计算单利与复利11

❖ 答案：肯定是少于6万元的。因为老 王可以把钱存入银行，这样可以得到三 年的利息，所以现在存入少于6万元的款 项，三年后连本带利，就可以支付儿子 上学的费用。
❖ 分期支付动画
时间就是金钱
先生，一次性支付房 款，可获房价优惠
一、货币时间价值
❖ 货币时间价值是不是就是银行的利 息呢？
❖ 银行的利息是货币时间价值的体现， 但是货币时间价值并不仅仅体现为 银行的利息。
A A ……. A 0 1 2 …… 5
解：∵S=A×普通年金终值系数 ∴每年准备款项为 A=S/普通年金终值系数 =1500/5.416 =276.96万元
因为：276.96小于300 所以：该公司每年准备的款项能够还债
注：查一元年金终值系数表知， 4%、5期年金终值系数 为5.416
年金计算
终值系数 14.0
12.0
2%
10.0
4%
8.0
6%
8%
6.0
10%
4.0
12%
14%
2.0
0.0
1
4
7 10 13 16 19 年份
❖ 按照复利计息的利息计算式为： FVn PV PV[(1 i)n 1]
❖ 考虑计息次数，终值计算式为
❖ 如果名义利率为年利率，一年 计息m次，则实际年利率为：
0 1 2 …… n
A
A
A A*…(1…+i) 0
+A*(1+i) n-2 +A*(1+i) n-1
❖ 案例3：公司准备进行一投资项目，在未 来3年每年末投资200万元，若企业的资 金成本为5%，问项目的投资总额是多少?
？
200 200 200 01 2 3
解：项目的投资总额S=A×普通年金终值系数 =200×3.153 =630.6万元
5%计息，20年本利和累计额为多少？（报酬率5%，21期的 年金终值系数为35.7193）
AFV &s& C (1 i)n 1 C
n
d
(1 5%)20 1

10000 347193
11 (1 5%)
34.719310000 347193
❖ 查表：期数加1的系数减1
每期金额
投资期间(贷款期间)
解决货币时间价值问题所要 遵循的步骤
1. 完全地弄懂问题 2. 判断这是一个现值问题还是一个终值问题 3. 画一条时间轴 4. 标示出代表时间的箭头，并标出现金流 5. 决定问题的类型：单利、复利、 年金问题、
❖
实际利率
❖ 例如：某人向银行存入5000元，在利率为 多少时才能保证在未来10年中每年末收到 750元？
❖ 5000/750=6.667 或 750*m=5000
❖ 查年金现值表，期数为10，利率i=8%时， 系数为6.710；i=9%，系数为6.418。说明利 率在8-9%之间，设为x%
❖ 8% 6.710 ❖ x% 6.667 ❖ 9% 6.418 ❖ （x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）
Ct
其中，Ct 为未来 t 期的现金流。
❖ 不规则的现金流计算较麻烦，定期等额的现金流相对简
化，也较常用。这种现金流称为年金。也分终值和现值
普通年金 即时年金 递延年金 永续年金
等额收付款项发生在每期期末 等额收付款项发生在每期期初 多期以后开始等额收付款项 无限期等额收付款项
年金的计算原理
❖ 年金的终值＝年金终值系数×等额现金流 ❖ 年金的现值＝年金现值系数×等额现金流
❖ [例1－1]某人将1000元存入银行，约定 存14个月后取出。结果21个月后才取出。 假定银行存款年利率为10%。
求：单利、复利情况下利息分别是多少？
(二)复利
❖ 复利：根据本金和前期利息之和计算的利息，俗称 “利滚利”。
❖ 上例：年初存入1000元，第二年年底到期，年利率 10%，按复利计算：
FVn

PV
1
i m
mn
EFF

1
i m
m

1
❖ 案例7.1：一笔20万元的存款，年利率6%，期限10年，
按年计息
FVn 200000 (1 0.06)10 358169.54
❖ 按月计息：
❖ 实际年利率：
FVn

200000
1
0.06 12
3、永续年金的现值
❖ 这是一种存续期无限长的年金，如永续国债、优先股，理论 上其终值无限大，无从计算。现值公式为：
PPV 1 vn C 1 C
i
i
❖ 如一优先股每年可获得固定股息0.2元，当折现率为10%时，
优先股的价值为
1 0.2 2 0.1
年金计算
❖ 普通年金终值计算:
1 n 11 (1 0.005)180

C
2938.8 350000
d
11 (1 0.005)
APV 119.096232938.8 350000
❖ 查表：期数减1的系数加1
s a (1 i) n (1 i) n 1
n
n
d
❖ 案例7：一个投资者每年初存10000元入其银行帐户，按
❖ 第一年利息I1 = 1000x10% = 100元 ❖ 第二年利息I2 = （1000+100）x10% = 110元 ❖ 到期利息I = I1+I2 = 210元
（一）复利终值
❖ 复利终值是利用复利计算的一笔投资在未来某个时间 获得的本利和。比如： 本金10万，利率5%，每年复利一次，10年后本利和达 到16.3万
❖ 案例.3：一个人准备退休后每年年末领取3万元退
休金，用于日常消费支付，准备领20年，假定期间的年投 资报酬率为5%，问他需要在退休时积累多大一笔退休金？ （报酬率5%，20期的年金现值系数为12.4622）
APV a C n
1 n C 11 (1 5%)20 30000
年金的计算原理
1、普通（期末）年金的终值与现值
1
1
……
1
0
1
2
……
n
a n
s n
年金的计算原理
普通年金现值系数 普通年金终值系数
a 2 3 n n
= (1 n ) 1
= 1 n
i
s a (1 i)n
n
n
1 n (1 i)n
i
(1 i)n 1 i
❖货币时间价值运用意义
1、不同时点的资金不能直接加减乘除或直接 比较。
2、必须将不同时点的资金换算为同一时点的 资金价值才能加减乘除或比较。
❖ 2）绝对数形式：利息
❖ 相对数形式：利息率（货币的时间价值 与本金的比率）
❖ 3)货币的时间价值往往指随着时间的推 移，货币能够增值。
❖ 但并不是所有的货币都可以增值，只有货 币被作为资金使用，并与劳动要素相结合 的条件下，才能使货币增值。
i
5%
12.577910000 125779
2、即时（期初）年金的终值与现值
❖ 名义利率i与贴现率d的关系
案例7.5：d存款110v0元1，i 1i年后得110元，i名义1d利d率i=10%
贴现率为10/110=9.09%，相当于 d 10% 9.09%
1 10%
面额100万元还有一年到期的票据拿到银行贴现，银行按8% 的利率贴现，企业支付的名义利率为多少？
10000
8207.47
时间、利率与终值和现值间的关系
FVIF
10％ 5％
PVIF
＄1
＄1 0
0
10％ 5％
0
0 时间
时间
终值S=P+I=P×（1+i）n=P ×复利终值系数
S=？ P
顺向求终 0
n
现值P=S /（1+i）n=S ×复利现值系数
P=？
S
反向求现 0
n
实际利率
❖ 例如：某人向银行存入5000元，在利率为 多少时才能保证在未来10年中每年末收到 750元？
❖ 计算公式：复利终值=初始本金×复利终值系数 FVn＝PV（1＋i）n
式中的FVn为终值，PV为初始本金，(1+i)为复利因子， （1＋i）n为复利终值系数。 FV与利率i、期限n和本金PV呈正向变化关系。
❖ 可以利用EXCEL或专用财务计算器计算，也可以查表 计算。
终值系数随时间和利率变化而加速变化
/（6.418-6.71） ❖ 计算得出 x=8.147。
❖ 【例题·单选题】某公司向银行借入23000元， 借款期为9年，每年的还本付息额为4600元,则借 款利率为（ ）
❖ A.16.53%
B.13.72%
C.17.68%
D.18.25%
❖
❖ 【例题·单选题】某公司向银行借入23000元， 借款期为9年，每年的还本付息额为4600元,则借 款利率为（ ）
1210

363879.35
EFF

1
0.06 12
12

1

6.168%
❖ 案例：
2年后的1万元，按10%的年贴现率计算，现值
为
PV

1 (1 0.1)2
10000

8573.39
❖ 查表的贴现系数为 0.857339
❖ 按季计息,现值为
PV

1
1 0.02542
❖ 普通年金现值计算:
0 1 2 …… n
AA
A
A/(1+i)
+A/(1+i) 2
……
+A/(1+i) n
300 300 …… 300
❖
年金终值的几何涵义
★每期金额不变
40
★每期不能中断
wenku.baidu.com
30
20
10 每期金额 每期金额 每期金额
0
-10
投资期间
年金终值
年金终值的几何涵义
年金现值
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10
所以：项目的投资总额是630.6万元
注：查一元年金终值系数表知， 5%、3期年金终值 系数为 ：3.153
年金计算
❖ 案例4：某公司在5年后必须偿还债务1500万元，因
此从今年开始每年必须准备等额款项存入银行，若银 行存款利率为4%，每年复利一次，问该公司每年准备 300万元是否能够还债?
1500
第二节 单利和复利
❖ （一） 单利 ❖ 单利：以本金为基础计算的利息 ❖I = P x i x n ❖ I 表示获取或支付的利息； ❖ i 表示支付或承担的利息率； ❖ P表示本金，即款项目前的价值-现值； ❖ n 表示交易涉及的年数或期数
第二节 单利和复利
❖ （一） 单利 ❖ 单利：以本金为基础计算的利息 ❖I = P x i x n ❖ I 表示获取或支付的利息； ❖ i 表示支付或承担的利息率； ❖ P表示本金，即款项目前的价值-现值； ❖ n 表示交易涉及的年数或期数
❖ 不同时点货币资金的价值比较一般通过现值和 终值的计算来实现。
第一节 货币的时间价值
❖ 不论是实物商品资金运动，还是金融商品资 金运动，都可以观察到货币增值的现象。
❖ 老王准备给儿子存钱供他以后上大学 费用，假如现在上大学的费用是6万元， 并且假定三年以后，也就是老王的儿子 上大学时该费用不变，那么现在的老王 需要存入多少钱呢?
i
5%
12.462230000 373866
❖ 案例7.4：一个投资者每年末存10000元入其银行帐户，
按5%计息，10年本利和累计额为多少？（报酬率5%，10期 的年金终值系数为12.5779）
AFV s C n
(1 i)n 1 C (1 5%)10 1 10000
❖ A.16.53%
B.13.72%
C.17.68%
D.18.25%
， ❖ P=23000，A=4600，N=9 23000=4600×（P/A，i，9）
❖ （P/A，i，9）=5
❖ 利率
系数
❖ 12%
5.3282
❖r ❖ 14%
5 4.9464
(r-12%)/(14%-12%)= (5- 5.3282)/(4.9464-5.3282)
i
80000
8.696%
1000000 80000
i 8% 8.696% 1 8%
❖ 案例6：一个人借了住房贷款，每月初要定期定额还款
2928.8元，年贷款利率固定为6%，15年还清。问最初贷款 金额为多少？（利率为0.5%，179期的年金现值系数为 118.09623）
APV a&&C n
复利与年金
t
t+n
一、货币时间价值的概念
❖ 不同时点的同量货币资金的价值是不一样的， 今天的1元钱不等于明天的1元钱。前一期的货 币资金比后一期同量的货币资金价值更高，这 就是货币的时间价值。
❖ 由于货币时间价值的存在，人们在金融活动中 必然要进行货币资金价值的跨期比较，这就需 要借助于利率将不同时点的货币资金放在一个 时点来比较。
❖B
第三节 年金
一、系列现金流
❖ 系列现金流是指基于某一事件，在未来一定时期不断发 生的现金流。如贷款分期偿还、存本取息存款，债券分 期付息，股票每年分红、保险金缴纳、领取养老金。
❖ 计算式为每笔现金流的现值、终值之和
n
FV (1 i)nt Ct t 1
PV

n t 1
(1
1 i)t