专题 概率的进一步认识章末重难点题型(举一反三)

专题6.1 概率初步【九大题型】【北师大版】【题型1 确定事件与随机事件】 (1)【题型2 判断事件发生的可能性的大小】 (2)【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】 (3)【题型4 频率与概率的关系】 (3)【题型5 求某事件的频率】 (5)【题型6 由频率估计概率】 (5)【题型7 频率估计概率的综合运用】 (6)【题型8 根据概率公式球概率】 (9)【题型9 几何概率】 (9)【题型1 确定事件与随机事件】【例1】（2022秋•安次区校级月考）下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是（）A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，1﹣6点数朝上的可能性D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性【变式11】（2022秋•安次区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生【变式12】（2022•武昌区模拟）下列事件中，一定是不可能事件的是（）A．掷一次骰子，向上一面的数字是3B．通常温度降到0℃以下，纯净水结冰C．度量一个三角形的内角的度数，其和为360°D．某次抽奖活动中奖的概率为1，小明买100张奖券，可能会中奖100【变式13】（2022•兰考县二模）下列说法正确的是（）A．“任意画一个矩形是轴对称图形”是不可能事件B．“一名射击运动员射击一次正中靶心”是必然事件C．“明天会下雨”是随机事件D．“两个整数的和一定大于0”是必然事件【题型2 判断事件发生的可能性的大小】【例2】（2022春·天津·九年级期末）某校艺术节的乒乓球比赛中，小东同学顺利进入决赛．有同学预测“小东夺冠的可能性是80%”，则对该同学的说法理解最合理的是（）A．小东夺冠的可能性较大B．如果小东和他的对手比赛10局，他一定会赢8局C．小东夺冠的可能性较小D．小东肯定会赢【变式21】（2022·北京顺义·八年级统考期末）从一副普通的54张的扑克牌中随意抽出一张，有4个事件：①抽到大王；②抽到小王；③抽到2；④抽到梅花．则这4个事件发生的可能性最大的是（）A．①B．②C．③D．④【变式22】（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）必然事件发生的概率是____．【变式23】（2022秋·陕西宝鸡·七年级统考期末）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色．估计各事件的可能性大小，完成下列问题：（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（填写序号）（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列：．【题型3 改变条件使事件发生的可能性相同】【例3】（2022春·江苏镇江·九年级统考期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于______．【变式31】（2022秋·江苏·八年级专题练习）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．（1）会出现哪些可能的结果？（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？【变式32】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，(1)会出现哪些可能的结果？(2)事先能确定摸出的一定是红球吗？(3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？(4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？【变式33】（2022春·九年级单元测试）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．(1)摸到红球是不可能的；(2)摸到红球是必然的；(3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．【题型4 频率与概率的关系】【例4】（2022春·九年级课时练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（）A．可能有50次反面朝上B．每两次必有1次反面朝上C．必有50次反面朝上D．不可能有100次反面朝上【变式41】（2022秋·山西运城·七年级统考期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______．①频率就是概率②频率是客观存在的，与试验次数无关③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率④概率是随机的，在实验前不能确定【变式42】（2022春·北京西城·九年级北京育才学校校考期末）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（）A．nm 的值一定是12B．nm 的值一定不是12C．m越大，nm 的值越接近12D．随着m的增加，nm 的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性【变式43】（2022春·云南红河·九年级统考期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（）．下面有四个推断：①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于0.890；②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵．A．①②B．①④C．②③D．②④【题型5 求某事件的频率】【例5】（2022春·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【变式51】（2022春·浙江舟山·九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（）A．2B．3C．5D．8，√4，−√5，2π−1，0．其中无理数出现的频率为【变式52】（2022春·九年级课时练习）已知数据：117（）A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8【变式53】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______．【题型6 由频率估计概率】【例6】（2022春·陕西榆林·九年级校考阶段练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，则刚向其中放入了4个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，若摸球100次，其中20次摸到黑球，则盒中大约有白球（）A．12个B．16个C．20个D．24个【变式61】（2022春·浙江宁波·九年级校联考期中）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：则a的值最有可能是（）A．3680B．3720C．3880D．3960【变式62】（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表：如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01）【变式63】（2022春·全国·九年级专题练习）有两个正方体的积木，如图所示：下面是淘气掷200次积木的情况统计表：根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是___号积木，请简要说明你的判断理由__．【题型7 频率估计概率的综合运用】【例7】（2022秋·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球个；（3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球个或减少黑球个【变式71】（2022秋·江苏·八年级专题练习）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：（1）完成上述表格：a=______；b=______；（2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1）（3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？【变式72】（2022·福建厦门·厦门一中校考一模）某水果公司以3元/kg的成本价新进10000kg柑橘，如果公司希望这批柑橘能获得利润6000元，已知柑橘损坏率统计表如下，请你填写最后一栏数据，完成此表：(1)损坏率的概率约是多少，并说明理由(保留小数点后一位)(2)在出售柑橘(去掉损坏的柑橘)时，确定大约定价多少合适？【变式73】（2022·江西南昌·二模）某校为了调查学生对卫生健康知识，特别是疫情防控下的卫生常识的了解，现从九年级1000名学生中随机抽取了部分学生参加测试，并根据测试成绩绘制了如下频数分布表和扇形统计图(尚不完整)．请结合图表信息完成下列各题．（1）表中a的值为_____，b的值为______；在扇形统计图中，第1组所在扇形的圆心角度数为______°；（2）若测试成绩不低于80分为优秀，请你估计从该校九年级学生中随机抽查一个学生，成绩为优秀的概率．（3）若测试成绩在60分以上(含60分)均为合格，其他为不合格，请你估计该校九年级学生中成绩不合格的有多少人．【题型8 根据概率公式球概率】【例8】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期末）掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概事是（）A．13B．15C．16D．23【变式81】（2022秋·福建·九年级统考期末）某班级共有20位女同学和22位男同学，将每位同学的名字分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．老师从盒中随机取出1张纸条，抽到男同学名字的概率是________．【变式82】（2022春·贵州贵阳·七年级统考期末）一个不透明的口袋里装有2个红球，3个白球，5个黄球，这些球除颜色外都相同．小星和小红做摸球游戏．(1)小星从袋中任意摸出一球，求他摸到红球的概率；(2)小红认为口袋里共有三种颜色的球，所以从袋中任意摸出一球，摸到红球、白球或黄球的概率都是13，你认为对吗？说明理由．【变式83】（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）在一个不透明的袋中装有红，黑，白三种颜色的球共100个，它们除颜色外其他的都相同，其中红球个数比黑球个数的2倍多6个，已知摸出一个白球的概率是710．(1)求袋中白球的个数；(2)求从袋中摸出一个球是红球的概率；(3)取出5个球（其中没有白球）后，求从剩余的球中摸出一个球是白球的概率．【题型9 几何概率】【例9】（2022春·浙江杭州·九年级期末）计算机的“扫雷”游戏是在9×9个小方格的雷区中，随机埋藏着地雷，且每个小方格最多能埋藏1颗地雷．如图，小明某次游戏时随机点开一个方块所显示的数字是“2”，它表示与这个方格相邻的8个小方格中共埋藏着2颗地雷，则小明接下来在数字2的周围随机点开一个方块，踩中地雷的概率为________．【变式91】（2022秋·广东茂名·九年级统考期末）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是______．【变式92】（2022秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是14，则涂上红色的小扇形有________个．【变式93】（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，某数学活动小组自制一个飞镖游戏盘，游戏盘由大小相等的小正方格子构成，若向游戏盘随机投掷一枚飞镖，投掷在阴影区域的概率是（）A．14B．13C．12D．23。

第三章概率的进一步认识单元整理一．单元目标整理1.了解一步实验与两步实验在概率求解方法上的区别，会运用列举法，树状图或表格列举所有可能事件的结果。

2.理解放回实验与不放回实验的区别，能分别运用树状图或表格列举出放回实验和不放回实验所出现的所有可能结果。

3.能够将不等可能性事件转化为等可能性事件，从而利于树状图或表格列举所有可能结果。

4.理解当实验次数足够大时，频率稳定与理论概念，并能够运用其解决实际问题。

二．基础知识过关练1.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是()A．23B．12C．13D．192.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A.14B.13C.12D.233.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为()A．14B．23C．13D．3164.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A. 13B.14C.16D.185.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．6.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是()A．49B．29C．23D．137.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5 B．10C．12 D．158.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．三．知识结构构建四．能力提升训练1.2020年10月，枣庄市举行“红色故事讲述大赛”活动，峄城区从在比赛中脱颖而出的小贤、小晴、小艺、小志四位同学随机挑选参加市里比赛。

北师大版九年级数学上册期末复习概率的进一步认识专题（附答案）一、单选题1.如图是一次数学活动课上制作的两个转盘，甲转盘被平均分为三部分，上面分别写着9，8，5三个数字，乙转盘被平均分为四部分，上面分别写着1，6，9，8四个数字，同时转动两个转盘，停止转动后两个转盘上指针所指的数字恰好都能被3整除的概率是( )A. B. C. D.2.有两把不同的钥匙和三把锁，其中两把钥匙分别能打开两把锁，且不能打开第三把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是( )A. B. C. D.3.在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，右表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是（）A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.7二、填空题（共2题；共2分）4.某校九年级二班举办主题演讲比赛活动．经过初赛，共有2名男生，3名女生进入决赛．决赛采用随机抽签方式确定选手的出场顺序，前两位出场的选手中，都是男选手的概率是________。

5.在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．则点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为________．三、解答题（共2题；共10分）6.亮亮有3张扑克牌．冬冬有2张扑克牌，扑克牌上的数字如图所示。

两人用这些扑克牌做游戏，他们先分别从自己的扑克牌中随机抽取一张，然后将他们抽出这两张扑克牌上的数字比较大小，数字大的一方获胜。

请用画树状图或列表的方法，求亮亮获胜的概率。

7.有甲乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有0,2,5;乙袋中有3个球，分别标有0,1,4,这6个球除所标数字以外没有任何其他区别.从甲、乙两袋各随机模出1个球，用树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是6的概率.四、综合题8.小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20 (单位：元)的4件奖品。

一、选择题1.有四张背面相同的卡牌，分别标有1，2，3，4．背面朝上，先从中抽取一张，把抽到的卡牌上的数字记为a，再在剩余的卡牌中抽取一张，卡牌上的数字记为b，则点(a,b)在直线y=−x+ 3上方的概率是( )A．12B．23C．34D．562.骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体）一个质地均匀的正方形骰子的六个面分别刻有1至6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点(x,y)落在直线y=−x+5上的概率为( )A．118B．112C．19D．143.设口袋中有5个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，5．现从中随机摸出（同时摸出）二个小球并记下标号，则标号之和大于5的概率是( )A．310B．35C．45D．7104.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )A．16B．20C．24D．285.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( )A．20B．30C．40D．506.在做抛硬币试验时，甲、乙两个小组作出折线统计图后发现频率的稳定值分别是50.00%和50.02%，则下列说法错误是( )A．乙同学的试验结果是错误的B．这两种试验结果都是正确的C．增加试验次数可以减小稳定值的差异D．同一个试验的稳定值不是惟一的7.一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1，2，2，4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )A．14B．12C．56D．588.如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形，一质点P由A点出发，沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度，则点P由A点运动到B点的不同路径共有( )A．4条B．5条C．6条D．7条9.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )A．312B．512C．38D．5810.如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是( )A．12B．13C．14D．16二、填空题11.在一个不透明的盒子里装有5个分别标有数字1，2，3，4，5的小球，它们除数字外其余全部相同．现从中任取一球，将小球上的数字记为a，则以1，1，2，a为边的四边形是等腰梯形的概率是．12.在平面直角坐标系中，作△OAB，其中三个顶点分别是O(0,0)，B(1,1)，A(x,y)（−2≤x≤2，−2≤y≤2，x，y均为整数），则所作△OAB为直角三角形的概率是．13.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是．14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：移植的棵数n10001500250040008000150002000030000成活的棵树m86513562220350070561317017580264300.8650.9040.8880.8750.8820.8780.8790.881成活的频率mn估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为．15.有A，B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3；B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．若用(m,n)表示小明取球时m与n的对应值，则使关于x的−n=0有实数根的概率为．一元二次方程x2−mx+1216.为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间)，某部门在同一上班高峰时段对A，B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为；夏老师家正好位于A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从地铁站上车．(填“A”或“B”)17.从甲、乙、丙、丁4名学生中随机抽取2名学生担任数学小组长，则抽取到甲和乙概率为．三、解答题18.李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：(1) 李老师一共调查了多少名同学？(2) C类女生有名，D类男生有名，将下面条形统计图补充完整；(3) 为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．19.某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t（单位：小时），将学生分成五类：A类(0≤t≤2)，B类(2<t≤4)，C类(4<t≤6)，D类(6<t≤8)，E类(t>8)．绘制成尚不完整的条形统计图如图．根据以上信息，解答下列问题：(1) E类学生有人，补全条形统计图；(2) D类学生人数占被调查总人数的%；(3) 从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2<t≤4中的概率．20.如图，有四张正面标有数字−2，3，−1，2，背面颜色一样的卡片，正面朝下放在桌面上，小红从中随机抽取一张卡片记下数字，再从余下的卡片中随机抽取一张卡片记下数字．−23−12(1) 第一次抽到数字2的卡片的概率是；(2) 设第一次抽到的数字为x，第二次抽到的数字为y，点M的坐标为(x,y)，请用树状图或列表法求点M在第三象限的概率．21.为了切实关注、关爱贫困家庭学生，某校对全校各班贫困家庭学生的人数情况进行了统计，以便国家精准扶贫政策有效落实．统计发现班上贫困家庭学生人数分别有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：(1) 求该校一共有多少个班？并将条形图补充完整；(2) 某爱心人士决定从2名贫困家庭学生的这些班级中，任选两名进行帮扶，请用列表法或树状图的方法，求出被选中的两名学生来自同一班级的概率．22.一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，．蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为12(1) 求口袋中黄球的个数．(2) 甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率．23.如图1所示，A，B，C，D，E，F六个小朋友围成一圈（面向圈内）做传球游戏，规定：球不得传给自己，也不得传给左手边的人．若游戏中传球和接球都没有失误．(1) 若由B开始一次传球，则C和F接到球的概率分别是、．(2) 若增加限制条件：“也不得传给右手边的人”．现在球已传到A手上，在下面的树状图2中画出两次传球的全部可能情况，并求出球又传到A手上的概率．24.有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，放在一个口袋中，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．(1) 采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果；(2) 求摸出的两个球号码之和等于5的概率．25.小亮和小颖选用同一副扑克牌中花色为红桃的扑克牌做游戏，游戏规则为：小亮先从中任意抽取一张（不放回），所抽到的牌面数字为2，小颖再从剩余的牌中任意抽取一张（A，J，Q，K分别代表1，11，12，13），如果两人抽取的牌面数字之和为3的倍数，则小颖获胜，求小颖获胜的概率．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】画树状图，得由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中点(a,b)在直线y=−x+3上方的有10种结果，故答案为1012=56．【知识点】树状图法求概率2. 【答案】C【解析】列表如表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由表可知共有36种情况，落在直线y=−x+5上的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)4种情况，所以点(x,y)落在直线y=−x+5上的概率为436=19．【知识点】列表法求概率3. 【答案】B【解析】列表如下：123451——(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)2(1,2)——(3,2)(4,2)(5,2)3(1,3)(2,3)——(4,3)(5,3)4(1,4)(2,4)(3,4)——(5,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)——所有等可能的情况有20种，其中标号之和大于5的情况有12种，则P=1220=35．【知识点】列表法求概率4. 【答案】B【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．根据题意知4a=20%，解得a=20，经检验：a=20是原分式方程的解．故选：B．【知识点】实际应用-其他实际问题、用频率估算概率、分式方程的解法5. 【答案】B【知识点】用频率估算概率6. 【答案】A【解析】A．两试验结果虽然不完全相等，但都是正确的，故错误；B．两种试验结果都正确，正确；C．增加试验次数可以减小稳定值的差异，正确；D．同一个试验的稳定值不是唯的，正确．【知识点】用频率估算概率7. 【答案】D【解析】和为偶数的有10种，共16种，∴概率为1016=58．【知识点】树状图法求概率8. 【答案】B【解析】如图，将各格点分别记为1，2，3，4，5，6，7，画树状图如下：由树状图可知点 P 由 A 点运动到 B 点的不同路径共有 5 种．【知识点】树状图法求概率9. 【答案】B【解析】用列表法将所有可能出现的结果表示如下：所有可能出现的结果共有 12种．红(红,红)(蓝,红)(蓝,红)蓝(红,蓝)(蓝,蓝)(蓝,蓝)红(红,红)(蓝,红)(蓝,红)黄(红,黄)(蓝,黄)(蓝,黄)红蓝蓝上面等可能出现的 12 种结果中，有 5 种情况可以得到紫色，∴ 可配成紫色的概率是512．【知识点】列表法求概率10. 【答案】C【解析】由题图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E ，F ，G ，H 四个，所以小球从E 出口落出的概率是 14．故选C ． 【知识点】树状图法求概率二、填空题 11. 【答案】 25【解析】如图，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =1，过点 D 作 DE ∥AB 交 BC 于 E ， 得平行四边形 ABED ，则 DE =AB =1，BE =AD ．当 2 为上底时，AD =2． 在 △DEC 中， ∵ DE =CD =1， ∴ 0<EC <2， ∴ EC =1，BC =3； 当 2 为下底时，BC =2． 在 △DEC 中，∵ DE =CD =1，EC <BC =2，∴EC=1，BE=1，∴AD=1．即以1，1，2，a为边的四边形是等腰梯形的情况有两种．a的值一共有5种等可能的结果，∴以1，1，2，a为边的四边形是等腰梯形的概率是25．【知识点】树状图法求概率12. 【答案】25【解析】∵点A(x,y)的横、纵坐标满足条件：“−2≤x≤2，−2≤y≤2，x，y均为整数”，并且点A与点O(0,0)和B(1,1)能构成三角形，∴这样的点有20个，其中能构成直角三角形的有8个（如图所示），即(−2,2)，(−1,1)，(1,−1)，(2,−2)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(2,0)，∴所求概率为820=25．【知识点】树状图法求概率13. 【答案】35【解析】如图．−2，−1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4．点P的坐标为(−2,4)，(−1,1)，(0,0)，(1,1)，(2,4)；描出各点：−2<1−√6，不合题意；把x=−1代入解析式得：y1=2，1<2，故(−1,1)在该区域内；把x=0代入解析式得：y2=5，0<5，故(0,0)在边界上，不在区域内；把x=1代入解析式得：y3=6，1<6，故(1,1)在该区域内；把x=2代入解析式得：y4=5，4<5，故(2,4)在该区域内．∴5个点中有3个符合题意，点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是35．【知识点】一元二次方程根的判别式、列表法求概率14. 【答案】0.881【知识点】用频率估算概率15. 【答案】23【解析】画树状图得：共有12种等可能的情况，其中当m，n对应值为(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)时，Δ≥0，原方程有实数根，所以P(Δ≥0)=812=23．【知识点】树状图法求概率、一元二次方程根的判别式16. 【答案】15；B【知识点】用频率估算概率17. 【答案】16【解析】画树形图得：∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P(抽到甲和乙)=212=16．【知识点】树状图法求概率三、解答题18. 【答案】(1) 根据题意得：3÷15%=20（名），答：李老师一共调查了20名同学．(2) 3；1如图所示：(3) 根据题意画图如下：由树状图可得共有6种可能的结果，其中恰好一名男同学和一名女同学的结果有3中，所以恰好是一名男同学和一名女同学的概率是36=12．【解析】(2) C类女生：20×25%−2=3（名），D类男生有20−3−10−5−1=1（人）．【知识点】树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图19. 【答案】(1) 5(2) 36(3) 记0≤t≤2内的两人为甲、乙，2<t≤4内的3人记为A，B，C，从中任选两人有：甲乙、甲A、甲B、甲C、乙A、乙B、乙C、AB、AC、BC这10种可能结果，其中2人做义工时间都在2<t≤4中的有AB、AC、BC这3种结果，∴这2人做义工时间都在2<t≤4中的概率为310．【解析】(1) E类学生有50−(2+3+22+18)=5（人），补全图形如下：(2) D类学生人数占被调查总人数的1850×100%=36%．【知识点】列表法求概率、条形统计图20. 【答案】(1) 14(2) 列表如下：列树状图（略）．可能出现的结果共有12种，并且它们出现的可能性相同．点M(x,y)在第三象限有两种可能结果(−1,−2)，(−2,−1)．∴P(点M在第三象限)=212=16．【知识点】列表法求概率、公式求概率21. 【答案】(1) 该校的班级共有6÷30%=20（个），有2名贫困生的班级有20−5−6−5−2=2（个），补全条形图如图：(2) 根据题意，将两个班级4名学生分别记作A1，A2，B1，B2，列表如下：A1A2B1B2A1A1,A2A1,B1A1,B2A2A2,A1A2,B1A2,B2B1B1,A1B1,A2B1,B2B2B2,A1B2,A2B2,B1由上表可知，从这两个班级任选两名学生进行帮扶共有12种可能结果，其中被选中的两名学生来自同一班级的有4种结果，∴被选中的两名学生来自同一班级的概率为412=13．【知识点】扇形统计图、列表法求概率、条形统计图22. 【答案】(1) 设黄球有x个，∴23+x =12，∴x=1．(2)P(A)=23×4=16，两次均摸出红色的概率为16．【知识点】公式求概率、树状图法求概率23. 【答案】(1) 0，14(2) 两次传球的全部可能情况有9种，球又传到A手上的情况有3种，故球又传到A手上的概率为39=13．【解析】(1) 由题意可知：由B开始一次传球，只能传给A，F，E，D，C接到球的概率是0，F接到球的概率是14．【知识点】树状图法求概率、公式求概率24. 【答案】(1) 根据题意，可以画出如图的树形图：从树形图可以看出，摸出两球出现的所有可能结果共有6种；(2) 设两个球号码之和等于5为事件A．摸出的两个球号码之和等于5的结果有2种，它们是：(2,3)，(3,2)．∴P(A)=26=13．【知识点】树状图法求概率、公式求概率25. 【答案】用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种等可能出现的结果，其中“两人抽取的牌面数字之和为3的倍数”的有5种，∴P(两人抽取的牌面数字之和为3的倍数)=512，即小颖获胜的概率为512．【知识点】列表法求概率。

第01讲_概率的进一步认识知识图谱概率的计算知识精讲一．用列表法和树状图法求事件的概率1.列表法：当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，为了不重不漏地列举出所有可能的结果，我们采用列表法来求出某事件的概率．2.树状图法：当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图法来求出某事件的概率．树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的树丫形式，最末端的树丫个数就是总的可能的结果．二．用频率估计概率实际上，从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个时间出现的频率，总在一个固定的数附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．三点剖析一．考点：概率的计算二．重难点：用列表法和树状图法求事件概率三．易错点：（1）两步以及两步以上的简单事件求概率的方法：利用树状或者列表表示各种等可能的情况与事件的可能性的比值；（2）复杂事件求概率的方法运用频率估算概率。

判断是否公平的方法运用概率是否相等，关注频率与概率的整合。

求简单事件的概率例题1、在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A.1 3B.23C.16D.34【答案】B【解析】分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率=46=23．北师大版本九年级上册第三章概率的进一步认识例题2、围棋盒子中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒子中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是2 3．如果在原有的棋子中再放进4颗黑色棋子，此时从盒子中随机取出一颗棋子为白色棋子的概率是12，则原来盒子中有白色棋子（）A.4颗B.6颗C.8颗D.12颗【答案】C【解析】由题意得14223xx yxx y⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪+⎩；解得48yx=⎧⎨=⎩，由此可得，原来盒子中有白色棋子8颗例题3、某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，摸到都是黄球的顾客获得大奖，摸到不全是黄球的顾客获得小奖．（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你讲转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，结合转盘简述获奖方式，不需要说明理由）．【答案】见解析【解析】（1）符合，一共出现20种可能性，并且每种可能性都相同，所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有2种，即（黄1，黄2）或（黄2，黄1），所以P（两黄球）212010==，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．如图，将转盘中圆心角为36︒的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．随练1、如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，则能让灯泡⊗发光的概率是（）A.B.C. D.【答案】C【解析】列表如下：共有6种情况，必须闭合开关S 3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是=．故选C ．随练2、在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，它们除颜色外全部相同，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗【答案】B【解析】解：由题意得：25134x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩故选：B ．随练3、有一盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，1个红色乒乓球，6个乒乓球除颜色外形状和大小完全一样，李明同学从盒子中任意摸出一乒乓球．（1）你认为李明同学摸出的球，最有可能是______颜色；（2）请你计算摸到每种颜色球的概率；（3）李明和王涛同学一起做游戏，李明或王涛从上述盒子中任意摸一球，如果摸到白球，李明获胜，否则王涛获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】（1）白（2）16（3）公平【解析】（1）因为白色的乒乓球数量最多，所以最有可能是白色（2）摸出一球总共有6种可能，它们的可能性相等，摸到白球有3种、黄球有2种、红球有1种．所以P （摸到白球）=3162=，P （摸到黄球）=2163=，P （摸到红球）=16；（3）答：公平．因为P （摸到白球）=12，P （摸到其他球）=21162+=，所以公平．列表法和树状图法求概率例题1、如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是__________．【答案】715【解析】列表得（1，8）（1，7）（1，6）（1，5）（1，4）；（2，8）（2，7）（2，6）（2，5）（2，4）；（3，8）（3，7）（3，6）（3，5）（3，4）；其中为偶数的有7种，故数字和为偶数的概率是715例题2、一个不透明的盒子里有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中每个小球上分别标有1，1-，2-，3-四个不同的数字，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下数字后再放回盒子，那么两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率为__________．【答案】38【解析】画树状图，得因为共有16种可能的结果，两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的有6种情况所以两次摸出的小球上两个数字乘积是负数的概率63168==．例题3、有十张正面分别标有数字3-，2-，1-，0，1，2，3，4，5，6的不透明卡片，他们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，将该卡片上的数字加1记为b ．则数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的概率为___________．【答案】710【解析】列表得：一共有(3,2)--、(2,1)--、(1,0)-、(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)；数字a ，b 使得关于x 的方程210ax bx +-=有解的情况有：(0,1)、(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)七种，则710P =．例题4、在平面直角坐标系中给定以下五个点A （2-，0）、B （1，0）、C （4，0）、D （2-，92）、E （0，6-），在五个形状、颜色、质量完全相同的乒乓球上标上A 、B 、C 、D 、E 代表以上五个点．玩桌球游戏，每次摸三个球，摸一次，三球代表的点恰好能确定一条抛物线（对称轴平行于y 轴）的概率是（）A.12B.35C.710D.45【答案】B【解析】所有的摸球情况有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、BCE 、BDE 、CDE 共有10种情况；其中，ABC 时，三点都在x 轴上，共线，不能确定一条抛物线；而ABD 、ACD 、ADE 时，A 、D 的横坐标都是2-，不复合函数的定义；所以能确定一条抛物线的情况有：10136--=，所以35P =．随练1、把一个转盘平均分成三等份，依次标上数字1、2、3．自由转动转盘两次，把第一次转动停止后指针指向的数字记作x ，把第二次转动停止后指针指向的数字的2倍记作y ，以长度分别为x 、y 、5的三条线段能构成三角形的概率为__________．【答案】49【解析】列表可得因此，点(),A x y 的个数共有9个；则x 、y 、5的三条线段能构成三角形的有4组，可得49P =．随练2、在不透明的口袋中，有五个形状、大小、质地完全相同的小球，五个小球分别标有数字2-、1-、0、2、3，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的横坐标，然后放回摇匀，再从口袋中人去一个小球，并将该小球上的数字作为点C 的纵坐标，则点C 恰好与点A （2-，2）、B （3，2）构成直角三角形的概率是_________．【答案】25【解析】画树状图如下：共有25种情况，当点C的坐标为（2-，2-）、（2-，1-）、（2-，0）、（2-，3）、（1-，0）、（2，0）、（3，2-）、（3，1-）、（3，0）、（3，3）共10种情况时，构成直角三角形，P（直角三角形）102 255 ==．用频率估计概率例题1、在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A.频率就是概率B.频率与试验次数无关C.概率是随机的，与频率无关D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D【解析】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴D选项说法正确．故选：D．例题2、某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如下表所示：40075015003500700090003696621335320363358073根据表中数据，估计这种幼树移植活率的概率为__________（精确到0.1）．【答案】0.9【解析】(0.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902)70.9x=++++++÷≈例题3、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n）100150200500摸到白球次数（m）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.6．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是35，摸到黑球的概率是25；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数320125=⨯=个；黑球的个数22085=⨯=个．随练1、如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为（精确到0.1）．【答案】0.5【解析】由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：7961550≈0.5．随练2、某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：（1）计算并完成表格：的次数n 100150200500800”的次数m 68111136345564的频率m（2）请估计，当n 很大时，频率将会接近多少？（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少？（精确到1）【答案】（1）见解析；（2）0.7；（3）0.7；（4）252 【解析】（1）的次数n 100150200500800”的次数68111136345564的频（2）当n 很大时，频率将会接近681111363455647010.71001502005008001000+++++=+++++（3）获得铅笔的概率约是0.7（4）扇形的圆心角约是0.7360252⨯=拓展1、一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（）A.4 9B.13C.16D.19【答案】D【解析】列表得：黑白白黑（黑，黑）（黑，白）（黑，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）∵共9种等可能的结果，两次都是黑色的情况有1种，∴两次摸出的球都是黑球的概率为1 9．2、在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？【答案】（1）嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样【解析】（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=3 4；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P2=612=12，∵P1=34，P2=12，P1≠P2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．3、从﹣4、3、5这三个数中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的方程x2+4x+a=0有解，且使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形面积恰好为4的概率____．【答案】13【解析】由关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4，可求得a 的值，由关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，可求得a 的取值范围，继而求得答案．∵一次函数y=2x+a 与x 轴、y 轴的交点分别为：（﹣2a，0），（0，a ），∴|﹣2a|×|a|×12=4，解得：a=±4，∵当△=16﹣4a ≥0，即a ≤4时，关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，∴使关于x 的方程x 2+4x+a=0有解，且使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积恰好为4的概率为：13．故答案为：134、王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是__________．【答案】王红【解析】共9种情况，和为7的情况数有3种，王红获胜的概率为39；和为8的情况数有2种，刘芳获胜的概率为29； 王红获胜的可能性较大．5、在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只，某学习小组做摸球模拟.将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中记下的一组数据摸球次数（n ）100150200500摸到白球次数（m ）5896116295摸到白球的频率（0.580.640.580.59（1）请你估计，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近_________（精确到0.1）．（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_________，摸到黑球的概率是_________．（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．【答案】（1）0.6；（2）35；25；（3）黑球8个，白球12个．【解析】（1）根据题意可得当\(n\)很大时，摸到白球的概率将会接近\(0.6\)．（2）由（1）可得，摸到白球的概率是\(\frac{3}{5}\)，摸到黑球的概率是\(\frac{2}{5}\)；（3）由（2）可得，口袋中白球的个数\(=20\times \frac{3}{5}=12\)个；黑球的个数\(=20\times \frac{2}{5}=8\)个．6、在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2，；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率；（3）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】（1）画树状图：共有9种等可能的结果数，它们是：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，0），（1，﹣1），（1，﹣2），（1，0），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，0）；（2）在直线y=﹣x+1的图象上的点有：（1，0），（2，﹣1），所以点M（x，y）在函数y=﹣x+1的图象上的概率=；（3）在⊙O上的点有（0，﹣2），（2，0），在⊙O外的点有（1，﹣2），（2，﹣1），（2，﹣2），所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的点有5个，所以过点M（x，y）能作⊙O的切线的概率=．。

一、选择题1.随机掷三枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是( )A．1B．12C．14D．182.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( )A．15B．310C．25D．123.一个盒子里装有两个红球，两个白球和一个篮球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的颜色能配成紫色（红色和蓝色能配成紫色）的概率为( )A．325B．425C．625D．8254.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( )A．312B．512C．38D．585.学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是( )A．13B．12C．23D．346.有A，B两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），小王掷A，朝上的数字记作x；小张掷B，朝上的数字记作y．在平面直角坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为(0,0)，(6,0)，(6,4)和(0,4)，小王，小张各掷一次所确定的点P(x,y)落在矩形内（不含矩形的边）的概率是( )A．23B．512C．12D．7127.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( )A．19B．16C．13D．238.一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为( )A．16B．13C．12D．239.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( )A．16B．20C．24D．2810.同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，两枚骰子向上点数之积为偶数的概率是( )A．12B．13C．23D．34二、填空题11.如图所示的转盘被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．12.有A，B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3；B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．若用(m,n)表示小明取球时m与n的对应值，则使关于x的一元二次方程x2−mx+12−n=0有实数根的概率为．13. 在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 25%，那么可以推算出 a 大约是 ．14. 从 −2，−1，1，2 四个数中任取两数，分别记为 a ，b ，则关于 x 的不等式组 {x ≤a +1,x ≥b有解的概率是 ．15. 3 月 12 日是中国的植树节，如图是某种幼树在移植过程中成活率的统计图，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 （结果精确到 0.01）．16. 小蕾有某文学名著上、中、下各 1 册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 ．17. 某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”“文学”“艺术”三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．三、解答题18. 一个盒子中装有 1 个红球、 1 个白球和 2 个蓝球，这些球除颜色外都相同．(1) 从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ；(2) 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率．（红色和蓝色在一起可配成紫色）(3) 往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 ．19. 为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投放入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投放对的概率．20. 小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的若干个扇形，不同扇形分别填涂颜色，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，则“配橙色”游戏成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）21.元旦游园活动中，小文，小美，小红三位同学正在搬各自的椅子准备进行“抢凳子”游戏，看见李老师来了，小文立即邀请李老师参加，游戏规则如下∶将三位同学的椅子背靠背放在教室中央，四人围着椅子绕圈行走，在行走过程中裁判员随机喊停，听到“停”后四人迅速抢坐在一张椅子上，没有抢坐到椅子的人淘汰，不能进入下一轮游戏．(1) 下列事件是必然事件的是．A．李老师被淘汰B．小文抢坐到自己带来的椅子C．小红抢坐到小亮带来的椅子D．有两位同学可以进入下一轮游戏(2) 如果李老师没有抢坐到任何一张椅子，三位同学都抢坐到了椅子但都没有抢坐到自己带来的椅子（记为事件A)，求出事件A的概率，请用树状图法或列表法加以说明﹒22.有两个可以自由转动的均匀转盘A，B都被分成了3等份，并在每一份内均标有数字，如图所示，规则如下：①分别转动转盘A，B；②两个转盘停止后，观察两个指针所指份内的数字（若指针停在等分线上，那么重新转一次，直到指针指向某一份内为止）．用列表法（或树状图）求出“两个指针所指的数字都是方程x2−3x+2=0的解”的概率．23.在一个不透明的布袋里装有4个标有−1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，小李从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小张在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标(x,y)．(1) 画树状图或列表，写出点Q所有可能的坐标；(2) 求点Q(x,y)落在第二象限的概率．24.增城市某中学综合实践科组为了解学生最喜欢的球类运动，对足球、乒乓球、篮球、排球四个项目进行了调查，并将调查的结果绘制成如下的两幅统计图（说明：每位同学只选一种自己最喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1) 求这次接受调查的学生人数，并补全条形统计图；(2) 求扇形统计图中喜欢排球的圆心角度数；(3) 若调查到爱好“乒乓球”的5名学生中有3名男生，2名女生，现从这5名学生中任意抽取2名学生，请用列表法或树形图的方法，求出刚好抽到一男一女的概率．25.甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．(1) 请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．(2) 若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．答案一、选择题1. 【答案】D【知识点】树状图法求概率2. 【答案】B【知识点】树状图法求概率3. 【答案】B【解析】蓝红蓝红蓝白蓝白蓝蓝蓝白红白红白白白白白蓝白白红白红白白白白白蓝白红红红红红白红白红蓝红红红红红红白红白红蓝红红红白白蓝∵共有25种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种情况，∴两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率为：425．【知识点】列表法求概率4. 【答案】B【解析】用列表法将所有可能出现的结果表示如表，所有可能出现的结果共有12种．红(红,红)(蓝,红)(蓝,红)蓝(红,蓝)(蓝,蓝)(蓝,蓝)红(红,红)(蓝,红)(蓝,红)黄(红,黄)(蓝,黄)(蓝,黄)红蓝黄上面等可能出现的12种结果中，有5种情况可以得到紫色，所以可配成紫色的概率是512．【知识点】列表法求概率5. 【答案】C【解析】画树状图如图：共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，∴两人恰好是一男一女的概率为812=23．【知识点】树状图法求概率6. 【答案】B【解析】画树状图得：因为共有 36 种等可能的结果，若使小王，小张各掷一次所确定的点 P (x,y ) 落在矩形内（不含矩形的边），则 x 的值必须小于 6，y 值必须小于 4，共有 15 种情况，所以小王，小张各掷一次所确定的点 P (x,y ) 落在矩形内（不含矩形的边）的概率是1536=512．【知识点】树状图法求概率7. 【答案】C【知识点】树状图法求概率8. 【答案】B【解析】列表得：12341−2+1=33+1=44+1=521+2=3−3+2=54+2=631+3=42+3=5−4+3=741+4=52+4=63+4=7−∵ 共有 12 种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的有 4 种情况， ∴ 这两个乒乓球上的数字之和大于 5 的概率为：412=13． 【知识点】列表法求概率9. 【答案】B【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．根据题意知4a=20%，解得a=20，经检验：a=20是原分式方程的解．故选：B．【知识点】实际应用-其他实际问题、用频率估算概率、分式方程的解法10. 【答案】D【解析】列表如下：∵共有36种等可能的结果，两枚骰子向上点数之积为偶数的有27种结果，∴两枚骰子向上点数之积为偶数的概率为2736=34．【知识点】列表法求概率二、填空题11. 【答案】14【解析】记红、黄、蓝、绿四种颜色分别为a，b，c，d，列表得：由表知，共有16种等可能的结果，两次颜色相同的结果有4种，所以P(两次颜色相同)=416=14．【知识点】列表法求概率12. 【答案】 23【解析】画树状图得：共有 12 种等可能的情况，其中当 m ，n 对应值为 (0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2) 时，Δ≥0，原方程有实数根，所以 P (Δ≥0)=812=23．【知识点】树状图法求概率、一元二次方程根的判别式13. 【答案】 12【知识点】用频率估算概率14. 【答案】 23【解析】 ∵ 关于 x 的不等式组 {x ≤a +1,x ≥b 有解，∴b ≤x ≤a +1， 根据题意画图如下：共有 12 种等情况数，其中关于 x 的不等式组 {x ≤a +1,x ≥b 有解的情况分别是 {a =−2,b =−1,{a =−1,b =−2, {a =1,b =−2, {a =1,b =−1, {a =1,b =2, {a =2,b =−2, {a =2,b =−1, {a =2,b =1, 共 8 种， 则有解的概率是812=23．【知识点】不等式组有解、无解的条件、含参一元一次不等式组、树状图法求概率15. 【答案】0.88【解析】概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，∴这种幼树移植成活率的概率约为0.88．故答案为：0.88．【知识点】用频率估算概率16. 【答案】16【解析】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16．【知识点】树状图法求概率17. 【答案】13【解析】利用画树状图法或列表法求概率．列表如下：由表可知，一共有9种等可能的情况，其中抽到同一类书籍的有3种，所以P(抽到同一类书籍)=39=13．【知识点】列表法求概率三、解答题18. 【答案】(1) 14(2) 用列表法得出所有可能出现的情况如表：共有12种等可能的情况，其中一红一蓝的有4种，(3) 425【解析】(1) P白球=11+1+2=14．(3) 再加1个白球，有放回摸两次，所有可能的情况如表：共有25种等可能的情况，其中一红一蓝的有4种，∴P配紫=425．【知识点】列表法求概率、公式求概率19. 【答案】设可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾分别为A，B，C．小林一家的垃圾设为a，b，c．∴P=16．【知识点】树状图法求概率20. 【答案】用表格来说明红色黄色红1(红1,红)(红1,黄)红2(红2,红)(红2,黄)黄色(黄,红)(黄,黄)由表知共有6种等可能结果，其中能“配橙色”的有3种结果，∴游戏者获胜的概率为36=12．【知识点】列表法求概率21. 【答案】(1) D(2) 设小美，小文，小红三位同学带来的椅子依次排列为a，b，c，画树状图如下：由树状图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4种、第5种结果符合题意，【解析】(1) A 选项：李老师被淘汰是随机事件，故A 错误；B 选项：小文抢坐到自己带来的椅子是随机事件，故B 错误；C 选项：小红抢到小亮带来的椅子是随机事件，故C 错误；D 选项：共有 3 张椅子，四人中只有 1 为老师，所以一定有 2 位同学能进入下一轮游戏，故D 正确．【知识点】树状图法求概率、事件的分类22. 【答案】列表如下：AB 2341(1,2)(1,3)(1,4)2(2,2)(2,3)(2,4)3(3,2)(3,3)(3,4)方程 x 2−3x +2=0 的解为 1，2 和 2，2， 由表知：两个指针所指的数字都是方程 x 2−3x +2=0 的解的概率为 29．【知识点】列表法求概率23. 【答案】(1) 列表得：(x,y )−1234−1(−1,2)(−1,3)(−1,4)2(2,−1)(2,3)(2,4)3(3,−1)(3,2)(3,4)4(4,−1)(4,2)(4,3)点 Q 所有可能的坐标有：(−1,2)，(−1,3)，(−1,4)，(2,−1)，(2,3)，(2,4)，(3,−1)，(3,2)，(3,4)，(4,−1)，(4,2)，(4,3)，共 12 种．(2) ∵ 共有 12 种等可能的结果，其中点 Q (x,y ) 落在第二象限的结果有 3 个，即：(−1,2)，(−1,3)，(−1,4)，∴ 点 Q (x,y ) 落在第二象限的概率 =312=14．【知识点】列表法求概率24. 【答案】(1) 总人数：40÷20%=200（人）补全图：(2) 乒乓球占四项球类的百分比是：60200×100%=30%，排球占四项球类的百分比是 1−40%−30%−20%=10%，∴ 扇形统计图中喜欢排球的圆心角度数 10%×360∘=36∘．(3) 列表法如下男1男2男3女1女2男1男1男2男1男3男1女1男1女2男2男2男1男2男3男2女1男2女2男3男3男1男3男2男3女1男3女2女1女1男1女1男2女1男3女1女2女2女2男1女2男2女2男3女2女1共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，所以抽到一男一女的概率为P(一男一女)=1220=35．【知识点】扇形统计图、条形统计图、列表法求概率25. 【答案】(1) 16．(2) 13．【解析】(1) 画树状图得：∴所有等可能性的结果有12种，其中怡好选中甲、乙两位同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：212=16．(2) ∵一共有3种等可能性的结果，其中怡好选中乙同学的有1种，∴恰好选中乙同学的概率为：13．【知识点】树状图法求概率、公式求概率。

《概率的进一步认识》题型归纳及中考链接一、频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做 ， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为 。

概率：通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很 大时，某个事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个值叫做 。

（概率=频率） 样本容量： .三大事件：必然事件发生的概率为 ；不可能事件发生的概率为 ； 不确定事件发生的概率在 与 之间。

思考：频率和概率完全相同吗？例题：不透明的袋中有3个大小相同的球，其中2个位白色，1个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据：（1）请将表中的数据补充完整。

（2）观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率 . 练习：一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同 （1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率。

（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从布袋中摸出一个球是红球的概率是85，问取走了多少个白球？（要求通过列式或方程解答）练习：三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下：（1）将上述表格补充完整；（2）观察表格，估计摸到A的概率；（3）求摸到A的概率；二、列表法与树状图法定义：当某些等可能事件混合发生时，我们需要用到两层概率运算时，我们一般采用列举法补充：列举法在求事件发生的概率中的应用主要体现在将所有可能的情况运用画树状图或列表一一列举出来（注：列表法适用于两层概率的计算，三层概率计算只能用树状图）题型一：概率的计算例题：掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子点数和为7的概率。

练习1：箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，求第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率？例题2：图中是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃和方块，将它们分别重新洗牌后背面朝上，从两组排钟各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？练习1：我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中”立定跳远“”100米跑“”肺活量测试“为必测项目，另一项为”引体向上“和“推铅球”中选择一项测试。

新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习概率的进一步认识--知识讲解【学习目标】1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率；3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学会运用概率知识解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ；（3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=n m . 要点二、用频率估计概率1.频率与概率的定义频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值.概率：事件A 的频率nm 接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点诠释：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点诠释：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.【典型例题】类型一、用树状图或表格求概率1.同时抛掷两枚均匀硬币，正面都同时向上的概率是（）A．13B．14C．12D．34【答案】B.【解析】可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种，正面都同时向上的占1种，所以概率为1 4 .【总结升华】利用树状图法列出所有的可能，看符合题意的占多少.举一反三：【变式1】袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外其余均相同，随机从中摸出一球，记录下颜色放回袋中，充分摇匀后，再随机从中摸出一球，两次都摸到黄球的概率是（）A．13B．12C．14D．34【答案】C.【变式2】随机地掷两次骰子，两次掷得的点数相同的概率是（）.A．13B．14C．112D．16【答案】D.2.（2016•大庆）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（）A．B．C．D．【思路点拨】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【答案】C.【解析】解：画树状图得：∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：=．故选C．【总结升华】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三：【变式1】从分别标有1到9数字的9张卡片中任意抽取一张，抽到所标数字是3的倍数的概率为（）A．19B．18C．29D．13【答案】D.【变式2】如图是地板格的一部分，一只蟋蟀在该地板格上跳来跳去，如果它随意停留在某一个地方，则它停留在阴影部分的概率是_____.【答案】P（停在阴影部分）=23.类型二、频率与概率3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（）A. 频率等于概率B. 当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 试验得到的频率与概率不可能相等【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的.【答案】B.【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.类型三、利用频率估计概率4. 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：(1)计算并完成表格：转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701落在“铅笔”的频率(2)请估计，当很大时，频率将会接近多少？(3)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？(4)在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少？(精确到 1°)【答案与解析】(1) 0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2) 0.70；(3) 由（1）的频率值可以得出P（获得铅笔）=0.70；(4) 0.70×360°=252°.【总结升华】(1)试验的次数越多，所得的频率越能反映概率的大小；(2)频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映频数、频率的分布情况，我们可以利用它们所提供的信息估计概率．5.（2015春•泰兴市期末）在一个暗箱里放有a个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在20%．（1）试求出a的值；（2）从中任意摸出一个球，下列事件：①该球是红球；②该球是白球；③该球是蓝球．试估计这三个事件发生的可能性的大小，并将三个事件按发生的可能性从小到大的顺序排列（用序号表示事件）．【思路点拨】（1）根据频率估计概率，可得到摸到红球的概率为20%，然后利用概率公式计算a的值；（2）根据概率公式分别计算出摸出一个球是红球或白球或蓝球的概率，然后根据概率的大小判断这三个事件发生的可能性的大小．【答案与解析】解：（1）a=4÷20%=20；（2）在一个暗箱里放有20个除颜色外都完全相同的红、白、蓝三种球，其中红球有4个，白球有10个，蓝求有6个，所以从中任意摸出一个球，该球是红球的概率=20%；该球是白球的概率==50%；该球是蓝球的概率==30%，所以可能性从小到大排序为：①③②． 【总结升华】用频率估计概率，强调“同样条件，大量试验”.举一反三：【变式1】为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条． 【答案】条 .【变式2】一只箱子里原有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中任意摸出两个球，用树状图或列表法列举出所有可能并求两次摸出球的都是白球的概率．（2）若从箱子中任意摸出一个球是红球的概率为53，则需要再加入几个红球？ 【答案】类型四、概率的简单应用6. 把一副扑克牌中的3张黑桃牌（它们的正面牌面数字分别是3、4、5）洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当张牌面数字相同时，小王胜；当张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由.【思路点拨】（1）问属于古典概型；（2）问可以采用列表法或树状图法列出所有的可能，计算小王和小李各自取胜的概率，再去做判断.【答案与解析】（1）P（抽到牌面数字４）=；（2）游戏规则对双方不公平，理由如下：3 4 53 （3，3）（3，4）（3，5）4 （4，3）（4，4）（4，5）5 （5，3）（5，4）（5，5）一共有9种可能的结果，每种结果发生的可能性相等，∴P（牌面数字相同）=；P（牌面数字不相同）=23，∴小李胜的概率要大，游戏不公平.【总结升华】列表法可以不重不漏地列出所有可能的结果.举一反三：【变式】（2015•漳州）在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．（1）请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【答案】解：（1）根据题意画图如下：∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种，∴P（小明获胜）==；（2）∵P（小明获胜）=，∴P（小东获胜）=1﹣=，∴这个游戏不公平．。

一、选择题1.一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，除颜色外无其他差别，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则估计袋子中白球的个数约为( )A．50B．30C．12D．82.在一个不适明的发子中装有四个小球，它们除分别标有的号码5，6，7，8不同外，其他完全相同若任意从袋子中摸出一球后不放同，再任意从袋子中摸出一球，则第二次摸出球的号码与第一次换出球的号码的和等于15的概率是( )A．12B．34C．14D．163.有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( )A．14B．13C．12D．14.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是( )A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率C．抛一枚硬币，出现正面的概率D．任意写一个整数，它能被2整除的概率5.一个不透明的口袋中只有红、白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外完全相同，将口袋中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，重复n次，当n足够大时，若摸到红球m 次，则据此估计口袋中红、白球个数的比为( )A．mn B．mn−mC．nmD．mn+m6.甲、乙两盒中分别放入编号1，2，3，4的形状和大小完全相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到概率最大的数是( )A．3B．4C．5D．67.现有三张正面分别标有数字−1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝．上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P(m,n)在第二象限的概率为( )A．12B．13C．23D．298.某市初中学业水平实验操作考试中，要求每名学生从物理，化学，生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小明和小颖抽到相同学科的概率是( )A．13B．14C．16D．199.在一个不透明的布袋中有红色，黑色的球共10个，它们除颜色外其余完全相同．小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，则口袋中黑球的个数很可能是( ) A．4B．5C．6D．710.同时投掷两个骰子，点数的和大于10的概率为( )A．116B．112C．18D．14二、填空题11.下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n1001503005008001000投中次数m5896174302484601投中频率mn 0.5800.6400.5800.6040.6050.601这名球员投篮一次，投中的概率约是．12.小明、小华、小亮三位好朋友去绿博园游玩，随机站成一排照合影，小华没有站在中间的概率为．13.在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字−2，−1，0，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P的横坐标，将该数的平方作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是．14.技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品2020件，欣喜发现产品合格的频率已达到0.9911，依此我们可以估计该产品合格的概率为．（结果要求保留两位小数）15.表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：移植的棵树n200500800200012000成活的棵树m187446730179010836成活的频率mn 0.9350.8920.9130.8950.903由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为（精确到0.1）．16.在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.85左右，估计袋中红球有个．17.为庆祝新中国成立70周年，河南省实验中学开展了以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，九年级准备从两名男生和两名女生中选出两名同学领唱，如果每一名同学被选中的机会均等，则选出的恰为一名男生和一名女生的概率是．三、解答题18.在一次数学兴趣小组活动中，阳光和乐观两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则阳光获胜，反之则乐观获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）．(1) 请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果．(2) 游戏对双方公平吗？请说明理由．19.甲、乙、丙三位同学在操场上互相传球，假设他们相互间传球是等可能的，并且由甲首先开始传球．(1) 经过2次传球后，球仍回到甲手中的概率是；(2) 请用列举法（画树状图或列表）求经过3次传球后，球仍回到甲手中的概率；(3) 猜想并直接写出结论：经过n次传球后，球传到甲、乙这两位同学手中的概率：P(球传到甲手中)和P(球传到乙手中)的大小关系．20.有两个除所标数字外构造完全相同的转盘A和B，游戏规定：两人各选择一个转盘转一次，指向的数字较大者获胜，则求选择转盘A获胜的概率（请用画树状图或列表的方法）．21.如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，4，转动A，B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘，（当指针落在交线上时，重新转动转盘）．(1) 用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；(2) 求两个数字的积奇数的概率．22.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标注数字1，2，3，每个小球除所标注数字不同外，其余均相同．小勇先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再次从口袋中随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小勇两次摸出的小球所标数字之和为3的概率．23.某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A.足球B.乒乓球C.羽毛球D.篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：(1) 这次被调查的学生共有人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为；(2) 请你将条形统计图补充完整；(3) 在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．24.某种乒乓球的质量抽样调查结果如表：抽取的乒乓球数n50100200500100015002000优等品的频数m4895188b94814261898a0.9500.9400.9440.948c0.949优等品的频率mn(1) 根据表中的信息可得：a=，b=，c=．(2) 从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是多少？（精确到0.01）25.甲、乙两名同学从《中国好声音》、《歌手》、《蒙面唱将猜猜猜》三个综艺节目中都随机选择一个节目观看．(1) 甲同学观看《蒙面唱将猜猜猜》的概率是；(2) 求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】用频率估算概率2. 【答案】D【解析】根据题意画图如下：共有12种等可能的结果数，其中第二次摸出球的号码与第一次换出球的号码的和等于15的有2种，则第二次摸出球的号码与第一次换出球的号码的和等于15的概率是212=16；故选：D．【知识点】树状图法求概率3. 【答案】A【解析】此事件发生的概率14．故选：A．【知识点】树状图法求概率4. 【答案】B【解析】A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误；B．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11+2=13≈0.33，故此选项正确；C．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误；D．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误．【知识点】用频率估算概率5. 【答案】B【知识点】用频率估算概率6. 【答案】C【知识点】树状图法求概率7. 【答案】D【解析】画树状图如图：共有9种等可能的结果，其中点P(m,n)在第二象限的结果有2种，所以点P(m,n)在第二象．故选D．限的概率为29【知识点】树状图法求概率8. 【答案】A【解析】直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．如图所示：一共有9种可能，符合题意的有3种，故小明和小颖抽到相同学科的概率是：1．3【知识点】树状图法求概率9. 【答案】C【解析】根据题意得出摸出黑球的频率，继而根据频数＝总数×频率计算即可．∵小娟通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在60%附近，∴口袋中黑球的个数可能是10×60%＝6个．故选：C．【知识点】用频率估算概率10. 【答案】B【解析】列举如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由表可得共有36种情况，两个骰子点数的和大于10的有3种情况，所以点数的和大于10的概率为336=112．故选：B．【知识点】列表法求概率二、填空题11. 【答案】0.601【知识点】用频率估算概率12. 【答案】23【解析】小明、小华、小亮位好朋友排成一排拍照有以下可能：小明、小华、小亮；小明、小亮、小华；小亮、小明、小华；小亮、小华、小明；小华、小明、小亮；小华、小亮、小明共有6种情况，他们的可能性相同．有4种小华没在中间，∴小华没排在中间的概率是46=23．【知识点】树状图法求概率13. 【答案】35【解析】如图．−2，−1，0，1，2的平方为4，1，0，1，4．点P的坐标为(−2,4)，(−1,1)，(0,0)，(1,1)，(2,4)；描出各点：−2<1−√6，不合题意；把x=−1代入解析式得：y1=2，1<2，故(−1,1)在该区域内；把x=0代入解析式得：y2=5，0<5，故(0,0)在边界上，不在区域内；把x=1代入解析式得：y3=6，1<6，故(1,1)在该区域内；把x=2代入解析式得：y4=5，4<5，故(2,4)在该区域内．∴5个点中有3个符合题意，点P落在抛物线y=−x2+2x+5与x轴所围成的区域内（不含边界）的概率是35．【知识点】一元二次方程根的判别式、列表法求概率14. 【答案】0.99【解析】大量重复试验下频率的稳定值等于概率的估计值．对0.9911四舍五入，保留两位小数即得0.99．【知识点】用频率估算概率15. 【答案】0.9【知识点】用频率估算概率16. 【答案】17【知识点】用频率估算概率17. 【答案】23【解析】把男生编号为A，B，女生编号为1，2，可能出现的所有结果列表如下：由表知，共有12种可能的结果，且每种结果的可能性相同，其中选出恰为一名男生和一名女生的结果有8种，则P(选出的恰为一名男生和一名女生)=812=23．【知识点】列表法求概率三、解答题18. 【答案】(1) 根据题意列表如下： 678939101112410111************可见，两数和共有 12 种等可能结果．(2) ∵ 两数和共有 12 种等可能的情况，其中和小于 12 的情况有 6 种， ∴ 阳光获胜的概率为612=12∴ 乐观获胜的概率是 12， ∵12=12，∴ 游戏对双方公平．【知识点】列表法求概率、公式求概率19. 【答案】(1) 12(2) 画树状图为：共有 8 种等可能的结果，其中球仍回到甲手中的结果为 2， 所以球仍回到甲手中的概率为 28=14．(3) 当 n 为偶数时，P(球传到甲手中)>P(球传到乙手中)， 当 n 为奇数时，P(球传到甲手中)<P(球传到乙手中)． 【解析】(1) 画树状图为：共有 4 种等可能的结果，其中球仍回到甲手中的结果为 2， 所以球仍回到甲手中的概率为 24=12．【知识点】树状图法求概率20. 【答案】画树状图得：∵ 共有 9 种等可能的结果，A 大于B 的有 5 种情况，∴选择转盘A获胜的概率是59．【知识点】树状图法求概率21. 【答案】(1) 略(2) 13．【知识点】树状图法求概率、列表法求概率22. 【答案】画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球所标数字之和为3的结果数为2，所以两次摸出的小球所标数字之和为3的概率=29．【知识点】树状图法求概率23. 【答案】(1) 200；72∘(2) C类人数为200−80−20−40=60（人），完整条形统计图为：(3) 画树状图如下：由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．∴P(恰好选中甲、乙两位同学)=212=16．【解析】(1) 20÷36∘360∘=200（人），∴这次被调查的学生共有200人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数=40200×360∘=72∘．【知识点】扇形统计图、条形统计图、树状图法求概率24. 【答案】(1) 0.96；472；0.95(2) 从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95．【解析】(1) a=4850=0.96，b=500×0.944=472，c=14261500=0.95．【知识点】频数与频率、用频率估算概率25. 【答案】(1) 13(2) 分别用A，B，C表示《中国好声音》、《歌手》、《蒙面唱将猜猜猜》三个综艺节目，用表格列出所有可能出现的结果：甲乙A B CA(A,A)(B,A)(C,A)B(A,B)(B,B)(C,B)C(A,C)(B,C)(C,C)∵一共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两名同学观看同一节目的有3种，∴P(甲、乙两名同学观看同一节目)=39=13．【解析】(1) ∵甲、乙两名同学从《中国好声音》、《歌手》、《蒙面唱将猜猜猜》三个综艺节目中都随机选择一个节目观看，∴甲同学观看《蒙面唱将猜猜猜》的概率是13．【知识点】列表法求概率、公式求概率。

第三章 概率的进一步认识一、本章知识结构图1． 生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， 必然事件：在一定条件下，有些事件事先能肯定它一定发生。

不可能事件：在一定条件下，有些事件事先能肯定它一定不会发生。

2、不确定事件：我们事先无法肯定它会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件。

不确定事件发生的可能性是有大小的。

注：、① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0<P(A)<1二、用树状图或列表法求概率1、频率与概率的含义：在实验中，每个对象出现的频繁程度不同，每个对象出现的次数叫频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率=频数／总次数。

把刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的概率。

注：频率是指在一次实验中某个对象出现的次数与总次数的比，概率是通过大量重复实验中频率的稳定性而得到的一个0～1之间的常数，它反映了事件发生可能性的大小。

2、利用稳定的频率估计某一事件发生的概率在进行试验时，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近，可以通过多次试验用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。

注：可以用稳定的频率估计某一事件发生的概率，但不能说频率等于概率，其区别在于：频率是通过多次试验得到的数据，而概率是理论上事件发生的可能性。

试验时应主要试验的随机性，要保证足够多的试验次数，随着试验次数的增加，频率的波动就会越小，即趋于相对稳定状态，得到的概率仅仅是估计值，而不是准确值。

3、用树状图或列表法求概率 定义：当出现的结果的可能性相同时，将所有结果展示出来，符合条件的结果与所有结果的比值即为这一事件的概率。

列表法求概率：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

第3章概率的进一步认识（核心素养提升+中考能力提升+过关检测）知识点1.利用树状图或表格求概率（重点）（难点）1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．要点归纳：（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同．2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法．表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法．要点归纳：（1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率．知识点2用频率估计概率（重点）当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点归纳：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确．考点1：两个方法方法1：求随机事件概率的方法【例题1】（24-25九年级上·全国·期中）1．小刚、小强计划利用暑期从A，B，C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（）A．12B．13C．16D．29【变式1】（24-25九年级上·陕西渭南·期中）2．在一个不透明的盒子中装有30颗黑、白两种颜色的棋子，除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回盒子中，记为一次试验，通过大量试验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在0.6，则盒子中黑色棋子可能有（）A．5颗B．10颗C．18颗D．26颗【变式2】（24-25九年级上·河南平顶山·阶段练习）3．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．【变式3】（23-24九年级上·广东惠州·期末）4．为弘扬中华传统文化，“诵读经典，传承文明”，我校近期举办了“国学经典诵读大赛”，诵读的篇目分成四种类型：A．蒙学今诵；B．爱国传承；C．励志劝勉；D．愚公移山，每种类型的篇目数相同，参赛者需从这四种类型中随机抽取一种诵读类型．小新和小远也参加了这次大赛，小新先抽取了一种诵读类型后不放回，小远再从剩余的诵读类型中任意抽取一种，请用画树状图或列表法求他们中有一人抽到“C．励志劝勉”的概率．方法2：用频率估计概率的方法【例题2】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）5．如图，青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（）A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）6．一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同、将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为个．【变式2】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）7．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和35个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从盒子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.3左右，请估计盒子里白球的个数．【变式3】（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）8．“强国必须强语，强语助力强国，”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛，该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A(优秀)，B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所给信息解答下列问题：(1)这次调查活动共抽取人：(2)“C”等所在扇形的圆心角的度数为度；(3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；(4)学校要从答题成绩为A 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．考点2：两种思想思想1：数形结合思想【例题3】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）9．如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）10．如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）11．如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处重转），两个转盘指针指向数字之积不超过4的概率是．【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）12．某校九（1）班的余老师和九（3）班的王老师两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分成3等份、4等份，并在每一份内标有数字（如图）．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，余老师胜；指针所在区域的数字之积为偶数时，王老师胜．如果指针恰好在分割线上，则需重新转动转盘．(1)用树状图或列表的方法，求余老师获胜的概率；(2)这个游戏规则对余老师、王老师双方公平吗？请判断并说明理由．思想2：方程思想【例题4】（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）13．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.2，那么可以估算出m的值为（）A．8B．12C．15D．20【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）14．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，则x的值为（）A．5B．6C．7D．8【变式2】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）15．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为．【变式3】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）16．数学老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．摸球的次数n1001502005008001000摸到黑球的次数m233160*********摸到黑球的频率mn0.230.210.300.260.2530.25(1)根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_______；（精确到0.01）(2)估算袋中白球的个数．一、单选题（2020·江苏徐州·中考真题）17．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5B．10C．12D．15（2024·内蒙古通辽·中考真题）18．不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（）A．19B．13C．49D．23（2024·山东济南·中考真题）19．3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（）A．19B．16C．13D．23（2020·辽宁营口·中考真题）20．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20801002004001000“射中九环以上”的次数186882168327823“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）0.900.850.820.840.820.82根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84二、填空题（2023·辽宁鞍山·中考真题）21．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有个．（2024·山东泰安·中考真题）22．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．（2024·内蒙古·中考真题）23．如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为．三、解答题（2024·陕西·中考真题）24．一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．（2024·西藏·中考真题）25．为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分）如下：七年级：80968292898473908997八年级：94829594858992799893请根据以上信息，解答下列问题：(1)七年级这10名学生成绩的中位数是________；八年级这10名学生成绩的众数是________；(2)若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到优秀等次；(3)根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率．（2020·江苏泰州·中考真题）26．一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到白球的频数7293130334532667摸到白球的频率0.36000.31000.32500.33400.33250.3335(1)该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.01），由此估出红球有______个．(2)在这次摸球实验中，从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率．一、单选题（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）27．在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共80个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在20%，40%和40%．由此，推测口袋中黄色球的个数有（）A．16个B．18个C．21个D．32个（24-25九年级上·陕西榆林·期中）28．某校举行安全系列教育活动主题手抄报的评比活动，学校共设置了“交通安全”“消防安全”“饮食安全”“校园安全”四个主题内容，每位参加活动的同学应从这四个主题中随机选取一个，李明和张佳都参加了本次评比活动，他们两人选取的主题不同的概率是（）A．14B．18C．34D．38（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）29．在一个不透明的袋子里有红球、黄球共10个；这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．小明通过多次试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（）A．4B．6C．9D．10（24-25九年级上·全国·期中）30．小花同学从初中三个年级上下册共六本数学书中随机抽两本，刚好抽到同一年级数学书的概率是（ ）A．15B．16C．13D．14（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）31．某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（）A．23B．13C．12D．34（24-25九年级上·浙江温州·期中）32．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（）A ．14B ．12C ．34D ．1（24-25九年级上·全国·期中）33．小王、小李和小张3名都报名参加所在社区的志愿工作，但社区根据实际情况只需要他们中的2人．有人建议他们采用随机抽签的方式确定参加人，则小王和小李同时参加的概率为（ ）A ．19B ．16C ．29D ．13（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）34．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数1002004008001000“射中九环以上”的次数87172336679850“射中九环以上”的频率0.870.860.840.850.85根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）A ．0.84B ．0.85C ．0.86D ．0.87（24-25九年级上·陕西·阶段练习）35．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数分布表：试验种子数/n 粒550100200500100020003000发芽频数m 4459218847695119002850发芽频率mn0.800.900.920.940.9520.9510.950.95根据试验结果，若需要保证的发芽数为2500粒，则以下四个数与需试验的种子数最接近的粒数为（）A．2500B．2700C．2800D．3000（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）36．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果0.25的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．挪一枚一元硬币，落地后正面朝上C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．挪一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4二、填空题（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）37．布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）38．在一个不透明的袋子中装有若干个白球和5个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机换出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.25近，则袋子中白球约有个（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）39．在不透明袋子里装有8个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513．估计袋中黑球有．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）40．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了表格，则该结果发生的概率约为（精确到0.01）．试验次数100500100020004000频率0.370.320.340.3390.333（24-25九年级上·北京·期中）41．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，则得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率 ．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）42．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的折线统计图，由此可估计这种树苗移植1200棵，成活的大约有棵．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）43．如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，8AC =，6BC =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到11A BC V ，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为．（24-25九年级上·重庆·开学考试）44．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是．三、解答题（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）45．一个不透明的布袋里只有2个红球和2个白球（仅颜色不同）．(1)若从中任意摸出一个球，是红球的概率为多少？(2)若从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，再摸出一个球，两个都是红球的概率为多少？（请用列表或画树状图的方法来表示）（24-25九年级上·陕西渭南·期中）46．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是_____；(2)体育老师想从中选出两个项目，然后做成手抄报给同学们普及一下，他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是C（冲浪）和D（运动攀岩）的概率．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）47．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．(1)请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近（精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为；(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？(3)在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为35，需要往盒子里再放入多少个白球？（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）48．有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．(1)某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：实验次数n（次）10100200050001000050000100000白色区域次数m（次）334680160034051650033000落在白色区域频率mn0.30.340.340.320.340.330.33请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________．(2)若该圆形转盘白色扇形的圆心角为120°，黑色扇形的圆心角为240°，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）49．“2024年9月22日，太原举行马拉松比赛”，赛事共有四项：A“马拉松”、B“半程马拉松”、C“迷你马拉松”、D“家庭亲子跑”．小凡、小明和小颖参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到四个项目组．(1)为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小凡对部分参赛选手作如下调查：调查总人数501002005001000参加“迷你马拉松”人数214579200401参加“迷你马拉松”频率0.3600.450______0.4000.401①请填出表中所缺的数据．②请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率______．（精确到0.1）③若本次参赛选手大约有40000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖至少有一人被分配到“迷你马拉松”项目组的概率．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）50．用频率估计概率需要大量重复试验，当重复试验的次数大量增加时，频率就稳定在相应的概率附近，下图是某项试验示意图．(1)下列事件比较符合该试验的有________（填序号）；①掷一次骰子点数大于2；②从2个男生，2个女生中随机挑选2名学生去参加比赛，选中1男1女；③从一副扑克牌中抽一张牌，颜色是红桃；④6个形状相同的球中有2个红球，摸一次摸到红球．(2)这幅图中的频率是不是关于试验次数的函数？请说明理由．（24-25九年级上·浙江温州·期中）51．2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目．电视台A B C D直播节目乒乓球篮球射击网球(1)小夏收看了乒乓球直播的概率为________；(2)请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率．（23-24九年级上·四川成都·期中）52．某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：(1)本次抽样调查的总人数为______人．(2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为_______．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有________人．(3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出参加新一轮比赛的2名同学恰为一男一女的概率．1．B【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好到一处的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好到一处的结果数为3，\小刚、小强两人恰好选到一处的概率3193==，故选：B ．2．C【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．【详解】解：设盒子中黑色棋子可能有x 颗，0.630x=18x =经检验，18x =符合题意．∴盒子中黑色棋子可能有18颗．故选：C ．3．110##0.1【分析】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解题的关键．先根据题意画出树状图确定所有等可能出现的结果数，其中两次取出的都是红球的情况数，然后用概率公式求解即可．。

一、选择题1.有三个除颜色不同外其他完全相同的球，分别标上数字−1，1，0，放入暗箱，然后从暗箱中随机摸出两个球，则两个球上数字互为相反数的概率为( )A．16B．13C．12D．232.甲、乙两人赛跑，起跑时都先迈出左腿的概率是( )A．1B．12C．13D．143.如图，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( )A．25B．310C．320D．154.2019北京世园会开园期间，甲、乙、丙、丁四名同学参加志愿者活动，若四名同学被随机分成两组，每组两人，则甲、乙两名同学恰好分到一组的概率为( )A．14B．13C．16D．125.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为( )A ． 0.95B ． 0.90C ． 0.85D ． 0.806. 乘坐火车从 A 站出发，沿途经过 2 个车站方可到达 B 站，那么在 A ，B 两站之间需要安排 ( ) 种不同的车票？ A ． 2 B ． 6 C ． 8 D ． 127. 某校食堂每天中午为学生提供A ，B 两种套餐，甲乙两人同去该食堂打饭，那么甲乙两人选择同款套餐的概率为 ( ) A ． 12B ． 13C ． 14D ． 238. 柜子里有两双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是 ( ) A ． 12B ． 13C ． 14D ． 169. 某校对八年级 700 名学生的数学测试成绩做了统计，列出如下的统计表，则八年级学生数学成绩不合格的人数是 ( )组别优秀良好合格不合格频率0.600.250.100.05A ． 420B ． 175C ． 70D ． 3510. 袋中有红球 4 个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是 ( ) A ．3 个 B ．不足 3 个 C ．4 个D ．5 个或 5 个以上二、填空题 11. 下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：投篮次数n 1001503005008001000投中次数m 5896174302484601投中频率mn 0.5800.6400.5800.6040.6050.601这名球员投篮一次，投中的概率约是 ．12. 现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是 ．13. 在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外其余都相同，若分别从两个口袋中随机取出一个小球，则取出的两个小球颜色相同的概率是( )．14.有三张正面分别写有数字−2，−1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片的背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为(x,y)．则使分式x 2−3xyx2−y2+yx−y有意义的(x,y)出现的概率是．15.从2，3，4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数是素数的概率是．16.现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．17.如图，让此转盘自由转动两次，两次指针都落在阴影部分区域（边界宽度忽略不记）的概率是．三、解答题18.2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强——国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．第一环节：写字注音、成语故事，国学常识，成语接龙（分别用A1，A2，A3，A4表示）；第二环节：成语听写，诗词对句，经典诵读（分别用B1，B2，B3表示）．(1) 请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果．(2) 求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听写）的概率．19.甲、乙两同学玩转盘游戏时，把质地相同的两个盘A，B分别平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲、乙两同学分别同时转动两个转盘各1次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为偶数时甲胜；数字之积为奇数时乙胜．若指针恰好在分割线上，则需要重新转动转盘．(1) 用树状图或列表的方法，求乙获胜的概率．(2) 这个游戏规则对甲或乙公平吗？请判断并说明理由．20.一枚质量均匀的正方体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续投掷两次．(1) 用列表法或树状图表示出两次朝上的面上的数字所有可能出现的结果；(2) 记两次朝上的面上的数字分别为p，q，若把p，q分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A(p,q)在函数y=12x的图象上的概率．21.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共10只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数1001502005008001000摸到白球的次数5896116295484601摸到白球的频率0.580.640.580.590.6050.601(1) 请估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近（保留二个有效数字）．(2) 试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？(3) 请画树状图或列表计算：从中一次摸两只球，这两只球颜色不同的概率是多少？22.一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．(1) 用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；(2) 你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．23.某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．(1) 该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；(2) 请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．24.在3×3的方格纸中，点A，B，C，D，E，F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1) 从A，D，E，F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B，C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；(2) 从A，D，E，F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B，C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．25.现有4张正面分别写有数字1，2，3，4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．(1) 若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是．(2) 若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】树状图法求概率2. 【答案】D【解析】共有(左,左)；(右,左)；(左,右)；(右,右)四种等可能的结果，所以所求概率是14．【知识点】列表法求概率3. 【答案】B【知识点】列表法求概率4. 【答案】B【解析】有三种分法：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁；甲丁、乙丙．甲、乙两名同学恰好分到一组的结果有1种，故甲、乙两名同学恰好分到一组的概率为13．【知识点】列表法求概率5. 【答案】B【解析】这种树苗成活的频率稳定在0.90附近，故成活的概率约是0.90．【知识点】用频率估算概率6. 【答案】D【解析】乘火车从A站出发，沿途经过2个车站方可到达B站，设这两个站分别为M站、N 站，那么在A，B两站之间需要安排不同的车票种类有：A→M，A→N，A→B，M→N，M→B，N→B，B→N，B→M，B→A，N→M，N→A，M→A，共12种，故选D．【知识点】树状图法求概率7. 【答案】A【解析】根据题意画图如下：所有等可能的情况有4种，其中甲乙两人选择同款套餐的有2种，则甲乙两人选择同款套餐的概率为：24=12．【知识点】树状图法求概率8. 【答案】B【知识点】树状图法求概率9. 【答案】D【解析】八年级学生数学成绩不合格的人数是700×0.05=35，故选D．【知识点】用频率估算概率10. 【答案】D【知识点】可能性的大小二、填空题11. 【答案】0.601【知识点】用频率估算概率12. 【答案】16【解析】等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1，2，3，4表示，列表如下：\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\&1&2&3&4\\\hline1&\cdots&\left(2,1\right)&\left(3,1\right)&\left(4,1\right)\\\hline2&\left(1,2\right)&\ cdots&\left(3,2\right)&\left(4,2\right)\\\hline3&\left(1,3\right)&\left(2,3\right)&\cdots&\left(4,3\right)\\ \hline4&\left(1,4\right)&\left(2,4\right)&\left(3,4\right)&\cdots\\\hline\end{array}所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种，则P两个都为中心对称图形=212=16．【知识点】列表法求概率13. 【答案】13【解析】根据题意列表如下：红白绿红(红,红)(白,红)(绿,红)白(红,白)(白,白)(绿,白)绿(红,绿)(白,绿)(绿,绿)所有的可能有9种情况，颜色相同的占了3种，则P颜色相同=39=13【知识点】列表法求概率14. 【答案】49【解析】列表如下：−2−11−2(−2,−2)(−1,−2)(1,−2)−1(−2,−1)(−1,−1)(1,−1)1(−2,1)(−1,1)(1,1)所有等可能的情况有9种，∵分式的最简公分母为(x+y)(x−y)，∴x≠−y且x≠y时，分式有意义，∴能使分式有意义的(x,y)有4种，则P=49．【知识点】列表法求概率15. 【答案】13【解析】列表如下：2342(2,3)(2,4)3(3,2)(3,4)4(4,2)(4,3)共有6种等可能的结果，其中是素数的有2种，概率为13．【知识点】列表法求概率16. 【答案】34【知识点】列表法求概率17. 【答案】19【解析】将“白色”区域在等分成2份，这样指向三个区域的可能性均等，用列表法表示所有可能出现的结果如下：共有9种可能出现的结果，其中“两次都在黑色”的有1种，所以两次指针都落在阴影部分区域的概率为19．【知识点】列表法求概率三、解答题 18. 【答案】(1) 曲树状图为：共有 12 种等可能的结果数．(2) 小明参加总决赛抽取题目是成语题目的结果数为 2，所以小明参加总决赛抽取题目是成语题目（成语故事，成语接龙，成语听写）的概率 =212=16．【知识点】树状图法求概率19. 【答案】(1) 画树状图为：共有 6 种等可能的结果数，其中指针所在区域的数字之积为偶数的结果数为 2， ∴ 乙胜的概率 =26=13．(2) 这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 理由如下：∵ 甲胜的概率 =23，乙胜的概率 =13，而 23≠13， ∴ 这个游戏规则对甲、乙双方不公平．【知识点】树状图法求概率20. 【答案】(1) 利用列表法得出所有可能的结果如下： 1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由表可知，所有可能的结果共有 36 种．(2) 由（1）知，共能得到 36 个这样的点 A (p,q )，只有横、纵坐标的积为 12的点在反比例函数y=12x的图象上，其中这样的点有(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4个，所以点A(p,q)在函数y=12x 的图象上的概率为436=19．【知识点】反比例函数图像上的点的坐标特征、列表法求概率21. 【答案】(1) 0.60(2) ∵10×0.60=6，10−6=4，∴黑球有4只，白球有6只．(3)黑黑黑黑白白白白白白黑黑黑黑黑黑黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑黑黑黑黑黑黑黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑黑黑黑黑黑黑黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑黑黑黑黑黑黑黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白白白白白白白白白白白白黑白黑白黑白黑白白白白白白白白白白白白黑白黑白黑白黑白白白白白白白白白白白白黑白黑白黑白黑白白白白白白白白白白白白黑白黑白黑白黑白白白白白白白白白白白白黑白黑白黑白黑白白白白白白白白白白白∴一共有90种可能的结果，从中一次摸两只球，这两只球颜色不同的有48种情况，∴这两只球颜色不同概率是4890=815．【知识点】用频率估算概率、列表法求概率22. 【答案】(1) 画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况，∴P(和小于4)=312=14，小颖参加比赛的概率为：14；(2) 不公平，∵P(小颖)=14，P(小亮)=34．∴P（和小于4）≠P（和大于等于4），∴游戏不公平；可改为：若两个数字之和小于5，则小颖去参赛；否则，小亮去参赛．【知识点】树状图法求概率23. 【答案】(1) 10；50；(2) 解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P(不低于30元)=812=23；解法二（列表法）：第二次0102030第一次0−−1020301010−−3040202030−−5030304050−−（以下过程同“解法一”)．【知识点】公式求概率、树状图法求概率24. 【答案】(1) 根据从A，D，E，F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取点D时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=14．(2) 用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果．如图所示．∵以点A，E，B，C为顶点及以D，F，B，C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率为P=412=13．【知识点】树状图法求概率、公式求概率25. 【答案】(1) 14(2) 画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果为4种，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率=412=13．【知识点】树状图法求概率、公式求概率11。

一、选择题1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )A．频率等于概率B．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D．试验得到的频率与概率不可能相等2.以下说法合理的是( )A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是23 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖C．某运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是12 D．下表记录了一名球员在罚球线上罚篮的结果：由此频率表可知，这名球员投篮一次，投中的概率约是0.6投篮次数n1001503005008001000投中次数m5896174302484601投中频率mn0.5800.6400.5800.6040.6050.6013.如图，衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是( )A．127B．19C．16D．134.从有理数−1，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线y=−x+1上的概率是( )A ． 16B ． 15C ． 14D ． 135. 在一个不透明的口袋中装有 4 个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 25% 附近，则口袋中白球可能有 ( ) A ．16 个 B ．15 个 C ．13 个 D ．12 个6. 小红上学要经过两个十字路口，假设她在每个路口遇到红、绿灯的概率均为 12，小红上学时经过每个路口都是绿灯的概率为 ( ) A ． 14B ． 13C ． 12D ． 347. 从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是 ( ) A ． 15B ． 13C ． 23D ． 18. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的试验最有可能的是( )试验次数10020030050080010002000频率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A ．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C ．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有 1，2，3，4，5，6），向上的面点数是 5D ．从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球，取到红球9. 一个口袋中装有 3 个绿球，2 个黄球，每个球除颜色外其它都相同，搅均后随机地从中摸出两个球都是绿球的概率是 ( ) A ． 47B ． 310C ． 35D ． 2310. 甲盒子中有编号为 1，2，3 的 3 个白色乒乓球，乙盒子中有编号为 4，5，6 的 3 个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出 1 个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于 6 的概率为 ( ) A ．49B ．59C ．23D ．79二、填空题11.任意抛掷一枚均匀的硬币两次，出现至少有一次正面朝上的概率为．12.从1，2，3，4四个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是．13.经过人民中路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能向左转，若这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是．14.某农科院在相同条件下做了某种苹果幼树移植成活率的实验，结果如下：移植总数100400750150035007000900014000成活数83314606119728105613719411208成活的频率0.830.7850.8080.7980.8030.8020.7990.801那么该种苹果幼树移植成活的概率估计值为．（结果精确到0.1）15.小强掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两枚骰子点数相同的概率为．16.在某次试验数据整理过程中，某个事件发生的频率情况如表所示．试验次数105010020050010002000事件发生的频率0.2450.2480.2510.2530.2490.2520.251估计这个事件发生的概率是（精确到0.01）．17.利用部分个体估计总体的数量时，一般先取部分个体做上标记，然后再混合到总体中去，充分混合后，再取出一部分，计算标记的个体所占的比例，即标记的个体出现的频率，从而．这其实就是抽样调查法，用样本的特征数去估计的特征数．三、解答题18.某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩．(1) 甲去A公园游玩的概率是；(2) 求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率．19.某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任宁老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：(1) 八年级（3）班学生总人数是人，并将条形统计图补充完整；(2) 宁老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这组学生中任意挑选两名担任活动记录员，那么恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率为；(3) 若学校学生总人数为2000人，根据八年级（3）班的情况，估计全校报名军事竞技的学生有多少人？20.2018年6月，宁波全面推进生活垃圾分类工作，如图是某小区放置的垃圾桶，从左到右依次是红色：有害垃圾；蓝色：可回收垃圾；绿色：厨余垃圾；黑色：其他垃圾．(1) 居民A将一袋厨余垃圾随手放入一个垃圾桶，问他能正确投放垃圾的概率是．(2) 居民B手拎两袋垃圾，一袋是可回收垃圾，另一袋是有害垃圾，她先将可回收垃圾随手放入一个垃圾桶，然后把另一袋垃圾又随手放入其他垃圾桶．问：两袋垃圾都投放错误的概率？请画出树状图或列表说明理由．21.某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调査结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1) 在这次调查中，一共调查了名学生．(2) 补全条形统计图．(3) 若该校共有1500名学生，估计爱好运动的学生有多少人？(4) 在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，求选出的恰好是爱好阅读的学生的概率．22.某超市在元旦节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式：方式一：转动转盘甲，指针指向数字1区域时，所购买物品享受9折优惠．指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的数字相同，所购买物品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同（若指针指向分界线，则重新转动转盘）(1) 若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率是多少？(2) 若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．23.一个不透明的布袋里装有2个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．(1) 从中任意摸出1个球，则摸到白球的概率是．(2) 先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是红球的概率．24.在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．(1) 请用画树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果；（卡片用A，B，C，D表示）(2) 我们知道，满足的a2+b2=c2三个正整数a，b，c称为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．25.研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色球的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统计结果如表所示：推测计算：由上述的摸球实验可推算：(1) 盒中红球，黄球各占总球数的百分比分别是多少？(2) 盒中有红球多少个？答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】用频率估算概率2. 【答案】D【知识点】用频率估算概率3. 【答案】D【知识点】树状图法求概率4. 【答案】D【解析】画树状图如图：共有12种等可能的结果，其中点刚好在一次函数y=−x+1的图象上的结果有4种，所以满足点在直线y=−x+1上的概率是412=13．【知识点】树状图法求概率5. 【答案】D【解析】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色的概率为25%，∴44+x =14，解得：x=12，故白球的个数为12个．【知识点】用频率估算概率6. 【答案】A【解析】画树状图如图：由树状图知共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为14．【知识点】树状图法求概率7. 【答案】C【解析】选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是23．【知识点】列表法求概率8. 【答案】D【解析】由表格可知，试验的概率大约是0.33．选项A，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为12，不符合题意；选项B，一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为14，不符合题意；选项C，抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是16，不符合题意；选项D，从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是13，与0.33最接近，符合题意．故选D．【知识点】用频率估算概率9. 【答案】B【解析】列表得： 绿黄绿黄绿黄黄黄−绿黄绿黄绿黄−黄黄绿绿绿绿−黄绿黄绿绿绿−绿绿黄绿黄绿−绿绿绿绿黄绿黄绿∵共有20种等可能的结果，从中摸出两个球都是绿球的有6种情况，∴从中摸出两个球都是绿球的概率是：620=310．故选：B．【知识点】列表法求概率10. 【答案】C【解析】共9种等可能结果，编号之和大于6的结果有6种，∴P=69=23．【知识点】概率的计算二、填空题11. 【答案】34【知识点】树状图法求概率12. 【答案】13【解析】共12种情况，和为偶数的情况数有4种，所以概率为13．【知识点】树状图法求概率13. 【答案】34【解析】画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能的结果，其中至少有一辆向左转的结果有3种，所以至少有一辆向左转的概率为34．【知识点】树状图法求概率14. 【答案】 0.8【解析】大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值， ∴ 这种苹果幼树移植成活的概率约为 0.8． 【知识点】用频率估算概率15. 【答案】 16【解析】列表得：(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)由表可知一共有 36 种情况，两枚骰子点数相同的有 6 种，所以两枚骰子点数相同的概率 =636=16． 【知识点】列表法求概率16. 【答案】0.25【解析】由表格中数据可得：这个事件发生的概率是：0.25． 【知识点】用频率估算概率17. 【答案】估计出总体的数量；总体【知识点】用样本估算总体三、解答题 18. 【答案】(1) 共两个公园，所以甲去A 公园游玩的概率是 12．(2) 画树状图如下：由树状图知共有 8 种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有 2 种结果，∴ 甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为 14． 【知识点】树状图法求概率、公式求概率19. 【答案】(1) 40条形统计图补充为： (2) 23(3) 估计全校报名军事竞技的学生有2000×1440=700（人）．【解析】(1) 八年级（3）班学生总人数是12÷30%=40（人），所以C项目的人数为40−12−14−4=10（人），故答案为：40人．(2) 画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8，所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率=812=23，故答案为：23．【知识点】用样本估算总体、树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图20. 【答案】(1) 14(2) 记有害垃圾为A，可回收垃圾为B，厨余垃圾为C，其他垃圾为D，B C DA−−(B,A)(C,A)(D,A)B(A,B)−−(C,B)(D,B)C(A,C)(B,C)−−(D,C)D(A,D)(B,D)(C,D)−−由表可知共有12种等可能结果，其中两袋垃圾都投放错误的有7种结果，∴两袋垃圾都投放错误的概率为712．【解析】(1) 他能正确投放垃圾的概率是14；【知识点】公式求概率、列表法求概率21. 【答案】(1) 100(2) 如图：(3) 爱好运动的学生所占的百分比为40%，∴估计爱好运动的学生人数为：1500×40%=600人．(4) 爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，∵用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为310．【知识点】用样本估算总体、用频率估算概率、扇形统计图、条形统计图22. 【答案】(1) 若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向1区域只有1种情况，∴享受9折优惠的概率为P=14．(2) 画树状图（表格）如下： 甲乙12341(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)由树状图（表格）可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，∴顾客享受8折优惠的概率：P=212=16．（树状图或表格其中一种即可）【知识点】列表法求概率、公式求概率23. 【答案】(1) 12(2) 画树状图得：∵共有12种等可能的结果，同时摸两个球恰好是两个红球的有2种情况，∴两次摸到的球都是红球的概率为212=16．【解析】(1) 从中任意摸出1个球，则摸到白球的概率是24=12．【知识点】树状图法求概率、公式求概率24. 【答案】(1) 列表法：树状图：由列表或树状图可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，分别为（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C）．(2) 由（1）知：所有可能出现的结果共有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有（B，C），（B，D），（C，B），（C，D），（D，B），（D，C）共6种．∴P(抽到的两张卡片上的数都是勾股数)=612=12．【知识点】公式求概率、列表法求概率、树状图法求概率25. 【答案】(1) 由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，所以红球所占百分比为20÷50=40%，黄球所占百分比为30÷50=60%，故红球占40%，黄球占60%．(2) 由题意可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次，所以总球数为8÷450=100．所以红球数为100×40%=40．所以盒中红球有40个．【知识点】用频率估算概率。

一、选择题1. 太原是我国生活垃圾分类的 46 个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾（如图）．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各 1 个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是 ( )A ． 16B ． 18C ．112D ．1162. 袋子里有 4 个黑球和 m 个白球，它们除颜色外都相同，经过大量实验，从中任取一个球恰好是白球的频率是 0.20，则 m 的值是 ( ) A ． 16 B ． 4 C ． 2 D ． 13. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随取了该区 100 名九年级男生，他们的身高 x (cm ) 统计如表，根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不高于 180 cm 的概率是 ( )组别(cm )x ≤160160<x ≤170170<x ≤180x >180人数1542385A ． 0.05B ． 0.38C ． 0.57D ． 0.954. 甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字 14，12，1 的卡片，乙中有三张标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为 a ，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 b ．若 a ，b 能使关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx +1=0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜，则乙获胜的概率为 ( ) A ． 23B ． 59C ． 49D ． 135. 现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上的图案是“”，1 张卡片正面上的图案是“”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是 ( )A ． 916B ． 34C ． 38D ． 126. 从数字 2，3，4 中任选两个数组成一个两位数，组成的数是偶数的概率是 ( ) A ． 23B ． 12C ． 13D ． 567. 布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色有“一红一黄”的概率是 ( ) A ． 16B ． 29C ． 13D ． 238. 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了 100 次，其中有 10 次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有 ( ) 个． A ． 45B ． 48C ． 50D ． 559. 在一个不透明的布袋中装有 50 个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.3 左右，则布袋中白球可能有 ( ) A ． 15 个B ． 20 个C ． 30 个D ． 35 个10. 某校对八年级 700 名学生的数学测试成绩做了统计，列出如下的统计表，则八年级学生数学成绩不合格的人数是 ( )组别优秀良好合格不合格频率0.600.250.100.05A ． 420B ． 175C ． 70D ． 35二、填空题11. 完全相同的 3 个小球上面分别标有数 −2，−1，1，将其放入一个不透明的盒子中后摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀），两次摸到的球上数之和是负数的概率是 ．12. 如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为 3 m 的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25 附近，由此可估计不规则区域的面积是 m 2．13.甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两人先打．规则如下：三人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两人手势相同（都是手心或都是手背）．则这两人先打；若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是．14.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中白球大约有个．15.在−4，−2，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数y=ax+b中a，b的值，则该一次函数图象经过第一、二、四象限的概率为．16.小强掷两枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两枚骰子点数相同的概率为．17.任意抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币一个正面朝上，一个反面朝上的概率是．三、解答题18.如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A，B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？19.某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据：转动转盘的次数n1001502005008001000落在"一支铅笔"区域的次数m681111363455467010.680.740.680.690.680.70落在"一支铅笔"区域的频率mn(结果保留小数点后两位)(1) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为（结果保留小数点后一位）．(2) 铅笔每支0.5元，饮料每瓶3元，经统计，该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天大致需要支出的奖品费用．(3) 在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在3000元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为度．20.在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌，请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率．21.2015年榕城区从中随机调查了5所初中九年级学生的数学考试成绩，学生的考试成绩情况如表（数学考试满分120分）．(1) 这5所初中九年级学生的总人数有多少人？(2) 统计时，老师漏填了表中空白处的数据，请你帮老师填上；(3) 从这5所初中九年级学生中随机抽取一人，恰好是108分以上（不包括108分）的概率是多少？22.学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．请根据统计图解答下列问题：(1) 本次调查中，王老师一共调查了名学生；(2) 将条形统计图补充完整；(3) 为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．23.“2018扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：“中国梦半程马拉松”、“幸福大道半程马拉松”、“青春在途半程马拉松”．小雯和小琪参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．(1) 小雯被分配到“中国梦半程马拉松”项目组的概率为．(2) 请用树状图或者列表求小雯和小琪被分配到不同项目组的概率．24.随着手机的日益普及，学生使用手机给学校管理和学生发展带来诸多不利影响．为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》．为贯彻《通知》精神，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1) 获奖总人数为人，m=；(2) 请将条形统计图补充完整；(3) 学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率．25.当前“精准扶贫”工作已进入攻坚阶段，凡贫困家庭均要“建档立卡”．某初级中学七年级共有四个班，已“建档立卡”的贫困家庭学生人数按一、二、三、四班分别记为A1，A2，A3，A4．现对A1，A2，A3，A4统计后，制成如图所示的统计图．(1) 七年级已“建档立卡”的贫困家庭的学生总人数是人；(2) 将条形统计图补充完整，并求出A1所在扇形的圆心角的度数是；(3) 现从A1，A2中各选出一人进行座谈，若A1中有一名女生，A2中有两名女生，请用树状图或表格表示出所有可能情况，并求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】可回收物、厨余垃圾，有害垃圾和其他垃圾对应的垃圾桶分别用A，B，C，D表示，垃圾分别用a，b，c，d表示，设分类打包好的两袋不同垃圾为a，b，画树状图如图：共有12个等可能的结果，分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1个，．∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为112【知识点】树状图法求概率2. 【答案】D【解析】袋子里有4个黑球，m个白球，若从中任取一个球恰好是白球的概率是m，4+m=0.2，根据题意可得：m4+m解得m=1．经检验m=1是分式方程的根，所以m=1．【知识点】用频率估算概率3. 【答案】D=0.95，【解析】样本中身高不高于180cm的频率=100−5100所以估计他的身高不高于180cm的概率是0.95．【知识点】用频率估算概率4. 【答案】C【解析】由题意知，当b2−4a≤0时，乙获胜．画树状图如图：由图可知，共有9种等可能的结果，其中满足b2−4a≤0的结果有4种，∴乙获胜的概率为4，9故选C．【知识点】树状图法求概率5. 【答案】D【解析】记图案“”为字母“a”，图案“”为字母“b”，画树状图如下．共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面图案相同的结果有6种，则所求概率为612=12．故选D．【知识点】树状图法求概率6. 【答案】A【解析】画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中组成的数是偶数的结果数为4，∴组成的数是偶数的概率=46=23．【知识点】树状图法求概率7. 【答案】C【解析】画树状图如下：一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，∴P(一红一黄)=26=13．【知识点】树状图法求概率8. 【答案】A【解析】∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1:9，∵白球有5个，∴红球有9×5=45（个）．【知识点】用频率估算概率9. 【答案】D【解析】设袋中有黄球x个，由题意得x50=0.3，解得x=15，则白球可能有50−15=35个．【知识点】用频率估算概率10. 【答案】D【解析】八年级学生数学成绩不合格的人数是700×0.05=35，故选D．【知识点】用频率估算概率二、填空题11. 【答案】23【解析】画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能的结果，其中两次摸到的球上数之和是负数的有6种结果，所以两次摸到的球上数之和是负数的概率为69=23．【知识点】树状图法求概率12. 【答案】2.25【解析】 ∵ 经过大量重复投掷实验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数 0.25 附近． ∴ 小石子落在不规则区域的概率为 0.25， ∵ 正方形的边长为 3 m ， ∴ 面积为 9 m 2， 设不规则部分的面积为 S ， 则 S9=0.25， S =2.25．【知识点】用频率估算概率13. 【答案】12【解析】假如甲出的是手心，则只要乙和丙两人有一人出手心甲都可以打乒乓球，乙和丙两人的手势情况如下表：手心手背手心同是手心一手心一手背手背一手心一手背手背所以共有四种等可能的情况，仅出现一次手心的有两种情况，所以甲能打乒乓球的概率为 14；甲出手背同理，所以甲打乒乓球的概率为 12． 【知识点】列表法求概率14. 【答案】 15【解析】设白球个数为：x 个，∵ 摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右， ∴ 口袋中得到红色球的概率为 0.25， ∴5x+5=14，解得：x =15， 即白球的个数为 15 个． 【知识点】用频率估算概率15. 【答案】 13【解析】画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，满足 a <0，b >0 的结果数为 4， ∴ 该一次函数图象经过第一、二、四象限的概率为 412=13．【知识点】一次函数的图象与性质、列表法求概率16. 【答案】 16【解析】列表得：(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)由表可知一共有 36 种情况，两枚骰子点数相同的有 6 种，所以两枚骰子点数相同的概率 =636=16． 【知识点】列表法求概率17. 【答案】 12【解析】列表如下：正反正(正,正)(正,正)反(正,反)(反,反)所有可能的情况有 4 种，其中一个正面朝上，一个反面朝上的情况有 2 种， 则 P =24=12．【知识点】列表法求概率三、解答题18. 【答案】列表如下：1123422469336912以上共有 12 个等可能的结果，其中积为偶数的有 8 个结果，积为奇数的有 4 个结果， ∴P(甲胜)=23，P(乙胜)=13，∵P(甲胜)>P(乙胜)， ∴ 规则不公平． 【知识点】列表法求概率19. 【答案】(1) 0.7(2) 4000×0.5×0.7+4000×3×0.3=5000 元． 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为 5000 元． (3) 36【解析】(3) 设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n度，则4000×3×n360+4000×0.5(1−n360)=3000，解得n=36，所以转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为36度．【知识点】用频率估算概率20. 【答案】列表得：34563—(4,3)(5,3)(6,3)4(3,4)—(5,4)(6,4)5(3,5)(4,5)—(6,5)6(3,6)(4,6)(5,6)—所有等可能的情况有12种，抽取的2张牌的数字之和为偶数的情况有4种，则P=412=13．【知识点】列表法求概率21. 【答案】(1) 这5所初中九年级学生的总人数=368÷0.2=1840人；(2) 644；0.35；130(3) 随机抽取一人，恰好是获得108分以上的概率=130+541840=110．【解析】(2) ∵81−95分的频率为1−(0.2+0.25+0.2)=0.35，则81−95分的频数为1840×0.35=644人，∴109−119分的频数为1840−(368+460+644+184+54)=130．【知识点】用频率估算概率22. 【答案】(1) 20(2) 因为C类女生：20×25%−2=3（名）；D类男生：20×(1−15%−50%−25%)−1=1（名）；如图：(3) 列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，男A1男A2女A男D男A1男D男A2男D女A男D女D男A1女D男A2女D女A女D共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：36=12．【解析】(1) 根据题意得：王老师一共调查学生：(2+1)÷15%=20（名）．【知识点】树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图23. 【答案】(1) 13(2) 设小雯和小琪被分配到不同项目组的概率为Pʹ，Pʹ=2×33×3=23．【知识点】公式求概率、树状图法求概率24. 【答案】(1) 40；30(2)(3) 画树状图为：共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6，所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率=612=12．【解析】(1) 获奖总人数为8÷20%=40（人），m%=40−4−8−1640×100%=30%．即m=30．(2) “三等奖”人数为40−4−8−16=12（人）．【知识点】扇形统计图、树状图法求概率、条形统计图25. 【答案】(1) 15(2) 统计图如图：48∘(3) 12（图略）．【知识点】条形统计图、扇形统计图、树状图法求概率。