邵 区间、一元二次不等式、含有绝对值的-不等式

含绝对值的‎不等式解法‎，一元二次不‎等式解法。

[重点]理解绝对值‎的几何意义‎，掌握|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型的不等式‎解法；利用二次函‎数图象，掌握一元二‎次不等式解‎法，弄清一元二‎次方程，一元二次不‎等式与二次‎函数的关系‎。

[难点] 含有两个绝‎对值的一次‎不等式解法‎，对含有字母‎系数的一元‎二次不等式‎的分类讨论‎求解。

[教材分析] |x|的几何意义‎是实数x在‎数轴上对应‎的点离开原‎点O的距离‎，所以|x|<a (a>0)的解集是{x|-a<x<a}；不等式|x|>a (a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。

把不等式|x|<a与|x|>a (a>0)中的x替换‎成ax+b，就可以得到‎|ax+b|<c与|ax+b|>c (c>0)型的不等式‎的解法。

一元二次不‎等式ax2‎+bx+c>0(或<0)的解可以联‎系二次函数‎y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x 轴‎上方部分对‎应的x值为‎不等式ax‎2+bx+c>0的解，图象在x轴‎下方部分对‎应的x值为‎不等式ax‎2+bx+c<0的解。

而方程ax‎2+bx+c=0的根表示‎图象与x轴‎交点的横坐‎标。

求解一元二‎次不等式的‎步骤，先把二次项‎系数化为正‎数，再解对应的‎一元二次方‎程，最后根据一‎元二次方程‎的根，结合不等号‎的方向，写出不等式‎的解集。

求解以上两‎种不等式的‎方法，就是将不等‎式转化为熟‎悉，可解的不等‎式，因此一元二‎次不等式的‎求解，也可采用以‎下解法。

x2+3x-4<0 (x+4)(x-1)<0 或或-4<x<1或。

原不等式解‎集为{x|-4<x<1}。

x2+3x-4<0 (x+)2<|x+|<-<x+<-4<x<1。

含绝对值不等式及一元二次不等式精讲高考要求1.掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式.2．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法.3．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法.知识点归纳1.绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集： 不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,； 不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ； 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或.2.解一元一次不等式)0(≠>a b ax ①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0. 3.韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121①两个正根，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，则需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆0021x x 4.一元二次不等式的解法步骤对于一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或，设相应的一元二次方程()200ax bx c a ++=>的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决.注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况. 典型范例例1 解不等式（1）923<-≤x ；（2）x x 2143+>-.解：（1）原不等式化为：⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-117519232x x x x x 或. }115,17{<≤-≤<-∴x x x 或原不等式的解为：.（2）原不等式化为⎩⎨⎧->-<-⎩⎨⎧->-≥-xx x x x x 21340432143043或解得 535<>x x 或. }5,53{><∴x x x 或不等式的解集为：. 例2 解不等式46522-<+-x x x .解：（1）当042≤-x 时，不等式的解集为∅.（2）当042≤-x 即22>-<x x 或时，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>><⇔⎩⎨⎧<+->+-⇔-<+-<--222101050252465)4(2222x x x x x x x x x x 或. 综上所述，原不等式的解集为}2{>x x .例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1.分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）①当1-<x 时，01,03<+<-x x∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x .②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x .③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x . 综上，原不等式的解集为}21|{>x x .也可以这样写：解：原不等式等价于①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x 或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ， 解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3}, ∴原不等式的解集为{x|x>21}. 方法2：数形结合 从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点.∴原不等式的解集为{x|x>21}. 例4 已知不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为.a b 求、的值.解：由题意可知 0<a 且－5和1是方程012=++bx ax 的两根.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=-∴54515141)5(b a a a b故b a ,的值分别为54,51--. 例5解关于x 的不等式)(,)]1([)1(222b a x b ax x b x a ≠-+≥-+解：原不等式化为222222222()()2()()()0()0001a b x b a b x a b bx ba b x x a b a b x x x -+≥-+-+⇒--≤≠∴->∴-≤≤≤则{01}x x ≤≤故原不等式的解集为.例6 若不等式13642222<++++x x k kx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围. 解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03643)3(2222>++-+--x x k x k x ⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立.∴∆=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3.∴k 的取值范围是（1，3）.逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分. 例7 已知方程2(k+1)2x +4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围. 解：要原方程有两个负实根，必须: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+≥∆≠+0000)1(22121x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<+-≤-+≠+132101210)1(2230)1(2402012k k k k k k k k k k k k k 或或13212<<-<<-⇔k k 或.∴实数k 的取值范围是{k|-2<k<-1或32<k<1}. 小结1.含绝对值不等式的解法：解含绝对值不等式，既要明确不等式的基本性质，又要根据绝对值的代数及几何意义，去掉绝对值符号，将其转化为一般的不等式（组）来解.2.一元二次不等式的解法：将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次函数结合起来，主要是根据二次函数的图像来解二次方程.如果不等式的系数含有字母，则应该根据情况予以讨论，如开口方向，两根的大小等等，这是数学中的分类讨论思想.。

一元二次不等式、绝对值不等式的解法一、含绝对值不等式的解法另：（1）()ax b c c +><或只需把绝对值内看做一个整体 （2）()ax b cx d cx d +>+<+或不需要讨论即ax b cx d ax b cx d ⇔+>++<+或())cx d ax b cx d +<+<+或-( 2. 平方法3. 零点分段法（解决含多个绝对值的不等式）4. 数形结合法（构造函数作图）5. 利用绝对值的几何意义（x a x -表示数轴上的点到点a 的距离） 配套例题1.122x <-≤2.232x x ->3.1x x <+4.25423x x x +--<+5.a R ∈，若43x x a R -+->在上恒成立，求a 的范围. 变式：0a >，若43x x a R -+-<在上解集非空，求a 的范围. 变式：12x x a R a +-->在上恒成立，求范围. 变式：12x x a R a +--<在上解集非空，求范围.注：第3题可采用平方法以及利用绝对值的几何意义 第4题可采用零点分段法以及数形结合法第5题可利用绝对值的几何意义以及数形结合法1.(1)1(0)()3(0)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，解不等式2(1)f x x +≥ (2)解不等式22150x x --≥2.解不等式22230m x mx +-< 练习：2(21)20ax a x -++<3.不等式210ax ax --<解集为R ，求a 的范围.变式：不等式210ax ax --<有解，求a 的范围.4.不等式20ax bx c ++>解集为{|34}x x <<，求不等式20ax bx c -+<的解集. 练习：1.20ax bx c ++>的解集为()1,3，解不等式20bx ax c ++<.含参一元二次不等式的求解策略含参一元二次不等式是同学们学习上的一个难点，为帮助同学们突破这一难点，现介绍几种常用的求解策略。

含绝对值的不等式解法（总结归纳）第一篇：含绝对值的不等式解法(总结归纳)含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法[教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O 的距离，所以|x|0)的解集是{x|-aa(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。

把不等式|x|a(a>0)中的x 替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。

一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。

而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。

求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。

求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。

x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或或-4原不等式解集为{x|-4x2+3x-4<0(x+)2<|x+|<-原不等式解集为{x|-4[例题分析与解答]例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。

[分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。

∴-4当a>0时，-x>，当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。

故a>0时不等式解集是{x|-例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。

[分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号，符号的正与负是以0为分界点，所以x=3和x=-是绝对值内两个代数式值的符号的分界点。

用3和-将全体实数划分成三个区间，则在每一个区间上都可确定去掉绝对值的结论，由此分情况求解。

第二讲 含绝对值的不等式及一元二次不等式回归课本:1.绝对值不等式的解法：(1)当a ＞0时，|x|＞a 的解集为{x|x ＞a 或x ＜－a}； |x|＜a 的解集为{x|－a ＜x ＜a}．(2)当a ＝0时，|x|＞a 的解集为{x|x ∈R 且x ≠0}；|x|＜a 的解集为∅. (3)当a ＜0时，|x|＞a 的解集为R ；|x|＜a 的解集为∅.2．二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的整体，要理解和 掌握三者之间的联系．下面以ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)为例，结合y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的根，研究不等式解的情况3.记f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，x 1，x 2为f (x )＝0的两实根，且x 1＜x 2.(1)x 1，x 2均小于k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k ＞－b2aaf (k )＞0；(2)x 1，x 2均大于k ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，k ＜－b2aaf (k )＞0；(3)x 1，x 2∈(k 1，k 2)⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，af (k 1)＞0，af (k 2)＞0，k 1＜－b 2a ＜k 2；(4)x 1＜k 1，x 2＞k 2(k 1＜k 2)⇔⎩⎨⎧Δ＞0，af (k 1)＜0，af (k 2)＜0；(5)x 1，x 2仅有一个在(k 1，k 2)内⇔f (k 1)f (k 2)＜0.考点陪练:1.关于x 的不等式|x －4|＋|x －3|<a 有实数解，则实数a 的取值范围为 ( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(0,1] 2．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集是 ( )A ．{x |x ＜12}B ．{x |12≤x ＜35}C ．{x |x ＜35}D ．{x |x ＞35}3．设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则a ·b 的值为 ( )A ．－6B ．－5C ．6D ．54．不等式x 2－|x|<0的解集是________．5．不等式2x ＋1|x |≥0的解集为________．类型一 含绝对值的不等式解题准备：解含绝对值的不等式，一是用绝对值的几何意义，二是用零点分段法，三是用定理||a|－|b||≤|a ±b|≤|a|＋|b|.【典例1】 对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，求k 的取值范围．[点评] 利用|x－a|的几何意义(x点到a点的距离)，可简便处理|x－a|±|x－b|＞(＜)c类绝对值不等式问题；处理含多个绝对值的不等式的基本方法是根据各个绝对值的零点分段去掉绝对值，把问题转化为不含绝对值的问题，解法二便是分段讨论处理的．利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|时要注意，从|a|＋|b|→|a±b|→||a|－|b||如何选取“±”号．一般情况下，选取的基本原则是设法消去变量(如本题中的x)保留常量，而且|a|±|b|＞c恒成立往往使(|a|±|b|)min＞c，而|a|±|b|＜c恒成立，则是使(|a|±|b|)max＜c.|x－x1|－|x－x2|∈[－|x1－x2|，|x1－x2|]，是利用几何意义推断出来的．类型二一元二次不等式解题准备：解一元二次不等式的步骤：1．把二次项的系数变为正数．(注意：如果是负数，那么在不等式两边都乘以－1，把系数变为正数)2．解对应的一元二次方程．(注意：先看能否因式分解，若不能，再看Δ，然后求根)3．求解一元二次不等式．(注意：根据一元二次方程的根及不等式的方向得出不等式的解)【典例2】已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求cx2＋bx＋a＜0的解集．[点评]本题考查二次不等式的解集与相应的二次方程之间的关系和转化思想的运用．二次方程ax2＋bx＋c＝0与cx2＋bx＋a＝0的根互为倒数关系，不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c≤0的解集为互补关系．一般地，若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|m＜x＜n,0＜m＜n}，则cx2＋bx ＋a ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1n 或x ＞1m ；若m ＜n ＜0、m ＜0＜n ，解集可以类比写出．类型三 解含参数的一元二次不等式解题准备：对于含字母参数的不等式要分类讨论解决，分类时要掌握好分类标准，做到不重不漏，对特殊情况要单独考虑，它是近年高考的热点．【典例3】 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)．探究：是否存在实数a ，使得不等式组 ⎩⎨⎧2x 2＋(5＋2a )x ＋5a ＜0，x 2－x －2＞0的整数解的集合是单元素集{－2}?点评：本题可利用数轴辅助求解．快速解题技法 若关于x 的不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0)∪(43，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0)∪[43，＋∞)。

一元二次不等式及绝对值不等式、知识梳理一元二次不等式的解法(1 )将不等式的右端化为 0,左端化为二次项系数大于 0的不等式ax2 + bx + c>0(a>0)或ax2 + bx + c<0(a>0)；(2) 求出相应的一元二次方程的根；(3) 利用二次函数的图象与根确定一元二次不等式的解集ax 2+bx+cv 0(y<o)的解集{X|X K X <x 2)判别式A =b函数 片稈、不等式7间的关系△ <0 (a> 0) 0 有两相异实根 Xiax 2+bx+c= (a>0)的根 ax~ ■ox■ (y> 0)的解集 Xi, X 2(X 0 ------------{x|x<x 1<x 2) 勒两相等实根2a _____________x 1= x 2 =没有实根「或 X>X 2} {x|x Hy y=ax 2+bx+ 的图象 J Ob人O y>o二、例题分析例1 •不等式一x2 - x + 2>0的解集是例2 •解尖于x的不等式x2+(2-a)x-2a<05S中a€ F。

例3 •已知尖于x的不等式x2+ ax + b<0的解集为(1,2) •试求尖于x的不等式bx2+ ax + 1>0的解集.沁。

例4、3x+1变式2如3x+1二，|X的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点0的距离，所以|x|va(a>0)的解集是｛x|-a<x<a｝；不等式|x|>a (a>0)的解集是｛x|x>a或x<-a｝。

把不等式|x|<a与|x|>a (a>0)中的x替换成ax+b，就可以得到|ax+b|vc与|ax+b|>c (c>0)型的不等式的解法。

例5 •解尖于x的不等式|3x-2|<4变式引深：解矣于x的不等式|ax-2|<4，其中R。