材料力学课件第五章 平面图形的几何性质

截面对于一个构件或者结构来说是非常重要的，下面我 们列举一下工程当中常见的几种截面：
槽钢 工字型
角钢
1
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总体概述
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2
平面图形的几何性质
杆件的和截面是平面图形，它的几何性 质与强度、刚度计算密切相关，必须很好掌 握。拉压中的面积A，扭转中的极惯性矩 都 属于截面图形的几何性质。在附录1中我们I P还 要学到静矩、惯性矩和惯性积。
的，但惯性矩恒为正。 （2）组合截面对某一轴的惯性矩等于各部分对
该轴的惯性矩之代数和。
n
n
Iz
i1
I
zi
Iy
i 1
I
yi
13
例1 试计算图(a)所示矩形截面对于其对称轴
（即形心轴）z 和 y 的惯性矩。
y
解： 取平行于x轴的狭长条，
则 dA=b dy
IzAy2dAh 2h 2by2dyb1h23
A
单位：m 4
o
y
11
惯性矩 z
y A o
图形对z轴的惯性矩
Iz
y2dA
A
dA
z
图形对y轴的惯性矩
y
Iy
z2dA
A
单位：m 4
极惯性矩和对轴惯性矩之间的关系：Ip 2dAIz Iy
A
12
惯性半径
截面图形对y轴的惯性半径：i y
Iy A
截面图形对z轴的惯性半径：iz
Iz A
惯性矩的性质 （1）截面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同
a

A A
s

A

（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A

EIz
A

2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。

5.2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 与正应力强度条件
一、纯弯曲与横力弯曲
Q→τ M →σ
CD段 — 纯弯曲（Q = 0）
AC、DB段 — 横力弯曲 （Q ≠ 0）
回顾与比较:
内力
应力
N
A
T
IP
M ?
YA
Q
?
二、梁的纯弯曲实验 变形现象：
1）各纵向线均变成了圆弧曲线，且上面部分纵向线缩短，下 面纵向线伸长，但各纵向线间距不变； 2）各横向线仍保持为直线，只是相邻横向线相对转了一个角 度，变形后的横向线仍与纵线垂直； 3）矩形截面的宽度变形后上宽下窄。
= 2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？
注意：Z 轴为中 性轴
q
b
h
h
b
根据弯曲强度条件
M
WZ
同样载荷条件下，工作应力越小越好 因此，WZ 越大越好
梁立置时：
WZ
bh2 6
b 2b2
6
4b3 6
2 b3 3
梁倒置时：
WZ
hb2 6
2b b2 6
2b3 6
1 b3 3
立置比倒 置好。
E Ey (2)
My
IZ
该截面弯矩
My
Iz
横截面上 某点正应力
该点到中性p 2）平面弯曲
中性轴以下σ为拉应力
M > 0时 中性轴以上σ为压应力
中性轴上各点σ=0
下边缘各点
max
上边缘各点
max
M < 0时 相反。
（四）最大正应力：
140MPa, 试选择工字钢的型号。
分析:
（1）确定危险截面
（2） max

材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心
1．静矩 2．形心
注意
Sz
A
ydA
Sy
zdA
A

yd A
解： I y
z 2 dA
A
h/2
z2bdz
h / 2
bh 3
12
dz
z
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
例I-2-2：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32
Iy Iz Ip
Iy Iz
Iy

Iz

1 2
Ip

d 4
64
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
yC zC
• •
A A
可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距
离大小。
当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图
形，其静矩和形心坐标分别为
S z

n
Szi
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้

n
Ai yCi
i 1

S
y

n
Syi
i 1

n
Ai zCi
i 1
组合图形对某一轴的静矩等于各 组成部分对同一轴静矩的代数和
19.7mm
zC

Sy A
10120 60 70105 1200 700
39.7mm
材料力学 附录I 平面图形的几何性质

解：首先求对圆心的极惯性矩。 在离圆心O为处作宽度为d的薄圆环，其面 积dA=2pd，则
I p
2 d A
A
d /2 2 (2p d ) pd 4
0
32
由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy 注意到Iρ=Ix+Iy，得到
Ix
Iy
1 2
I
pd 4
64
y d
x
C
d
§4-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
y0 y 10
例4-7 计算图示截面的形心主轴和形心主惯性矩
图形的对称中心C为形心，在C点建立坐标
II
系xCy如图
将整个图形分成I、II、III三个矩形，如图
I x0 整个图形对x、y轴的惯性矩和惯性积分别
120
0 x 为
C 10
IIII Ix IIx IIIx IIIIx
10
101203 12
60103 12
(60-
5)2
(6010)2
70
5.08106 mm4
Iy IIy IIIy IIIIy 1.84106 mm 4 Ixy IIxy IIIxy IIIIxy -2.31106 mm 4
tg20
-
2I xy Ix -Iy
1.4260
27o 28'
00 p/4，Ix Iy，自x轴逆时针旋转 27o28'转到主轴x0，Ix0 Imax，Iy0 Imin
2.惯性矩：
Ix Iy
AAxy22ddAA
分别为图形对x、y轴 的惯性矩；
y O
x
3.惯性积：
dA x
I xy A xydA为图形对x、y一对正交轴的惯性积；

材料力学 附录I 平面图形的几何性质
y
1．先求截面的 形心轴
A2
取参考坐标系如图，则：
A1
zc
yc
60100 50 60 100
202 202
70
44.7mm
yc z 2．求截面对形心轴的惯性矩：
I yc
Iy
100 603 12
404 64
1.67 106 mm4
I zc
I A1 zc
zC
Sy A
2h 5
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
4．组合平面图形的形心与静矩
由
Sz Sy
yC zC
• •
A A
可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距
离大小。
当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图
形，其静矩和形心坐标分别为
S z
n
Szi
i 1
n
Ai yCi
i 1
S
y
n
I
x
I 2
y
)2
I
2 xy
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
2.形心主轴和形心主惯性矩：
主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之
惯性矩，称为形心主惯性矩
tg
2
0
2I xC yC I xC I yC
形心主惯性矩：
I I
xC0 yC0
I
xC
I 2
yC
(
I
xC
I 2
yC
)2
I
2 xCyC
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
iy 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径

③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2 [ I圆x1A圆 (0.5d y)2 ]
1.5d(2d )3 d 4 d 2 3d 2 (0.177d ) 2 [ (0.5d 0.177d ) 2 ]0.685d 4 12 64 4
dS y dAx
or
微面积dA对Y轴的静矩
x dA
S x dS x ydA
A A
S y Ax S x Ay
x
C y
y
x
S y dS y xdA
A A
量钢：L3 如S=0 ↔ 轴过形心
二、组合截面的静矩与形心： 整个图形对某轴的静矩， 等于图形各部分对同轴静矩的 代数和（由静矩定义可知）
y 2d
d
yC O
(1.5d )32d d 4 I yC I 矩xC I圆xC 0.513d 4 12 64
x1
I xCyC 0
( yC为对称轴 )
x xC b
xC yC 轴便是形心主轴 I xC , I yC便是形心主惯性矩
如 : A Ai
i 1
n
S x Ai yi Ay
则
i 1 n
n
S y Ai xi Ax
i 1
∴
x y
x A
i
i
A yi Ai A
例1 试确定下图的形心坐标。
10
解 ： 1.用正面积法求解，图形分割
y
120 C2 C1(0,0) C2(-35,60)
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置

σ c max
σ c max
My c max IZ
ycmax
M
z
yt max
y
σ t max
但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的
计算横力弯曲时横截面上的正应力 。 等直梁横力弯曲(nonuniform bending)时横截面上的最大正应 力公式为
smax
M ( x) WZ
z
dA
zdA S z
A
y
c
z
z
A
A
y
A
ydA A
S
o
z
y y
y
A
S
y
Az
S
z
Ay
z
S
y
Az
dA
S
z
பைடு நூலகம்
Ay
z
c
z
o
y y
y
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 截面对形心轴的静矩等于零。
三、 组合截面的静矩和形心 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该
z
I z π d 64 Wz d 2 d 2
y d
4
= d 32
3
2)对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和 受压部分距中性轴最远的 距离
yc max
M
yt max
和
yc max
直
接代入公式 z
yt max
y
My s Iz
求得相应的最大正应力
σ t max
My t max IZ
neutral axis of the beam to the fibers)

C O
10 150yC x1
x
由于对称知： xC=0
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-2 惯性矩和惯性半径
一、惯性矩
Iz
y 2 d A,
A
Iy
z2dA
A
工程中常把惯性矩表示为平面图 形的面积与某一长度平方的乘积， 即
Iy A iy2
或
iy
Iy A
Iz A iz2
或
iz
Iz A
4
③ 建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， I xCy
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
I xC I矩xC I圆xC I矩x A矩 y 2[I圆x1A圆 (0.5dy)2 ]
1.5d
(2d )3
3d 2 (0.177 d )2
d 4
[
d 2
(0.5d
0.177 d )2 ]
0.685 d 4
A
dA
zdy
h1
y2 b2
dy
dz
z
yC C y
O b
A
y
dA
A
b 0
h1
y2 b2
dy
2bh 3
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
z
h yC C z O y dy
b
Sz
y
ydA
A
b 0
yh1
y2 b2
dy
b2h 4
yC
Sz A
3b 8
z
dz
z
yC C y
y
O b
Sy
4bh2 15
材料力学 附录I 平面图形的几何性质
§I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴

A
形心轴的惯性矩。 圆
π d Ip I I 2 I y z y c c c 3 2
2
π d4 Iyc Izc 2 6 4
Ip
4 4 4 d π d π d 5 π d I I A B y A c 2 6 4 1 6 6 4
§5-4 惯性矩和惯性积的转轴定理*
截面图形的几何性质
§5–1 静矩和形心
§5–2 惯性矩、极惯性矩、惯性积
§5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩
§5-1 静矩和形心 一、静矩：(与力矩类似)是面积与它到轴的距离之积。 z
Sz
y dA z y

ydA
A
S
y


zdA
§5-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：（与转动惯量类似） 是面积与它到轴的距离的平方之积。
Iy Iz
z
A
2
dA
z y

y 2d A

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
dA z y
二、极惯性矩： 是面积对极点的二次矩。
2 Ip d A Iy Iz A
三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I yz yzd A
A
二、形心： (等厚均质板的质心与形心重合。)
y
质心：

m
ydm m
等厚 均质

A
yt dA t A zt dA t A


A
ydA A zdA A
Sz A Sy A
z
z
m
zdm m

截面的几何性质 500 A1 120 C1 C A2 yc C2 O 250 z1 z z2
580
z’
y轴正好经过矩形截面A1和A2的形心，所以
I y I1 y I 2 y 120 5003 580 2503 4 8 4 mm 20.1 10 mm 12 12
机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部
分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其 用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
截面的几何性质
第一节 静矩
一、静距的概念
静距是面积与它到轴的距离之积。 y z
dS z ydA
A
dS y zdA
A
S z dS z ydA S y dS y zdA
h/2
y
S z1
h bh A y C bh 2 2
2
h/2
C
z z1
(2) 计算矩形截面对形心轴的静矩 截面对z轴的静矩为
b/2
b/2
由于z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形
Sz=0
截面的几何性质
例7-2 试计算如图7-3所示的平面图形对z1和y1的静矩， 并求该图形的形心位置。
i 1
n
y1
10
求得该平面图形的形心坐标为
yC
C1（5,60） C2（45,5）
Ai yC
i 1 i 1 n
n
i
C1
120
Ai
i
n
7.55 104 mm 39.74mm 1200 700
C2
80
10
z1
zC

y
材料力学
FI-2 惯性矩
五、平行轴定理
截面对任一坐标轴的惯性矩等于对其平行形心 轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。
z
O
y
b
z
C
z0
a
y0
dA
I y I y0 b 2 A
z0
A
I z I z0 a 2 A
y
y0
材料力学
FI-3 惯性积
yzdA：微面积dA对一对 z 正交轴y，z的惯性积
b
Iz
z h
A
y dA
2
h 2 h 2
y 2bdy
dy
y
C
b 3 y 3 h
2
h 2
1 3 bh 12
2
y
1 3 I y z dA hb A 12
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
2. 圆形截面
d
已知
1 d 4 I dA A 32
A
极惯性矩和惯性矩之间的关系 2 I dA ( z 2 y 2 )dA

A
A
y
z 2 dA y 2 dA
A A
I y Iz
截面对任意点的极惯性矩等于此截面对于过该点 任意一对直角坐标轴的两个惯性矩之和。
材料力学
FI-2 惯性矩
三、简单截面的惯性矩
1. 矩形截面
dA
O
y z
A
平面图形对一对正交轴y， z的惯性积：
I yz = yzdA
A
y
量纲为长度的四次方。 Iyz可能为正，为负或为零。

解： 首先求对形心轴 x 的惯性矩
C
yc
d
xc
x
πd 64 πd 4 Ix 2 128
4
由平行移轴公式得：
I xc
πd 2 πd 4 d 4 2 I x ( yc ) 8 128 18 π
1000
100 800
（yC） Y 例：如图所示，求图形对形心轴的惯性矩。 xC1 C1（0；850） 解：1、取参考坐标轴 x；y（对称轴）， xC 确定形心坐标。 xC2 yci Ai yc1 A1 yc 2 A2 C2（0；400） yc A A1 A2 x 850 10 5 400 16 10 4 573 ( mm ) 5 4 200 10 16 10
dS y xdA
dA对x轴的微静矩: dA对y轴的微静矩:
x
dA
S x ydA
A
y
o
x
S y xdA
A
分别定义为图形对x和y轴的静矩，或称一次矩。 2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。
y
x
dA
4、静矩和形心的关系 由静力学合力矩定理， 平面图形形心坐标公式：
10
y
2)、求形心
xc
Ax
A
i ci
A1 xc1 A2 xc 2 A1 A2
C2

c(-20.3;34.7)
C1 80
35 1100 20.3(mm) 10 110 80 10
i ci
x
yc
A y
A
A1 y c1 A2 y c 2 A1 A2
60 1100 34.7(mm) 10 110 80 10