湖南省大联考2014雅礼中学高三8次月考数学(文)试卷答案

英才大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（六）数 学（时量120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A. ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14B. 12C. 6D. 34. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96为5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ） A. 28-B. 28C. 84-D. 846. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.12258. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ） A. ac bc > B. log 1b a >C.114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +>10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴的距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA =，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于911. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅为定值2C.若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________． 14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.的的15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<. ①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值； ②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q.的①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线； ②求DEQ 面积的最大值. 19 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f xg f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e axf x x b =-.①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围； ②若1a b ==，且定义()()34e 3xI x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{A x y ==，{|0}4xB x x =≤-，则A B = （ ）A ()2,4B. [)2,4C. (]2,4D. φ..【答案】B 【解析】【分析】根据函数式有意义列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定义即得.【详解】在y =20x -≥得2x ≥，即[)2,A ∞=+，又由04xx ≤-可得：(4)040x x x -≤⎧⎨-≠⎩，解得：04x ≤<，即[)0,4B =， 故[)2,4A B ⋂=. 故选:B. 2. 已知20231i(R)1ia z a +=∈+，若z 为纯虚数，则z =（ ）A.B. 1C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】结合虚数单位的性质以及复数的除法运算，化简z ，根据z 为纯虚数求出a 的值，即可求得答案. 【详解】由题意得20231i 1i (1i)(1i)1i 1i (1i)(1i)a a a z ++++====+--+(1)(1)i2a a -++， 因为z 为纯虚数，所以1010a a -=⎧⎨+≠⎩，故1a =，所以i z =，故1z =， 故选：B ．3. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ） A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D .4. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且ˆˆ0.8yx a =+，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为（ ） 色差x 21 23 25 27 色度y 15181920A. 0.96-B. 0.8-C. 0.8D. 0.96【答案】C 【解析】【分析】根据表中的数据求出x ，y ，根据回归直线方程必过样本中心，即可求出ˆa，从而得到回归直线方程，再将30x =代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】由题意可知，21232527244x +++==，151********y +++==，将()24,18代入ˆˆ0.8yx a =+，即ˆ180.824a =⨯+，解得ˆ 1.2a =-， 所以ˆ0.8 1.2yx =-， 当30x =时，ˆ0.830 1.222.8y=⨯-=， 所以该数据的残差为23.622.80.8-=. 故选：C. 5. 81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为（ ）A. 28-B. 28C. 84-D. 84【答案】A 【解析】【分析】求出8()x y +展开式的通项，进而多项式的展开运算可得展开式中26x y 的系数. 【详解】8()x y +展开式的通项为88C r rr x y -，则81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 项为6265352688C C 28y x y x y x y x-=-， 即26x y 的系数为28-. 故选：A.6. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D -与棱台11112222A B C D A B C D -的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ， 则112242322AB A B A B ++===， 设棱台11112222A B C D A B C D -的高为h ，体积为1V ， 则棱台1111ABCD A B C D -的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++⨯=，则()221564224233V h h =++⨯⋅=， 所以，152********h V h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19⨯=.故选：D.7. 学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人，担任本次模拟考试数学阅卷任务，则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下，有2名女老师的概率为（ ） A.45B.34C.35D.1225【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式，结合组合数的计算公式，即可求解【详解】记“选派4人中至少有2名男老师”为事件A ，“选派4人中有2名女老师”为事件B ，则()223133334645C C C C P A C +==，()22334635C C P B C ==， 显然()()35P AB P B ==，所以()()()()()3|4P AB P B P B A P A P A === 故选：B.8. 已知对任意实数x 都有()2()(0)1x f x e f x f '=+=-，，若不等式()(1)f x a x <-，（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是 A. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 253,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 25,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】.【分析】构造函数()()x f x g x e=，求导利用已知条件，得出()(21)x f x x e =-，求导，得出函数()f x 的单调性，令()(1)h x a x =-，利用()h x 过定点(1,0)以及函数()f x 的图像，数形结合列出不等式组，求解即可.【详解】令()()xf xg x e =()()2()()()2x x xf x f x e f x f xg x e e'-+-'=== ，即()2g x x c =+，(c 为常数) 则()(2)x f x x c e =+因为(0)1f =-，所以1c =-，即()(21)x f x x e =-()(21)x f x x e '=+1()02f x x '>⇒>- ，1()02f x x '<⇒<-()f x ∴在区间1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 令()(1)h x a x =-，由于()h x 过定点(1,0)，则函数()f x 和()h x 图像如下图所示要使得()()f x h x <的解集中恰有两个整数，则有253(2)(2)(1)(1)322af eh f h ae⎧-≥-⎪-≥-⎧⎪⎨⎨-<-⎩⎪-<⇒-⎪⎩ 解得：25332a e e≤< 故选C【点睛】本题主要考查了利用导数构造函数以及求参数范围，关键是看出()h x 过定点(1,0)，结合函数()f x 的图像，数形结合来分析问题，属于难题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若1,a b c >>∈R ，则下列说法一定正确的是（ ）A. ac bc >B. log 1b a >C. 114a b+≤ D. 若4a b +=，则228a b +> 【答案】BCD【解析】【分析】举例说明判断A ；利用对数函数单调性判断B ；利用不等式性质判断C ；利用基本不等式判断D.【详解】对于A ，当0c =时，0ac bc ==，A 错误；对于B ，由1a b >>，得log log 1b b a b >=，B 正确；对于C ，由1a b >>，得1101a b<<<，则1124a b +<≤，C 正确； 对于D ，由1a b >>，4a b +=，得222a b >>，228a b +>==，D 正确.故选：BCD10. 抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点（点A 在x 轴的下方），则下列结论正确的是（ ）A. 若8AB =，则AB 中点到y 轴距离为4B. 弦AB 的中点的轨迹为抛物线C. 若3BF FA = ，则直线AB的斜率k =D. 4AF BF +的最小值等于9【答案】BCD【解析】【分析】根据焦半径公式及中点坐标公式判断A ，设直线l 方程为1x ty =+并联立抛物线方程，应用韦达定理，利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去t 可得轨迹判断B ，结合向量的坐标运算求出点,A B 的坐标，的然后利用两点式斜率公式求解判断C ，由题可得111AF BF+=，然后根据基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -，设()()1122,,,A x y B x y ，对于A ，依题意，1228=++==+x A x B AF BF ，解得126x x +=，线段AB 中点的横坐标1232x x +=，该点到y 轴的距离为1232x x +=，A 错误； 对于B ，显然直线l 不垂直于y 轴，设直线l ：1x ty =+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，()2Δ4160t =-+>， 则124y y t +=，124y y =-，()21212242x x t y y t +=++=+， 设线段AB 中点坐标为(),M x y ，则2121221222x x x t y y y t +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，消去t 可得222y x =-，因此弦AB 中点轨迹为抛物线，B 正确；对于C ，显然2211),)(1,(1,BF x y FA x y =--=- ，由3BF FA = ，得()21131x x -=-，213y y -=，由选项B 知124y y =-，有()21212144y y x x ==⨯，又10y <，则1(,3A，(3,B ， 因此直线AB的斜率1212y y k x x -===-C 正确； 对于D ，由选项B 知124y y =-，121=x x ， 则12121212121222111111112x x x x AF BF x x x x x x x x +++++=+===+++++++，因此4114(4)()559BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF +=++=++≥+， 当且仅当4AF BFBF AF =，即23BF AF ==时取得等号，D 正确. 故选：BCD的11. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160,2,BAD AB AA P ∠===为1CC 的中点，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ，则下列结论正确的是（ ）A. 若13λμ+=，则四面体1A BPQ 的体积为定值 B. 若1A BQ △的外心为O ，则11A B AO ⋅ 为定值2C. 若1A Q =，则点QD. 若1λ=且12μ=，则存在点1E A B ∈，使得AE EQ +【答案】ACD【解析】 【分析】A 选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到,,W Q F 三点共线，得到//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到11114A B A O A B AT ⋅=⋅= ；C 选项，建立空间直角坐标系，设()0,2,2Q λμ，表达出()()2221222λμ++-=，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，结合弧长公式求出答案；D 选项，求出()0,2,1Q ，)2,2E a a -，得到AE EQ +=，画出图形，数形结合得到其最小值.【详解】A 选项，在1,CD DD 上分别取,F W ，使得13DF DC =，113DW DD =， 因为1DQ DC DD λμ=+ ，所以33DQ DF DW λμ=+ ， 因为13λμ+=，所以331λμ+=，即()313DQ DF DW λλ=+- ， 故33DQ DW DF DW λλ--= ，即3WQ WF λ= ，所以,,W Q F 三点共线，因为1//WF CD ，11//A B CD ，所以1//WF AB ，故//WF 平面1PA B ，故点Q 为平面1PA B 的距离为定值，又1PA B S 为定值，故四面体1A BPQ 的体积为定值，A 正确；B 选项，取1A B 的中点T ，因为1A BQ △的外心为O ，所以OT ⊥1A B ，又题意得1A B ==则11114A B A O A B AT ⋅=⋅== ，B 错误；C 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故DR ⊥DC ，以D 为坐标原点，以DR ，1,DC DD 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，故)11,2A -，设()0,2,2Q λμ，则1AQ ==， 化简得()()2221222λμ++-=，点Q 满足][()10,1,0,1DQ DC DD λμλμ⎡⎤=+∈∈⎣⎦ ， 即点Q 在正方形11CDD C 内，包括边界，故Q 点的轨迹为以()1,2S -为半径的圆，落在正方形11CDD C 内的部分，如图所示：因为SH =11SD =，故11D H ==，故1SD H 为等腰直角三角形，π4S ∠=，故点Q 的轨迹长度为π4=，C 正确； D 选项，若1λ=且12μ=，112DQ DC DD =+ ， 即()()()10,2,00,0,20,2,12DQ =+= ，即()0,2,1Q ，又)11,2A -，)B ，设()111,,E x y z ，设()[]10,2,2,0,1EB a A B a a a ==-∈ ，即)()111,1,0,2,2x y z a a ---=-，解得11112,2x y a z a ==-=，即)2,2E a a -，AE EQ +===， 如图所示，设11,22KJ GV JG ===，且KJ ⊥JG ，JG ⊥GV ， 在线段JG 上取一点L ，设GL a =，则12LJ a =-，故KL VL +=， 显然，直接连接KV ，此时KL VL +取得最小值，最小值即为KV ，由勾股定理得KV ==，故AE EQ +=的最小值为= D 正确.故选：ACD【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解；②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12. 已知向量()()1,,2,1a m b ==- .若()2a b + ()//2a b - ，则实数m 的值为__________.【答案】12-##0.5- 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算即可.【详解】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ()//2a b - ， 所以()()423210m m ++-=，解得12m =-. 故答案为：12-. 13. 若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos tan 22sin ααα=-，则tan α＝__________．【解析】 【分析】由商数关系，二倍角公式变形后求得sin α，再由同角关系式求得cos α，tan α． 【详解】因为cos tan 22sin ααα=-， 所以2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα===--， 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以cos 0α≠， 所以22sin 112sin 2sin ααα=--， 解得1sin 4α=，所以cos α==，所以sin tan cos ααα==14. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，F 为右焦点，过点F 作FA x ⊥轴交双曲线于第一象限内的点A ，点B 与点A 关于原点对称，连接AB ，BF ，当ABF ∠取得最大值时，双曲线的离心率为______．【解析】【分析】由条件求tan ABF ∠，结合基本不等式求其取最大值的条件，由此可得,a c 的齐次方程，化简可得双曲线的离心率.【详解】解：如图，根据题意(),0F c ，2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,b B c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴212BF b k k ac ==，2212BA b k k k ac===， 设直线,BA BF 的倾斜角为αβ，，∴()1121112tan tan 1tan tan 11tan tan 122k k ABF k k k αβαβαβ--∠=-===≤-++，当且仅当212b k ac ==即2b =，22c a -=，210e -=，又1e >∴e =四､解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．已知cos sin a b C B =． （1）求角B ；（2）过B 作BD BA ⊥，交线段AC 于D ，且2AD DC =，求角C ．【答案】（1）2π3 （2）π6【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换求解即可；（2）根据平面向量基本定理可得2133BD BC BA =+ ，再根据BD BA ⊥数量积为0求解得c a =即可. 【小问1详解】由正弦定理得：sin cos sin sin A C B C B =． ∵()πA B C =-+，∴()sin sin A B C =+，∴()sin sin cos cos sin cos sin sin B C B C B C C B C B +=+=∴cos sin sin B C C B =， 又sin 0C ≠，∴tan B =，又B 为三角形内角，∴2π3B =． 【小问2详解】 因为D 在AC 边上，且2AD DC =，所以2133BD BC BA =+ ． 因为BD BA ⊥，所以120033BD BA BA BC BA ⎛⎫⋅=⇒+⋅= ⎪⎝⎭220BA BC BA ⇒+⋅= ， 所以2c ac c a =⇒=．在ABC 中，c a =，2π3B =，∴π6C =．16. 在三棱锥S ABC -中，ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，,M N 分别为,AB SB 的中点.（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --的正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接,SO BO ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO BO O ⋂=，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，所以AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥， ∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,如图，则(2,0,0),(0,(2,0,0),(0,0,A B C S M N -，∴(30),(10CM MN ==-,， 设(),,n x y z = 为平面CMN的一个法向量，则30=0CM n x MN n x ⎧⋅==⎪⎨⋅-=⎪⎩ ， 取1z =，则==x yn =- ，又(0,0,OS =为平面MBC 的一个法向量，1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴===，sin ,n OS ∴= ， 故二面角N CM B --. 17. 为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举，全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，3个校区的队员人数分别是3，4，5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛（每场比赛都采取5局3胜制），根据积分选出最后的冠军.积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3：2取胜的队员积2分，失败的队员积1分（1）若每名队员获得冠､亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是多少？ （2）已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为(01)p p <<.①记小李以3：1取胜的概率为()f p .若当0p p =时，()f p 取最大值.求0p 的值；②若以①中0p 的值作为p 的值，这轮比赛小李所得积分为X ，求X 分布列及均值，【答案】（1）4766（2）①034p =；②分布列见解析，()1323512E X =【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）由题可得()()331f p p p =-，然后利用导数可求最值，再利用条件可求随机变量的分布列，期望. 【小问1详解】比赛结束后，冠､亚军恰好来自不同校区的概率是111111344535212C C C C C C 47C 66p ++==； 【小问2详解】①由题可知()()()2333C 131f p p p p p =-=-， ()()()()2323311334f p p p p p p '⎡⎤=-+⨯-=-⎣⎦， 令()0f p '=，得34p =， 当30,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当3,14p ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f p 的最大值点034p =； ②X 的可能取值为0,1,2,3，()()()333311333331301C 11C 1444256P X p p p ⎛⎫⎛⎫==-+-=-+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()2332224433271C 1C 144512P X p p ⎛⎫⎛⎫==-=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()222242243332812C 1C 144451P p X p p ⎛⎫⎛⎫ ⨯==-=⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()3232223333331893C 1C 14444256P X p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3P 13256 27512 81512 189256X 的期望为()13278118913230123256512512256512E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 18. 已知()()2,0,2,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为（1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过C 作不平行于坐标轴的直线交Γ于D ，E 两点，若DM x ⊥轴于点M ，EN x ⊥轴于点N ，直线DN 与EM 交于点Q .①求证：点Q 在一条定直线上，并求此定直线；②求DEQ 面积的最大值.【答案】（1）(22162x y x +=≠ （2）①证明见解析，3x =【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可；（2）①求出直线DN 与EM 方程，得到Q 点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 因为P 为ABC的重心，且边,AC AB上的两条中线长度之和为所以23PB PC BC +=⨯=>， 故由椭圆的定义可知P 的轨迹Γ是以()()2,0,2,0B C -为焦点的椭圆（不包括长轴的端点）， 且2a c ==，所以b =，所以P 的轨迹Γ的方程为(22162x y x +=≠. 【小问2详解】.①依题意，设直线DE 方程为()20x my m =+≠. 联立222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420m y my ++-=， 易知()()222Δ16832410m m m =++=+>设()11,D x y ，()22,E x y ，则12243m y y m +=-+，12223y y m ⋅=-+. 因为DM x ⊥轴，EN x ⊥轴，所以()1,0M x ，()2,0N x .所以直线DN ：()1212y y x x x x =--， 直线EM ：()2121y y x x x x =--， 联立解得()()122112211212121222223Q my y my y x y x y my y x y y y y y y ++++===+=+++. 从而点Q 在定直线3x =上. ②因为1212121113222DEQ Q S EN x x y x y my y =⋅-=⋅-=- ， 又121212my y y y =+，则1211211224DEQ y y S y y y +=-=-==， 1t =>，则2122DEQ t S t t t==≤++ ，当且仅当2t t=，即1m =±时，等号成立， 故DEQ.19. 给出下列两个定义：I.对于函数()y f x =，定义域为D ，且其在D 上是可导的，若其导函数定义域也为D ，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”()y f x =，若有以下性质：①()()()f x g f x '=；②()()()f x h f x ='，其中()(),yg x yh x ==为两个新的函数，()y f x '=是()y f x =的导函数.我们将具有其中一个性质的函数()y f x =称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数()y f x =称之为“双向导函数”，将()y g x =称之为“自导函数”.（1）判断函数tan y x =和ln y x =是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题():p y f x =是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题():(,0,1)x q f x k a k a a =⋅∈>≠R .判断命题p 是q 的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数()()e a xf x x b =-. ①若()f x 的“自导函数”是y x =，试求a 的取值范围；②若1a b ==，且定义()()34e 3x I x f x kx kx =-+，若对任意][1,2,0,k x k ⎡⎤∈∈⎣⎦，不等式()I x c ≤恒成立，求c 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）452[e ,)3-+∞ 【解析】【分析】（1）由()tan f x x =和()ln f x x =，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由q 成立，得到()ln xf x ka a '=，设()lng x x a =，得出()f x 为“单向导函数”，再设()ln xh x a=，得到()f x 为“双向导函数”，结合()g x 不是常值函数，求得p 不是q 的必要条件；再由p 成立，得到()(())f x g f x m '==，进而得出结论；（3）①由题意得到10a ax -=，求得0a =；②由题意求得()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=，令()22(21)e 4x p x x kx k =--+，求得()24(e 2)x p x x k '=-，得到存在0x 使得02e 20x k -=，进而得到()p x 单调性，分类讨论，即可求解.【小问1详解】解：对于函数()tan f x x =，则()21tan '=+f x x ， 这两个函数的定义域都是π{|π,Z}2x x k k ≠+∈， 所以函数()f x 为“同定义域函数”，此时，()21g x x =+， 由函数的定义，对于4πx =±，()(())f x h f x '=无法同时成立， 所以()f x 为“单向导函数”，其“自导函数”为()21g x x =+，对于函数()ln f x x =，则()1f x x'=， 因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.【小问2详解】解：若q 成立，()x f x ka =，则()ln x f x ka a '=，设()ln g x x a =，则()(())f x g f x '=，所以()f x 为“单向导函数”，又设()ln x h x a=，则()(())f x h f x '=，所以()f x 为“双向导函数”， 但()g x 不是常值函数，所以p 不是q 的必要条件；若p 成立，则()g x m =，所以()(())f x g f x m '==，所以()f x mx n =+，所以q 不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件.【小问3详解】解：①由题意，()1()e a a x f x ax x b -'=+-，且1()e ()e a a x a x ax x b x b -+-=-，所以10a ax -=，所以0a =；②由题意()234(1)e 3xI x x kx kx =--+，所以()22(21)e 4x I x x kx k '=--+且1()02I '=， 令()[][]22(21)e 4,0,,1,2x p x x kx k x k k =--+∈∈，可得()21e 30p k =->，且()224e 84(e 2)x xp x x kx x k '=-=-， 因为2e 2x y k =-为单调递增函数，且20|120,|e 20k x x k y k y k ===-<=->， 所以存在01ln 2(0,)2x k k =∈使得02e 20x k -=， 且当0[0,]x x ∈时，()0p x '≤，()p x 单调递减；当0[,]x x k ∈时，()0p x '≥，()p x 单调递增，（i ）当011ln 222x k ==时，即e 2k =， 所以2min 0000()()(21)24(21)0p x p x x k kx k k x ==-⋅-+=--=，此时()0I x '≥，()I x 在[0,]x k ∈上单调递增，可得()()max I x I k =；（ii ）当1k =时，(0)110p =-+=，此时()200min 1ln 2,(21)02x p x k x ==--<， 所以当1[0,]2x ∈时，()0I x '≤，()I x 单调递减； 当1[,1]2x ∈时，()0I x '≥，()I x 单调递增，又由()()()10I k I I =>，所以()()max I x I k =；（iii ）当(1,2]k ∈且e 2k ≠时，()20min (21)0,(0)0p x k x p =--<>， 所以函数()I x 在(0,1)上存在两个极值点， 若011ln 222x k =>，即e 22k <≤时，极大值点为12； 若011ln 222x k =<，即e 12k <<时，极大值点为11x 2<， 则()max I x 为函数的极大值或()I k ， 由当102x ≤≤时，()()23242414(1)e 10,(1)e 323x k I x x kx kx k I k k k k =--+≤-+≤=--+， 令()[]2424(1)e ,1,23k t k k k k k =--+∈，则()[]2316(21)e 2,1,23k t k k k k k '=--+∈，设()[]2316(21)e 2,1,23k s k k k k k =--+∈， 则()2224e 1624(e 4)20k k s k k k k k '=-+=-+>， 所以()s k ，即()t k '单调递增，所以()()2161e 203t k t ''≥=-+>， 所以()t k 单调递增，所以()()4522e 03t k t ≤=->， 综上可得，()4max 52e 3I x c =-≤，所以实数c 的取值范围为452[e ,)3-+∞. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

湖南省雅礼中学2014届高三第八次月考数学文 2014.4.(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.1.已知集合2{|03},{|540}M x x N x x x =<<=-+≥,则M N =A ．{|01}x x <≤B ．{|13}x x ≤<C ．{|04}x x <≤D ．{|0x x <或4}x ≥2.若复数221z i i=++,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为A ．1BCD ．23.运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是INPUT “n ＝”； n k ＝1 p ＝1WHILE k<＝np ＝p*kk ＝k ＋1WEND PRINT p ENDA ．120B ．720C ．1440D ．50404.已知直线01)2(:,02)2(:21=-+-=--+ay x a l y a x l ,则“1-=a ”是“21l l ⊥的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知y x ,的取值如下表:y x 与线性相关,从散点图可以看出且回归方程为0.95y x a =+,则a =A. 3.2 B ．3.0 C. 2.8 D ．2.66.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的 表面积是x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π7.已知向量b a ,满足||1,(1,3)a b ==-,且()b a a +⊥,则a 与b 的夹角为A . 60B . 90C . 120D . 1508.已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，(其中0022A ππωϕ>>-<<，，),其部分图像如图所示,将()f x 的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到()g x 的图像,则函数()g x 的解析式为A ．()sin(1)2g x x π=+B ．()sin(1)8g x x π=+C ．()sin(1)2g x x π=+D ．()sin(1)8g x x π=+9.若函数()xxf x ka a-=-(a >0且1a ≠)在(,-∞+∞)上既是奇函数又是增函数,则()log ()a g x x k =+的图象是正视图 俯视图左视图10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是A. 12万元B. 20万元C. 25万元D. 27万元答案 ABB ADA CBC D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.11.若直线24sin :=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρl 与曲线()为参数t ty t x C ⎩⎨⎧==2:相交于B A ,两点， 则AB = ．12.已知数列121,,,9a a 是等差数列,数列1231,,,,9b b b 是等比数列,则212b a a +的值为_____________.13.已知函数()f x 在()+∞,0内可导,且满足x e e f x x +=)(,则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为_____________________14.过椭圆C ：()012222>>=+b a by a x 的右顶点作圆222b y x =+的两条切线，切点分别为A ，B ，若120AOB ∠=（O 是坐标原点），则C 的离心率为__________ 15.对于定义域为[]1,0的函数()f x ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的]1,0[∈x ,总有0)(≥x f②1)1(=f③若0,021≥≥x x ,121≤+x x ,都有)()()(2121x f x f x x f +≥+ 成立 则称函数)(x f 为理想函数.（Ⅰ）若函数)(x f 为理想函数,则=)0(f ________；（Ⅱ）下列结论正确的是_________________.(写出所有正确结论的序号) ①函数])1,0[(12)(∈-=x x f x 是理想函数；②若函数)(x f 是理想函数,假定存在]1,0[0∈x ,使得]1,0[)(0∈x f ,且00)]([x x f f =,则00)(x x f =.答案11.23 12.103 13.012=--y x 14. 23 15.（Ⅰ）0（Ⅱ）①②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间 是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100. (Ⅰ)求图中x 的值及平均成绩；(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人, 求2人成绩都不低于90分的概率.解:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=,解得0.018x =. 3分 平均成绩为()748518.07554.0651.095554506.0=⨯+⨯+⨯+++⨯. 6分 (Ⅱ)分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人. 从成绩不低于80分的12学生中随机选取2人共有66种取法，从成绩不低于90分的3名学生中随机选取2人共有3种取法，故所求的概率为.221663= 12分17. (本小题满分12分)如图,设D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,且AD AB =,记βα=∠=∠ABC CAD ,. (Ⅰ)证明：02cos sin =+βα； (Ⅱ)若DC AC 3=,求β的值.解(Ⅰ)因为(),22222πββπππα-=--=∠-=BAD 所以.02cos sin ,2cos )22sin(sin =+-=-=βαβπβα即 6分(Ⅱ)()αβββπαsin 3sin ,sin 3sin sin ==-=∆所以中，由正弦定理得在DCAC DC ADC . 由(1)有()1sin 23sin 1sin 22cos sin 22-=-=-=ββββα，所以,即3,20.33sin 23sin ,03sin sin 322πβπβββββ=<<-===--因此又或解得 12分18.(本小题满分12分)如图,在长方体1111ABCD A BC D -中，E AD AA ,21==为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥ ；(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长；若不存在,说明理由.(Ⅰ)连D A 1,1111111111,,AD A B DA D A A B AD D A AD AA ⊥⊥⊥=所以平面又，所以因为所以D B A AD 111平面⊥,又因为11B A ∥DE ,所以，因此平面D B A E B 111⊂11B E AD ⊥. 6分 (Ⅱ)取棱1AA 的中点P ,则有//DP 平面1B AE ，其中AP 的长为1.证明如下: 取PF B AA PF F AB 的中位线，所以为则的中点111,∆∥，又且111121B A PF B A = ED ∥PF B A ED B A ，所以且111121=∥，且ED PF ED =所以DP ∥EF 又 DP AEB EF AEB DP ，所以平面平面11,⊂⊄∥平面1B AE . 12分19.(本小题满分13分)已知不在x 轴上的动点P 与点()0,2F 的距离是它到直线l ：21=x 的距离的2倍. （Ⅰ）求点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交E 于C B ,两点，试判断以线段BC 为直径的圆是否过定点?并说明理由.解：(1)设P (x ,y )12||2x =-化简得x 2－23y =1(y ≠0). 4分(2)由题意可设过点F 的直线的方程为2+=ky x ,代入1322=-y x 得 ()09121322=++-ky y k由题意知3k 2-1≠0且△＞0,设()()2211,,,y x C y x B ，则⎩⎨⎧1391312221221-=--=+k y y k k y y 8分设()0,1-A ,因为()()()()()()()()()09133613199313311,1,1222221212212121212211=+---+=++++=+++=+++=++=⋅k k k k y y k y y k y y ky ky y y x x y x y x AC AB AC AB ⊥∴,故以线段BC 为直径的圆过定点()0,1-A . 13分20.(本小题满分13分)对于任意的*n N ∈（n 不超过数列的项数），若数列{}n a 满足：n n a a a a a a ⋅⋅=+++ 2121，则称该数列为K 数列. （Ⅰ）若数列{}n a 是首项12a =的K 数列，求3a 的值； （Ⅱ）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列. (1)试求1n a +与n a 的递推关系； (2)当时且1031<<≥a n ,试比较na a a 11121+++ 与316的大小.解（Ⅰ）有题意可得.222,2222121==+=+a a a a a a a ，所以即 又,42233321321a a a a a a a a =++=++，即所以343=a . 3分 （Ⅱ）(1)因为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是K 数列，所以()11111≥===∑n a a n i i n i i ① 111111+=+==∑n i i n i i a a ②两式相减得()11111111≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==++n a a a n i i n n ③ 则()20111111≥≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=n a a a n i in n ④两式相除得()2111111111≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n a a a a a nn n n n ,整理得()2121≥+-=+n a a a n n n 又1221211,1111a a a a a a -=⋅=+所以. 综上所述，1+n a 与递推关n a 系为⎩⎨⎧≥+-=-=+2,11,121n a a n a a n nn n . 8分 (2)()41613161314343,143214311010124223121≥≥>=+-⎪⎭⎫⎝⎛≥<+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤<-=<<<+n a a a a a a a a n n ，又所以，从而，所以因为又当1111121---=≥+n n n a a a n 时，,所以 当时，3≥n.31611111111111111111111111121132121≥-=--=---+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=+++++++n n n n n n a a a a a a a a a a a a a13分21.(本小题满分13分)已知函数()x a x x f ln 1)(2+-=有两个极值点,,21x x 且.21x x <(Ⅰ)求实数a 的取值范围，并讨论)(x f 的单调性； (Ⅱ)证明:42ln 21)(2->x f . 解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的定义域为()()()0,22,,02='+-='+∞x f xax x x f 且有两个不同的根，且，即的判别式故21084022,,221<>-=∆=+-a a a x x x x.00.22112211121>>-+=--=a x a x a x ，故又，因此a 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛210，. 4分()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当.因此()()()上单调递减，上单调递增，在，和，在21210)(x x x x x f ∞+. 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知()22212121122,2,1x x x x a ax x x x -====+所以,因此()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<-+-=+-=x x x x x x a x x f ，其中. 9分()()()则设),121(ln 1212<<-+-=t t t t t t h()()()()(),0ln 21211ln 21212>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-='t t t t t t t t t h所以42ln 21)21()(121)(-=>⎪⎭⎫⎝⎛h t h t h 单调递增，所以，在.即42ln 21)(2->x f . 13分。

湖南省长沙市雅礼中学高三下学期第八次月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足(1)|2|i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】根据复数z 满足(1)|2|i z i +=，利用复数的除法求解. 【详解】∵(1)|2|2i z i +==， ∴211z i i==-+. 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．集合{}{|3},1,0,1xM y R y N =∈==-，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．(0,)M N ⋃=+∞C ．()(,0)R C M N ⋃=-∞D ．{}()1,0R C M N ⋂=-【答案】D【解析】{}0M y y =，{|0}R M y y =≤ð，所以{}()1,0R C M N ⋂=-，故选D 3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A ．0.35 B ．0.25C ．0.20D ．0.15【答案】B【解析】已知三次投篮共有20种，再得到恰有两次命中的事件的种数，然后利用古典概型的概率公式求解.【详解】三次投篮共有20种，恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种 ∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为50.2520p == 故选：B 【点睛】本题主要考古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，再将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ） A ．5()cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4g x x =D ．()sin g x x =【答案】D【解析】先根据平移变换，左加右减，将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后得到sin 2y x =，再根据伸缩变换将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，则将x 的系数变为原来的12得到函数()g x . 【详解】将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后得到cos 2cos 2sin 2362πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x x ，再将每一点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()sin g x x =. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．6y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】根据双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为23，利用21⎛⎫=- ⎪⎝⎭b c a a 求解. 【详解】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为233所以22311b c e a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 又因为焦点在x 轴上 所以渐近线方程为3y x =±. 故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 7πB ．5C ．23π D ．π【答案】C【解析】通过三视图可知，该几何体是一个組合体，它由半个圆锥与四分之一球体組成，其中圆锥的底面半径为1，高为2，球的半径为1，分别求得体积即可. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个組合体，它由半个圆锥与四分之一球体組成， 其中圆锥的底面半径为1，高为2体积为21112233ππ⨯⨯⨯⨯=；球的半径为1，体积为3141433ππ⨯⨯=. 所以该几何体的体积为2333πππ+=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题. 7．如图，边长为1的正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，在正方形ABCD 内随机取一个点Q ，则点Q 取自阴影部分的概率等于（ ）A ．25B ．34C ．35D ．23【答案】D【解析】根据三角形的面积公式，可得16==V V V AEG CFH ABC S S S 112=S 正方形ABCD ，13=V V DGH ADC S S 16=S 正方形ABCD ，从而求得阴影部分的面积，再利用几何概型的概率公式求解. 【详解】 ∵16==V V V AEG CFH ABC S S S 112=S 正方形ABCD ，， 又13=V V DGH ADC S S 16=S 正方形ABCD ， ∴S 阴影23=S 正方形ABCD ， 故点Q 取自阴形部分的概率等于23. 故选：D 【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．设函数()()sin ,[,]x xf x e ex t x a a -=++∈-的最大值和最小值分别为,M N .若8M N +=，则t =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】设()()sin ,[,]x xg x e ex x a a -=+∈-，根据()g x 是奇函数，则有max min ()()0g x g x +=，再由max min ()()28+=++=M N g x g x t 求解.【详解】 设()()sin ,[,]x xg x e ex x a a -=+∈-，∵()g x 是奇函数， ∴max min ()()0g x g x +=，∴max min ()()228M N g x g x t t +=++==， ∴4t =. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数.将该方法用算法流程图表示如下，根据程序框图计算当98,63a b ==时，该程序框图运行的结果是（ ）A ．7,7a b ==B ．6,7a b ==C ．7,6a b ==D ．8,8a b ==【答案】A【解析】根据运算功能，输入98,63a b ==，一一验证，直至两数相等时，输出结果. 【详解】运算功能：是用更相减损术求两个数的最大公约数.由986335,633528,35287,28721,21714,1477-=-=-=-=-=-=， 得98和63的最大公约数等于7，即程序运行的结果为7,7a b ==. 故选：A【点睛】本题主要考查对程序框图的理解和应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且 1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C．2D ．92【答案】B【解析】由题意得（1+2d ）2＝1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得2163n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13 成等比数列， ∴（1+2d ）2＝1+12d ． 得d ＝2或d ＝0（舍去）， ∴a n ＝2n ﹣1， ∴S n ()1212n n +-==n 2，∴2216216322n n S n a n ++=++．令t ＝n +1，则2163n n S a +=+t 9t+-2≥6﹣2＝4 当且仅当t ＝3，即n ＝2时，∴2163n n S a ++的最小值为4．故选：B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,,5AF BF AB BF cos ABF C ==∠=连接若则的离心率为A ．35B ．57C ．45D ．67【答案】B 【解析】【详解】AFB 三角形中，由余弦定理可得：222||||2cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠代入得22481002108=365AF =+-⨯⨯⨯，解得6AF =,由此可得三角形ABF 为直角三角形． OF=5，即c=5.由椭圆为中心对称图形可知当右焦点为2F 时，2AFB BF A ∆≅∆,25214,7,7a AF AF a e =+===【考点定位】本题考查椭圆定义，解三角形相关知识以及椭圆的几何性质．12．已知函数()2x 2x 1,x 2x 2f x 2,x 2-++<-⎧⎪=≥⎨⎪⎩，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f （x 1）=f （x 2）=f （x 3），则x 1•x 2•x 3的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．()1,2C ．()0,2D ．()1,3【答案】A【解析】作出y ＝f （x ）的函数图象，设x 1＜x 2＜x 3，f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，1＜t ＜2，求得x 1，x 2，x 3，构造函数g （t ）＝（t ﹣1）（2+log 2t ），1＜t ＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围． 【详解】函数()2221222x x x x f x x -⎧-++=⎨≥⎩，＜，的图象如图所示：设x 1＜x 2＜x 3，又当x ∈[2，+∞）时，f （x ）＝2x ﹣2是增函数，当x ＝3时，f （x ）＝2，设f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，1＜t ＜2， 即有﹣x 12+2x 1+1＝﹣x 22+2x 2+1＝322x -=t ， 故x 1x 2x 3＝（12t --）（12t -（2+log 2t ） ＝（t ﹣1）（2+log 2t ），由g （t ）＝（t ﹣1）（2+log 2t ），1＜t ＜2， 可得g ′（t ）＝2+log 2t 12t tln -+＞0，即g （t ）在（1，2）递增，又g （1）＝0，g （2）＝3，可得g （t ）的范围是（0，3）． 故选：A ． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，考查转化思想和构造函数法，数形结合思想，难度中档．二、填空题13．动点(,)P x y 满足20{030x y y x y -≥≥+-≥，则2z x y =+的最小值为 .【答案】3【解析】试题分析：由已知可得，线性可行域如图所示，则线性目标函数在点3,0（）取最小值3.【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14．已知ABC V 中，点P 为BC 的中点，若向量(1,1),(2,2)AB AC ==-u u u r u u u r，则AP BC ⋅=u u u r u u u r_______.【答案】3【解析】根据点P 为BC 中点，得到AB AC AP 2+=u u u r u u u r u u u r，再由()2211()()22⋅=+⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r AP BC AB AC AC AB AC AB 求解.【详解】因为点P 为BC 中点，所以AB AC AP 2+=u u u r u u u r u u u r ，所以()22111()()(82)3222AP BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：3 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．若数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈；令()3log 1n n b a =+，则123100b b b b ++++=L _____________．【答案】5050【解析】试题分析：由()*132n n a a n N +=+∈可知()111131,31n n n n a a a a ++++=+∴=+，所以数列{}1n a +是以3为首项，3为公比的等比数列，所以13,31nnn n a a +=∴=-，所以()3log 1n n b a n =+=，因此()12310010011005050.2b b b b +++++==L【考点】等比数列的通项公式与等差数列求和．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式()*132n n a a n N+=+∈构造数列{}1na +是以3为首项，3为公比的等比数列.据此得到数列{}n a 的通项公式，根据对数运算得到{}n b 是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前n 项和公式求解.16．已知一张矩形白纸ABCD ，10,102AB AD ==，,E F 分别为,AD BC 的中点，现分别将,ABE CDF △△沿,BE DF 折起，使,A C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为________.【答案】150π【解析】在三棱锥P DEF -中，根据22222PD PF CD CF DF +=+=，则90DPF ︒∠=，DPF ∆为直角三角形，又90DEF ︒∠=，DEF ∆为直角三角形，根据直角三角形的中线定理，可得DF 的中点为三棱锥P DEF -的外接球的球心求解. 【详解】在三棱锥P DEF -中，22222PD PF CD CF DF +=+=，∴90DPF ︒∠=，所以DPF ∆为直角三角形，且22210(52)150DF =+=， 又因为90DEF ︒∠=，DEF ∆为直角三角形，∴DF 的中点为三棱锥P DEF -的外接球的球心，则2R DF =， 故球的表面积24150S R ππ==. 故答案为：150π 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球问题，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC V 三个内角,,A B C的对边，sin cos c C c A =+. （1）求A ；（2）若a =ABC ∆的周长为4+，求ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2【解析】（1）根据sin cos c C c A =+，根据正弦定理2sin sin a c R A C ==，转化为2sin sin )sin (2sin )cos R C R A C R C A =+，再利用两角和与差的三角函数求解.（2）根据a =ABC V的周长为4+，得4b c +=，再由余弦定理，解得bc ，然后用12sin 23π=V ABC S bc 求解. 【详解】（1）根据正弦定理2sin sin a c R A C==，得2sin ,2sin a R A c R C ==，因为sin cos c C c A =+，所以2sin sin )sin (2sin )cos R C R A C R C A =+， 因为sin 0C ≠，cos 1A A +=， 即1sin 62A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 而70,666A A ππππ<<<+<， 从而566A ππ+=， 解得23A π=. （2）若a =ABC V的周长为4+，又由（1）23A π=， 则224,22cos 12,3b c b c bc π+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩解得4bc =， 从而12sin 323ABC S bc π==V . 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的体积及侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）体积85，侧面积1225+ 【解析】（1）取AB 的中点E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ，则AD PE ⊥，再有,⊥⋂=AD DC PE DC E ，利用线面垂直的判定定理证明.（2）在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====，在Rt PED V中，225PE PD DE =-=，即为高，再求得底面ABCD 的面积，利用锥体体积公式求解.,PAB PCD △△为等腰三角形，,PF PE 分别为底边上的高，,,∆∆PAD PBC 为直角三角形，分别求得其面积即可.【详解】（1）如图所示：取AB 的中点E ，连接PE ，则PE ⊥平面ABCD ，由,,⊥⊥⋂=AD PE AD DC PE DC E所以AD ⊥平面PDC又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥.（2）依题意，在等腰三角形PCD 中，3,2PC PD DE EC ====，在Rt PED V 中，225PE PD DE =-=， ∴四棱锥P ABCD -的体积为18542533V =⨯⨯⨯=. 过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，∴AB PE ⊥.∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E ⋂=，∴AB ⊥平面PEF .∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥.依题意得2EF AD ==.在Rt PEF △中，223PF PE EF =+=， ∴PAB △的面积为162S AB PF =⋅⋅=， ,,PAD PBC PCD V V V 的面积分别为3，3，25，所以侧面积的大小为633251225+++=+.【点睛】本题主要考查三视图的应用和几何体的体积.表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.19．某公司为评估两套促销活动方案（方案1运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元件），在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销活动方案），运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示.（1）请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案（不必说明理由）；（2）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用），为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价i x （单位：元/件，整数）和销量i y （单位：件）(1,2,,8)i =L 如下表所示：①请根据下列数据计算相应的相关指数2R ，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；②根据所选回归模型，分析售价x 定为多少时？利润z 可以达到最大.（附：相关指数()()22121ˆ1n i i i n ii y y R y y ==-=--∑∑） 【答案】（1）方案1；（2）①2R 见解析，21ˆ12003y x =-+；②40x = 【解析】（1）由等高条形图可知，年度平均销售额方案1的运作相关性更强于方案2.（2）①根据题给数据和公式，分别求出相关指数，比较即可得出结论；②由（1）可知，采用方案1的运作效果比方案2的好，故年利润211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，利用导数求出单调性的方法，即可求出结论. 【详解】（1）由等高条形图可知，年度平均售额与方案1的运作相关性强于方案2.（2）①由已知数据可知，回归模型ˆ1200ln 5000yx =-+对应的相关指数210.5792R =；回归模型ˆ271700yx =-+对应的相关指数220.8946R =； 回归模型21ˆ12003yx =-+对应的相关指数230.9990R =. 因为222321R R R >>，所以采用回归模型21ˆ12003y x =-+进行拟合最为合适. ②由（1）可知，采用方案1的运作效果较方案2好， 故年利润211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，(30)(40)z x x '=-+-， 当(0,40)x ∈时，211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增； 当(40,)x ∈+∞时，211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调适减， 故当售价40x =时，利润达到最大.【点睛】本题考查回归分析模型中相关指数的应用和等高条形图，以及利用导数求单调性和最值，属于中档题.20．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)A m 在抛物线E 上，且5||2AF =，直线l 与抛物线E 交于M 、N 两点（点M 、N 与A 不重合），设直线AM 、AN 的斜率分别为12,k k .（1）求抛物线E 的方程；（2）当122k k +=时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标.【答案】（1）22y x =；（2）证明见解析【解析】（1）利用抛物线的定义，根据5||222p AF =+=求解.（2）易知直线l 的斜率存在且不等于零，设直线l 的方程为y kx b =+，联立得2222,,(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+-+=⎨=⎩，根据122k k +=，由韦达定理代入整理求解.， 【详解】（1）∵5||222p AF =+=，∴1p =∴地物线E 的方程为22y x =.（2）如图所示：易知直线l 的斜率存在且不等于零，设直线l 的方程为y kx b =+，与抛物线方程联立得 2222,,(22)02y kx b k x kb x b y x=+⎧+-+=⎨=⎩， 设()()1122,,,,(2,2)M x y N x y A ， ∴212122222,kb b x x x x k k-+== ()()()()()()1221121212122222222222kx b x kx b x y y k k x x x x +--++----+=+=---- 222222222(22)842224b kb k b k b k k b kb k k -⋅+--+-=--⋅+ 22222(22)(22)(84)2(22)4kb b k kb b k b kb k+---+-=--+ 2=(1)(22)0∴++-=b b k ，∴1b =-或22b k =-，当1b =-时，1y kx =-，过定点(0,1)-；当22b k =-时，22(2)2y kx k k x =+-=-+，过定点(2,2)（舍去），故直线l 恒过定点(0,1)-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的定义及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21．设函数21(),()ln ,()()()2f x xg x b x F x f x g x ===-. （1）若()F x 在区间(0,1]上存在极值，求实数b 的取值范围；（2）①设b e =，求()F x 的最小值；②定义：对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m +…和()g x kx m +„都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“隔离直线”.设b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(0,1)；（2）①0；②存在，2e y =- 【解析】（1）先求导，2()b x b F x x x x-'=-=.再分①0b „ ，1b …， 01b <<三种情况分类讨论.（2）①由21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，再求导2()e x e F x x x x -'=-==.，分0x << x >②由①知()f x 与()g x 的图象在x =2e ⎫⎪⎭.设()f x 与()g x 存在“隔离直线”，方程为(2e y k x -=，即2e y kx =+-()2e f x kx +-…x ∈R 上恒成立， ()(0)2e g x x ->„恒成立即可. 【详解】 （1）2()b x b F x x x x-'=-=.①当0b „时，()0F x '>，()F x 在区间(0,1]上递增，不存在极值；②当1b …时，()0F x '„，()F x 在区间(0,1]上递减，不存在极值；③当01b <<时，得()F x 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在x =.综上，实数b 的取值范围是(0,1).（2）①21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2()e x e F x x x x -'=-==.所以当0x <<时，()0F x '<；当x >()0F x '>.因此x =()F x 取得最小值0；②由①知()f x 与()g x 的图象在x =2e ⎫⎪⎭.设()f x 与()g x 存在“隔离直线”，方程为(2e y k x -=，即2e y kx =+-由()2e f x kx +-…x ∈R 上恒成立，则2220x kx e --+在x ∈R 上恒成立.所以22244(2)4844(0k e k e k =--=-=-V „成立，因此k =下面证明()(0)2e g x x ->„恒成立.设()ln 2e G x e x =-+，则()e G x x '==所以当0x <<时，()0G x '>；当x >()0G x '<.因此x =()G x 取得最大值，则()(0)2e g x x ->„恒成立.故所求“隔离直线”方程为：2e y =-.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线11C x y +=:与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知():0l θαρ=>与1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4OB OA =时，求α的值． 【答案】（1）1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭；2C 的极坐标方程为：4cos ρθ= （2）4πα= 【解析】（1）根据直角坐标与极坐标的互化关系，参数方程与一般方程的互化关系，即得解；（2）将():0l θαρ=>代入1C ，2C 的极坐标方程，求得||,||OA OB 的表达式，代入4OBOA =，即得解.【详解】（1）解：将直角坐标与极坐标互化关系cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入曲线 11C x y +=:得cos sin 1ρθρθ+=，即：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 所以曲线1C的极坐标方程为：14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 又曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．利用22sin cos 1ϕϕ+=消去参数ϕ得2240x y x +-=，将直角坐标与极坐标互化关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 代入上式化简得4cos ρθ=， 所以曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（2）∵():0l θαρ=>与曲线1C ，2C 的公共点分别为A ，B ，所以将()0θαρ=>代入14ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭及4cos ρθ=得14OA πα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4cos OB α=， 又4OB OA =，sin 14παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos αα=，4πα=． 【点睛】 本题考查了参数方程，极坐标方程的综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()|2||21|f x x x =+--.（1）求()5f x >-的解集（2）若关于x 的不等式2|2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(2,8)-；（2）73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）将()5f x >-，转化为235x x <-⎧⎨->-⎩或122315x x ⎧-⎪⎨⎪+>-⎩剟或1235x x ⎧>⎪⎨⎪->-⎩求解.（2）将|2||2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立，转化为第 21 页 共 21 页 |2||2||1|||||b a b a x x m a +--++-…能成立，即221|1|||b b x x m a a+--++-…能成立，令b t a=，则|2||21||1|||t t x x m +--++-…能成立， ()()max min |2||21||1|||+--++-t t x x m …求解.【详解】（1）()5f x >-等价于235x x <-⎧⎨->-⎩或122315x x ⎧-⎪⎨⎪+>-⎩剟或1235x x ⎧>⎪⎨⎪->-⎩ 解得：122-<x „或182x << 故()5f x >-的解集为(2,8)-.（2）由|2||2|||(|1|||)(0)b a b a a x x m a +--++-≠…能成立， 得|2||2||1|||||b a b a x x m a +--++-…能成立， 即221|1|||b b x x m a a+--++-…能成立， 令b t a =，则|2||21||1|||t t x x m +--++-…能成立， 由（1）知，5|2||21|2t t +--„， 又∵|1||||1|x x m m ++-+…，∴5|1|2m +„， ∴实数m 的取值范围是73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

雅礼中学2025届高三月考试卷（三）数学命题人：审题人：得分：________本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“存在，”的否定是A.存在，B.不存在，C.任意，D.任意，2.若集合（i 是虚数单位），，则等于A. B. C. D.3.已知奇函数，则A.-1B.0C.1D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列可以推出的是A.，， B.，，C.，， D.，，5.已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则A.0B. C.4D.x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++>x ∈Z 220x x m ++…x ∈Z 220x x m ++>{}2341,i ,i ,i A ={}1,1B =-A B ⋂{}1-{}1{}1,1-∅()()22cos x x f x m x -=+⋅m =12m l αβαβ⊥m l ⊥m β⊂l α⊥m l ⊥l αβ⋂=m α⊂m l m α⊥l β⊥l α⊥m l m β()()4cos (0)f x x ωϕω=+>6f ϕπ⎛⎫-=⎪⎝⎭2ϕ2ϕ6.已知是圆上一个动点，且直线与直线（，，）相交于点，则的取值范围为A. B.C. D.7.是椭圆上一点，，是的两个焦点，，点在的角平分线上，为原点，，且.则的离心率为A.8.设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是A.这10年粮食年产量的极差为16B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35C.这10年粮食年产量的平均数为33.7D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差10.已知函数满足，，并且当时，，则下列关于函数说法正确的是M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=2:30l nx my m n +--=m n ∈R 220m n +≠P PM 1,1⎤-+⎦1⎤-⎦1,1⎤-+⎦1⎤+⎦P 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F C 120PF PF ⋅= Q 12F PF ∠O 1OQPF OQ b =C 12(){}{}{}12345,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5iAx x x x x x i ∈-=A 1234513x x x x x ++++……()f x ()()22f x f x ππ+=-()()0fx f x ππ++-=()0,x π∈()cos f x x =()f xA. B.最小正周期C.的图象关于直线对称D.的图象关于对称11.若双曲线，，分别为左、右焦点，设点是在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，，则下列说法不正确的是A.双曲线的渐近线方程为B.点的运动轨迹为双曲线的一部分C.若，，则D.不存在点，使得取得最小值答题卡题号1234567891011得分答案第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为________.13.各角的对应边分别为，，，满足，则角的取值范围为________.14.对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设为正项等比数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前项和.302f π⎛⎫=⎪⎝⎭2T π=()f x x π=()f x (),0π-22:145x y C -=1F 2F P I12PF F △()0,4A C 045x y±=I 122PF PF =12PI xPF yPF =+ 29y x -=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x ABC △a b c 1b ca c a b+++…A *n ∈N 11e 1nan n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…a n S {}n a n 21332S a a =+416a ={}n a {}n b 11b =1222log log n nn n b a b a ++={}n b n n T16.（本小题满分15分）如图，在四棱锥，，，，点在上，且，.（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数有两个极值点为，，.（1）当时，求的值；（2）若（e 为自然对数的底数），求的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.（1）求抛物线的方程；（2）已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，，记直线，，的斜率分别为，，，且满足.①求点的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，，切线，分别交抛物线于不同的两点，和点，，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.19.（本小题满分17分）对于一组向量，，，…，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”.（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范P ABCD -BCAD 1AB BC ==3AD =E AD PE AD ⊥2DE PE ==F PE BFPCD AB ⊥PAD PAB PCD ()21ln 2f x x x ax =+-1x ()212x x x <a ∈R 52a =()()21f x f x -21e x x …()()21f x f x -2:2(0)E x py p =>F H E HF E P P E M N PM PN PF 1k 2k 3k 123112k k k +=P ()0,(0)Q λλ>P Q 1l 2l 1l 2l E ()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 1234s s s s Q 1a 2a 3a n a N n ∈3n …123n n S a a a a =++++{}()1,2,3,,p a p n ∈ p n p a S a - …p a(),2n a n x n =+n ∈N 0n >3a 1a 2a 3ax围；（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，，满足为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值.sin,cos 22n n n a ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭n ∈N 0n >1a 2a 3a 7a 1a 2a 3a 1a2a3a()1sin ,cos a x x =()22cos ,2sin a x x = 1P 2P 3P n P 1P 2P 3a 21k P +2k P 1P 22k P +21k P +k ∈N 0k >2P10151016P P参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DCADCBCDACDADABD1.D2.C 【解析】集合，，.故选C.3.A【解析】是奇函数，，，，，.故选A.4.D 【解析】有可能出现，平行这种情况，故A 错误；会出现平面，相交但不垂直的情况，故B 错误；，，，故C 错误；，，又由，故D 正确.故选D.5.C 【解析】设的最小正周期为，函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则有，得，则有，解得，所以，所以.故选C.6.B 【解析】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点的轨迹是以线段为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，{}i,1,1,i A =--{}1,1B =-{}1,1A B ⋂=-()f x ()()22cos x x f x m x -=+⋅()()()2222x x x xf x f x m --⎡⎤∴+-=+++⎣⎦cos 0x =()()122cos 0x x m x -∴++=10m ∴+=1m =-αβαβm l m α⊥l βαβ⊥⇒ l α⊥m l m α⇒⊥ m βαβ⇒⊥ ()f x T 224254T ⎛⎫+= ⎪⎝⎭12T =212πω=6πω=()4cos 6f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭664cos 4cos046f ϕϕπϕππ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1:310l m x n y ---=()3,1A ()()2:130l n x m y -+-=()1,3B 12l l ⊥1l 2l P AB 22(2)(2)2x y -+-=()2,2N 2r =C ()0,0C 11r =12NC r r =>+12min1PMNC r r =--=-，所以的取值范围为.故选B.7.C 【解析】如图，设，，延长交于点，由题意知，为的中点，故为中点，又，即，则，又由点在的角平分线上得，则是等腰直角三角形，故有化简得即代入得，即，又，所以，所以，.故选C.8.D 【解析】因为或，所以若，则在中至少有一个，且不多于3个.所以可根据中含0的个数进行分类讨论.①五个数中有2个0，则另外3个从1，-1中取，共有方法数为，②五个数中有3个0，则另外2个从1，-1中取，共有方法数为，③五个数中有4个0，则另外1个从1，-1中取，共有方法数为，所以共有种.故选D.9.ACD 【解析】将样本数据从小到大排列为26，28，30，32，32，35，35，38，39，42，这10年的粮食年产量极差为，故A 正确；，结合A 选项可知第70百分位数为第7个数和第812max1PMNC r r =++=+PM 1⎤-+⎦1PF m =2PF n =OQ 2PF A 1OQ PF O 12F F A 2PF 120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥2QAP π∠=Q 12F PF ∠4QPA π∠=AQP △2222,4,11,22m n a m n c b n m ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪+=⎩2,2,m n b m n a -=⎧⎨+=⎩,,m a b n a b =+⎧⎨=-⎩2224m n c +=222()()4a b a b c ++-=2222a b c +=222b a c =-2223a c =223e =e =0i x =1i x =1234513x x x x x ++++……()1,2,3,4,5i x i =1i x =i x 2315C 2N =⋅3225C 2N =⋅435C 2N =⋅23324555C 2C 2C 2130N =⋅+⋅+⋅=422616-=1070%7⨯=个数的平均数，即，故B 不正确；这10年粮食年产量的平均数为，故C 正确；结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D 正确.故选ACD.10.AD 【解析】由于时，，并且满足，则函数的图象关于直线对称.由于，所以，故，故，故函数的最小正周期为，根据，知函数的图象关于对称.由于时，，，故A 正确，由于函数的最小正周期为，故B 错误；由函数的图象关于对称，易知的图象不关于直线对称，故C 错误；根据函数图象关于点对称，且函数图象关于直线对称，知函数图象关于点对称，又函数的最小正周期为，则函数图象一定关于点对称，故D 正确.故选AD.11.ABD 【解析】双曲线，可知其渐近线方程为，A 错误；设，，的内切圆与，，分别切于点，，，可得，，，由双曲线的定义可得：，即，又，解得，则点的横坐标为，由点与点的横坐标相同，即点的横坐标为，故在定直线上运动，B 错误；由，且，解得，，，，则，同理可得：，设直线，直线，联立方程得，设的内切圆的半径为，则，解得，即，353836.52+=()13232302835384239263533.710⨯+++++++++=()0,x π∈()cos f x x =()()22f x f x ππ+=-()f x 2x π=()()0fx f x ππ++-=()()fx f x ππ+=--()()()()()22f xf x f x f x ππππ--+=+=--=-()()()24f x f x f x ππ=-+=+4π()()0fx f x ππ++-=()f x (),0π()0,x π∈()cos f x x =3cos 022222f f ff πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π()f x (),0π()f x x π=(),0π2x π=()3,0π4π(),0π-22:145x y C -=02x =1PF m =2PF n =12PF F △1PF 2PF 12F F S K T PS PK =11F S FT =22F T F K =2m n a -=12122F S F K FT F T a -=-=122FT F T c +=2F T c a =-T a I T I 2a =I 2x =122PF PF =1224PF PF a -==18PF =24PF =1226F F c ==126436167cos 2868PF F ∠+-∴==⨯⨯12sin PF F ∠==12tan PF F ∠∴=21tan PF F ∠=)1:3PF y x =+)2:3PF y x =-(P 12PF F △r ()12118684622PF F S r =⨯⨯=⨯++⋅△r =I ⎛ ⎝，，，由，可得解得，，故，C 正确；，，当且仅当，，三点共线取等号，易知，故存在使得取最小值，D 错误.故选ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.90 【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的系数为.13. 【解析】从所给条件入手，进行不等式化简，观察到余弦定理公式特征，进而利用余弦定理表示，由可得，可得.14. 【解析】对任意的，不等式（其中e 是自然对数的底）恒成立，只需恒成立，只需恒成立，只需恒成立，2,PI ⎛∴=- ⎝ (17,PF =- (21,PF =- 12PI xPF yPF =+ 27,,x y -=--⎧⎪⎨=⎪⎩29x =49y =29y x -=1224PF PF a -== 12244PA PF PA PF AF ∴+=+++…A P 2F ()1min549PA PF +=+=P 1PA PF +523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()521031553C C 3rr rrr r r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭1034r -=2r =4x 225C 310990⋅=⨯=0,3π⎛⎤⎥⎝⎦()()1b c b a b c a c a c a b+⇒+++++……()()222a c a b b c a bc ++⇒++…cos A 222b c a ac +-…2221cos 22b c a A bc +-=…0,3A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11ln2-*n ∈N 11e 1n an n n ⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭…11e n an +⎛⎫+ ⎪⎝⎭…()1ln 11n a n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭…11ln 1a n n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭…构造，，，.下证，再构造函数，，，，设，，，令，，，，在时，，单调递减，，即，所以递减，，即，所以递减，并且，所以有，，所以，所以在上递减，所以的最小值为.，即的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）因为是正项等比数列，所以，公比，因为，所以，即，则，解得（舍去）或，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）又因为，所以，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）依题意得，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）当时，，所以，因为，所以，当时，符合上式，所以数列的通项公式为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）()()11ln 1m x x x =-+(]0,1x ∈()()()()()22221ln 11ln 1x x x m x x x x ++-=++'(]0,1x ∈()(]22ln 1,0,11x x x x+<∈+()()22ln 11x h x x x =+-+(]0,1x ∈()()()2221ln 12(1)x x x xh x x ++-'-=+(]0,1x ∈()()()221ln 12F x x x x x =++--()()2ln 12F x x x =+-'(]0,1x ∈()()2ln 12G x x x =+-(]0,1x ∈()21xG x x=-+'(]0,1x ∈(]0,1x ∈()0G x '<()G x ()()00G x G <=()0F x '<()F x ()()00F x F <=()0h x '<()h x ()00h =()22ln 11x x x+<+(]0,1x ∈()0m x '<()m x (]0,1x ∈()m x ()111ln2m =-11ln2a ∴-…a 11ln2-{}n a 10a >0q >21332S a a =+()121332a a a a +=+21112320a q a q a --=22320q q --=12q =-2q =3411816a a q a ===12a ={}n a 2n n a =1222222log log 2log log 22n n n n n n b a nb a n +++===+2n …()324123112311234511n n b b b b n b b b b n n n --⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++ ()121n b b n n =+11b =()21n b n n =+1n =1n b ={}n b ()21n b n n =+因为，所以.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）16.【解析】（1）设为的中点，连接，，因为是中点，所以，且，因为，，，，所以四边形为平行四边形，，且，所以，且，即四边形为平行四边形，所以，因为平面平面，所以平面.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）因为平面，所以平面，又，所以，，相互垂直，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（7分）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）设平面的一个法向量为，则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设平面的一个法向量为，()211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1111112212221223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭M PD FM CM F PE FMED 12FM ED =AD BC 1AB BC ==3AD =2DE PE ==ABCE BC ED 12BC ED =FM BC FM BC =BCMF BFCM BF ⊄,PCD CM ⊂PCD BF PCD AB ⊥PAD CE ⊥PAD PE AD ⊥EP ED EC E ()0,0,2P ()0,1,0A -()1,1,0B -()1,0,0C ()0,2,0D ()1,0,0AB = ()0,1,2AP = ()1,0,2PC =- ()1,2,0CD =-PAB ()111,,m x y z =1110,20,m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-()0,2,1m =- PCD ()222,,n x y z =则取，则，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）设平面与平面所成夹角为，则∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）17.【解析】（1）函数的定义域为，则，当时，可得，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（2分）当或时，；当时，；所以在区间，上单调递增，在区间上单调递减；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）所以和是函数的两个极值点，又，所以，；所以，即当时，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）（2）易知，又，所以，是方程的两个实数根，则且，，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）设，由，可得，令，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）则，所以在区间上单调递减，222220,20,n PC x z n CD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =()2,1,1n = PAB PCD θcos θ=()21ln 2f x x x ax =+-()0,+∞()211x ax f x x a x x -+=+-='52a =()()2152122x x x x f x x x'⎛⎫---+ ⎪⎝⎭==10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2,x ∈+∞()0f x '>1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()2,+∞1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =2x =()f x 12x x <112x =22x =()()()211115152ln225ln 2ln222848f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-=-=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭52a =()()21152ln28f x f x -=-()()()()22221212111ln2x f x f x x x a x x x -=+---()21x ax f x x-+='1x 2x 210x ax -+=2Δ40a =->120x x a +=>121x x =2a >()()()()()()()2222222121212112211111lnln 22x x f x f x x x a x x x x x x x x x x -=+---=+--+-()()222222221212111121121111lnln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭21x t x =21e x x (21)e x t x =…()11ln 2g t t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭e t …()222111(1)1022t g t t t t-⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭'()g t [)e,+∞得，故的最大值为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（15分）18.【解析】（1）设抛物线的准线为，过点作直线于点，由抛物线的定义得，所以当点与原点重合时，，所以，所以抛物线的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（4分）（2）①设，过点且斜率存在的直线，联立消去，整理得：，由题可知，即，所以，是该方程的两个不等实根，由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（6分）又因为，所以，，由，有，所以，因为，，，所以点的轨迹方程为.②由①知，设，，且，∙∙∙∙∙∙∙∙∙（9分）联立消去，整理得，又，，，，由韦达定理可得，同理可得，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（11分）又因为和以圆心为，半径为1的圆相切，，即.同理，所以，是方程的两个不等实根，()()11e 1e 1e 12e 22eg t g ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭…()()21f x f x -e 1122e -+E l 2py =-H 1HH ⊥l 1H 1HF HH =H O 1min 12pHH ==2p =E 24x y =(),P m n P ():l y k x m n =-+()24,,x y y k x m n ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y 24440x kx km n -+-=()2Δ164440k km n =--=20k mk n -+=1k 2k 1212,,k k m k k n +=⎧⎨=⎩()0,1F 31n k m -=0m ≠123112k k k +=121232k k k k k +=21m m n n =-0m ≠12n n -=1n ∴=-P ()10y x =-≠(),1P m -()14:1l y k x m =--()25:1l y k x m =--1m ≠±0m ≠()244,1,x y y k x m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩y 2444440x k x k m -++=()11,A s t ()22,B s t ()33,C s t ()44,D s t 12444s s k m =+34544s s k m =+()()()212344515454444161616s s s s k m k m k k m m k k =++=+++1l ()0,(0)Q λλ>1()()2224412120m k m k λλλ-++++=()()2225512120m k m k λλλ-++++=4k 5k ()()22212120m k m k λλλ-++++=所以由韦达定理可得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（14分）所以，若为定值，则，又因为，所以，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）所以圆的方程为.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）19.【解析】（1）由题意可得：，解得.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（3分）（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（5分）理由如下：由题意可得，若存在“长向量”，只需使，又，故只需使，即，即，当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（8分）（3）由题意，得，，即，即，同理，，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（10分）三式相加并化简，得，即，，所以，设，由得∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（12分）设，则依题意得：∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（13分）()452245221,12,1m k k m k k m λλλ⎧++=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩()()()22222123445452216161616162221621611m m s s s s k k m m k k m m λλλλ=+++=+--+=-+--1234s s s s 220λ-=0λ>λ=Q 22(1x y +=312a a a +…40x -……2a 6a1n a ==p a1n p S a - …()()712371010101,01010100,1S a a a a =++++=+-+++--+++-+=-71p S a -=== 022cos12p π+ (1)1cos 22p π--……2p =2a 6a123a a a + (2)2123a a a + …()22123a a a +...222123232a a a a a ++⋅ (2)22213132a a a a a ++⋅ …222312122a a a a a ++⋅…2221231213230222a a a a a a a a a +++⋅+⋅+⋅…()21230a a a ++…1230a a a ++ …1230a a a ++=()3,a u v = 1220a a a ++= sin 2cos ,cos 2sin ,u x x v x x =--⎧⎨=--⎩(),n n n P x y ()()()()()()212111222222222121,2,,,,2,,,k k k k k k k k x y x y x y x y x y x y ++++++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩得，故，，所以，，当且仅当时等号成立，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（16分）故.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（17分）()()()()2222221122,2,,,k k k k x y x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2222221122,2,,,k k x y k x y x y x y ++⎡⎤=-+⎣⎦()()()()2121221122,2,,,k k x y k x y x y x y 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炎德·英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（一）语文本试卷共四道大题，23道小题，满分150分。

时量150分钟。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：积极情绪（Positive Emotion）可以定义为正面的情绪或者具有正面向上价值的情绪。

情绪的认知理论认为，“积极情绪就是在目标实现过程中取得进步或得到他人积极评价时所产生的感受。

”由此可见，积极情绪就是经历了内在、外在的刺激，正确地解决了问题，达到某种成功与满意度，满足了个体的需求，感觉到个体的存在价值伴有随之而来的愉悦的心情与感受。

积极情绪并不是消极接受、坦然享受、乐不思蜀的感觉。

这些只是浅薄的感受，即时地享乐。

积极情绪拓展到更深的层面——从欣赏到热爱。

它并不是简单的迷恋，而是一种真心喜欢、经过努力而获得的欢愉、欣喜。

“积极情绪”这个词，指向了重要的人性瞬间。

那些轻微而短暂的愉悦状态，其实要比你想象的强大得多。

作为人类，生来就能够体验到微弱短促却愉悦舒畅的积极情绪。

它有着不同的形态和滋味。

回想一下，当感到与他人或与所爱的人心灵相通时；当感到有趣、有创意或忍俊不禁时；当感到自己的灵魂被蕴含在生命中的纯粹的美所打动时；或者当因一个新颖的主意或爱好而感到活力无限、兴致勃勃时，你都会不由自主地产生爱、喜悦、感激、宁静、兴趣和激励这样的积极情绪，它们会打开你的心扉。

然而，无论是迷恋、欢笑还是爱，你由衷的积极情绪总是无法持续很长的时间。

良好的感觉来了又去，就如同好天气一样，这是人类的本性。

积极情绪会逐渐消退，如果它长盛不衰，人们会很难适应变化，无法觉察到好消息和坏消息之间的差异，或是邀请与冒犯之间的差异。

如果你想重塑生活，让它变得更美好，秘诀就是不要把积极情绪抓得太紧，也不要抗拒它稍纵即逝的本性，而是将它更多地植入生活——久而久之，你就会提高积极情绪的分量。

我们发现，在这一秘诀中最重要的是积极率，这是用来描述积极情绪与消极情绪的数量关系的一种方法。

雅礼中学2014届高三数学月考（四）（文科）高三数学备课组组稿（考试范围：高考全部内容）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共21题，时量120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi +-的值是（ B ）.2A .2B i - .4C - .2D i 2.已知集合1{|0,},A x x x R x=-=∈则满足{1,0,1}A B =- 的集合B 个数是 （ C ）.2A .3B .4C .8D3.1a =-是直线1:0l ax y +=与直线2:20l x ay ++=平行的 （ A ）.A 充分不必要条件 B.必要不充分条件.C 充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若向量,,a b c满足a //b ，且0b c ⋅= ，则a b c +⋅= （）（ D ） .4A .3B .2C .0D5．函数()sin(),()(0,||)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图像如图所示，如果12,(,)63x x ππ∈-，且12()()f x f x =，则12()2x x f += （ D ）1.2A .2B .2C .1D6. 已知下列四个命题，其中真命题的序号是 （ D ）① 若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直； ② 若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面； ③ 若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直； ④ 若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直； .A ①② .B ②③ .C ②④ .D ③④7.函数 2()4xf x x e =- 零点的个数 （ D ）.A 不存在 .B 有一个 .C 有两个 .D 有三个8.设函数(2),2()1()1,22x k x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数k 的取值范围为（ C ）.(,2)A -∞ 13.(,]8B -∞ 7.(,)4C -∞ 13.[28D ，） 9. 函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(2014)y f x =-的图象关于点(2014,0)对称．若实数,x y 满足不等式22(6)(824)0f x x f y y -+-+<，则22x y +的取值范围是 （ C ）.A (0,16) .B (0,36) .C (16,36) .D (0,)+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

姓 名 _______________准考证号 ____________雅礼中学2019届高三月考试卷（八）数学（文科）注童事项：I. 木试卷分第I 卷I 选择题）和第II 卷（非选择題）网部分.答卷前.考生务必将自 （2的姓名■准考证号填场在答題h H2•回答第［卷时■选岀毎小越答案后.用铅笔把答题卡上对应題冃的答案标野涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂口他苔案标号。

写在本试卷匕无效.3. 河答第U 卷时.将答案写在答题卡上•写在本试卷上无效，4. 药试结束后.将本试卷和答题氏一并交回。

第I 卷一、选择题：本大題共12小题■毎小题5分，共60分•毎小题所给的四个选项中只有一个是 正确的.L 已知复数z 満足（1卜iM |2i|U 为虚数单位，则r 等于 A. 1 ~~iB.1 卜iC.片D.斗+十2. 已知集合A=b€Rb=2"・B={ —1,0,1},则F 列结论止确的绘扎 AnB=（0・H R AUE=（0・十g ） C< C R A ）UB- （ - > -0） 【）・（t M ）nB=（-KO>3. 已知某运动员毎次投篮命中的概率都为40%・现采用随机棟拟的方法估讣该运动员三 次投篮恰有两次金中的低怡先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数旳足1-2. ：人4表示命中.5.6.7.8.9.O 表示不命中；再以毎三个随机数为一组•代表三次投篮的结 果•经随机枝拟产生r 20组随机SG431 257 393 027 556 488 730 113 据此估计•谈运动员三次投篮恰有两次命中的槪华为 扎0.35,R0.25 C. 0.204•已厠函数/（x ）-w >（2x I I ）的图象向右平移:个单位长度后，再将每一点的横坐标 扩大为原来的2倍■纵坐标不变•得到函»g （r ）的图彖•則gGr ）的解析式为 卄寻） C. x 〈£）=si 口 V D. K （z> = sin x5.已知我曲线若一沪 2>0心0）的离心率为等I 则梵渐近线方程为 A.丿三士弩廿K y —±-/3xC. y — 士亨文D. y= ±72J绝密★启用前907966 】91 925271 932 812 458 569 683 S3 7 989 D.O. 15B. g(jr) =九 ^(JT ) —cos6. •个几何体的三视图如图所示•则该几何体的休积为10•已知等畫数列的公澄dHS 且5 5,"成等比数列•若«：-bS.是数列的前”项和，则警1若（”WN* ）的虽小值为11. 已知櫛圆C ：；$十£ = l （a>Q0）的左焦点为F.C 与过原点的住线相交于A ・B 两点.连接 AF.RF •若 | ,4B|=1O. | R F| =R.^2：A«F=—.fflij C 的离心聿为 入鲁 R# c*D.f7. 如图,边氐为1的正方形ABCD 中•点E,F 分别是AB.BC 的中点•在 正方形AB （：l ）内随机取一个点Q,则点Q 取自阴影部分的槪率等于 A. 4 B.y5 48•设函数y9・《九章算算法流程图表A.么二7"=7 C. a =入4C2V3-2B数学（文科）试题（雅礼版）笫2贞（共5页〉12.已知幅数/(』)== J：艮存在不同的实数4 使得f(ri)A. (0.3)B. (1,2) C (0,2) D. (1,3)/(Jr t ) =/(斗).则Xj •科•冲的取值范围是第II卷二、填空歴：本大題共4小题，每小题5分•共20分.冲一舜0,13.已知动点0(,0满足则龙=工+2丿的最小値为_________________________ •1工+，一3》0・14.已知AABC中•点P%B「的中点•若向^AA=(l.l)Mf=<2.-2>,则香 < 必一15.若数列《｝的首项如=2,且。

湖南省雅礼中学2014届高三第七次月考数学文试题(时量：120分钟 满分：150分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置. 1.全集{,,,,}U a b c d e =，{,}M a d =，{,,}N a c e =，则M C N U ⋂为 ( A ) A ．{,}c e B ．{,}a c C ．{,}d e D ．{,}a e 2.复数21i-化简的结果为 A A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i -- 3.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 B A ．45 B ．50 C ．55 D ．604．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为5， 则输出s 的值是 CA ．4B ．7C ．11D ．165.某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ C ）A. B ． C. D ． 6.“b a =”是“直线2+=x y 与圆()()222=-+-b x a x 相切”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知,A B 是单位圆上的动点,且AB =,单位圆的圆心为O ,则OA AB •=u u u r u u u r（C ） A． BC ．32-D ．328.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为 （ B ）A．0x ±=B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=9.某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ A ）年后需要更新设备. A. 10 B. 11 C. 13 D. 21 10.对于函数f (x )和g (x )，其定义域为[a , b ]，若对任意的x ∈[a , b ]总 有 |1－()()g x f x |≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (xx ∈[4，16]的是( D ) A. g (x )=2x +6 x ∈[4，16] B. g (x )=x 2+9 x ∈[4，16] C. g (x )=13(x +8) x ∈[4，16] D. g (x )=15(x +6) x ∈[4，16] 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上11.已知}{n a 为等差数列，10,7713=+=a a a ，n s 为其前n 项和，则使n s 达到最大值的n 等于___________.612..在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线4πθ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为55()22， 13.在区间[]ππ-，内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数222()44f x x ax b π=+-+有零点的概率为14π-14.已知实数,x y 满足012210x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数,(0)z ax y a =+≠取得最小值时最优解有无数个，则实数a 的值为15.任給实数,,a b 定义, 0,, 0.a b a b a b a a b b⨯⨯≥⎧⎪⊕=⎨⨯<⎪⎩ 设函数()ln f x x x =⊕，则1(2)()2f f +=______；若{}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，123781()()()()(=,f a f a f a f a f a a +++++L ）则1___.a =0； e三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.ABC ∆中,角A,B,C 所对的边之长依次为,,a b c ,且222cos )A a b c =+-= (I)求cos 2C 和角B 的值;(II)若1,a c -=求ABC ∆的面积. 解:(I)由cos A =,0A π<<,得sin A =由2225()a b c +-=得cos C ∴=0C π<<Q,sin C ∴=,24cos 22cos 15C C ∴=-=, ∴()cos cos cos sin sin A C A C A C +=-== ∴()cos cos 2B AC =-+=-, ∴0B π<<,∴135B =︒ (II)应用正弦定理sin sin a cA C=,得a =,由条件1,a c -=得1a c =111sin 12222S ac B ==⨯=17.某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． (Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B ，得17x y +=． ① ……………………………2分 因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由22=A B s s ，得228+8=1x y --（）（）． ② ………………………4分 由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，，因为x y <，所以8,9x y ==． …6分(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ， ()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ，………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. …………………12分18.已知在四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====,,E F 分别是,AD PC 的中点. (Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面;(Ⅱ) 若PB AD =,求二面角F BE C --的大小.(Ⅰ) 证明:由已知得//ED BC ED BC =，,故BCDE 是平行四边形,所以//BE CD BE CD =，, 因为AD CD ⊥,所以BE AD ⊥,由PA=PD 及E 是AD 的中点,得PE AD ⊥,又因为BE PE E =I ,所以D BE A P ⊥平面 (Ⅱ) 解:设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =, 则3PF a =,又2PB AD a ==,EB CD a ==,故222PB PE BE =+即PE BE ⊥, 又因为BE AD ⊥,AD PE E =I ,所以BE PAD ⊥平面,得BE PA ⊥,故BE FG ⊥,取CD 中点H ,连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====, 故=60FGH ∠o,所以二面角F-BE-C 等于60o19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足n n a S -=2,*N n ∈(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设n n na b 2=,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:2≥n T . (1)当1=n 时,111==S a当2≥n 时,n n a S -=2112---=n n a S两式相减得:11--+-=-n n n n a a S S , 整理得12-=n n a a∴1-n n a a =21(2≥n ) ∴{}n a 是以1为首项,21为公比的等比数列 ∴n a =(21)1-n (2)222)21(2--===n n n n nn na b +++=∴-11232221o n T 23221--+-+n n nn ①+++=21023222121n T 12221--+-+n n nn ② ①-②得:++++=-21012121212121n T 12221---+n n n1211221422112112------=---+=n n n n n n ∴T=8-321-n -22-n n =8-222-+n n∵021)228()238(1211>+=+--+-=----+n n n n n n n n T T 在*N n ∈时恒成立即n n T T >+1,{}n T ∴单调递增 {}n T ∴的最小值为223811=-=-T∴2≥n T20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ,2F ,左,右顶点分别为12,A A .过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 的一个交点为M2).(1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 动直线l :1x my =+与椭圆C 交于P ,Q 两点, 直线1A P 与2A Q 交于点S .当直线l 变化时,点S 是否恒在一条定直线上?若是,求此定直线方程;若不是,请说明理由. 解（Ⅰ）3=c , 32222-=-=a c a b . 点)2,3(M 在椭圆上, ………2分134322=-+a a , 24223493a a a a -=+- 091024=+-a a 0)1)(9(22=--a a 92=a 或221c a <=(舍去). 6222=-=c a b .∴椭圆C 的方程为16922=+y x .………5分（Ⅱ）当x l ⊥轴时,)334,1(P ,)334,1(-Q , 又)0,3(1-A , )0,3(2A )3(33:1+=x y l P A , )3(332:2-=x y l Q A , 联立解得)34,9(S . 当过椭圆的上顶点时, x y 66-=,)6,0(P , )564,59(-Q )3(36:1+=x y l P A , )3(362:2-=x y l Q A ,联立解得)64,9(S .若定直线存在,则方程应是9=x .………8分下面给予证明.把1+=my x 代入椭圆方程,整理得,0164)32(22=-++my y m0>∆成立, 记),(11y x P , ),(22y x Q ,则324221+-=+m m y y , 3216221+-=m y y . )3(3:111++=x x y y l P A , )3(3:222--=x x y y l Q A………11分 当9=x 时,纵坐标y 应相等,363122211-=+x y x y , 须264122211-=+my y my y 须)4()2(21221+=-my y my y , 须)(42121y y y my +=而3244321622+-⨯=+-⨯m mm m 成立.综上,定直线方程为.9=x …………13分21.已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =． (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)设[]1()()1(1)xg x xf x a x +=--，若对任意(0,1)x Î恒有()2g x <-，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意()1ln xk f x x+==，0x > ……………………………………1分 所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭…………………………………………2分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()f x 在1x =处取得极大值． ……………………………………3分 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+⎪⎝⎭（其中0m >）上存在极值， 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩，得213m <<．即实数m 的取值范围是213⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……………5分 （Ⅱ）有题可知, 0a ¹，因为(0,1)x Î,所以1ln 01xx x+<-.当0a <时, ()0g x >,不合题意.当0a >时,由()2g x <-,可得2(1)ln 01a x x x-+<+.………8分设2(1)()ln 1a x h x x x -=++,则22(24)1()(1)x a x h x x x +-+¢=+. 设2()(24)1t x x a x =+-+，2(24)416(1)a a a D =--=-.(1)若(]0,1a Î,则0D ?，()0t x ³，()0h x ¢³，所以()h x 在(0,1)内单调递增，又(1)0h =所以()(1)0h x h <=.所以01a <?符合条件. ……………………………10分 (2)若()1,a ??,则0D >,(0)10t =>,(1)4(1)0t a =-<,所以存在0(0,1)x Î,使得0()0t x =,对任意0(,1)x x Î,()0t x <,()0h x ¢<.则()h x 在0(,1)x 内单调递减,又(1)0h =,所以当0(,1)x x Î时,()0h x >,不合要求. ……………………………12分综合(1)(2)可得01a <?.…………………………………………13分。