最新第三章概率的进一步认识专题复习 - 名师精编资料汇编

第三章概率的进一步认识单元整理一．单元目标整理1.了解一步实验与两步实验在概率求解方法上的区别，会运用列举法，树状图或表格列举所有可能事件的结果。

2.理解放回实验与不放回实验的区别，能分别运用树状图或表格列举出放回实验和不放回实验所出现的所有可能结果。

3.能够将不等可能性事件转化为等可能性事件，从而利于树状图或表格列举所有可能结果。

4.理解当实验次数足够大时，频率稳定与理论概念，并能够运用其解决实际问题。

二．基础知识过关练1.一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是()A．23B．12C．13D．192.不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别.从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（）A.14B.13C.12D.233.在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为()A．14B．23C．13D．3164.某班从甲、乙、丙、丁四位选中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A. 13B.14C.16D.185.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．B．C．D．6.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是()A．49B．29C．23D．137.在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）A．5 B．10C．12 D．158.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．三．知识结构构建四．能力提升训练1.2020年10月，枣庄市举行“红色故事讲述大赛”活动，峄城区从在比赛中脱颖而出的小贤、小晴、小艺、小志四位同学随机挑选参加市里比赛。

第三章概率的进一步认识复习【教学目标】知识于技能目标：回顾本章的内容，梳理本章的知识结构，建立有关概率知识的框架图..用所学的概率知识去解决某些现实问题，再自我回忆和总结出实验频率与理论概率的关系过程与方法目标.初步形成评价与反思的意识..通过举例，进一步发展学生随机观念和统计观念..学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神情感与态度目标：积极参与回顾与思考的过程，对数学有好奇心和求知欲.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心..形成实事求是的态度.教学重、难点：教学重点：引导学生回顾本章内容，梳理知识结构，共同建立有关概率知识的框架图.教学难点：结合实例，理解实验频率和理论概率的关系【导学过程】【创设情景，引入新课】一、知识链接：（一）、知识指导与梳理：（二）、知识回顾：1、事件发生的可能性也称为事件发生的。

在考察中，每个对象出现的次数称为，而每个对象出现的次数与总次数的比值称为。

2、当实验次数很大时，可以用一个事件发生的来估计这一事件发生的。

3、利用或可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果。

4、用实验的方法统计下列事件发生的概率：（1）、掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为。

（2）、掷一枚均匀的正六面体骰子，3点朝上的概率为。

（3）、掷一枚均匀的正六面体骰子，每次实验掷两次，两次朝上的骰子点数之和为5的概率为。

（三）、例题解析：例1、袋中有4个红球、1个白球，它们除颜色外都相同。

（1）用试验的方法估计，从袋中任意摸出一个球它是白球的概率；（2）从袋中任意摸出一个球它是白球的概率理论上应等于多少？（3）试验估计的结果和理论计算的结果一致吗？为什么？你认为怎样才能得到更为准确的估计值？例2、图2是“配紫色”游戏的两个转盘，你能用树状图或列表的方法求出配成紫色的概率吗？图1例3、某校九年级的初中学生共796名，学生的出生月份统计如下，根据图5中数据回答以下问题：图2（1）出生人数超过60人的月份有哪些？（2）出生人数最多的是几月？（3）在这些学生中至少有两个人生日在10月5日是不可能的，可能的，还是必然的？（4）如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月的概率最小？例4、小明和小亮用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正如图3所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小明得1分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，小亮得1分（如图4）该游戏规则对双方公平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方都公平？图 3 图 41、甲、乙两队进行一场篮球赛，“甲队得分为奇数”是 事件，它的概率为 。

第三章概率的进一步认识3.1用树状图或表格求概率（1）学习目标：1. 进一步理解当试验次数较大时试验频率稳定于概率.2．会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．学习重点：借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．学习难点：理解两步试验中“两步”之间的相互独立性，进而认识两步试验所有可能出现的结果及每种结果出现的等可能性.正确应用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率．学习过程：一、导入新课：1、问题再现：小明和小凡一起做游戏。

在一个装有2个红球和3个白球(每个球除颜色外都相同)的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜。

（1）这个游戏对双方公平吗？（2）在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方公平的？如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？2、提出新问题：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票。

三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影。

游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一枚反面朝上，小凡获胜。

你认为这个游戏公平吗？（如果不公平，猜猜谁获胜的可能性更大？）二、自学指导：1、自主学习（1）每人抛掷硬币20次，并记录每次试验的结果，根据记录填写下面的表格：抛掷的结果两枚正面朝上两枚反面朝上一枚正面朝上、一枚反面朝上频数频率（2）累计各组的试验数据，相应得到试验100次、200次、300次、400次、500次……时出现各种结果的频率（3）由上面的数据，请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。

由此，你认为这个游戏公平吗？活动体会：从上面的试验中我们发现，试验次数较大时，试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正面朝上。

一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。

所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利。

第3章概率的进一步认识整理与复习一、概率的基本概念回顾概率是数学中研究事件发生可能性的一门分支。

在初中数学中，我们已经学习了概率的基本概念，包括随机事件、样本空间和概率的计算方法等。

1. 随机事件：随机事件是指在一定条件下，无法预测结果的事件。

在数学中，我们用字母A、B、C等表示随机事件。

2. 样本空间：样本空间是指一个试验中可能出现的所有结果组成的集合，用S表示。

样本空间可以是有限个元素的集合，也可以是无限多个元素的集合。

3. 概率的计算方法：在概率的计算中，我们常使用频率概率和理论概率两种计算方法。

•频率概率是指通过大量重复试验，统计事件发生的次数与总试验次数之比来估计事件发生的可能性。

•理论概率是指根据事件在样本空间中的可能性来计算事件发生的可能性。

二、条件概率以及乘法定理1. 条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，事件A发生的可能性。

用P(A|B)表示条件概率，读作“事件B发生的条件下，事件A发生的概率”。

条件概率的计算公式如下：$$ P(A|B) = \\frac{{P(A \\cap B)}}{{P(B)}} $$其中，P(A ∩ B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

2. 乘法定理乘法定理是指计算多个事件同时发生的概率的方法。

对于事件A、B、C，乘法定理可以表示为：$$ P(A \\cap B \\cap C) = P(A) \\cdot P(B|A) \\cdot P(C|A \\cap B) $$其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(C|A ∩ B)表示在事件A和事件B同时发生的条件下，事件C发生的概率。

三、事件的独立性1. 独立事件的概念如果事件A和事件B的发生与否互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，事件B的发生与否也不会改变事件A的发生概率，那么我们称事件A和事件B是独立事件。

第三章 概率的进一步认识1.用树状图或表格求概率2.用频率估计概率※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．； 每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．； 即：实验次数频数数据总数频数频率== 在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。

因此，各个小长方形的面积的和等于1。

※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。

用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。

可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。

※假设布袋内有m 个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x 条鱼，则可依照20010100=x 估算出鱼的条数。

（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX ”）※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。

附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

《概率的进一步认识》题型归纳及中考链接一、频数与频率频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做 ， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为 。

概率：通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率在进行试验的时候，当试验的次数很 大时，某个事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个值叫做 。

（概率=频率） 样本容量： .三大事件：必然事件发生的概率为 ；不可能事件发生的概率为 ； 不确定事件发生的概率在 与 之间。

思考：频率和概率完全相同吗？例题：不透明的袋中有3个大小相同的球，其中2个位白色，1个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据：（1）请将表中的数据补充完整。

（2）观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率 . 练习：一个布袋中有8个红球和16个白球，它们除颜色外都相同 （1）求从布袋中摸出一个球是红球的概率。

（2）现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，要使从布袋中摸出一个球是红球的概率是85，问取走了多少个白球？（要求通过列式或方程解答）练习：三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下：（1）将上述表格补充完整；（2）观察表格，估计摸到A的概率；（3）求摸到A的概率；二、列表法与树状图法定义：当某些等可能事件混合发生时，我们需要用到两层概率运算时，我们一般采用列举法补充：列举法在求事件发生的概率中的应用主要体现在将所有可能的情况运用画树状图或列表一一列举出来（注：列表法适用于两层概率的计算，三层概率计算只能用树状图）题型一：概率的计算例题：掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子点数和为7的概率。

练习1：箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，求第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率？例题2：图中是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃和方块，将它们分别重新洗牌后背面朝上，从两组排钟各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？练习1：我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中”立定跳远“”100米跑“”肺活量测试“为必测项目，另一项为”引体向上“和“推铅球”中选择一项测试。

编号：57684289337954225654444158学校：杭处市净水镇坝上平小学*教师：务讯理*班级：翔翔参班*第三章概率的进一步认识讲义一、本章知识结构图树状图或列表求概率专题一用树状图和列表法计算事件发生的概率1、(2009年云南省)在一个不透明的纸箱里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有2个，黄球有1个，蓝球有1个. 现有一张电影票，小明和小亮决定通过摸球游戏定输赢（赢的一方得电影票）．游戏规则是：两人各摸1次球，先由小明从纸箱里随机摸出1个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再由小亮随机摸出1个球．若两人摸到的球颜色相同，则小明赢，否则小亮赢．这个游戏规则对双方公平吗？请你利用树状图或列表法说明理由．解：开始由上述树状图或表格知：所有可能出现的结果共有16种．P （小明赢）=63168=，P （小亮赢）=105168=． ∴此游戏对双方不公平，小亮赢的可能性大． （说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可）2、（2009年崇左）一只口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一只球，取出红球的概率是14． （1）取出白球的概率是多少？（2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？ 解：（1）()()P 1P =-取出白球取出红球 =13144-=（2）设袋中的红球有x 只，则有1184x x =+ （或183184x =+） 解得6x =或所以，袋中的红球有6只．【知识要点】用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率．【方法技巧】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结果是完全不一样的.用频率估计概率专题二事件发生的频率与概率之间的关系1. 在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（）A、15个B、20个C、30个D、35个2. 一个不透明的盒子中放有4张扑克牌，牌面上的数字分别3，4，5，x，这些扑克牌除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从盒子中各随机摸出1张牌，并计算摸出的这2张牌面上的数字之和．记录后都将牌放回盒子中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为9”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为9”的概率；（2）根据（1），若x是不等于3，4，5的自然数，试求x的值．3. 小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：依此估计此封闭图形ABC的面积是米2．【知识要点】通过实验.理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率附近．并据此估计某一事件发生的概率．请用列表或树状图的方法求连续掷三次硬币正面朝上的概率？二、知识过关1.“一方有难，八方支援”,地震牵动着全国人民的心，汉中市某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选出一位医生和一名护士支援灾区.（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果；（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率.2、（2009贺州）一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球．（1）请你列出所有可能的结果；（2）求两次取得乒乓球的数字之积为奇数的概率． 解：（1由以上表格可知：有12种可能结果（2）在（1）中的12种可能结果中，两个数字之积为奇数的只有2种， 所以，P （两个数字之积是奇数）21126==． 3、（2009年山西省）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费．某顾客刚好消费200元． （1）该顾客至少可得到 元购物券，至多可得到 元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．解：（1）10，50；（2）解：解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P （不低于30元）=82123=． 解法二（列表法）：0 10 20 30 1020 30 10 02030 10 3040 0 10 30 20 2030 50 20 30 0 10 503040 第一次 第二次 和4、（2009年铁岭市）小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．解：（1）根据题意可列表或树状图如下：从表或树状图可以看出所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，符合条件的结果有8种， ∴P （和为奇数）23= （2）不公平．∵小明先挑选的概率是P （和为奇数）23=，小亮先挑选的概率是P （和为偶数）13=， ∵2133≠，∴不公平．（1，2） （1，3） （1，4） 2341 （1，1） （2，3） （2，4） 1342 （3，1） （3，2） （3，4） 1243 （4，1） （4，2） （4，3）1234 第一次摸球 第二次摸球。

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第三章概率的进一步认识
本章的主要内容包括：用树状图或表格求概率、用频率来估计概率．
七年级已经认识了许多随机事件，理论地研究了一些简单的随机事件发生的可能性．本章是上述内容的延伸，介绍了两种计算简单事件概率的方法——画树状图法和列表法，以及利用试验频率和理论概率之间的关系，揭示统计推断的一些理论依据，加强概率和统计的联系，加深对概率的理解．通过试验，理解试验次数较大时频率稳定于理论概率，据此估计某一事件发生的概率．在中考中，本章重点在考查概率的相关概念、用列举法求简单事件的概率以及通过频率估计概率．
【本章重点】
用画树状图法或列表法求简单事件的概率、用频率估计概率．
【本章难点】
用恰当的方法求概率以及利用概率知识解决实际问题．
【本章思想方法】
1．掌握数形结合思想．如：通过列表、画树状图或计算几何图形的面积来求解简单事件的概率．
2．体会转化思想．如：在进行模拟试验时，常将不易进行的试验转化为用替代物来进行模拟试验；在计算与图形有关的简单事件的概率时，常转化为求图形的面积来计算．
1用树状图或表格求概率2课时
2用频率估计概率1课时。

第三章概率的进一步认识1.了解利用数据可以进行统计推断,发展建立数据分析观念,感受随机现象的特点.2.能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件的概率.3.知道通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率.4.经历试验、收集与统计试验数据、分析试验结果等活动过程,进一步发展数据分析观念,体会概率与统计的关系.5.通过试验进一步感受随机事件发生的频率的稳定性,理解随机事件发生的频率与概率的关系,加深对概率意义的理解.1.能运用列表和画树状图等方法计算一些简单事件发生的概率,能用试验频率估计一些较复杂随机事件发生的概率.2.能运用概率解决一些简单实际问题,进一步发展应用意识.在活动过程中积累活动经验,体验与他人合作、交流的意义和作用.七年级已经认识了许多随机事件,理论地研究了一些简单的随机事件发生的可能性.本章是上述内容的延伸,进一步认识了频率与概率的关系,进而加深对概率的理解.通过试验,理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率,据此估计某一事件发生的概率.本章是围绕概率计算的两种方式——理论计算和试验估算展开的.对于没有理论概率或虽然存在理论概率,但其理论计算已超出了学生的认知水平的,学生借助试验模拟获得其估计值,去估计随机事件发生的概率,让学生理解事件发生的频率与概率之间的关系.本章还介绍了两种计算概率的方法——树状图和列表法,以及利用试验频率和理论概率之间的关系,揭示统计推断的一些理论依据,加强概率与统计的联系.【重点】1.感受数据的随机性.2.了解随机现象的特点.3.理解概率的意义.【难点】1.能用列表法、画树状图法求概率.2.会用频率估计概率.1.注重学生的合作和交流活动,在活动中促进知识的学习,并进一步发展学生合作交流的意识和能力.2.引导学生积极参与试验活动,积累活动经验,体会概率与统计的关系.3.在学生进行试验前,学生应懂得为什么要做试验,怎样做试验,小组分工要明确,每个人负责什么样的任务,最后进行统计,然后分析数据,得出结论.4.教学应充分关注学生的认知冲突和学生的活动过程,要组织好学生进行试验.5.注重引导学生积极参与试验活动,在试验中体会频率的稳定性,形成对概率的全面理解,发展学生初步的辩证思维能力.6.务必引导学生积极参与试验,学生通过大量试验还会发现,试验频率并不一定等于概率,虽然多次试验的频率逐渐稳定于其理论概率,但也可能无论做多少次试验,试验频率仍然是理论概率的一个近似值,而不等同于理论概率,两者存在着一定的偏差,应该说,偏差的存在是正常的、经常的.因此学生对概率的理解应是多方面的,应尽量让学生通过具体试验领会这一点,从而形成对某一事件发生的概率有较为全面的理解,初步形成随机观念,发展学生初步的辩证思维能力.1用树状图或表格求概率通过试验,理解当试验次数较多时试验频率稳定于理论概率,并据此估计某一事件发生的概率.学习用树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率.经历计算理论概率的过程,在活动中进一步发展学生的合作交流意识及反思的习惯.经历试验、统计等活动过程,在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.培养学生合作交流的意识和能力,提高学生对所研究问题的反思和拓展能力,逐步形成良好的反思意识.鼓励学生积极参与数学活动,通过试验提高学生学习数学的兴趣.鼓励学生思维的多样性,发展学生的创新意识.【重点】会用树状图和列表的方法计算随机事件发生的概率.【难点】理解事件出现的等可能性,正确地分析出两步试验中出现的所有情况.第课时1.通过大量试验发现概率的大小.2.会用树状图或表格求概率.通过试验活动培养学生发现、总结问题的能力.培养学生的交流与合作意识.【重点】用树状图或表格求概率.【难点】通过大量试验发现概率的大小.【教师准备】试验用的表格、硬币等.【学生准备】复习有关概率的知识.导入一:抛两枚一模一样的质地均匀的正方体骰子可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?向上点数一样的可能性又是多少?这些问题都可以用画树状图法或列表法进行求解.导入二:十一黄金周期间,梁先生驾驶汽车从甲地经乙地到丙地游玩.甲地到乙地有三条公路,乙地到丙地也有三条公路,每条公路的长度如图所示,梁先生任选一条从甲地到丙地的路线,这条路正好是最短路线的可能性是多少?说说你是怎么算出来的.小明、小颖和小凡都想周末去看电影,但只有一张电影票,三人决定一起做游戏,谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下:连续掷两枚质地均匀的硬币,若两枚正面朝上,则小明获胜;若两枚反面朝上,则小颖获胜;若一枚正面朝上、一枚反面朝上,则小凡获胜.师生活动:学生分小组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发生的概率.教师参与到学生当中,给有困难的学生个别指导.[设计意图]本课问题情境的建立可以立足于自己班级学生的实际情况,也可以采用不同的问题环境进行呈现,不需要局限于电影票.这样可以很好地吸引学生的参与,引发热烈的研究兴趣.教师提问:(1)掷第一枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?(2)掷第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面朝上呢?学生思考并回答问题.教师活动:我们通常借助树状图或表格列出所有可能出现的结果:第一枚硬币和第二枚硬币所有可能出现的结果总共有4种,每种结果出现的可能性相同,其中: 小明获胜的结果有1种:(正,正),所以小明获胜的概率是.小颖获胜的结果有1种:(反,反),所以小颖获胜的概率也是.小凡获胜的结果有2种:(正,反)(反,正),所以小凡获胜的概率是.因此,这个游戏对三人是不公平的.探究活动二:验证游戏的公平性.师发给学生下面表格:每个小组做20次试验,总结:在计算复杂事件发生的概率时往往采用画树状图或列表格法(下面统称列表法)进行分析,利用树状图或表格,可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,从而比较方便地求出某些事件发生的概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件,列表法适合两步完成的事件.[知识拓展]在利用画树状图法或列表法求概率时,各种情况出现的可能性必须相同,把可能性不同的情况当成等可能的情况处理是错误的.1.从1,2,-3三个数中,随机抽取2个数相乘,积为正数的概率为()A.0B.C.D.0答案:B2.小刚掷一枚质地均匀的正方体骰子,骰子的6个面分别刻有1到6的点数,则这个骰子向上的一面点数大于3的概率为()A. B. C. D.答案:A3.我们可以用和的方法来计算发生的概率.答案:列表法画树状图随机事件4.用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫,用画树状图的方法列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫.答案:列表法树状图法第1课时1.探究活动一树状图法列表法2.探究活动二一、教材作业【必做题】教材第62页习题3.1的1,2题.【选做题】教材第62页习题3.1的3题.二、课后作业【基础巩固】1.学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.下图是两个完全相同的转盘,每个转盘被分成面积相等的四个区域,分别用数字“1”“2”“3”“4”表示,固定指针,同时转动两个转盘,任其自由停止,若两指针所指数字的积为奇数,则甲获胜;若两指针所指数字的积为偶数,则乙获胜;若指针指向扇形的分界线,则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是()A. B. C. D.2.5月19日为中国旅游日,衢州推出“读万卷书,行万里路,游衢州景”的主题系列旅游惠民活动,市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩,则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是()A. B. C. D.【能力提升】3.小明从家到学校沿途需经三个路口,每个路口都设有红、绿两种颜色的信号灯,在信号灯都正常的情况下:(1)请用树状图列举小明遇到交通信号灯的所有情况;(2)小明遇到两次绿色信号灯的概率有多大?(3)小明红、绿色两种信号灯都遇到的概率有多大?【拓展探究】4.准备三张完全相同的纸片,两张纸片上各画一个三角形,另一张纸片上画一个正方形,如果将这三张纸片放在一个盒子里搅匀,那么随机地抽取两张纸片,可能拼成一个菱形(取出的是两张画三角形的纸片),也可能拼成一个房子(取出的是一张画三角形和一张画正方形的纸片),这个游戏的规则是这样的:若拼成一个菱形,甲赢,若拼成一个房子,乙赢.你认为这个游戏是公平的吗?说明你的理由.【答案与解析】1.C(解析:所有出现的情况如下表,共有16种情况,每种情况出现的可能性相同,积为奇数的有4种情况,所以在该游戏中甲获胜的概率是＝,乙获胜的概率为＝.故选C.)2.A(解析:画出树状图如图所示,∴一共有9种等可能的结果,王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山有1种情况,∴王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是.故选A.)3.解:(1)根据题意画出树状图如图所示.一共有8种等可能的情况. (2)遇到两次绿色信号灯的情况有3种,所以遇到两次绿色信号灯的概率是.(3)遇到红、绿色两种信号灯的情况有6种,所以遇到红、绿色两种信号灯的概率是＝.4.解:不公平.理由如下:这是随机事件,抽到哪两张的概率是相等的.随机地抽取两张,结果有三种:“两张画三角形的纸片”“一张画三角形和一张画正方形的纸片”“一张画三角形和一张画正方形的纸片”,所以说拼成一个房子的可能要大,对于甲和乙机会是不均等的,所以游戏不公平.画出树状图如图所示,拼成一个菱形的概率是＝,拼成一个房子的概率是＝,因为,所以这个游戏不公平.学生通过游戏活动体验了概率情况的不确定性,通过树状图和表格帮助学生认识分析概率情况的基本方法,这是本课时的最大成功之处.树状图和表格有着不同的适用对象,虽然在教学的过程中对此作了说明和介绍,但学生还是缺乏实际操作的体验,这一点在课堂上做的不够.从课时的教学内容看,本课时是内容比较浅显的概率问题.为深化学生的理解,可以让学生自己尝试设计类似游戏的方式,对游戏的公平性给出自己的评价.不管设计的是公平游戏还是不公平的游戏,教师都要从知识的角度给予鼓励性的评价.随堂练习(教材第61页)解:列表格得:∴小颖共有4种不同的穿法,∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是.习题3.1(教材第62页)1.解:画树状图如右图所示,共有4种等可能的结果.(1)两张牌的牌面数字和可能是2或3或4. (2)两张牌的牌面数字和是3的概率最大.(3)两张牌的牌面数字和是3的概率是＝.2.解:列表得:∴一共有4种等可能的结果.(1)两次都摸到红球的概率为. (2)两次摸到不同颜色的球的概率为＝.3.解:出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性相同.无论前面两次所掷硬币的结果怎么样,第三次掷硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的可能性都是相同的,概率都是.本课时主要讲解用列表法或树状图法求随机事件发生的概率.(1)利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发生时所有可能出现的结果,能较方便地求出某些事件发生的概率.(2)当涉及求两步完成的随机事件的概率时,既可以用树状图表示,也可以用列表法来表示,当涉及求两步以上的随机事件的概率时,一般用树状图表示.(3)无论是用列表法求概率,还是用树状图法求概率,其共同的前提是各种结果发生的可能性相同.小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛,游戏规则:在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球,上面分别标有数字2,3,4,5.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为偶数,则小丽去参赛;否则小华去参赛.(1)用列表法或画树状图法求小丽参赛的概率;(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.〔解析〕(1)列表或树状图得出所有等可能的情况数,找出数字之和为偶数的情况数,即可求出小丽去参赛的概率.(2)由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率,比较即可得到游戏公平与否.解:(1)解法1:根据题意列表得:由表可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为＝.解法2:根据题意画出树状图如图所示,由树状图可知所有可能结果共有12种,且每种结果发生的可能性相同,其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有4种,分别是(2,4),(3,5),(4,2),(5,3),所以小丽参赛的概率为＝. (2)游戏不公平.理由如下:因为小丽参赛的概率为,所以小华参赛的概率为1-＝,因为≠,所以这个游戏不公平.第课时尝试用树状图分析概率.通过树状图对概率进行分析,体会概率的随机性.培养学生的合作、分享的意识.【重点】用树状图分析概率.【难点】不漏掉存在的可能性.【教师准备】本课时的教学例题投影.【学生准备】了解分析复杂概率情况的方法.导入一:某一家庭有3个孩子.(1)求这个家庭有3个男孩的概率;(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率;(3)求这个家庭至少有一个男孩的概率.导入二:宝宝和贝贝是一对双胞胎,他们参加市少年志愿者选拔并与甲、乙、丙三人都进入了前5名,现从这5名入选者中确定2名为志愿者,试用画树状图形的方法求出:(1)宝宝和贝贝同时入选的概率;(2)宝宝和贝贝至少有一个人入选的概率.[过渡语]“石头、剪刀、布”是中国古代传统的游戏,我们看下这个游戏是否公平.探索活动:游戏是否公平(教材例1)小明、小颖和小凡做“石头、剪刀、布”游戏.游戏规则如下:由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小凡获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小明和小颖中的获胜者.假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,你认为这个游戏对三人公平吗?解:因为小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同,所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果:总共有9种可能的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人手势相同的结果有3种:(石头,石头),(剪刀,剪刀),(布,布),所以小凡获胜的概率为＝;小明胜小颖的结果有3种:(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),所以小明获胜的概率为＝;小颖胜小明的结果也有3种:(石头,布),(剪刀,石头),(布,剪刀),所以小颖获胜的概率为＝.因此,这个游戏对三人是公平的.做一做小明和小军两人一起做游戏,游戏规则如下:每人从1,2,…,12中任意选择一个数,然后两人各掷一次质地均匀的骰子,谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜;如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和,就再做一次上述游戏,直至决出胜负.如果你是游戏者,你会选择哪个数?〔解析〕这个问题看上去很复杂,实际上它等同于下面的问题:两人各掷一次质地均匀的骰子,将两人掷得的点数相加,点数为几的概率最大?解:可以用列表的方法得到,掷得的点数之和是7的概率最大,所以一般来说,选择7这个数获胜的可能性最大.当事件涉及三个或三个以上元素时,用列表法不易列举出所有的可能,用画树状图则可以依次列出所有可能的结果.1.掷一枚硬币三次,落地后三次正面都朝上的概率为()A. B. C. D.解析:可以用树状图来表示所有可能的情况,画出树状图如图所示,所有等可能出现的结果有8种:(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反),其中三次正面都朝上的结果有1种,所以三次正面都朝上的概率是.故选A.2.一个家庭有两个小孩,则这两个小孩是一男一女的概率是(假定小孩是男是女是等可能的).解析:两个小孩的所有可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),而男女各一个的可能有两种,所以男女各一个的概率为＝.故填.第2课时探索活动:游戏是否公平例题做一做一、教材作业【必做题】教材第64页习题3.2的1题.【选做题】教材第64页习题3.2的5题.二、课后作业【基础巩固】1.某校安排三辆车组织九年级学生去敬老院参加学雷锋活动,其中小王和小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,则小王和小菲同车的概率为()A. B. C. D.2.小颖有红色、黄色、白色的三件运动上衣和白色、灰色两条运动短裤,若任意选取一件上衣和一条短裤进行组合,则恰好是“衣裤同色”的概率是.【能力提升】3.甲、乙、丙三人站成一排合影留念,则甲、乙二人相邻的概率是.4.在一个不透明的口袋里,装有红、白、黄三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同),其中有白球2个,黄球1个,若从中任意摸出一个球,这个球是白色的概率为0.5.(1)求口袋中红球的个数;(2)若摸到红球计0分,摸到白球计1分,摸到黄球计2分,甲从口袋中摸出一个球,不放回,再摸出一个,用画树状图的方法求甲摸两个球且得2分的概率.【拓展探究】5.甲、乙玩转盘游戏时,把质地相同的两个转盘A,B分别平均分成2份和3份,并在每一份内标有数字,如图所示,游戏规则:甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次,当转盘停止后,指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜,数字之和为奇数时乙获胜,若指针落在分界线上,则需要重新转动转盘.(1)用画树状图的方法求甲获胜的概率;(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗?请判断并说明理由.【答案与解析】1.A(解析:设3辆车分别为甲、乙、丙,画出树状图如图所示,共有9种情况,每种情况出现的可能性相同,小王和小菲坐同一辆车的情况有3种,所以小王和小菲坐同一辆车的概率为.故选A.)2.(解析:画出树状图可知共有6种组合,每种组合出现的可能性相同,恰好是“衣裤同色”的有1种,所以概率是.故填.)3.(解析:画树状图如图所示,共有6种等可能的情况,甲、乙二人相邻的有4种情况,所以甲、乙二人相邻的概率是＝.故填.)＝0.5,解得x＝1.所以口袋中红球的个数为1. (2)画树4.解:(1)设口袋中红球的个数为x,根据题意得＋＋状图如图所示,因为摸到红球计0分,摸到白球计1分,摸到黄球计2分,所以当摸得的两个球都是白球或一个黄球和一个红球时得2分,所以摸两个球且得2分的概率为＝.5.解:(1)画树状图如图所示,共有6种等可能的结果,两数之和为偶数的有2种情况,所以P(甲获胜)＝＝.(2)不公平.理由如下:因为数字之和为奇数的情况有4种,所以P(乙获胜)＝＝,因为P(甲获胜)≠P(乙获胜),所以这个游戏规则对甲、乙双方不公平.尝试用树状图准确分析事件发生的概率是本课时的教学重点和难点,为了让学生充分了解分析过程,本课时的教学过程中给学生展现了详细的分析过程.这样做不但让学生看到了对事情结果的分析,也领会到了利用树状图分析概率的要点.在本课时的“做一做”教学活动过程中,留给学生课堂交流合作的时间不多,不利于学生深刻领会本课时的学习要点,也没有为学生搭建良好的合作、探究平台.对于新课导入中提及的问题,在教学活动中可以作为例题或者活动来处理,使得学生的课前兴趣能与本课时教学建立起一个连接点.随堂练习(教材第64页)解:列表格得:∴共有9种不同的拼法,∴能拼成一幅画的概率是＝.习题3.2(教材第64页)1.解:画出树状图如图所示,共有9种情况.(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是0. (2)两张牌的牌面数字和等于2的概率是. (3)两张牌的牌面数字和等于4的概率最大,为. (4)两张牌的牌面数字和大于3的概率为＝.2.解:画出树状图如图所示.共有9种等可能的结果.(1)两人都左拐的概率为. (2)恰好有一人直行,另一人左拐的概率为. (3)至少有一人直行的概率为.3.解:列表得:共有6×6＝36种等可能的情况.(1)至少有一枚骰子的点数为1的概率是. (2)两枚骰子的点数和为奇数的概率是. (3)两枚骰子的点数和大于9的概率＝. (4)第二枚骰子的点数整除第一枚骰子的点数的概率是＝.4.解:将出现的可能结果列表如下:由表可知,共有36种等可能的结果.(1)因为P(小军获胜)＝P(小明获胜)＝,所以游戏对双方公平. (2)因为P(小军获胜)＝＝,P(小明获胜)＝＝,所以这个游戏对双方不公平.5.解:小明不能一次得到“汽车”.∵骰子的最大数为6,而汽车距离小明的棋子还有7格,∴小明掷一次骰子不能得到“汽车”.小红下一次掷骰子可能得到“汽车”.只要小明和小红掷得到点数和为7,小红就能得到“汽车”.由列表得:∴一共有36种等可能的情况,它们的点数和是7共有6种情况,∴小红下一次得到“汽车”的概率是＝.6.解:公平,分别用1,2,3表示“石头”“剪刀”“布”三种手势,画出树状如图所示.共有27种等可能的结果,小明、小颖、小凡获胜的概率相同.。