等差数列性质教案

等差数列的概念与性质课程目标知识提要等差数列的概念与性质∙等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母来表示．由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，叫做与的等差中项（arithmetic mean），且．等差数列的通项公式：．∙等差数列的性质（1），是数列中任意两项，则．（2）若，，，均为下标，且，则．（3）下标（项的序号）成等差数列，且公差为的项：，，，组成公差为的等差数列．∙等差数列的前项和一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即．等差数列的前项和公式：．通项与的关系为：等差数列前项和的性质（1）等差数列中连续项的和，，，仍为等差数列，公差为．（2）等差数列中，记奇数项的和为奇，偶数项的和为偶．当项数为时，偶奇，奇偶；当项数为时，奇偶，奇偶．（3）若数列为等差数列（、为常数）．，故数列仍为等差数列，且公差为．（4）利用等差数列前项和的函数特征，可以求其最大值或最小值．精选例题等差数列的概念与性质1. 设数列的前项和为，且，为等差数列，则的通项公式．（原题看不清）【答案】2. 已知的三个内角，，成等差数列，且边，，则的面积等于．【答案】3. 已知是等差数列，若，则的值是．【答案】【分析】解法一：设公差为，则，即，所以．解法二：由等差数列的性质得，所以，所以．4. 在等差数列中，若，则．【答案】【分析】在等差数列中，，由，得，则，则．5. 在等差数列中，，且其前项和有最小值．则下列命题：①公差；②为递减数列；③，，，都小于零，，，都大于零；④时，最小；⑤时，最小．其中，正确命题的序号为．【答案】①③⑤【分析】由，且其前项和有最小值，可知，且，从而易知①③⑤正确．6. 已知数列是等差数列，，，则．【答案】【分析】因为，．7. 已知为等差数列的前项和，，，则．【答案】【分析】因为，所以，即，所以，故．8. 等差数列中，若，则公差，．【答案】；【分析】因为等差数列的前项和公式，因此，，即，．9. 已知等差数列，是数列的前项和，且满足，，则数列的首项，通项．【答案】；．10. 设等差数列的前项和为，若，，，则正整数．【答案】【分析】设等差数列的公差为，则解得．11. 已知数列中，，，则数列通项．【答案】【分析】因为，所以，即．又因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列．故，所以．12. 设等差数列的前项和为，，，则的值为．【答案】【分析】解法一：设等差数列的首项为，公差为，由及得整理得解之得，，所以．解法二：设等差数列的首项为，公差为，由得，所以，由得，整理得，所以，，从而．13. 等差数列，的前项和分别是，，如果，则【答案】【分析】14. 已知数列是等差数列，若，且，则．【答案】【分析】因为，所以．又因为，所以．15. 已知等差数列中，，且，为的两个实根，则此数列的通项公式是．【答案】【分析】由题意得：又，所以解得，，所以解得从而，即．16. 设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和．【答案】17. 若，两个等差数列，，，与，，，，的公差分别为和，则的值为．【答案】【分析】由，，得，，所以．18. 等差数列，的前项和分别为，，若，则．【答案】【分析】．19. 在等差数列中，，，则数列的前项和．【答案】【分析】由题意得等差数列的公差满足，从而，因此，故．20. 设等差数列的公差为正数，若，，则．【答案】【分析】由条件可知，从而，，得，，公差为，所以．21. 设是等差数列的前项和，已知，与等差中项为，求数列的通项公式．【解】由已知得即解得或所以或．经验证或均满足题意，即为所求．22. 等差数列中，是它的前项的和，且满足，，求的最大值．【解】解法一：因为，，所以．解得，即，故．因此，当时，取得最大值．解法二：同解法一解得，．数列的首项大于，公差小于，必存在某一项，满足解之得，取．因此，当时，取得最大值．解法三：因为，当时，其图象是过原点且开口向下的一条抛物线上一群孤立的点，所以其对称轴．即时，取得最大值．解法四：由，不难知道，数列是单调递减的数列，由，得，即，即，又，所以，．故当时，取得最大值．23. 已知等差数列．(1)，是中的项吗？试说明理由．【解】，，．令，所以．所以是数列中的第项．令，则，所以是中的第项．(2)若，是数列中的项，则是数列中的项吗？并说明你的理由．【解】因为，是中的项，所以，．所以，因为，所以是中的第项．24. 已知数列是一个等差数列，且，．(1)求的通项和前项和；【解】设的公差为，由已知条件，得解得，所以，．(2)设，，证明数列也是等比数列．【解】因为，所以，所以．因为（常数），所以数列是等比数列．25. 已知数列的公差是正数，且，，求它的通项公式．【解】解法1设等差数列的首项，公差为，则解得或（舍去），所以．解法2因为，所以，是方程的两个根．所以或（舍）所以，所以，所以．26. 已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；【解】设的公差为依题意，有联立得解得所以(2)求使不等式成立的的最小值．【解】因为所以．令，即解得或又，所以所以使不等式成立的的最小值为．27. 已知函数（），设，，求数列的通项公式．【解】由，得，化简得．由等差数列定义知数列是首项，公差的等差数列，所以．由的定义域且有意义，得，所以．28. 已知等差数列中，，．数列满足．设，且，求的值．【解】因为，所以．所以．令，得．29. 是否存在一个等差数列，使是一个与无关的常数？若存在，求此常数；若不存在，请说明理由．【解】假设存在一个等差数列，使，且为首项，为公差．由，得整理，得式是关于的一元一次方程，且对都成立．只需即或（i）当时，；（ii）当时，．30. 在等差数列中，已知，．(1)求；【解】由题意得：解得(2)若，设数列的前项和为，试比较与的大小．【解】因为，所以，所以，所以所以当时，；当时，．31. 已知是一次函数，其图象过点，又、、成等数列，求的值．【解】设，则由题意得由已知得由①、③解得，．于是，所以．32. 已知等差数列，设，已知，，求数列的通项公式．【解】，且，又，．由题意，，成等差数列，可设，，于是有．式变为．令，上式为，整理可得．或．或．当时，，此时，当时，，此时．33. 设等差数列的前项和为．已知，，．(1)求公差的范围；【解】依题意，得即又，得．代入上述不等式组，解得．(2) 中哪一个最大？并说明理由．【解】解法一：当时，，解不等式，即其中，得．要使只要即可，解得．解不等式，得要使只要即可，解得．综上，当时，；当时，．故最大．解法二：由题意得，最小时，最大．当时，，当正整数时，最小，从而最大．解法三：由（1）得进而知，．故最大．34. 已知数列的通项公式（，且，为常数）．(1)当和满足什么条件时，数列是等差数列；【解】．要使是等差数列，则应是一个与无关的常数，，即，故当时，数列是等差数列．(2)求证：对任意实数和，数列是等差数列．【解】，．而，为一个常数，是等差数列．35. 设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出数列与的前项的和及．【解】由题意得，，．解得或（舍去），．所以的公差，的公比，所以，．36. 已知，等差数列中，，，．求：(1) 的值；【解】由，得，，又因为，，成等差数列，所以，即，解得或．(2)通项．【解】当时，，，此时；当时，，，此时．37. 已知等差数列满足，公差．(1)求数列的通项公式；【解】因为是等差数列，且，公差，所以由可得，所以数列的通项公式为，即．(2)数列的前项和是否存在最小值？若存在，求出的最小值及此时的值；若不存在，请说明理由．【解】方法 1：由等差数列求和公式可得，即．所以，当或时，取得最小值．方法 2：因为，所以，当时，；当时，；当时，，即当时，；当时，；当时，，所以，当或时，取得最小值．38. 已知等差数列的前三项为，，，记前项和为．(1)设，求和的值；【解】由已知得，，，又，所以，即．所以，公差．由，得，即，解得或（舍去）．所以，．(2)设，求的和．【解】由，得．所以．所以是等差数列．则所以．39. 已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足，，数列满足，其前项和为．(1)求数列的通项公式；【解】由题意，得解得．又，所以．所以．(2)若为，的等比中项，求的值．【解】因为，所以因为，，，为，的等比中项，所以，即，解得．40. 等比数列的各项都为正数，，．(1)求数列的通项公式【解】由已知解得，，．(2)若，求的最大值及相应的值．【解】令，则．当或时，最大为．课后练习1. 等差数列的前项和为，且，则．2. 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为．3. 已知等差数列的公差不为，且，，成等比数列，则的值为．4. 设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围是．5. 若，且，，，和，，，，各自都成等差数列，则．6. 下列是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；数列是递增数列；其中真命题的序号是．7. 已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若，则．8. 设等差数列的前项和，若，则．9. 等差数列中，，，且，，，成等比数列，则 = ．10. 已知公差不为的等差数列满足，，成等比数列，为数列的前项和，则的值是．11. 已知等差数列的首项为，公差为，则通项公式．12. 设等差数列满足：公差，，且中任意两项之和也是该数列中的一项，若，则的所有可能的取值之和为．13. 在等差数列中，若，则其前项和的值为．14. 等差数列的前项和为，若，且，，则．15. 已知的三边长，，成等差数列，且，则实数的取值范围是．16. 等差数列中，已知，那么的值是．17. 等差数列，，，，前项和最小．18. 等差数列中，，，记，则关于的表达式为．19. 若一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有项．20. 设是等差数列的前项和，若，公差，，则正整数的值是．21. 已知是正项等差数列，，数列的前项和．(1)求；(2)设，，求数列的前项和．22. 设是等差数列，前项和为．(1)已知，，求；(2)已知公差，，求的值；(3)，，，求．23. 等差数列：，，，的前项和为，求使得最大的序号的值，并求最大值．24. 设等差数列的前项和为．(1)已知，且，，求公差的范围；(2)若，，则该数列前几项的和最大？说明理由．25. 已知等差数列中，，公差．(1)求证：方程有公共根；(2)设(1)中方程的另一个根为，求证：为等差数列．26. 若是等差数列，，，求的值．27. 已知数列是等差数列，其前项和为，，．求数列的通项公式．28. 设等差数列的第项为，第项为，求：(1)数列的通项公式；(2)求的最大值．29. 已知函数，其中．定义数列如下：，（）．(1)当时，求，，的值；(2)是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．30. 在等差数列中，已知，，则这个数列有多少项在到之间？31. 设等差数列的前项和为．已知，为整数，且对任意恒成立，求数列的通项公式．32. 已知等差数列的公差为（），且，求的值．33. 设各项均为正数的无穷数列和满足：对任意，都有，且．(1)求证：数列是等差数列；(2)设，，求和的通项公式．34. 已知等差数列中，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前项和，求的值．35. 已知等差数列中，，，若，求及．36. 等差数列前项的和为，其中项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．37. 设等差数列的前项的和为，且，求．38. 设等差数列的前项和为，已知，且，，(1)求公差的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．39. 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，．(1)求的通项公式．(2)若数列满足，是否存在非零实数使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．40. 已知数列的前项和，，且是与的等差中项，求的通项公式．等差数列的概念与性质-出门考姓名成绩1. 首项是，公差为的等差数列从第项开始大于．2. 公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于．3. 设为等差数列的前项和，，，将此等差数列的各项排成如图所示三角形数阵：若此数阵中第行从左到右的第个数是，则．4.其中第行、第列的那个数记为，则数表中的应记为．5. 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为．则等差数列的通项公式为．6. 设等差数列满足，且，为其前项和，则中最大的是．7. 设等差数列的前项和为，若且，则的值为．8. 在等差数列中，若，则．9. 已知递增的等差数列满足，则．10. 已知两等差数列和，前项和分别为，，若，则．11. 《九章算术》"竹九节"问题：现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共升，下面节的容积共升，则第节的容积为升．12. 设等差数列的前项和，已知，，则．13. 等差数列的首项为，公差为；等差数列的首项为，公差为，如果，且，．则数列的通项公式为．14. 在等差数列中，若，则．15. 在等差数列{ }中，，，则{ }的前项和= ．16. 若把集合中全部元素按适当的顺序排成一列，组成一个等差数列，则通项公式．17. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，则．18. 等差数列中，，则．19. 有两个等差数列，，其前项和分别为，，若，则．20. 等差数列满足，，则使数列前项和最大的是．21. 设数列的前项和，数列满足．(1)若，，成等比数列，试求的值；(2)是否存在，使得数列中存在某项满足，，成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由．22. 为了在学校运动会上取得好成绩，某同学决定在比赛前天进行跑步训练．已知第一天跑了，以后每天比前—天多跑，那么这名同学在这天内总共跑了多少路程？23. 设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为．(1)若，，求数列的通项公式；(2)若，，，求所有可能的数列的通项公式．24. 设等差数列的前项和为．已知，，求的值．25. 已知是一个公差大于的等差数列，且满足，．(1)求数列的通项公式．(2)若数列和数列满足等式：（为正整数），求数列的前项和．26. 等差数列中，已知，，，试求的值．27. 已知等差数列的首项，公差，前项和，求的值．28. 已知等差数列的首项和公差均为整数，其前项和为．(1)若，且，，成等比数列，求数列的通项公式；(2)若对任意，且时，都有，求的最小值．29. 已知等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设，是否存在、（），使得成等比数列？若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．30. 给定常数，定义函数，数列满足．(1)若，求及；(2)求证：对任意；(3)是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由．31. 数列的前项和（）．(1)求证：是等差数列；(2)设，求数列的前项和．32. 已知等比数列与数列满足．(1)判断是什么数列?并给出证明；(2)若，求．33. 已知二次函数．(1)设函数的图象顶点的横坐标构成数列，求证：数列是等差数列；(2)设函数的图象顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．34. 已知函数二次函数，其中．(1)设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；(2)设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．35. 已知等差数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式．(2)当为何值时，取得最小值．36. 设等差数列的前项和为．(1)若首项，公差为，求满足的正整数．(2)求所有等差数列，使对一切正整数都有成立．37. 在等差数列中，，前项和满足条件．(1)求数列的通项公式和；(2)记，求数列的前项和．38. 若关于的方程和（）的四个根可组成首项为的等差数列，求的值．39. 已知等差数列中，，，试问是否是此数列的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由．40. 在我国古代，是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成（如图），最高层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多块，共有圈，请问：(1)第圈共有多少块石板？(2)前圈一共有多少块石板？。

4、等差数列教学设计一等奖2。

2。

1等差数列学案一、预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。

2、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的，即或。

3、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列; 时，数列为递减数列; 时，数列为常数列;等差数列不可能是。

4、等差数列的通项公式：。

5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列; （）②1，1，2，3，4，5是等差数列; （）③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列; （）④数列是公差为的等差数列; （）⑤数列是等差数列; （）⑥若，则成等差数列; （）⑦若，则数列成等差数列; （）⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列; （）⑨等差数列的`公差是该数列中任何相邻两项的差。

（）6、思考：如何证明一个数列是等差数列。

二、实战操作：例1、（1）求等差数列8，5，2，的第20项。

（2）是不是等差数列中的项？如果是，是第几项？（3）已知数列的公差则例2、已知数列的通项公式为，其中为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为求这5个数。

5、等差数列教学设计一等奖教学准备教学目标1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;归纳——猜想——证明的数学研究方法;3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。

教学重难点重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列;难点：等比数列的性质的探索过程。

教学过程：1、问题引入：前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。

问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列?(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

《等差数列性质》教学设计黑龙江省伊春市友好区第三中学张明慧一、内容和内容解析数列是高中数学的重要内容之一,也是培养学生数学学习能力的好素材.本章内容首先从学习数学的概念开始,然后学习等差数列和等比数列两种常用的数列.数列在实际生活中有着广泛的应用,如堆放物品总数的计算、储蓄、分期付款问题等都要用到数列知识.同时,数列起着承前启后的作用,数列与前面学习的函数知识紧密联系,又为进一步学习数列的极限等作好准备。

等差数列是一种最基本的数列,研究它的性质,需要通过观察、分析、归纳和猜想才能有所发现.在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的基本方法,提高数学再创造学习的能力.掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着举足轻重的作用。

本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列。

本节是第二课时。

等差数列在日常生活中有着广泛的应用，是学生学习了等差数列的概念，通项公式的基础上，研究等差数列的性质，让学生通过本节课的学习要求理解等差数列的性质，并且了解等差数列与一次函数的关系。

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。

在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

同时也是初步培养学生运用等差数列模型解决问题的良好题材。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

所以把教学重点定为理解等差数列的性质，并用性质解决一些相关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

二、目标和目标解析（一）教学目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2.探究、发现等差数列的性质,并能利用等差数列的概念及通项公式给予证明,掌握性质及运用性质解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究等差数列的性质,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的公式。

3. 能够运用前n项和公式解决实际问题。

二、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的公式。

3. 等差数列前n项和的性质。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念及其性质，等差数列的前n项和的公式。

2. 教学难点：等差数列前n项和的性质的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解等差数列的概念、性质和前n项和的公式。

2. 运用案例分析法，分析等差数列前n项和的性质在实际问题中的应用。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨等差数列前n项和的性质。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念，激发学生兴趣。

2. 新课导入：讲解等差数列的定义及其性质，引导学生理解等差数列的特点。

3. 公式讲解：讲解等差数列的前n项和的公式，让学生掌握计算等差数列前n项和的方法。

4. 案例分析：分析等差数列前n项和的性质在实际问题中的应用，让学生学会运用知识解决实际问题。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的性质及其应用。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列概念和性质的理解程度。

2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其对等差数列前n项和公式的掌握情况。

3. 课后作业：批改课后作业，评估学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面，重点是否突出，难点是否讲清楚。

2. 反思教学方法：评估所采用的教学方法是否适合学生，是否有效激发学生的兴趣和参与度。

3. 反思教学效果：根据学生反馈和作业情况，评估教学目标的达成程度。

八、教学拓展1. 等差数列在实际生活中的应用：举例说明等差数列前n项和公式在生活中的运用，如计算工资、奖金等。

等差数列前n项和优秀教案第一章：等差数列的概念1.1 等差数列的定义引导学生了解等差数列的定义，即从第二项起，每一项与它前一项的差都是一个常数，这个常数叫做等差数列的公差。

通过示例让学生理解并掌握等差数列的定义。

1.2 等差数列的性质引导学生学习等差数列的性质，如等差数列的通项公式、相邻项的关系等。

通过示例让学生应用等差数列的性质解决问题。

第二章：等差数列的前n项和2.1 等差数列前n项和的定义引导学生了解等差数列前n项和的定义，即前n项的和。

通过示例让学生理解并掌握等差数列前n项和的定义。

2.2 等差数列前n项和的公式引导学生学习等差数列前n项和的公式，即S_n = n/2 (a_1 + a_n)，其中S_n 表示前n项的和，a_1表示首项，a_n表示第n项。

通过示例让学生应用等差数列前n项和的公式解决问题。

第三章：等差数列前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的性质引导学生学习等差数列前n项和的性质，如前n项和与项数的关系、前n项和与首项和末项的关系等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和的性质解决问题。

3.2 等差数列前n项和的计算方法引导学生学习等差数列前n项和的计算方法，如高斯求和法、分组求和法等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和的计算方法解决问题。

第四章：等差数列前n项和的应用4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用引导学生了解等差数列前n项和在实际问题中的应用，如计算工资、统计数据等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和解决实际问题。

4.2 等差数列前n项和在数学竞赛中的应用引导学生了解等差数列前n项和在数学竞赛中的应用，如解决数列问题、证明数学定理等。

通过示例让学生应用等差数列前n项和解决数学竞赛问题。

第五章：等差数列前n项和的拓展5.1 等差数列前n项和的拓展知识引导学生学习等差数列前n项和的拓展知识，如等差数列的求和公式、等差数列的极限等。

通过示例让学生了解等差数列前n项和的拓展知识。

《4.21等差数列的概念（2）》教学设计（一）教学内容等差数列的性质及实际应用（二）教材分析1. 教材来源本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》2. 地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓（三）学情分析1.认知基础：同学们已经掌握了等差数列的通项公式及递推公式。

2.认知障碍：在具体的举例下，等差数列的性质及应用比较容易。

（四）教学目标1. 知识目标：①能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题2.能力目标：培养学生观察与归纳能力。

3.素养目标：通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.（五）教学重难点：1. 重点：等差数列的性质及其应用2.难点：等差数列的性质的推导（六）教学思路与方法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段（七）课前准备多媒体（八）教学过程分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{a n}，由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用{a n}的通项公式列不等式求解。

解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{a n}．由已知条件，得a n＝a n−1－d（n≥2）．所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列.因为a1＝220－d，所以a n＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.由题意，得a10≥11，a11＜11.即：{220－10d≥11220－11d＜11解得19<d≤20.9所以，d的求值范围为19<d≤20.9例4. 已知等差数列{an }的首项a1＝2，d=8,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.(1)求数列{bn}的通项公式.(2) b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由.通过上节课我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，那么你能从直线斜率的角度来解释这一性质吗？。

1等差数列（一） 创设情境，课题导入复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。

这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列： ⑴ 0 5 10 15 20 … …⑵ 48 53 58 63⑶ 18 15.5 13 10.5 8 5.5 ⑷ 10072 10144 10216 10288 10360教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。

（学生积极讨论，得到结论，教师指名回答） 共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。

师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列。

（二）设置问题，形成概念等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数就叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。

师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？ 学生讨论后得出结论：数学语言：d a a n n =--1 ）2(≥n 或 a a n n =-+1 n (≥1)那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。

提问：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由学生回答：因为a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么由定义可以知道： A-a=b-A所以就有 2ba A +=由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。

看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+（三）等差数列的通项公式 师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重要的意义。

2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。

等差数列的定义与通项公式教案一、教学目标：1. 了解等差数列的定义，掌握等差数列的性质。

2. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的求和公式5. 应用举例三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的定义、性质、通项公式及应用。

2. 教学难点：等差数列通项公式的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解等差数列的定义、性质、通项公式及应用。

2. 利用实例进行分析，帮助学生理解和掌握等差数列的性质和通项公式。

3. 运用练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

五、教学过程：1. 引入：通过列举一些实际问题，引导学生思考等差数列的定义和性质。

2. 等差数列的定义：讲解等差数列的定义，引导学生理解等差数列的特点。

3. 等差数列的性质：讲解等差数列的性质，如相邻两项的差是常数等。

4. 等差数列的通项公式：推导等差数列的通项公式，并解释其含义。

5. 等差数列的求和公式：讲解等差数列的求和公式，并给出应用实例。

6. 练习题：布置一些有关等差数列的练习题，让学生巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调等差数列的定义、性质和通项公式的重点。

8. 作业：布置一些有关等差数列的应用题，让学生进一步理解和掌握所学知识。

六、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了等差数列的定义、性质和通项公式。

针对存在的问题，调整教学方法，为下一节课做好准备。

七、教学评价：通过课堂讲解、练习题和课后作业，评价学生对等差数列的定义、性质和通项公式的掌握程度。

对学生的学习情况进行全面评价，鼓励优秀学生，帮助后进生。

八、课时安排：2课时九、教学资源：教材、教案、PPT、练习题等。

十、教学拓展：1. 等差数列在实际应用中的例子：如人口增长、工资增长等。