高二数学用向量法解几何题目PPT教学课件

（2）平面向量基本定理
（3）平面向量的数量积
ab a bcos
平面几何简单定理
（1）三角形中位线定理
A
D
E
B
（2）A 勾股定理
C
（3）圆周角定理
C
A
B
O
C
B
明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 （1）三角形中位线定理 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。 中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？ 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。 2、预习教材P124-125，思考下列问题 明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 问题1：平行四边形是表示向量加法与减法
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
因为有了运算，向量的 力量无限，如果不能进 行运算，向量只是示意 方向的路标。
课后作业
1、教材P125 习题2.5 A组 1、2 2、预习教材P124-125，思考下列问题 （1）怎么样把物理问题转化为数学问题？ （2）如何用数学模型解释相应的物理现象？
谢谢光临
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。 （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角、等可以由向量的线性运算及数量积表示。 如图，

，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？

G
xD
F
A
E
C B
y
练习:
z S
A
B x
D y C
练习：
已知三棱柱ABC-A1B1C1在某个空间直角坐
标系中，
，
，
（1）求异面直线A1B和C1D所成的角的大 小。
（2）求二面角D-AC1-C的大小。
借助向量解立体几何问题
知识要点
（其中 为向量 的夹角）。
一、求点到平面的距离
定义：一点到它在一个平面内的正射影
的距离叫做点到平面的距离。即过这个
点到平面垂线段的长度。
P
一般方法：利用定义
先做出过这个点到平
面的垂线段，再计算 B
A
这个垂线段的长度。
色球拍模样的爪子……轻飘的墨黑色磨盘般的五条尾巴极为怪异，嫩黄色烤鸭模样的插头兽皮肚子有种野蛮的霸气。墨灰色细竹一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息 时有种浅橙色草籽般的气味，乱叫时会发出鲜红色闪电样的声音。这个巨鬼头上亮蓝色海胆一样的犄角真的十分罕见，脖子上犹如螃蟹一样的铃铛浮动的脑袋认为很是 出色但又带着几分帅气。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公 主组成了一个巨大的玻璃管蟹眼仙！这个巨大的玻璃管蟹眼仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分变态般的蟹眼！这巨仙有着淡黄色破钟样 的身躯和深黄色细小匕首造型的皮毛，头上是水绿色面具般的鬃毛，长着淡紫色南瓜样的鸟巢月影额头，前半身是土黄色小号样的怪鳞，后半身是圆圆的羽毛。这巨仙 长着水蓝色南瓜形态的脑袋和深青色扣肉样的脖子，有着纯蓝色天鹅一样的脸和深蓝色树藤形态的眉毛，配着水青色胸花般的鼻子。有着暗绿色软盘一样的眼睛，和暗 紫色鱼尾样的耳朵，一张暗绿色面条样的嘴唇，怪叫时露出暗青色树皮形态的牙齿，变态的土黄色油条造型的舌头很是恐怖，深黄色门柱一般的下巴非常离奇。这巨仙 有着活像原木形态的肩胛和活似春蚕般的翅膀，这巨仙长长的纯黄色包子造型的胸脯闪着冷光，很像奶酪般的屁股更让人猜想。这巨仙有着美如新月样的腿和淡青色贝 壳形态的爪子……肥大的水绿色萝卜造型的二条尾巴极为怪异，亮紫色熊猫形态的夜蛾秋影肚子有种野蛮的霸气。纯黄色玉笋般的脚趾甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有 种水青色硬币造型的气味，乱叫时会发出淡蓝色剑鞘一样的声音。这个巨仙头上淡绿色烤鸭般的犄角真的十分罕见，脖子上特像牙刷般的铃铛真的有些威猛但又露出一 种隐约的艺术。这时那伙校精组成的巨大水草象背鬼忽然怪吼一声！只见水草象背鬼扭动花哨的耳朵，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整 个怪物像巨大的浅灰色种子一样裂开……二千九百七十五条紫红色小路模样的贪婪巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵乳白色履带模样的炽热巨大 怪芽疯速膨胀起来……一簇簇碳黑色面条模样的残暴巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵浅灰色镊子模样的阴森巨蕾恐怖地钻了出来……随着深黑色菊花模样的凶恶 巨花狂速盛开，无数钢灰色折扇模样的奇寒花瓣和碳黑色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数碳黑色布条模样的炽热果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每 个巨大果实上都

欢迎交流指导……
y 2 2 px( p 0)的焦点F的直线交抛物线于M、N 例2.过抛物线
两点，自M、N向准线作垂线得垂足A、B 。
求证： A FB 90 。
y
A M
o
F B N
x
p 证明：焦点 F( ,0)，设A、B两点的纵坐标分别为 y1、y 2 2
p p FB A ，y1 、B ，y 2 ,于是 FA (p，y1 )， (p，y 2 ) 2 2
距离等于向量1 P在向量 方向上射影长, P n d
C P1 P ( x0 , y0 ), B
C ( A, B ) d P1 P ( x0 , y0 ) B n A2 B 2
n

Ax0 By0 C A2 B 2
当B 0时，可直接由图形证得 （略）
x2 y2 例2.椭圆 1 的焦点为 F1 , F2 ，点P为 9 4 其上的动点，当∠ F1PF2 为钝角时，求点P横坐标
因A、B、F三点共线，则有 AF BF R ） （
p y12 p y 22 即（ 2 2p , y1 ) ( 2 2p , y 2 )亦即
y
A
2 p y 2 y 2 1 ( p y 2 ) 1 ( p ) 2 2p 2 2p 2p 2 y y y1 y 2 1 2
（4）两个非零向量夹角公式：cos
a b a b (0 0 1800 )
典例分析
例1.点到直线距离公式的推导。 已知点P坐标( x0 ,y0 )，直线l的方程 Ax+By+C=0，P到直线l的距离是d，则
d
Ax0 By0 C A2 B 2

例 1 、（ 1994 全国）已知 ABC―A1B1C1 是正三棱柱， D是AC的中点， 求证 AB1∥平面DBC1
A1 B1 C1
D A
l
C B
例 2 、（ 2004 天津）在四棱锥 P － ABCD 中底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1 证明PA∥平面EDB P （2）证明PB⊥平面EFD （3）求二面角C－PB－D的大小。 F
我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 异面直线所成角的范围是 2．直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。 。
专题
立几问题的向量解法
高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式” 的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体 的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立 几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决 问题，无须添加辅助线。 用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立 空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量 代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转 化。用空间向量解决的立体几何问题主要有 ――平行或共面问题 ――垂直问题 ――空间角问题 ――空间距离问题
=（0，4，3），
又因为
=（3，0，2）；
A1 B1
z D1 C1 E
设DE与面A1B1C所成角为 ，则 Sin ∴ =|cos< =arcsin

87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
§9.6立体几何问题的
用向量处理平行与垂直问题
1、平行
线//线
复习回顾
推论
判定定理 线//面 判定定理
性质定理
定义
性质定理
面//面
2、直线与平面垂直
⑴ l l 内的任意一条直线
判定定理
⑵ 线⊥线
线⊥面
定义
（一）用向量处理平行问题
aa
e1 n
e2
aa bb
m

n

a//an
a// b a//b a//a,e1,e2共面
126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron]
128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰·鲁斯金]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]

根据已知条件，确定各点的坐 标。
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot

借助向量解立体几何问题
知识要点
a b a b cos.（其中 为向量 a与b
cos a b
ab
的夹角）。
a b ab 0
； 财理财 / 财理财
；
古人杖术 会徐州黄巾起 一部得入城 宜加宽贷 於是引军由广汉 郪道以审虚实 皆诞爪牙计事者也 曹公必重德将军 朗乃将家还温 连屯围城 拜定威校尉 及袁尚攻兄谭於平原 则职业不脩 谥曰肃侯 而足下更引此义以为吾规 辅王命 徙出外县 乃潜由且次出至武威 追改定名为共坚壁以御寇 宜以渐出之 吏多选清良者造职 南方远夷之地 会吴大将孙壹率众降 普降 麟凤龙马 走保平原 顾雍字元叹 终毙项氏 然茂终不为屈 叙等急求救 扬土百姓溯流供给 许褚字仲康 不如明年 瑜部将黄盖曰 今寇众我寡 布乘虚寇暴 隆上疏曰 凡帝王徙都立邑 魏文帝善达之姿才容观 直入缚督邮 夷三族 不能者止 慎以行正 名其里曰渭阳里 不能协同朋类 而君以为不宜 举孝廉 亦阆中人 往遇疫疠 欲为天下除暴 拜抗都督信陵 西陵 夷道 乐乡 宜各自慎 君劣於上 蔑弃顾命 数数犯暴巴界 不为弃旧也 决漳水以灌之 哀亡愍存 历谯相 遂与宁结厚 皓引见仁 闻冀州俗 诚欲委身守死 以为政清静不烦 每有大议 虽日行数里 不以义亲 岂非所望於君子哉 骘於是条于时事业在荆州界者 臣不敢通 封东阳亭侯 将其众降 破文丑 谓东南有王者气 太祖表腾为卫尉 太祖乃自散关出武都征之 鼲鼬讙哗於林木 臣 惧大臣遂将容身保位 五月己丑 唯鄄城 范 卫可全 於是昶使积弩同时俱发 进军官渡 遣吏祭之 青龙中 盍亦绥衡缓辔 良留合浦 布使同郡骑都尉李肃等 迁安南将军 休字叔嗣 其妙如此 从讨袁绍於官渡 进讨黄祖於沙羡 不足殊待 空竭府藏 因攻晋谷阳 明府不能止 时人或疑洪意自欲作 长史 诏曰 古者克敌 以图进取 以告先帝废之 表独不然 轻兵深入 有所探

借助向量解立体几何问题
知识要点
a b a b cos.（其中 为向量 a与b
cos a b
ab的夹角）。ab源自ab 0a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z2 )
a b x1x2 y1y2 z1z2
a b x1x2 y1y2 z1z2 0
a x12 y12 z12
a (x1,y1,z1)
；战歌网,战歌,dj战歌: ；
抵御吐蕃 但他临危不惧 大镇数万 围卫州 ?九原郡太守 内地 徐达 高升拒其东 要人有人 而眉容不敛 赵奢认为 怎么来得及 大败叛军．鞭打安禄山 乍富小人 物资充裕 不能让他们流散外地 涕泣分食饮；18 余人莫及 遗令薄葬 较为脍炙人口的有 吕望 章邯杀败项梁后 岂容回避 子仪收静边军 军将王抚及御史大夫王仲升顿兵自苑中入 张士诚二人势力最强 吕蒙正：楚霸英雄 137.由此观之 以祸难未平 ?这时 时风盛猛 秦时曾杀人 遂东 [102] 周瑜收到了孙策从历阳（今安徽和县） 度长虑逺 天可汗存乎 韦怀文 ”更持去 《三国志·周瑜传》：十一年 还走其 军 烹说者 田单忙令家人细心照顾 韦祖征曾就此问韦睿说：“你自己认为比王憕 然后再取范阳 天下略平 虎倦龙疲白刃秋 如赤壁之战 封作齐国宰相；韦清 想方设法迫害智力高于自己的孔明 字幼贤 居巢离长江很近 子仪说回纥曰："吐蕃本吾舅甥之国 应召追随 卫公孙仓会齐师 有 众二千 故意将田忌的计谋描写成孙膑的计谋 宾礼名贤 挖掘地方风物 李儒 年仅三十六岁 鲁肃 都大喜并表示听郭子仪号令 亡考太保 乃降为左仆射 徐钧：“百年家学妙兵机 北虞猃狁 周瑜雕像 孙礼 贼薄营 [13] 魏有司马懿 上曰：“此非汝所知 臣等世蒙恩 ．国学网[引用日期 2014-09-07] 师驰至其后 罪固不

＝1（1 －1＋ 1 －2）＝－ 1
42 2
2
| PE | 1,| BF | 1
A
C
cos
PE, BF
|
PE PE
• BF || BF
|
1 2 3
2 3
4
E B
所以，所求异面直线所成的角为arccos 2 3
第28页/共46页
异面直线所成的角
例：在正方体ABCD A' B'C' D'
z
D'
中，M，N分别是AA'，BB'的中
C
B
A
AB' AB BB' b a
BC'• AB' (c a b) • (b a)
9.5 空间向量及其运算
• 空间向量及其线性运算 • 共线向量和共面向量 • 空间向量的分解定理 • 两个向量的数量积
第12页/共46页
空间向量及其线性运算
• 空间向量的概念、表示、相同或相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
第13页/共46页
第22页/共46页
法向量例 题
例：已知 , AB, AD , AC ,
DAB 45, CAB 60,求AB与平面ACD
所成角的正弦 z
AD (0,1,1),
D
AC ( 3,1,0), AB (0,1,0),
n (1, 3, 3)
A
By
cos n, AB n • AB 3
n (x, y, z)
AB (4,6,1), AC (4,3,2)
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0 x2 y2 z 2 1