江苏省启东市2016-2017学年高一下学期期终数学试题

2016-2017学年浙江省9+1联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）已知集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N等于（）A．{1}B．{5}C．{1，2}D．{2，5}2．（4分）已知、是两个不共线向量，设=，=λ，=2+，若A，B，C三点共线，则实数λ的值等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（4分）满足A=60°，a=2，b=4的△ABC的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A．2 B．C．﹣1 D．20185．（4分）函数f（x）=cosx+|cosx|，x∈R是（）A．最小正周期是πB．区间[0，2]上的增函数C．图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称D．周期函数且图象有无数条对称轴6．（4分）已知等比数列{a n}的公比是q，首项a1＜0，前n项和为S n，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若S k＜5S k﹣4，则正整数k的最大值是（）A．4 B．5 C．14 D．157．（4分）已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A．B．C．D．8．（4分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（）A．若ab＞0，则a4＞b4 B．若a4＞b4，则ab＞0C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0 D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜09．（4分）将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．存在实数x0，使得g（x0）=1 B．当x1＜x2时，必有g（x1）＜g（x2）C．g（2）的取值与实数a有关D．函数g（f（x））的图象必过定点10．（4分）平面内三个向量（i=1，2，3）满足⊥，|﹣|=1（规定=），则（）A．（•）min=0 B．（•）min=﹣1C．（•）max=D．（•）max=二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）. 11．（6分）lg2+lg5=，log42+2=．12．（6分）角α终边过点（﹣1，），则tanα=，cos2α=．13．（5分）已知sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=，cos（θ﹣）=．14．（4分）正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，则k=．15．（4分）如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为．16．（6分）数列{a n}、{b n}满足a1=1，且a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，则a2=，当b n＞时，n的最大值为．17．（4分）等差数列{a n}满足a12+a2n+12=1，则a n+12+a3n+12的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．（14分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=8，S10=﹣10．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|，求T n．19．（15分）如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B 分别是f（x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．20．（15分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．21．（15分）如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值．22．（15分）数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1﹣1）．﹣2a n}为常数列；（Ⅰ）求a2，a3，并证明，数列{a n+1（Ⅱ）设c n=，若对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年浙江省9+1联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）（2017春•浙江期中）已知集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N 等于（）A．{1}B．{5}C．{1，2}D．{2，5}【解答】解：集合A={1，2，5}，N={x|x≤2}，则M∩N=（1，2}．故选：C．2．（4分）（2017春•浙江期中）已知、是两个不共线向量，设=，=λ，=2+，若A，B，C三点共线，则实数λ的值等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵=，=λ，=2+，∴=﹣=λ﹣，=﹣=+，∵A，B，C三点共线，不妨设=μ，∴λ﹣=μ（+），∴，解得λ=﹣1，故选：C3．（4分）（2017春•浙江期中）满足A=60°，a=2，b=4的△ABC的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由正弦定理得，即，解得sinB=1，∴B=90°，∴△ABC是直角三角形，C=30°．故符合条件的三角形只有1个．故选B．4．（4分）（2017春•浙江期中）若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A．2 B．C．﹣1 D．2018【解答】解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==﹣1a4==2a5==，a6==﹣1．a7==2．故选：A．5．（4分）（2017春•浙江期中）函数f（x）=cosx+|cosx|，x∈R是（）A．最小正周期是πB．区间[0，2]上的增函数C．图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称D．周期函数且图象有无数条对称轴【解答】解：函数f（x）=cosx+|cosx|=，∴f（x）是周期函数，且最小正周期为2π，A错误；∵2＞，∴x∈[0，2]时，f（x）不是增函数，B错误；f（x）的图象不关于点（kπ，0）（k∈Z）对称，C错误；f（x）是周期函数且图象有无数条对称轴为x=kπ，k∈Z，D正确．故选：D．6．（4分）（2017春•浙江期中）已知等比数列{a n}的公比是q，首项a1＜0，前n 项和为S n，设a1，a4，a3﹣a1成等差数列，若S k＜5S k，则正整数k的最大值是﹣4（）A．4 B．5 C．14 D．15【解答】解：若a1，a4，a3﹣a1成等差数列，可得2a4=a1+a3﹣a1=a3，即有公比q==，，可得＜5•，由S k＜5S k﹣4由a1＜0，化简可得1﹣＞5﹣，即为2k＜，可得正整数k的最大值为k为4．故选：A．7．（4分）（2017春•浙江期中）已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1），∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，显然C不符合题意．故选C．8．（4分）（2017春•浙江期中）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a3=b3=a，a6=b6=b，若a＞b，则下列正确的是（）A．若ab＞0，则a4＞b4 B．若a4＞b4，则ab＞0C．若ab＜0，则（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0 D．若（a4﹣b4）（a5﹣b5）＜0，则ab＜0【解答】解：设数列{a n}，{b n}的公差、公比分别是d，q，则∵a3=b3=a，a6=b6=b，∴a+3d=b，aq3=b，∴d=，q=，即有a4﹣b4=a+d﹣aq=﹣a•，a5﹣b5=a+2d﹣aq2=﹣a•，当a，b＞0时，有＞••，即a4＞b4，若a，b＜0，则a4＜b4，当a，b＞0时，有＞••，即a5＞b5，若a，b＜0，则a5＜b5，当ab＜0时，可取a=8，b=﹣1，计算a4=5，b4=﹣4，a5=2，b5=2，即有a4＞b4，a5=b5，故A，B，C均错，D正确．故选D．9．（4分）（2017春•浙江期中）将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．存在实数x0，使得g（x0）=1 B．当x1＜x2时，必有g（x1）＜g（x2）C．g（2）的取值与实数a有关D．函数g（f（x））的图象必过定点【解答】解：将函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象向右平移2个单位得到函数g（x）=a x﹣2 +1的图象，由于a x﹣2 ＞0，故不存在实数x0，使得g（x0）=1，故排除A；由于a的范围不能进一步确定，故不能判断g（x）=a x﹣2 +1的单调性，故排除B；由于g（2）=2，它的取值与实数a无关，故排除C；由于g[f（x）]=a[f（x）﹣2]+1，故当x=0时，f（x）=2，g[f（x）]=a0+1=2，故D正确，故选：D．10．（4分）（2017春•浙江期中）平面内三个向量（i=1，2，3）满足⊥，|﹣|=1（规定=），则（）A．（•）min=0 B．（•）min=﹣1C．（•）max=D．（•）max=【解答】解：设，，=，∵|﹣|=1，∴△ABC是边长为1的等边三角形，∵，∴M在以AB为直径的圆上，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面坐标系，则A（﹣，0），B（，0），C（0，），设M（cosα，sinα），则=（﹣﹣cosα，﹣sinα），=（cosα，﹣sinα），=（﹣cosα，﹣sinα），∴=cosα（+cosα）+sinα（sinα﹣）=+（cosα﹣sinα）=+cos（α+），∴的最大值为=，最小值为﹣=﹣．由图形的对称性可知的最大值为，最小值为﹣．又=0，∴（）max=，（）min=﹣．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空每题6分，单空每题4分，共36分）. 11．（6分）（2017春•浙江期中）lg2+lg5=1，log42+2=2．【解答】解：lg2+lg5=lg10=1，log42+2=+3×=2，故答案为：1，2．12．（6分）（2017春•浙江期中）角α终边过点（﹣1，），则tanα=﹣，cos2α=﹣．【解答】解：设角α终边过点P（﹣1，），则tanα==﹣，则|OP|=，则cosα==﹣，则cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故答案为：﹣，﹣．13．（5分）（2017春•浙江期中）已知sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=﹣，cos（θ﹣）=．【解答】解：∵sin（θ﹣）=，则sin（θ+）=sin[π+（θ﹣）]=﹣sin（θ﹣）=﹣；cos（θ﹣）=cos[（θ﹣）﹣]=cos[﹣（θ﹣）]=sin（θ﹣）=，故答案为：﹣；．14．（4分）（2017春•浙江期中）正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，则k=21．【解答】解：∵正项等比数列{a n}中，公比q≠1，=a11，∴a1×a2×…×a k=，∵a1×a21=a2×a20=a3×a19=…=a10×a12=，∴k=21．故答案为：21．15．（4分）（2017春•浙江期中）如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为2﹣．【解答】解：设AB=1，∠EAD=α，∵S扇形ADE=S阴影BCD，∴则由题意可得：×12×α=12﹣，∴解得：α=2﹣．故答案为：2﹣．16．（6分）（2017春•浙江期中）数列{a n}、{b n}满足a1=1，且a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，则a2=，当b n＞时，n的最大值为5．【解答】解：∵a n+1、1+a n是函数f（x）=x2﹣b n x+a n的两个零点，∴a n+1（1+a n）=a n，即a n+1=，∴﹣=1，又a1=1，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列．∴=n，即a n=，∴a2=，又由根与系数的关系得：b n=a n+1+（1+a n）=+1，令+1＞，得n2﹣5n﹣3＜0，解得＜n＜，又n∈N，故n的最大值为5．故答案为：，5．17．（4分）（2017春•浙江期中）等差数列{a n }满足a 12+a 2n +12=1，则a n +12+a 3n +12的取值范围是 [2，+∞） ．【解答】解：∵a 12+a 2n +12=1，∴a 2n +12∈[0，1]，∴a n +12+a 3n +12≥==2≥2．当且仅当a n +1=a 3n +1时取前一个等号，a 2n +1=±1时取后一个等号． 故答案为：[2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．18．（14分）（2017春•浙江期中）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=8，S 10=﹣10．（Ⅰ）求a n ，S n ；（Ⅱ）设T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求T n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=8，S 10=﹣10． ∴=﹣10，解得d=﹣2．∴a n =8﹣2（n ﹣1）=10﹣2n ． S n ==﹣n 2+9n ．（II ）由a n =10﹣2n ≥0，解得n ≤5．∴n ≤5时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =S n =﹣n 2+9n ．n ≥6时，T n =S 5﹣a 6﹣…﹣a n =2S 5﹣S n =2×（﹣52+9×5）﹣（﹣n 2+9n ） =n 2﹣9n +40．∴T n =（n ∈N *）．19．（15分）（2017春•浙江期中）如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），点A，B分别是f（x）的图象与y轴、x轴的交点，C，D分别是f（x）的图象上横坐标为、的两点，CD∥x轴，A，B，D共线．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k+sin2x在区间[，]上恰有唯一实根，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，点A与点D关于点B对称，∴B点的横坐标为=；又点C与点D关于直线x==对称，∴f（x）的最小正周期T满足=﹣=，解得T=π，即ω==2；又f（0）=sinφ，f（）=sin（2×+φ）=sin（+φ）=﹣sin（+φ）=﹣sinφ，且0＜φ＜π，∴φ=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=sin（2x+），∴f（x）=k+sin2x为sin（2x+）=k+sin2x，∴k=sin（2x+）﹣sin2x=﹣sin2x+cos2x=cos（2x+），设g（x）=cos（2x+），x∈[，]，则2x∈[，π]，2x+∈[，]，画出函数g（x）在x∈[，]上的图象，如图所示；根据题意，y=k与g（x）恰有唯一交点，∴实数k应满足﹣＜k≤或k=﹣1．20．（15分）（2017春•浙江期中）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC在BC边上的中线长为1，求△ABC的周长．【解答】解：（I）由=，利用正弦定理可得：=，化为：b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA==，A∈（0，π）．∴A=．（II）设∠ADB=α．在△ABD与△ACD中，由余弦定理可得：﹣cosα，b2=﹣×cos（π﹣α），∴b2+c2=2+=．又b2+c2﹣3=bc，联立解得b+c=2．∴△ABC的周长为2+．21．（15分）（2017春•浙江期中）如图，梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=2，E为AB中点，=λ（0≤λ≤1）．（Ⅰ）当λ=，用向量，表示的向量；（Ⅱ）若||=t（t为大于零的常数），求||的最小值并指出相应的实数λ的值．【解答】解：（I）过C作CF∥AB，交AD于F，则四边形ABCF是平行四边形，F是AD的中点，∴===﹣=﹣，λ=时，，∴==++﹣=+．（II）∵=λ，∴=（1﹣λ），∴==（1﹣λ）++﹣=（）+，∵=2tcos60°=t，=t2，=4，∴2=（）2t2++（）t=[（）t+]2+，∴当（﹣λ）t=﹣时即λ=+时，2取得最小值．∴的最小值为，此时λ=+．22．（15分）（2017春•浙江期中）数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1﹣1）．﹣2a n}为常数列；（Ⅰ）求a2，a3，并证明，数列{a n+1（Ⅱ）设c n=，若对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1=2，当n∈N*，n＞1时，a2+a3+…+a n=4（a n﹣1），﹣1∴a2=4（a1﹣1）=4（2﹣1）=4，a2+a3=4（a2﹣1），即4+a3=4（4﹣1）=12，解得a3=8．由此猜想{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，即，用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=2，成立．②假设当n=k时，等式成立，即a2+a3+…+a k=4（a k﹣1﹣1），∴22+23+…+2k=4（2k﹣1﹣1），当n=k+1时，a2+a3+…+a k+a k+1=4（2k﹣1﹣1）+2k+1=2k+1﹣4+2k+1=4（2k﹣1）=4（a k﹣1），成立，由①②，得，∴a n﹣2a n=2n+1﹣2•2n=0，+1﹣2a n}为常数列．∴数列{a n+1（Ⅱ）∵c n==，当n=1时，c1=，c n=≤，∴c1+c2+…+c n＜+++…+=+=+（1﹣）＜+=，∴=c1＜c1+c2+…+c n＜，∵对任意n∈N*，2a＜c1+c2+…+c n＜10a恒成立，∴，解得≤a＜，故实数a的取值范围为[，）．参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；zhczcb；qiss；742048；双曲线；caoqz；zlzhan；w3239003；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年6月18日。

高一数学期中考试参考答案一、选择题：1-5 CDBBC 6-10 AABBC 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）－2 ； （14）{m |m ≥98或m ＝0}； （15）11； （16）2 三、解答题：本大题共6小题，共70分.(17) （本小题满分10分）解：=⋂B A }25{-<≤-x x =⋃)()(B C A C R R }2,5{-≥-<x x x 或(18) （本小题满分12分）(1)证明：设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的．(2)解：∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]， 又f (x )在[12，2]上单调递增， ∴f (12)＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25. (19) （本小题满分12分）解析：A ＝{x |－1≤x ≤3}，(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎨⎧ m －2＝1m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1. ∴m >5或m <－3.(20) （本小题满分12分）解：（I ）因为二次函数为2()2(0)f x ax x c a =++≠的图像与y 轴交于点(0,1)，故1c = ①又因为函数()f x 满足(2)(2)()f x f x x R -+=--∈故：222x a=-=- ② 由①②得：1,12a c == 故二次函数的解析式为：21()212f x x x =++（II ）因为函数在(1,)t -+∞上为增函数，且函数图像的对称轴为2x =-，由二次函数的图像可知：12, 1.t t -≥-≥-故(21) （本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为()22x x f x k -=+是奇函数，所以()(),R f x f x x -=-∈， ……2分 即22(22),x x x x k k --+=-+所以2(1)(1)20x k k +++=对一切R x ∈恒成立， 所以1k =-. ……………6分（Ⅱ）因为[)0,x ∈+∞，均有()2,x f x ->即222x x x k --+>成立， 所以212x k -<对0x ≥恒成立， ……………8分 所以2min 1(2)x k -<,因为22x y =在[)0,+∞上单调递增，所以2min (2)1x =， 所以0k >. …………12分(22) （本小题满分12分）解：(1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝f (1)＋f (1)． ∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (－1)． ∴f (－1)＝0.(2)令y ＝－1，由f (xy )＝f (x )＋f (y )，得f (－x )＝f (x )＋f (－1)．又f (－1)＝0，∴f (－x )＝f (x )，又f (x )不恒为0，∴f (x )为偶函数．(3)由f (x ＋1)－f (2－x )≤0，知f (x ＋1)≤f (2－x )．又由(2)知f (x )＝f (|x |)，∴f (|x ＋1|)≤f (|2－x |)．又∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴|x ＋1|≤|2－x |.故x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≤12.。

2016-2017学年江苏省南通市启东市长江中学七年级（下）期中数学试卷一、精心选一选（每题3分）1．（3分）如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．2．（3分）二元一次方程x+ay=5有一个解是，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．（3分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间4．（3分）下列各数中无理数有（）3.141，﹣，，π，0，4.2，0.1010010001…A．2个B．3 个C．4个D．5个5．（3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（3分）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（）A．平行于x轴B．平行于y轴C．.经过原点D．无法确定7．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（）A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠2与∠4是同位角D．∠3与∠4是内错角8．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等9．（3分）已知点P（x，|x|），则点P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方10．（3分）m为整数，方程组有整数解，则这样的整数m的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、细心填一填（每题3分）11．（3分）剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则7排4号用表示．12．（3分）的相反数是．13．（3分）方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=2是二元一次方程，则a=．14．（3分）已知一个正数x的两个不相等的平方根是a+1和a﹣3，则x=．15．（3分）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=．16．（3分）若y=++4，则x2+y2的平方根是．17．（3分）已知：，则用x的代数式表示y为．18．（3分）如图，已知四边形ABCD的顶点为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），点P从A出发同时点Q从C点出发，沿四边形的边做环绕匀速运动，P点以2单位/s的速度做逆时针运动，Q点以3单位/s的速度做顺时针运动，则点P和点Q第2017次相遇时的坐标为．三、耐心解一解19．（8分）计算：（1）+﹣（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|20．（8分）解方程组（1）（2）．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中（1）顶点B的坐标为：，；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）若点A2（a，b）与A关于x轴对称，则a﹣b=；=．（4）S△ABC22．（8分）如图，已知∠ADF+∠EFC=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB 的大小关系，并对结论进行说明．23．（10分）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB 平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1=∠2，所以∥，（）所以∠EAC=∠ACG，（）因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以=，=，所以=，所以AB∥CD（）．24．（10分）已知方程组的解满足x+y=﹣2，求k的值．25．（10分）已知实数a满足，求a﹣20102的值．26．（10分）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800元购进甲，乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元？27．（12分）如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；（2）若图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；（3）探究∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．2016-2017学年江苏省南通市启东市长江中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（每题3分）1．（3分）如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【解答】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．故选：B．2．（3分）二元一次方程x+ay=5有一个解是，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：把代入方程x+ay=5，得1+2a=5，∴a=2．故选：B．3．（3分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间【解答】解：∵32=9，42=16，∴，∴+1在4到5之间．故选：C．4．（3分）下列各数中无理数有（）3.141，﹣，，π，0，4.2，0.1010010001…A．2个B．3 个C．4个D．5个【解答】解：π，0.1010010001…是无理数，故选：A．5．（3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；②不带根号的数不一定是有理数，如π，故②说法错误；③负数有立方根，故③说法错误；④∵17的平方根±，∴是17的一个平方根．故④说法正确．故选：B．6．（3分）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（）A．平行于x轴B．平行于y轴C．.经过原点D．无法确定【解答】解：∵A（2，3）、B（﹣4，3）的纵坐标都是3，∴直线AB平行于x轴．故选：A．7．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（）A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠2与∠4是同位角D．∠3与∠4是内错角【解答】解：A、∠1与∠2有一条公共边，另一边互为方向延长线，故A正确；B、∠1与∠3的两边互为方向延长线，故B正确；C、∠2与∠4的位置相同，故C正确；D、∠3与∠4是同旁内角．故D错误；8．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等【解答】解：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法．故选：A．9．（3分）已知点P（x，|x|），则点P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方【解答】解：已知点P（x，|x|），即：|x|≥0，∴当|x|＞0时，点P在x轴的上方，当|x|=0时，点P在x轴上，只有D符合条件．故选：D．10．（3分）m为整数，方程组有整数解，则这样的整数m的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：，①﹣②×2，得解得，y=，∵m为整数，方程组有整数解，∴m﹣8=﹣2或m﹣8=﹣1或m﹣8=1或m﹣8=2，得m=6或m=7或m=9或m=10，当m=6时，y=﹣1，x=5，当m=7时，y=﹣2，x=9，当m=9时，y=2，x=﹣7，当m=﹣10时，y=1，x=﹣3，故选：B．二、细心填一填（每题3分）11．（3分）剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则7排4号用（7，4）表示．【解答】解：∵5排2号可以表示为（5，2），∴7排4号可以表示为（7，4）．故答案填：（7，4）．12．（3分）的相反数是﹣2．【解答】解：2﹣的相反数是﹣2．故答案为：﹣2．13．（3分）方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=2是二元一次方程，则a=﹣2．【解答】解：由题意，得|a|﹣1=1且a﹣2≠0，解得a=﹣2，故答案为：﹣2．14．（3分）已知一个正数x的两个不相等的平方根是a+1和a﹣3，则x=4．【解答】解：由题意可知：a+1+a﹣3=0，∴a=1∴a+1=2，∴x=（a+1）2=4，故答案为：415．（3分）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=10．【解答】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，解得：a=1，b=2，则2*3=4a+3b=4+6=10，故答案为：10．16．（3分）若y=++4，则x2+y2的平方根是±5．【解答】解：由题意可知：∴x=3，∴y=4∴x2+y2=25∴25的平方根为：±5故答案为：±517．（3分）已知：，则用x的代数式表示y为y=．【解答】解：，①+②×3得：x+3y=14，解得：y=，故答案为：y=18．（3分）如图，已知四边形ABCD的顶点为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），点P从A出发同时点Q从C点出发，沿四边形的边做环绕匀速运动，P点以2单位/s的速度做逆时针运动，Q点以3单位/s的速度做顺时针运动，则点P和点Q第2017次相遇时的坐标为（0，﹣2）．【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=2，BC=3．设点P和点Q第2017次相遇时的时间为x，根据题意得：（2+3）x=（2017﹣1）×2×（2+3）+2+3，解得：x=4033，∴P和点Q第2017次相遇时，点P走过的路程为2x=8066．∵矩形ABCD的周长为10，8066=806×10+6，∴P和点Q第2017次相遇时的位置在距离点A逆时针方向的6个单位长度．∵AB+BC=5，CD=2，∴点P和点Q第2017次相遇时的位置为线段CD的中点，即点（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．三、耐心解一解19．（8分）计算：（1）+﹣（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|【解答】解：（1）原式=2+2﹣=3；（2）原式=﹣1+﹣+2﹣=1．20．（8分）解方程组（1）（2）．【解答】解：（1），由①得：y=8﹣3x，把y代入②得：3x+5（8﹣3x）=16，解得：x=2，则y=8﹣3×2=2，则方程组的解为：；（2），①×3+②×18得：24x=48，解得：x=2，则10﹣2y=4，解得：y=3，则方程组的解为：．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中（1）顶点B的坐标为：3，1；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）若点A2（a，b）与A关于x轴对称，则a﹣b=3；= 4.5．（4）S△ABC【解答】解：（1）由图可知，B（3，1）．故答案为：（3，1）；（2）如图，△A1B1C1即为所求；（3）∵A（1，2），点A2（a，b）与A关于x轴对称，∴a=1，b=﹣2，∴a﹣b=1﹣（﹣2）=3．故答案为：3；（4）S=3×5﹣×2×5﹣×2×1﹣×3×3=15﹣5﹣1﹣=4.5．△ABC故答案为：4.5．22．（8分）如图，已知∠ADF+∠EFC=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB 的大小关系，并对结论进行说明．【解答】解：∠ACB=∠DEB，理由如下：∵∠EFC+∠DFE=180°，∠ADF+∠EFC=180°，∴∠ADF=∠DFE，∴EF∥AB，∴∠DEF=∠BDE，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB=∠DEB．23．（10分）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB 平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF，（同位角相等，两直线平行）所以∠EAC=∠ACG，（两直线平行，内错角相等）因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=，∠4=，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【解答】证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=，∠4=，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．24．（10分）已知方程组的解满足x+y=﹣2，求k的值．【解答】解：①﹣②得：x+2y=2③，由③和x+y=﹣2组成方程组，解得：，把x=﹣6，y=4代入②得：﹣12+12=k，解得：k=0．25．（10分）已知实数a满足，求a﹣20102的值．【解答】解：根据题意得，a﹣2011≥0，解得a≥2011，去掉绝对值号得，a﹣2010+=a，所以，=2010，两边平方得，a﹣2011=20102，所以，a﹣20102=2011．26．（10分）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800元购进甲，乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元？【解答】解：（1）设甲种节能灯有x只，则乙种节能灯有y只，由题意得：，解得：，答：甲种节能灯有80只，则乙种节能灯有40只；（2）根据题意得：80×（30﹣25）+40×（60﹣45）=1000（元），答：全部售完120只节能灯后，该商场获利润1000元．27．（12分）如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；（2）若图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；（3）探究∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．【解答】解：（1）作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，∴∠E=∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME=∠AMF，∴∠E=∠AMF+∠CNE=×50°+40°=65°；同理可得∠F=∠AMF+∠CNE=50°+×40°=70°；（2）∵∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，∴2∠F﹣∠E=∠AMF，∵∠E+60°=2∠F，即2∠F﹣∠E=60°，∴∠AMF=60°，∴∠AMF=40°；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE，而∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，∴2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE=（∠E+∠F），∴∠MON=（∠E+∠F）．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．【解答】解：（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0，又∵|2a+b+1|≥0，（a+2b﹣4）2≥0，∴|2a+b+1|=0且（a+2b﹣4）2=0．∴∴即a=﹣2，b=3．（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB=5，因为C（﹣1，2），∴CT=2，CS=1，△ABC的面积=AB•CT=5，要使△COM的面积=△ABC的面积，即△COM的面积=，所以OM•CT=，∴OM=2.5．所以M的坐标为（2.5，0）．②存在．点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）．（3）的值不变，理由如下：∵CD⊥y轴，AB⊥y轴∴∠CDO=∠DOB=90°∴AB∥CD∴∠OPD=∠POB∵OF⊥OE∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°∵OE平分∠AOP∴∠POE=∠AOE∴∠POF=∠BOF∴∠OPD=∠POB=2∠BOF∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°∴∠DOE=∠BOF∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE∴．。

2016-2017学年江苏省南通市启东市长江中学七年级（下）期中数学试卷一、精心选一选（每题3分）1．（3分）如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．2．（3分）二元一次方程x+ay=5有一个解是，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣23．（3分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间4．（3分）下列各数中无理数有（）3.141，﹣，，π，0，4.2，0.1010010001…A．2个B．3 个C．4个D．5个5．（3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（3分）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（）A．平行于x轴B．平行于y轴C．.经过原点D．无法确定7．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（）A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠2与∠4是同位角D．∠3与∠4是内错角8．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等9．（3分）已知点P（x，|x|），则点P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方10．（3分）m为整数，方程组有整数解，则这样的整数m的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、细心填一填（每题3分）11．（3分）剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则7排4号用表示．12．（3分）的相反数是．13．（3分）方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=2是二元一次方程，则a=．14．（3分）已知一个正数x的两个不相等的平方根是a+1和a﹣3，则x=．15．（3分）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=．16．（3分）若y=++4，则x2+y2的平方根是．17．（3分）已知：，则用x的代数式表示y为．18．（3分）如图，已知四边形ABCD的顶点为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），点P从A出发同时点Q从C点出发，沿四边形的边做环绕匀速运动，P点以2单位/s的速度做逆时针运动，Q点以3单位/s的速度做顺时针运动，则点P和点Q第2017次相遇时的坐标为．三、耐心解一解19．（8分）计算：（1）+﹣（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|20．（8分）解方程组（1）（2）．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中（1）顶点B的坐标为：，；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）若点A2（a，b）与A关于x轴对称，则a﹣b=；=．（4）S△ABC22．（8分）如图，已知∠ADF+∠EFC=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB 的大小关系，并对结论进行说明．23．（10分）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB 平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1=∠2，所以∥，（）所以∠EAC=∠ACG，（）因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以=，=，所以=，所以AB∥CD（）．24．（10分）已知方程组的解满足x+y=﹣2，求k的值．25．（10分）已知实数a满足，求a﹣20102的值．26．（10分）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800元购进甲，乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元？27．（12分）如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；（2）若图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；（3）探究∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．2016-2017学年江苏省南通市启东市长江中学七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（每题3分）1．（3分）如列所示的图案分别是奔驰、奥迪、大众、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（）A．B．C．D．【解答】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．故选：B．2．（3分）二元一次方程x+ay=5有一个解是，则a的值是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：把代入方程x+ay=5，得1+2a=5，∴a=2．故选：B．3．（3分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间【解答】解：∵32=9，42=16，∴，∴+1在4到5之间．故选：C．4．（3分）下列各数中无理数有（）3.141，﹣，，π，0，4.2，0.1010010001…A．2个B．3 个C．4个D．5个【解答】解：π，0.1010010001…是无理数，故选：A．5．（3分）有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的平方根．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①实数和数轴上的点一一对应，故①说法错误；②不带根号的数不一定是有理数，如π，故②说法错误；③负数有立方根，故③说法错误；④∵17的平方根±，∴是17的一个平方根．故④说法正确．故选：B．6．（3分）经过两点A（2，3）、B（﹣4，3）作直线AB，则直线AB（）A．平行于x轴B．平行于y轴C．.经过原点D．无法确定【解答】解：∵A（2，3）、B（﹣4，3）的纵坐标都是3，∴直线AB平行于x轴．故选：A．7．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（）A．∠1与∠2是邻补角B．∠1与∠3是对顶角C．∠2与∠4是同位角D．∠3与∠4是内错角【解答】解：A、∠1与∠2有一条公共边，另一边互为方向延长线，故A正确；B、∠1与∠3的两边互为方向延长线，故B正确；C、∠2与∠4的位置相同，故C正确；D、∠3与∠4是同旁内角．故D错误；故选：D．8．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．两直线平行，同位角相等【解答】解：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法．故选：A．9．（3分）已知点P（x，|x|），则点P一定（）A．在第一象限B．在第一或第四象限C．在x轴上方D．不在x轴下方【解答】解：已知点P（x，|x|），即：|x|≥0，∴当|x|＞0时，点P在x轴的上方，当|x|=0时，点P在x轴上，只有D符合条件．故选：D．10．（3分）m为整数，方程组有整数解，则这样的整数m的个数有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：，①﹣②×2，得my﹣8y=2，解得，y=，∵m为整数，方程组有整数解，∴m﹣8=﹣2或m﹣8=﹣1或m﹣8=1或m﹣8=2，得m=6或m=7或m=9或m=10，当m=6时，y=﹣1，x=5，当m=7时，y=﹣2，x=9，当m=9时，y=2，x=﹣7，当m=﹣10时，y=1，x=﹣3，故选：B．二、细心填一填（每题3分）11．（3分）剧院里5排2号可以用（5，2）表示，则7排4号用（7，4）表示．【解答】解：∵5排2号可以表示为（5，2），∴7排4号可以表示为（7，4）．故答案填：（7，4）．12．（3分）的相反数是﹣2．【解答】解：2﹣的相反数是﹣2．故答案为：﹣2．13．（3分）方程x|a|﹣1+（a﹣2）y=2是二元一次方程，则a=﹣2．【解答】解：由题意，得|a|﹣1=1且a﹣2≠0，解得a=﹣2，故答案为：﹣2．14．（3分）已知一个正数x的两个不相等的平方根是a+1和a﹣3，则x=4．【解答】解：由题意可知：a+1+a﹣3=0，∴a=1∴a+1=2，∴x=（a+1）2=4，故答案为：415．（3分）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=10．【解答】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，解得：a=1，b=2，则2*3=4a+3b=4+6=10，故答案为：10．16．（3分）若y=++4，则x2+y2的平方根是±5．【解答】解：由题意可知：∴x=3，∴y=4∴x2+y2=25∴25的平方根为：±5故答案为：±517．（3分）已知：，则用x的代数式表示y为y=．【解答】解：，①+②×3得：x+3y=14，解得：y=，故答案为：y=18．（3分）如图，已知四边形ABCD的顶点为A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），点P从A出发同时点Q从C点出发，沿四边形的边做环绕匀速运动，P点以2单位/s的速度做逆时针运动，Q点以3单位/s的速度做顺时针运动，则点P和点Q第2017次相遇时的坐标为（0，﹣2）．【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），∴AB=2，BC=3．设点P和点Q第2017次相遇时的时间为x，根据题意得：（2+3）x=（2017﹣1）×2×（2+3）+2+3，解得：x=4033，∴P和点Q第2017次相遇时，点P走过的路程为2x=8066．∵矩形ABCD的周长为10，8066=806×10+6，∴P和点Q第2017次相遇时的位置在距离点A逆时针方向的6个单位长度．∵AB+BC=5，CD=2，∴点P和点Q第2017次相遇时的位置为线段CD的中点，即点（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．三、耐心解一解19．（8分）计算：（1）+﹣（2）|1﹣|+|﹣|+|2﹣|【解答】解：（1）原式=2+2﹣=3；（2）原式=﹣1+﹣+2﹣=1．20．（8分）解方程组（1）（2）．【解答】解：（1），由①得：y=8﹣3x，把y代入②得：3x+5（8﹣3x）=16，解得：x=2，则y=8﹣3×2=2，则方程组的解为：；（2），①×3+②×18得：24x=48，解得：x=2，则10﹣2y=4，解得：y=3，则方程组的解为：．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中（1）顶点B的坐标为：3，1；（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（3）若点A2（a，b）与A关于x轴对称，则a﹣b=3；= 4.5．（4）S△ABC【解答】解：（1）由图可知，B（3，1）．故答案为：（3，1）；（2）如图，△A1B1C1即为所求；（3）∵A（1，2），点A2（a，b）与A关于x轴对称，∴a=1，b=﹣2，∴a﹣b=1﹣（﹣2）=3．故答案为：3；=3×5﹣×2×5﹣×2×1﹣×3×3=15﹣5﹣1﹣=4.5．（4）S△ABC故答案为：4.5．22．（8分）如图，已知∠ADF+∠EFC=180°，∠DEF=∠A，试判断∠ACB与∠DEB 的大小关系，并对结论进行说明．【解答】解：∠ACB=∠DEB，理由如下：∵∠EFC+∠DFE=180°，∠ADF+∠EFC=180°，∴∠ADF=∠DFE，∴EF∥AB，∴∠DEF=∠BDE，∵∠DEF=∠A，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，∴∠ACB=∠DEB．23．（10分）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知，∠1=∠2，AB 平分∠EAC，CD平分∠ACG．将下列证明AB∥CD的过程及理由填写完整．证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF，（同位角相等，两直线平行）所以∠EAC=∠ACG，（两直线平行，内错角相等）因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=，∠4=，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【解答】证明：因为∠1=∠2，所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3=，∠4=，所以∠3=∠4，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．24．（10分）已知方程组的解满足x+y=﹣2，求k的值．【解答】解：①﹣②得：x+2y=2③，由③和x+y=﹣2组成方程组，解得：，把x=﹣6，y=4代入②得：﹣12+12=k，解得：k=0．25．（10分）已知实数a满足，求a﹣20102的值．【解答】解：根据题意得，a﹣2011≥0，解得a≥2011，去掉绝对值号得，a﹣2010+=a，所以，=2010，两边平方得，a﹣2011=20102，所以，a﹣20102=2011．26．（10分）目前节能灯在城市已基本普及，为响应号召，某商场计划用3800元购进甲，乙两种节能灯共120只，这两种节能灯的进价、售价如下表：（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？（2）全部售完120只节能灯后，该商场获利多少元？【解答】解：（1）设甲种节能灯有x只，则乙种节能灯有y只，由题意得：，解得：，答：甲种节能灯有80只，则乙种节能灯有40只；（2）根据题意得：80×（30﹣25）+40×（60﹣45）=1000（元），答：全部售完120只节能灯后，该商场获利润1000元．27．（12分）如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于O点（1）若∠AMF=50°，∠CNE=40°，求∠E，∠F的度数；（2）若图中∠E+60°=2∠F，求∠AMF的度数；（3）探究∠E，∠F与∠MON之间的数量关系．【解答】解：（1）作EH∥AB，如图，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，∴∠E=∠AME+∠CNE，∵EM是∠AMF的平分线，∴∠AME=∠AMF，∴∠E=∠AMF+∠CNE=×50°+40°=65°；同理可得∠F=∠AMF+∠CNE=50°+×40°=70°；（2）∵∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，∴2∠F=2∠AMF+∠CNE，∴2∠F﹣∠E=∠AMF，∵∠E+60°=2∠F，即2∠F﹣∠E=60°，∴∠AMF=60°，∴∠AMF=40°；（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON=∠AMF+∠CNE，而∠E=∠AMF+∠CNE，∠F=∠AMF+∠CNE，∴2∠E=∠AMF+2∠CNE，2∠F=2∠AMF+∠CNE，∴2∠E+2∠F=3（∠AMF+∠CNE），∴∠AMF+∠CNE=（∠E+∠F），∴∠MON=（∠E+∠F）．28．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0．（1）求a，b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．【解答】解：（1）∵|2a+b+1|+（a+2b﹣4）2=0，又∵|2a+b+1|≥0，（a+2b﹣4）2≥0，∴|2a+b+1|=0且（a+2b﹣4）2=0．∴∴即a=﹣2，b=3．（2）①过点C做CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．∵A（﹣2，0），B（3，0），∴AB=5，因为C（﹣1，2），∴CT=2，CS=1，△ABC的面积=AB•CT=5，要使△COM的面积=△ABC的面积，即△COM的面积=，所以OM•CT=，∴OM=2.5．所以M的坐标为（2.5，0）．②存在．点M的坐标为（0，5）或（﹣2.5，0）或（0，﹣5）．（3）的值不变，理由如下：∵CD⊥y轴，AB⊥y轴∴∠CDO=∠DOB=90°∴AB∥CD∴∠OPD=∠POB∵OF⊥OE∴∠POF+∠POE=90°，∠BOF+∠AOE=90°∵OE平分∠AOP∴∠POE=∠AOE∴∠POF=∠BOF∴∠OPD=∠POB=2∠BOF∵∠DOE+∠DOF=∠BOF+∠DOF=90°∴∠DOE=∠BOF∴∠OPD=2∠BOF=2∠DOE∴．。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

2016-2017学年江苏省镇江市丹阳高中高三（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填入答题区）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B=．2．（5分）复数的实部为．3．（5分）一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为．4．（5分）执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是．5．（5分）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差S2可能的最大值是．6．（5分）已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n为正数），若⊥，则+的最小值是．7．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于．8．（5分）设a∈R，函数f （x）=e x+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为．9．（5分）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．11．（5分）在△ABC中，A=30°，AB=3，，且，则=．12．（5分）已知点A（2，3），点B（6，﹣3），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足等式•+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范围是．13．（5分）已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是．三.解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．17．（14分）设椭圆E：+=1（a＞0）的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e=a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．18．（16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19．（16分）已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有（k为常数）．（1）若k=0，且a1=1，﹣8a2，a4，a6成等差数列，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若，求证：a1，a2，a3成等差数列；（3）已知a1=a，a2=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数，（1）函数，其中k为实数，①求F'（0）的值；②对∀x∈（0，1），有F（x）＞0，求k的最大值；（2）若（a为正实数），试求函数f（x）与g（x）在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a的个数，若不存在，请说明理由．高三数学附加题（第Ⅱ卷）B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为，求矩阵M的逆矩阵．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求出圆C的直角坐标方程；（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，若直线l：y=2x+2m上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．24．（10分）某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为p i （i=1，2，…，5），且p i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X （元），求X的分布列和数学期望．2016-2017学年江苏省镇江市丹阳高中高三（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案填入答题区）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，则（∁U A）∩B={1，3，7} ．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴∁U A={1，3，6，7}，又B={1，3，5，7}，∴（∁U A）∩B={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，7}2．（5分）复数的实部为0．【解答】解：∵=，∴复数的实部为0．故答案为：0．3．（5分）一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为．【解答】解：从1，2，3，4，5这五个数中任取3个数，用列举法可知，共有10种情况，而其中三个数的平均数是3的只有1，3，5和2，3，4两种情况，∴取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为．故答案为：．4．（5分）执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数是30．【解答】解：模拟执行程序，可得A=3，N=1，输出3，N=2，满足条件N≤4，A=6，输出6，N=3，满足条件N≤4，A=30，输出30，N=4，满足条件N≤4，A=870，输出870，N=5，不满足条件N≤4，结束．则这列数中的第3个数是30．故答案为：30．5．（5分）在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差S2可能的最大值是．【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，则9+10+11+（10+x）+y=50，得：x+y=10，故y=10﹣x，故S2=[1+0+1+x2+（﹣x）2]=+x2，显然x最大取9时，S2最大是，故答案为：6．（5分）已知=（m，n﹣1），=（1，1）（m、n为正数），若⊥，则+的最小值是3+2．【解答】解：∵=（m，n﹣1），=（1，1），⊥∴•=m+n﹣1=0∴m+n=1又∵m、n为正数∴+=（+）•（m+n）=3+（+）≥3+2当且仅当2m2=n2时取等号故答案为：3+27．（5分）若等差数列{a n}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则该数列的前n项和S n取最小值时，n的值等于6．【解答】解：由a5是a2与a6的等比中项，可得a52=a2a6，由等差数列{a n}的公差d为2，即（a1+8）2=（a1+2）（a1+10），解得a1=﹣11，a n=a1+（n﹣1）d=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，由a1＜0，a2＜0，…，a6＜0，a7＞0，…可得该数列的前n项和S n取最小值时，n=6．故答案为：6．8．（5分）设a∈R，函数f （x）=e x+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2．【解答】解：因为f（x）=e x+是偶函数，所以总有f（﹣x）=f（x），即=e x+，整理得（a﹣1）（）=0，所以有a﹣1=0，即a=1．则f（x）=，f′（x）=e x﹣，令f′（x）=e x﹣=，整理即为2e2x﹣3e x ﹣2=0，解得e x=2，所以x=ln2．故答案为：ln2．9．（5分）已知一个圆锥的底面积为2π，侧面积为4π，则该圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得，所以高，所以．故答案为：．10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=•2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．11．（5分）在△ABC中，A=30°，AB=3，，且，则=﹣6．【解答】解：如图所示，△ABC中，A=30°，AB=3，，∴cos30°==，∴∠ABC=90°，∴BC=AC=；又，∴A（0，3），D（0，1），C（，0）；∴=（，﹣3），=（﹣，1），∴•=×（﹣）﹣3×1=﹣6．故答案为：﹣6．12．（5分）已知点A（2，3），点B（6，﹣3），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足等式•+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范围是（﹣∞，2）．【解答】解：由点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，），则=（x﹣2，﹣3），=（x﹣6，+3），∴•=（x﹣2）（x﹣6）+﹣9=（25x2﹣110x+57）；又•+2λ=0，∴（25x2﹣110x+57）+2λ=0，化简得25x2﹣110x+57+32λ=0，根据题意△=（﹣110）2﹣4×25×（57+32λ）＞0，解得λ＜2；∴实数λ的取值范围是（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．13．（5分）已知动点P（x，y）满足：，则x2+y2﹣6x的最小值为．【解答】解：由，∵y+＞y+|y|≥0，∴，∵函数f（x）=是减函数，∴x≤y，∴原不等式组化为．该不等式组表示的平面区域如下图：∵x2+y2﹣6x=（x﹣3）2+y2﹣9．由点到直线的距离公式可得，P（3，0）区域中A（）的距离最小，所以x2+y2﹣6x的最小值为．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数f（x）=﹣x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1﹣x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是a≥1或a．【解答】解：由于函数f（x）=﹣x，f（x）•f（1﹣x）≥1即为（﹣x）（﹣1+x）≥1，则+x（1﹣x）﹣a（）﹣1≥0，令x（1﹣x）=t（0＜t），则上式即为+t﹣a﹣1≥0，即有t2+（2a﹣1）t+a2﹣a≥0，令f（t）=t2+（2a﹣1）t+a2﹣a（0＜t），对称轴t=﹣a，若a，则区间（0，]为增，则f（0）≥0，即有a2﹣a≥0，解得a≥1；若﹣a即a，则区间（0，]为减，则f（）≥0，即16a2﹣8a﹣3≥0，解得a或a则有a；若0＜﹣a≤，则有f（﹣a）≥0，即有≥0，解得，a ∈∅．综上可得，a≥1或a．故答案为：a≥1或a．三.解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3•﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，则2sin（2x+）+1∈[0，3]，即函数f（x）=2sin（2x+）+1的值域是[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，又0°＜A＜180°，∴A=30°，则sinC=2sinA=1，即C=90°，∴B=180°﹣A﹣C=60°，∴f（B）=f（）=2sin（+）+1=2．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明：AF⊥平面PCD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以CD∥EF．因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD．可得：AB∥EF，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．…（6分）（2）证明：在矩形ABCD中，CD⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以CD⊥平面PAD．又AF⊂平面PAD，所以CD⊥AF．由点F是棱PD中点．在△PAD中，因为PA=AD，所以AF⊥PD．又因为PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（12分）17．（14分）设椭圆E：+=1（a＞0）的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e=a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．【解答】解：（1）由题知c2=a2﹣（8﹣a2）=2a2﹣8，由得a4﹣25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆E的方程为；（4分）（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则c2=2a2﹣8，联立得8x2﹣4x+a4=0，即（2﹣a2）2=0，故，，（7分）直线PF2的方程为，令x=0，则，即点Q的坐标为（0，），故，（9分）故=（11分）故与的夹角为定值．（12分）18．（16分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．（1）试用x，y表示L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？【解答】解：（1）由题意，水平方向每根支条长为cm，竖直方向每根支条长为cm，菱形的边长为cm．从而，所需木料的长度之和L==cm．（2）由题意，，即，又由可得．所以．令，其导函数在上恒成立，故在上单调递减，所以可得．则==．因为函数和在上均为增函数，所以在上为增函数，故当t=33，即x=130，y=20 时L有最小值．答：做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料．19．（16分）已知数列{a n}的各项都为正数，且对任意n∈N*，都有（k为常数）．（1）若k=0，且a1=1，﹣8a2，a4，a6成等差数列，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若，求证：a1，a2，a3成等差数列；（3）已知a1=a，a2=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当k=0时，，∵a n＞0，∴数列{a n}为等比数列，设公比为q（q＞0），∵﹣8a2，a4，a6成等差数列，∴﹣8a2+a6=2a4，∴，∵a2≠0，∴q4﹣2q2﹣8=0，∴q2=4，∴q=2．∵a1=1，数列{a n}的前n项和．（2）当时，，令n=1，则，∴，∵a1＞0，∴a1+a3﹣2a2=0，∴a1，a2，a3成等差数列．（3）存在常数使得a n+a n=λa n+1对任意n∈N*都成立．+2证明如下：令，∵对任意n∈N*，都有，①，k为常数，∴，②②﹣①得：，∴．∵a n＞0，∴a na n+2＞0∴，+1=b n，n∈N*，即：，亦即：b n+1∴数列{b n}为常数列，∴b n=b1，n∈N*，∵a1=a，a2=b，，n∈N*，令n=1，则b2=aa3+k，∴，∴，n∈N*，∴，即存在常数使得a n+a n+2=λa n+1对任意n∈N*都成立．20．（16分）已知函数，（1）函数，其中k为实数，①求F'（0）的值；②对∀x∈（0，1），有F（x）＞0，求k的最大值；（2）若（a为正实数），试求函数f（x）与g（x）在其公共点处是否存在公切线，若存在，求出符合条件的a的个数，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由得，①F'（0）=2﹣k﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）②记h（x）=F'（x），则，记m（x）=h'（x），则，当x∈（0，1）时，（i）当k≤2时，m'（x）＞2﹣k≥0，x∈（0，1），即m（x）在（0，1）上是增函数，又m（0）=0，则h'（x）＞0，x∈（0，1），即h（x）在（0，1）上是增函数，又F'（0）=2﹣k≥0，则F'（x）＞0，x∈（0，1）即F（x）在（0，1）上是增函数，故F（x）＞F（0）=0，x∈（0，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（ii ）当k＞2时，则存在x0∈（0，1），使得m'（x）在（0，x0）小于0，即m（x）在（0，x0）上是减函数，则h'（x）＜0，x∈（0，x0），即h（x）在（0，x0）上是减函数，又F'（0）=2﹣k＜0，则F'（x）＜0，x∈（0，x0），又F'（0）=2﹣k＜0，即F（x）在（0，x0）上是减函数，故F（x）＜F（0）=0，x∈（0，x0），矛盾！…﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…（8分）故k的最大值为2；…（9分）（2）设函数f（x）与g（x）在其公共点x=x1处存在公切线，则…﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣…（11分），由②得，即代入①得8lna﹣8ln2﹣a2+8=0，﹣﹣﹣﹣…（13分），记G（a）=8lna﹣8ln2﹣a2+8，则，得G（a）在（0，2）上是增函数，（2，+∞）上是减函数，又，得符合条件的a的个数为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）（未证明小于0的扣2分）高三数学附加题（第Ⅱ卷）B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）若点A（2，2）在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为，求矩阵M的逆矩阵．【解答】解：由题意知，，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以解得从而﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）由，解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求出圆C的直角坐标方程；（2）已知圆C与x轴相交于A，B两点，若直线l：y=2x+2m上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2﹣4x=0，即圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4．（2）l：的方程为y=2x+2m，而AB为圆C的直径，故直线l上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l与圆C有公共点，故，于是，实数m的最大值为．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．【解答】解：（1）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），因为D是BC的中点，所以D（1，2，0），…（2分）因为，设平面A1C1D的法向量，则，即，取，所以平面A1C1D的法向量，而，所以，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为；…（5分）（2），，设平面B1A1D的法向量，则，即，取，平面B1A1D的法向量，所以，二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．…（10分）24．（10分）某电视台推出一档游戏类综艺节目，选手面对1﹣5号五扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答这首歌的名字，回答正确，大门打开，并获得相应的家庭梦想基金，回答每一扇门后，选手可自由选择带着目前的奖金离开，还是继续挑战后面的门以获得更多的梦想基金，但是一旦回答错误，游戏结束并将之前获得的所有梦想基金清零；整个游戏过程中，选手有一次求助机会，选手可以询问亲友团成员以获得正确答案．1﹣5号门对应的家庭梦想基金依次为3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金额为打开大门后的累积金额，如第三扇大门打开，选手可获基金总金额为8000元）；设某选手正确回答每一扇门的歌曲名字的概率为p i （i=1，2，…，5），且p i=（i=1，2，…，5），亲友团正确回答每一扇门的歌曲名字的概率均为，该选手正确回答每一扇门的歌名后选择继续挑战后面的门的概率均为；（1）求选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率；（2）若选手在整个游戏过程中不使用求助，且获得的家庭梦想基金数额为X （元），求X的分布列和数学期望．【解答】解：设事件“该选手回答正确第i扇门的歌曲名称”为事件A i，“使用求助回答正确歌曲名称”为事件B，事件“每一扇门回答正确后选择继续挑战下一扇门”为事件C；则，，…（2分）（1）设事件“选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金”为事件A，则：A=A1CA2C ×∴选手在第三扇门使用求助且最终获得12000元家庭梦想基金的概率为；…（6分）（2）X的所有可能取值为：0，3000，6000，8000，12000，24000；P（X=3000）=P（A1）=；P（X=6000）=P（A1 CA2）=××（）2=；P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3）=；P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4）=；P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）=；C ）+P（A1CA2C ）+P（A1CA2CA3C ）+P（A1CA2CA3CA4CP（X=0）=P（）+P（A）=；（或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P （X=24000）=1﹣）．∴X 的分布列为：∴EX=0×+3000×+6000×+8000×+12000×+24000×=1250+1000+500+250+250=3250（元）∴选手获得的家庭梦想基金数额为X 的数学期望为3250（元）…（12分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点.(1)如图1，若∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AD ＝CD ，求证AC ⊥BD ； (2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。

2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试卷必修2卷I一、选择题（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线x＝3的倾斜角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 不存在【答案】A【解析】直线垂直与x轴，所以倾斜角为90°，选A.2. 圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为( )A. (2，0）B. （0，2）C. (-2，0）D. （0，-2）【答案】C【解析】由圆标准方程得圆心为(-2，0），选C.3. 已知，则直线与直线的位置关系是（）A. 平行B. 相交或异面C. 异面D. 平行或异面【答案】D【解析】略4. 如图，水平放置的圆柱形物体的三视图是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】正视图为矩形，侧视图为圆，俯视图为矩形，所以选A.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．5. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）学_科_网...A. 30°B. 45°C. 90°D. 60°【答案】D【解析】试题分析：连接，AC，，MN∥∥∴为异面直线AC和MN所成的角而三角形为等边三角形∴=60°考点：异面直线及其所成的角6. 直线2x-y＋4＝0同时过第（）象限A. 一，二，三B. 二，三，四C. 一，二，四D. 一，三，四【答案】A【解析】由图知，直线过第一，二，三象限，选A.7. 若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于( )A. 2B. 3C. 9D. －9【答案】D【解析】由题意得，选D.8. 以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )A. 3x－y－8＝0B. 3x＋y＋4＝0C. 3x－y＋6＝0D. 3x＋y＋2＝0【答案】B【解析】试题分析：根据线段的中垂线过线段的中点，且与线段垂直，又，所以线段的中垂线的斜率为，且线段的中点为，根据点斜式可以得出其方程为，即，故选B．考点：线段的中垂线方程．9. 两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A. 1∶9B. 1∶27C. 1∶3D. 1∶1【答案】A【解析】两个球的表面积之比为两个球的半径平方之比，为1∶9，选A.10. 已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 无法判断学_科_网...【答案】B【解析】因为,所以点M在圆上，选B.11. 在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是( )A. B. C.D.【答案】C考点：函数方程及图像点评：在同一坐标系下判断两函数图象是否正确，需判断两图像均正确时的参数范围是否能同时成立12. 圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】试题分析：将圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y+2）2=8，所以圆心坐标为（-1，-2），半径为2，所以圆心到直线x+y+1=0的距离d=，则圆上到直线x+y+1=0的距离为的点共有3个。

2016学年第二学期9+1高中联盟期中考高一年级数学学科参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1. C ；2．C ；3．B ；4．A ；5．D ；6．A ；7．C ；8．D ；9．D ；10．C ．二、填空题（共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分） 11．1,2； 12．2-，31-；13．31-， 31； 14．21；15．22π-； 16．21，5；17．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-253,253.三、解答题（共5个小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：18．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）1045804510110-=+=+=d d a S ，则2-=d.∴nn an210)1(28-=--=，292)2108(nn n n S n -=-+=. ……7分（Ⅱ）当5≤n 时，29nn S T n n-==， 当6≥n 时，409225+-=+-=n nS S T n n，∴⎩⎨⎧≥+-≤-=6,4095,922n n n n n n Tn. ……7分19．（本题满分15分） 解：（Ⅰ） πϕπω=+⋅3①23127πϕπω=+⋅②解得2=ω，3πϕ=. ……6分（Ⅱ）)32sin()(π+=x x f ，)32sin(2sin π++-=x x kxx x x x 2cos 232sin 213sin2cos 3cos2sin 2sin +-=++-=ππ)32sin(π--=x ，因为]2,12[ππ∈x 时，]32,6[32πππ-∈-x ，由方程恰有唯一实根，结合图象可知2123≤<-k 或1-=k ． ……9分20．（满分15分）解：（Ⅰ）由正弦定理得ca b cb c a +=--，∴bccba-+=222，又Abc cbacos 2222-+=，∴21cos=A ,∴3π=A . ……6分（Ⅱ）设BC 中点为D , 由))(())((DB AD DB AD DCAD DB AD AC AB -+=++=⋅ 22DBAD -=,得2)23(13cos-=πbc， 所以21=bc ①又由余弦定理知3cos2)3(222πbc c b-+=，将①代入得2722=+cb②从而291272)(222=+=++=+bc cbc b ，223=+cb ，故ABC ∆的周长2233+=++c b a ． ……9分21.（本题满分15分） 解：（Ⅰ）=PE)(21CB PC DA PD +++=DADC 4361+=……6分（Ⅱ）=PE)(21CB PC DA PD +++=DADC 43)21(21+-=λ所以2222||169))(21(43||)21(41||DA DA DC DC PE+⋅-+-=λλ49)21(49)21(492+-+-=λλ1627)232(492+-=λ，所以433||min =PE，当43=λ时取到． (9)分22．（满分15分）解：（Ⅰ）当2=n 时，4)1(412=-=a a ，8)1(43232=⇒-=+a a a a ，因为)1(4132-=+++-n na a a a ① )1(4132-=++++nn a a a a ② ①－②得 )(411-+-=n n n a a a ， 所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a )2(≥n因为0122212=⨯-=-a a ，所以021=-+nn a a ，*N n ∈. ……6分（Ⅱ）又021≠=a ，从而21=+nn a a，故数列}{na 为等比数列.所以nna2=，n n n n n a a a a a2321211=-=--+，计算知1011=c ，2722=c，当2>n时，由)2)(12(2522++=++=n n nn n nna a a a a a c=++=-+)1)(1(2111n n na a a )1)(1()1()1(32211111+++-+⋅⋅=-+-+n n n n a a a a )1111(3111+-+=+-n n a a ，)]1111()1111()1111[(3110111423121+-++++-+++-++=++++-n n n a a a a a a c c c)1111(31)1111(31101121+++-++++=+n n a a a a （对2,1=n 也成立）因为0>nc ，所以101121=≥+++c c c cn ，又<+++n c c c21185)141121(31101)1111(3110121=++++=++++a a ，从而1012<a ，且18510≥a，解得201361<≤a ． ……9分。

2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．（3分）设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．（3分）函数f（x）=的定义域为．3．（3分）函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．4．（3分）幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是．5．（3分）设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）6．（3分）lg=．7．（3分）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．8．（3分）x2﹣3x+1=0，则=．9．（3分）设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x ＜1}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P•Q等于．10．（3分）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．11．（3分）不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是．12．（3分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．13．（3分）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a 的取值范围是．14．（3分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．（3分）设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．（3分）函数f（x）=的定义域为[﹣2，3] ．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2≤x≤3，故函数的定义域是[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．3．（3分）函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）4．（3分）幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是f（x）=x﹣2．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，）∴f（2）==2﹣2，从而α=﹣2函数的解析式f（x）=x﹣2，故答案为：f（x）=x﹣2．5．（3分）设，则a，b，c的大小关系是b ＜a＜c．（按从小到大的顺序）【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．6．（3分）lg=lg6+．【解答】解：原式===lg6+．故答案为：lg6+．7．（3分）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为4．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．8．（3分）x2﹣3x+1=0，则=11．【解答】解：∵x2﹣3x﹣1=0，∴x﹣=3，两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=9，则x2+=11．故答案为：11．9．（3分）设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x ＜1}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P•Q等于（0，1] ．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P•Q=（0，1]故答案为：（0，1]10．（3分）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0即log a（x+）+log a（﹣x+）=0∴log a（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a对数式的底数，a＞0∴a=故应填11．（3分）不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是{x|x≥1} ．【解答】解：由不等式：|x﹣1|+2x＞4可得①，或．解①求得x≥1，解②求得x∈∅，故原不等式的解集为{x|x≥1}，故答案为{x|x≥1}．12．（3分）已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＜|2m|，两边平方得：（m+1）2＜4m2，解得：m＞1或m所以实数m的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，）∪（1，+∞）．13．（3分）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a 的取值范围是[，）．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴解得≤a＜．故答案为：[，）．14．（3分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤﹣1或a≥8．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，，∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．②由当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立，可得：2|a|﹣7≥a+1解得a≤﹣8或a≥8．综上可得：a≤﹣1或a≥8．因此a的取值范围是：a≤﹣1或a≥8．故答案为：a≤﹣1或a≥8．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【解答】解：（1）5x2+6xy﹣8y2=（5x﹣4y）（x+2y）（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5）=（x+5）（x﹣3﹣a）16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．【解答】解：（1）把代入f（x）=a x﹣1，得．（2）由（1）得f（x）=（）2x﹣（）x﹣2+8=∵x∈[﹣2，1]∴，当时，f（x）max=8，当时，f（x）min=4∴函数f（x）的值域为[4，8]．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）当0≤x≤400时，当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x所以…（7分）（2）当0≤x≤400时当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）所以当x=300时，f（x）max=25000答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．…（15分）19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．（2）∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g （x）的对称轴为x=1．①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得．，⇒③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2⇒2＜t≤2；④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]。