九年级联考数学试卷3

2024学年安徽省十校中考联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上．若AB=6，AD=9，则五边形ABMND的周长为（）A．28 B．26 C．25 D．223．“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800亿用科学记数法可表示为（）A．0.8×1011B．8×1010C．80×109D．800×108-+=有一个根为2，则另一根为4．已知一元二次方程2x6x c0A．2 B．3 C．4 D．85．某广场上有一个形状是平行四边形的花坛(如图)，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法错误的是()A．红花、绿花种植面积一定相等B．紫花、橙花种植面积一定相等C．红花、蓝花种植面积一定相等D．蓝花、黄花种植面积一定相等6．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x （h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n ＝7.1．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC8．如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（）A ．（4，﹣3）B ．（﹣4，3）C ．（5，﹣3）D ．（﹣3，4）9．如图是由若干个小正方体组成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，这个几何体从正面看到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．10．若分式31x +在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ．1x >- B ．1x <- C ．1x =- D ．1x ≠-11．下列计算正确的是A ．a 2·a 2＝2a 4 B ．(－a 2)3＝－a 6 C ．3a 2－6a 2＝3a 2 D ．(a －2)2＝a 2－4 12．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a 岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是（ ）A ．a ＜13，b=13B ．a ＜13，b ＜13C ．a ＞13，b ＜13D ．a ＞13，b=13二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点A 为函数y=9x （x ＞0）图象上一点，连结OA ，交函数y=4x（x ＞0）的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，则△OBC 的面积为____．14．如图，在正六边形ABCDEF中，AC于FB相交于点G，则AGGC值为_____．15．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．16．一次函数y=（k﹣3）x﹣k+2的图象经过第一、三、四象限．则k的取值范围是_____．17．被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作.《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6只燕重量为1斤.问雀、燕毎只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为______．18．若关于x的方程2x m2x22x++=--有增根，则m的值是▲三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）武汉二中广雅中学为了进一步改进本校九年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣．校教务处在九年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查：我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A-非常喜欢”、“ B-比较喜欢”、“ C-不太喜欢”、“ D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计．现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）补全上面的条形统计图和扇形统计图；（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是，图②中A所在扇形对应的圆心角是；（3）若该校九年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？20．（6分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E是对角线AC上一点，且AC·CE=AD·BC.（1）求证：∠DCA=∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2=AF·AD．21．（6分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．求∠CDE的度数；求证：DF是⊙O的切线；若AC=25DE，求tan∠ABD 的值．22．（8分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE=68°，新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93，c os 68°≈0.37，tan 68°≈2.53≈1.73)23．（8分）如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．25．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．求证：△AEF≌△DEB；证明四边形ADCF是菱形；若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD的面积．26．（12分）已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC．；（1）如图1，求证：BD CD（2）如图2，当BC为直径时，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，求证：DE=AF；（3）如图3，在（2）的条件下，延长BE交⊙O于点G，连接OE，若EF=2EG，AC=2，求OE的长．27．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为1．（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、C【解题分析】根据基本作图的方法即可得到结论．【题目详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．【题目点拨】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．2、A【解题分析】如图，运用矩形的性质首先证明CN=3，∠C=90°；运用翻折变换的性质证明BM=MN（设为λ），运用勾股定理列出关于λ的方程，求出λ，即可解决问题．【题目详解】如图，由题意得：BM=MN（设为λ），CN=DN=3；∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=9，∠C=90°，MC=9-λ；由勾股定理得：λ2=（9-λ）2+32，解得：λ=5，∴五边形ABMND的周长=6+5+5+3+9=28，故选A．【题目点拨】该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．3、B【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】解：将800亿用科学记数法表示为：8×1．故选：B．【题目点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、C【解题分析】试题分析：利用根与系数的关系来求方程的另一根．设方程的另一根为α，则α+2=6，解得α=1．考点：根与系数的关系．5、C【解题分析】图中，线段GH和EF将大平行四边形ABCD分割成了四个小平行四边形，平行四边形的对角线平分该平行四边形的面积，据此进行解答即可.【题目详解】解：由已知得题图中几个四边形均是平行四边形．又因为平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，即面积相等，故红花和绿花种植面积一样大，蓝花和黄花种植面积一样大，紫花和橙花种植面积一样大．故选择C.【题目点拨】本题考查了平行四边形的定义以及性质，知道对角线平分平行四边形是解题关键.6、B【解题分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．【题目详解】由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160km，则m=160，②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4小时，则n=6+1+0.4=7.4，④错误．故选B．【题目点拨】本题以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态．7、D【解题分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【题目详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、∵AB2=AD•AC，∴AC ABAB AD，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．故选D．【题目点拨】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．8、A【解题分析】直接利用平移的性质结合轴对称变换得出对应点位置．【题目详解】如图所示：顶点A2的坐标是（4，-3）．故选A．【题目点拨】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．9、C【解题分析】先根据俯视图判断出几何体的形状，再根据主视图是从正面看画出图形即可．【题目详解】解：由俯视图可知，几何体共有两排，前面一排从左到右分别是1个和2个小正方体搭成两个长方体，后面一排分别有2个、3个、1个小正方体搭成三个长方体，并且这两排右齐，故从正面看到的视图为：．故选：C．【题目点拨】本题考查几何体三视图，熟记三视图的概念并判断出物体的排列方式是解题的关键．10、D【解题分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．【题目详解】+≠，解：由分式有意义的条件可知：x10∴≠-，x1故选：D．【题目点拨】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型.11、B【解题分析】【分析】根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项法则、完全平方公式逐项进行计算即可得.【题目详解】A. a2·a2＝a4，故A选项错误；B. (－a2)3＝－a6，正确；C. 3a2－6a2＝-3a2，故C选项错误；D. (a－2)2＝a2－4a+4，故D选项错误，故选B.【题目点拨】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、完全平方公式，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.12、A【解题分析】试题解析：∵原来的平均数是13岁，∴13×23=299（岁），∴正确的平均数a=≈12.97＜13，∵原来的中位数13岁，将14岁写成15岁，最中间的数还是13岁，∴b=13；故选A．考点：1.平均数；2.中位数.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、6【解题分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO=AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC的面积．【题目详解】设点A的坐标为(a,9a),点B的坐标为(b,4b)，∵点C是x轴上一点，且AO=AC，∴点C的坐标是(2a,0)，设过点O(0,0),A(a,9a )的直线的解析式为：y=kx ， ∴9a=k ⋅a ， 解得k=29a， 又∵点B(b,4b )在y=29a x 上， ∴4b =29a ⋅b,解得,a b =32或a b =−32(舍去)， ∴S △OBC =422a b=6.故答案为：6.【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.14、12． 【解题分析】由正六边形的性质得出AB=BC=AF ，∠ABC=∠BAF=120°，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠BAC=∠BCA=30°，证出AG=BG ，∠CBG=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出CG=2BG=2AG ，即可得出答案．【题目详解】∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB ＝BC ＝AF ，∠ABC ＝∠BAF ＝120°，∴∠ABF ＝∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴AG ＝BG ，∠CBG ＝90°，∴CG ＝2BG ＝2AG ， ∴AG GC ＝12； 故答案为：12． 【题目点拨】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．15、1【解题分析】在△AGF 和△ACF 中，{GAF CAFAF AF AFG AFC∠=∠=∠=∠，∴△AGF ≌△ACF ，∴AG=AC=4，GF=CF ，则BG=AB−AG=6−4=2.又∵BE=CE ，∴EF 是△BCG 的中位线，∴EF=12BG=1. 故答案是：1.16、k ＞3【解题分析】分析：根据函数图象所经过的象限列出不等式组3020k k ->⎧⎨-+<⎩，通过解该不等式组可以求得k 的取值范围． 详解：∵一次函教y =(k −3)x −k +2的图象经过第一、三、四象限，∴3020k k ->⎧⎨-+<⎩， 解得，k >3.故答案是：k >3.点睛：此题主要考查了一次函数图象,一次函数y kx b =+的图象有四种情况:①当0,0k b >>时,函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限;②当0,0k b ><时,函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限;③当0,0k b <>时,函数y kx b =+的图象经过第一、二、四象限;④当0,0k b <<时,函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限.17、{561340x y x y +=-=【解题分析】设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．【题目详解】设雀、燕每1只各重x 斤、y 斤,根据题意,得45561x y y x x y +=+⎧⎨+=⎩整理,得340.561x y x y -=⎧⎨+=⎩ 故答案为340.561x y x y -=⎧⎨+=⎩【题目点拨】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系.18、1．【解题分析】方程两边都乘以最简公分母（x －2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于1的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值：方程两边都乘以（x －2）得，2－x －m=2（x －2）．∵分式方程有增根，∴x －2=1，解得x=2．∴2－2－m=2（2－2），解得m=1．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）答案见解析；（2）B ，54°；（3）240人．【解题分析】（1）根据D 程度的人数和所占抽查总人数的百分率即可求出抽查总人数，然后利用总人数减去A 、B 、D 程度的人数即可求出C 程度的人数，然后分别计算出各程度人数占抽查总人数的百分率，从而补全统计图即可；（2）根据众数的定义即可得出结论，然后利用360°乘A 程度的人数所占抽查总人数的百分率即可得出结论； （3）利用960乘C 程度的人数所占抽查总人数的百分率即可．【题目详解】解：（1）被调查的学生总人数为65%120÷=人，C 程度的人数为120(18666)30-++=人，则A 的百分比为18100%15%120⨯=、B 的百分比为66100%55%120⨯=、C 的百分比为30100%25%120⨯=，补全图形如下：（2）所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是B、图②中A所在扇形对应的圆心角是36015%54︒⨯=︒．故答案为：B；54︒；（3）该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有96025%240⨯=人答：该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．【题目点拨】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题的关键．20、(1)见解析；(2)见解析.【解题分析】（1）由AD∥BC得∠DAC=∠BCA, 又∵AC·CE=AD·BC∴AC ADBC CE=，∴△ACD∽△CBE ,∴∠DCA=∠EBC,（2）由题中条件易证得△ABF∽△DAC∴AB AFAD DC=，又∵AB=DC，∴2AB AF AD=⋅【题目详解】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA, ∵AC·CE=AD·BC，∴AC AD BC CE=,∴△ACD∽△CBE , ∴∠DCA=∠EBC,（2）∵AD∥BC，∴∠AFB=∠EBC,∵∠DCA=∠EBC，∴∠AFB=∠DCA,∵AD∥BC，AB=DC, ∴∠BAD=∠ADC,∴△ABF∽△DAC,∴AB AF AD DC=,∵AB=DC，∴2AB AF AD=⋅.【题目点拨】本题重点考查了平行线的性质和三角形相似的判定，灵活运用所学知识是解题的关键.21、（1）90°；（1）证明见解析；（3）1．【解题分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（1）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【题目详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（1）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DE AD DC=，∴DC1=AD•DE∵AC=15DE，∴设DE=x，则AC=15x，则AC1﹣AD1=AD•DE，期（15x）1﹣AD1=AD•x，整理得：AD1+AD•x﹣10x1=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x-=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．22、工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米.【解题分析】解：在Rt△BAE中，∠BAE=680，BE=162米，∴（米）．在Rt△DEC中，∠DGE=600，DE=176.6米，∴DECE102.08tan DGE3==≈∠（米）．∴AC CE AE102.0864.8037.2837.3=-≈-=≈（米）．∴工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．在Rt△BAE和Rt△DEC中，应用正切函数分别求出AE和CE的长即可求得AC的长．23、30(31)米【解题分析】设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，根据正切的概念用x 表示出CD ，在Rt △ABD 中，根据正切的概念列出方程求出x 的值即可．【题目详解】由题意得，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝45°，BC ＝60m ，设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD CD， ∴CD ＝AD ＝x ，∴BD ＝BC +CD ＝x +60，在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD，∴60)x x =+，∴1)x =米，答：山高AD 为301)米．【题目点拨】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．24、（1）证明见解析（2）【解题分析】（1）连接OC ，可以证得△OAP ≌△OCP ，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP =90°，即OC ⊥PC ，即可证得；（2）先证△OBC 是等边三角形得∠COB =60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF =90°，结合半径OC =1可得答案．【题目详解】（1）连接OC ．∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．在△OAP和△OCP中，∵OA OCPA PCOP OP=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．∵AB=10，∴OC=1．由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB3【题目点拨】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．25、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）1．【解题分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．【题目详解】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AFE和△DBE中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）证明：由（1）知，△AFE ≌△DBE ，则AF =DB ．∵AD 为BC 边上的中线∴DB =DC ，∴AF =CD ．∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC =90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，∴AD =DC =12BC ， ∴四边形ADCF 是菱形；（3）连接DF ，∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF =AB =5， ∵四边形ADCF 是菱形，∴S 菱形ADCF =12AC ▪DF =12×4×5=1． 【题目点拨】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD 是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．26、（1）证明见解析；（1）证明见解析；（3）1.【解题分析】（1）连接OB 、OC 、OD ，根据圆心角与圆周角的性质得∠BOD=1∠BAD ，∠COD=1∠CAD ，又AD 平分∠BAC ，得∠BOD=∠COD ，再根据圆周角相等所对的弧相等得出结论.（1）过点O 作OM ⊥AD 于点M ，又一组角相等，再根据平行线的性质得出对应边成比例，进而得出结论；（3）延长EO 交AB 于点H ，连接CG ，连接OA ，BC 为⊙O 直径，则∠G=∠CFE=∠FEG=90°，四边形CFEG 是矩形，得EG=CF，又AD平分∠BAC，再根据邻补角与余角的性质可得∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，AE=BE，AF=CF，再根据直角三角形的三角函数计算出边的长，根据“角角边”证明出△HBO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出对应边成比例，进而得出结论.【题目详解】（1）如图1，连接OB、OC、OD，∵∠BAD和∠BOD是BD所对的圆周角和圆心角，∠CAD和∠COD是CD所对的圆周角和圆心角，∴∠BOD=1∠BAD，∠COD=1∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BOD=∠COD，∴BD=CD；（1）如图1，过点O作OM⊥AD于点M，∴∠OMA=90°，AM=DM，∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴∠CFM=90°，∠MEB=90°，∴∠OMA=∠MEB，∠CFM=∠OMA，∴OM∥BE，OM∥CF，∴BE∥OM∥CF，∴OC FM OB EM=，∵OB=OC，∴OC FMOB EM==1，∴FM=EM，∴AM﹣FM=DM﹣EM，∴DE=AF；（3）延长EO交AB于点H，连接CG，连接OA．∵BC为⊙O直径，∴∠BAC=90°，∠G=90°，∴∠G=∠CFE=∠FEG=90°，∴四边形CFEG是矩形，∴EG=CF，∵AD平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=12×90°=45°，∴∠ABE=180°﹣∠BAF﹣∠AEB=45°，∠ACF=180°﹣∠CAF﹣∠AFC=45°，∴∠BAF=∠ABE，∠ACF=∠CAF，∴AE=BE，AF=CF，在Rt△ACF中，∠AFC=90°，∴sin∠CAF=CFAC，即sin45°=2CF，∴CF=1×22∴2，∴2，∴，在Rt △AEB 中，∠AEB=90°，∴AB=cos 45AE =︒，∵AE=BE ，OA=OB ，∴EH 垂直平分AB ，∴BH=EH=3，∵∠OHB=∠BAC ，∠ABC=∠ABC∴△HBO ∽△ABC ， ∴26HO AC HB AB ==， ∴OH=1，∴OE=EH ﹣OH=3﹣1=1．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和圆的相关知识点.27、（4）y ＝﹣x 4﹣4x +3；（4）13；（3）点P 的坐标是（4，0） 【解题分析】(4) 先求得抛物线的对称轴方程, 然后再求得点C 的坐标,设抛物线的解析式为y ＝a （x +4）4+4,将点 (-3, 0) 代入求得a 的值即可;(4) 先求得A 、 B 、 C 的坐标, 然后依据两点间的距离公式可得到BC 、AB,AC 的长,然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°,最后,依据锐角三角函数的定义求解即可; (3) 连接BC,可证得△AOB 是等腰直角三角形，△ACB ∽△BPO ，可得AB OB BC OP =代入个数据可得OP 的值，可得P 点坐标.【题目详解】解：（4）由题意得，抛物线y ＝ax 4+4ax +c 的对称轴是直线2a x=-=-12a， ∵a ＜0，抛物线开口向下，又与x 轴有交点，∴抛物线的顶点C 在x 轴的上方，由于抛物线顶点C 到x 轴的距离为4，因此顶点C 的坐标是（﹣4，4）．可设此抛物线的表达式是y ＝a （x +4）4+4，由于此抛物线与x轴的交点A的坐标是（﹣3，0），可得a＝﹣4．因此，抛物线的表达式是y＝﹣x4﹣4x+3．（4）如图4，点B的坐标是（0，3）．连接BC．∵AB4＝34+34＝48，BC4＝44+44＝4，AC4＝44+44＝40，得AB4+BC4＝AC4．∴△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，所以tan∠CAB=13 BCAB．即∠CAB的正切值等于13．（3）如图4，连接BC，∵OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAP＝∠ABO＝45°，∵∠CAO＝∠ABP，∴∠CAB＝∠OBP，∵∠ABC＝∠BOP＝90°，∴△ACB∽△BPO，∴AB OBBC OP=，3OP=，OP＝4，∴点P的坐标是（4，0）．【题目点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，综合性大.。

2024学年第一学期九年级第8周监测数学卷卷首语：1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分；2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置；3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器． 希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！一、选择题（共10小题，每题3分）1. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ）A. 14B. 12C. 34D. 1【答案】A【解析】【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率．【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份，∴落在红色区域的概率=14． 故选：A ．2. 已知O 的半径为8cm ，点A 在O 外，则OA 的长可能为（ ）A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm 【答案】D【解析】【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为8cm ，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当8cm d >时，点P 在O 外；当8cm d =时，点P 在O 上；当8cm d <时，点P 在O 内，然后对各选项进行判断．【详解】解：O 的半径为8cm ，点A 在O 外， ∴当8cm d >时，点A 在O 外；∴8cm OA >，故选：D ．3. 抛物线2y ax =经过点()2,3−，则a 的值是（ ） A. 34 B. 34− C. 29 D. 29− 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将点(−2,3)代入2y ax =可得关于a 的方程，解之可得．【详解】解：将点(−2,3)代入2y ax =，得43a =， 解得34a =， 故选：A ．4. 一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（ ）A. 红球可能性最大B. 白球可能性最大C. 黄球可能性最大D. 三种小球的可能性相同 【答案】C【解析】【分析】本题考查可能性的大小即概率，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别用红球、白球或黄球的个数除以总球的个数，再比较即可得出答案．【详解】解：∵不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和3个黄球，共有6个球， ∴摸到红球的可能性是2163=， 摸到白球的可能性是16， 摸到黄球的可能性是3162=， 111236>>， ∴摸到黄球的可能性最大，故选：C ．5. 函数221y x =−的图象，可以由抛物线22y x =平移得到，其平移过程是（ ）A. 向左1个单位B. 向右1个单位C. 向上1个单位D. 向下1个单位【答案】D【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．原抛物线顶点坐标为()00，，平移后抛物线顶点坐标为()01−，，由此确定平移规律． 【详解】解：抛物线22y x =的顶点坐标为()00，， 平移后的抛物线221y x =−的顶点坐标为()01−，， 所以，函数221y x =−的图象，可以由抛物线22y x =向下1个单位平移得到，故选：D ． 6. 如图，ABC 内接于O ．若AB AC =， BC度数为80°，则C ∠的度数为（ ）A 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据圆周角度数等于它所对弧度数的一半求出40BAC ∠°=，再由等腰三角形的性质和三角形定理可得结论．【详解】解：∵ BC所对圆周角是BAC ∠，且 BC 度数为80°， ∴180402BAC ∠=×°=°， ∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠， ∴()()11180180407022ACB BAC ∠=×°−∠=×°−°=°， 故选：C ．7. 若函数22y x x m =++的最小值为5，则m 的值为（ ）.A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，将抛物线解析式化为顶点式即可解答．【详解】解：()22211y x x m x m =++=++−∵10>，∴函数22y x x m =++有最小值为1m −，又函数22y x x m =++的最小值为5，∴15m −=，解得，6m =，故选：B8. 如图，AB 为O 的直径，构造四边形OACD ，且弦CD AB ∥，若40D ∠=°，则C ∠的度数是（ ）A. 100°B. 105°C. 110°D. 115°【答案】C【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识．连接BD ，由平行线的性质得到40DOB D ∠=∠=°，由OD OB =得到()1180702ODB OBD BOD ∠=∠=°−∠=°，由四边形ABDC 是O 的内接四边形即可得到C ∠的度数． 【详解】解：连接BD ，∵弦CD AB ∥，40CDO ∠=°，∴40DOB CDO ∠=∠=°，∵OD OB =， ∴()1180702ODB OBD BOD ∠=∠=°−∠=°， ∵四边形ABDC 是O 的内接四边形，∴180110ACD OBD ∠=°−∠=°，故选：C ．9. 若点(),m n 在抛物线()20y ax a >上，其中0m >，则不等式()22a x n −>的解为（ ） A. 2x m <−+或2x m >+B. 22m x m −+<<+C. 2x m <−−或2x m >−D. 22m x m −−<<−【答案】A【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点(),m n 在抛物线()20yax a >上得2n am =，再将其代入不等式()22a x n −>，再根据0a >，0m >得出解集即可．【详解】解：∵点(),m n 在抛物线()20yax a >上， ∴2n am =，∵()22a x n −>，∴()222a x am −>，∵0a >，∴()222x m −>，又∵0m >，∴2x m −<−或2x m −>，∴2x m <−+或2x m >+，故选：A ． 10. 如图在给定的O 中，弦AB 的弦心距6OH =，16CD =，点E 在弦CD 上，且5OE ED ==，当EAB 面积的为最大时，DH 的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于确定点E 的轨迹以及当点,,E O H 三点共线时，EN 最大，则EAB 面积最大．过点E 作EN AB ⊥于点N ，则点E 轨迹为以点O 为圆心，5为半径的圆，由OH AB ⊥，EO OH EN +≥，则当点,,E O H 三点共线时，EN 最大，则EAB 面积最大，过点D 作HO 延长线的垂线，垂足为点M ，过点O 作OG CD ⊥于点G ，由垂径定理得182DG CD ==，则3GE GD ED =−=，由勾股定理得4OG =，显然MED GEO △≌△，则4MD OG ==，3ME GE ==，故14MH =，在Rt DMH △中，由勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点E 作EN AB ⊥于点N ，∵5OE =，∴点E 轨迹为以点O 为圆心，5为半径的圆，∵OH AB ⊥，EO OH EN +≥，∴当点,,E O H 三点共线时，EN 最大，则EAB 面积最大，如图：过点D 作HO 延长线的垂线，垂足为点M ，过点O 作OG CD ⊥于点G ，∴182DG CD ==， ∴853GE GD ED =−=−=，∴在Rt OGE 中，由勾股定理得4OG ==， ∵OG CD ⊥，DM EM ⊥，∴90M OGE ∠=∠=°，∵MED GEO ∠=∠，EO ED =，∴MED GEO △≌△，∴4MD OG ==，3MEGE ==， ∴35614MH ME OE OH =++=++=，∴在Rt DMH △中，由勾股定理得：DH ===，故选：B ． 二、填空题（共6小题，每题3分）11. 已知抛物线()22y k x =−的开口向上，写出一个满足条件的k 值______．【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数20k −>，据此求出k 的范围，得到合适的k 值．【详解】解：因为抛物线()22y k x =−的开口向上，所以20k −>，即2k >，故k 的取值范围是2k >，则k 可以取3．故答案为：3（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点．12. 二次函数()2235y x =−+的对称轴是______．【答案】直线3x =【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数()()20y a x h k a =−+≠的对称轴为直线x h =进行解答即可．【详解】解：二次函数()2235y x =−+的对称轴是直线3x =，故答案为：直线3x =13. O 的半径长为5，弦6AB =，则弦AB 的弦心距为______．【答案】4【解析】【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，先过点O 作OD AB ⊥于点D ，由垂径定理可知12AD AB =，在Rt AOD 中利用勾股定理即可求出OD 的长． 【详解】解：如图，点O 作OD AB ⊥于点D ，则116322AD AB ==×=， ∵圆的半径是5，即5OA =，∴在Rt AOD中，4OD ===．故答案：4．14. 已知()11,y ，()24,y 是抛物线26y x x =−上的点，则1y ，2y 的大小关系为______．【答案】12y y >【解析】【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把()11,y ，()24,y 分别代入抛物线26y x x =−，求出1y ，2y ，再比较得出答案．【详解】解：把()11,y ，()24,y 分别代入抛物线26y x x =−得， 1165y =−=−224648y =−×=−，∴12y y >，故答案为：12y y >．15. 抛物线22y x x c =++交y 轴于点()5,m m +，则c 的值是______．【答案】5−为【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与y 轴的交点，根据抛物线与y 轴的交点的横坐标为0列式求解即可．【详解】解：∵抛物线22y x x c =++交y 轴于点()5,m m +，∴50,m +=解得，5m =−，故答案为：5−．16. 如图，在半径为5的O 中，弦8AB =，D 为优弧AB 的中点，C 为 AD 上点，DE AC ⊥于点E ，DH BC ⊥于点H ，连结DB ．若6HB =，则四边形ABDE 的面积为______．【答案】32##32+【解析】【分析】过点D 作DG AB ⊥于点G ，连接,,AD OB CD ，证明ABD 是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得142AG BG AB ===，根据三角形外接圆性质可得点O 在DG 上，利用勾股定理求出3OG =，进而得到8DG =，利用勾股定理求出BD AD ==DH =DAE CBD ∠=∠，结合90,DEA DHB AD BD ∠=∠=°=，证明()AAS ADE BDH ≌，推出6DE DH AE BH ====，由四边形ABDE 的面积为ABD ADE S S + 即可求解．【详解】解：过点D 作DG AB ⊥于点G ，连接,,AD OB CD ，∵D 为优弧AB 的中点，∴ AD BD=，的∴AD BD =∴ABD 是等腰三角形，∵DG AB ⊥，8AB =， ∴142AG BG AB ===， ∵O 是ABD 的外接圆，∴点O 在DG 上，∵O 的半径为5，∴5OB OD ==，∴3OG ，∴8DG OG OD =+=，∴BD AD ==，∵DH BC ⊥于点H ，6HB =，∴90BHD ∠=°，∴DH ==，∵ CDCD =， ∴DAE CBD ∠=∠，∵90,DEA DHB AD BD ∠=∠=°=， ∴()AAS ADE BDH ≌，∴6DE DH AE BH ====，∴四边形ABDE 的面积为1111··886322222ABD ADE S S AB DG AE DE +=+=××+×=+ ．故答案为：32．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）17. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动．（1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．（2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．【答案】（1）13 （2）49【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可；（2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案．【小问1详解】解：如图，将黄色区域平分成两部分，这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为13． 【小问2详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况，∴两次指针都落在黄色区域的概率为：49； 18. 如图，AB ，CD 为O 直径，弦DE ，BF 分别交半径AO ，CO 于点G ，H ，且DE BF =．（1）求证：B D ∠=∠．（2）若 AE EF FC==，且40D ∠=°，求OHB ∠的度数． 【答案】（1）见解析 （2）80°【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键．（1）证明 EC AF =即可得出结论；（2）求出 80EC =°，40AE EF FC ===°得120AOC ∠=°，根据OHB AOC B ∠=∠−∠可得结论． 小问1详解】证明：DE BF = ，DE BF∴=． AB ，CD 为O 直径，DEC BFA∴=， DECDE BFA BF ∴−=−， 即 EC AF =．B ∠ ，D ∠所对的弧分别是 AF ， EC， B D ∴∠=∠．【小问2详解】解：40D ∠=° ，80EC ∴=°， 40AE EF FC ===°．120AOC ∴∠=°．【40B D ∠=∠=° ，1204080OHB AOC B ∴∠=∠−∠=°−°=°．19. 如图，已知抛物线212y x mx n ++经过点()6,1A −，BB (2,1)．（1）求抛物线的表达式．（2）利用函数图象，求当12x −<≤时，y 的取值范围．【答案】（1）21252y x x =+− （2）1312y −<≤ 【解析】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）利用配方法得到()21272y x =+−，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线2x =−，当1x =−时，y 有最小值132−，当2x =时，y 的值为1，从而可得结论． 【小问1详解】解：把()6,1A −，BB (2,1)代入212yx mx n ++，得， ()221661212212m n m n ×−−+= ×++= 解得，25m n = =−∴抛物线的表达式为21252y x x =+−【小问2详解】 解：()2211252722y x x x =+−=+−， ∴抛物线的对称轴为直线2x =−， 当1x =−时，y 有最小值132−， 当2x =时，y 的值为1，∴当12x −<≤时，y 的取值范围1312y −<≤． 20. 尺规作图问题：如图1，弦DE 交O 直径AB 于点F ，连结AD ，AD AF =，用尺规作弦DG AB ∥，CG AD ∥，C 是直径AB 上一点．小蔡：如图2，以E 为圆心，AE 长为半径作弧，交O 于另一点G ，连结DG ，以A 为圆心，DG 长为半径作弧，交直径AB 于点C ，连结CG ，则DG AB ∥，CG AD ∥．小通：以B 为圆心，AD 长为半径作弧，交O 于点G ，连结DG ，以A 为圆心，DG 长为半径作弧，交直径AB 于点C ，连结CG ，则DG AB ∥，CG AD ∥．小蔡：小通，你的作法有问题．小通：哦——我明白了．（1）求证：DG AB ∥，CG AD ∥．（2）指出小通作法中存在的问题．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）利用等腰三角形性质得到ADF AFD ∠=∠，根据圆周角定理得到ADF FDG ∠=∠，再结合等量代换和平行线判定得到DG AB ∥，最后根据平行四边形的判定和性质，即可推出CG AD ∥； （2）根据“以B 为圆心，AD 长为半径作弧，”作图可知点G 还可能在 AEB 上，此时DG 与AB 相交，即可判断解题．【小问1详解】证明：AD AF = ，ADF AFD ∴∠=∠．弦AE EG =，ADF FDG ∴∠=∠．FDG AFD ∴∠=∠，DG AB ∴∥．DG AC = ，∴四边形ACGD 为平行四边形，∥∴CG AD ．【小问2详解】解：点G 还可能在 AEB 上，如图3，此时DG 与AB 相交，不满足结论．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键在于根据题意作出草图，并结合相关定理性质求解．21. 如图，在O 中，弦AD BC =，OE AB ⊥于E ，OH BC ⊥于H ．（1）求证：AB CD =．（2）若O 的半径为5，8CD =，4BC =，求OE OH +的长．【答案】（1）见解析 （2）3+【解析】【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键；（1）由题意易得 AB CD=，进而问题可求证； （2）连接OB ，由勾股定理，得3OE =．根据垂径定理可进行求解．【小问1详解】证明：AD BC = ，AD BC∴=， AD BD BC BD +=+， 即 AB CD=， AB CD ∴=．【小问2详解】解：连接OB ，如图所示：8AB CD == ，OE AB ⊥，4EB ∴=．由勾股定理，得3OE．同理可得OH =3OE OH ∴+=+22. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且DG BE =，2AH CF BE ==，记四边形EFGH 的面积为y ，边长BE 为x ．（1）求y 关于x 的表达式及自变量x 的取值范围．（2）求y 的最小值．【答案】（1）21(410202)y x x x =−+<≤（2）234【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关雄．（1）利用四边形面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y 与x 的函数关系； （2）通过对函数配方，结合自变量取值范围取得最值．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴3,4,90,AB CD AD BC A B C D ====∠=∠=∠=∠=° ∵边长BE 为x ，∴DG BE x ==，22AHCF BE x ===， ∴3,42,AE CG x DH BF x ==−==− ∴AHE BEF CFG HDG HEFGABCD S S S S S S =−−−− 四边形四边形 ()()()()111134234223422222x x x x x x x x =×−××−−××−−××−−××− 241012x x =−+∵03,024x x <≤<≤，∴02x <≤，∴21(410202)y x x x =−+<≤【小问2详解】 解：∵2252341012444y x x x −+−+的∴抛物线对称轴为直线54x =， ∵40>，∴抛物线开口向上， 在02x <≤范围内．当54x =时，函数有最小值，为255232344444y =−+=最小值 23. 如图，在O 中，弦AB CD ∥，点E 在 AD 上，延长ED 至点F ，使EF EB =，延长AE 至点G ，连结GF ，使F EAC ∠=∠，GF AD =．（1）连结CB ，求证：GF CB =．（2）若70F ∠=°，CA 为O 直径，求ABE ∠的度数．（3）连结BD ，求证：G BDE ∠∠=．【答案】（1）见解析 （2）20°（3）见解析【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角．（1）根据弦AB CD ∥可得DCA BAC ∠=∠， AD BC=，由弧、弦的关系可得结论； （2）由CA 为O 直径得90CBA ∠=°，再根据圆周角定理可得结论； 、 （3）连结EC ，得EAC EBC ∠=∠，F EBC ∠=∠，证明EBC EFG △△≌，进一步可得结论．【小问1详解】证明：∵弦AB CD ∥，DCA BAC ∴∠=∠， AD BC=， ∴AD BC =．GF AD = ，GF CB ∴=．【小问2详解】解：连接,BC 如图，CA 为O 直径，90CBA ∴∠=°．70EAC F ∠=∠=° ，70CBE EAC ∴∠=∠=°．20ABE CBA CBE ∴∠=∠−∠=°．【小问3详解】证明：连结EC ，EAC ∠ ，EBC ∠都是 CE所对的圆周角， EAC EBC ∴∠=∠．F EAC ∠=∠ ，F EBC ∴∠=∠．又GF CB = ，EF EB =，EBC EFG ∴△△≌．G BCE ∴∠=∠．BCE BDE ∠=∠ ， G BDE ∠∠=∴．24. 如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()0,2A ，对称轴为直线1x =，点G 坐标为(1,0)，点C 在边AG 上运动，延长OC 交抛物线于点B ，连结BG ，分别记OBG △，OCG 的面积为1S ，2S ．（1）求该抛物线表达式．（2）若点PP (xx 1,yy 1)，()121,Q x y +均在抛物线上，且1>0x ，2214()y y −=，请比较1y ，2y 大小，并说明理由．（3）记12S t S =，直线OB 的表达式为B By y x x =，求t 关于B x 函数表达式，并求t 的最大值． 【答案】（1）222y x x =−++ （2）12y y >，理由见解析（3）21212B B t x x =−++；3t =最大值 【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，灵活掌握相关知识是解答本题的关键．（1）根据抛物线的对称轴方程可求出2b =，再把()0,2A 代入22y x x c =−++，可求出2c =，从而可得抛物线的解析式为222y x x =−++； （2）分别把()11,P x y ，()121,Q x y +代入222y x x =−++得211122y x x =−++，2211(1)2(1)2y x x =−++++，将2y 化简得2213y x =−+，求出12121y y x −=−，代入2214()y y −=，求出132x =或112x =−，取舍后得132x =，再求出1y ，2y ，进行比较即可； （3）运用待定系数法求出直线AG 的解析式为22y x =−+，设点C 的坐标为(),22m m −+，由点C 在B B y y x x =上得22B B y m m x −+=，求得22B B B x m x y =+，由12S t S =得21212B B t x x =−++，配方后可得结论． 【小问1详解】解：由题意，得()121b x =−=×−，解得2b =． 把点()0,2A 代入22y x x c =−++，得2c =．∴抛物线表达式为222y x x =−++． 【小问2详解】解：∵点()11,P x y ，()121,Q x y +均在抛物线上，∴211122y x x =−++，222111(1)2(1)23y x x x =−++++=−+，12121y y x ∴−−，又2214()y y −=， ∴21(21)4x −=， 解得132x =，或112x =−． 10x > ，132x ∴= 1213212102y y x ∴−=−=×−>， 12y y ∴>．【小问3详解】解：设直线AG 表达式为y kx b =+， 把()0,2A ，()1,0G 代入y kx b =+，得： 20b k b = +=， 解得，22k b =− =， 所以，直线AG 表达式为22y x =−+， 点C 在边AG 上运动，∴设(),22C m m −+．∵点C 在直线B By y x x =上， 22B By m m x ∴−+=，化简，得22B B B x m x y =+， 21221212222B B B B B S y x y t x x S m +∴====−++−+． 即21(2)32B t x =−−+．∵102−<，∴抛物线开口向下，函数t 有最大值， ∴当2B x =时，3t =最大值．。

2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．13．（3分）平面内有两点P、O，已知⊙O的半径为5，PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．P在圆上或圆外4．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，AE＝9，AC＝6，BD＝4，则BF的长是（）A．5B．6C．7D．85．（3分）将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为（）A．y＝﹣（x﹣5）2﹣1B．y＝﹣（x﹣1）2﹣1C．y＝﹣（x﹣5）2+11D．y＝﹣（x﹣1）2+116．（3分）如图是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，C为上一点，OC⊥AB于D点，若，CD ＝3，则的长为（）A．6πB．4πC．3πD．7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系正确的为（）A．y1＞y3＞y2B．y2＞y3＞y1C．y1＞y2＞y3D．y3＞y1＞y28．（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（）A．2.5m B．5m C．D．10m9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示：x…06…y…0.39﹣20.39…则方程ax2+bx+2.39＝0的解是（）A．0或6B．或C．或6D．无实数解10．（3分）在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD．连结CH，设∠CHG＝α，∠CDG＝β．若BC＝2AB，tanβ＝tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）线段和的比例中项是．12．（4分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为．13．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝120°，则∠A＝．14．（4分）飞机着陆后滑行的距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系满足．当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒．15．（4分）如图，已知线段AB＝13．①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q；②画直线PQ交AB于点O，以O为圆心，OA为半径画圆；③在⊙O上取一点C，连接BC交PQ于点D，连接AC，AD．当时，△ACD的周长是．16．（4分）如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF＝x，EF＝y．（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，AD的长是；（2）当BD＝BF，2x＝7y时，△DEF与△ABD的面积之比是．三、解答题（第17°19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）17．（6分）计算：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°．18．（6分）为响应国家“双减”政策，大力推行课后服务，丰富学生课后生活，某校开设A班剪纸、B班戏曲、C 班武术、D班围棋四门特色课程，甲、乙两位同学各需选择一门课程学习．（1）求甲同学选择A班剪纸课的概率．（2）利用树状图或列表法，求甲、乙两人选择同一门课程的概率．19．（6分）如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请按下列要求完成作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论）．（1）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1（点B1与点B是对应点）．（2）在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB找一点P，使．20．（8分）如图①为我们常见的马扎，马扎上层是可以折叠但不能伸缩的帆布，图②是马扎撑开后的侧面示意图，其中腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，AB＝60cm，AD＝41cm，当有人坐在马扎上时，马扎侧面示意图变成图③（假设AE与DE都是线段），且AE＝DE，点E离地面BC的距离即马扎实际支撑的高度．若某人坐在马扎上时测得∠AOD＝83.6°，他要求实际支撑高度为40cm，请问这款马扎能否符合他的要求？（参考数据：sin41.8°≈，cos41.8°≈）21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE．（1）求证：△ABD∽△ECA；（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．22．（10分）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB＝L称跨度，桥面最高点到AB的距离CD＝h称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度L＝20米，拱高h＝5米．（1）如图1，若设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求此函数表达式；（2）如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；（3）现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由.23．（10分）已知，二次函数y＝x2+4mx+2m﹣3（m为常数）．（1）若m＝1，判断点P（﹣1，﹣4）是否在此函数的图象上；（2）若此函数图象经过点（m2，2m﹣3），求m的值；（3）若此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），求证：．24．（12分）如图1，以Rt△ABC的直角边AB为直径画⊙O，过A作斜边AC的垂线交⊙O于点D，连结CD，交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．（1）求证：∠ACD＝∠EBC．（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时．①求∠BCD的正切值；②求的值．（3）若AB＝1，设CD＝x，＝y，求y关于x的函数表达式．2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区十二校联考九年级（上）期中数学试卷详细答案一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【解答】解：∵，∴b＝3a，∴＝＝．故选：A．2．【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是，故选：A．3．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．4．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，即，∴BF＝6．故选：B．5．【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度平移后的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣3﹣2）2+5﹣6，即y＝﹣（x﹣5）2﹣1．故选：A．6．【解答】解：因为点O为圆心，且OC⊥AB，所以点D为AB的中点，所以AD＝．令⊙O的半径为r，在Rt△ADO中，AD2+DO2＝AO2，即，解得r＝6．则sin∠AOD＝，所以∠AOD＝60°，则∠AOB＝2∠AOD＝120°．所以的长为：．故选：B．7．【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣x2+6x+c＝﹣1﹣6+c＝﹣7+c；当x＝2时，y2＝﹣x2+6x+c＝﹣4+12+c＝8+c；当x＝5时，y3＝﹣x2+6x+c＝﹣25+30+c＝5+c，所以y2＞y3＞y1．故选：B．8．【解答】解：∵水平距离为5m，坡比为i＝1：2.5，∴铅直高度为5÷2.5＝2（m）．根据勾股定理可得：坡面相邻两株树间的坡面距离为＝（m）．故选：C．9．【解答】解：由抛物线经过点（0，0.39）得到c＝0.39，因为抛物线经过点（0，0.39）、（6，0.39），所以抛物线的对称轴为直线x＝3，而抛物线经过点（，﹣2），所以抛物线经过点（6﹣，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.39，方程ax2+bx+2.39＝0变形为ax2+bx+0.39＝﹣2，所以方程ax2+bx+0.39＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝6﹣．故选：B．10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AD＝2CD，设CG＝x，HG＝y，∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，∴∠AHD＝∠DGC＝90°，∴∠DAH+∠ADH＝∠ADH+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DAH，∴△ADH∽△DCG，∴＝2，∴DH＝2x，∴DG＝2x+y，AH＝4x+2y，EH＝3x+2y，∵∠CHG＝α，∠CDG＝β，tanβ＝tan2α，∴，即2x2+xy＝y2，∴y2﹣xy﹣2x2＝0，∴（y﹣2x）（y+x）＝0，∵y+x≠0，∴y＝2x，∴DG＝4x，DC＝x，EH＝3x+2y＝7x，∴AD＝2x，∴＝＝，故选：B．二、填空题（每小题4分，共24分）11．【解答】解：设比例中项是x，∴x2＝×＝1，∴x＝1或﹣1（舍去）．故答案为：1．12．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．13．【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠1＝360°﹣120°＝240°，∵，∴∠A＝120°，故答案为：120°．14．【解答】解：由题意，∵，又t＝10s，s＝450m，∴450＝﹣×102+10b．∴b＝60．∴函数关系式为s＝﹣t2+60t．又s＝﹣t2+60t＝﹣（t2﹣40t+400）+600＝﹣（t﹣20）2+600，∴当t＝20时，飞机着陆后滑行600米停下．故答案为：20．15．【解答】解：∵AB是直径；∴∠C＝90°；∵；∴设AC＝5x；则BC＝12x；在Rt△ABC中，AB＝13，由勾股定理得；AC2+BC2＝AB2；即（5x）2+（12x）2＝132；解得：x＝1；∴AC＝5，BC＝12；由题意得PQ是线段AB的线段垂直平分线；∴AD＝BD；∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝AC+BD+DC＝AC+BC＝5+12＝17；故答案为：17．16．【解答】解：（1）当BE⊥AC，x＝9，y＝3时，得∠EFD＝90°，AF＝9，EF＝3，设AD＝a，则DF＝9﹣a，由题意可得DE＝AD＝a，∴在Rt△EFD中，由勾股定理可得，DF2+EF2＝DE2，即（9﹣a）2+32＝a2，解得：a＝5，故AD＝5；（2）当BD＝BF，2x＝7y时；∵BD＝BF；∴∠BDF＝∠BFD，又∵∠ADB＝180°﹣∠BDF，∠EFD＝180°﹣∠BFD，∴∠ADB＝∠EFD，由题意可得∠A＝∠E，∴△EDF∽△ABD，∴，∵2x＝7y，∴，∴，∴设EF＝2n，DF＝mn，AF＝7n，则AD＝ED＝（7﹣m）n，∴，∴，∴，整理得：2m2﹣21m+45＝0，解得：（不符合题意，舍去），m2＝3，∴ED＝4n，AB＝8n，∴，故△DEF与△ABD的面积之比是：．三、解答题（第17°19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）17．【解答】解：2sin60°+cos230°﹣tan60°+tan45°＝2×+（）2﹣+1＝+﹣+1＝．18．【解答】解：（1）由题意得，甲同学选择A班剪纸课的概率为．（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一门课程的结果有4种，∴甲、乙两人选择同一门课程的概率为＝．19．【解答】解：（1）如图1中，△AB1C1即为所求；（2）图2中，点P即为所求．20．【解答】解：连接AD，过O作BC的垂线交BC于H，交AD于F，根据题意可得AB＝CD＝60cm，∠AOD＝83.6°．OD＝OC＝OA＝OB＝30cm，∴AE＝ED＝cm，∴FH是AD的垂直平分线，∵AE＝DE．∴点E在FH上，∴∠AOF＝∠DOF＝41.8°，∴∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC，OF＝OH＝cos41.8×AO≈30×＝cm，∴AF＝sin41.8°•40≈30×＝20cm，∴AE＝ED＝cm∴EF＝＝cm，EH＝20F﹣EF＝40.5cm≠40cm，故这款马扎不能符合他的要求．21．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠D＝∠CAE．∴△ABD∽△ECA；（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∵△ABD∽△ECA，∴，∴，∴BD＝9．22．【解答】解：（1）∵AB＝20，∴A（﹣10，0），B（10，0），∵h＝5，∴C（0，5），设抛物线的解析式为y＝a（x+10）（x﹣10），∴﹣100a＝5，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5；（2）设圆心为O，连接OC交AB于E点，连接AO，∵AB＝20，∴AE＝10，∵h＝5，∴CE＝5，在Rt△AEO中，AO2＝AE2+OE2，∴AO2＝100+（OA﹣5）2，解得AO＝12.5，∴该圆弧所在圆的半径12.5米；（3）抛物线型方案货船不能顺利通过该桥；圆弧型方案货船能顺利通过该桥；理由如下：①在抛物线型上时，当x＝7.5时，y≈2.19，∵2.19米＜2.2米，∴货船不能顺利通过该桥；②在圆弧型时，设EG＝7.5米，过点G作FH⊥AB交弧BC于点F，过点O作OH⊥FH交于H点，连接OF，∴OH＝EG＝7.5米，在Rt△OHF中，OF2＝OH2+FH2，∴12.52＝7.52+FH2，∴FH＝10米，∵GH＝OE＝12.5﹣5＝7.5（米），∴FG＝2.5米，∵2.5米＞2.2米，∴货船能顺利通过该桥．23．【解答】（1）解：若m＝1，则二次函数为y＝x2+4x﹣1，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2+4×（﹣1）﹣1＝﹣4，∴点P（﹣1，﹣4）在此函数的图象上；（2）解：∵此函数图象经过点（m2，2m﹣3），∴2m﹣3＝m4+4m3+2m﹣3，∴m4+4m3＝0，解得m＝0或m＝﹣4．（3）证明：∵此函数图象经过点M（a，c），N（2m﹣4+a，c），∴＝﹣，即a+m﹣2＝﹣2m，∴a＝2﹣3m，∴N（﹣2﹣m，c），∴c＝（﹣2﹣m）2+4m（﹣2﹣m）+2m﹣3＝﹣3m2﹣2m+1＝﹣3（m+）2+，∴c≤．24．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠ABE，∵∠ABC＝90°，AD⊥AC，∴∠D+∠ACD＝∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC；（2）解：①过点D作DG⊥BC交延长线于点G，连接OD，设圆的半径为r，∵△ABC是等腰直角三角形，∠DAC＝90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴四边形BODG是正方形，∴DG＝BG＝r，BC＝2r，∴tan∠BCD＝；②设圆的半径为r，则AD＝r，AC＝2r，过E点作EH⊥BC交于H点，∴tan∠EBC＝tan∠ACD＝，∴BH＝2EH，BE＝EH，∵tan∠BCD＝，∴HC＝3EH，CE＝EH，∴＝；（3）连接AE，∵AB是圆的直径，∴∠AEB＝90°＝∠DAC，∵∠ADC＝∠ABE，∴△ABE∽△CDA，∴＝x，∵∠FAE＝∠FCA，∠AFE＝∠CFA，∴△FAE∽△FCA，∴＝＝＝x，∴＝＝x2，∴y＝＝x2﹣1．。

2023-2024学年衡阳市期末联考九年级上数学检测卷班级：姓名：准考证号：(本试卷共4页，25题，全卷满分：120分，考试用时：120分钟)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，将答题卡上交。

一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列四个实数中，最大的数是（）A. B.0C.4- D.π2.一元二次方程32-=0的解是（）A.=0B.1=0，2=3C.1=0，2=13 D.=133.关于的一元二次方程2+4+=0有两个实数根，则的取值范围是（）A.≤−4B.≥−4C.≤4D.＞44.在Rt△ABC 中，∠C= 90，若AB=5,cosB=54,则AC 为（）A.512B.3C.4D.55.在一个不透明的盒子中装有2个白球,若干个黄球它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个白球的概率是31，则黄球个数为()A.2 B.3 C.4D.66.河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB 的坡比为1:3，则AC 的长为()A.53米B.102米C.15米D.10米BCA7.若85b a =，则a ab -等于（）A.53 B.35 C.58D.858.下列各点中，抛物线=2-4-4经过的点是（）A.（0，4）B.（1，-7）C.（-1，-1）D.（2，8）9.如图，在平行四边形ABCD 中，EF∥AB,DE:EA=2:3，EF=4,则CD 的长为()A.316 B.8C.10D.1610.已知二次函数=B 2+B +（≠0）的图像如图，下列5个结论：①B ＜0，②3+＞0，③4+2+＜0，④2+=0，⑤2＞4B 其中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题（每小题3分，共18分）11.若二次根式3−5有意义，则的取值范围为。

九年级（上）期末检测数学试卷（本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟）考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效第一部分选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列美丽的图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件为随机事件的是（）A．负数大于正数B．三角形内角和等于180°C．明天太阳从东方升起D购买一张彩票，中奖3．如图，内接于，，则的度数为（）第3题图A．B．C．D．4．如图，在中，，若，则等于（）第4题图A．B．C．D．5．判断方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根6．已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（）A．12B．24C．D．7．二次函数，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图像的对称轴为直线C．图象的顶点坐标为D．当时，随的增大而减小8．杨辉是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家．他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”．他所著《田亩比类乘除算法》（1275年）提出这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）问阔及长各几步．”若设阔为x步，则可列方程（）A．B．C．D．9．如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸（），则的长应是（）第9题图A．10B．12C．15D．1610．如图，，，将绕点逆时针旋转至，使得点恰好落在上，与交于点，则为（）第10题图A．B．C．D．第二部分非选择题（共90分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则______．12．如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，那么的对应点的坐标是______．第12题图13．星海公园的东、西、北三个方向上各有一个入口，周末佳佳和琪琪随机从一个入口进入星海公园游玩，则佳佳和琪琪恰好从同一个入口进入该公园的概率是______．14．如图，在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上，且轴，，，若反比例函数的图象经过线段的中点，则的值为______．第14题图15．如图，在矩形中，，对角线相交于点，点在射线上运动，过点作交射线于点，当时，的面积为______．第15题图三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（每题5分，共10分）（1）解方程：；（2）抛物线的顶点坐标为，且经过点．求该拋物线的解析式．17．（本小题8分）如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，求树高．第17题图18．（本小题9分）某校准备组织九年级同学去“发现王国”秋游，九年级1班数学兴趣小组对本班同学对“发现王国”的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：第18题图（1）九年级1班共有学生______名，扇形统计图中C类所在扇形的圆心角度数为______；（2）九年级共有学生600人，请根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？（3）九年级1班在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，想从中随机抽取两名同学担任“秋游策划师”，用画树状图或列表的方法求出抽到的一男一女的概率．19．（本小题8分）某网店专门销售某种品牌的产品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．第19题图（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天该产品的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？20．（本小题8分）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）第20题图1 第20题图2（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．21．（本小题8分）如图，为的外接圆，的角平分线交于点，连接，作交延长线于点，使得．第21题图（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径．22．（本小题12分）【发现问题）】大连理工大学主楼前广场修建了一个圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA，在水管的顶端A处安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．爱思考的小丽建立了如图所示的平面直角坐标系．【提出问题】怎样求从喷水头喷出的某条水柱的抛物线解析式呢？【分析问题】若喷出的水柱轨迹AB上某一点与水管OA的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．小丽在喷泉安装工人师傅的帮助下，测量记录了下面的表中y与x的五组数据：024102【解决问题】（1）求水柱轨迹所在拋物线的解析式；（2）求水柱落地点与水管的水平距离；（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：喷水头的高度不变，调整喷水头的角度，使喷出的水柱轨迹的形状不变，水柱轨迹的喷水半径（动态喷水时，点到的距离）随着音乐的节奏控制在到之间（含和），当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为；当喷水半径为时，水柱轨迹的最大高度为，求的值．第22题图23．（本小题12分）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，你能得到哪些结论呢？①小明说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，的度数是固定的，我能求出的度数”；小强说：“在点的运动过程中，只要保证在边的右侧，我能得到从点发出的三条线段的数量关系”．②小涛说：“我利用，如图2，在上截取，连接，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求的度数，并探究线段的数量关系．第23题图1 第23题图2【类比分析】（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．如图3，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的左侧，连接，过作于点，求证：．第23题图3【学以致用】（3）如图4，在中，为上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，且在边的右侧，连接，过作于，线段的中点为，连接，若，求四边形的面积．第23题图4答案及评分标准一、选择题1．B；2．D；3．C；4．A；5．B；6．C；7．D；8．C；9．A；10．C二、填空题11．5 12．13．14．5 15．20或．15．解析：当点在线段上时，过点作于点于点，如图1，第15题图1四边形为矩形，为中点，为中点，，同理，，，又，，四边形为矩形，，的面积为；当点在线段的延长线上时，过点作于点于点，如图2，第15题图2此时，同理，，的面积为．三、解答题16．解：（1），，方程有两个不等的实数根，，即；（2）抛物线的顶点坐标为设抛物线的解析式为，代入点得，解得，该抛物线的解析式为．17．解：，，，即，解得，．答：树高为10.5米．18．解：（1）九年级1班共有学生为：（名），扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为；（2）类的人数有：（人），估计九年级学生选择类大约有（人），答：估计九年级学生选择类的大约有90人；（3）画树状图如下：由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，即：男男，男女，男女，男男，男女，男女，女男，女男，女女，女男，女男，女女，这些结果出现的可能性相等，其中一男一女的结果有8种，即：男女，男女，男女，男女，女男，女男，女男，女男，（抽到的一男一女）．19．解：（1）设，将代入，得：，解得：，则；（2）设每天获取的利润为，则，又，，抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值为，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．20．解：（1）如图，过作于，第20题图在中，，米，，米．答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；（2）四边形为矩形，米，米，米，在中，，米，又在中，，米，，米．米．米，答：水平横管的长度约为0.5米．21．（1）证明：连接，则，，，，是的半径，为的切线；第21题图（2）解：设交于点，的角平分线交于点，垂直平分，，在中，，，，在中，，解得的半径长为．22．解：（1）抛物线过点设抛物线的解析式为，把代入得：，解得，；（2）在中，令，则，（舍），水柱落地点与水管的水平距离为米．（3）抛物线的形状不变，喷水头的高度不变，抛物线过，设调整后抛物线的解析式为，代入，解得，代入，解得，，抛物线的顶点纵坐标为，．23．解：（1）在上截取，连接．如图1，．是等边三角形，．线段绕点逆时针旋转得到线段，，即．在和中，，．．．．第23题图1 第23题图2（2）证明：在上截取，连接．如图2，．是等边三角形，．线段绕点逆时针旋转得到线段．，即在和中，，．又为等边三角形．．（3）解：连接，如图3．线段绕点逆时针旋转得到线段．是等边三角形．，为中点，．在中，于．．又，即，．在上截取，由（1）得是等边三角形．．．过作于．．．四边形的面积．第23题图3。

福建省福州市屏东、延安、十六中联考2024-2025学年上学期九年级期中考数学试卷一、单选题1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用配方法解一元二次方程2450x x --=的过程中，配方正确的是（）A ．2(2)1x +=B ．2(2)1x -=C ．2(2)9x +=D ．()229x -=3．如图，在O 中，60ABC ∠=︒，则AOC ∠等于（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．抛物线223y x =+与y 轴的交点是（）A ．()0,5B ．()0,3C ．()0,2D ．()2,15．正多边形的中心角为45︒，则正多边形的边数是（）A ．4B ．6C ．8D ．126．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转100°，得到ADE V ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．在平面直角坐标系中，ABC V 三个顶点的坐标分别为(4,2),(2,0),(0,0)A B C ，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B C ''' ，则点A '的坐标为（）A ．(2,1)B ．(1,2)或(1,2)--C ．(2,1)或(2,1)--D ．(1,2)--8．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE BD 、，且AE BD 、交于点F ，:4:25DEF ABF S S = ，则:DF BF 为（）A ．2:5B ．2:3C ．3:5D ．3:29．已知抛物线²y ax bx c =++，y 与x 的部分对应值如表所示，下列说法错误是（）x 1-0123y343mA ．开口向下B ．顶点坐标为(1,4)C ．当1x <时，y 随x 的增大而减小D ．0m =10．如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，以点C 为圆心作C 与直线BD 相切，点P 是C 上一个动点，连接AP 交BD 于点T ，则ATPT的最小值是（）A ．35B ．1CD ．12二、填空题11．在直角坐标系中，若点()1,A a ，点(),2B b -关于原点中心对称，则a b +=．12．已知关于x 的一元二次方程20x x m -+=有一个根为2-，则m =13．在ABC V 中，MN BC ∥分别交AB 、AC 于点M 、N ；若1AM =，2MB =，9BC =，则MN 的长为．14．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠A ＝100°，则∠DCE 的度数为；15．若圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是cm ．（结果保留π）16．关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程2220y ny m ++=同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②22m n <③()()22112m n -+-≥；④1221m n -≤-≤，其中正确结论的结论是．三、解答题17．用适当的方法解下列方程：(1)2240x x +-=(2)()3284x x x-=-18．已知()2310x a x a ++++=是关于x 的一元二次方程，求证：方程总有两个不相等的实数根．19．为了测量水平地面上一棵直立大树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在与树底端B 相距8米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝1.6米，观察者目高CD ＝1.5米，求树AB 的高度．20．如图1、图2，AOB V ，COD △均是等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，(1)在图1中，求证：AC BD =；(2)若COD △绕点O 顺时针旋转一定角度后如图2所示，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？21．如图，AB 是O 的直径，过点A 作O 的切线AC ，点P 是射线AC 上的动点，连接OP ，过点B 作BD OP ∥，交O 于点D ，连接PD ．(1)请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)证明：PD 是O 的切线．22．如图，四边形ABCD 内接于O ，BD 为O 的直径，AC 平分,∠=BAD CD ，点E 在BC 的延长线上，连接DE ．(1)求直径BD 的长；(2)若BE =23．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P 距离地面高度为8米，宽度OM 为16米．现以点O 为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图所示）．(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；24．问题背景：如图1，已知ABC ADE △△∽，求证：ABD ACE ∽；尝试运用：如图2，在ABC V 中，点D 是BC 边上一动点，90BAC DAE ∠=∠=︒，且ABC ADE ∠=∠，4,3,AB AC AC ==与DE 相交于点F ，在点D 运动的过程中，连接CE ，当12CE CD =时，求DE 的长度；拓展创新：如图3，D 是ABC V 内一点，BAD CBD ∠=∠，12CD BD =，=90BDC ∠︒，3AB =，AC =AD 的长．25．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图1，E 为线段BC 上方的抛物线上一点，EF BC ⊥，垂足为F ，EM x ⊥轴，垂足为M ，交BC 于点G ．当BG CF =时，求EFG 的面积；（3）如图2，AC 与BD 的延长线交于点H ，在x 轴上方的抛物线上是否存在点P ，使OPB AHB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．。

2023—2024学年度第一学期九年级质量检测数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知点在半径为的内，且，则的值可能为（）A．1B．2C．3D．43．将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为（）A．B．C．D．4．若关于的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数（）的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．在中，，，，则的长为（）A．B．2C．3D．6．已知点，分别在边，的延长线上，下列条件中一定能判断的是（）A．B．C．D．7．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线交反比例函数（）和（）的图象于，两点，是轴上任意一点，则的面积为（）第7题图A．2B．3C．6D．128．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（）第8题图A．B．C．D．9．如图，是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则（）第9题图A．3:4B．4:1C．4:3D．4:910．如图是抛物线（）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若，且，则，则命题正确的个数为（）第10题图A．5B．4C．3D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．若，则______．12．在正方形网格中，如图放置，则的值为______．第12题图13．已知，在二次函数的图象上，则______．（填“＞”“＜”或“＝”）14．如图，是的直径，点，在上，且在两侧，于点交线段于点，，．第14题图（1）______；（2）若，则______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．计算：．16．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体压强是气球体积的反比例函数，其图象如图所示，若气体压强为时，求气球体积．第16题图四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，的顶点和定点都在单位为1的正方形网格的格点上．第17题图（1）画出以点为旋转中心、按顺时针方向旋转90°后得到的；（2）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，使它与的相似比为2:1，且位于点的右侧．18．如图，是的内切圆，与，，分别相切于点，，，．求的大小．第18题图五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为15°的方向升空，到达处，这时在处的正东方向200米的处测得的仰角为30°（，，，在同一平面内）．求，之间的距离．（结果精确到1米，）第19题图20．已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的长．六、（本题满分12分）21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，与轴、轴交于，两点．第21题图（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若点是第四象限内反比例函数图像上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标．七、（本题满分12分）22．一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出80斤，通过调查发现，这种橘子每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．（1）若将橘子每斤的售价降低元，则每天的销售量是______斤（用含的代数式表示）；（2）销售这批橘子要想每天盈利280元，且保证每天至少售出220斤，那么水果店需将每斤的售价降低多少元？（3）当每斤橘子售价为多少元时，才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少？八、（本题满分14分）23．如图，是的直径，点为上一点，，垂足为，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．第23题图（1）求证：是的切线；（2）求证：；（3）若的半径为，，求的长．2023—2024学年度第一学期九年级质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）题号12345678910答案C D D B D C B A A C 10．C 对称轴为直线，，故①正确；，当时，，即，故②错误；对称轴是直线，与轴的一个交点是，则与轴的另一个交点是，故③正确；将抛物线向下平移3个单位，得到，顶点坐标变为，此时抛物线与轴只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故④正确；若，则，即，，关于抛物线的对称轴对称，，故⑤错误．故选C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．12．2 13．＞14．（1）；（2）．（1）是直径，，在中，，．设，则，，，，，，又，，，即，，；（2）如图，连接，第14题答案图是直径，，又，，，，，，解得（负值舍去），．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式．16．解：设与之间的函数关系式为，则，函数关系式为，将代入中，得，解得，当气球内气体压强为时，气球体积为．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．解：（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求．第17题答案图18．解：如图，连接，，第18题答案图，，是的内切圆，与，分别相切于点，，，，，，．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：如图，过点作，垂足为，第19题答案图由题意得，米，，，，在中，，（米），在中，（米），，之间的距离约为141米．20．解：（1）将，代入，得，解得，抛物线对应的函数表达式为，（2）由题意得，点的坐标为，易得直线的表达式为，则设点的坐标为，点与点关于轴对称，点的坐标为，又点在抛物线上，，解得，，又点不与点重合，，点的坐标为，点的坐标为，．六、（本题满分12分）21．解：（1）点在反比例函数的图像上，，解得，反比例函数的表达式为；点在反比例函数的图象上，，解得，．点，在一次函数的图象上，，解得，一次函数的表达式为；（2）由（1）知一次函数的表达式为，令，得；令，得，即，，，，，，，设点，，解得，点的坐标为．七、（本题满分12分）22．解：（1）将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是（斤），故答案为：；（2）根据题意得，，解得，，当时，销售量是（斤）；当时，销售量是（斤）．每天至少售出220斤，．答：水果店需将每斤的售价降低1元；（3）设每斤的售价降低元，每天获利为元，根据题意得，，当时，有最大值，最大值为288元，此时售价为（元），答：当每斤橘子售价为元时，才能在一天内获得最大利润，最大利润是288元．八、（本题满分14分）23．解：（1）证明：，，，，，，，即，，是的直径，是的切线；（2）证明：如图，连接，，，，，，，；（3）如图，连接，是的直径，，的半径为，，又，，，，，．，垂足为，在中，，，，，由（1）知，，，，，．第23题答案图。

九年级数学模拟试题（2023.3）本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。

答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置。

考试结束后，将答题卡和试卷一并交回。

注意事项：1．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。

2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整，务必在答题卡题号所指示的答题区域内作答。

第I卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．64的算术平方根是（）A．8B．±4C．±8D．42．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．B．C．D．3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到1500000次，数据1500000用科学记数法表示为（）A．1.5×105B．1.5×106C．0.15×105D．1.5×1074．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2＝（）A．25°B．35°C．45°D．55°5．民族图案是数学文化中的一块瑰宝，下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A ．ab ＜0B ．a +b ＞0C ．|a |＞|b |D ．a +1＜b +17．将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．128．如果a +b ＝2，那么代数式(a −b 2a )⋅aa−b 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣19.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论：①四边形AECF 是菱形；②∠AFB ＝2∠ACB ；③AC •EF ＝CF •CD ；④若AF 平分∠BAC ，则CF ＝√3AB ．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.若二次函数y ＝ax 2﹣2x +5的图象在直线x ＝2的右侧与x 轴有且只有一个交点，则a 的取值范围是（ ）A. a <−14 B. a =15 C. a <−14 或a =15 D. −14<a <0或a =15第II卷（非选择题共102分）二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．因式分解：x2﹣6x+9＝．12．已知关于x的一元二次方程x2+ax+4＝0有一个根为1，则a的值为．13.小华在如图所示的4×4正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是．第13题图第14题图14.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，正六边形的边长为2√3，则阴影部分的面积为．15. 学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x （秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是．第15题图第16题图16.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝5．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则tan∠DAE= .三．解答题（共8小题）17．（6分）计算：|−√3|+（15）﹣1−√27+4cos30°．18．（6分）解不等式组：{x−3(x−2)≥4x−23＜x+1，并写出该不等式组的非负整数解．19．（6分）如图，E ，F 是▱ABCD 的对角线AC 上两点，且AF ＝CE ，求证：DF ∥BE ．20．（8分）为了解学生对校园安全知识的掌握情况，现随机选取甲，乙两个班，从中各随机抽取20名同学组织一次测试，并对在本次测试成绩（满分为100分）进行统计学处理，过程如下： 【收集数据】甲班20名同学的成绩统计数据：（单位：分） 87 90 60 77 92 83 56 76 85 71 95 95 90 68 78 80 68 95 85 81乙班20名同学中成绩在70≤x ＜80分之间数据：（满分为100分）（单位：分） 70 72 75 76 76 78 78 78 79 【整理数据】（成绩得分用x 表示） （1）完成下表甲班成绩得分扇形统计图（x 表示分数）【分析数据】请回答下列问题： （2）填空：（3）在甲班成绩得分的扇形统计图中，成绩在70≤x ＜80的扇形所对的圆心角为 度． （4）若成绩不低于80分为优秀，请以甲班、乙班共40人为样本估计全年级1600人中优秀人数为多少？A甲班21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，过点B 作BH⊥CD于点H.（1）求证：∠BAC＝∠BCD；，求BH的长．（2）若⊙O的半径为5，sin∠BAC=√5522. （8分）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD＝EF，测速仪C和E之间的距离CE＝750m，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°，小汽车到测速仪C的水平距离AD=14 m，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．（1）求A，B两点之间的距离（结果精确到1m）；（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：√3≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）23.（10分）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．某学校准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？24．（10分）如图1，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y=k2x在第一象限交于M（1，4）、N(4，m)两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN.（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）若△PMN的面积为9，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，若点E为直线PM上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．图1图225．（12分）【特例感知】（1）如图1，已知△AOB 和△COD 是等边三角形，直接写出线段AC 与BD 的数量关系是 ； 【类比迁移】（2）如图2，△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠BAO ＝∠DCO ＝90°，请写出线段AC 与BD 的数量关系，并说明理由． 【方法运用】如图3，若AB ＝6，点C 是线段AB 外一动点，AC ＝2√3，连接BC ．若将CB 绕点C 逆时针旋转90°得到CD ，连接AD ，求出AD 的最大值.图1图2A图326. （12分）如图，抛物线y=a x2+b x+4与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接AP，交线段BC于点D，若PDDA =15，求m的值.（3）如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H，与直线AP，BP分别交于E、F两点．试问EH+FH 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．图1图2。

2024-2025学年度上期五校第二次联考九年级数学试卷考试时间：120分钟一、单选题（每小题4分，共40分）1．新能源汽车逐步成为支撑全球汽车销量增长、推动全球汽车产业升级的重要力量．其中，我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．2024年5月份，龙头企业比亚迪遥遥领先，小米SU7汽车销量创历史新高．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列事件属于必然事件的是（ ）A ．挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数B ．车辆随机经过一个路口，遇到红灯C ．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上D ．任意画一个三角形，其内角和是180度3．若关于x 的一元二次方程有实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．且D ．且4．关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是（ ）A ．对称轴为直线B ．顶点坐标为C ．可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到D ．在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小5．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．6．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我区全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，三个月累计进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．B ．C ．D．2210kx x --=1k ≥1k ≤-1k ≥-0k ≠1k ≤-0k ≠221y x =-+1x =()2,1-22y x =-()14,A y -()21,B y -()31,C y 245y x x =+-1y 2y 3y 123y y y <<312y y y <<213y y y <<132y y y <<()40011456x +=()()2400140011456x x +++=()240011456x +=()()2400400140011456x x ++++=7．如图，是的弦，交于点C ，点D 是上一点，连接，．若，则的度数为（ ）A ．26°B ．32°C ．58°D ．64°8．下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第①个图形中有4朵梅花，第②个图形中有8朵梅花，第③个图形中有14朵梅花，第④个图形中有22朵梅花．按此规律摆放下去，则第⑦个图形中梅花朵数为（ ）A ．44B ．58C ．74D ．929．如图，正方形中，E 为边上一点，连接，将绕点E 逆时针旋转90°得到，连接、，若，则一定等于（ ）A ．B ．C ．D．10．，，，，…是由，交替排列的n 个多项式，其中，将这n 个多项式中的任意m 个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第1次操作（，且m ，n 均为整数）；在第1次操作的基础之上再将任意m 个多项式中的每一项都改变符号，其余不变，称为第2次操作；按此方式操作下去…例如：当，时，第1次操作后可能得到：，，或，，或，，．下列说法：①当n 为奇数时，无论进行多少次操作，都不可能使得到的n 个多项式的和为0；②当，时，至少需要进行3次操作，才能使得到的6个多项式的和中不含a ；③当，时，3次操作后得到的6个多项式求和，共有8种可能出现的结果．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3AB O OC AB ⊥O O BD CD 32D ∠=︒OAB ∠ABCD BC DE DE EF DF BF ADF α∠=EFB ∠α45α︒-903α︒-12αa b -a b +a b -a b +a b -a b +a b ≠1m n ≤≤3n =2m =a b -+a b --a b -a b -+a b +a b -+a b -a b --a b -+6n =5m =6n =3m =二、填空题（每小题4分，共32分）11．若点与点关于原点对称，则________．12．若是关于x 的一元二次方程，则a 的值为________．13．在化学课上，王老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将3种常见的生活现象制成背面完全相同的卡片，卡片上的内容分别是“火柴燃烧”、“水结成冰”、“灯泡发光”，然后将所有卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是化学变化的概率是________．14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是________．15．如图，在中，已知，，C 与的中点D ，并以为直径作半圆，与边和分别交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留）16．在2024年巴黎奥运会上，中国跳水队包揽了所有跳水项目的金牌，实现了历史性的突破．运动员进行10m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员起跳后的运动时间t （s ）和运动员距离水面的高度h （m ）之间满足关系：，那么运动员完成规定动作的时长最多为________s ．（结果保留根号）17．若a 使关于x 的分式方程有整数解，且使关于y 的一元二次方程(),3P x -()4,Q y ()2024x y +=()1140a a x -+-=2y ax =y bx c =+()3,6A -()1,3B 2ax bx c ≥+Rt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒AC =AB CD BC AB π211655416h t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭33122ax x x x--=--()21520a y y ---=有实数根，那么满足条件的所有整数a 的和为________．18．对于一个四位自然数M ，满足千位上的数字与个位上的数字之和等于百位上的数字与十位上的数字之和，那么就称这个数为“凤翔数”．例如，，因为，所以5241是“凤翔数”，则最小的“凤翔数”是________；若“凤翔数”，使二次函数与x 轴有且只有一个交点，且满足，则满足条件的M 的最大值为________．三、解答题（第19题8分，第20-26题每小题10分，共78分）19．解一元二次方程．（1）（2）20．在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：（1）如图，在平行四边形中，于点E ．用尺规过点A 作的垂线，垂足为点F （不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：平行四边形中，于点E ，于点F ．求证：四边形是矩形．证明：∵四边形是平行四边形，∴，，①________．∵．在和中，∴．∴，②________．∴，即③∴四边形是平行四边形．又∵，∴四边形是矩形．进一步思考，如果四边形是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是④________．21．某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试，并将20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理描述和分析（测试满分为10分），收集5241M =5124+=+100010010M a b c d =+++()2y ax b c x d =+++2033a b c d ≤+++≤()()424x x x +=+22430x x +-=ABCD CE AD ⊥BC ABCD CE AD ⊥AF BC ⊥AFCE ABCD AB CD =AD BC =90AFB CED ︒∠=∠=ABF △CDE △AFB CED B DAB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABF CDE △≌△AF CE =BC BF AD DE -=-AFCE CE AD ⊥AFCE ABCD整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组a 88乙组8.3b c根据以上信息，回答下列问题．（1）填空：________，________，________；（2）该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到9分及以上的人数；（3）现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．22．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，东部华侨城景区成为深圳著名旅游“网红打卡地”．已知在2024年“十一”长假期间，东部华侨城景区共接待游客达20万人次，其中该景区的成人票每张200元，学生票按成人票五折优惠．某班在该景区内组织活动，教师和学生一共去了30人，门票共需3300元．（1）参与活动的教师和学生各有多少人？（2）在该景区内有一家奶茶店销售的一款奶茶备受游客喜爱，店家决定在2024年“十一”期间进行降价促销活动，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家实现相应的利润额．请依据以上对话，完成本题．23．如图，为直径，点C 为上一点，平分，，垂足为H ，交于点D ．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的直径．a =b =c =AB O O AC HAB ∠AH CH ⊥AH O HC O 8HC =4DH =O24．如图，矩形中，，，点F 是线段的中点．动点P 从点A 出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q 从点B 出发沿折线B →C →F 方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q 到达点F 时，P 、Q 两点都停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒，的面积为y ．（1）请直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（面积不为0）；（2）在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图像，写出的面积为1时x 的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于，两点．交y 轴于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线上方抛物线上的一动点，过点P 作轴交于点E ，在y 轴上取一点F ，使得，求的最大值及此时点P 坐标；（3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上确定一点M ，使得．写出所有符合条件的点M 的横坐标，并写出求解点M 的横坐标的其中一种情况的过程．26．在等边中，点D 为边上一点，连接．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2，将线段绕A 点顺时针旋转120°至位置，连接，交于点F，求证：ABCD 4AB =2BC =CD AB PBQ △PBQ △22y ax bx =++()1,0A -()6,0B BC PE y ∥BC EF EC =PE CF +BC 2BCM OBC ∠=∠ABC △BC AD 15CAD ∠=︒2BD =AB AD AE CE AB．（3）如图3，在（2）的条件下，若点D 为直线上一点，过点E 作于点G ，，连接，，当取得最小值时，请直接写出的面积．AF CD BF +=BC EG BC ⊥4BC =FG BE 2BE FG +BCE △。

2023年黑龙江省绥化市肇东市南片九年级（五四制）下学期五校联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．中国每年可对价值6.45亿美元的美国进口商品征收关税．其中的6.45亿用科学记数法表示为（ ）A ．76.4510⨯B ．764.510⨯C ．86.4510⨯D ．90.64510⨯ 2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图是它的主视图和俯视图，该几何体最少要用a 个立方块搭成，最多要用b 个立方块搭成，则a b -等于（ ）A ．5-B ．3-C ．2-D ．4- 4．函数=y x 的取值范围是（ ） A ．0x >且5x ≠B ．5x ≥C ．5x >D ．5x ≤ 5．规定一种新运算“※”，如果a ，b 是有理数，那么2b b a b a =-※，则23※等于（ ） A ．3 B ．6 C ．2 D ．0 6．下列命题是真命题的是（ ）A ．Rt ABC △的两边为3，4，则斜边上的高是125B ．角是轴对称图形，它的平分线所在的直线就是它的对称轴C ．三角形三个内角平分线的交点到三个顶点的距离相等D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．下列运算正确的是（ ）A ．33a a a ÷=B ．3264312a a a ⋅=C ．()326a a =D ．()32639a a = 8．如图，在Rt ABC △中，90B ??，3AB =，5AC =，点P 从点A 出发沿A B C →→的路径运动到点C 停止，点Q 以相同的速度沿A C →的路径运动到点C 停止，连接PQ ，设点P 的运动路程为x ，APQ △的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．爱心文具店购进A ，B 两种款式的圆珠笔，其中A 种圆珠笔的单价比B 种圆珠笔的单价低10%．已知购进A 种圆珠笔用了810元，购进B 种圆珠笔用了600元，且所购进的A 种圆珠笔的数量比B 种圆珠笔多20盒．设文具店购进B 种款式的圆珠笔x 盒，则所列方程正确的是（ ）A ．81060010%20x x =⨯+ B ．80081010%20x x =⨯+ C ．()810600110%20x x =-⨯+ D ．()()81060020110%x x x =⨯+- 10．已知不等式组1,x x a ≥⎧⎨<⎩至少有两个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．23a <≤ B ．23a ≤< C ．2a ≥ D ．2a > 11．如图，AB 为O e 的直径，且4AB =，C 为»AB 的中点，四边形OACD 为平行四边形，BD 是O e 的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2π-B ．π42-C ．π22-D ．2π23- 12．如图，在正方形ABCD 中，E 是线段CD 上一动点，连接AE 交BD 于点F ，过点F作FG AE ⊥交BC 于点G ，连接AG EG ，，现有以下结论：①AFG V 是等腰直角三角形；②DE BG EG +=；③点A 到EG 的距离等于正方形的边长；④当点E 运动到CD 的三等分点时，12BG BC =或13BG BC =．以上结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．某冷库的温度是10C -︒，下降了4C ︒，则变化后的冷库的温度是__________C ︒． 14．若式子121x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 15．因式分解：328x x -=______．16．若一组数据1，x ，3的平均数为x ，则这组数据的方差是______．17．化简：2211()422m m m m +÷=--+_____． 18．若圆锥的底面直径为6cm ，母线长为10cm ，则圆锥的侧面积为______2cm ． 19．如图，轮船B 在码头A 的正东方向，与码头A 的距离为100海里，轮船B 向北航行40海里到达C 处时，接到D 处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到D 处，解教渔船后轮船沿南偏西82°返回到码头A ，那么码头A 与D 的距离为__________海里．（结果保留整数，参考数据：sin320.5︒≈，cos320.8︒≈，tan320.6︒≈．）20．甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲乙两人工效率相同，结果提前4天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是________．21．菱形ABCD 中，60B ∠=︒，以AC 为边长作正方形ACEF ，连接FD ，则EFD ∠的度数为__________．22．如图，点()0,1A ，点()12,0A ，点()23,2A ，点()35,1A ，按照这样的规律下去，点2022A 的坐标为______．三、解答题23．已知ABC V ，90C ∠=︒，3AC =，8BC =．(1)试用直尺和圆规作AB 的中垂线．（不写作法，保留痕迹）(2)AB 的中垂线交BC 于点D ，求ACD V 的面积．24．关于x 的一元二次方程()22310a x x +-+=有实数根．求：(1)求a 的范围；(2)设12x x 、为方程的两个根，且2212124x x x x +=，求a 的值？ 25．如图，已知一次函数()110y k x b k =+≠和反比例函数()2220k y k x =≠的图像交于点()3,2A -，()1,B m ，求：(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)在y 轴取一点P ，当PAB V 的面积为6时，求P 的坐标？(3)当x 取何值时，21y y >？26．已知：O e 内接ABC V ，CD 平分ACB ∠交AB 于点E ，交O e 于点D ，AF 平分BAC ∠交CD 于点F ，连接AD 、BD ．(1)求证：AD BD =；(2)求证：DAF AFD ∠=∠；(3)若点E 为DF 中点，2BD =，求CF 长．27．已知菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，点E F 、分别在AB ，BC 上，BE CF =，AF 与CE 交于点P ．(1)求证：60APE ∠=︒；(2)当1PC =，5PA =时，求PD 的长？(3)当AB =PD 的最大值？28．已知：如图，二次函数()24120y ax ax a a =--<与x 轴交于点A ，B ，点A 在点B 左侧，交y 轴于点C ，2OB OC =．(1)求抛物线的解析式；(2)在第一象限的抛物线上有一点D ，连接AD ，若45DAB ∠=︒，求点D 坐标；(3)在P 在第一象限的抛物线上，PQ BC ⊥于点Q ，求PQ 的最大值？。