上数字，，，，，．同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为的概率是A. B. C. D.7. 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是A. B. C. D.8. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率B. 从一个装有个白球和个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率C. 从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率D. 任意买一张电影票，座位号是的倍数的概率9. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是A. B. C. D.10. 小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时“参加社会调查”的概率为A. B. C. D.11. 王大伯为了估计他家鱼塘里有多少条鱼，从鱼塘里捞出条鱼，将它们做上标记，然后放回鱼塘．经过一段时间后，再从鱼塘中随机捕捞条鱼，其中有标记的鱼有条，请你估计鱼塘里鱼的数量大约有A. 条B. 条C. 条D. 条12. 一个布袋内只装有个黑球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共24分）13. 在一个暗箱里放有个除颜色外其余完全相同的球，这个球中红球只有个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在，那么可以推测出大约是．14. 淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是．15. 一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的个黑球、个白球和若干个红球．每次摇匀随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋子中约有红球个．16. 在一个不透明的口袋中，装有，，，四个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．17. 如图，随机地闭合开关，，，，中的三个，能够使灯泡，同时发光的概率是．18. 在一只不透明的口袋中放人红球个，黑球个，黄球个，这些球除色不同外其他完全相同．搅匀后随机从中摸出一个，恰好是黄球的概率为，则放人口袋中的黄球总数．三、解答题（共7小题；共60分）19.（8分）甲、乙两个人做游戏：在一个不透明的口袋中装有张相同的纸牌，它们分别标有数字，，，．从中随机摸出一张纸牌然后放回，再随机摸出一张纸牌，若两次摸出的纸牌上数字之和是的倍数，则甲胜；否则乙胜．这个游戏对双方公平吗?请列表格或画树状图说明理由．20.（10分）在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色球只，某学习小组做摸球实验．将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球的次数摸到白球的次数摸到白球的频率（1）请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．21. （8分）小华和小军做摸球游戏，袋中装有编号为，，的三个小球，袋中装有编号为，，的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若袋摸出的小球的编号与袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗?请说明理由．22. （8分）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗?说说你的理由．23. （8分）在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有个，黄球有个，蓝球有个．现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢，赢的一方得电影票．游戏规则是：两人各摸次球，先由小明从纸箱里随机摸出个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗?请你利用树状图或列表法说明理由．24.（10分）“六一”期间，某公园游戏场举行“游园”活动．有一种游戏的规则是：在一个装有个红球和若干个白球（每个球除颜色外其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个喜羊羊玩具．已知共有人次参加这种游戏，公园游戏场发放的喜羊羊玩具为个．（1）求参加一次这种游戏活动得到喜羊羊玩具的频率．（2）请你估计袋中白球接近多少个．25. （8分）甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字，，．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释．答案第一部分1. C2. A3. A4. B5. C6. C7. C8. B9. C 【解析】本题考查列表法求概率．将征征、舟舟两名同学参加社团的可能情况列表如下：航模征征彩绘征征泥塑征征航模舟舟航模舟舟航模征征航模舟舟彩绘征征航模舟舟泥塑征征彩绘舟舟彩绘舟舟航模征征彩绘舟舟彩绘征征彩绘舟舟泥塑征征泥塑舟舟泥塑舟舟航模征征泥塑舟舟彩绘征征泥塑舟舟泥塑征征由上表可知征征和舟舟选择的可能情况有种，其中征征和舟舟选到同一社团的可能情况有种，所以概率为．10. A11. C12. D 【解析】列表法：符合题意的情况用“”表示，不符合题意用“”表示．黑白白黑白白所以（两次黑）．第二部分13.14.15.16.17.【解析】随机地闭合开关，，，，中的三个共有种可能，能够使灯泡，同时发光有种可能（，，或，，）．随机地闭合开关，，，，中的三个，能够使灯泡，同时发光的概率是．18.第三部分19. 不公平，根据题意列表如下：所有等可能的情况有种，其中两次摸出的纸牌上数字之和是的倍数的情况有：，，，，，共种，所以甲获胜，乙获胜，则该游戏不公平．20. （1）【解析】根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近．（2）；【解析】因为当很大时，摸到白球的频率将会接近；所以摸到白球的概率是；摸到黑球的概率是．（3）因为摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是，所以口袋中黑、白两种颜色的球，有白球是个，黑球是个.21. 列表如下共有种等可能结果，其中袋中数字减去袋中数字为偶数有种等可能结果．；小华胜则小军胜的概率为．，不公平．22. 这个游戏对双方不公平．理由如下：画树状图为：共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数为，两次数字之和为偶数的结果数为，小明胜的概率，小亮胜的概率，而，这个游戏对双方不公平．23. 不公平，画树状图如图所示．由上述树状图知，所有可能出现的结果共有种．小明赢，小亮赢．此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大．24. （1）因为所以参加一次这种游戏活动得到喜羊羊玩具的频率为．（2）因为试验次数很大，频率接近概率，所以估计从袋中任意摸出一个球恰好是红球的概率是．设袋中白球有个，则根据题意，得，解得．经检验是方程的解．所以估计袋中白球接近个．25. （1）所有可能出现的结果如图：【解析】树状图法：甲乙所有可能出现的结果从上面的表格（或树状图）可以看出，总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同．数字的结果有种，所以两人抽取相同数字（2）不公平．从上面的表格（或树状图）可以看出，两人抽取数字和为的倍数有种，两人抽取数字和为的倍数有种，所以甲获胜；乙获胜．因为，所以甲获胜的概率大，游戏不公平．。

九年级数学上册新版北师大版：检测内容：第三章 概率的进一步认识得分________ 卷后分________ 评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．用频率估计概率，可以发现某种幼树在一定条件下移植成活的概率为0.9，则下列说法正确的是( D )A ．种植10棵幼树，结果一定有9棵幼树成活B ．种植100棵幼树，结果一定有90棵幼树成活和10棵幼树不成活C ．种植10n 棵幼树，恰好有n 棵幼树不成活D ．种植n 棵幼树，当n 越来越大时，种植成活幼树的频率会越来越稳定于0.92．一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是( D )A ．13B ．49C ．12D ．593．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是( C )A ．13B ．14C ．16D ．184．现有4条线段，长度依次是2，4，6，7，从中任选三条，能组成三角形的概率是( B ) A ．14 B ．12 C ．35 D ．345．(邓州期末)如图是智慧小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是( D )A ．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上B ．投掷一个质地均匀正六面体的骰子，出现2点朝上C ．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是梅花D ．从装有大小和质地都相同的1个红球和2个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球6．如图，随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个，则能让灯泡L 2发光的概率为( D ) A ．14 B ．12 C ．23 D ．13 第6题图 第8题图第13题图7．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是( B )A ．18B ．38C ．58D ．1 8．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A 离开的概率是( C )A ．12B ．13C ．14D ．169．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生的概率最大的是( C )A ．点数都是偶数B ．点数的和为奇数C ．点数的和小于13D ．点数的和小于210．小兰和小潭用分别掷A ，B 两枚质地均匀的正六面体骰子的方法来确定P(x ，y)的位置，她们规定：小兰掷得的点数为x ，小潭掷得的点数为y ，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线y ＝－2x ＋6上的概率为( B )A ．16B ．118C ．112D ．19二、填空题(每小题3分，共15分)11．从－2，－1，1，2四个数中随机抽取两个数相乘，积大于－4小于2的概率是__12__．12．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到白球的频率稳定在20%附近，则估计口袋中的球大约有__5__个．13．如图所示，小明和小龙玩转陀螺游戏，他们分别同时转动一个陀螺，当两个陀螺都停下来时，与桌面相接触的边上的数字都是奇数的概率是__14__． 14．某养鱼专业户为了估计鱼塘中鱼的总条数，他先从鱼塘中捞出100条，将每条鱼作了记号后放回水中，当它们完全混合于鱼群后，再从鱼塘中捞出100条鱼，发现其中带记号的鱼有10条，估计该鱼塘里约有__1_000__条鱼．15．箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是__13__． 三、解答题(共75分)16．(8分)从一副扑克牌中取出红桃J ，Q ，K 和黑桃J ，Q ，K 这两种花色的六张扑克牌．(1)将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃K 的概率；(2)将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J 一张是Q 的概率．解：(1)将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，则这张牌是红桃K 的概率为16(2)画树状图如图：共有9种等可能的结果，其中一张是J 一张是Q 的结果有2种，∴其中一张是J 一张是Q 的概率为2917．(8分)在3张相同的小纸条上分别标上1，2，3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中．(1)搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是__13 __； (2)搅匀后先从中随机抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概率．解：(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：第1次和第2次 1 2 31 3 42 3 53 4 5共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，∴P(和为奇数)＝46 ＝2318．(10分)甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表的方法求：(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；(2)取出的3个小球上全是奇数的概率．解：(1)画树状图如图，共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率为512(2)取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率＝212 ＝1619．(11分)为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄(单位：岁)如下：甲社区67 68 73 75 76 78 80 82 83 84 85 85 90 92 95 乙社区66 69 72 74 75 78 80 81 85 85 88 89 91 96 98 (1)求甲社区老人年龄的中位数和众数；(2)现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．解：(1)众数是85岁，中位数是82岁(2)年龄小于70岁甲社区的有2人，乙社区的有2人，从4人中任取2人，所有可能出 第1人第2人 甲1 甲2 乙1 乙2甲1 甲2甲1 乙1甲1 乙2甲1甲2 甲1甲2 乙1甲2 乙2甲2乙1 甲1乙1 甲2乙1 乙2乙1乙2 甲1乙2 甲2乙2 乙1乙2共有12种可能出现的结果，其中“来自同一个社区”的有4种，∴P(来自同一个社区)＝412 ＝1320．(12分)分别把带有指针的圆形转盘A ，B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示).欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．解：(1)画树状图如图：由树状图可知共有12种等可能的情况，其中积为奇数的情况有6种，∴欢欢获胜的概率是612 ＝12(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－12 ＝12，∴两人获胜的概率相同，∴游戏公平 21．(13分)某校调查了若干名家长对“初中生带手机上学”现象的看法，统计整理并制作了如下的条形统计图与扇形统计图．根据图中提供的信息，完成以下问题：(1)本次共调查了__200__名家长，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角的度数是__27°__，并补全条形统计图；(2)该校共有3 600名家长，通过计算估计其中“不赞同”的家长有多少名；(3)从“不赞同”的五位家长中(3女2男)随机选取两位家长对全校家长进行“学生使用手机危害性”的专题讲座，请用画树状图或列表的方法，求出选中“1男1女”的概率．解：(1)本次调查的家长人数为45÷22.5%＝200(人)，扇形统计图中“很赞同”所对应的圆心角度数是360°×15200＝27°，不赞同的人数为200－(15＋50＋45)＝90(名)，补全条形统计图略(2)估计其中“不赞同”的家长有3 600×90200＝1 620(名) (3)画树状图如下：由树状图可知所有等可能的结果有20种，其中选中“1男1女”的结果有12种，∴P(选中“1男1女”)＝1220 ＝3522．(13分)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的A 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C 处的概率是__14__； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法求，棋子最终跳动到点C 处的概率． 解：(2)列表如下：第一次的和两次的和 第二次的和 9 8 7 69 18 17 16 158 17 16 15 147 16 15 14 136 15 14 13 12图① 图②由表可知共有16种等可能的结果，两次的和为14可以到达点C ，有3种情形，∴棋子最终跳动到点C 处的概率为316。

第三章概率的进一步认识一、选择题（共15小题；共45分）1. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是A. 频率等于概率B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 试验得到的频率与概率不可能相等2. 小明将分别标有“爱”“我”“中”“华”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球记下汉字后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率是A. B. C. D.3. 在一个口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于的概率是4. 布袋里装有个白球和个黑球，从中任意取出个球，设事件“取到的个球都是白球”和事件“取到的个球都是黑球”发生的概率分别为，，则A. B.C. D. 以上都有可能5. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是A. B. C. D.6. 甲从标有，，，的张卡片中任抽张，然后放回．乙再在张卡片中任抽张，两人抽到的标号的和是的倍数的（包括）概率是A. B. C. D.7. 如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．下面有三个推断：①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是；③若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的频率一定是．其中合理的是A. ①B. ②C. ①②D. ①③8. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是A. B. C. D.9. 同时投掷颗均匀的骰子，朝上一面点数的和是偶数的概率是A. D.10. 某号码锁有个拨盘，每个拨盘上有从到共个数字．当个拨盘上的数字组成某一个两位数字号码（即开锁号码）时，锁才能打开．如果不知道开锁号码，问试开一次就能把锁打开的概率是A. B.C. D. 以上结论都不对11. 气象台预报“本市明天降水概率是”，对此消息，下面几种说法正确的是A. 本市明天将有的地区降水B. 明天降水的可能性比较大C. 本市明天降有的时间降水D. 明天肯定下雨12. 小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是13. 有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是A. B. C. D.14. 一个质地均匀的正方体骰子任意掷两次，下列说法正确的是A. 得到的数字和必然是偶数B. 得到的数字和可能是奇数C. 得到的数字和不可能是D. 得到的数字和可能是15. 四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为D.二、填空题（共8小题；共40分）16. 在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D 个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是．17. 一个不透明的口袋中只有若干个白球，小颖往袋中放入个黑球，它们与袋中白球只有颜色不同，每次从袋中摸出一球后放回摇匀．经过多次摸球试验，她发现摸到黑球的频率稳定在，则此口袋中原有白球个．18. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则口袋中白色球的个数很可能是个．19. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中环以上”的概率是（结果保留小数点后一位）．20. 袋中共有个大小相同的红球、白球，任意摸出一球是红球的概率为出个球均为红球的概率是．21. 现有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为，，则点在第二象限的概率为．22. 掷两枚骰子，出现点数之和为的概率是．23. 将，，，四个号码牌放入一个布袋中，搅匀后随即摸出两张，将它们的号码相乘，结果不为的概率是．三、解答题（共5小题；共65分）24. 为了调节紧张的学习生活，小刚和小荣两位同学根据所学知识制作了如图两个可以自由转动的转盘A，B进行游戏娱乐，转盘是由红色和蓝色区域构成的，其中A转盘的蓝色区域占整个转盘的，B转盘的蓝色区域占整个转盘的．小刚同学转动A转盘，小荣同学转动B转盘．（1）两人分别转动各自的转盘，谁转到红色区域的概率大?（2）经过几次转动后，小林同学发现游戏规则不公平，因此建议新的游戏规则如下：A转盘与B转盘均由小林同学转动，如果两个转盘均转到了红色区域，则小刚同学获胜；否则，小荣同学获胜，请你帮助小林同学用概率的知识验证修改后的游戏规则是否公平?并说明理由．25. 在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外其它都相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复这一过程，共摸球次，其中次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球多少个?26. 如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“”的扇形圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．（1）转动转盘一次，求转出的数字是的概率；（2）转动转盘两次，用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率．27. 《阅读者》是一档由中央推出，旨在实现用文化感染人、鼓舞人、教育人的大型朗读类真人秀节目，一经播出，便掀起了全民阅读热潮，为培养广大青少年的阅读意识，蓝田某中学举办“阅读人生”朗读比赛，九（三）班通过内部初选，选出了小丽和小铭两位同学，但由于每个班级的参赛名额有限，现决定通过如图所示被等分的转盘游戏来决定由谁代表全班参赛．规则如下，小丽和小铭分别同时转动转盘甲、乙，转盘停止后，指针所指区域内数字之和小于，小丽获胜，指针所指区域内的数字之和等于，为平局，指针所指区域内的数字之和大于，小铭获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．（1）求玩一轮上述游戏，小丽获胜的概率；（2）该游戏规则对小丽和小铭双方公平吗?为什么?28. 一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如表：（1）请直接写出，的值；（2）如果实验继续进行下去，根据如表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少；（3）如果做这种实验次，那么“兵”字面朝上的次数大约是多少?答案第一部分1. B2. B 【解析】列表得：因为种可能的结果中，能组成“中华”有种可能，共种，所以两次摸出的球上的汉字能组成“中华”的概率．3. C4. B5. A【解析】设袋子中红球有个，根据题意，得：，解得，袋子中红球的个数最有可能是个．6. A7. B8. B9. C10. C【解析】个拨盘的数字正好是从一共个等可能的结果，只有其中个是开锁号码，因此概率为．11. B12. B13. A 【解析】根据题意，画出树形图．由图可知，任意翻开两张，共有种等可能情况，其中两张图案一样的共有种情况，故任意翻开两张，其中两张图案一样的概率为．14. B15. B第二部分16.17.18.19.【解析】从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近，这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是．20.【解析】题意可得红球有个，白球有个．列出所有等可能情况，如下表．由表可知，任意摸出两个球共有种情况，其中摸到的个球均为红球的有种，所以任意摸出个球均为红球的概率为．21.22.【解析】将四个号码牌放入一个布袋中，搅匀后随机摸出两张，可能的情况有，，，，，，共种．其中结果不为的只有一组，故结果不为的概率是第三部分24. （1）因为A转盘的蓝色区域占整个转盘的B转盘的蓝色区域占整个转盘的所以小刚同学转动A转盘转到红色区域的概率为B转盘转到红色区域的概率为；因为，所以小荣同学转到红色区域的概率大；（2）公平．理由如下：将A转盘红色区域部分等分为：红，红，B转盘红色区域等分为：红，红，红，画树状图如解图：共有种等可能的情况，其中两个转盘均转到红色区域的情况有种，所以，，所以小林同学修改后的游戏规则是公平的．25. 设盒子中大约有白球个，根据题意得：解得：经检验，是原方程的解，答：估计盒子中大约有白球个．26. （1）由题知：“”“”所占圆心角均为，，．（2）由（）知，转出“”，“列表得：由表格可知：等可能出现的结果共种，其中积为正数的情况共种，．27. （1）画树状图如下：可见，共有种等可能的情况，其中和小于的有种；小丽获胜的概率为．（2）该游戏规则不公平．由（）可知，共有种等可能的情况，其和大于的情况有种，小铭获胜的概率为，显然，故该游戏规则不公平．28. （1）；【解析】；．（2）根据表中数据，试验频率为，，，，，，，稳定在左右，故估计概率的大小为．（3）朝上的概率接近于，所以抛掷次，朝上的次数为（次），所以“兵”字面朝上的次数大约是次．。

北师版九上第三章概率的进一步认识一、选择题（共8小题）1. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为( )A. 16B. 15C. 14D. 132. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的数目很可能是( )A. 6B. 16C. 18D. 243. 从1，2，−3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( )A. 0B. 13C. 23D. 14. 同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，两枚骰子向上点数之积为偶数的概率是( )A. 12B. 13C. 23D. 345. 如图，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为( )A. 16B. 12C. 23D. 136. 下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )A. 频率就是概率B. 频率是随机的，与试验次数无关C. 概率是稳定的，与试验次数无关D. 概率是随机的，与试验次数有关7. 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“”，1张卡片正面上的图案是“”，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是( )A. 916B. 34C. 38D. 128. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球，1个白球，另一个装有1个黄球，2个红球，这些球除颜色外完全相同，从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是( )A. 13B. 49C. 35D. 23二、填空题（共5小题）9. 技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为．（结果要求保留两位小数）10. 如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．11. 小杰和小明玩扑克牌，各出一张牌，谁的牌数字大谁赢，同样大就平．小杰手中有牌2，6，K，小明手中有牌3，6，J．这时每人任出一张牌，小杰获胜的概率是．12. 用如图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为．13. 从由1，3，5组成的没有重复数字的三位数中，任意抽取一个数，这个数正好能被5整除的概率是．三、解答题（共6小题）14. 研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量?操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统计结果如表所示：推测计算：由上述的摸球实验可推算：（1）盒中红球，黄球各占总球数的百分比分别是多少?（2）盒中有红球多少个?15. 从长度分别是1，3，5，7的四条线段中任取三条，求这三条线段能构成三角形的概率．16. 一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，估计袋中红球的个数．17. 从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任取三条，求这三条线段能构成三角形的概率．18. 嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”．自2020年以来，“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月⋯⋯一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小明对航空航天非常感兴趣，他收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A，B，C，D的四张卡片（如图所示），卡片的背面完全相同，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．（1）小明从四张卡片中任取一张卡片恰好是“编号为C（北斗三号）”的概率是；（2）小明从四张卡片中任取一张卡片，不放回，再从余下的卡片中任取一张，请写出所有的等可能结果，并求取出的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．19. 任意掷两枚骰子．（1）用列表法展现可能出现的所有结果．（2）回答下列问题：①出现点数和为6与点数和为8的概率是否相同?②出现点数之和大于4的概率是多少?答案1. A【解析】画树状图，得∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种结果，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率=212=16．2. B3. B 【解析】不放回类型4. D【解析】列表如下：∵共有36种等可能的结果，两枚骰子向上点数之积为偶数的有27种结果，∴两枚骰子向上点数之积为偶数的概率为2736=34．5. D【解析】观察图形可知，随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，共有3种等可能的结果，即(K1,K2)，(K1,K3)，(K2,K3)，能让两盏灯泡L1，L2同时发光的结果有1种，即(K2,K3)，∴P(L1,L2同时发光)=13．6. C【解析】频率是随机的，随试验而变化，但概率是唯一确定的一个值，在大量重复试验中，随试验次数的增大，频率会逐渐稳定于概率附近．7. D【解析】记图案“”为字母“a”，图案“”为字母“b”，画树状图如下．共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面图案相同的结果有6种，则所求概率为612=12．故选D．8. B【解析】列表如下：黄红红红(黄,红)(红,红)(红,红)红(黄,红)(红,红)(红,红)白(黄,白)(红,白)(红,白)由表知，共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果，所以摸出的两个球颜色相同的概率为49．9. 0.99【解析】大量重复试验下频率的稳定值等于概率的估计值．对0.9911四舍五入，保留两位小数即得0.99．10. 15【解析】随机闭合三个开关共有10种情况：(S1,S2,S3)，(S1,S2,S4)，(S1,S2,S5)，(S2,S3,S4)，(S2,S3,S5)，(S3,S4,S5)，(S1,S3,S4)，(S1,S3,S5)，(S1,S4,S5)，(S2,S4,S5)，其中能使灯泡L1，L2同时发光的有(S1,S2,S4)和(S1,S2,S5)两种情况，故所求概率为210=15．11. 4912. 112【解析】列表如下：共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，∴配成紫色的概率为112．13. 1314. （1）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，所以红球所占百分比为20÷50=40%，黄球所占百分比为30÷50=60%，故红球占40%，黄球占60%．（2）由题意可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次，所以总球数为8÷450=100．所以红球数为100×40%=40．所以盒中红球有40个．15. 从四条线段中任取三条所有可能的情况：①1，3，5；②1，3，7；③1，5，7；④3，5，7．其中能构成三角形的只有3，5，7这一个结果．设事件A：“取三条能构成三角形”．可知P(A)=14．16. 由题意可得：摸到黑球和白球的频率之和为1−0.4=0.6，∴总的球数为(7+5)÷0.6=20（个）．∴红球有20−(7+5)=8（个）．17. 可依次去掉一条线段，共有4种等可能结果，其中只有一种结果(35√7)(15×7)(13×7)(13×5)能构成三角形，所以构成三角形的概率是14．18. （1）14（2）试验出现的等可能结果共有12个：“A，B”；“A，C”；“A，D”；“B，A”；“B，C”；“B，D”；“C，A”；“C，B”；“C，D”；“D，A”；“D，B”；“D，C”．设事件M：“取出的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）、编号为D（天问一号）”∴P(M)=212=16．19. （1）列表如下：(1 1) (1 2) (1 3) (1 4) (1 5) (1 6) (2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5) (2 6) (3 1) (3 2) (3 3) (3 4) (3 5) (3 6) (4 1) (4 2) (4 3) (4 4) (4 5) (4 6) (5 1) (5 2) (5 3) (5 4) (5 5) (5 6) (6 1) (6 2) (6 3) (6 4) (6 5) (6 6)（2）①“点数和为6”有5种结果，“点数和为8”也有5种结果，故相应的概率都是536；②P(点数和大于4)=3036=56．。

北师大版数学九年级上3第三单元《概率的进一步认识》全章同步练习附单元测试卷（含答案）3.1 用树状图或表格求概率第1课时 用树状图或表格求概率【基础练习】 一、选择题：同时掷两颗均匀的骰子，下列说法中正确的是（ ）.（1）“两颗的点数都是3”的概率比“两颗的点数都是6”的概率大； （2）“两颗的点数相同”的概率是16 ；（3）“两颗的点数都是1”的概率最大；（4）“两颗的点数之和为奇数”与“两颗的点数之和为偶数”的概率相同. A. (1)、(2) B. (3)、(4) C. (1)、(3) D. (2)、(4)二、填空题：用列表的方法求下列各事件发生的概率，并用所得的结果填空.1.从1、2、3、4、5这五个数字中，先随意抽取一个，然后从剩下的四个数中再抽取一个，则两次抽到的数字之和为偶数的概率是 ；2.有五条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，从中任取三条，以这三条线段为边能够成一个三角形的概率是 ；3.现有10个型号相同的杯子，其中一等品7个，二等品2个，三等品1个，从中任取两个杯子都是一等品的概率是.用画树状图的方法求下列各事件发生的概率，并用所得的结果填空.4．在两个布袋中分别装有三个小球，这三个小球的颜色分别为红色、白色、绿色，其他没有区别．把两袋小球都搅匀后，再分别从两袋中各取出一个小球，求取出两个相同颜色．．．．小球的概率是_______.5．妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平．妞妞和爸爸出相同手势的概率是___________.6．三个袋中各装有2个球，其中第一个袋和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中各摸出一个球，则摸出的三个球中有2个黄球和一个红球的概率为_________．三、解答题：有两组卡片，第一组卡片共3张，分别写着2、2、3；第二组卡片共5张，分别写着1、2、2、3、3. 试用列表的方法求从每组中各抽取一张卡片，两张都是2的概率.【综合练习】有两个质量均匀、大小相同的正四面体，其中一个的四个面上分别写着数字1、2、3、4，另一个的四个面上分别写着数字5、6、7、8. 将这两个正四面体同时投掷到桌面上，并以它们底面上的数字之和来计分，问：（1）共能组成多少种不同的计分？（2）底面上的数字之和为素数的概率是多少？（3）底面上的数字之和为偶数的概率是多少？【探究练习】中国队和韩国队等9支球队参加奥运会足球预选赛亚洲区决赛，把9支球队任意地分成3组，试求中、韩两队恰好分在同一组的概率.答案：【基础练习】一、D.二、1. 25 ； 2. 310 ； 3. 715 ； 4．13 ；5．13； 6．14.三、415.【综合练习】（1）7；（2）14 ；（3）12.【探究练习】14.第2课时 概率与游戏的综合应用1．小明、小芳做一个“配色”的游戏．右图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色，或者转盘A 转出了蓝色，转盘B 转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其它情况下，则小明、小芳不分胜负． （1）利用列表或树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果； （2）此游戏的规则，对小明、小芳公平吗？试说明理由．2．有2个信封，每个信封内各装有四张卡片，其中一个信封内的四张卡片上分别写有1、2、3、4四个数，另一个信封内的四张卡片分别写有5、6、7、8四个数，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，然后把卡片上的两个数相乘，如果得到的积大于20，则甲获胜，否则乙获胜． （1）请你通过列表（或画树状图）计算甲获胜的概率． （2）你认为这个游戏公平吗？为什么？红 蓝 红 黄 转盘A 红蓝 黄 转盘B答案：1.解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下：转盘B转盘A红蓝黄红（红，红）（红，蓝）（红，黄）蓝（蓝，红）（蓝，蓝）（蓝，黄）红（红，红）（红，蓝）（红，黄）黄（黄，红）（黄，蓝）（黄，黄）所以，所有可能出现的结果共有12种．（2）上面等可能出现的12种结果中，有3种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是31124=，即小芳获胜的概率是14；但只有2种情况才可能得到绿色，配成绿色的概率是21126=，即小明获胜的概率是16．而1146>，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对小明、小芳双方是不公平的．2.解：（1）利用列表法得出所有可能的结果，如下表：1 2 3 45 5 10 15 206 6 12 18 247 7 14 21 288 8 16 24 32由上表可知，该游戏所有可能的结果共16种，其中两卡片上的数字之积大于20的有5种，所以甲获胜的概率为516P=甲．（2）这个游戏对双方不公平，因为甲获胜的概率516P=甲，乙获胜的概率1116P=乙，1116165≠，所以，游戏对双方是不公平的．3.为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场劵，甲和乙设计了如下的摸球游戏：在不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其它没有任何区别，摸球之前将袋内的小球搅匀，甲先摸两次，每次摸出一个球（第一次摸后不放回）把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球，如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分，如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分，得分高的获得入场卷，如果得分相同，游戏重来．（1）运用列表或画树状图求甲得1分的概率； （2）请你用所学的知识说明这个游戏是否公平？4. 甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘． （1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率； （2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．5. 甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A 、B 平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图.游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜。

一、选择题1．一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球，其中黄色16个，白色8个和红色若干，小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则摸到黄球的概率约为（）A．23B．12C．13D．162．一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是( )A．25B．13C．415D．153．如图，正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．现随机向正方形ABCD内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）A．18B．14C．13D．124．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为()A．13B．49C．59D．235．如图所示，一个大正方形的面上，编号为1,2,3,4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都能落在大正方形地面上，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是（）A ．12B ．14C ．16D ．186．连续掷两次骰子，出现点数之和等于4的概率为（ ） A ．136B ．118C ．112D ．197．我们要遵守交通规则，文明出行，做到“红灯停，绿灯行”，小刚每天从家到学校需经过三个路口，且每个路口都安装了红绿灯，每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家出发去学校，他遇到两次红灯的概率是（ ） A ．18B ．38C ．58D ．128．对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是（ ）A ．12B ．24C ．1188D ．11769．从1，2，3，4四个数中任取一个数作为十位上的数字，再从2，3，4三个数中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是3的倍数的概率是（ ） A ．14B ．13C ．512D ．2310．，cos45°，π，0，17五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．先后随机抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次掷出的点数记为a ，第二次掷出的点数记为c ，则使关于x 的一元二次方程260ax x c ++=有实数解的概率为（ ） A ．49B ．1736C ．12D ．193612．已知数据：117，2π1-，0．其中无理数出现的频率为（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8二、填空题13．已知数据：12π，0，其中无理数出现的频率为_____． 14．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是__________．15．有六张大小形状相同的卡片，分别写有1～6这六个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则a的值使得关于x的分式方程26122 axx x--=--有整数解的概率为_____．16．小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写下的数是__________．17．一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____．18．三张完全相同的卡片，正面分别标有数字0，1，2，先将三张卡片洗匀后反面朝上，随机抽取一张，记下卡片上的数字m，放置一边，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记下卡片上的数字n，则满足关于x的方程x2+mx+n＝0有实数根的概率为______．19．对一批防PM2.5口罩进行抽检，经统计合格口罩的概率是0.9，若这批口罩共有2000只，则其中合格的大约有__只．20．某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：该射手击中靶心的概率的估计值是______(精确到0.01)．三、解答题21．如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形的数）．（1）小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是______________．（2）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是5的概率．22．一个袋子内装有质地大小完全相同的四个小球，分别标记数字1,2,3,4．下图是一个正六边形棋盘，现通过摸球的方式玩跳棋游戏，规则是：从袋子内随机取出一个小球，当计算完袋子内其余三个小球上的数字之和记为n后将小球放回．然后从下图中的A点开始沿着逆时针方向连续跳动n个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．()1随机摸球一次，则棋子跳动到点E处的概率是．()2随机摸球两次，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点D处的概率．23．从2名男生和2名女生中随机抽取上海迪斯尼乐园志愿者．（1）抽取1名，恰好是男生的概率是；（2）抽取2名，用列表法或画树状图法求恰好是1名男生和1名女生的概率．24．某校合唱团为了开展线上“同唱一首赞歌”活动，需招收新成员，小东、小海、小富、小美四名同学报名参加了应聘活动，其中小东、小海来自八年级，小富、小美来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为___________；（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．25．在一个不透明的布袋里装有3个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字为1、2、3（1）随机从布袋中一次摸出两个乒乓球，写出两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是_________；（2）随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，请用列表或画树状图的方法求出两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率．26．一个不透明的口袋中装有三个除所标数字外完全相同的小球，小球上分别标有数字1,0,1-．小丽先从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为x，不放回，再从袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为y，设点M的坐标为(),x y．（1）请写出点M所有可能的坐标；（2）求点M在一次函数y x=-图象上的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，可以计算出摸到黄球和白球的概率和为1−0.5＝0.5，由此可估计到布袋中的三种球可能共有48个，则利用概率公式即可得出结论．【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.5左右，∴摸到黄球和白球的概率和为1−0.5＝0.5．则布袋中的三种球可能共有：168480.5+=个，∴摸到黄球的概率约为：161483=．故选：C．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是掌握频率和概率的关系及概率的计算方法．2．A解析：A【分析】先求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．【详解】∵图中共有15个方格，其中黑色方格6个，∴黑色方格在整个方格中所占面积的比值=52=，165∴最终停在阴影方砖上的概率为2.5故选A.【点睛】此题考查几何概率，解题关键在于掌握计算公式.3．B解析：B【分析】连接BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再根据正方形的性质得到AE=BE=CE，于是得到阴影部分的面积=△BCE的面积，然后用△BCE的面积除以正方形ABCD的面积可得到镖落在阴影部分的概率．【详解】解：连接BE，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，而AC为正方形的对角线，∴AE=BE=CE，∴弓形AE的面积=弓形BE的面积，∴阴影部分的面积=△BCE的面积，∴镖落在阴影部分的概率=1．4故选：B．【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率=这个事件所对应的面积除以总面积．也考查了正方形的性质．4．C解析：C【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5， 所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝59． 故选C ． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．5．A解析：A 【分析】设大正方形的边长为2a ，从而可得大正方形的面积为24a ，先求出小正方形绿色草坪的面积，再根据简单事件的几何概率公式即可得． 【详解】设大正方形的边长为2a ，则大正方形的面积为22(2)4a a =， 编号为1,2,3,4的地块是四个全等的等腰直角三角形空地，∴等腰直角三角形的直角边均相等，且长为a ，22a a 2a +=， 2a ，∴小正方形绿色草坪的面积为22(2)2a a =，则跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率是222142a P a ==， 故选：A ． 【点睛】本题考查了简单事件的几何概率计算公式、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，根据全等三角形的性质和勾股定理求出小正方形绿色草坪的边长是解题关键．6．C解析：C 【分析】列举出所有情况，看点数之和等于4的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】 解：如图所示： 1234561 11 21 31 41 51 61212223242526231323334353634142434445464515253545556561626364656664的情况为13，22，31共3种，于是P（点数之和等于4）=31= 3612．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法与运用，由于两次实验出现的情况较多，用列表法较好．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．B解析：B【分析】画树状图得出所有情况数和遇到两次红灯的情况数，根据概率公式即可得答案．【详解】根据题意画树状图如下：共有8种等情况数，其中遇到两次红灯的有3种，则遇到两次红灯的概率是38，故选：B．【点睛】本题考查利用列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；根据树状图得到遇两次红灯的情况数是解题关键．8．B解析：B【分析】由表中数据可判断合格衬衣的频率稳定在0.98，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，从而得出结论．解：根据表中数据可得任抽取一件衬衣是合格品的概率为0.98，次品的概率为0.02，出售1200件衬衣，其中次品大约有1200×0.02=24（件），故选：B．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．9．B解析：B【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的两位数是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，组成的两位数是3的倍数的有4种情况，∴组成的两位数是3的倍数的概率是：41123=．故选：B【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．C解析：C【分析】先确定这5个数中无理数的个数，再利用概率公式计算得出答案．【详解】∵cos45°=22是无理数，∴2，cos45°，π，0，172，cos45°，π，共3个，∴2，cos45°，π，0，17五个数中，随机抽取一个数，抽到无理数的概率是35.故选C.此题主要考查了概率公式，正确得出无理数的个数是解题关键．11．B解析：B【分析】列表展示所有36种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到△≥0，从而得到使得一元二次方程ax2-6x+c=0有相等实数解的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：列表得：∵b=6，当b2-4ac≥0时，有实根，即36-4ac≥0有实根，∴ac≤9，∴方程有实数根的有17种情况，∴方程有实数根的概率=17，36故选：B．【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率，一元二次方程实根的情况，是一个综合题，解题的关键是对于一元二次方程的解的情况的分析，解题时有一定难度．12．B解析：B【分析】根据无理数的定义和“频率=频数÷总数”计算即可．【详解】-，共2个解：共有5个数，其中无理数有，2π1所以无理数出现的频率为2÷5=0.4．故选B．【点睛】此题考查的是无理数的判断和求频率问题，掌握无理数的定义和频率公式是解决此题的关键．二、填空题13．【分析】把每个数据进行化简对最简结果进行有理数无理数的甄别后根据频率意义计算即可【详解】∵=2∴0是有理数π是无理数∴无理数出现的频率为故答案为：【点睛】本题考查了频率的意义熟练掌握频率的数学意义是解析：25．【分析】把每个数据进行化简，对最简结果进行有理数，无理数的甄别，后根据频率意义计算即可．【详解】∵=2，∴12，0π是无理数，∴无理数出现的频率为25．故答案为：25．【点睛】本题考查了频率的意义，熟练掌握频率的数学意义是解题的关键．14．【分析】直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；【详解】设每个小正方形格子的长度都是1∴黑色区域的面积=6游戏板的面积=16所以击中黑色区域的概率为故答案为：【点睛】本题考查了几何概率：求概率时解析：38【分析】直接利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可；【详解】设每个小正方形格子的长度都是1，∴黑色区域的面积=6，游戏板的面积=16，所以击中黑色区域的概率为63= 168，故答案为：38．【点睛】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率，计算方法是长度比、面积比、体积比等．15．【分析】先把分式方程化为整式方程解整式方程得到x ＝且x≠2利用有理数的整除性得到a ＝2或3然后根据概率公式求解【详解】把分式方程去分母得ax ﹣2﹣（x ﹣2）＝6∴（a ﹣1）x ＝6∵分式方程有整数解∴ 解析：13． 【分析】 先把分式方程化为整式方程，解整式方程得到x ＝61a -且x ≠2，利用有理数的整除性得到a ＝2或3，然后根据概率公式求解．【详解】 把分式方程26122ax x x --=--去分母得ax ﹣2﹣（x ﹣2）＝6， ∴（a ﹣1）x ＝6，∵分式方程有整数解， ∴x ＝61a -且x ≠2， ∴a ＝2或3， ∴a 的值使得关于x 的分式方程26122ax x x --=--有整数解的概率＝13． 故答案为13． 【点睛】 本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．分式方程的增根是令分母等于0的未知数的值，不是原分式方程的解．也考查了概率公式．16．2335或2344【分析】首先假设这四个数字分别为：ABCD 且A≤B≤C≤D 进而得出符合题意的答案【详解】解：四个数只能是2335或2344理由：设这四个数字分别为：ABCD 且A≤B≤C≤D 故A+B解析：2，3，3，5或2，3，4，4【分析】首先假设这四个数字分别为：A ，B ，C ，D 且A≤B≤C≤D ，进而得出符合题意的答案．【详解】解：四个数只能是2，3，3，5或2，3，4，4理由：设这四个数字分别为：A ，B ，C ，D 且A≤B≤C≤D ，故A+B=5，C+D=8，（1）当A=1时，得B=4，∵A≤B≤C≤D ，∴B=C=D=4，不合题意舍去，所以A≠1，（2）当A=2时，得B=3，（I）当C=B=3时，D=5，（II）当C＞B时，∵A≤B≤C≤D，∴C=D=4，故综上所述：这四个数只能是：2，3，3，5或2，3，4，4．故答案为：2，3，3，5或2，3，4，4．【点睛】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键．17．【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数最后由概率公式计算即可【详解】解：分别从标有数字123的3张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取解析：1 3【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可．【详解】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为：31 93 ．故答案为13．【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本题的关键．18．【分析】首先根据题意画出树状图然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+mx+n＝0有实数根的情况再利用概率公式即可求得答案【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果满足关于x的方程x解析：1 2【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+mx+n＝0有实数根的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+mx+n＝0有实数根的有3种情况，∴满足关于x的方程x2+mx+n＝0有实数根的概率为：36＝12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式与概率，掌握画树状图求得等可能的结果数以及概率公式，是解题的关键．19．【分析】用这批口罩的只数×合格口罩的概率列式计算即可得到合格的只数【详解】2000×09＝2000×09＝1800（只）故答案为:1800【点睛】本题主要考查了用样本估计总体生产中遇到的估算产量问题解析：【分析】用这批口罩的只数×合格口罩的概率,列式计算即可得到合格的只数．【详解】2000×0.9＝2000×0.9＝1800（只）．故答案为:1800．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体,生产中遇到的估算产量问题,通常采用样本估计总体的方法．20．90【分析】根据表格中实验的频率然后根据频率即可估计概率【详解】解：由击中靶心频率都在090上下波动∴该射手击中靶心的概率的估计值是090故答案为：090【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想解题解析：90．【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【详解】解：由击中靶心频率都在0.90上下波动，∴该射手击中靶心的概率的估计值是0.90．故答案为：0.90．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．三、解答题21．（1）13；（2）29【分析】（1）利用概率公式计算可得；（2）先画树状图展示所有9个等可能的结果数，再找出两个数字之和为5的结果数，由概率公式求解即可．【详解】解：（1）∵转盘被平均分成3个扇形，分别标有1、2、3三个数字，转盘中有3的数字为1个，∴小王转动一次转盘指针指向3所在扇形的概率是13，故答案为：13；（2）画树状图为：共有9个等可能的结果数，其中两个数字之和为5的结果数为2个，∴两个数字之和为5的概率＝29．【点睛】本题考查了列表法与树状图，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；画出树状图是解题的关键．22．()11 4；()214【分析】（1）当数字和为8时，可以到达点E，根据概率公式计算即可；（2）利用列表法统计即可；【详解】解：（1）随机取出-个小球,剩余三个小球之和为1+2+3=6,1+2+4=7,1+3+4=8,2+3+4=9,∴有6,7,8,9四种等可能的情况∵从 A 点开始沿着逆时针方向连续跳动(2+6N)个顶点才能达到点 E ,其中 N 为正整数.∴当和为8时棋子跳到E处则棋子跳到点E处的概率为1 4故答案为：14 ()2列表如下： 6 7 8 96()6,6 ()7,6 ()8,6 ()9,6 7 ()6,7 ()7,7 ()8,7 ()9,78 ()6,8 ()7,8 ()8,8()9,8 9()6,9 ()7,9 ()8,9 ()9,9 15，有4种情况，所以棋子最终落在点D 处的概率，P （落在D 处）41164== 【点睛】 本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ． 23．（1）12；（2）图表见解析，P=23 【分析】（1）根据题意，抽取1名志愿者总共有4种可能，男生有2人，利用概率公式即可求解抽取1名恰好是男生的概率；（2）根据题意列表，可分别得到总共有多少种等可能的结果与符合条件的结果，根据概率公式即可求解．【详解】（1）抽取1名，恰好是男生的概率为：2142P ==， （2）列表得：由表格可知：总共有12种等可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的结果有8种结果，所以抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率为：82123P==．【点睛】本题考查了概率的求解，解题关键是准确列出表格，得到所有的等可能结果，再从中选取符合条件的结果，然后利用概率公式计算．24．（1）14；（2）()16P=两名均来自九年级【分析】（1）根据概率的意义求解；（2）通过树状图分别计算总的可能性与两名同学均来自九年级的可能性，然后根据概率的意义求解即可．【详解】解：（1）∵随机抽取一名同学的结果可能性有4种，恰好抽到小东同学的可能性为1种，∴概率为1÷4=14，故答案为14；（2）画树状图如下：由上可知，总共有12种可能结果，其中两名均来自九年级的结果有2种：（小富，小美）、（小美，小富），所以所求概率为21126P==．【点睛】本题考查概率的应用，熟练掌握概率的意义和计算是解题关键．25．（1）13；（2）23【分析】（1）用列举法展示所有可能的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两个兵乒球上的数字之和不小于4的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）可能出现的结果有：()12，，()13，，()23，，共3种， 两个数字都是奇数的只有()13，一种，∴两个乒乓球上的数字都是奇数的概率是13， 故答案为：13； （1）画树状图如下：一共有9种可能的结果，其中大于或等于4的有6种，∴两个乒乓球上的数字之和不小于4的概率为：6293=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率． 26．（1）点M 的坐标为：（-1,0）或（-1，1）或（0，-1）或（0,1）或（1，-1）或（1,0）；（2）2163= 【分析】（1）列树状图解答；（2）确定点M 在一次函数y x =-图象上的坐标为：（-1,1）或（1，-1），根据概率公式计算即可．【详解】（1）列树状图：共有6种等可能的结果：（-1,0），（-1，1），（0，-1），（0,1），（1，-1），（1,0），∴点M 的坐标为：（-1,0）或（-1，1）或（0，-1）或（0,1）或（1，-1）或（1,0）； （2）点M 在一次函数y x =-图象上的坐标为：（-1,1）或（1，-1），∴点M 在一次函数y x =-图象上的概率为2163=． 【点睛】 此题考查列举法求事件的概率，正确理解概率事件中“放回”或“不放回”事件是解此类问题的关键．。

北师大版九年级上册第三章概率的进一步认识知识归纳及例题【学习目标】1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 【知识点梳理】要点一、用树状图或表格求概率 1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 知识点诠释：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 知识点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ； （3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=. 知识点二、用频率估计概率 1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值.概率：事件A 的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 知识点诠释：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量nm nm重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.知识点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.类型一、用树状图或表格求概率1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概率为. 【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少. 举一反三：【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】C.【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（ ）. A ．BC D【答案】 D.2. （2016•大庆）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．13141234141312143413【答案】C.【解析】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况， ∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C ．【总结升华】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三：【变式1】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D.【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P （停在阴影部分）=. 类型二、频率与概率3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率等于概率 B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 试验得到的频率与概率不可能相等【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的. 【答案】B.【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近. 【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.1918291323类型三、利用频率估计概率4. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格：落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2) 0.70；(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.70；(4) 0.70×360°=252°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．5.（2015春•泰兴市期末）在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．（1）试求出a的值；（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．【思路点拨】（1）根据频率估计概率，可得到摸到红球的概率为20%，然后利用概率公式计算a的值；（2）根据概率公式分别计算出摸出一个球是红球或白球或蓝球的概率，然后根据概率的大小判断这三个事件发生的可能性的大小．【答案与解析】解：（1）a=4÷20%=20；（2）在一个暗箱里放有20个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，蓝求有6个，所以从中任意摸出一个球，该球是红球的概率=20%；该球是白球的概率==50%；该球是蓝球的概率==30%，所以可能性从小到大排序为：①③②．【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”. 举一反三：【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .【变式2】一只箱子里原有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率． （2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为，则需要再加入几个红球？ 【答案】类型四、概率的简单应用6. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【思路点拨】（1）问属于古典概型；（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，计算小王和小李各自取胜的概率，再去做判断. 【答案与解析】（1）P （抽到牌面数字４）=；（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：53一共有9种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.【总结升华】列表法可以不重不漏地列出所有可能的结果.举一反三：【变式】（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】解：（1）根据题意画图如下：∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∵P（小明获胜）==；（2）∵P（小明获胜）=，∵P（小东获胜）=1﹣=，∵这个游戏不公平．23。

九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》测试卷-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为（）A.18B.20C.24D.282.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④.随机摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（）A.116B.316C.14D.5163.如图，是一个可以自由转动的转盘，它被分成三个面积相等的扇形，任意转动转盘两次，当转盘停止后，指针所指颜色相同的概率为（）A. 13B.23C.19D.164.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：每批粒数n则绿豆发芽的概率估计值是（）A. 0.96B. O.95C. 0.94D. 0.905.从1，2，3 ，4中任取两个不同的数，其乘积大于4的概率是（）A. 16B.13C.12D.236.如图，直线a//b，直线C与直线a、b都相交，从所标识的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是（）A. 35B.25C.15D.237.某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在- -个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个小球（每一次摸出后不放回）.某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率为（）A. 13B.12C.23D.348.从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为（）A. 12B.13C.14D.159.掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（）A.118B.136C.112D.11510.一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-2，1 ，4.随机摸出一个小球（不放回），其数字为p，随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2 +p x+q=0有实数根的概率是（）A. 14B.12C.13D.23二、填空题（每题4分，共28分）11.一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个，绿球1个，白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是_____________.12.在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同.小明从这个袋子中随机模出一球，放回.通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有_____个.13.甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为5、6、7的三张扑克牌中，随机抽取-张，放回后，再随机抽取--张若所抽的两张牌面数字的积为奇数，则甲获胜；若所抽的两张牌面数字的积为偶数，则乙获胜，这个游戏______ （选填“公平”或“不公平”）.14.在x² 2xy□y²的空格□中，分别填上“+”或“-" ，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是_______.15.从-2，-1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是___________.16.三名同学同一天生日，她们做了一个游戏：买来3张相同的贺卡，各自在其中一张内写上祝福的话，然后放在一起，每人随机拿一张，则她们拿到的贺卡都不是自己所写的概率是_____________.17.一口袋中装有四根长度分别为1c m，3c m，4c m和5c m的细木棒，小明手中有一根长度为3c m的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，则这三根细木棒能构成等腰三角形的概率为___________.三解答题（一）（每题6分，共18分）18.甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛，求下列事件的概率.（1）已确定甲打第一场，再从其余3名同学随机选取1名，恰好选中乙同学；（2）随机选取2名同学，其中有乙同学.19. 一个不透明的布袋里装有2个白球、1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为1 2 .（1）布袋里红球有多少个?（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率。

第三章概率的进一步认识一、单选题1．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A．12B．13C．23D．14【答案】D【解析】试题分析：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算概率．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=14．考点：概率的计算．2．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为()A．15B．14C．13D．12【答案】C【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：41 123=．故选：C．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任可其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．16个B．20个C．25个D．30个【答案】A【解析】试题分析：由题意可知，摸到黄球的频率是0．2，可以近似的看成摸到黄球的概率是0．2，设红球有x个，可得，解得x=16，即盒子中大约有16个红球，故答案选A．考点：利用频率估计概率．4．如图的两个圆盘中均有5个数字，同时旋转两个圆盘，指针落在某一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在奇数上的概率是（）A．425B．625C．1025D．1925【答案】A【解析】试题解析：列表如下：所有等可能的情况有25种，其中两个指针同时落在偶数上的情况有6种，所以两个指针同时落在偶数上得概率=6. 25故选B.5．小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（）A．316B．14C．516D．716【答案】C【解析】【分析】先求出阴影部分的面积，再求出大正方形的面积，最后根据阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．【详解】解：∵阴影部分的面积=5个小正方形的面积，大正方形的面积=16个小正方形的面积，∵阴影部分的面积占总面积的5 16，∵飞镖落在阴影区域的概率是5 16，故选C．【点睛】此题主要考查了几何概率的求法，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是求出阴影部分的面积．6．下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是（）A．14B．12C．34D．1【答案】C【解析】本题考查概率的计算和中心对称图形的概念,根据中心对称图形的概念可以判定∵∵∵是中心对称图形,4个图形任取一个是中心对称的图形的概率为P=34,因此本题正确选项是C.7．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率【答案】C【解析】解∵A∵掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误；B∵掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；C∵从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确；D∵任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误．故选C∵8．箱子内装有53个白球和2个红球，小颖打算从箱子内抽球，以每次抽出一球后将球放回的方式抽53次．若箱子内每个球被抽到的机会相等，且前52次中抽到白球51次及红球1次，则第53次抽球时，小颖抽到红球的概率是（）A．12B．152C．253D．255【答案】D【解析】【分析】红球的个数除以球的总数即为所求的概率．【详解】∵一个盒子内装有大小、形状相同的53＋2＝55个球，其中红球2个，白球53个，∵抽到红球的概率是：2P=55，故选D．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键.9．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9【答案】D【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为35，不符合题意；B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为12，不符合题意；C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为14，不符合题意；D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为13，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10．下列代数式：20224x x x x +++中，若任取一个代数式，则抽取的代数式对于任意的实数x 均有意义的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【解析】【分析】根据分式有意义，分母不等于0，二次根式的被开方数大于等于0，零指数幂的底数不等于0，对各小题分析判断，再运用概率公式求出答案即可．【详解】当4x >当0x =时，0x 没有意义，223x x ++，整式，对于任意的实数x 均有意义，，对于任意的实数x 均有意义，24x +，由于211x +≥，244x +≥，对于任意的实数x 均有意义，∵5个代数式中，对于任意的实数x均有意义的有3个，∵抽取的代数式对于任意的实数x均有意义的概率为35．故选：C．【点睛】本题考查了概率公式以及分式、零指数幂、二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．11．在一个不透明的布袋中，有红色、黑色、白色球共40个，它们除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则布袋中白色球的个数可能是（）A．24B．18C．16D．6【答案】C【解析】【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数×频率＝频数计算白球的个数．【详解】∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，∵摸到白球的频率为1−15%−45%＝40%，故口袋中白色球的个数可能是40×40%＝16个．故选：C．【点睛】大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是算出摸到白球的频率．12．某足球运动员在同一条件下进行射门，结果如下表所示：则该运动员射门一次，射进门的概率为()A．0.7B．0.65C．0.58D．0.5【答案】D【解析】【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【详解】解：由击中靶心频率mn分别为：0.65∵0.7∵0.58∵0.52∵0.51∵0.5∵可知频率都在0.5上下波动，所以估计这个运动员射击一次，击中靶心的概率约是0.5∵故选D∵【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．二、填空题13．一个不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出2个球，摸出两个颜色不同的小球的概率为_____．【答案】1 2【解析】【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有12种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，∵摸出两个颜色不同的小球的概率为61 122，故答案为：12．【点睛】本题考查随机事件的概率，可用列表法和树状图法来解，属于中考常考题型．14．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后恰好一次正面向上,一次正面向下的概率是___________.【答案】1 2【解析】【分析】【详解】解：先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后恰好一次正面向上,一次正面向下的概率是：11111.22222 P=⨯+⨯=故答案为1 . 215．某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：根据表中数据，估计这种幼树移植成活率的概率为（精确到0.1）．【答案】0.9【解析】【分析】对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．【详解】∵0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902x0.97++++++=≈，∵这种幼树移植成活率的概率约为0.9．故答案是：0.916．小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球3000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.7附近波动，据此可以估计黑球的个数约是____.【答案】2100个【解析】因为摸到黑球的频率在0.7附近波动，所以摸出黑球的概率为0.7，再设出黑球的个数，根据概率公式列方程解答即可．解：设黑球的个数为x，∵黑球的频率在0.7附近波动，∵摸出黑球的概率为0.7，即x/3000=0.7，解得x=2100个．大量反复试验时，某某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．17．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____∵【答案】1 3∵【解析】【分析】由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可∵【详解】解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=21 =63∵故答案为1 3∵【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．18．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．该事件最有可能是____（填写一个你认为正确的序号）．∵掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；∵掷一枚硬币，正面朝上；∵暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．【答案】∵【解析】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即13左右，∵中向上一面的点数是2的概率为16，不符合题意；∵中掷一枚硬币，正面朝上的概率为12，不符合题意；∵中从中任取一球是红球的概率为13，符合题意∵故答案为∵∵19．一个不透明的袋子中装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一球后放回，在任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是【答案】1 3 ,【解析】所出现的情况有6种：（1,1）（1,3）（1,5）（3,3）（3,5）（5,5）．所标数字之和为6的有2种，即（1,5）（3,3）．所以概率为2163 P==20．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是________∵【答案】10【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】由题意可得，2n=0.2∵解得，n=10∵故估计n大约有10个．故答案为10∵【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．三、解答题21．在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】（1）13；（2）不公平．【解析】试题分析：（1）画出树状图，再根据概率公式即可得出答案；（2）分别求出小明和小东的概率，再进行比较即可得出答案．试题解析：（1）根据题意画图如下：∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∵P（小明获胜）=412=13；（2）∵P（小明获胜）=13，∵P（小东获胜）=113=23，∵这个游戏不公平．考点：1．游戏公平性；2．列表法与树状图法．22．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1∵2∵3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．【答案】49．【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可．【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，∵两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49．【点睛】本题考查列表法与树状图法．23．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）完成上表；（2）“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）；（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？【答案】（1）0.59，0.58；（2）0.6；（3）黑球8个，白球12个．【解析】【分析】（1）将m和n的值分别代入求解即可得出答案；（2）根据表中数据，取平均值即可得出答案；（3）根据总数和摸到白球的概率求出白球的个数，再用总数减去白球的个数，即可得出答案.【详解】（1）填表如下：（2）“摸到白球”的概率的估计值是0.60；（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝20×0.6＝12（个），黑球20﹣12＝8（个）．答：黑球8个，白球12个．【点睛】本题考查的是数据统计，难度系数较低，解题关键是用样本概率估计总体概率.24．如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．【答案】（1）23；（2）见解析，13【解析】【分析】（1）由标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，利用概率公式计算可得；（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是3的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，∵指针所指扇形中的数字是奇数的概率为23．故答案为：23；（2）列表如下：由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，所以这两个数字之和是3的倍数的概率为31 93 =．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．在一个不透明的布袋里装有4个标有1∵2∵3∵4的小球，它们的形状、大小完全相同，李强从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，王芳在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标()x,y()1画树状图列表，写出点M 所有可能的坐标；()2求点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率．【答案】()1见解析；()124∵ 【解析】【分析】(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；(2)找出点(x∵y)在函数y=x+1的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案．【详解】 ()1画树状图得：共有12种等可能的结果()1,2∵()1,3∵()1,4∵()2,1∵()2,3∵()2,4∵()3,1∵()3,2∵()3,4∵()4,1∵()4,2∵()4,3∵()2在所有12种等可能结果中，在函数y x 1=+的图象上的有()1,2∵()2,3∵()3,4这3种结果， ∴点()M x,y 在函数y x 1=+的图象上的概率为31124=∵ 【点睛】 本题考查的是用列表法或树状图法求概率，一次函数图象上点的坐标特征.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．26．为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生.某镇统计了该镇今年1-5月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：（1）某镇今年1-5月新注册小型企业一共有家.请将折线统计图补充完整.（2）该镇今年3月新注册的小型企业中，只有2家是餐饮企业.现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率.【答案】（1）16，将折线统计图补充完整见解析；（2）1 6 .【解析】试题分析：（1）根据3月份有4家，占25%，可求出某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有的家数，再求出1月份的家数，进而将折线统计图补充完整；（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业，根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙2家企业恰好被抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：解：（1）根据统计图可知，3月份有4家，占25%，所以某镇今年1﹣5月新注册小型企业一共有：4÷25%=16（家），1月份有：16﹣2﹣4﹣3﹣2=5（家）．折线统计图补充如下：故答案为16；（2）设该镇今年3月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业．画树状图得：∵共有12种等可能的结果，甲、乙2家企业恰好被抽到的有2种，∵所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率为212=16．考点：列表法与树状图法；扇形统计图；折线统计图．27．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请填出表中所缺的数据；（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01）（3）请据此推断袋中白球约有只．【答案】（1）填表见解析（2）0.60（3）0.58，484；0.60；12【解析】试题分析：（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可；（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数.试题解析：（1）填表如下：（2）答案为：0.60；（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）．故答案为0.58，484；0.60；12．。