北师大版九年级数学《相似多边形》典型例题(含答案)

图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.【典型例题】类型一、位似多边形1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（ ）.A. 3倍B. 21 C. 31 D. 不知AB 的长度，无法判断 【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE. 3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA ＝ OB′:OB ＝OC′:OC ＝OD′:OD ＝OE′:OE ＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB ＝B′C′BC ＝C′D′CD ＝D′E′DE ＝A′E′AE＝1.5. 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G′，作G′D′⊥BC ；（2）以G′D′为边，在△ABC 内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC 于F ；（4）作FG ∥CB ，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形3. 如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C D E（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4. 如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）图略；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．【总结升华】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.。

4.3 相似多边形1、下列图形中不一定是相似图形的是（）A、两个等边三角形B、两个等腰直角三角形C、两个长方形D、两个正方形2、已知△ABC∽△A1B1C1,且∠A=50°,∠B=95°,则∠C1等于( )A、50°B、95°C、35°D、25°3、若△ABC∽△A‘B‘C’，且2''BAAB，则△ABC与△A‘B‘C’相似比是，△A‘B‘C’与△ABC的相似比是。

4、在右边的网格纸中描出左边图形的缩小图形。

5、如图，左图格点中有一个四边形，在右边格点图中画出一个与该四边形相似的图形。

与你的同伴比一比，看谁画得又快又好．A BC DE D CB A 6、观察下面的各组图形，其中相似的图形有 （填序号）．(1)(2)（3）(4) (5) (6)7、如图,已知△ABC ∽△ADE,AB=30cm,BD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=•40°.求:(1)∠ADE 和∠AED 的度数；(2)DE 的长.8、如图，七巧板中有多少组相似三角形？拼一拼，看你能否设计出更新颖的相似图形，试一试，和你的同学交流拼法．36754219、观察一组图形，图形中的三角形都是相似三角形，根据其变化规律，可得第10个图中三角形的个数为第三个第二个第一个10、如图，在大小为4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1∽△ABC(不全等)，且点A 1、B 1、、C 1都在单位正方形的顶点上．CAB。

第四章图形的相似第3节相似多边形课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．下列各组图形中，一定相似的是（）A．任意两个圆B．任意两个等腰三角形C．任意两个菱形D．任意两个矩形2．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对3．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元4．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．1：165．如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是()A．2 cm2B．4 cm2C．8 cm2D．16 cm26．如图，已知矩形ABCD中，2AB=，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则(AD=) A．5B．51+C．4D．237．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若:2:3AB FG=，则下列结论正确的是（）A．23DE MN=B．32DE MN=C．32A F∠=∠D．23A F∠=∠8．如图，将图形用放大镜放大，应该属于()．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换评卷人得分二、填空题9．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1______S2（填“>”或“=”或“<”）．10．已知：如图所示，矩形ABCD中，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，且AEFD 是正方形，若矩形BCFE 和矩形ABCD 相似，且AD =2，则AB 的长为____________．11．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S =________．12．如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB =a ，宽BC =b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a b的值为________ 13．矩形的两边长分别为x 和6（6x <），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则x =__________．14．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ．15．四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似图形，点,,,A B C D 分别与',',','A B C D 对应，已知3BC =， 2.4CD =，''2B C =，那么''C D 的长是__________．评卷人得分三、解答题16．如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，求,αβ∠∠的大小和EH的长度．17．如图，四边形ABCD和四边形A B C D''''相似，6AB=，60B C∠=∠=︒，4A B''=，12B C''=，8C D''=，150A'∠=︒．（1）求BC、CD的长度；（2）求D∠、D'∠的大小；（3）若63AD=，求四边形ABCD和四边形A B C D''''的周长的比．18．如图，一幅矩形油画的长为40cm，宽为25cm，这幅油画的外围镶有画框，已知画框的宽度为5cm，则画框内外所构成的两个矩形相似吗？请说明理由.19．若矩形的一个短边与长边的比值为512，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）20．学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD 为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的2536，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度．参考答案：1．A【解析】【分析】根据相似图形的性质，对各选项分析判断即可得出答案.【详解】A 、任意两个圆，一个圆放大或缩小后能够与另外一个圆重合，所以任意两个圆一定是相似图形，故选A.B 、任意两个等腰三角形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.C 、任意两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.D 、任意两个矩形，对应边不一定成比例，对应角都是直角，一定相等，所以也不一定相似，故本选项错误.故选A.【点睛】 本题考查了相似图形的概念，灵活运用相似图形的性质是解题的关键.2．C【解析】【分析】甲：根据题意得：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′，即可证得∥A =∥A ′，∥B =∥B ′，可得∥ABC ∥∥A ′B ′C ′；乙：根据题意得：AB =CD =3，AD =BC =5，则A ′B ′=C ′D ′=3+2=5，A ′D ′=B ′C ′=5+2=7，则可得AB AD A B A D ≠''''，即新矩形与原矩形不相似． 【详解】解：甲：根据题意得：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′，∥∥A =∥A ′，∥B =∥B ′，∥∥ABC ∥∥A ′B ′C ′，∥甲说法正确；乙：∥根据题意得：AB =CD =3，AD =BC =5，则A ′B ′=C ′D ′=3+2=5，A ′D ′=B ′C ′=5+2=7，∥35,57 AB CD AD BCA B C D A D B C====''''''''，∥AB ADA B A D≠''''，∥新矩形与原矩形不相似．∥乙说法不正确．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．C【解析】【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【详解】3m×2m=6m2，∥长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∥扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∥扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，故选C．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【详解】解：∥两个相似多边形面积比为1：4，∥周长之比为14 ＝1：2． 故选：B ．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．5．C【解析】【详解】设留下矩形的宽为x cm ，∥留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，∥448x =，解得2x =则留下矩形的面积为2248(cm )⨯= .故选C.6．B【解析】【分析】可设AD=x ，根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，可得比例式，求解即可．【详解】解：∥沿AE 将∥ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，∥四边形ABEF 是正方形，∥AB=2，设AD=x ，则FD=x-2，FE=2，∥四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，∥EF AD FD AB=， 222x x =-， 解得x 1=1+5，x 2=1-5（负值舍去），经检验x 1=1+5是原方程的解．故选B ．【点睛】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC 与矩形ABCD 相似得到比例式．7．B【解析】【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可．【详解】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例，所以,:2:3A F DE MN ∠=∠=，故可排除C 和D所以32DE MN =．故排除A故选B ．【点睛】 此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．8．B【解析】【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B ．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．9．=【解析】【分析】根据黄金分割的定义，即可得到答案．【详解】解：∥点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＞BP ，∥=AP BP AB AP， ∥2AP AB BP =，∥12S S故答案为：＝．【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，记住公式即可．10．51+【解析】【分析】直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值进而得出答案．【详解】设EB=x ，∥矩形BCFE 和矩形ABCD 相似，∥BE BC AD AB = ，∥四边形AEFD 是正方形，∥AD=BC=2，∥222xx=+ ， 解得：x=-1±5（负数不合题意舍去），∥BE=-1+5，故AB=2-1+5=1+5，故答案为：1+5．【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．【解析】【分析】设小正方形的边长为x ，再根据相似的性质求出S 1、S 2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【详解】解：设小正方形的边长为x ，根据图形可得：∥EF AC =13， ∥1DAC S S =19， ∥1ABCD S S 正方形=118， ∥S 1=118S 正方形ABCD ， ∥S 1=118x 2， ∥2ABC S S =14， ∥2ABCDS S 正方形=18， ∥S 2=18S 正方形ABCD ， ∥S 2=18x 2， ∥S 1:S 2=118x 2: 18x 2=4:9. 故答案是：4:9.【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质.12．2【解析】【分析】根据折叠性质得到1122AF AB a ==，再根据相似多边形的性质得到AB AD AD AF=，即12a b b a =，然后利用比例的性质计算即可．解：矩形纸片对折，折痕为EF ，1122AF AB a ∴==， 矩形AFED 与矩形ABCD 相似，∴AB AD AD AF=， 即12a b b a =， 2()2a b∴=， ∴2a b=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．13．23【解析】【分析】根据相似多边形的性质即可得到结论．【详解】解：∥原矩形ABCD 的长为6，宽为x ，∥小矩形的长为x ，宽为63 =2， ∥小矩形与原矩形相似，∥26x x= ∥x=23 .故答案为23 ．【点睛】本题考查相似多边形的性质，注意分清对应边是解题的关键．14．．【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∥A 的度数，又由四边形的内角和等于360°，即可求得∥α的度数．【详解】解：∥四边形ABCD∥四边形A′B′C′D′，∥∥A=∥A′=138°，∥∥A+∥B+∥C+∥D=360°，∥∥α=360°-∥A-∥B-∥C =360°-60°-138°-75°==87°．故答案为87°．【点睛】此题考查了相似多边形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等定理的应用．15．1.6【解析】【分析】相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【详解】∥四边形ABCD∥四边形A'B'C'D'，∥CD ：C′D′=BC ：B′C′，∥BC=3，CD=2.4，B'C′=2，∥C′D′=1.6，故答案为：1.6．【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．16．65α︒∠=，102β︒∠=，28=EH cm【解析】根据相似多边形的定义和四边形的内角和，即可求出,αβ∠∠，然后列出比例式即可得出结论．【详解】∥四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，65,133C A E α︒︒∴∠=∠=∠=∠=．在四边形ABCD 中，3606065133102β︒︒︒︒︒∠=---=．∥四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，::,EH AD EF AB ∴=:2124:18x ∴=，解得28,x =28EH cm ∴=【点睛】此题考查的是相似多边形的性质和四边形的内角和，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键． 17．（1）18BC =，12CD =；（2）90D ∠=︒，90D '∠=︒；（3）3:2【解析】【分析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解；（2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解；（3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案.【详解】（1）∥四边形ABCD ∥四边形A B C D ''''，∥即AB BC CD A B B C C D ==''''''，即64128BC CD ==． ∥18BC =，12CD =．（2）∥四边形ABCD ∥四边形A B C D ''''，∥150A A '∠=∠=︒．∥60B C ∠=∠=︒，∥90D ∠=︒，即90D '∠=︒．（3）∥AB A B =64=32:''::∥四边形ABCD 和四边形A B C D ''''的周长的比=3:2．【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键.18．见解析【解析】【分析】根据相似多边形的概念：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，首先求出外框的长和宽，然后求出相似比，由于相似比不相等，故可判定这两个矩形不相似.【详解】不相似.理由如下：外框的长和宽分别为50cm ，35cm ，内框的长和宽分别为40cm ，25cm. ∥50354025≠， ∥画框内外所构成的两个矩形不相似【点睛】 此题主要考查相似多边形的判定，熟练掌握，即可解题.19．（1）见解析；（2）矩形EBCF 不是黄金矩形，理由见解析；（3）若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.【解析】【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD 的对边在矩形的内部或外部；（2）矩形EBCF 不是黄金矩形， 设AB=a ，AD=b （a ＞b ），则BE=BA+AE=a+b ，BE′=BA-E′A=a-b ，由已知得 b a =512-，所以BC BE =b a b +=b a ÷（1+b a ）=512-÷（1+512-）=352-≠512-，对应边不成比例，故矩形EBCF 不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，理由：'E B BC =a b b -=（1-b a ）÷b a =（1-512-）÷512-=512-，即对应边成比例，故两个矩形相似.（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.【详解】解：（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由ABCD为黄金矩形，得ba=512-∥BCBE=ba b+=ba÷（1+ba）=512-÷（1+512-）=352-≠512-∥矩形EBCF不是黄金矩形;矩形E′BCF′是黄金矩形.证明：如图，∥'E BBC=a bb-=（1-ba）÷ba=（1-512-）÷512-=512-∥E′BCF′是黄金矩形（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.【点睛】本题考核知识点：相似多边形. 解题关键点：熟记对应边成比例且对应角相等的多边形相似.20．上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得''''1340A B ABA D AD==，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的2536列方程可求出x的值，进而可得答案．【详解】∥AB＝130，AD＝400，∥1301340040 ABAD==，∥内外两个矩形相似，∥''''1340A B ABA D AD==，∥设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，∥矩形作品面积是总面积的25 36，∥25 400130134036x x ⨯=⨯⨯，解得：x＝±12，∥x＝﹣12＜0不合题意，舍去，∥x＝12，∥上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40．答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm．【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的对应角相等，对应边成比例；根据相似多边形的性质得出A′B′与A′D′的比是解题关键．。

《相似多边形》典型例题例题1在如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角 的大小．例题2所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题3 所有的正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？为什么？例题4 已知下图中的两个四边形相似，找出图中的成比例线段，并用比例式表示．例题5图中的两个多边形相似吗？说说你的理由．例题6下面给出的两个四边形是相似的，请写出它们的对应角和对应边．1/ 32 / 3例题7 已知图中的两个梯形相似，求出未知边x 、y 、z 的长度和βα∠∠、的度数．例题8 在如图所示的相似四边形中，求未知边x 、y 的长度和角α的大小．3 / 3 参考答案例题1 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==， ∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．例题2 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题3 解答：所有的正方形都相似，因为正方形的每个角都是90°，因此对应角都相等，而每一个正方形的边长都相等，因此对应边成比例．所有的矩形不一定相似，虽然所有的矩形的角都相等，但对应的边不一定成比例，因此，矩形不一定相似．例题4 解答 HEDA GH CD FG BC EF AB === 例题5 解答 不相似．︒=︒-︒-︒-︒=∠587295135360D ，而︒=︒-︒-︒-︒=∠715995135360E ，不可能有“对应角相等”．例题6 解答 F A ∠→∠ E B ∠→∠ H C ∠→∠ G D ∠→∠FE AB → EH BC → HG CD → GF DA →例题7 分析 解题中要充分利用相似多边形的特征和梯形的性质． 解答 由于对应边成比例，所以232.38.45.442====z y x ． 所以3,6,3===z y x ．由于对应角相等，所以 ︒=∠-︒=∠=∠118180A D α，︒='∠-︒='∠=∠70180C B β．例题8 解答 ∵两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等． ∴67418y x ==，∴27,5.31==y x ．︒=︒+︒+︒-︒=83)1178377(360α．。

3 相似多边形基础闯关全练拓展训练1.一块四周镶有花边的地毯,如图所示,它的长为16m,宽为10m,如果中央矩形图案的长为8m,要使中央矩形图案的形状与矩形地毯的形状相同,那么中央矩形图案的宽为.答案5m解析因为中央矩形图案的形状与矩形地毯的形状相同,所以中央矩形图案的长与宽的比等于矩形地毯的长与宽的比.设中央矩形图案的宽为x m,则8∶x=16∶10,解得x=5,即中央矩形图案的宽为5m.2.已知一个四边形的四条边的长分别为54cm,48cm,45cm,63cm,另一个和它相似的四边形的最短边的长为15cm,则这个四边形的最长边的长为cm.答案21解析由两个四边形相似得这两个四边形的最长边和最短边对应成比例.设所求四边形的最长边的长为x cm,可得=,解得x=21.3.(2016甘肃白银会宁期中改编)如图所示,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似,求未知边x的长度和α的大小.解析∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似,∴=,∴x=18,∵∠C'=360°-(63°+129°+78°)=90°,且四边形ABCD和四边形A'B'C'D'相似,∴∠C=∠C'=90°,即α=90°.能力提升全练拓展训练1.如图,E、F、G分别是矩形ABCD的边AB、BC和AD的中点.问:(1)矩形ABFG和矩形ABCD相似吗?(2)矩形AEHG和矩形ABCD相似吗?解析(1)不相似.因为≠,即对应边不成比例,所以两个矩形不相似.(2)相似.因为矩形AEHG和矩形ABCD的每一个角都是90°,所以所有的对应角相等.又因为====,所以这两个矩形相似.2.如图,一个木框内外是两个矩形ABCD和EFGH.问:当图中所标尺寸满足什么条件时,这两个矩形相似?解析已经满足四个角都是直角,即对应角相等,下面的问题就是,要使这两个矩形相似,还必须满足对应边成比例,即=.化简,得mn-2ma=mn-2nb,所以ma=nb,即满足=时,两个矩形相似.3.如图,在AB=30m,AD=20m的矩形花坛四周修建小路.(1)如图①所示,如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗?请说明理由;(2)如图②所示,如果相对着的两条小路的宽均相等,那么小路的宽x与y的比为多少时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似?请说明理由.解析(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.理由如下:设四周的小路的宽为x m,∵=1+,=1+,∴≠,∴小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.(2)当=时,矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.理由如下:由题意知只要=,小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD便可相似,解得=,∴小路的宽x与y的比为2∶3时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.三年模拟全练拓展训练1.(2016上海徐汇一模,1,★☆☆)下列两个图形一定相似的是( )A.两个菱形B.两个矩形C.两个正方形D.两个等腰梯形答案 C 选项A,两个菱形,对应边成比例,对应角不一定相等,不符合相似的定义,故不符合题意;选项B,两个矩形,对应角相等,对应边不一定成比例,不符合相似的定义,故不符合题意;选项C,两个正方形,对应角相等,对应边一定成比例,一定相似,故符合题意;选项D,两个等腰梯形同一底上的角不一定相等,对应边不一定成比例,不符合相似的定义,故不符合题意.故选C.2.(2017山西阳泉盂县期末,3,★★☆)如图所示的两个四边形相似,则∠α的度数是( )A.87°B.60°C.75°D.120°答案 A ∵两个四边形相似,∴∠1=138°,∵四边形的内角和等于360°,∴∠α=360°-60°-75°-138°=87°,故选A.五年中考全练拓展训练(2013山东枣庄中考,18,★★☆)如图,已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点处,若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD= .答案解析设AD=x,∵AB=1,AF=AB,∴FD=x-1,FE=1.∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,∴=,即=,解得x1=,x2=(舍去),经检验,x=是原方程的解.∴AD=.核心素养全练拓展训练1.如图①,矩形ABCD的两条边在坐标轴上,点D与原点重合,对角线BD所在直线与y轴的夹角为60°,AB=8.矩形ABCD 沿DB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时点P从点A出发沿矩形ABCD的边以每秒1个单位长度的速度做匀速运动,经过点B到达点C,设运动时间为t(s).(1)求出矩形ABCD的边BC的长;(2)如图②,图形运动到第6s时,求点P的坐标;(3)当点P在线段BC上运动时,过点P分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为E,F,则矩形PEOF是否能与矩形ABCD相似?若能,求出t的值;若不能,说明理由.解析(1)在Rt△DBC中,∵∠BDC=60°,∴∠DBC=30°.又∵CD=AB=8,∴BD=16,∴BC==8.(2)当图形运动到第6s时,点P在AB上,OD=6,AP=6,而∠BDA=30°,∴易求得点D的坐标为(3,3),点A的坐标为(11,3),∴点P的坐标为(11,9).(3)矩形PEOF能与矩形ABCD相似.理由如下:当点P在BC边上运动时,8≤t≤8+8,而DO=t,∠BDA=30°,∴易求得点D的坐标为,点C的坐标为.∴点P的坐标为,即PF=8+8-t+t,PE=t+8.①若=,则=,解得t=8;②若=,则=,解得t=4(5+3).因为t=4(5+3)>8+8,所以此时点P不在BC边上,舍去.因此当t=8时,点P到达点B,矩形PEOF与矩形ABCD相似.2.某矩形场地长20m,宽16m.(1)如图①,在场地中央建有一矩形草坪,沿草坪四周外围有x m宽的小路,小路内外边缘所成的矩形相似吗?(2)如果矩形场地中矩形草坪的变化如图②所示,它们相似吗?(3)如果变化如图③所示,它们能相似吗?若能相似,求x,y满足什么关系;(4)如果变化如图④所示,矩形ABCD与矩形ADEF能否相似?若能相似,求x的值.(其中a>b)解析(1)∵AB=CD=20,AD=BC=16,EF=GH=20-2x,EH=FG=16-2x,∴==1-,==1-.∵≠,∴≠.∴小路内外边缘所成的矩形不相似.(2)∵20>16,∴20-x>16-x,∴EF>FG.如果两个矩形相似,则有=,即=,解得x=0,不符合题意,∴两个矩形不相似.(3)能.当=时,解得x=y(0<y<16).当=时,解得y=x-9(7.2<x<20).∴当x=y(0<y<16)或y=x-9(7.2<x<20)时,两个矩形相似. (4)由题意知=,解得x=.。

第20讲相似多边形1.相似多边形的有关概念.2.掌握相似三角形的性质.一、相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.考点1：相似图形的判断例1．下面一定相似的一组图形为（）A．两个等腰三角形B．两个矩形C．两个等边三角形D．两个菱形．【答案】C【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【解析】解：A.两个等腰三角形不一定相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；B.两个矩形不一定相似，因为没有指明边的情况，虽然其四个角均相等，不符合相似的条件；C.两个等边三角形一定相似；D.任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故选C．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．例2．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似【答案】C【分析】根据两个图形相似的性质及判定方法，对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时满足，来判断正误．【解析】解：A、所有的等边三角形的角都为60 ，都相似，不符合题意；B、等腰直角三角形都相似，不符合题意；C、矩形对应边不一定成比例，不一定都相似，符合题意；D、正八边形都相似，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的知识，熟练掌握各特殊图形的性质是解题的关键，难度一般．例3．下列说法正确的是（）A．菱形都是相似图形B．各边对应成比例的多边形是相似多边形C．等边三角形都是相似三角形D．矩形都是相似图形【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断即可．【解析】解：A、菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定是相似图形，故本选项错误；B、各边对应成比例的多边形对应角不一定相等（如菱形），所以不一定是相似多边形，故本选项错误；C、等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确；D、矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边和角两个方面考虑．例4．下列说法正确的有（）．①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；②③④说法正确，故选C.【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.考点2：相似多边形的性质及对应性例5．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_________，边成_________，那么这两个多边形叫做_________．相似多边形对应边的比叫做_________．由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角_________，对应边_________．【答案】相等比例相似多边形相似比相等成比例【解析】略例6．如图的两个四边形相似，则∠a的度数是（）A．120°B．87°C．75°D．60°【答案】B∠=︒，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．【分析】根据相似多边形的性质，可得1138【解析】解：如图，例例______．【分析】根据相似三角形对应角相等，分情况讨论解答即可．【解析】易得∠C=60°，与∠D是对应角.则①当∠E与∠A是对应角时，∵∠A=50°，∴∠E=50°，②当∠E与∠B是对应角时，∵∠B=70°，∴∠E=70°，综上，∠E的度数为50°或70°，故答案为50 或70 .【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角不确定的时候需要分类讨论.例9．如图，如果五边形ABCDE∽五边形POGMN，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形ABCDE 和五边形POGMN的周长之比是（）A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4【答案】B【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．【解析】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，∴相似比为3：2，∴五边形ABCDE和五边形POGMN的周长之比是3：2，故选：B．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．考点3：相似多边形性质的应用例10．装裱一幅宽40cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上x，则x __________．去的部分的上下的宽都为15cm，若装裱上去的左右部分的宽都为cm【答案】10【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．【解析】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，∴40402 6060152x+=+⨯，解得：故答案为：10．【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．例11．如图，一块矩形绸布的长矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即是多少？例＞EF ），设例使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边A ．2a b =B ．2a b =C ．a =例似比为例【答案】1 256．【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．一、单选题1．（2019·甘肃·中考真题）如图，将图形用放大镜放大，应该属于()．A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【答案】B【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解析】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选B．【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．2．（2018·重庆·中考真题）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情二、填空题一、单选题1．下列图形中不一定是相似图形的是（）．B．．．【答案】A【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论．【解析】解：∵441.235=，∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似，该选项正确；A．4.14B．2.56【答案】A【分析】设整个车身长为AB，点C 项判断即可．【解析】如图，设整个车身长为AB根据题意，AC=1.58米,对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对二、填空题11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是________，错误的是________．（填序号）【答案】①②③【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．【解析】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图【答案】80︒144 5【分析】根据相似多边形对应角相等，对应边成比例可得出答案【答案】132+或2【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，进行计算即可求解．【解析】∵ABFE 是正方形，∴AB =EF =AE ，∵矩形GFCH 和矩形EGHD ∴EG =DH =GF =HC ，设∴AD =2y x +，AB =2x ，∵矩形ABCD 和矩形EGHD ∴AD GH AB GF =或AD GF AB GH=①当AD GH AB GF =时，∴22y x x y y+=，解得：x ∴AD ：AB =:2:x y y y =②当AD GF AB GH=时，22y 解得：132y x +=，∴AD ：AB =13:2y x +=故答案为：2或13+．三、解答题19．如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？【答案】d 与（1）相似，e 与（2）相似【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案．【解析】解：d 与（1）相似，e 与（2）相似理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d ）是半圆，所以图形与图形相似；图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e ）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似；故答案是：d 与（1）相似，e 与（2）相似．【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点．20．如图，两个四边形相似，求未知边x 、y 的长度及角α的大小．【答案】x=24，y=28，α=75°【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题．【解析】∵两个四边形相似，∴20：5=x ：6=y ：7，解得：x=24，y=28，∵四边形内角和等于360°，∴α=3607085130︒︒︒︒---=75°，∴x=24，y=28，α=75°．【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于【答案】915cm,cm 22EF FG ==．(1)D'∠的度数为_______，四边形ABCD与四边形(2)分别求边BC BC与边CD的长度．（1）求BC 、CD 的长度；（2）求D ∠、D '∠的大小；。

北师大版九年级数学上册3.3相似多边形同步练习一、选择题1.用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（）A．△ABC放大后，是原来的2倍B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍C．△ABC放大后，周长是原来的2倍D．△ABC放大后，面积是原来的4倍答案：A解析：解答：∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍．故本题选A．分析：用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．2.我国国土面积约为960万平方千米，画在比例尺为1：1000万的地图上的面积约是（）A．960平方千米B．960平方米C．960平方分米D．960平方厘米答案：D解析：解答：16万平方千米平方厘米，=⨯9609.610设画在地图上的面积约为x平方厘米，则162x⨯=：（：万），9.61011000解得x=960．则画在地图上的面积约为960平方厘米．故选D．分析：相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．3.如图，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ．将纸片对折，折痕为EF ，所得矩形AFED 与矩形ABCD 相似，则a ：b=（ ）A ．2：1B ．2：1C ．3：3D ．3：2答案：B解析：解答：∵矩形纸片对折，折痕为EF ， ∴1122AF AB a ==， ∵矩形AFED 与矩形ABCD 相似， ∴AB AD AD AF =，即12a b b a =， ∴22a b=（）， ∴2a b=． 故选B ． 分析：根据折叠性质得到1122AF AB a ==，再根据相似多边形的性质得到AB AD AD AF =，即12a b b a =，然后利用比例的性质计算即可． 4.两个相似多边形的一组对分别是3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和是278cm ，那么较大的多边形的面积是（ ）A ．44.8B ．42C ．52D ．54答案：D解析：解答：设较大多边形与较小多边形的面积分别是m ，n ．则2344.59n m ==（）． 因而49n m =． 根据面积之和是78cm2．得到4789m m +=． 解得：254m cm =．故选D ．分析：根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．5.两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（ ）A ．1：3B ．1：9C ．1：3D ．2：3答案：A解析：解答：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，∴两个相似多边形的边长之比是1：3，∴它们的周长之比为1：3．故选A ．分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方和相似多边形的周长之比等于相似比得出即可．6.如图所示，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是（ ）A ．B ．C ．D ．解析：解答：由题意得，A 中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；C ，D 中正方形，菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而B 中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以B 中矩形不是相似多边形 故选B ．分析：此题考查相似多边形的判定问题，其对应角相等，对应边成比例．7.某块面积为24000m 的多边形草坪，在嘉兴市政建设规划设计图纸上的面积为2250cm ，这块草坪某条边的长度是40m ，则它在设计图纸上的长度是（ ）A ．4cmB ．5cmC ．10cmD ．40cm答案：C解析：解答：设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm ，224000m 40000000m =，40m=4000cm ， 根据题意得：2400000004000250x=（）， 解得：x=10，即这块草坪在设计图纸上的长度是10cm ．故选C ．分析：首先设这块草坪在设计图纸上的长度是xcm ，根据题意可得这两个图形相似，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可列方程2400000004000250x=（），解此方程即可求得答案，注意统一单位．8.一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（ ）A ．18B ．12C ．24答案：A解析：解答：设这个多边形的最长边是x，则26=，6x解得x=18．故选A．分析：根据题意找出最短边与最长边，然后根据相似多边形对应边成比例列式计算即可．9.若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1答案：B解析：解答：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为112=：．4故选：B．分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．10.如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）A．1：25B．1：5C．1：2.5D．15：答案：D解析：解答：∵两个相似多边形面积的比为1：5，：．∴它们的相似比为15故选：D．分析：根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答．11.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都保持不变B．图形中线段的长度与角的大小都会改变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变答案：D解析：解答：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，故选D．分析：根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可得出答案．12.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：解答：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．分析：利用相似图形的性质分别判断得出即可．13.如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的相似比为（）A．16：9B．4：3C．2：3D．256：81解析：解答：根据题意得：164．93故选：B．分析：根据两个相似多边形的面积比为16：9，面积之比等于相似比的平方．14.下列判断正确的是（）A．所有的直角三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的矩形都相似答案：B解析：解答：A、所有的直角三角形只有直角相等，所以不一定都相似，故本选项错误；B、所有的等腰直角三角形都相似正确，故本选项正确；C、所有的菱形只有对应边成比例，对应角不一定相等，所以，不一定相似，故本选项错误；D、所有的矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故本选项错误．故选B．分析：根据对应边成比例，对应角相等的图形叫做相似图形对各选项分析判断后利用排除法求解．15.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移C．轴对称D．旋转答案：A解析：解答：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．分析：根据轴对称变换、平移变换、旋转变换、相似变换的特点，结合图形即可得出答案．二、填空题16.若两个相似多边形的对应边之比为5：2，则它们的周长比是_____．答案：5：2解析：解答：∵两个相似多边形的对应边的比是5：2，∴这两个多边形的周长比是5：2．故答案为：5：2．分析：根据相似多边形的周长的比等于相似比解答即可．17.图中的两个四边形相似，则x y +=______，a=______．答案：63|85°解析：解答：由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以18486x y ==：：：，解得x=36，y=27，则362763x y +=+=． 360778311585a =︒-︒+︒+︒=︒（）．故答案为63；85°．分析：根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例即可求解．18.若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于______．答案：4：5解析：解答：∵两个相似多边形面积的比为16：25，∴两个相似多边形周长的比等于4：5，∴这两个相似多边形周长的比是4：5．故答案为：4：5．分析：直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可．19.如图，在长8cm ，宽4cm 的矩形中截去一个矩形（阴影部分）使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为______2cm ．答案：8解析：解答：设留下的矩形的宽为x ，∵留下的矩形与原矩形相似， ∴ 4 48x ＝， x=2，∴留下的矩形的面积为：2248cm ⨯=（）故答案为：8．分析：本题需先设留下的矩形的宽为x ，再根据留下的矩形与矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面积．20.如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若四边形AEFB 与四边形ABCD 相似，AB=4，则AD 的长度为______．答案：42解析：解答：设AE=x ，则AD=2x ，∵四边形ABCD 与矩四边形ABFE 是相似的， ∴AE AB AB AD＝， ∴222AB x =， ∴24AB x ==， ∴22x =， ∴42AD =， 故答案为：42．分析：首先设AE=x ，则AD=2x ，进而利用四边形ABCD 与四边形ABFE 是相似的，则AE AB AB AD＝，进而求出即可三、解答题21.如图，四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度．答案：解答：∵四边形ABCD 和四边形EFGH 相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，360837811881β∠=︒-︒+︒+︒=︒（），EH AD HG DC =：：， ∴242118EH =， ∴EH=28（cm ）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm ．解析：分析：观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH 的长度．22.两个相似五边形，一组对应边的长分别为3cm 和4.5cm ，如果它们的面积之和是278cm ，则这两个五边形面积各是多少2cm ？答案：解答：设较小五边形与较大五边形的面积分别是2cm x ，2cm y ． 则2344.59x y ==（），因而49x y =． 根据面积之和是278cm ，得到4789y y +=， 解得：54y =， 则454249x =⨯=．即较小五边形与较大五边形的面积分别是224cm ，254cm ．解析：分析：根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．23.把一个长方形（如图）划分成两个全等的长方形．若要使每一个小长方形与原长方形相似，问原长方形应满足什么条件？答案：解答：设AE=ED=a ，AB=b ，∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴2a b b a=， ∴222b a =，∵a，b 均为正数，∴2b a =， ∴2222AD a a AB b a===， ∴原长方形的长与宽之比为21：．解析：分析：设AE=ED=a ，AB=b ，根据每一个小长方形与原长方形相似，可知2a b b a =，再由a ，b 均为正数可知2b a =，故2222AD a a AB b a===，由此即可得出结论． 24.如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知2AD ＝ ，求AB 的长．答案：解答：∵2AD ＝， ∴22MD NC ==，∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似， ∴NC MN AB AD =，即222AB AB =， ∴AB=1． 解析：分析：先根据2AD ＝求出MD 的长，再根据矩形DMNC 与矩形ABCD 相似得出矩形对应边的比例式，求出AB 的长即可．25.我们通常用到的一种复印纸，整张称为1A 纸，对折一分为二裁开成为2A 纸，再一分为二成为3A 纸，…，它们都是相似的矩形．求这种纸的长与宽的比值（精确到千分位）． 答案：1.414解析：解答：设1A 纸的长为a ，宽为b ，2A 纸的长为b ，宽为2a ， 由1A 、2A 纸的长与宽对应比成比例，得 12a b b a =， 故2 1.4141a b =≈． 故答案为：1.414．分析：分别设1A 纸的长为a ，宽为b ，2A 纸的长为b ，宽为2a ，再由相似多边形的对应边成比例列出比例式，求出a b 的值即可．。

3 相似多边形知识点 1 相似多边形的定义及性质1．下列说法中错误的是( )A．相似多边形的对应边成比例B．相似多边形的对应角相等C．相似多边形的边数相同D．对应边成比例的两个多边形是相似多边形2．若图4－3－1所示的两个四边形相似，则∠α的度数是( )A．60° B．75° C．87° D．120°4－3－14－3－23.如图4－3－2，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是( )A．10 B．12C.454D.365图4－3－34．如图4－3－3，矩形ABCD中，AB＝4，M，N分别是AD，BC的中点，MN∥AB，若矩形DMNC与矩形ABCD相似，则AD的长为________．知识点 2 相似多边形的判定5．下列判断正确的是( )A．两个对应角相等的多边形相似B．两个对应边成比例的多边形相似C．边数相同的正多边形都相似D．有一组角对应相等的两个平行四边形相似6．教材随堂练习第1题变式题如图4－3－4，有三个矩形，其中相似的是( )图4－3－4A．甲和乙 B．甲和丙C．乙和丙 D．没有相似的矩形7．如图4－3－5，G是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点G作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．图4－3－58．若△OAB各个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(2，4)，B(4，0)，△OA′B′∽△OAB，已知点A′(4，8)，且点B′位于x轴上，则点B′的坐标为________．9．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边的长为________．10．一个矩形ABCD的较短边长为2.(1)如图4－3－6①，将矩形ABCD沿它的长边对折(MN为折痕)，得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；(2)如图4－3－6②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．图4－3－61．D2．C 3．C4．4 2 5．C6．B .7．证明：∵∠GEA ＝∠EAF ＝∠GFA ＝90°，∴四边形EAFG 为矩形．∵四边形ABCD 为正方形，∴AC 平分∠DAB .又∵GE ⊥AD ，GF ⊥AB ，∴GE ＝GF ，∴四边形AFGE 为正方形．∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．8．(8，0)9．610．解：(1)由已知得MN ＝AB ＝2，DM ＝12AD ＝12BC . ∵将矩形ABCD 沿MN 对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，DM AB ＝MN BC ，∴DM ·BC ＝AB ·MN ，即12BC 2＝4， ∴BC ＝2 2，即它的另一边长为2 2.(2)∵矩形EFDC 与原矩形ABCD 相似，∴DF AB ＝CD BC.∵AB ＝CD ＝2，BC ＝4，∴DF ＝AB ·CD BC＝1， ∴矩形EFDC 的面积＝CD ·DF ＝2×1＝2.。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

优异当先 翱翔梦想4.3 相像多边形1． 两个相像多边形一组对应边分别为3cm ， 4.5cm ，那么它们的相像比为（）A ．2B ．3C ．4D ．932942． 在矩形 ABCD 中， E ， F 分别为 AB ， CD 的中点，假如矩形 ABCD ∽矩形 EFCB ，那么它们的相像比为（ ）A ． 22 1B ．C ．2D ．223． 一个多边形的边长为2， 3， 4，5，6，另一个和它相像的多边形的最长边为 24，则这个多边形的最短边长为（）A ．6B ．8C ．12D ．104． 如 果多边形 ABCDEF ∽多边形 A`B`C `D`E`F` ，且∠ A ＝ 68o ，则∠ A` 等于（）A ． 22 oB ． 112 oC ． 68 oD ． 54o5． 相像多边形对应边之比叫做 ______.6． 两个相像多边形的最长边分别为10cm 和 20cm ，此中一个多边形的最短边为5cm ，则另一个多边形的最短边为 ______.7． 在梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ＝ 60， CD ＝ 15， E ， F 分别为AD ， BC 上一点，且 EF ∥AB ，若梯形 DEFC ∽梯形 EABF ，那么 EF ＝ ______.8． E,F 分别为矩形 ABCD 的边 AD ， BC 的中点，若矩形 ABCD ∽矩形 EABF ， AB ＝ 1，求矩形 ABCD 的面积。

第 1页共2页优异当先 翱翔梦想9． 梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，E ，F 分别为4， BC ＝ 9。

试求 AE ： EB 的值。

AB ， CD 上一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD ＝10. 对应角相等的两个多边形必定是相像多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相像多边形吗？试分别举例说明。

11. 在长为10，宽为 8 的矩形 ABCD 中，点 E 在长 AD 上， F在AB 上，若所获得的矩形 EFCD∽矩形 ABCD ，试问 AE 之长是多少？请说明原因。

北师大版数学九年级上册 4 相似多边形一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( )A.4∶9B.9∶4C.2∶3D.3∶22.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )A.9倍B.3倍C.81倍D.18倍 3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，则下列结论正确的是( ) A. BC DE =21 B. BC DE =31 C. 的周长的周长ABC ADE ∆∆=21 D. ABC ADE S S ∆∆=31 4.如图1，ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，则S △CBF 等于( )图1A.12 cm 2B.24 cm 2C. 54 cm 2D.15 cm 25.下列说法中正确的是( )A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等二、填空题6.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是3∶4，△ABC 的周长是27 cm ，则△A ′B ′C ′的周长为________.7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm 2，那么大多边形的面积为________.8.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm 和8 cm ，它们的周长之和为35 cm ，则较小的三角形的周长为________.9.在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，如果矩形ABCD∽矩形BCFE，那么AD∶AB=________，相似比是________，面积比是________.10.已知，如图2，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶A′A=4∶3，则△ABC与________是位似图形，位似比为________；△OAB与________是位似图形，位似比为________.图2三、解答题11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，若S△DCE∶S△DCB=1∶3，求S△DCE∶S△ABD.图313.已知：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.参考答案一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.D二、6.36 cm7.72 cm28.15 cm9.2∶2 2∶1 2∶110.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4三、11.36千米12.5千米12.1∶613.40 2014.略。