江苏省南京市2016届高三第三次学情调研适应性测试数学试卷 Word版含答案

南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学2018.05注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题的答案写在答题纸.上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答题纸.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.集合A= {x| x 2+ x —6 = 0} , B= {x| x 2- 4 = 0}，贝U AU B= ▲_ .2. 已知复数z 的共轭复数是—.若z（2 —i）= 5,其中i为虚数单位，则-的模为▲3. 某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在［50 , 60］元的学生人数为▲S^1I-1While I v 8S—S+ 2I —I + 3End WhilePrint S（第4题图）4. 根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为▲.5•已知A, B, C三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A与B在相邻两天值班的概率为▲x —y —3< 0,6. 若实数x, y满足x + 2y—5> 0,则丫的取值范围为▲.xy —2< 0,7. 已知a,卩是两个不同的平面，I , m是两条不同的直线，有如下四个命题:①若I丄a, I丄卩，贝U a//®；②若I丄a, a丄卩，贝U l 〃卩；③若I // a , I丄卩，贝U a丄卩；④若I // a , a丄卩，贝U l丄卩.其中真命题为▲（填所有真命题的序号）2 2x y&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线孑一b2= i（a>0, b>0）的一个焦点到一条渐近线的距离为2a,则该双曲线的离心率为▲9. 若等比数列｛a n｝的前n项和为S, n€N*,且a i=1, 9=33,贝U a?的值为▲2x + x + a, O w x w 2,10. 若f(x)是定义在R上的周期为3的函数，且f(x)= 则f(a+1)—6X+ 18, 2v x w3, 的值为▲.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆M x + y —6x—4y+ 8= 0与x轴的两个交点分别为A, B, 其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N,过点A作直线l与圆M圆N分别交于C, D两点•若D为线段AC的中点，则直线I的方程为▲.12. 在△ ABC中, AB=3,AC=2, D为边BC上一点.若広B 忌=5,卞C 怎D= —£,则匚B -T A C3的值为▲.c b13. 若正数a, b, c成等差数列，则+ 的最小值为▲.2a + b a+ 2c -----------14. 已知a, b€ R, e为自然对数的底数.若存在b€ ［—3e,—ej，使得函数f （x）= e x—ax —b在［1 , 3］上存在零点，贝U a的取值范围为▲.二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，锐角a ,卩的顶点为坐标原点O,始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P, Q已知点P的横坐标为卑7，点Q的纵坐标为3^43.(1 )求COS2 a的值；(2)求2 a — 3的值.（第15题图）16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥 P — ABC 中, PA= 6,其余棱长均为2, M 是棱PC 上的一点，D, E 分别 为棱AB BC 的中点.(1) 求证：平面PBCL 平面ABC (2) 若PD//平面AEM 求PM 的长.其中AC 为2百米，ACL BC / A 为n^.若在半圆弧駅，线段AQ 线段AB 上各建一个观赏亭D, E, F ,再修两条栈道 DE DF,使DE// AB DF// AC(1)试用B 表示BD 的长;18. (本小题满分16分)已知过点M | , 0)的直线l 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)试问x 轴上是否存在定点 N,使得_N A •"N B 为定值.若存在，求出点 N 的坐标; 若不存在，请说明理由19. (本小题满分16分)32已知函数 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0)，记 f' (x )为 f (x )的导函数. (1) 若f (x )的极大值为0,求实数a 的值；(2) 若函数g ( x ) = f ( x ) + 6x ,求g ( x )在［0,1］上取到最大值时 x 的值；a a +217.(本小题满分14分)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB AC 和以BC 为直径的半圆弧 ©C 组成,(2 )试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2 2x yC ：孑+ R = 1(a >b >0)经过点P (8 , |),离心率C(第17题图)(3)若关于x 的不等式f(x) >f' (x)在【2,亍］上有解，求满足条件的正整数a的集合.20. (本小题满分16分)若数列｛a n｝满足：对于任意n € N* , a n+ I a +1 - a n + 2|均为数列｛a n｝中的项，则称数列｛a n｝为“ T数列”.2(1)若数列｛a n｝的前n项和2n , n€ M，求证：数列｛a n｝为“ T数列”；(2)若公差为d的等差数列｛a n｝为“ T数列”，求d的取值范围；(3)若数列｛a n｝为“T数列”，a1= 1，且对于任意n€ N*，均有a・v a n+1 —a2< a n+1,求数列｛a n｝的通项公式.南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1 •附加题供选修物理的考生使用.2 .本试卷共40分，考试时间30分钟.3•答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内•试题 的答案写在答•纸.上对应题目的答案空格内•考试结束后，交回答题纸.21. 【选做题】在 A 、B C 、D 四小题中只能选做 2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4— 1:几何证明选讲1在厶ABC 中, AC = q AB M 为边 AB 上一点，△ AMC 勺外接圆交 BC 边于点N, BN= 2AM 求证：CM 是/ ACB 勺平分线.B. 选修4— 2:矩阵与变换1 2 2 0已知矩阵A 0 1 , B = 0 1 下得到直线I 1,求直线I 1的方程.C. 选修4— 4:坐标系与参数方程2018.05，若直线I : x — y + 2= 0在矩阵AB 对应的变换作用在极坐标系中，已知圆 C 经过点P (2, ~3),圆心C 为直线 sin( B —~3)= —寸3与极 轴的交点，求圆 C 的极坐标方程.D. 选修4— 5:不等式选讲已知 a , b, c € (0 ,+s )，且 a + b + c = 1,求.2a + b + 2b + c + , 2c + a 的最大值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ： y 2= 2px (p >0)的焦点为F ,点A (1 , a ) ( a > 0) 是抛物线 C 上一点，且 AF = 2. (1 )求p 的值；(2 )若M N 为抛物线C 上异于A 的两点，且 AML AN 记点M N 到直线y =— 2的距离 分别为d 1，d 2，求d 1d 2的值.23. (本小题满分10分)n € N*且 n 》2.(1) 若 f n (1) = 7g n (1)，求 n 的值；(2) 对于每一个给定的正整数 n ,求关于x 的方程f n ( x ) + g n (x ) = 0所有解的集合.n — 1 已知 f n (X )= E i = 1n — iA n x (x + 1)…(x + i—1)n rg n (x ) = A+ x (x +1)…(x + n — 1)，其中 x € R,6分又因为卩为锐角，所以cos 3 =鲁•8分(2)1 -1 =7•因为点Q 的纵坐标为善”，所以sin 3所以 COS2 a = 2cos 2 a3.*3 14 •南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学参考答案说明：i •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1. { — 3, - 2, 2} 2 • 5 3• 1504• 7 5• 262] 7 • ①③ 8.5 9• 410 • 211 • x + 2y — 4 = 0 12 • — 31314 • [e 2, 4e]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 •（本小题满分14分）COS a2 •［忏证明过程或演算步骤,因为点P 的横坐标为台7 P 在单位圆上，a 为锐角,分18.（本小题满分16分）因为a 为锐角，所以0 V 2a Vn.严n又 COS2 a > 0,所以 0 V 2 aV —,n n n又3为锐角，所以一2 V 2 a — 3 V —，所以2 a — 3 =三•14分 16.(本小题满分14分)(1)证明：如图1,连结PE因为△ PBC 勺边长为2的正三角形，E 为BC 中点， 所以PEL BC......................... 2分且 PE = )3,同理 AE= '3.因为PA={6,所以PE + A E = PA ，所以PE L AE ……4分因为 PEI BC PEI AE, B8 AE= E , AE BC 平面 ABC 所以PE 丄平面ABC因为PE 平面PBC 所以平面PBC L 平面ABC (2)解法一如图1，连接CD 交AE 于 O 连接OM因为PD//平面AEM PD 平面PDC 平面 AEI W 平面PDC= OM 所以PD// OM....................... 9分PM DO所以PC = DC................ 11分因为D, E 分别为AB BC 的中点，Cm AE= QDO 1所以O 为 ABC 重心，所以Dc = 3,1 2所以 PM= 3PO 3. ................... 14 分解法二如图2，取BE 的中点N,连接PN因为D, N 分别为AB BE 的中点， 所以DN// AE因为 a 为锐角，所以Sin a因此 sin2 a = 2sin 4护a COS a = 7所以 sin(2 a — 3 )X-壬=137 142 '-10分 12分COS a= 且 7，(图1)B又DN 平面AEM AE 平面AEM所以DN//平面AEM又因为PD/平面AEM DN 平面PDN PD平面PDN DNH PD= D,所以平面PD/平面AEM .....................................又因为平面AEM P平面PBC= ME平面PDN T平面PBC= PNPM NE所以ME/ PN所以PC= NC ........... 11分因为E, N分别为BC BE的中点，NE 1 1 2所以3,所以PM= 3卩°= 3 - ............. 14分17.（本小题满分14分）解：（1）连结DCn在厶ABC中, AC为2百米，ACL BC / A为-,3所以/ CBA=-6 , AB= 4 , BC= 2 3. ................ 2 分一n t所以DF= 4cos 0 si n(石 +0)，......................... 6 分且BF= 4cos20 ,所以DE= AF=4- 4cos20 , ....... 8 分所以DE+ DF= 4 —4cos20 + 4 cos 0 sin(才 + 0 )= . 3sin2 0 —cos2 0 + 3n=2 sin(2 0 —~) + 3.n n n所以当20弋=n ,即0=§时，DHDF有最大值5,此时E与c重合 (13)n因为BC为直径，所以/ BDC= y ,所以BD = BC cos 0 cos 0 . ............ 4分所以—sin( DFn0+石)BFnsin( — - 0 )BDsin / BFD12分n n 因为~3 w 0 <_2，n 5 n 6 < "6(2)在厶BDF中，/ DBF= 0 +： , / BFD=才,BD- 2 3cos 0 ,精品文档答：当E与C重合时，两条栈道长度之和最大. 14分分18.（本小题满分16分）精品文档当I 斜率不存在时,2y ),氏5，—y )，则 y 2= 1 2 2(5)24 25则-N A H NB = (5— n )「—y =(5— n )224 2 4 425=n — 5n —5,当 I 经过左？右顶点时， "N A "N B = ( — 2 — n )(2 — n ) = n — 4. 2 44 2令 n — n — = n — 4，得 n = 4.F 面证明当N 为(4 , 0)时，对斜率为k 的直线I : y = k (x —弓,恒有~NA5 =12.设 A (X i , y i ) , B (X 2, y 2),2X 2 ’4+y =1， 由 2 消去y = k (X —-),516 2 16 y ，得(4k + 1) X — kx + k — 4= 0, 52 516 2k5所以刘+X 2= 4k 77，16 / k — 4 25 X 1X 2 =4k + 1 '10分所以 NA NB = (X 1 — 4)( X 2— 4) + yy,22 2=(X 1 — 4)( X 2 — 4) + k (X 1— 5)( X 2—5)2 2 2=(k + 1)X 1X 2— (4 + k )( X 1' X 2) + 16+ k5 2512分16 2 , 16 2k — 4 k2 25 2 2 5 4 2=(k + 1) 2 — (4 + — k ) 2 + 16+ k(2)解法设 N (n , 0),解("离心率e =|=乎，所以c =a 2- c 2= 2a ,所以椭圆 2X"2'C 的方程为4b 因为椭圆c 经过点只5, 3「 16 9 5)，所以 25b 2'25bb 21.精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分,"2 八，16.2 八 16.2,, 2 2 4"2,,"2 八(k + 1)( 25k — 4) — —k (4 + 5k ) + 25k (4k + 1)4k 2+ 116 2 k 5 所以 X 1 + X 2 = ,4k + 1tt 22 2所以 NA NB = (X 3— n )( x 4— n ) + y 5y 2= (X 1 — n )( x 2— n ) + k (X 1 — 5)(x 2 — #162k一 422 2 5 24 2 =(k + 1)2— (n + - k ) 2 + n + k 4k + 1 ' 5 74k +125(k 2+ 1)(歎—4) — 16k 2( n + |k 2) + 加4 k 2 +1)2 4k 2+ 1+ nk 2 — 416 16 2 2则(—fn — f)k — 4 = 4入k +入对任意的实数k 恒成立, 5 52 , 16 16 2k — 4( — n — )k — 45 5 --- 为常数，设2=入，入为所以在 解法设Nn , .2—16k — 4 4k 2 + 1卜16=12.x 轴上存在定点 N (4 , 0), 使得 NA NB 为定值. 16分0)，当直线I 斜率存在时, 2:y = k (x —5)，y i )，B (x 2，y 2)，设 A (X 1, 2X -4 + y =1， 由 2消去 y = k (X —-),5y ， 得(4 k 22 + 1)x + 咏—4= 0,5 254k + 1卜n 2.12分’ 16 16、T T(—尹 R若NA NB 为常数，则 2—4k +1常数,卜16^k 2— 4 25X1X2=4k 2 + 1，2=(k + 1)X 1X 2— ( n +X 1 + X 2) + n 2+ 25 k 225精品文档—4=入,此时"N A "N B = 12.14分16 16—l n — = 4 入, 所以 5 5 '所以n = 4,入=—4,由 a n v a n% — a 2 v a n + 1 ,得 1 + (n — 1)t v t [2 + (2n — 1) t ] v 1 12分所以"N A ~NB = (2-4)2-y 2= (|- 4)2 - 25= 12,所以在x 轴上存在定点 N 4 , 0)，使得_NA ~NB 为定值. .................. 16分19.(本小题满分16分)32解：(1)因为 f ( x ) = 2x - 3ax + 3a — 2 (a > 0),所以 f' (x ) = 6x 2— 6ax = 6x ( x — a ). 令 f (x ) = 0，得 x = 0 或 a ................... 2分当 x € ( —a, 0)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增； 当 x € (0 , a )时，f' (x ) v 0, f ( x )单调递减； 当 x € (a ,+^)时，f' (x ) >0, f ( x )单调递增.2故 f ( x )极大值=f (0) = 3a — 2 = 0,解得 a = 3................... 4 分32(2) g ( x ) = f ( x ) + 6x = 2x — 3ax + 6x + 3a — 2 (a > 0),22则 g '(x ) = 6x — 6ax + 6= 6(x — ax + 1) , x € [0 , 1].2① 当 0v a w 2 时，△= 36( a — 4) < 0,所以g '(x ) > 0恒成立，g ( x )在[0 , 1]上单调递增， 贝U g ( x )取得最大值时x 的值为1....................... 6分a 2② 当 a >2 时，g '(x )的对称轴 x = 2> 1，且△= 36( a — 4) >0, g ' (1) = 6(2 — a )v 0, g ' (0) = 6> 0,所以g '(x )在(0 , 1)上存在唯一零点当 x € (0 , x o )时，g '(x ) > 0, g ( x )单调递增, 当 x € (x °, 1)时，g '(x ) v 0, g ( x )单调递减,综上，当0v a w 2时，g ( x )取得最大值时x 的值为1;a —寸 a 2— 4 当a >2时，g ( x )取得最大值时x 的值为 2....... 9分32(3) 设 h ( x ) = f ( x ) — f ' ( x) = 2x — 3( a + 2) x + 6ax + 3a — 2,a a + 2则h ( x ) > 0在Q —厂]有解......... 10分2 ,2 a + 2 2 a + 4h '(x ) = 6[x — (a + 2)x + a ] = 6[( x —^) —p],a a + 2 a 3 2因为h '(x )在g , ~^)上单调递减，所以 h '(x ) v h'Q = — ?a v 0,a a + 2、所以h ( x )在(2，—厂)上单调递减,当直线l 斜率不存在时, A (2, y ), B (|,- y )，则 y 2= 1X o =a — a — 42则g ( x )取得最大值时 x 的值为X 0 =a3 2所 以 h (2 )> 0, 即 a -3a - 6a + 4............................................ 12分3 2 2设 t ( a ) = a - 3a - 6a + 4 (a > 0),贝U t ' ( a ) = 3a - 6a -6, 当 a c (0 , 1 +、2) 时，t ' ( a ) v 0, t ( a )单调递减； 当 a c (1 + ,2,+s )时，t ' ( a ) >0, t (a )单调递增.因为 t (0) = 4 > 0 , t (1) =- 4 v 0,所以 t ( a )存在一个零点m C (0....... 14分因为 t (4) =-4 v 0, t (5) = 24 > 0，所以 t ( a )存在一个零点 n C (4 , 5), 所以t ( a ) w 0的解集为[m , n ],故满足条件的正整数 a 的集合为｛1 , 2, 3 , 4｝ ................. 16分(本小题满分16分)2 2(1 )当 n 》2 时，a n = S — S-1= 2n —2(n — 1) = 4n — 2,又 a 1= S= 2 = 4x 1-2，所以 a n = 4n — 2............. 2分所以 a n + | a n +1 — a n +2| = 4n — 2+ 4 = 4( n + 1) — 2 为数列｛a n ｝的第 n + 1 项， 因此数列｛a n ｝为“ T 数列”. .......... 4分(2)因为数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，所以 a n + | a n +1- a n +2| = a 1+ (n - 1) d +1 d | . 因为数列｛a n ｝为“T 数列”，所以任意 n C N*，存在 m€ N*，使得 a + ( n - 1) d + | d | = a m ,即有(m- n ) d 6分① 若 d >0,则存在 m = n + 1 C N*，使得(n — n ) d = | d | , ② 若 d v 0,则 m= n - 1.此时，当n = 1时，m= 0不为正整数，所以 d v 0不符合题意.综上，d >0...................... 8分(3 ) 因为 a n v a n + 1, 所以 a n + | a n + 1- a n + 2| = a n + a n +2 — a n + 1 .又因为 a n v a n + a n + 2— a n + 1 = a n + 2— (a n +1 — a n ) v a n + 2,且数列｛ a n ｝为“ T 数列”， 所以 a n + a n + 2— a n + 1= a n + 1, 即卩 a n + a n + 2= 2a n + 1 , 所以数列｛a n ｝为等差数列.......... 10分设数列｛a n ｝的公差为t (t >0)，则有a n = 1 + (n - 1)t ,0.1),20. 解: |d |nt ,整理得n(2t2—t) >t2-3t + 1, ①n(t —2t ) >2t —t —1.②22 t —3t + 1若2t —t v 0,取正整数N> 2t2 t，2 2 2则当n> N0时，n(2t —t) v (2 t —t) N0v t —3t +1，与①式对于任意n€ N*恒成立相矛盾，因此2t —t >0.同样根据②式可得t —2t2> 0,2 1所以2t —t = 0•又t >0,所以t = 21经检验当t = 2时，①②两式对于任意n € M恒成立，1所以数列｛a n｝的通项公式为a n = 1 + 2 (n —1)=n+ 1......................................... 16分2 -由a n v a n% —a2v a n + 1,得1 + (n —1)t v t [2 + (2n —1) t] v 112分南京市2018届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2018.05说明：1 •本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2•对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3 •解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4 •只给整数分数，填空题不给中间分数.21 •【选做题】在A、B C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答.卷卡指定区域内作答•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4—1:几何证明选讲证明：连结MN则/ BMN=Z BCA ........ 2分又/ MBI4Z CBA 因此△MB MA CBA .......... 4分AB BN所以AB T M N• .............................. 6分1 BN又因为AC T尹3所以M N T 2, 即卩BI T 2MN .......... 8分又因为BN= 2AM所以AM= MN所以CM是/ ACB勺平分线. ...... 10分B. 选修4—2:矩阵与变换12 2 022解：因为A= ,B= ，所以AB=........ 4分010 101设点P D(X0,y°）是l上任意 -点，P0在矩阵AB对应的变换作用下得到P(X, y)因为P D(X0,y0）在直线l : x-y + 2= 0 上, 所以X0-y°+ 2 = 0 •①X0x 22X0 X由AI B = ，即c1y。

绝密★启用前【学易大联考】2016年第三次全国大联考【江苏版】数学试卷考试时间：理150分钟，文120分钟第Ⅰ卷 必做题部分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上． 1．设,a b R ∈，i ibia 231-=++，其中i 是虚数单位，则ab += ．2．已知集合{}P x x a =≤，{}4212≤<=-x x Q ，若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 3. 如图所示的流程图的运行结果是 ．4．春风商店对某类商品销售数量(单位：个)进行统计，统计时间是9月1日至9月30日，每5天一组分组统计，绘制了如图的销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的此类商品数(单位：个)为 ．5. 已知实数]10,0[∈a ，则函数3)4()(--=x a x f 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为____．6. 已知)9ln()(a xx x f -+=，若对任意的R m ∈，均存在00x >使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是 ． 7. 已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ． 8．已知正六棱锥P-ABCDEF 的侧棱SA=32,则它的体积最大值是 . 9．已知公比q 不为1的等比数列}{n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且223344,,a S a S a S +++成等差数列，则=+n n S a ．10.过平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥++≤+-020202y y x y x 内一点P 作圆O:122=+y x 的两条切线，切点分别记为A 、B,当APB ∠的度数为最小时，点P 坐标是 .11. 已知Rt △ABC 的面积为2，︒=∠90C ，点P 是Rt △ABC 所在平面的一点，满足CA CB CP 94PB PA ⋅的最大值是 .12.已知函数1234)(22--+-=a a ax x x f ，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空 集，则实数a 的取值范围为 ．13.若对于任意实数v u ,，不等式)0()()25(2222>≥-+-+t t v u v u 恒成立，则t 的最小值为 14．已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有991-+=+k ka a n n ,其中k 为不等于0与 1的常数，若{}2016,216,32,9,84,684---∈i a ，5,4,3,2=i ，则满足条件的1a 所有可能值的和为 .二、解答题：本大题共6小题，计90 分。

一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。

2016届江苏省南通市、扬州市、泰州市高三第三次调研考试数学试题数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2=-=-U A ，则U C A = .2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 .3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 .7.函数()f x =的定义域为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .9.已知两曲线)2,0(,sin 3)(,cos )(π∈==x x x g x x f 相交于点A.若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，则线段BC 的长为_____.10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为.11.设数列{}n a 满足()()()111,111*+=-+=∈n n a a a n N，则()10011k k k a a +=∑的值为 .12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为.14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥ .（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N == 分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC.17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口. （1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围； （2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11*+=+∈n n n a b S n N .（1）若11,2n na b ==，求4a 的值； （2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵112a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB 的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++.【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2*∈n n N 局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n . （1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.{}02.34i +3. 24. 35.:π6.167.(8.y x =10. -16 11.100101 12.0a <或2a > 13.1414.1,3⎡+⎣ 二、解答题15.（1）因为m n ⊥ ，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552=+⋅=由正弦定理，得sin 83sin ABC AC B=⋅==+.16.（1）设AC BN O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN = ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC . 又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN . （2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA .所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥. 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=,AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC .因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥.因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥. 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN =. 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥.因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN ,所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.17.（1）由条件，22224a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=.（方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-=.解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以AP ==O 到直线l的距离d =所以AQ ==56AP AQ ==. （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y =. 所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ= ，则1AQAPλ=-. 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=.即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =. 所以，由题意：02>k ，所以10<<λ.（方法二）由方法一知，，由题意：20k >，所以01λ<<.18.（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=.因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即x <又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >.所以x <<;（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m -. 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈.ABCDS ===矩形. 设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234fa a a a a a a =-++=+--.令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去）. 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即max 74S = （方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm . 由条件，2+26a b =，即3a b +=.因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a =-∈，从而(),1,2a b ∈.由于AB BD ==，ABCD S ==矩形.()()2228872224a b a b +--+≤≤=，当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形. 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m .19.（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③，由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符）， 所以存在实数11q λ=-，使{}n b λ+为等比数列. （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠,所以当2n ≥时，11n n n nb a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b d a a a a d d--+---==----⑥, 先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列, 因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--, 又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=-即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-, 所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d--+----=-==----- 所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（1）当0a =时，()()(),1'==+x x f x xe f x e x ,令()'0f x =，得1x =-.列表如下：)所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值. （2）①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥, 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意；②当01a <≤时，因为()()()'01cos 201cos 010x fx e x a x e a a ≥+-≥+-=-≥, 所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <, 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <=, 即当1a >时，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是(],1-∞.（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点. 当1a >时，()()'1cos 2x f x e x a x ≥+-,令()()1cos 2x g x e x a x =+-，()()'22sin 2x g x e x a x =++, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数, 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0fx =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x , 且当()00,x x ∈时，()'0f x <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >, 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭, 所以()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点. 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点. 数学II （附加题）21.A.因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠. 又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠.所以ACD BCD ∆∆ ，所以AE AC BD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅. 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠, 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE =.所以AD BC BD AC ⋅=⋅.B.设(),P x y 是直线20x +-=上一点，由1122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=.即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b +=-=-. 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=. C.曲线C的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆. 直线l的直角坐标方程为y x =. 所以线段AB的长为=. D.因为0,0,0x y z >>>,所以3333x y z xyz ++≥,3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥, 将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++, 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++.22.（1）由题意点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO , 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF ,所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上， 所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x =. （2）由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为03y ， 所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 令上式中0y =，得2016x y =-， 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE = ，所以FA BE ，又AE FB ，故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 23.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局， 故()222122222111222n n n n n n n n n P n C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222n n n n n n n n n n n n n n C C C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 又因为()()()()()()()()2222112222222!441214!!2122!22212121!1!n n n n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++， 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+.。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2U A =-=-，则U C A = . 【答案】{}0 【解析】试题分析：{0}.U C A = 考点：集合的补集2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 . 【答案】34i + 【解析】试题分析：()22=34,34.z i i z i =--=+ 考点：复数的概念3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .【答案】2考点：方差4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：11,3S n ==；第二次循环：8,5S n ==；第三次循环：3,5S n ==；结束循环，输出 3.S =考点：循环结构流程图5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .【答案】π考点：柱的体积6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 . 【答案】16【解析】试题分析：一颗骰子连续抛掷2次，共有36种基本事件，其中满足12m n <有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,5),(2,6)6种基本事件，故所求概率为61.366= 考点：古典概型概率7.函数()f x =的定义域为 .【答案】(考点：函数定义域，解简单分式不等式8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 .【答案】y x =± 【解析】试题分析：由题意得219a a +=⇒=，而双曲线2221x y a -=渐近线的方程为1,y x a =±即y x =考点：双曲线渐近线9.已知两曲线()()cos ,,0,2f x x g x x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭相交于点A .若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于,B C 两点，则线段BC 的长为 .【解析】试题分析：由题意得cos tan 0,.26x x x x x ππ⎛⎫=⇒=∈∴= ⎪⎝⎭Q 又()sin ,()f x x g x x ''=-=所以切线斜率分别为13,6262f g ππ⎛⎫⎛⎫''=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，方程分别为13(),()2626y x y x ππ-=---=-，与x轴交点横坐标分别为66x x ππ==-故线段BC(-=考点：导数几何意义10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==，则()()AP AQ AB AC+⋅-的值为 .【答案】-16考点：向量数量积11.设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 .【答案】100101【解析】试题分析：()()11111111101n n n n n n n na a a a a a a a ++++-+=⇒-+-=⇒-=，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，即11,n n n a a n==，因此()100100100111111111001.(1)1101101k k k k k a a k k kk +===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 考点：数列通项，裂项相消法求和12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 .【答案】0a <或2a >考点：函数零点13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn的最大值为.【答案】14【解析】试题分析：设1122(,),(,)C x y D x y ，则由12y y =得121211x x x x +=+，因为12x x ≠，所以121x x =，因此22122222222211.1144()()x x x x m t n t x x x x --===≤=+++其中2210,t x x =->当且仅当2t =时取等号 考点：基本不等式求最值14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .【答案】1,3⎡+⎣考点：直线与圆相切，圆与圆位置关系二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 【答案】（1）6A B π-=（2）3BC =【解析】试题分析：（1）先利用向量数量积得cos cos sin sin 33m n A B A B ππ⎛⎫⎛⎫⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据两角差余弦公式得cos 03A B π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，最后根据范围5,366A B πππ⎛⎫⎛⎫+-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得6A B π-=（2）已知两角一边，求另一边，应利用正弦定理进行解决：先求BC 所对角的正弦值：sin sin 6A B π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，再根据正弦定理，得3BC =考点：正弦定理，两角差余弦公式16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N ==分别是棱,PA CD 的中点.（1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC .【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥ 因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥ 因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN = 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，长轴长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求APAQ的值； （2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）56AP AQ =（2）01λ<< 【解析】试题分析：（1）先利用待定系数法确定椭圆方程及圆的方程22142x y +=、224x y +=，再联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，最后利用=PQy AP AQ y 求比值（2）设直线():2l y k x =+，联立方程组解直线与椭圆，直线与圆的交点纵坐标，利用11Q P y AQ AP y λ=-=-得函数关系式2111k λ=-+，最后根据函数值域得实数λ的取值范围.试题解析：解（1）由条件，22224a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=（2）（方法一）若PQ AP λ=，则1AQAPλ=- 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =所以21111k λ=-=-+，由题意：20k >，所以01λ<<. （方法二）由方法一知，22241111114121Q P k y AQ k k AP y k k λ+=-=-=-=-++ 由题意：20k >，所以01λ<<. 考点：直线与椭圆的交点18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围； （2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.【答案】（1）x <<（2）274m()()2228872224 ABCDa ba bS+--+==≤≤=矩形试题解析：解（1）设一根木条长为xcm，则正方形的边长为=因为14ABCDS>四边形，所以2144x->，即x<又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>所以x<<;（方法二）设AB所在木条长为am，CD所在木条长为bm由条件，2+26a b=，即3a b+=因为(),0,2a b∈，所以()30,2b a=-∈，从而(),1,2a b∈由于AB BD==，ABCDS==矩形()()2228872224a ba b+--+≤≤=当且仅当()31,22a b==∈时，74ABCDS=矩形答：窗口ABCD面积的最大值为274m考点：直线与圆位置关系，基本不等式求最值19.（本小题满分16分）已知数列{}n a，{}n b均为各项都不相等的数列，n S为{}n a的前n项和，()11n n na b S n N++=+∈.（1）若11,2nna b==，求4a的值；（2）若{}n a是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}nbλ+为等比数列；（3）若{}n a的各项都不为零，{}n b是公差为d的等差数列，求证：23,,,,na a a成等差数列的充要条件是12d=.【答案】（1）48a=（2）详见解析（3）详见解析从而1111n nn n n na a da a a a d-+--=---，再从充分性及必要性两方面进行论证，充分性证明实质根据1111n nn n n na aa a a a-+--=--，利用叠加法求通项，必要性证明实质是由11dd=-求值.试题解析：解（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a === （2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符）所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列所以存在实数11qλ=-，是{}n b λ+为等比数列；（3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--= 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠所以当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--④ 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥考点：等差与等比数列20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）(],1-∞（3）不存在 【解析】试题分析：（1）当0a =时，研究的函数不含参数，利用导数求极值：先求导函数()()1xf x e x '=+，再在定义域内求导函数零点1x =-，列表分析单调性变化趋势，得出结论函数()f x 的极小值为()11f e-=-，无极大值；（2）实质是()min 0f x ≥，当0a ≤时，因为sin cos 0x x ≥，所以()0f x ≥恒成立；当01a <≤时，因为()()()0=1cos 201cos 010xf x e x a x e a a '+-≥+-=-≥，()()00f x f ≥=；当1a >时，存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()()00f x f <=，舍去（3）若存在，则函数()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上不是单调函数，必有极值点，因此1a >，()'0f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一解0x ，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上至多有一个零点，因此不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点.③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x < 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <= 即当1a >时，不符合题意综上所述，a 的取值范围是(],1-∞;所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 考点：利用导数求极值，利用导数研究函数零点，利用导数研究不等式附加题21.A 【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.【答案】详见解析考点：三角形相似21.B 【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵1 12a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.【答案】4a b +=考点：矩阵运算21.C 【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B ，求线段AB的长.【解析】试题分析：先根据22cos +sin =1αα消去参数得曲线C 的普通方程：(224x y -+=，根据tan yxθ=将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程y x =，最后根据圆中垂径定理得弦长=试题解析：解：曲线C 的普通方程为(224x y -+=，表示以)为圆心，2为半径的圆直线l 的直角坐标方程为y x =所以线段AB 的长为=.考点：参数方程化普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 21.D 【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++ 【答案】详见解析考点：三元均值不等式22.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论.【答案】（1）26y x =（2）菱形. 【解析】试题分析：（1）利用抛物线定义化简条件“点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO ”得PO PF =，即3,344p p ==（2）先确定点A 处切线的斜率为03y ，写出切线方程2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求出点B 坐标201,06y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE =，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形.考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2n n N+∈局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n . （1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.【答案】（1）()5216P =，()5316P =（2）()()1P n P n <+ 【解析】试题分析：（1）因为每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12，所以去掉平局，甲与乙胜的概率相等，即()24412(1)22C P =-，()36613(1)22C P =-.（2）同理可得()221(1)22n n n C P n =-，因此比较()P n 与()1P n +的大小，只需比较222n n n C 与1222(1)2n n n C +++大小，作商得()()()()()222112222222!4214!!2122!2121!1!n n n n n n n n n n n C n C n n n C C n n n ++++++===>++++考点：概率，组合数阶乘表示。

2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl p ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()U A B = ð ▲ ． 2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面 向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ．（第7题）8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V p ，则12SS 的值为 ▲ ． 11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c ，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．C B 1A 1PDCBA（1）求证：1BC ∥平面1A CD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =， 求证：AP ⊥平面1A CD ．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x（单位：元，0x>）时，销售量()q x（单位：百台）与x的关系满足：若x不超过20，则1260()1q xx=+；若x大于或等于180，则销售量为零；当20180x≤≤时，()q x a=-（a，b为实常数）．（1）求函数()q x的表达式；（2）当x为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左，右焦点分别是1F，2F，右顶点、上顶点分别为A，B，原点O到直线AB的距离等于ab﹒（1）若椭圆C C的方程；（2）若过点(0,1)的直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且P在第二象限，直线2PF交y轴于点Q﹒试判断以PQ为直径的圆与点1F的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3nn n a b =()n *∈N ﹒ （1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式； （2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列； （3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828= 是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围；（3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）2016．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答．题卡指定区域．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．（第21-A 题）C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求M A M B ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列．23．（本小题满分10分）设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++= ，且12||||||1n a a a +++ ≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)n n a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ．2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．{125}，， 2．1- 3．65 4．12 5．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 10 11．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)- 14．1 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分 ∵A B C ++=p ，∴sin sin()A B C =+﹒ 又∵()0,A ∈p ，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． …………6分（2）∵()0,C ∈p ， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==，∴2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =，所以b∴a b = …………14分 16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分 在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分 又∵OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，∴1BC ∥平面1A CD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ， CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ …………8分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB ，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分 又∵1CD A D D = ，CD ⊂平面1A CD ，1A D ⊂平面1A CD∴AP ⊥平面1A CD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， …………2分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ …………4分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， …………6分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增， 所以当20x =时，()f x 有最大值120000． …………8分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分 当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分 18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x ya b+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① …………2分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒② 由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分 （2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+， 由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分 则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分 把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--， 令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ …………12分从而221=(,)F P a c b -+ ，212=(,)+b c FQ c a c， …………13分从而42112()+b c F P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ， ∴110F P FQ ⋅= ﹒ …………15分 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分 19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ， ∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分 （1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列， 所以213n n b +=． …………4分 （2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，1122323333n n n n n n c a a λλλ--=+⨯=+⨯+⨯-- 11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分 又163(1)3033c -=+=≠--λλλ， 所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒…………8分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-． 从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，． (9)分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---． 若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >． 所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ， 因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可． 于是713λ<≤． (15)分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． (16)分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分 由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln 2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln 2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． …………3分（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2e x x a -=，令2()ex x G x =，则(2)()e xx x G x -'=， 令()0G x '=，得0x =或2x =． …………5分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24e a ->，从而0a =或24ea <-， 所以当0a =或24e a <-时，函数()yf x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )ex m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x mx m +-=-，不妨设00t x m =->，则2e e e t t m m m t ++-=﹒两边同除以e m，得2e 1e tt t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增， 又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =， ∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分 ∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分 ∴BAE ADC ∠=∠． …………4分 又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分 ∴BE ACBA AD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分 ∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，为参数)， …………2分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分 直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， …………6分 设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分 ∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分 =3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ …………4分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， …………8分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分 （2）由题意，得=0123，，，X ， 044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ， 22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分∴X 的分布列为 (10)分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分 （2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++= ，且12||||||1k a a a +++ ≤时，有1211||22k b b b k +++- ≤． …………3分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++= ，且121||||||1k a a a ++++ ≤， ∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++ ≤≤，∴11||2k a +≤， …………5分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++= ，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++ ≤≤，由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分 ∴1121121|||1k k k k k a ab b b b b b b k k ++-++++=++++++1111112111|()(||1221k k k k k k k a a a a a a b b b k k k k k k+++++-+=+++++-+++ -)|≤-111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。

2016年全国普通高考适应性测试（第三次）文科数学试题（满分150分 考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合22{|0log 1},{|2}A x R x B y R y x =∈<<=∈=-，则A B =（ ）A ．∅B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2] 2．已知(1)13i Z i +=+,则复数Z =（ ）A ．i -2 B ．2i -+ C ．12i -+ D ．12i -3．已知θ是第一象限的角，若445sin cos 9θθ+=，则sin 2θ等于（ ） A ．43 B ．23- C．3 D．3- 4．已知等比数列{}n a 的公比为3，且1359a a a ++=，则15793log ()a a a ++=（ ）A ．16 B ．16- C ．6 D ．6- 5．下列命题中为真命题的是（ ）A ．若命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，则命题p 的否定为：“2R,10x x x ∀∈--≤”.B ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件.C ．若21,0≥+≠xx x 则. D ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交.6．若x 、y 满足约束条件22x a y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =+的最大值是6，则z 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.5开始 S =1，k =1k >a ? S =S +1k (k +1)k =k+1输出S结束 是否 （第7题图）7．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是116,则（ ）A ．4a =B ．5a =C ．6a =D ．7a =8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ） A．2π+ B．4π+ C．23π+D．43π+ 9．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0()(log )0(log )(212x x x xx f ，若()()2f a f a >-+，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,0)(0,2)2-B ．1(,)(2,)2-∞-+∞ C ．1(,0)(2,)2-+∞D ．1(,)(0,2)2-∞-10．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若关于x 的方程2()()()0b a x a c x c b -+-+-=有两个相等实根，则角B 的取值范围是（ ） A.[,)62ππB.[,)32ππC.(0,]6πD.(0,]3π11．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别是12,F F ，若E 上存在点P 使12PF F ∆为等腰三角形，且其顶角为23π，则22a b 的值为（ ）A.43 B.34C.2D.312．已知函数()xf x e xe =，若函数2[()]()2y f x bf x =+-恰有三个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ）（第8题图）A.)+∞B.)22,1(-C.),1(+∞D.(3,)-+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．向量,a b 满足2,1,(2)(2)a b a b a b ==+⊥-，则向量a 与b 的夹角为________． 14．某人对一地区人均工资x (千元）与该地区人均消费y (千元）进行统计调查，y 与x 有相关关系，得到回归直线方程ˆ0.66 1.56yx =+.若该地区的人均消费水平为7.5千元，则该地区的人均工资收入为________（千元）．15．曲线1|2)y x =≤与直线(2)4y k x =-+只有一个公共点时，实数k 的取值范围是_______.16．已知关于x 的方程22222log (2)20x a x a +++-=有唯一解，则实数a 的值为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）数列}{n a 的前n 项和记为n S ,11a =,点1(,)n n S a +在直线31y x =+上,N n *∈． （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设41log n n b a +=,n n n c a b =+，n T 是数列{}n c 的前n 项和,求n T . 18．（本小题满分12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后贺车；在80 mg /100ml (含80)以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，下图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．（I ）根据频率分布直方图，求此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；（II ）从血液酒精浓度在[70,100)范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率.19．（本小题满分12分）如图，己知BCD ∆中，090BCD ∠=，1BC CD ==，AB ⊥平面BCD ，60ADB ∠=，,E F 分别,AC AD 是上的动点，且(01)AE AFAC ADλλ==<<. （I ）求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ；（II ）若三棱锥A-BEF 的体积为12，求此时λ的值. 20．（本小题满分12分）已知，椭圆C 两焦点1F 、2F 在y 轴上（1F 在2F 上方），短轴长为，P 是椭圆在第四象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线2F P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆C 于A 、B 两点. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）求证：直线AB 的斜率为定值并求该定值. 21．（本小题满分12分） 已知)(22)(2R x x ax x f ∈+-=在区间[－1，1]上是增函数. （I ）求实数a 的值所组成的集合A ； （II ）设关于x 的方程xx f 1)(=的两根为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式 ||1212x x tm m -≥++对任意]1,1[-∈∈t A a 及恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，作CM ⊥AB ，垂足为点M .求证：（Ⅰ）DC 是⊙O 的切线；（Ⅱ） AM · MB =DF · DA .23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1212x ty ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为2sin4cos ρθθ=.（I ）求曲线C 的直角坐标方程；（II ）设曲线C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(1,1)，求|P A |+|PB |的值.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －4|＋|x ＋5|.（I ）试求使等式f (x )＝|2x ＋1|成立的x 的取值范围；（II ）若关于x 的不等式f (x )<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围．2016年全国普通高考适应性测试（第三次）文科数学参考答案一、选择题12.用求导方法可得函数()y f x =在(,1)-∞-单调递增，在(1,0)-单调递减，在(0,)+∞单调递增，(1)1f -=，(0)0f =.显然方程220t bt +-=有两个不等根，2[()]()2y f x bf x =+-恰有三个不同的零点，故0()1f x <<时有3个解，()0f x <有0个解， 1个根在（0,1）内，另1个根小于0， 令2()2g t tbt =+-， (0)01(1)0g b g <⎧⇒>⎨>⎩，故选C.二、填空题13.π 14.9 15.43125>=k k 或 16.13- 16.注意到函数2222()2log (2)2f x x a x a =+++-为偶函数， ∴方程22222log (2)20xa x a +++-=的唯一解为0x =，由2220a a +-=解得1a=-±当1a =时，222()1)log (2)2f x x x =+++-[0,)+∞上为增函数，满足题设条件，当1a =--时，222()2(1(2)2f x x x =+--+++(2)0f =-<，200f =->，所以此时有不止一个零点，故舍去.三、解答题17.（I ）由题知131n n a S +=+，所以131(2)n n a S n -=+≥，两式相减得13(2)n n n a a a n +-=≥，又21314a a =+=，所以{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列。

苏州市2016届高三调研测试数学Ⅰ试题 2016．1参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 设全集U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，集合A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝，则U A ð＝ ▲ ． 【答案】{2}．【命题立意】本题旨在考查集合补集的运算．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】∵U ＝｛x | x ≥2，x ∈N ｝，A ＝｛x | x 2≥5，x ∈N ｝∴{}{}22U A x x x N =≤<∈=ð． 2． 复数i(0)12ia z a =<+，其中i 为虚数单位，||za 的值为 ▲ ． 【答案】－5．【命题立意】本题旨在考查复数的运算，复数模的几何意义．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】()()()i 1-2i i 2i 12i 12i 1-2i 5a a a a z +===++，||z ==，故5a =-． 【方法技巧】本题主要考查复数代数形式的基本运算以及复数模的考查，进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2改为-1．在复数的除法运算中，共轭复数是一个重要的概念，通过它能将分母中的虚数单位i 化去，因),())((22R b a b a bi a bi a ∈+=-+，所以复数bi a z +=的共轭复数为bi a z -=，这与实数中的互为有理化因数类似，所以在复数的四则运算中，可类比二次根式的运算，从而更好地掌握共轭复数．3． 双曲线22145x y -=的离心率为 ▲ ．【答案】32．【命题立意】本题旨在考查双曲线的离心率．考查概念的理解和计算，难度中等.【解析】双曲线22145x y -=，224,5a b == ，由222c a b =+ 得2459c =+= ，22293,42c e e a ===．4． 若一组样本数据9，8，x ，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为 ▲ ． 【答案】2．【命题立意】本题旨在考查统计数据的平均数与方差．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】9+8+x+10+11=10×5，解得x=12，这对应的方差为s 2=15（12+22+22+02+12）=2． 5． 已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ． 【答案】9．【命题立意】本题旨在考查平面向量的坐标运算与数量积．考查运算和推理能力，难度中等. 【解析】()1,4a b x -=- ，∵()a ab ⊥-∴()0a a b ⋅-= ，即()11240x -⨯+⨯= ，解得9x =．6． 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ． 【答案】53． 【命题立意】本题旨在考查算法的流程图中的直到型循环结构及其应用．考查运算和推理能力，难度较小．【解析】由算法的流程图，开始时x=1，y=1，此时z=2,满足z<6；接下来有x=1，y=2，z=3,此时满足z<6；接下来有x=2，y=3，z=5,此时满足z<6；接下来有x=3，y=5，z=8此时满足z>6；结束循环，输出53y x =．（第6题图）7． 函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲ ．【答案】(,1]-∞．【命题立意】本题旨在考查分段函数，函数的图象与性质，函数的值域．考查数形结合的数学思想，难度较小.【解析】当0x ≤时，()2x f x =，∵()f x 在0x ≤单调增，∴()01f x <≤；当0x >时，()21f x x =-+，∵()f x 在0x ≤单调减，()1f x ≤，综上所述()f x 的值域为(,1]-∞．8． 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为 ▲ ． 【答案】16． 【命题立意】本题旨在考查古典概型及其应用．考查运算和推理能力，难度较小． 【解析】设连续2次抛掷一枚骰子两次向上的数字用（x,y ）表示，两次向上的数字共有36种，两次向上的数字之和等于7的情况有6种：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），根据古典概型的概率公式可得所求的概率为61366P ==． 9． 将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲ ． 【答案】5．【命题立意】本题旨在考查圆锥的几何性质与展开图．考查计算和推理能力，难度中等. 【解析】半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形，三个扇形的圆心角分别为2,,33πππ ，由弧长公式l r α=，所对的弧长分别为510,,533πππ，三个扇形作为三个圆锥的底面半径的和为151055233ππππ⎛⎫++=⎪⎝⎭． 10． 已知θ是第三象限角，且2sin 2cos 5θθ-=-，则sin cos θθ+＝ ▲ ． 【答案】3125-． 【命题立意】本题旨在考查同角三角函数的基本关系．考查概念的理解和运算能力，难度较小．【解析】由同角三角函数的基本关系得()()222sin 2cos 15sin cos 12θθθθ⎧-=-⎪⎨⎪+=⎩，解得7cos 25θ=-，3cos 5θ=，∵θ是第三象限角∴3cos 5θ=（舍），∴7cos 2524sin 25θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，31sin cos 25θθ+=-． 11． 已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲ ． 【答案】5或6．【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式．考查数列的单调性，难度较小. 【解析】由题意可知11415910a d a d +=⎧⎨+=-⎩ ，解得135,5a d ==-，由等差数列的前n 项和公式得()()563405155165302n n n a a T n n n ++==-+-=- ，16530n T n =- ，12345135105754515T T T T T =>=>=>=>=，6789154575105T T T T =<=<=<=<所以当n=5或n=6时，n T 取得最小值．12． 若直线1:l y x a =+和直线2:l y x b =+将圆22(1)(2)8x y -+-=分成长度相等的四段弧，则22a b +＝ ▲ ． 【答案】18．【命题立意】本题旨在考查直线与圆的方程的应用，考查转化与化归，分析解决问题的能力．难度较大.【解析】设直线1:l y x a =+与圆相交于A,B 点，直线2:l y x b =+与圆相交于C,D 点．由题意可知AD BC ⊥ ,圆心到直线1:l y x a =+的距离为2，2d == ，解得1a =或1a =-；圆心到直线2:l y x b =+的距离为2，2d == ，解得1b =或1b =-，∵a b ≠∴11a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或11b a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，2218a b +=．13． 已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则0200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 【答案】12． 【命题立意】本题旨在考查三角函数的图象与性质，函数与方程，函数的零点及其应用．考查函数与方程思想，数形结合的数学思想，难度中等.【解析】设函数()sin f x x =的图象关于y 轴对称，直线y kx =过原点，所以函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，即函数()sin f x x = 与直线()0y kx k =>在[)0,+∞上有三个公共点，此三个交点中的横坐标最大值为0x且在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内相切，其切点为()00,A x y ，03,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ．由于()/3cos ,,2f x x x ππ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，所以000sin cos x x x =， 002200000020sin (1)sin 2sin 12sin cos cos cos x x x x x x x x x =+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭2200112cos 2sin 2x x ==+． 【方法技巧】1．对于易画出图象的函数，判断零点的个数或零点所在的区间时，可转化为判断函数图象与x 轴的交点问题．2．对于函数)()()(x g x h x f -=的零点问题，可采用数形结合的方法，将函数)(x f 的零点问题转化为函数)(x h ，)(x g 的图象的交点问题，作出两个函数的图象，从而判断零点所在的大致区间或零点个数. 14． 已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ▲ ．【答案】4． 【命题立意】本题旨在考查基本不等式及换元法．考查推理论证的能力与计算能力．难度较大.【解析】由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+-令71b t -=则22714949111418451427183427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos a B+b AC c=．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为，6a b +=，求边c 的长． 【答案】（1）3π；（2） 【命题立意】本题旨在考查余弦定理，“边、角”互化思想．考查运算推理能力，难度较小.【解析】（1）由余弦定理知22222222cos cos 222a c b b c a c a B+b A a b c ac bc c+-+-=⋅+⋅==3分c o s c o s 1a B +b A c ∴=，1cos 2C ∴=， …………………………………5分又()0,C ∈π，3C π=. ………………………7分（2）1sin 2ABCS ab C ==8ab ∴=， ………………………10分 又6a b +=，()22222cos 312c a b ab C a b ab ∴=+-=+-=， …………………13分c ∴=…………………………………14分 16． （本小题满分14分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，A 1C 1 与B 1D 1交于点O .（1）求证：A 1，C 1，F ，E 四点共面；（2）若底面ABCD 是菱形，且OD ⊥A 1E ，求证：OD ⊥平面A 1C 1FE .【答案】（1）略；（2）略．【命题立意】本题旨在考查空间直线平行．线与平面垂直的判定，考查空间想象．推理论证能力．难度中等.【解析】（1）连接AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线， 所以EF ∥AC ． ………………………2分由直棱柱知AA 1=CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1． ………………5分所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．……………7分 （2）连接BD ，因为直棱柱中1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以1DD ⊥11A C ． ………………………9分 因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以11A C 11B D ⊥． 又1DD 111=B D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ． ………………………11分因为OD ⊂平面11BB D D ，所以OD ⊥11A C ． 又OD ⊥A 1E ，11AC 11A E A =，11AC ⊂平面A 1C 1FE ，1A E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE . ………………………14分 17． （本小题满分14分）图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧ACB 的中点，渠宽AB 为2米．（1）当渠中水深CD 为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？（第16题图）1EAB【答案】（1）1.6米；（2． 【命题立意】本题旨在考查圆的方程，切线方程，利用导数求函数的最值，考查数学模型的实际应用，分析与解析问题的能力．难度中等.【解析】（1）以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，因为AB ＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为221(11,0)x y x y +=-≤≤≤． ………………………3分 因为水深CD ＝0.4米，所以OD ＝0.6米，在Rt △ODM中，0.8DM ==（米）． ……………………5分 所以MN ＝2DM ＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米． ……………………6分 （2）为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为(c o s ,s i n )(0)2P θθθπ-<<是圆弧BC 上的一点，过P 作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE ，得切线EF 的方程为cos sin 1x y θθ+=． ……………………8分 令y ＝0，得1(,0)c o s E θ，令y ＝-1，得1s i n (,1)c o s F θθ+-．设直角梯形OCFE 的面积为S ，则11s i n 2s i()()1c o s c o s c o S C F O E O C θθθθθ++=+⋅=+⨯= （02θπ-<<）． ……………………10分22cos cos (2sin )(sin )12sin cos cos S θθθθθθθ-+-+'==，令0S '=，解得6θπ=-， 当26θππ-<<-时，0S '<，函数单调递减；当06θπ-<<时，0S '>，函数单调递增． ………………………12分所以6θπ=-时，面积S ．此时1sin()6cos()6CF π+-==π-14分 18． （本小题满分16分）如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点（与y 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； （2）①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB PM ⋅的取值范围．【答案】（1）7；（2）①略②()9,+∞． 【命题立意】本题旨在考查直线与椭圆的位置关系，直线方程，平面向量的位置关系与线性运算，考查分析与解决问题的能力和运算能力等．难度中等.【解析】解：（1）由题意(0,1),(0,1)B C -，焦点F ，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y +=-，即1y x -，联立，221,41,3x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得1,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0,1x y =⎧⎨=-⎩（舍），即1)7M ．……………2分 连BF ，则直线BF11y=，即0x +=， 而2BF a ==，1|72d +===． ……………………4分故11222MBFSBF d =⋅⋅=⋅=． ……………………5分（2）解法一：①设(,2)P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为1(2)10k m m---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立2211,1,4y x mx y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2248(1)0x x m m ++=，解得22284(,)44m m M m m --++， (8)分所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，21(2)30k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值． …………………10分② 由①知，(,3)PB m =-，2322222841212(,2)(,)4444m m m m m PM m m m m m ---+=--+=++++，所以324222212121536(,3)(,)444m m m m m PB PM m m m m ++++⋅=-⋅-=+++， ……………13分 令244m t +=>，故22(4)15(4)367887t t t t PB PM t t t t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在(4,)t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞……16分解法二：①设点()000(,)0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00(,2)1xP y --+. ……………7分所以0101y k x -=，()020*******y k x x y +--==-+， 所以()()()()2200001222000031313113441y y y y k k x x x y --+-=⋅===--（定值）. ………………10分 ②由①知，00(,3)1x PB y =+，0000(,2)1xPM x y y =+++， 所以()()()()20000000200023212311x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ =()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+++=++． ………………13分令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在(0,2)t ∈上单调递减，所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为(9,)+∞．…16分【方法技巧】 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 19． （本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足：112a =，113n n n a a p nq -+-=⋅-，*n ∈N ,,p q ∈R . （1）若0q =，且数列{}n a 为等比数列，求p 的值； （2）若1p =，且4a 为数列{}n a 的最小项，求q 的取值范围. 【答案】（1）0p =或1p =；（2）2734q ≤≤．【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式，累加法，等比数列的定义，数列求和，数列的增减性．考查函数与方程思想，以及转化和化归能力，难度中等. 【解析】（1）0q =，113n n n a a p -+-=⋅，∴2112a a p p =+=+，321342a a p p =+=+， 由数列{}n a 为等比数列，得21114222p p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得0p =或1p =.……………3分当0p =时，1n n a a +=，∴12n a = 符合题意； ……………………4分当1p =时，113n n n a a -+-=， ∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()12111131133322132n n n ----++++=+=⋅-，∴13n na a +=符合题意. ………………………6分 （2）法一：若1p =，113n n n a a nq -+-=-，∴()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-=()()211331212n n q -++++-+++-⎡⎤⎣⎦=()11312n n n q -⎡⎤--⎣⎦. …………8分 ∵数列{}n a 的最小项为4a ，∴对*n ∀∈N ，有()()141131271222n n n q a q -⎡⎤--=-⎣⎦≥恒成立，即()1232712n n n q ----≥对*n ∀∈N 恒成立. …………………10分当1n =时，有2612q --≥，∴136q ≥； 当2n =时，有2410q --≥，∴125q ≥；当3n =时，有186q --≥，∴3q ≥；当4n =时，有00≥，∴q ∈R ； …………………12分当5n ≥时，2120n n -->，所以有1232712n q n n ----≤恒成立，令()123275,12n n c n n n n --=∈--N *≥，则()()()2112222123540169n n n n n n c c n n -+--+-=>--， 即数列{}n c 为递增数列，∴5274q c =≤. …………………15分 综上所述，2734q ≤≤. ……………………16分 法二：因为1p =，113n n n a a nq -+-=-，又4a 为数列{}n a 的最小项，所以43540,0,a a a a -⎧⎨-⎩≤≥即930,2740,q q -⎧⎨-⎩≤≥所以2734q ≤≤. ……………………………………………………8分 此时2110a a q -=-<，32320a a q -=-<，所以1234a a a a >>≥. ………………………………………………………10分当4n ≥时，令1n n n b a a +=-，141127232304n n n b b q --+-=⋅-⋅->≥，所以1n n b b +>，所以4560b b b <<<≤，即4567a a a a <<<≤. ………………………………………………………14分综上所述，当2734q ≤≤时，4a 为数列{}n a 的最小项，即所求q 的取值范围为27[3,]4. ………………………………………………………16分20．（本小题满分16分）已知函数()e (21)xf x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增.；（2）①()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；②32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．【命题立意】本题旨在考查导数及其应用，导数的运算与导数的几何意义，函数的单调性，考查分类讨论思维，分离参数构造函数求取值范围．难度中等.【解析】（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-，……1分由于'(0)0f =，当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >， 当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. ………………4分 （2）①由()0f x <得()()e211xx a x -<-．当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()e 211x x a x ->-；当1x <时，()e 211x x a x -<-. ………………6分记()g x =()e 211x x x --，()()()()()()222e e e '()232112111x x x g x x xx x x x x =-+---=--，∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数．∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，当1x <时，()01a g <=． …………………8分综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ． …………………9分②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e312a <≤. …………………12分 当324e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，∴()()23g a g a<⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得32e 532a <e ≤. ……………………15分综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦． …………………16分数学II （附加题）21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，四边形ABDC 内接于圆．BD ＝CD ，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点。