【K12教育学习资料】[学习](京津专用)2019高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练7 概率 文

8＋6分项练12 函数的图象与性质1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.3．已知定义域为R 的奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(2x＋7)，则f (2 017)等于( ) A ．－2 B ．log 23 C ．3 D ．－log 25答案 D解析 因为奇函数f (x )满足f (3－x )＋f (x )＝0， 所以f (x )＝－f (3－x )＝f (x －3)，即周期为3， 所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－log 25，故选D.4．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B.()－∞，－3∪()3，＋∞ C.()－3，3 D ．(－∞，－1)∪()3，＋∞答案 D解析 因为f (－x )＝ln(e －x＋e x )＋(－x )2＝ln(e x＋e －x)＋x 2＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数，又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (2x )>f (x ＋3)⇔|2x |>|x ＋3|， 解得x <－1或x >3.故选D.5．(2018·贵州省凯里市第一中学模拟)定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m 2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)，满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ， ∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83. 6．(2018·咸阳模拟)已知奇函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，则( ) A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数 B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数 C ．函数f (x ＋1)是奇函数 D ．函数f (x ＋2)是偶函数 答案 B解析 根据题意，定义在R 上的函数f (x )是奇函数， 则满足f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， 又由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f [1＋(x ＋1)]＝f [1－(x ＋1)] ＝f (－x )＝－f (x )， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为4.7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有零点，只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝813＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 19>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为________． 答案 2解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个． 11．(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝a x －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为________．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时，f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝ax －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．12．(2018·南平质检)已知实数x ，y 满足x 2－sin y ＝1，则sin y －x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2解析 由x 2－sin y ＝1，可得sin y ＝x 2－1. 又sin y ∈[－1,1]，所以x 2－1∈[－1,1]， 解得－2≤x ≤ 2.sin y －x ＝x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54.结合－2≤x ≤2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1＋2. 13．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③.14．已知函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，关于x 的方程f 2(x )－af (x )－1＝0有以下结论： ①当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0恒有根；②当0≤a <649时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个不等实根；③当a ≥0时，方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内最多有9个不等实根；④若方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，6π内根的个数为非零偶数，则所有根之和为15π.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ③④解析 如图所示，令f (x )＝t ，故可将题意理解为先求出t 2－at －1＝0的解，然后再令f (x )＝t 即可得出方程的根的情况，而假设t 2－at －1＝0有两解t 1，t 2，则t 1＋t 2＝a ，t 1·t 2＝－1，故t 1，t 2一正一负，显然负根与函数f (x )的图象不会产生交点，故只需讨论正根与图象的交点，不妨假设t 1为正根，故可得t 1－1t 1＝a ，对于①显然错误，只要足够大，很显然与函数图象不会有交点，故①错误．对于②，当0≤a <649时，a ∈⎣⎡⎭⎫0，83，故t 1∈[1,3)，故方程f 2(x )－af (x )－1＝0在[]0，2π内有两个或三个不等实根，故②错误．对于③，当a ≥0时，故a ∈[0，＋∞)，当a ＝0时，t 1的最小值取1.当t 1＝1时，此时在[]0，6π内有9个不等实根；当a >0时，此时在[]0，6π内无根或者3个根或者6个根，故最多9个根，③正确；对于④，当在[]0，6π内有偶数(非零)个根时，即为6个根，此时6个解关于x ＝5π2对称，故6个根的和为5π2×2×3＝15π，④正确，故正确的为③④.。

(一)三角函数与解三角形1．(2018·天津河北区模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2sin x cos x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2sin x cos x ＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x ＝3cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∵当π3≤2x ＋π3≤π2，即0≤x ≤π12时，函数f (x )单调递增， 当π2≤2x ＋π3≤4π3，即π12≤x ≤π2时，函数f (x )单调递减， 且f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－3， ∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－ 3.2．(2018·天津河北区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若B ＝2C,2b ＝3c .(1)求cos C 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π4的值． 解 (1)由2b ＝3c 及正弦定理可得2sin B ＝3sin C ，又B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ，∴4sin C cos C ＝3sin C ，∵0<C <π，∴sin C ≠0.∴cos C ＝34.(2)由(1)得cos C ＝34，0<C <π， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝74， ∴sin 2C ＝2sin C cos C ＝378， cos 2C ＝2cos 2C －1＝18. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π4＝22(sin 2C ＋cos 2C ) ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫378＋18＝314＋216. 3．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23·sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC 中线AD 的长．解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴T ＝2π2＝π， ∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵在△ABC 中，f (A )＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， 又A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6， ∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3. 又cos B ＝17，∴sin B ＝437， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理csin C ＝a sin A ，得55314＝a 32，∴a ＝7，∴BD ＝72， 在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294， ∴AD ＝1292. 4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，函数f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋c a 的取值范围．解 (1)由条件可知，a ·b ＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . (2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A， 由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 又f (A )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又A ∈(0，π)，得A ＝π3， ∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝2π3－B ，代入上式化简得， b ＋c a ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin A＝32sin B ＋32cos B sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 又在锐角△ABC 中，有0<B <π2， 0<C ＝2π3－B <π2， ∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， 则有32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1， 即3<b ＋c a≤2. 5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab ， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab ＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.。

8＋6标准练41．在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0，1)，则等于( )z 1z2A ．－1－2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．1＋2i答案　C解析　由复数z 1和z 2对应的点分别是A (2,1)和B (0,1)，得z 1＝2＋i ，z 2＝i ，故＝＝1－2i.z 1z 22＋i i2．已知集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |2x >1}，则M ∩N 等于( )A ．{x |0<x <1} B ．{x |x <0}C ．{x |x <1} D ．∅答案　A解析　N ＝{x |2x >1}＝{x |x >0}，∵M ＝{x |x <1}，∴M ∩N ＝{x |0<x <1}．3．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V ＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )112A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2答案　A解析　设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得V ＝πr 2h .由题意知V ＝×(2πr )2×h .112所以πr 2h ＝×(2πr )2×h ，112解得π＝3.4．已知向量a ＝(3，－4)，|b |＝2，若a ·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( )A.B. C. D.π6π4π32π3答案　D解析　由题意可知，cos θ＝＝＝－，a ·b |a ||b |－51012所以向量a 与b 的夹角为.2π35．设x ，y 满足约束条件Error!若目标函数z ＝ax ＋y (a >0)的最大值为18，则a 的值为( )A ．3 B ．5 C ．7 D ．9答案　A解析　根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域(图略)，目标函数化为y ＝－ax ＋z ，当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z ＝4a ＋6＝18，解得a ＝3.6．已知某简单几何体的三视图如图所示，若正(主)视图的面积为1，则该几何体最长的棱的长度为( )A. B. C ．2 D.5326答案　C解析　如图该几何体为三棱锥A －BCD ，BC ＝2，CD ＝2，因为正(主)视图的面积为1，故正(主)视图的高为1，由此可计算BD ＝2为最长棱长．27．已知函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，则实数a 的取值范围是( )A.B.(－1，－1e )(－1，－e 3)C.D.(－3e，－1)(－1，－13e )答案　D解析　由f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x ，可得f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2，∵函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有最小值，∴函数f (x )＝e x ＋x 2＋(3a ＋2)x 在区间(－1,0)上有极小值，而f ′(x )＝e x ＋2x ＋3a ＋2在区间(－1,0)上单调递增，∴e x ＋2x ＋3a ＋2＝0在区间(－1,0)上必有唯一解．由零点存在性定理可得Error!解得－1<a <－，13e∴实数a 的取值范围是.(－1，－13e )8.如图，已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作以F 1为圆心，|OF 1|x 2a 2y 2b2为半径的圆的切线，P 为切点，若切线段PF 2被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. C. D.2352答案　A解析　∵O 是F 1F 2的中点，设渐近线与PF 2的交点为M ，∴OM ∥F 1P ，∵∠F 1PF 2为直角，∴∠OMF 2为直角．∵F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，一条渐近线方程为y ＝x ，b a则F 2到渐近线的距离为＝b ，bcb 2＋a 2∴|PF 2|＝2b .在Rt△PF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2,3c 2＝4(c 2－a 2)，即c 2＝4a 2，解得c ＝2a ，则双曲线的离心率e ＝＝2.c a9．若tan ＝－，则cos 2α＝________.(α－π4)13答案　35解析　已知tan ＝－＝，(α－π4)13tan α－11＋tan α解得tan α＝，12cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝＝，将正切值代入得cos 2α＝.cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α1－tan 2α1＋tan 2α3510．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，则＝________.S 2 0172 017答案　1 009解析　S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝(2×0＋1)＋(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2 016＋1)＝＝2 017×1 009，(1＋2×2 016＋1)×1 0092∴＝1 009.S 2 0172 01711．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为________．答案　48解析　第1次运行，i ＝1，S ＝2，S ＝1×2＝2，i ＝2>4不成立；第2次运行，i ＝2，S ＝2，S ＝2×2＝4，i ＝3>4不成立；第3次运行，i ＝3，S ＝4，S ＝3×4＝12，i ＝4>4不成立；第4次运行，i ＝4，S ＝12，S ＝4×12＝48，i ＝5>4成立，故输出S 的值为48.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与x 轴的交点A ，B ，C 满足OA ＋OC ＝2OB ，则φ＝________.答案　3π4解析　不妨设ωx B ＋φ＝0，ωx A ＋φ＝π，ωx C ＋φ＝2π，得x B ＝－，x A ＝，x C ＝.φωπ－φω2π－φω由OA ＋OC ＝2OB ，得＝，3π－2φω2φω解得φ＝.3π413．函数y ＝与y ＝3sin ＋1的图象有n 个交点，其坐标依次为(x 1，y 1)，(x 2，x 2＋x ＋1x πx2y 2)，…，(x n ，y n )，则 (x i ＋y i )＝________.∑ni ＝1答案　4解析　因为函数y ＝＝x ＋＋1，y ＝3sin ＋1的对称中心均为(0,1)．x 2＋x ＋1x 1x πx 2画出y ＝f (x )＝＝x ＋＋1，x 2＋x ＋1x 1x y ＝g (x )＝3sin ＋1的图象，πx2由图可知共有四个交点，且关于(0,1)对称，x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝0，y 1＋y 4＝y 2＋y 3＝2，故 (x i ＋y i )＝4.∑4i ＝114．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (3－x )＝f (x )，f (－1)＝3，数列{a n }满足a 1＝1且a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则f (a 36)＋f (a 37)＝________.答案　－3解析　因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (3－x )＝f (x )，所以f (3－x )＝－f (－x )，所以f (3＋x )＝－f (x )，即f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )是以6为周期的周期函数．由a n ＝n (a n ＋1－a n )，即(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ≠0，＝，a n ＋1a n n ＋1n 则a n ＝···…··a 1a n a n －1a n －1a n －2a n －2a n －3a 2a 1＝×××…××1＝n ，n n －1n －1n －2n －2n －321即a n ＝n ，n ∈N *，所以a 36＝36，a 37＝37.又因为f (－1)＝3，f (0)＝0，所以f (a 36)＋f (a 37)＝f (0)＋f (1)＝f (1)＝－f (－1)＝－3.。

[70分] 8＋6标准练31．已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝1x ，x >2，则∁U P 等于( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 A解析 由集合U 中的函数y ＝log 2x ，x >1，解得y >0， 所以全集U ＝(0，＋∞)，同样P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得到∁U P ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.2．“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 当a >0时，f ′(x )＝3x 2＋a >0在区间(0，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；当f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数时，f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥0，必要性不成立，故“a >0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件． 3.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP → ＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14NC →－AB →＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.4．在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.12B.13C.14D.15 答案 B解析 根据几何体的三视图，得该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P －ABCD 所得的几何体． 设AB ＝1，则截去的部分为三棱锥E －BCD ，它的体积为V 三棱锥E －BCD ＝13×12×1×1×12＝112，剩余部分的体积为V 剩余部分＝V 四棱锥P －ABCD －V 三棱锥E －BCD＝13×12×1－112＝14.所以截去部分的体积与剩余部分的体积比为1 12∶14＝1∶3.5．秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为3，每次输入a的值均为4，输出s的值为484，则输入n的值为( )A．6 B．5 C．4 D．3答案 C解析模拟程序的运行，可得x＝3，k＝0，s＝0，a＝4，s＝4，k＝1；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，可得5>n≥4，所以输入n的值为4.6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC所成角的大小为( )A．90° B．60°C．45° D．30°答案 C解析如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt△DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°.7．在区间[－1,1]上任取两数s 和t ，则关于x 的方程x 2＋2sx ＋t ＝0的两根都是正数的概率为( )A.124B.112C.14D.13 答案 B解析 由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧－1≤s ≤1，－1≤t ≤1，其区域是边长为2的正方形，面积为4，由二次方程x 2＋2sx ＋t ＝0有两正根，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4s 2－4t ≥0，－2s >0，t >0，即⎩⎪⎨⎪⎧s 2≥t ，s <0，t >0，其区域如图阴影部分所示，面积S ＝ʃ0－1s 2d s ＝⎪⎪⎪13s 30－1＝13， 所求概率P ＝134＝112.8．已知正数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则S ＝1＋z 2xyz的最小值为( )A ．3 B.3(3＋1)2C ．4D ．2(2＋1)答案 C解析 由题意可得0<z <1,0<1－z <1， ∴z (1－z )≤⎝⎛⎭⎪⎫z ＋1－z 22＝14，当且仅当z ＝1－z ，即z ＝12时取等号．又x 2＋y 2＋z 2＝1，∴1－z 2＝x 2＋y 2≥2xy ， 当且仅当x ＝y 时取等号，∴1－z22xy ≥1，∴(1＋z )(1－z )2xy ≥1，∴1＋z 2xy ≥11－z ，∴1＋z 2xyz ≥1(1－z )z≥4， 当且仅当x ＝y ＝64且z ＝12时取等号， ∴S ＝1＋z2xyz的最小值为4.9．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝73，则S 5S 3＝________.答案 5解析 在等差数列{a n }中，设首项为a 1，公差为d ，由于a 5a 3＝73，得a 1＋4d a 1＋2d ＝73，解得a 1＝－d 2，S 5S 3＝5(a 1＋a 5)23(a 1＋a 3)2＝5a 33a 2＝5·3d23·d2＝5.10．已知复数z 满足i z ＝4＋3i1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点在第__________象限．答案 三解析 ∵i z ＝4＋3i1＋2i，∴z ＝4＋3i (1＋2i )i ＝4＋3i －2＋i ＝(4＋3i )(－2－i )(－2＋i )(－2－i )＝－5－10i5＝－1－2i ，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限．11．(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是________．答案 －11解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式的通项公式是C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ，其中含1x的项是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1，常数项为C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 0＝1，故(2x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 6的展开式中的常数项是2x ×⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1×1＝－12＋1＝－11.12．若直线y ＝3x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>0，2x －y ＋8≥0，x ≤m ，则实数m 的取值范围是__________． 答案 (－1，＋∞)解析 由题意作出其平面区域，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝－x －4，解得A (－1，－3)．故m >－1.13．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝14，b ＝4，sin A ＝2sin C ，则△ABC 的面积为________． 答案15解析 根据余弦定理的推论cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，可得14＝a 2＋c 2－422ac， 化简得2a 2＋2c 2－32＝ac .(*) 又由正弦定理a sin A ＝csin C，可得a c ＝sin A sin C ＝21，即a ＝2c ，代入(*)式得 2·(2c )2＋2c 2－32＝2c ·c ， 化简得c 2＝4，所以c ＝2， 则a ＝4， 又B ∈(0，π)， 则sin B ＝1－cos 2B ＝154， S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×2×154＝15， 即△ABC 的面积为15.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________． 答案3解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称， ∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21，∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0，由y ′＝－2x2＋1x＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0，∴当x ＝2时，函数y ＝2x＋ln x ，x >0取得最小值，∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a2＝2，∴e ＝1＋b 2a2＝ 3.。

8＋6分项练13 函数的图象与性质1．(2018·葫芦岛模拟)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.4．(2018·福建省厦门市高中毕业班质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D.[)2，＋∞答案 A解析 ∵ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立， 则f (1)是f (x )的最小值， 由二次函数性质可得对称轴a ≥1，由分段函数性质得()1－a 2－1≤ln 1，得0≤a ≤2，综上，可得1≤a ≤2，故选A.5．(2018·安徽省示范高中(皖江八校)联考)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[]－1，0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－4∪[)2，＋∞ B.[]－4，2C.(]－∞，－3∪[1，＋∞)D.[]－3，1 答案 D解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 由f (m ＋2)≥f (x －1)对任意x ∈[－1,0]恒成立， 得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|对任意x ∈[－1,0]恒成立， 所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选D.6．(2018·宿州模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[)0，1时，f (x )＝1－x 2.给出下列四个命题： p 1：f (1)＝0；p 2：2是函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的一个周期； p 3：函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递增；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z .其中真命题为( ) A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 1，p 4D ．p 2，p 4答案 C解析 f (x ＋2)＝－f (x )中，令x ＝－1可得f (1)＝－f (－1)＝－f (1)，据此可得f (1)＝0，命题p 1正确； 由题意可知f ()x ＋4＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则函数f (x )的周期为T ＝4，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的一个周期为8，命题p 2错误；由f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数f (x )关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示．将函数图象向右平移一个单位可得函数y ＝f (x －1)的图象， 则函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递减，命题p 3错误；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间满足：4k －2≤2x －1≤4k (k ∈Z )，求解不等式组可得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z ， 命题p 4正确．综上可得真命题为p 1，p 4.7．(2018·安徽亳州市涡阳一中模拟)若y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上无零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1∪(1，＋∞) D ．(0,1)∪()4，＋∞答案 C解析 令y ＝8x －log a x 2＝0，则8x ＝log a x 2， 设f (x )＝8x，g (x )＝log a x 2，于是要使函数y ＝8x －log a x 2(a >0且a ≠1)在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有零点，只需函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 当a >1时，显然成立；当0<a <1时，f (x )＝8x单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝813＝2，此时，要使函数f (x )与g (x )的图象在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13上没有交点， 则需g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log a 19>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2， 即log a 19>2＝log a a 2，于是a 2>19，解得13<a <1，故实数a 的取值范围是a >1或13<a <1，故选C.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，且当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，2≤x ≤3，x 2＋2x，3<x ≤4，g (x )＝ax ＋1，对∀x 1∈[－2,0]，∃x 2∈[－2,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－18∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18C ．(0,8]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 答案 D解析 由题意知问题等价于函数f (x )在[－2,0]上的值域是函数g (x )在[－2,1]上的值域的子集．当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋4，2≤x ≤3，x ＋2x，3<x ≤4，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，92，由f (x ＋2)＝2f (x )，可得f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)，当x ∈[－2，0]时，x ＋4∈[2,4]．则f (x )在[－2,0]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，98. 当a >0时，g (x )∈[－2a ＋1，a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1≤34，a ＋1≥98，解得a ≥18；当a ＝0时，g (x )＝1，不符合题意；当a <0时，g (x )∈[a ＋1，－2a ＋1]，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤34，－2a ＋1≥98，解得a ≤－14. 综上所述，可得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 9．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为________．答案 －2解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.10．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－1，则a ＝________. 答案 6解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋1＝－1，解得a ＝6.11．(2018·东北三省三校模拟)函数f (x )＝a x －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)所过的定点坐标为____．答案 (2 015,2 018) 解析 当x ＝2 015时，f (2 015)＝a 2 015－2 015＋2 017＝a 0＋2 017＝2 018，∴f (x )＝ax －2 015＋2 017(a >0且a ≠1)过定点(2 015，2 018)．12．(2018·山西省大同市与阳泉市模拟)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是________．答案 －16解析 设t ＝x ＋2 015，t ∈R ，则f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，化为g (t )＝(t －3)(t －1)(t ＋1)(t ＋3)＝(t 2－1)(t 2－9)＝t 4－10t 2＋9＝(t 2－5)2－16，当t 2＝5时，g (t )有最小值－16， 即当x ＝－2 015±5时，函数f (x )的最小值是－16.13．若函数f (x )对定义域内的任意x 1，x 2，当f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称函数f (x )为单纯函数，例如函数f (x )＝x 是单纯函数，但函数f (x )＝x 2不是单纯函数，下列命题：①函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥2，x －1，x <2是单纯函数；②当a >－2时，函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x在(0，＋∞)上是单纯函数；③若函数f (x )为其定义域内的单纯函数，x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④若函数f (x )是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在x 0使其导数f ′(x 0)＝0，其中正确的命题为________．(填上所有正确命题的序号) 答案 ①③解析 由题设中提供的“单纯函数”的定义可知，当函数是单调函数时，该函数必为单纯函数．因为当x ≥2时，f (x )＝log 2x 单调，当x <2时，f (x )＝x －1单调，结合f (x )的图象可知f (x )是单纯函数，故命题①正确；对于命题②，f (x )＝x ＋1x ＋a ，由f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12但2≠12可知f (x )不是单纯函数，故命题②错误；此命题是单纯函数定义的逆否命题，故当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，即命题③正确；对于命题④，例如，f (x )＝x 是单纯函数且在其定义域内可导，但在定义域内不存在x 0，使f ′(x 0)＝0，故④错误，答案为①③. 14．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x >0，－x 2－6x －8，x ≤0，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，54解析 作出函数f (x )和g (t )的图象如图．由g [f (x )]－a ＝0(a >0)，得g [f (x )]＝a (a >0)． 设t ＝f (x )，则g (t )＝a (a >0)．由y ＝g (t )的图象知，①当0<a <1时，方程g (t )＝a 有两个根，－4<t 1<－3，－3<t 2<－2，由t ＝f (x )的图象知，当－4<t 1<－3时，t ＝f (x )有1个根，当－3<t 2<－2时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有4个根，②当a ＝1时，方程g (t )＝a 有两个根，t 1＝－3，t 2＝12，由t ＝f (x )的图象知，当t 1＝－3时，t ＝f (x )有2个根，当t 2＝12时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有5个根；③当1<a <54时，方程g (t )＝a 有两个根，0<t 1<12，12<t 2<1，由t ＝f (x )的图象知，当0<t 1<12时，t ＝f (x )有3个根，当12<t 2<1时，t ＝f (x )有3个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个根；④当a ＝54时，方程g (t )＝a 有1个根，t ＝1，由t ＝f (x )的图象知，当t ＝1时，t ＝f (x )有2个根，此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有2个根； ⑤当a >54时，方程g (t )＝a 有1个根t >1，由t ＝f (x )的图象知，当t >1时，t ＝f (x )有1个根， 此时方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有1个根．综上可得，若方程g [f (x )]－a ＝0(a >0)有6个实数根(互不相同)，则实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.。

8＋6分项练10 立体几何1．已知a，b为异面直线，下列结论不正确的是( )A．必存在平面α，使得a∥α，b∥αB．必存在平面α，使得a，b与α所成角相等C．必存在平面α，使得a⊂α，b⊥αD．必存在平面α，使得a，b与α的距离相等答案 C解析由a，b为异面直线知，在A中，在空间中任取一点O(不在a，b上)，过点O分别作a，b的平行线，则由过点O的a，b的平行线确定一个平面α，使得a∥α，b∥α，故A正确；在B中，平移b至b′与a相交，因而确定一个平面α，在α上作a，b′夹角的平分线，明显可以作出两条．过角平分线且与平面α垂直的平面使得a，b′与该平面所成角相等，角平分线有两条，所以有两个平面都可以．故B正确；在C中，当a，b不垂直时，不存在平面α，使得a⊂α，b⊥α，故C错误；在D中，过异面直线a，b的公垂线的中点作与公垂线垂直的平面α，则平面α使得a，b与α的距离相等，故D正确．故选C. 2．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确命题的个数为( )①若m⊥α，α⊥β，则m∥β；②若m⊥α，α∥β，n⊂β，则m⊥n；③若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α.A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析对于①，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，所以不正确；对于②，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又由n⊂β，所以m⊥n正确；对于③，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β或α与β相交，所以不正确；对于④，若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又由m⊥β，所以m⊥α是正确的，综上可知，正确命题的个数为2.3．(2018·福建省厦门外国语学校模拟)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正(主)视图是( )答案 A解析取DD1的中点F，连接AF，C1F，平面AFC1E为截面．如图所示，所以上半部分的正(主)视图，如A选项所示，故选A.4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.83 B ．8 C.203 D ．6 答案 A解析 如图所示，在棱长为2的正方体中，题图中的三视图对应的几何体为四棱锥P －ADC 1B 1， 其中P 为棱A 1D 1的中点， 则该几何体的体积11P ADC B V －＝211P DB C V －＝211D PB C V －＝2×13×11PB C S×DD 1＝83. 5．(2018·泸州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．136πB ．144πC ．36πD ．34π 答案 D解析 由三视图可知几何体为四棱锥E －ABCD ，直观图如图所示．其中，BE ⊥平面ABCD ，BE ＝4，AB ⊥AD ，AB ＝2，C 到AB 的距离为2，C 到AD 的距离为22，以A 为原点，分别以AD ，AB 所在直线及平面ABCD 过A 的垂线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (0，2，0)，C (2,22，0)，D (4,0,0)，E (0，2，4)． 设外接球的球心为M (x ，y ，z )， 则MA ＝MB ＝MC ＝MD ＝ME ， ∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋z 2＝(x －2)2＋(y －22)2＋z 2＝(x －4)2＋y 2＋z 2＝x 2＋(y －2)2＋(z －4)2， 解得x ＝2，y ＝22，z ＝2. ∴外接球的半径r ＝MA ＝4＋12＋4＝172， ∴外接球的表面积S ＝4πr 2＝34π.6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知∠BCA ＝90°，∠BAC ＝60°，AC ＝4，E 为AA 1的中点，点F 为BE 的中点，点H 在线段CA 1上，且A 1H ＝3HC ，则线段FH 的长为( )A ．2 3B ．4 C.13 D ．3答案 C解析 由题意知，AB ＝8，过点F 作FD ∥AB 交AA 1于点D ，连接DH ，则D 为AE 中点，FD ＝12AB＝4，又A 1H HC ＝A 1DDA＝3，所以DH ∥AC ，∠FDH ＝60°， DH ＝34AC ＝3，由余弦定理得FH ＝42＋32－2×4×3×cos 60°＝13，故选C.7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3163V ，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( ) A ．d ≈ 36031VB ．d ≈32V C ．d ≈ 3158VD ．d ≈ 32111V答案 D解析 根据球的体积公式V ＝43πR 3＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫d 23，得d ＝36V π，设选项中的常数为a b ，则π＝6ba ，选项A 代入得π＝31×660＝3.1，选项B 代入得π＝62＝3，选项C 代入得π＝6×815＝3.2，选项D 代入得π＝11×621＝3.142 857，D 选项更接近π的真实值，故选D.8．(2018·上饶模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有两个球O 1，O 2相外切，球O 1与面ABB 1A 1、面ABCD 、面ADD 1A 1相切，球O 2与面BCC 1B 1、面CC 1D 1D 、面B 1C 1D 1A 1相切，则两球表面积之和的最大值与最小值的差为( ) A ．(2－3)π B.(2－3)π2 C ．(3－3)π D.(3－3)π2答案 A解析 设球O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2， 由题意得3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3， 所以r 1＋r 2＝3－32，令a ＝3－32.表面积和为S ，所以S ＝4πr 21＋4πr 22，所以S4π＝r 21＋r 22＝r 21＋(a －r 1)2＝2⎝⎛⎭⎪⎫r 1－a 22＋a 22，又r 1最大时，球O 1与正方体六个面相切， 且()r 1max ＝12，()r 1min ＝3－32－12＝2－32，所以r 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－32，12. 又2－32<a 2<12， 所以当r 1＝a2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmin ＝a 22，当r 1＝12或2－32时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmax ＝a 2－a ＋12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmax －⎝ ⎛⎭⎪⎫S 4πmin ＝a 22－a ＋12＝(a －1)22＝2－34.所以两球表面积之和的最大值与最小值的差为(2－3)π.9．(2018·烟台模拟)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为________．答案 3π＋42－2解析 由三视图还原出原几何体是一个半圆柱挖去一个三棱柱，尺寸见三视图，S ＝π×1×2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π×12－12×2×1＋2×2×2 ＝3π－2＋4 2.10．(2018·漳州模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，A 1B 1＝3，B 1C 1＝4，A 1C 1＝5，AA 1＝2，则其外接球与内切球的表面积的比值为________．答案294解析 如图1，分别取AC ，A 1C 1的中点G ，H ，连接GH ， 取GH 的中点O ，连接OA ， 由题意，得A 1B 21＋B 1C 21＝A 1C 21， 即△A 1B 1C 1为直角三角形，则点O 为外接球的球心，OA 为半径， 则R ＝OA ＝1＋254＝292；如图2，作三棱柱的中截面，则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心，中截面三角形的内切圆的半径r ＝3＋4－52＝1，也是内切球的半径，因为R ∶r ＝29∶2，则其外接球与内切球的表面积的比值为4πR 24πr 2＝294.11.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 与平面ABC 所成的角．在Rt△PAC 中，AC ＝12AB ＝12PA ，所以tan∠PCA ＝PAAC＝2.12．(2018·大同、阳泉联考)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列结论：①四面体ABCD每组对棱相互垂直；②四面体ABCD每个面的面积相等；③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分．其中正确结论的序号是________．答案②④解析①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的面对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直，①错误；②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的，②正确；③由②可知，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°，③错误；④四面体ABCD棱的中点即为长方体侧面的中心，所以对棱中点连线都过长方体的中心且相互垂直平分，④正确．13．(2018·南昌模拟)已知正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为33，43，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球O的球面上，且球心O在正三棱台ABC－A1B1C1内，则球O的表面积为________．答案100π解析因为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底边长分别为33，43，取正三棱台的上、下底面的中心分别为E，E1，则正三棱台的高为h＝EE1＝7，在上下底面的等边三角形中，可得AE ＝23AD ＝3，A 1E 1＝23A 1D 1＝4，则球心O 在直线EE 1上，且半径为R ＝OA ＝OA 1， 所以OE 2＋32＝OE 21＋42，且OE ＋OE 1＝7， 解得OE ＝4，所以R ＝OE 2＋32＝5， 所以球O 的表面积为S ＝4πR 2＝100π.14．已知三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，若球O 的体积为256π3，则三棱锥O —ABC 的体积是________．答案54解析 三棱锥O —ABC 中，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球面上，且AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，则AC ＝3，∴S △ABC ＝12×1×1×sin 120°＝34，设球半径为R ，由球的体积V 1＝43πR 3＝256π3，解得R＝4.设△ABC 外接圆的圆心为G ，∴外接圆的半径为GA ＝32sin 120°＝1，∴OG ＝R 2－GA 2＝42－12＝15， ∴三棱锥O —ABC 的体积为V 2＝13S △ABC ·OG ＝13×34×15＝54.。

8＋6分项练8 概 率1．(2018·大同模拟)把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币平放在一个边长为8的正方形托盘上，则该硬币完全落在托盘上(即没有任何部分在托盘以外)的概率为( ) A.916 B.716 C.516 D.π16 答案 A解析 如图，要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为P ＝6×68×8＝916.2．(2018·南阳模拟)甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A.110 B.23 C.13 D.14 答案 D解析 甲乙相邻的排队顺序共有2A 44＝48(种)， 其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有2A 33＝12(种)， 所以甲乙相邻的条件下，甲丙相邻的概率为1248＝14.3．(2018·大连模拟)某工厂生产的一种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布N ()500，52.现从该零件的生产线上随机抽取20 000件零件，其中尺寸在(500,505]内的零件估计有( ) (附：若随机变量X 服从正态分布N ()μ，σ2，则P ()μ－σ<X ≤μ＋σ≈0.682 6，P ()μ－2σ<X ≤μ＋2σ≈0.954 4)A ．6 826个B ．9 545个C ．13 654个D ．19 090个答案 A解析 由P ()500－5<X ≤500＋5≈0.682 6， 得P ()500<X ≤500＋5≈0.341 3，因此尺寸在(]500，505内的零件估计有0.341 3×20 000＝6 826(个)．4．抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为12.构造数列{a n }，使a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1，第n 次正面向上，－1，第n 次反面向上，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2≠0且S 8＝2时的概率为( )A.43128 B.4364 C.13128 D.1364答案 C解析 由题意知，当S 8＝2时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为S 2≠0，所以有两种情况：①前2次都正面向上，后6次中有3次正面向上，3次反面向上；②前2次都反面向上，后6次中有5次正面向上，1次反面向上，所以S 2≠0且S 8＝2时的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝13128，故选C.5．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标，是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载．若图中大正方形的边长为5，小正方形的边长为2，现作出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域模拟随机投掷n 个点，有m 个点落在中间的圆内，由此可估计π的近似值为( )A.25m 4n B.4m n C.4m 25n D.25m n答案 D解析 ∵小正方形的边长为2， ∴圆的半径为1，圆的面积为π，又∵大正方形的边长为5，∴大正方形的面积为25， ∴由几何概型概率公式可得π25≈m n ，π≈25m n.6．某校高三年级共有6个班，现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作，每名教师监考一个班级．在6名教师中，甲为其中2个班的任课教师，乙为剩下4个班中2个班的任课教师，其余4名教师均不是这6个班的任课教师，那么监考教师都不但任自己所教班的监考工作的概率为( ) A.715 B.815 C.115 D.415 答案 A解析 对6名教师进行随机安排，共有A 66种安排方法．其中监考教师都不担任自己所教班的监考工作时，先安排教师甲，当甲担任教师乙所教的两个班中的一班的监考工作时，教师乙有4种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有C 12C 14A 44种安排方法；当甲担任甲和乙都不教的两个班级中的一个班的监考工作时，教师乙有3种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有C 12C 13A 44种安排方法，因此监考教师都不担任自己所教的班级的监考工作的安排方法总数为C 12C 14A 44＋C 12C 13A 44＝14A 44，故所求概率P ＝14A 44A 66＝14A 4430A 44＝715.7．依次连接正六边形各边的中点，得到一个小正六边形，再依次连接这个小正六边形各边的中点，得到一个更小的正六边形，往原正六边形内随机撒一粒种子，则种子落在最小的正六边形内的概率为( ) A.34 B.916 C.32 D.23 答案 B解析 如图，原正六边形为ABCDEF ，最小的正六边形为A 1B 1C 1D 1E 1F 1.设AB ＝a ，由已知得∠AOB ＝60°，则OA ＝a ，∠AOM ＝30°，则OM ＝OA cos∠AOM ＝a ·cos 30°＝3a2，即中间的正六边形的边长为3a 2；以此类推，最小的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为OB 1＝32OM ＝32·3a 2＝3a 4，所以由几何概型得，种子落在最小的正六边形内的概率为P ＝111111A B C D E F S 正六边形S 正六边形ABCDEF＝12·3a 4·3a 4·32·612·a ·a ·32·6＝916，故选B. 8．(2018·潍坊模拟)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险的基准保费为a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故出险的情况下联系，最终保费＝基准保费×(1＋与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情况如下表：为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表：若以这100辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌车在第四年续保时的费用的期望为( ) A ．a 元 B ．0.958a 元 C ．0.957a 元 D ．0.956a 元答案 D解析 由题意可知，一辆该品牌车在第四年续保时的费用X 的可能取值有0.9a,0.8a,0.7a ，a,1.1a,1.3a ，且对应的概率分别为P (X ＝0.9a )＝20100＝0.2，P (X ＝0.8a )＝10100＝0.1，P (X ＝0.7a )＝10100＝0.1，P (X ＝a )＝38100＝0.38，P (X ＝1.1a )＝20100＝0.2，P (X ＝1.3a )＝2100＝0.02，利用离散型随机变量的分布列的期望公式可以求得E (X )＝0.9a ×0.2＋0.8a ×0.1＋0.7a ×0.1＋a ×0.38＋1.1a ×0.2＋1.3a ×0.02＝0.956a ，故选D.9．(2018·烟台模拟)若20件产品中有16件一级品，4件二级品．从中任取2件，这2件中至少有1件二级品的概率是________． 答案719解析 由题意，由组合数公式求得从20件产品中任取2件的情况总数为C 220＝190， 其中恰有一件二级品和全为二级品的种数为C 116C 14＋C 24＝70， 即至少有1件二级品的种数为70.由古典概型的概率计算公式可得概率为P ＝70190＝719.10．(2018·重庆模拟)已知随机变量X ～N ()2，σ2，若P (X ≤1－a )＋P (X ≤1＋2a )＝1，则实数a ＝________. 答案 2解析 因为P ()X ≤1－a ＋P ()X ≤1＋2a ＝1， 所以P ()X ≤1＋2a ＝1－P ()X ≤1－a ＝P ()X >1－a ， 因为X ～N ()2，σ2，所以1＋2a ＋1－a ＝2×2，所以a ＝2.11．已知随机变量X 的分布列如下表：若E (X )＝2，则a ＝________；D (X )＝________. 答案 0 52解析 由题意得13＋b ＋16＋14＝1，∴b ＝14.∴E (X )＝a ×13＋2×14＋3×16＋4×14＝2，解得a ＝0.∴D (X )＝(0－2)2·13＋(2－2)2·14＋(3－2)2·16＋(4－2)2·14＝52.12．(2018·吉林调研)某校高三年级学生一次数学诊断考试成绩(单位：分)X 服从正态分布N ()110，102，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90<ξ≤110为事件A ，记该同学的成绩80<ξ≤100为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P (B |A )＝_____.(结果用分数表示)附：X 满足：P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6；P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4; P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4. 答案1 3594 772解析 由题意可知，P (A )＝0.477 2，P ()AB ＝12×()0.954 4－0.682 6＝0.135 9.∴P ()B |A ＝P (AB )P (A )＝0.135 90.477 2＝1 3594 772. 13.小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞(如图)，则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是________．答案 78解析 四枚硬币的全部的摆法有24＝16(种)，相邻两枚硬币同一面相对的情况有2种，摆法分别是正反正反，反正反正，所以相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的摆法共有16－2＝14(种)，所以概率为P ＝1416＝78. 14．(2018·钦州质检)甲、乙两人约定在早上7：00至7：15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7：05，7：15，如果他们约定见车就搭乘，则甲和乙恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为________． 答案 59解析 如图，设甲到达汽车站的时刻为x ，乙到达汽车站的时刻为y ，则0≤x ≤15,0≤y ≤15，甲、乙两人到达汽车站的时刻(x ，y )所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图 所示)是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤5，0≤y ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧ 5≤x ≤15，5≤y ≤15，， 即(x ，y )必须落在图形中的2个带阴影的正方形内， 所以由几何概型的计算公式得P ＝5×5＋10×1015＝59.。

[70分] 8＋6标准练41．已知全集U ＝{1,2,3,4}，若A ＝{1,3}，B ＝{3}，则(∁U A )∩(∁U B )等于( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{2,3} D ．{2,4} 答案 D解析 根据题意得∁U A ＝{2,4}，∁U B ＝{1,2,4}， 故(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}．2．设i 是虚数单位，若复数z ＝i1＋i ，则z 的共轭复数为( )A.12＋12i B ．1＋12i C ．1－12i D.12－12i 答案 D 解析 复数z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝i ＋12， 根据共轭复数的概念得，z 的共轭复数为12－12i.3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为( )A ．30B ．25C ．22D ．20 答案 D解析 50×(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝20.4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.83B.163C.203 D ．8 答案 B解析 由三视图可知，该几何体是底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示．∴该几何体的体积V ＝13×8×2＝163.5．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 C解析 i ＝0，S ＝0，x ＝1，y ＝1，开始执行程序框图，i ＝1，S ＝1＋1，x ＝2，y ＝12；i ＝2，S ＝1＋2＋1＋12，x ＝4，y ＝14；…；i ＝5，S ＝(1＋2＋4＋8＋16)＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋18＋116<33，x ＝32，y ＝132，再执行一次，S >d 退出循环，输出i ＝6，故选C.6．在△ABC 中，tan A ＋B2＝sin C ，若AB ＝2，则△ABC 的周长的取值范围是( )A ．(2,22]B ．(22，4]C ．(4,2＋22]D ．(2＋22，6]答案 C解析 由题意可得tan A ＋B 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C2，则sin 2C 2＝12，即1－cos C 2＝12， ∴cos C ＝0，C ＝π2.据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形， 则4＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，据此有a ＋b ≤22，∴△ABC 的周长a ＋b ＋c ≤2＋2 2. 三角形满足两边之和大于第三边， 则a ＋b >2，∴a ＋b ＋c >4.综上可得，△ABC 周长的取值范围是(4,2＋22]．7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15.其中m ∈N *且m ≥2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为( )A.24143B.1143C.2413D.613答案 D解析 ∵S m －1＝13，S m ＝0，S m ＋1＝－15， ∴a m ＝S m －S m －1＝0－13＝－13，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝－15－0＝－15，又∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝－15－(－13)＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2×(－2)＝13，ma 1＋m (m －1)2×(－2)＝0，解得a 1＝13，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13－2(n －1)＝15－2n ， 当a n ≥0时，n ≤7.5， 当a n ＋1≤0时，n ≥6.5， ∴数列的前7项为正数， ∴1a n a n ＋1＝1(15－2n )(13－2n ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫113－2n －115－2n∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫111－113＋19－111＋17－19＋…＋1－13 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－113＝613.故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，0<x <2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ，2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是( ) A ．(0,12) B ．(0,16) C ．(9,21) D ．(15,25)答案 A解析 函数的图象如图所示，∵f (x 1)＝f (x 2)，∴－log 2x 1＝log 2x 2， ∴log 2x 1x 2＝0，∴x 1x 2＝1， ∵f (x 3)＝f (x 4)， 由函数对称性可知，x 3＋x 4＝12,2<x 3<x 4<10，∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2＝x 3x 4－2(x 3＋x 4)＋4＝x 3x 4－20＝x 3(12－x 3)－20＝－(x 3－6)2＋16， ∵2<x 3<4， ∴(x 3－2)(x 4－2)x 1x 2的取值范围是(0,12)．9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 在b 方向上的投影为________． 答案22解析 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，即a 2－|a |·|b |cos θ＝0， ∴cos θ＝22， ∴向量a 在b 方向上的投影为|a |·cos θ＝22. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12，则ω的最小值为________． 答案 23解析 方法一 当x ＝π2时，ωx ＋φ＝π2ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，当x ＝π4时，ωx ＋φ＝π4ω＋φ＝2k 2π＋π6或2k 2π＋5π6，k 2∈Z ，两式相减，得π4ω＝(k 1－2k 2)π－π6或(k 1－2k 2)π－5π6，k 1，k 2∈Z ，即ω＝4(k 1－2k 2)－23或4(k 1－2k 2)－103，k 1，k 2∈Z ，又因为ω>0，所以ω的最小值为4－103＝23.方法二 直接令π2ω＋φ＝π，π4ω＋φ＝5π6，得π4ω＝π6，解得ω＝23.11．已知二面角α－l －β为60°，动点P ，Q 分别在平面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为________．答案 2 3解析 如图，分别作QA ⊥α于点A ，AC ⊥l 于点C ，PB ⊥β于点B ，PD ⊥l 于点D ，连接CQ ，BD ，则∠ACQ ＝∠PDB ＝60°，AQ ＝23，BP ＝3，∴AC ＝PD ＝2.又∵PQ ＝AQ 2＋AP 2＝12＋AP2≥23，当且仅当AP ＝0，即点A 与点P 重合时取最小值．12.已知正方形的四个顶点A (1,1)，B (－1，1)，C (－1，－1)，D (1，－1)分别在曲线y ＝x2和y ＝1－x 2－1上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．答案8＋3π24解析 y ＝x 2与AB 相交的阴影部分面积为2－ʃ1－1x 2d x ＝2－⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 331－1＝2－23＝43， y ＝1－x 2－1化简得(y ＋1)2＋x 2＝1，则y ＝1－x 2－1与CD 相交的阴影部分的面积为半圆的面积， 即π×122＝π2，故质点落在图中阴影区域的概率是43＋π24＝8＋3π24.13．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y －5≤0，y ≥1，则u ＝(x ＋y )2xy的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163解析 作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，令t ＝y x，它表示可行域内的点(x ，y )与原点的斜率，由图联立直线方程可得A (1,2)，B (3,1)，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2. u ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋2xy ＋y 2xy＝x y ＋y x＋2＝t ＋1t＋2. 易知u ＝t ＋1t ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递减， 在[1,2]上单调递增．当t ＝13时，u ＝163；当t ＝1时，u ＝4；当t ＝2时，u ＝92，所以u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，163.14．已知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |＝4，∠ABC ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且与线段AD ，BC (包含端点D ，C )分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________． 答案 (1，3＋1]解析 以线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，则在双曲线中c ＝2，C (1，3)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，只需C 点在双曲线右支图象的上方(包括在图象上)即可， 即1a 2－3b2≤1，两边同乘a 2b 2，得b 2－3a 2≤a 2b 2， 由于b 2＝c 2－a 2＝4－a 2，所以上式化为4－a 2－3a 2≤a 2()4－a 2，解得3－1≤a <2，所以12<1a ≤3＋12，故1<ca ≤3＋1.。

8＋6分项练12 圆锥曲线1．(2018·大连模拟)设椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左焦点为F ，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，则△AFB 周长的取值范围是( ) A.()2，4 B.()6，4＋23 C.()6，8 D.()8，12答案 C解析 根据椭圆对称性得△AFB 的周长为|AF |＋|AF ′|＋|AB |＝2a ＋|AB |＝4＋|AB |(F ′为右焦点)， 由y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得x 2A ＝41＋4k 2，∴|AB |＝1＋k 2·2|x A |＝41＋k21＋4k2 ＝414＋341＋4k2∈(2,4)(k ≠0)， 即△AFB 周长的取值范围是()4＋2，4＋4＝()6，8.2．(2018·烟台模拟)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是( ) A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±233xD ．y ＝±32x 答案 A解析 由双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的两焦点之间的距离为4，可得2c ＝4，所以c ＝2，又由c 2＝a 2＋b 2，即a 2＋1＝22，解得a ＝3， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±33x . 3．(2018·重庆模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M ，N 两点，与抛物线的准线交于P ，Q 两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是( ) A ．16 3 B ．12 3 C ．4 3 D ．3 答案 A解析 根据题意，四边形MNPQ 为矩形， 可得|PQ |＝|MN |，从而得到圆心F 到准线的距离与到MN 的距离是相等的，所以M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，设M 为x 轴上方的交点， 从而求得M (3,23)，N (3，－23)， 所以|MN |＝43，||NP ＝4，从而求得四边形MNPQ 的面积为S ＝4×43＝16 3.4．(2018·重庆模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以OF 2为直径的圆M 与双曲线C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点，若AF 1与圆M 相切，则双曲线C 的离心率为( ) A.2＋362 B.2＋62 C.32＋62D.32＋262答案 C解析 根据题意，有|AM |＝c 2，||MF 1＝3c2，因为AF 1与圆M 相切，所以∠F 1AM ＝π2，所以由勾股定理可得||AF 1＝2c ， 所以cos∠F 1MA ＝|AM |||F 1M ＝13， 所以cos∠AMF 2＝－13，且|MF 2|＝c2，由余弦定理可求得||AF 2＝c 24＋c 24－2·c 2·c 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝63c ， 所以e ＝2c2a＝2c 2c －6c 3＝32＋62.5．已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最小值为( )A.352－1 B.332－1 C ．23－1 D.10－1答案 A解析 设抛物线上点的坐标为P (m 2，m )．圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，4与抛物线上的点的距离的平方 d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋122＋(m －4)2＝m 4＋2m 2－8m ＋654.令f (m )＝m 4＋2m 2－8m ＋654，则f ′(m )＝4(m －1)(m 2＋m ＋2)，由导函数与原函数的关系可得函数在区间(－∞，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，函数的最小值为f (1)＝454，由几何关系可得|PQ |的最小值为454－1＝352－1. 6．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2， 半焦距为c ，P 为第一象限内的公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，解得|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，所以4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π4，所以4c 2＝(2－2)a 21＋(2＋2)a 22， 所以4＝2－2e 21＋2＋2e 22≥22－2e 21×2＋2e 22＝22e 1e 2， 所以e 1e 2≥22，故选B. 7．(2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y 2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(2,0)．过F 2作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，若使|AB |＝b 2的直线l 恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(1,2) C ．(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 C解析 |F 1F 2|＝2c (c 2＝a 2＋b 2)，设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，F 1F 2，PF 2切于点G ，H ，I ， 则|PG |＝|PI |，|F 1G |＝|F 1H |，|F 2H |＝|F 2I |. 由双曲线的定义知2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝|F 1G |－|F 2I |＝|F 1H |－|F 2H |， 又|F 1H |＋|F 2H |＝|F 1F 2|＝2c ， 故|F 1H |＝c ＋a ，|F 2H |＝c －a ， 所以H (a,0)，即a ＝2. 注意到这样的事实：若直线l 与双曲线的右支交于A ，B 两点， 则当l ⊥x 轴时，|AB |有最小值2b 2a＝b 2；若直线l 与双曲线的两支各交于一点(A ，B 两点)， 则当l ⊥y 轴时，|AB |有最小值2a ，于是， 由题意得b 2>2a ＝4，b >2，c ＝a 2＋b 2>22， 所以双曲线的离心率e ＝ca> 2.故选C.9．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，3x ＋4y ＋12＝0，①得3y 2＋16y ＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故①无解， 所以直线3x ＋4y ＋12＝0与抛物线是相离的． 由d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1，而d 1＋1为P 到准线x ＝－1的距离， 故d 1＋1为P 到焦点F (1,0)的距离，从而d 1＋1＋d 2的最小值为焦点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离||1×3＋0×4＋1232＋42＝3，故d 1＋d 2的最小值为2.10．(2018·江西省景德镇市第一中学等盟校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过其焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，且抛物线C 上存在点M 与x 轴上一点N (7,0)关于直线l 对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为________． 答案 6解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ′：x ＝－p2，如图所示，当直线AB 的倾斜角为锐角时，分别过点A ，B 作AP ⊥l ′，BQ ⊥l ′，垂足为P ，Q ，过点B 作BD ⊥AP 交AP 于点D ， 则|AP |＝|AF |，|BQ |＝|BF |， ∵|AF |＝3|BF |＝34|AB |，∴|AP |－|BQ |＝|AD |＝|AF |－|BF |＝12|AB |，在Rt△ABD 中，由|AD |＝12|AB |，可得∠BAD ＝60°，∵AP ∥x 轴，∴∠BAD ＝∠AFx ＝60°， ∴k AB ＝tan 60°＝3， 直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，设M 点坐标为(x M ，y M )，由⎩⎪⎨⎪⎧y M x M －7＝－33，y M2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x M＋72－p 2，可得x M ＝34p －72，y M ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫7－p 2，代入抛物线的方程化简可得3p 2－4p －84＝0，解得p ＝6(负值舍去)， 该抛物线的焦点到准线的距离为6.11．(2018·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C 过点⎝⎛⎭⎪⎫1，255，且C 的一个焦点坐标为(2,0)，则C 的标准方程为________． 答案x 25＋y 2＝1解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)， 则2a ＝(1＋2)2＋45＋(1－2)2＋45＝75＋355＝25， 所以a ＝5，因为c ＝2，所以b ＝5－4＝1， 从而得到椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 不与点O 重合，称射线OM 与圆x 2＋y 2＝1的交点N 为点M 的“中心投影点”．(1)点M (1，3)的“中心投影点”为________；(2)曲线x 2－y 23＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 (2)4π3解析 (1)|OM |＝12＋(3)2＝2，|ON |＝1， 所以ON →＝12OM →，则N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(2)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐近线之间的与x 轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为π3，因此弧长为2×23π×1＝4π3.13．已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|＝2|OP |，tan∠PF 2F 1≥4，则双曲线C 的半焦距的取值范围为____________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173 解析 由|F 1F 2|＝2|OP |可得△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°，tan∠PF 2F 1≥4， 即|PF 1|≥4|PF 2|，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，可得|PF 2|≤23a ，由(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝4c 2化为(|PF 2|＋a )2＝2c 2－a 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋a 2，可得c ≤173，又双曲线中c >a ＝1，所以双曲线C 的半焦距的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，173. 14．(2018·威海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个动点，线段PQ 的中点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为N ，若|MN |＝|PQ |，则∠PFQ 的最大值为________． 答案π3解析 如图所示，分别过P ，Q 作抛物线准线的垂线，垂足为A ，B ，设|PF |＝2a ，|QF |＝2b ，由抛物线定义，得|PF |＝|PA |，|QF |＝|QB |， 在梯形ABQP 中，2|MN |＝|PA |＋|QB |＝2a ＋2b ， ∴|MN |＝a ＋b .若PQ 过焦点F ，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝2a ＋2b ， 又|MN |＝a ＋b ，且|MN |＝|PQ |， ∴2a ＋2b ＝a ＋b ， ∴a ＋b ＝0，显然不成立，∴PQ 不过焦点F .∵|MN |＝|PQ |，∴|PQ |＝a ＋b ， 设∠PFQ ＝θ，由余弦定理得， (a ＋b )2＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴a 2＋b 2＋2ab ＝4a 2＋4b 2－8ab cos θ， ∴cos θ＝3a 2＋3b 2－2ab 8ab ≥6ab －2ab 8ab ＝12，当且仅当a ＝b 时取等号， 又∵θ∈(0，π)，∴0<θ≤π3， ∴∠PFQ 的最大值为π3.。

[80分] 解答题标准练(二)1．(2018·威海模拟)在△ABC 中，边BC 上一点D 满足AB ⊥AD ，AD ＝3DC . (1)若BD ＝2DC ＝2，求边AC 的长； (2)若AB ＝AC ，求sin B . 解 (1)∵AB ⊥AD ，∴在Rt△ABD 中，sin∠ABD ＝AD BD ＝32， ∴∠ABD ＝60°，AB ＝1.在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝3，由余弦定理可得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos∠ABC＝1＋9－2×1×3×12＝7，∴AC ＝7.(2)在△ACD 中，由正弦定理可得AD sin C ＝DCsin∠DAC ，∵AD ＝3DC ， ∴3sin C ＝1sin∠DAC， ∵AB ＝AC ，∴B ＝C ， ∴∠BAC ＝180°－2B ， ∵∠BAD ＝90°， ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝180°－2B －90°＝90°－2B ，∴3sin B＝1sin(90°－2B)，∴3sin B＝1cos 2B，化简得23sin2B＋sin B－3＝0，即(3sin B－1)(2sin B＋3)＝0，∵sin B>0，∴sin B＝33.2．(2018·安徽省亳州市涡阳一中模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，已知∠B1C1A1＝90°，异面直线AB1⊥A1C，且AA1＝AC.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面A1B1C1；(2)若AC1＝AA1＝B1C1，求直线A1C1与平面ABB1A1所成角的正弦值．(1)证明因为AA1＝AC，所以四边形ACC1A1是菱形，所以A1C⊥AC1，又因为异面直线AB1⊥A1C，AC1∩AB1＝A，AB1，AC1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥平面AB1C1，又B1C1⊂平面AB1C1，所以A1C⊥B1C1.又因为∠B1C1A1＝90°，即B1C1⊥A1C1，且A1C1∩A1C＝A1，A1C，A1C1⊂平面ACC1A1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，又B1C1⊂平面A1B1C1，所以平面ACC1A1⊥平面A1B1C1.(2)解设O是A1C1的中点，因为AC1＝AA1，所以AO⊥A1C1，由(1)可知，AO⊥平面A1B1C1，以O 为坐标原点，过点O 且与C 1B 1平行的直线为x 轴， 以OC 1所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O －xyz ， 设AA 1＝2，则A (0,0，3)，A 1(0，－1,0)，C 1(0,1,0)，B 1(2,1,0)，设A 1C 1与平面ABB 1A 1所成的角为θ，因为 A 1C 1→＝(0,2,0)，A 1B 1→＝(2,2,0)，A 1A →＝(0,1，3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 1→·n ＝0，A 1A →·n ＝0，即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，不妨令x ＝1， 则y ＝－1，z ＝33，可得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，33， 所以sin θ＝|cos 〈A 1C 1→，n 〉|＝22×73＝217，所以直线A 1C 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为217. 3．(2018·山西省运城市康杰中学模拟)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1∶3，且成绩分布在[40,100]内，分数在80以上(含80)的同学获奖．按文、理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图(见下图)．(1)填写下面的2×2列联表，判断能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”？(2)将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及期望．附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解 (1)K 2＝200×(5×115－35×45)250×150×40×160＝256≈4.167>3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文、理科有关”．(2)由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为15.X 的所有可能的取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，15.P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫15k ×⎝⎛⎭⎪⎫1－153－k(k ＝0,1,2,3)． P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫150×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－0＝64125， P (X ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫151×⎝ ⎛⎭⎪⎫453－1＝48125，P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫152×⎝ ⎛⎭⎪⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫153×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝1125， 所以X 的分布列为E (X )＝3×15＝35.4．(2018·安徽省“皖江八校”联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22，过点E 的动直线l 被椭圆C 所截得的线段MN 长度的最小值为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)B 是椭圆C 上异于顶点的一点，且直线OB ⊥l ，D 是线段OB 延长线上一点，且|DB |＝75|MN |，⊙D 的半径为|DB |，OP ，OQ 是⊙D 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠POQ 的最大值，并求出取得最大值时直线l 的斜率． 解 (1)由已知，可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，解得a ＝2c ，设椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，当直线l 的斜率不存在时，线段MN 的长为23c ； 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1，y ＝kx ＋c ，得(4k 2＋3)x 2＋8kcx －8c 2＝0，Δ＝(8kc )2＋32c 2(4k 2＋3)>0， 从而|MN |＝k 2＋1·Δ4k 2＋3＝46c ·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝23c ·(4k 2＋4)·(4k 2＋2)(4k 2＋3)2＝23c ·1－1(4k 2＋3)2<23c ，易知当k ＝0时，|MN |的最小值为463c ，从而c ＝1，因此，椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由B 是椭圆上异于顶点的一点且直线OB ⊥l ，可知l 的斜率存在且不为0.由(1)知，|MN |＝46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3， 而⊙D 的半径r ＝75|MN |， 又直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2B ＝12k23k 2＋4，因此|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1·|x B | ＝12·k 2＋13k 2＋4， 由题意可知sin ∠POQ 2＝r r ＋|OB |＝11＋|OB |r，要求∠POQ 的最大值，即求|OB |r的最小值．而|OB |r＝12·k 2＋13k 2＋475·46·k 2＋1·2k 2＋14k 2＋3＝57·4k 2＋322·3k 2＋4·2k 2＋1 ＝57(4k 2＋3)2(12k 2＋16)·(4k 2＋2)， 令u ＝4k 2＋3， 则u >3，1u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，因此|OB |r ＝57u 2(3u ＋7)·(u －1)＝5713＋4u －7u2＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫7u －22＋25≥1，当且仅当7u ＝2，即u ＝72时等号成立，此时k ＝±24，所以sin ∠POQ 2≤12， 因此∠POQ 2≤π6，所以∠POQ 的最大值为π3.综上所述，∠POQ 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率k ＝±24. 5．(2018·四川省成都市第七中学模拟)已知函数f (x )＝(3－x )e x＋ax(x >0，a ∈R )．(1)当a >－34时，判断函数f (x )的单调性；(2)当f (x )有两个极值点时，若f (x )的极大值小于整数m ，求m 的最小值． 解 (1)由题意知，f ′(x )＝[－e x＋(3－x )e x]x －(3－x )e x－ax＝(－x 2＋3x －3)e x－a x2(x >0)． 令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 故h (x )在x ＝1处取得极大值，也为最大值． 则h (x )max ＝h (1)＝－e －a .由于a >－34，所以h (x )max ＝h (1)＝－e －a <0， 所以f ′(x )<0，于是f (x )为(0，＋∞)上的减函数． (2)令h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a (x >0)， 则h ′(x )＝(－x 2＋x )e x，当0<x <1时，h ′(x )>0，h (x )为增函数； 当x >1时，h ′(x )<0，h (x )为减函数． 当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于－∞. 由于f (x )有两个极值点， 所以f ′(x )＝0有两个不等实根，即h (x )＝(－x 2＋3x －3)e x－a ＝0有两不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧h (0)<0，h (1)>0，解得－3<a <－e.可知x 1∈(0,1)，由于h (1)＝－e －a >0， h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34e 32－a <－34e 32＋3<0，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 而f ′(x 2)＝(－x 22＋3x 2－3)2e x－ax 22＝0， 即e x 2＝a－x 22＋3x 2－3，①所以f (x )极大值＝f (x 2)＝(3－x 2)2e x＋ax 2，于是f (x 2)＝ax 2－2ax 22－3x 2＋3，②令t ＝x 2－2，则x 2＝t ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1<t <－12， 则②可变为g (t )＝t t 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a ，可得－1<1t ＋1t＋1<－23，而－3<a <－e ，则有g (t )＝tt 2＋t ＋1a ＝1t ＋1t＋1a <3， 下面再说明对于任意－3<a <－e ，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫1，32，f (x 2)>2.又由①得a ＝2e x(－x 22＋3x 2－3)， 把它代入②得f (x 2)＝(2－x 2)2e x，所以当x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，f ′(x 2)＝(1－x 2)2e x<0恒成立，故f (x 2)＝(2－x 2) 2e x为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的减函数，所以f (x 2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1232e >2.所以满足题意的整数m 的最小值为3. 6．在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式． (1)证明 ∵S n ＋1＝4a n ＋2，① ∴当n ≥2，n ∈N *时，S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1，即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列．由S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5，∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵ c n ＝a n2n ，∴ c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34， c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2是数列{a n }的通项公式． 设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，则2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，∴S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝(3n －1)·2n －2，前n 项和公式为S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N *.。