向量法解平面几何题的几种策略

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。

专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系4种常见考法归类（80题）题型一 求直线的方向向量题型二 求平面的法向量题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的平行关系求参数（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行（2）利用向量方法证明线面平行（3）利用向量方法证明面面平行（4）与平行有关的探索性问题题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系（二）已知直线、平面的垂直关系求参数（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直（2）利用向量方法证明线面垂直（3）利用向量方法证明面面垂直（4）与垂直有关的探索性问题在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP 表示.我们把向量OP称为点P 的位置向量.如图.注：线段中点的向量表达式：对于AP → ＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM → ＝12(OA → ＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式．2、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=3、空间直线的向量表示式如图②,取定空间中的任意一点O ,可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①或OP OA t AB =+ ②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.4、用向量表示空间平面的位置根据平面向量基本定理，存在唯一实数对(,)x y ，使得AP xa yb =+，如图；取定空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，y ，使OP OA xAB y AC =++ .5.直线的方向向量若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．6.平面的法向量定义：AB l ABl直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，我们称向量a 为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a ，那么过点A ，且以向量a.注：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.7.平面法向量的性质（1）平面a 的一个法向量垂直于平面a 内的所有向量；（2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．8.平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面a 的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ì×=ïí×=ïî列出方程组解方程组：解方程组00n AB n AC ì×=ïí×=ïî赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.题型一 求直线的方向向量解题策略：1、理解直线方向向量的概念(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．(2)直线的方向向量不唯一．（空间中一条直线的方向向量有无数个）．2.求直线的方向向量，首先是找到直线上两点，然后用坐标表示以这两点为起点和终点的向量，该向量就是直线的一个方向向量．1.（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知一直线经过点()()2,3,2,1,0,1A B --，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ）A ．()1,1,1a =-B ．()1,1,1a =-C ．()1,1,1a =-D ．()1,1,1a =2．【多选】（2024·湖北十堰·高二校联考阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC上不与1C ，C 重合的任意一点，则能作为直线1AA 的方向向量的是（ ）A ．1AAB ．1C EC ．ABD ．1A A3．（2024·高二课时练习）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点，AB ＝AP ＝1，AD PC 的一个方向向量．4．（2024·高二课时练习）已知直线1l 的一个方向向量为()5,3,2-，另一个方向向量为(),,8x y ，则x =________，y = ________.5．（2024·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36.（23-24高二上·江西赣州·期中）已知直线1l 的方向向量是()2,2,a x =-，直线2l 的方向向量是()2,,2b y =-，若3a = ，且12l l ^，则x y -的值是（ ）A ．-4或0B ．4或1C ．-4D ．07.（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线1l ，2l 的方向向量分别为()1,1,2m =-，()2,2,1n =- ，则这两条直线（ ）A ．相交或异面B ．相交C ．异面D ．平行题型二 求平面的法向量解题策略:1.求平面法向量的方法①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组00{=×=×b n a n ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．注：利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标．2.求平面法向量的三个注意点（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量（2）取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量（3）注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为08.【多选】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）直线l 的方向向量是(1,2,0)a =，若l a ^，则平面a 的法向量可以是（ ）A ．()1,2,0n = B ．()2,4,0n =--C ．()2,1,0n =-D ．()2,1,2n =-9.（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系O xyz -中，已知点()2,0,2A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，则平面ABC 的一个法向量可以是（ ）．A ．()2,1,2B ．()1,2,1-C ．()2,4,2D ．()2,1,2-10．（2024·高二课时练习）已知()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1A B C ，则平面ABC 的一个单位法向量是（ ）A ．()1,1,1B ．C ．111(,,)333D ．11.（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为 1， 以D 为原点， {}1,,DA DC DD为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面1AB C 的一个法向量是（ ）A ．(1,1,1)B ．(1,1,1)-C ．(1,1,1)-D ．(1,1,1)-12．（2024·高二课时练习）在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)；③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13.（2023春·高二课时练习）已知四边形ABCD 是直角梯形，90ABC ∠= ，SA ^平面ABCD ，1SA AB BC ===，12A D =，求平面SCD 的一个法向量．14．（2024·高二课时练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1111,A D A B 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面11BDD B 的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量.15．（2024·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD -中，AB ^平面BCD ，=90BDC ∠°，BD AB CD ==.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面ACD 的一个法向量为（ ）A ．()0,1,0B ．()0,1,1C ．()1,1,1D ．()1,1,016．（2024·全国·高三专题练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD 中，H 是底面中心，DH ^平面ABC ，写出：平面BHD 的一个法向量___________；17.（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，2,AB PB =与平面xDy 的所成角为4p，E 为PB 中点，则平面ABE 的单位法向量0n =______．（用坐标表示）18．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）已知空间中三个向量()2,1,0AB =，()1,2,1AC =- ，()3,1,1BC =-，则下列说法正确的是（ ）A ．AB与AC 是共线向量B ．与AB同向的单位向量是ö÷÷øC ．BC 在AB方向上的投影向量是()2,1,0--D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-19．（2024·四川成都·高二成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面a ，b 的法向量，则平面a ，b 交线的方向向量可以是（ ）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,120．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知点()2,6,2A -在平面a 内，()3,1,2=n 是平面a 的一个法向量，则下列点P 中，在平面a 内的是（ ）A ．()1,1,1P -B ．31,3,2P æöç÷èøC ．31,3,2P æö-ç÷èøD ．31,3,4P æö---ç÷èø(1)线线平行的向量表示：设u 1，u 2分别是直线l 1，l 2的方向向量，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔∃λ∈R ，使得u 1＝λu 2.(2)线面平行的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l ⊄α，则l ∥α⇔u ⊥n ⇔u ·n ＝0.注：（1）在平面a 内取一个非零向量a ，若存在实数x ，使得u xa =，且l a Ë，则//l a ．（2）在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若存在实数,x y ，使得u xa yb =+，且l a Ë，则//l a ．(3)面面平行的向量表示：设n 1 ，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔∃λ∈R ，使得n 1＝λn 2 .2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．题型三 用空间向量证明平行问题（一）判断直线、平面的位置关系21．（2024·湖北黄石·高二校考阶段练习）若直线l 的一个方向向量为()257，，a =，平面α的一个法向量为()111，，u ®=-，则（ ）A ．l ∥α或l ⊂αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交22．（2024·高二单元测试）若平面a 与b 的法向量分别是()1,0,2a =- ，()1,0,2b =-r，则平面a 与b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交不垂直D ．无法判断23．（2024·山东菏泽·高二统考期末）已知平面a 与平面ABC 是不重合的两个平面，若平面α的法向量为(2,1,4)m =-，且(2,0,1)AB =- ，(1,6,1)AC = ，则平面a 与平面ABC 的位置关系是________.24．（2024·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体ABCD A B C D -¢¢¢¢中，222AA AB AD ¢===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD ¢分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD ¢所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．25．【多选】（2024·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =--，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0m =-，则l //a C ．若两个不同平面a ，b 的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =-，则//a bD ．若平面a 经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t =是平面a 的法向量，则1u t +=（二）已知直线、平面的平行关系求参数26.（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-=，平面a 的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面a 平行，则实数x 的值为（ ）A ．12B ．12-C ．10D ．10-27．（2024·广东广州·高二广州市第九十七中学校考阶段练习）直线l 的方向向量是()1,1,1s =-，平面a 的法向量()222,,n x x x =+- ，若直线//l 平面a ，则x =______．28．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知直线l 的一个方向向量为(1,2,1)d =-，平面a 的一个法向量(,4,2)n x =-，若//l a ，则实数x =_______．29．（2024·天津蓟州·高二校考期中）直线l 的方向向量是()1,1,1s ®=，平面a 的法向量()21,,n x x x ®=--，若直线l a ∥，则x =___________.30.（2023·全国·高三专题练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BB 的中点，111B F B D l =，且//EF 平面1ACD ，则实数l 的值为（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1231.【多选】（2023春·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 中点，若直线//EF 平面11A BC ，则点F 的位置可能是（ ）A ．线段1CC 中点B ．线段BC 中点C ．线段CD 中点D ．线段11C D 中点32．（2024·上海·高二校联考阶段练习）已知平面a 的一个法向量为()11,2,3n =-，平面b 的一个法向量为()22,4,n k =--，若//a b ，则k 的值为______（三）证明直线、平面的平行问题（1）利用向量方法证明线线平行解题策略：向量法证明两条直线平行的方法：两直线的方向向量共线时，两直线平行或共线，否则两直线相交或异面．33.（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A D 上，点Q 在线段AC 上，线段PQ 与直线1A D 和AC 都垂直，求证：1PQ BD .34.（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线PQ ∥直线RS ．35.（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =,12AA =，点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点．(1)求证：1EF BD ^ 且1EF CC ^ ；(2)求证：EF AC ∥．（2）利用向量方法证明线面平行解题策略：1.利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系．(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．2.利用向量法证明线面平行的三种思路（1）与法向量垂直：设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u , 则要证明l //α,只需证明u a ^,即0=×u a .（2）与平面内一个向量平行：在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.（3）用平面内两个不共线向量线性表示：证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.注：证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线，再说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量的运算．36．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校联考期末）如图，三棱柱11ABC AB C -中侧棱与底面垂直，且AB ＝AC ＝2，AA 1＝4，AB ⊥AC ，M ，N ，P ，D 分别为CC 1，BC ，AB ，11B C 的中点．求证：PN ∥面ACC 1A 1；37．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，D ，E 分别为棱AB ，11B C 的中点，2BC =，AB =114A C =.证明：//DE 平面11ACC A ；38.（2023春·高二课时练习）如图，在四面体A BCD -中，AD ^平面BCD ，BC CD ^，2AD =，BD =．M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．证明：PQ 平面BCD ；39.（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ^===^平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .40．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ^底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：CE ∥平面PAB ；41．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ^底面ABC ，90BAC ∠=°．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，2PA AC ==，1AB =．求证：//MN 平面BDE ；42．（2024·天津南开·南开中学校考模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，且2PA =，四边形ABCD 是直角梯形，且AB AD ^，//BC AD ，2AD AB ==，4BC =，M 为PC 中点，E 在线段BC 上，且1BE =.求证：//DM 平面PAB ；43.（2024·高二课时练习）如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP BC ∥，AP AB ^，122AB BC AP ===，D 是AP 的中点，,,E F G 分别为,,PC PD CB 的中点，将PCD V 沿CD 折起，使得PD ^平面ABCD ，试用向量方法证明AP 平面EFG .（3）利用向量方法证明面面平行解题策略：(1)由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可；(2)若能求出平面b a ，的法向量υm ，,则要证明b a //,只需证明υm //.值得注意的是，虽然空间向量的坐标运算比线性运 算更为简单，但法向量的求解有时比较烦琐，有时在 平面内找与直线平行的向量也不直观，因此求解时，需要灵活选择解题方法.44．（2024·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F A G ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．45．（2024·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；46.（2023春·高二课时练习）如图所示，平面PAD ^平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PAD ∆是直角三角形，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，求证：平面EFG 平面PBC ．47.（23-24高二上·新疆·期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N ，E ，F 分别是棱11A D ，11A B ，11D C ，11B C 的中点．求证：平面//AMN 平面BDEF ．（4）与平行有关的探索性问题解题策略：平行关系中的探究性问题探究点的位置时，可先设出对应点的坐标，然后根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，建立与所求点的坐标有关的方程，通过解方程可得点的坐标．48.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体P ABCD -的底面ABCD 是一个直角梯形，其中90BAD ∠=,//AD BC ,BA BC a ==,2AD a =，且PA ^底面ABCD ，PD 与底面成30 角．(1)若8BC PD ×= ，求该几何体的体积；(2)若AE 垂直PD 于E ，证明：BE PD ^；(3)在（2）的条件下，PB 上是否存在点F ，使得//EF BD ，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．49.（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱111ABC A B C - 中，已知ABC ∆为正三角形，四边形11ACC A 是菱形，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，平面11ACC A ⊥平面ABC .(1)求证：1A C ^平面BDE ；(2)若160C CA ∠= ，在线段1DB 上是否存在点M ，使得//AM 平面BDE ？若存在，求1DM DB 的值，若不存在，请说明理由．50.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =.(1)求证：1AC BC ^；(2)在AB 上是否存在点D ，使得1//AC 平面1CDB ，若存在，确定D 点位置并说明理由，若不存在，说明理由．51.（2022·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点．在棱1CC 上是否存在一点Q ，使得平面1//D BQ 平面PAO ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，请说明理由．(1)线线垂直的向量表示：设 u 1，u 2 分别是直线 l 1 , l 2 的方向向量，则l 1⊥l 2⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.(2)线面垂直的向量表示：设u 是直线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， l ⊄α，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔∃λ∈R ，使得u ＝λn .注：在平面a 内取两个不共线向量,a b ，若0a u b u ×=×= .则l a ^．(3)面面垂直的向量表示：设n 1，n 2 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.2.利用向量法证明空间中的平行、垂直可以通过建立空间直角坐标系，把要证的空间中的平行与垂直问题转化为证明空间向量之间的平行和垂直问题．破解此类题的关键点如下：①合理建系，抓住空间几何体的结构特征，充分利用图形中的垂直关系(或在图形中构造垂直关系)建立空间直角坐标系．②确定坐标，利用题设条件写出相关点的坐标，进而获得相关向量的坐标．③准确运算，验证两向量平行或垂直的条件成立．④得出结论，由运算结果说明原问题得证．题型四 利用空间向量证明垂直问题（一）判断直线、平面的位置关系52．（2021秋·北京·高二校考期中）直线12,l l 的方向向量分别为(1,3,1),(8,2,2)a b =--= ，则（ ）A ．12l l ^B ．1l ∥2lC ．1l 与2l 相交不平行D ．1l 与2l 重合53．（2024·北京·高二校考阶段练习）若直线l 的方向向量为e (2,3,1)=- ，平面a 的法向量为311,,22n æö=--ç÷èø ，则直线l 和平面a 位置关系是（ ）A ．l a ^B ．//l a C ．l a ÌD ．不确定54．【多选】（2024·广东珠海·高二珠海市斗门区第一中学校考期末）已知v 为直线l 的方向向量,12,n n 分别为平面a ,b 的法向量（a ,b 不重合）,那么下列说法中正确的有（ ）．A ．12n n a bÛ∥∥ B ．12n n a b ^Û^ C ．1v n l Û a ∥∥D ．1v n l ^Û^ a55.（23-24高二上·浙江·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，不能互相垂直的两条直线是（ ）A ．1AB 和1AC B ．1A B 和1CD C ．1C D 和1B C D ．1A B 和11B C 56．（2024·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（ ）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=-- ，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面a 的法向量是()6,4,1u =- ，则l a^C ．两个不同的平面,a b 的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=- ，则a b^D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面a 的法向量是()0,5,0u =- ，则l a∥57．【多选】（2024·高二课时练习）下列命题是真命题的有( )A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，直线m 的方向向量12,1,2b æö=-ç÷èør 为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =- ，平面α的法向量为10,1,2n æö=ç÷èø ，则l ⊥αD ．平面α经过三点()()()1,0,1,0,1,0,1,2,0A B C --，()1,,=r n u t 是平面α的法向量，则u +t ＝1（二）已知直线、平面的垂直关系求参数58.（2023·全国·高三专题练习）设直线12,l l 的方向向量分别为(1,2,2),(2,3,)a b m =-=- ，若12l l ^，则实数m等于（）A ．1B ．2C ．3D ．459．（2024·北京海淀·高二中央民族大学附属中学校考开学考试）已知平面a 的法向量为()1,2,0n = ，直线l的方向向量为v ，则下列选项中使得l a ^的是（ ）A ．()2,1,0v =- B ．()2,1,0v = C ．()2,4,0v = D ．()1,2,0v =- 60．（江苏省扬州市2023-2024学年高二下学期6月期末数学试题）已知直线l 的方向向量为()2,1,2e =- ，平面a 的法向量为()()2,,,n a b a b a b =--+ÎR .若l a ^，则3a b +的值为（ ）A ．5-B ．2-C ．1D ．461．（2024·高二课时练习）已知()()3,,,R u a b a b a b =-+Î 是直线l 的方向向量，()1,2,4n =r 是平面a 的法向量．若l a ^，则ab =______．62．（2024·广东珠海·高二珠海市实验中学校考阶段练习）若直线l 方向向量为()2,1,m ，平面a 的法向量为11,,22æöç÷èø，且l a ^，则m 为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．54-63.（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知(2,,)(,)=-+-Î m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=- n 是平面a 的法向量．若l a ^，则下列选项正确的是（ ）A ．340a b --=B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-64．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）如图，在正三棱锥D -ABC 中，AB =2DA =，O 为底面ABC 的中心，点P 在线段DO 上，且PO DO l =uuu r uuu r ，若PA ^平面PBC ，则实数l =（ ）A ．12B ．13-C D 65.（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一点，且1(01)DG DA l l =££ ,若1A C ^平面EFG ，则l =（ ）A ．14B ．13C D ．1266.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ^平面ABCD ，O ，M 分别为AD ，DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ^．点N 在直线AD 上，若平面BMN ^平面ABE ，则线段AN 的长为_________．（三）证明直线、平面的垂直问题（1）利用向量方法证明线线垂直解题策略：利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．67.【多选】（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点P 在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11CDD C 及其边界上运动，并保持1BP A C ^，若正方体边长为，则1A P 的可能取值是（ ）A B C D 68.（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ^．69.（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，π2BAC ∠=，,,D E F 分别是11A B ，1CC ，BC 的中点．求证：AE DF ^；70.（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，A 为一个顶点，D ，E ，F 分别是所在棱的中点．则满足直线AD EF ^的图形个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（2）利用向量方法证明线面垂直解题策略：向量法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，用向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．71．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3，试证明AM ⊥平面BMC .72.（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 的中点．求证：1AB ^平面1A BD .73．（2024·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC V 是等腰三角形，且π,26ACB AB AC ∠===，又侧棱1BB =面对角线116A C A B ==，点,D F 分别是棱11,A B CB 的中点，11344AE AC AC =+ .证明：1B E ^平面AEF ；74．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，平面11ADD A ^平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2AD =，11111DD D A A A ===.求证：1AD ^平面11CDD C .（3）利用向量方法证明面面垂直解题策略：证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．75．（2024秋·广东深圳·高二深圳外国语学校校考期末）已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ^平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==．求证：平面MAC ^平面PCD ；76．（2024·高二课时练习）如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD .求证：平面DEA ⊥平面ECA .77．（2024·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是梯形，点E 在BC 上，,,22248AD BC AB AD BC AB AD AP BE ^=====∥．求证：平面PDE ^平面PAC ；（4）与垂直有关的探索性问题解题策略：解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理．(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x ，y ，z )；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy 面上的点为(x ，y,0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z 轴上的点为(0,0，z )；④直线(线段)AB 上的点P ，可设为AP → ＝λAB →，表示出点P 的坐标，或直接利用向量运算．78．（2024·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体ABCDE 中，ABC V ，BCD △，CDE V 都是边长为2的等边三角形，平面ABC ^平面BCD ，平面CDE ^平面BCD ．(1)判断A ，B ，D ，E 四点是否共面，并说明理由；(2)在ABC V 中，试在边BC 的中线上确定一点Q ，使得DQ ^平面BCE ．79.（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 是PA 的中点．(1)求证：//PC 平面BDE ．(2)若2PA =，线段PC 上是否存在一点F ，使AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的长度；若不存在，请说明理由．80.（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=^ 于点E ，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A D BE ^，如图2．(1)求证：1A E ^平面BCDE ；(2)在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ^平面1A BD ？若存在，求BP BD 的值；若不存在，说明理由．。

向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。

向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。

在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。

在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。

例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。

此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。

对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。

在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。

首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。

其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。

例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。

还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。

总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。

将平面几何问题转(3,1)=的直线方程。

分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P−−→∥a −−→。

利用向量的平行条件可写出方程。

解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P−−→(2,1)x y =+- ∵A P−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。

评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。

例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足.0P A A M −−→−−→=,32A M MQ −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。

分析：设出M 的坐标，利用32A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M−−→−−→=，确定所求轨迹。

例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。

（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。

分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！解：（1）∵P点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O Pe e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P−−→=,即点P 到原点的距离是2。

设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O Mx y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。

利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。

解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。

本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。

一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。

向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。

向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。

向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。

二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。

设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。

可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。

2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。

例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。

三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。

已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。

2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。

若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。

3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。

已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。

已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。

高一使用2021年5月例析平面向量的最值问题的几种解法■刘长柏1I 平面向量融合了代数、几何及三角函数等知识，在求其最值时，解题方法呈现出多样性。

下面对平面向量的最值问题的解法进行归纳，意在"抛砖引玉”—、基底法以基底法为导向，选择恰当的向量作为基底，用基底表示出所有相关向量，将向量问题化归为基底问题来解决。

例1在平面直角坐标系j：Oy中，点A, BN在圆x2+y2=1上运动，且AB l BC,若点p的坐标为(2,)则i n A+NB+NN 的最大值为()。

A.6B.7C.8D.9解：由AB l BC,可知AC是圆O的直径。

因为p B=P A+OB?P A+PN=2P(5,所以 p A+p B+p N=2P(5+p B= 3PO+o B C3p O+o B=7,当且仅当p O,o B同向时等号成立。

应选B。

评析：本题通过选择合适的基底向量，把三个动向量问题转化为一个动向量问题求解的。

利用基底法解决问题时，首先需要考虑的是如何选择基底。

练习1已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为(一2,0),0为坐标原点，则AO•a N的最大值为。

提示：由题意可得，a O・a N=A N・(AO+ON)=A O+AO・ON=A O+ |AO||ON|cos(n—Z AOP)W A0‘+l AO•O N=6,当且仅当a O,o N同向时等号成立，所以a O-a N的最大值为6。

二、坐标系法利用坐标系法解题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，把所求问题中的各个量用向量表示出来，然后运用向量的坐标运算法则来解决。

例2已知矩形ABCN,AB=2,AN= 1，点P,Q分别在边BC,CN上，且X PAQ= 45°,则A「P•A<Q的最小值是。

解：以A为坐标原点,AB^AN所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,如图1。

由AB=2,AN=1,可知点A(0,0), B(2,0),C(2,1),N(0,1)。

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。

高三平面解析几何复习的教学策略高三平面解析几何是数学课程中的重要内容之一，也是考试中常考的题型。

为了帮助学生复习和掌握这一部分知识，教师需要制定相应的教学策略。

本文将从教学内容、教学方法和复习计划三个方面来介绍高三平面解析几何复习的教学策略。

一、教学内容在高三平面解析几何的复习中，教师需要重点复习以下内容：1. 平面方程的应用：包括点斜式、两点式、一般式等平面方程的互相转化和应用；2. 直线与平面的位置关系：直线的方程和位置关系、直线与平面的位置关系等内容；3. 空间几何体的平面截线：包括球、圆锥、圆柱等空间几何体与平面的截线问题；4. 空间向量的应用：包括向量的夹角、向量的共线、向量的运算等内容。

以上内容是高三平面解析几何的重点内容，复习时要注重学生的理解和掌握程度，尤其是与其他几何知识的联系和综合应用。

二、教学方法1. 综合性教学法：平面解析几何与向量、数学分析、几何等知识有很大的联系，复习时可以采用综合性教学法，将平面解析几何与其他知识点相结合，使学生能更好地理解和掌握知识。

2. 案例教学法：通过实际案例的讲解，让学生了解平面解析几何的应用，加深他们对知识点的理解。

学生可以通过解决实际问题来巩固和提升他们的解题能力。

3. 多维度教学法：平面解析几何涉及到三维空间的问题，教师需要引导学生将平面几何的题目转化为三维空间的问题，从多个角度来理解和解决问题。

4. 实践教学法：通过实践操作，比如利用几何软件进行模拟实验，让学生更直观地理解平面解析几何的内容，提高他们的学习兴趣和解题能力。

以上教学方法可以有效地帮助学生巩固和提高平面解析几何的学习成绩，加强和应用所学知识。

三、复习计划为了让学生更好地复习平面解析几何，教师可以制定以下复习计划：1. 明确复习内容：教师首先要明确定义好复习的内容和目标，包括重点、难点和易错点的整理和梳理。

2. 分阶段复习：根据复习内容的特点，可以将复习分为基础阶段、巩固阶段和强化阶段，逐步推进，循序渐进。