三角函数的奇偶性与周期性

三角函数奇偶性三角函数是数学中的重要概念，它们描述了角度与直角三角形之间的关系。

其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用的三角函数。

在学习和应用三角函数时，理解它们的奇偶性是非常重要的。

本文将详细解析三角函数的奇偶性，并且提供一些建议来帮助读者更好地理解和运用三角函数。

首先，我们来定义奇函数和偶函数。

在数学中，一个函数被称为奇函数，如果对于函数定义域中的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。

换句话说，奇函数关于原点对称。

而一个函数被称为偶函数，如果对于函数定义域中的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$。

换句话说，偶函数关于$y$轴对称。

从定义中可以看出，奇函数和偶函数的性质在图像上有所体现。

对于奇函数，其图像关于原点对称，即如果$(x,y)$在奇函数的图像上，则$(-x,-y)$也在图像上。

而对于偶函数，其图像关于$y$轴对称，即如果$(x,y)$在偶函数的图像上，则$(-x,y)$也在图像上。

我们来分别看一下正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性质。

正弦函数记作$y=\sin(x)$，其中$x$表示角度。

我们知道正弦函数是周期为$2\pi$的函数，其图像呈现周期性波动。

正弦函数的奇偶性可以通过对称性质很容易地判断。

根据定义，对于正弦函数有$\sin(-x)=-\sin(x)$，即正弦函数是奇函数。

这意味着如果$(x,y)$在正弦函数的图像上，则$(-x,-y)$也在图像上。

例如，如果$(\pi/2,1)$在正弦函数图像上，则$(-\pi/2,-1)$也在图像上。

余弦函数记作$y=\cos(x)$。

余弦函数同样是周期为$2\pi$的函数，其图像也呈现周期性波动。

余弦函数的奇偶性可以通过对称性质来判断。

根据定义，对于余弦函数有$\cos(-x)=\cos(x)$，即余弦函数是偶函数。

这意味着如果$(x,y)$在余弦函数的图像上，则$(-x,y)$也在图像上。

例如，如果$(\pi/2,0)$在余弦函数图像上，则$(-\pi/2,0)$也在图像上。

第11课时　正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性 课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性． 识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称． 课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数． 能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。

初二数学三角函数的图像与变化规律三角函数是数学中重要的一类函数，它们在各个领域都有广泛的应用。

在初二数学中，我们学习了三角函数的图像与变化规律，掌握了它们在平面直角坐标系中的图像形态以及变化规律。

本文将从图像和变化规律两个方面进行论述。

一、三角函数的图像1. 正弦函数（sin）正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像具有周期性和对称性。

在平面直角坐标系中，我们以横轴为x轴，纵轴为y轴，确定一个单位圆。

当角度为0°时，对应的坐标为（1，0），此时正弦函数的值为0。

随着角度的增加，我们可以得到一系列对应的坐标点，并将它们连成曲线，得到正弦函数的图像。

这个图像上有无数个周期，每个周期的长度是360°。

正弦函数的图像在0°到360°之间上下循环，形成了一条波浪线状的曲线。

2. 余弦函数（cos）余弦函数和正弦函数非常相似，它也具有周期性和对称性。

同样以单位圆为基准，在角度为0°时，对应的坐标为（1，0），此时余弦函数的值为1。

随着角度的增加，我们可以得到一系列对应的坐标点，并将它们连成曲线，得到余弦函数的图像。

余弦函数的图像也是一条波浪线状的曲线，只是与正弦函数的波峰和波谷位置不同。

3. 正切函数（tan）正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，它的图像也具有周期性。

在平面直角坐标系中，以横轴为x轴，纵轴为y轴，确定一个单位圆。

当角度为0°时，对应的坐标为（0，0），此时正切函数无定义。

当角度继续增加，我们可以得到一系列对应的坐标点，并将它们连成曲线，得到正切函数的图像。

正切函数的图像在每个周期内都会有无穷多个间断点，形成了一条交替上升和下降的曲线。

二、三角函数的变化规律1. 周期性三角函数的图像都是具有周期性的，即在一定的区间内重复出现。

正弦函数和余弦函数的周期为360°（或2π弧度），而正切函数的周期为180°（或π弧度）。