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振动系统的谐振频率和振幅计算振动是物体在某一点围绕平衡位置做周期性往复运动的现象。
振动系统是指由质点、弹簧、摆线等组成的系统。
在物理学中，谐振是振幅达到最大值并保持稳定的情况，其频率称为谐振频率。
谐振频率和振幅的计算是研究振动系统的重要内容。
首先，我们来计算谐振频率。
谐振频率与系统的性质有关，即质量、弹性系数和弹簧的劲度。
假设系统中有一个质点质量为m，弹簧的劲度系数为k。
谐振频率的计算公式为：f = 1 / (2π) * sqrt(k/m)，其中f表示谐振频率，π表示圆周率。
例如，假设一个振动系统质量为2kg，弹簧劲度系数为10N/m，我们可以通过代入上述公式计算其谐振频率。
计算过程如下：f = 1 / (2π) * sqrt(10/2)= 1 / (2π) * sqrt(5)≈ 0.446Hz因此，该振动系统的谐振频率为约0.446Hz。
接下来，我们来计算振幅。
振幅是指振动过程中质点离开平衡位置的最大位移。
振幅的计算需要考虑初始条件和振动系统的能量。
对于简谐振动系统，振幅与振动能量之间存在关系。
假设初始状态时，振动系统位于平衡位置，质点的速度为v0，位移为x0。
振动系统的总能量E为E = (1/2)m(v0^2) = (1/2)k(x0^2)。
根据振动能量与振幅之间的关系，我们可以推导得到振幅的计算公式：A =sqrt(2E/m)，其中A表示振幅。
例如，振动系统的质量为2kg，初始状态时速度为4m/s，根据上述公式我们可以计算其振幅。
计算过程如下：E = (1/2)m(v0^2) = (1/2) * 2 * (4^2) = 16JA = sqrt(2E/m) = sqrt((2 * 16) / 2) = sqrt(16) = 4m因此，该振动系统的振幅为4m。
在实际应用中，振动系统的谐振频率和振幅计算对于设计和调整振动系统非常重要。
例如，在建筑物和桥梁的设计中，需要考虑谐振频率，以避免共振现象的发生，从而保证结构的稳定性。
振动频率与振幅的计算方法
振子是物理学中经常讨论的一个概念，它是指一个具有固定频率
的简谐振动系统。
在化学中，振子的强度通常指振幅，也就是振动的
幅度大小。
那么如何计算振子的强度呢？
首先，需要了解振子的频率。
振子频率的计算式是：
f=1/(2π√(k/m))
其中，f指的是振子的频率，k是弹性系数，m是质量。
这个式子
的物理意义是，一个振动的频率与系统的弹性系数和质量有关，弹性
系数越大，质量越小，振动的频率就越高。
这个公式可以用于计算任
意振动系统的频率。
接下来就是如何计算振子的强度了。
振子的强度通常用振幅来表示，也就是一个振动的最大位移量。
计算振子强度的公式是：A=√(2E/k)
其中，A指的是振动的振幅，E是振动对象的总能量，k是弹性系数。
在化学中，这个公式可以用于计算一些简单分子的振子强度。
以
CO2为例，它是一个线性分子，只有三个原子，因此只有三种振动模式。
分别是对称伸缩模式、反对称伸缩模式和弯曲振动模式。
这些振动模
式的频率和强度可以通过计算电子云的运动得到。
综上所述，振子的强度是一个重要的物理学概念，它与振动的频率密切相关。
通过计算弹性系数、质量、能量等参数，我们可以很方便地计算振子的频率和强度。
在化学计算中，这个公式可以帮助我们预测一些分子的振动模式和振子强度，从而更好地理解分子的结构和性质。
第八节 计算固有频率的近似方法（教材6.16）在工程问题中，许多情况只需求出系统最低几阶固有频率。
在这种情况下，可以应用近似方法直接求出系统的固有频率。
一、 瑞利（Rayleigh ）法由振型正交性知，系统的第i 阶固有频率的平方为{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Tii i niT i i iu k u K i n M u M u ω=== （a ）式中 {}i u 是第i 阶振型向量。
Rayleigh 法是根据系统的条件，事先选取一个任意向量{}u 作为系统的第i 阶振型向量，代入式（a ），计算与此假定振型向量相应的频率的平方，用2R ω表示，即{}[]{}{}[]{}2TRTu k u u M u ω= （6-70） 上式右端称为Rayleigh 商，频率R ω称为Rayleigh 频率。
讨论：1. 从理论上讲，方程（6-70）适用于求系统的各阶固有频率。
但实际上，因为关于系统的高阶振型向量很难作出合理假设，所以上式往往只有用于估算系统的第一阶固有频率1n ω时才是切实可行的。
因此，若任选的振型向量{}u 恰好是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商就是对应的系统的第一阶固有频率1n ω，即1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，则Rayleigh 商是系统的第一阶固有频率1n ω的估值，即1R n ωω≈证：系统的n 个正则振型向量{}{}{}12,,,n ϕϕϕ是n 维空间的一个基。
则由线性代数知，该空间的任一向量都可由正则振型向量的线性组合来表示，即{}{}{}{}[]{}1212n n u c c c c ϕϕϕϕ=+++=式中12,,,c n c c 是任意常数。
把上式代入方程（6-70），得{}[][][]{}{}[][][]{}{}[]{}{}{}22222221122222122222222222211111222221111TTTRT T Tn n n nn n n n nn n n n n c k c c c c M c c c c c c c c c c c c c c c c c ωωωωωωωωωΦΦΛ==ΦΦ+++=++++++=+++ （b ）若任选的振型向量{}u 是系统的第一阶振型向量{}1u ，则 23=c 0n c c ===，故1R n ωω=若所选的阵型{}u 不是系统的第一阶振型向量{}1u ，但接近于系统的第一阶振型向量{}1u ，则1(2,3,,)ic c i n >=利用泰勒公式，由方程（b ），得2222222221122221111111n n nn R n n n n c c c c ωωωωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫≈+-++-≈⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2. 用Rayleigh 商估算系统的第一阶固有频率1n ω时，总是给出系统的第一阶固有频率1n ω的上限估值，即1R n ωω≥证：由方程（b ），得22222222222211111222221111n n nn n n R n n c c c c c c c c ωωωωωω+++=+++ ∵ 1(2,3,,)ni n i n ωω>=∴ 222222111(2,3,,)i n i i n c c i n c cωω>= 故上式的分式大于1，所以1R n ωω>例题: 图示系统，已知：123m m m m ===，123k k k k ===。
简谐振动的公式推导与实际应用简谐振动是物理学中一个重要的概念，它在自然界和工程领域中有着广泛的应用。
本文将从简谐振动的公式推导开始，探讨其在实际应用中的意义和作用。
简谐振动的公式推导可以从牛顿第二定律出发。
假设一个质点在一根弹簧上做振动，弹簧的劲度系数为k，质点的质量为m。
当质点偏离平衡位置x时，弹簧对质点的恢复力为-F，其中F与x成正比。
根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程：F = -kx根据胡克定律，弹簧的恢复力与质点的位移成正比，且方向相反。
因此，我们可以将上述方程写成如下形式：ma = -kx其中a是质点的加速度。
根据加速度的定义，我们可以将上述方程改写为：a = -(k/m)x这是一个二阶线性常微分方程，可以通过求解得到简谐振动的解析表达式。
假设解为x = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是初相位。
将该解代入上述方程，我们可以得到：-Aω^2*cos(ωt + φ) = -(k/m)*A*cos(ωt + φ)通过对比系数，我们可以得到ω^2 = k/m。
因此，简谐振动的角频率可以表示为：ω = √(k/m)这就是简谐振动的公式推导过程。
简谐振动的公式推导为我们提供了理论基础，使得我们能够更好地理解和分析振动现象。
简谐振动在物理学中有着广泛的应用，尤其在波动和声学领域中发挥着重要的作用。
首先，简谐振动可以用来描述机械波的传播。
当弹簧上的质点做简谐振动时，它会产生机械波。
机械波的传播速度与介质的性质有关，而简谐振动的角频率与弹簧的劲度系数和质点的质量有关。
因此，通过简谐振动的公式推导，我们可以计算出机械波的传播速度。
其次，简谐振动还可以用来描述声波的传播。
声波是一种机械波，它的传播速度与介质的性质有关。
通过简谐振动的公式推导，我们可以计算出声波的频率和波长。
这对于声学研究和工程设计都具有重要意义。
此外，简谐振动还在工程领域中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要考虑建筑物的振动特性，以确保其在地震或风力作用下的稳定性。
Ch2 单自由度保守系统自由振动1、确定下保守系统或耗散系统的奇点和它的类型，绘出相轨线并指出其分界线1）03=+-x x x2）03=++x x x3）023=+++x x x μx4）023=-++x x x μx解：各系统的相轨迹图如下所示:1） 相轨迹线如图1。
系统有三个奇点，其中，相点（-1，0）和（1，0）为中心，相点（0，0）为鞍点，通过鞍点（0，0）的相轨迹线为分界线。
2） 相轨迹线如图2。
系统有一个奇点（0，0），其类型为中心。
图1分界线图2或（图3 μ= 0）3）当0μ=时，系统有一个奇点（0，0），其类型为中心，相轨迹线如图3（和图2一样）；当0μ<时，系统有一个奇点（0，0），其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图4；当0μ>时，系统有一个奇点（0，0），其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图5。
图4 μ= -0.3图5 μ=0.34）当0μ<时，系统有一个奇点（0，0），其类型为不稳定焦点，相轨迹线如图6；当0μ>时，系统有一个奇点（0，0），其类型为稳定焦点或结点，相轨迹线如图7。
当0μ=时，系统有一个奇点（0，0），其类型为中心，相轨迹线如图8；图6 μ= -0.05图7 μ=0.6图8 μ= 02、数学摆，摆长为l ，摆锤质量为m ，不计摩擦，其运动方程为0θsin lg θ=+，试求出势能函数U (θ)，并在相平面上画出相轨线。
解：将运动方程化为状态变量形式sin g lθωωθ==-⎧⎪⎨⎪⎩ 其相轨迹微分方程为:sin gd ld θωθω=-势能函数U (θ)()sin 1cos 0g g d llθθθθ==-⎰。
相轨迹线图见图9。
3、如图，弹簧原长为l 0，刚度系数为k ，物体沿光滑水平面运动，当物体在平衡位置时，弹簧预张力为S 0，设x (0)=x 0=10mm ，s /m m 1.00=x，l 0=50mm ，S 0=10kN ，m =0.1kg ，k =500N/m 。
第四章习题试解1. 一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关系.解：设原子质量为m ,周期为a ,第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ,第n-k 与n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ,μn+k ,其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ,βk .n-k n-1 n n+1 n+k显然：k k ββ-=第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为：第n 个原子受所有原子的合力为：振动的运动学方程可写为：代入振动的格波形式的解()i qna t nq Ae ωμ-= 有2()[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k km i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑色散关系即为2.聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为M,但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2,原子链的周期为a .证明振动频率为证：如图,任意两个A 原子〔或B 原子〕之间的距离为a,设双键距离b 2,单键距离b 1 …—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH …2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 AB Ab2 b1只考虑近邻作用的A,B 两原子的运动方程为A ：222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=---B ： 21122212212()()n n n n n M μβμμβμμ++++=---将格波解()2i qna t n Ae ωμ-= 和2[()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程,有 化简得：1221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+=同理：1221212()()0iqb iqb e e A M B ββββω--+++-=化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组,它的有解条件是从而得到3.求一维单原子链的振动模式密度g<ω>,若格波的色散可以忽略,其g<ω>具有什么形式,比较这两者的g<ω>曲线.解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π,L=Na 为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数目为2L dq π.dω频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于ω〔q 〕具有中心反演对称,q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的.从而有 对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用时,有其中ωm 为最大频率.代入g <ω>得考虑ω=cq 〔德拜近似〕由q →0〔德拜近似下〕, 有111()222m m q qa qa a q ωωω==⋅=⋅ 即12m c a ω=⋅ 则有：12m d a dq ωω=⋅ 121()12m m NaN g a ωππωω==⋅ 〔常数〕考虑ω=ω0〔爱因斯坦近似〕显然有()000g ωωωωω∞=⎧=⎨≠⎩ 4.金刚石〔碳原子量为12〕的杨氏模量为1012N·m -2,密度ρ=3.5g·cm -3.试估算它的德拜温度ΘD =？ 解：德拜温度D D B k ωΘ=223231()4()(2)2j V V g c c c ωωπωππ==, 2233()2V g c ωωπ== 近似看作弹性介质时,1/2410/C m s ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭杨氏模量密度 每摩尔原子数目为N=6.02×1023,摩尔质量m=12g,则摩尔体积代入,得ωm =57.97×1013最后得 ΘD =4427K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能. 解：根据量子理论,各简谐振动的零点能为12ω 德拜近似下2233()2V g C ωωπ= 总零点能为034232301()2331444m m m E g d VV d C C ωωωωωωωωππ===⎰⎰ 由自由度确定的21/3[6()]m NC V ωπ=代回上式中6.一根直径为3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率,在30K 的温度达到一个锐的极大值,试估计此极大值.〔蓝宝石在T ﹤﹤ΘD =1000K 时,c V =10-1T 3J·m -3·K -1〕解：m D B k ωΘ=→ωm =1.31×1014λ与晶格常数10-10m 近似时约为2.09×103,近似作为平均声速代入 热导率35.643103c l υκυ==⨯ 7.Na 和Cl 的原子量分别为23和37.氯化钠立方晶胞边长为0.56nm,在[100]方向可以看做是一组平行的离子链.离子间距d=0.28nm.NaCl 晶体的杨氏模量为5×1010N·m -2,如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等,求对应的光波波长.解：当q=0时,光频支频率为杨氏模量10510a β=⨯,且90.2810a -=⨯m故201.7910β=⨯,再同两原子质量一同代入频率式则波长02c πλω==1.53×10-14m8.立方晶体有三个弹性模量C 11,C 12和C 44.铝的C 11=10.82×1010N·m -2,C 44=2.85×1010N·m -2,铝沿[100]方向传播的弹性波纵波速度l υ=,横波速度t υ=,Al 的密度ρ=2.70×103kg·m -3.求德拜模型中铝的振动模式密度g<ω>.解：由题条件知36.3310l υ=⨯,33.2510t υ=⨯若所考虑的晶体体积为V,则。
