2018届一轮复习人教A版专题7 几何概型 学案

11.3 几何概型【考纲要求】1、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2、了解几何概型的意义.【基础知识】1、几何概型（1）定义：如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。

（2）特点：①结果的无限性②每个结果发生的等可能性（3）几何概型的解题步骤首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式构成事件A的区域长度P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式。

2、求事件的概率计算概率首先是读题审题，然后是概率定性（六大概型：古典、几何、互斥、独立、独立重复试验、条件），再代公式。

3、温馨提示求几何概型时，注意首先寻找到一些重要的临界位置，再解答。

一般与线性规划知识有联系。

【例题精讲】例1 在区间[0,1]上任意取两个实数a，b，则函数f(x)＝12x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为________．解析：f′(x)＝32x2＋a，故f(x)在x∈[－1,1]上单调递增，又因为函数f(x)＝12x3＋ax－b在[－1,1]上有且仅有一个零点，即有f(－1)·f(1)<0成立，即(－12－a－b)(12＋a－b)<0，则(12＋a＋b)(12＋a－b)>0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤10≤b≤112＋a－b>012＋a＋b>0或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b ≤112＋a －b <0，12＋a ＋b <0由线性规划知识在平面直角坐标系aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知道，函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线a ＝0，a ＝1，b ＝0，b ＝1围成的正方形的面积，计算可得面积之比为78.例2 将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)的概率．解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度为1－x －y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y ) |0＜x ＜1,0＜y ＜1,0＜x ＋y＜1}，此区域面积为12.事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”所对应的几何区域可表示为A ＝{(x ，y )|(x ，y )∈Ω，x ＜a ，y ＜a,1－x －y ＜a }．即图中六边形区域，此区域面积：当13≤a ≤12时，为(3a －1)2/2，此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝(3a －1)2/21/2＝(3a －1)2；当12≤a ≤1时，为12－3(1－a )22.此时事件“三段的长度都不超过a (13≤a ≤1)”的概率为P ＝1－3(1－a )2.11.3 几何概型强化训练 【基础精练】1.如图所示，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为a 3，a2，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )A.710 B.57 C.512 D.582.如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )A.12B.32C.13D.143．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率为 ( ) A.116 B.18 C.14 D.124．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为( )A.14B.12C. 34D.785.如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) A.235 B.215 C.195 D.1656.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为45°，向圆盘内投镖，如果某人每次都投入圆盘内，那么他投中阴影部分的概率为 ( )A.18B.14C.12D.34 7．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．8．向面积为9的△ABC 内任投一点P ，那么△PBC 的面积小于3的概率是__________． 9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为910，那么该台每小时约有________分钟的广告．10．设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤6，x －y ≥0.表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．11．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．【拓展提高】已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．【基础精练参考答案】1.C[【解析】：S 梯形＝12(a 3＋a 2)·b ＝512ab ，S 矩形＝ab .∴P ＝S 梯形S 矩形＝512. 2.C 【解析】：当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′=3π ，由圆的对称性及几何概型得P =213.23ππ=3.C 【解析】：正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间，所以正方形的边长介于6 cm 到9 cm 之间．线段AB 的长度为12 cm ，则所求概率为9－612＝14.4.C 【解析】：设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1且0≤y ≤1.由题意知|x -y |＜12，所以所求概率为P =111123222.14-⨯⨯⨯= 5.A 【解析】：据题意知：S 阴S 矩＝S 阴2×5＝138300，∴S 阴＝235. 6.A 【解析】：P ＝45360＝18. 7.29解析】：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U =18，S A =4，则点P 落入区域A 的概率为29A U S S =. 8.59【解析】：如图，由题意，△PBC 的面积小于3，则点P 应落在梯形BCED 内，∵2113ABC ADE S S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴S △ADE =4，∴S 梯形BCED =5，∴P =59. 9.6【解析】：60×(1－910)＝6分钟．10.解：(1)设集合A 中的点(x ， y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18， ∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝12.(2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B 中的点有21个，故P (N )＝2136＝712.11.解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， ∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎨⎧⎭⎬⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|2300,0x x x y +-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≥≥其图形如图中的三角形OAD (阴影部分) 又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，23)， ∴三角形OAD 的面积为S 1=1343.229⨯⨯= ∴所求事件的概率为P =1934.1216S S ==【拓展提高参考答案】(2)m 、n 满足条件⎩⎨⎧m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P =112772=.。

几何概型一轮复习教学设计一、教学设计背景与目标几何学作为数学的重要分支之一，是培养学生空间想象力和逻辑思维的关键。

然而，由于内容较为抽象和复杂，学生在学习过程中常常遇到困难。

因此，为了帮助学生夯实几何概型的复习内容，本教学设计旨在通过一轮复习来加深学生对几何概型知识的理解和应用能力。

本教学设计的目标如下：1. 复习几何概型的基本概念和定理，加深学生对几何学的理解。

2. 提升学生的几何概型解题能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

3. 培养学生复习和总结的能力，为后续学习打下坚实的基础。

二、教学内容与方法1. 复习内容：（1）基本几何概念：点、线、面、角等；（2）方向与位置关系：平行、垂直、相交等；（3）三角形的性质与分类：等边三角形、等腰三角形、直角三角形等；（4）四边形的性质与分类：矩形、正方形、菱形等；（5）圆的性质与计算：半径、直径、弧长、扇形面积等。

2. 教学方法：（1）总结与分析法：通过教师讲解，引导学生总结几何概型知识点，并分析其应用场景和解题方法。

（2）示范与练习法：教师通过示范解题，引导学生进行相关题目的练习，巩固知识点的理解和应用能力。

（3）互动与合作法：组织学生进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。

三、教学过程安排1. 教学引入（10分钟）教师通过提问和教学课件等方式，引导学生回顾几何概型的基本概念，并与现实生活中的物体进行联系。

例如，提问：你身边有哪些物体涉及到几何概型？2. 概念与定理复习（30分钟）教师通过讲解的方式复习几何概型的基本概念和定理，引导学生思考其应用场景和解题方法。

例如，讲解角的概念时可用手势示范，并引导学生找出周围环境中涉及到角的例子。

3. 解题示范与练习（40分钟）教师通过解题示范，引导学生分析解题步骤和思考方法。

然后，组织学生进行相关题目的练习，并在过程中及时给予指导和反馈。

4. 小组合作学习（30分钟）教师组织学生分组进行小组合作学习，通过互动交流和合作解题，促进学生的思维发展和团队意识。

第13周④ 统计与概率7——几何概型一、考纲解读1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解几何概型的意义，并能求与长度或面积有关的几何概型的概率．(重点) 二、学习重难点重点：求几何概型中的长度和面积 难点：随机模拟方法的判断 三、考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考的热点之一. 预测2020年将会考查：①与长度有关的几何概型，常与函数、不等式、向量结合；②与面积有关的几何概型，常涉及线性规划等内容. 题型为客观题，试题难度不大，属中、低档试题. 四、重要知识梳理 1．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比． 3．借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率． 五、典例讲解题型一、与长度、角度有关的几何概型例1、(1)(2017·安徽巢湖二模)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[-5,5]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( )A.110 B ．23C.310D ．45解析 ∵f (x )≤0⇔x 2－x －2≤0⇔－1≤x ≤2， ∴f (x 0)≤0⇔－1≤x 0≤2，即x 0∈． ∵在定义域内任取一点x 0，∴x 0∈， ∴使f (x 0)≤0的概率为P ＝2－－5－－＝310.故选C . (2)(2017·山东烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．解析 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12， 得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13. 答案 13题型二、与面积有关的几何概型例2、已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4，记函数f (x )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f （2），f （－2），为事件为A ，则事件A 发生的概率为( )A.12 B ．58C.38D ．14解析：选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f，f－⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c ≤8，－2b ＋c ≤0.如图，作出平面区域，易知事件A 所包含的区域如图阴影部分，由几何概型概率公式可得事件A 发生的概率为P ＝12×4×44×4＝12.题型三、与面积有关的几何概型例3．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．解析：因为VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16. 答案：16六、达标训练1. 如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km ，大圆的半径为4 km ，卫星P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为( )A.112 B ．512 C.13 D ．15解析：选B.根据几何概型公式，小于3 km 的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P 与点O 的距离小于3 km 的概率为P (A )＝5π12π＝512.2．在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225 B ．1625 C.1725 D ．1825解析：选 C. 设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ＜65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725. 3．从区间随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4nm B ．2n mC.4m nD ．2m n解析 因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC 内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得S 扇形S 正方形＝m n，即π4＝m n ，所以π＝4mn .答案 C4．(1)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈(A ∩B )”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.答案：165．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．解析：由题意，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.答案：1－π126．一只昆虫在边分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以所求概率为2π30＝π15.答案：π157．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．解析：∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12. 答案：12七、课堂小结1、求解与长度、角度有关的几何概型的方法：求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．2、求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．3、求解与体积有关问题的注意点：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．。

3．3.1 几何概型[学习目标] 1.了解几何概型与古典概型的区别.2.理解几何概型的定义及其特点.3.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．知识点一 几何概型的含义 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 B解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12，故选B.题型二 与面积有关的几何概型例2 射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 如图，记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝⎛⎭⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30m ，宽20m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30m 、宽20m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动、扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}， 则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝⎛⎭⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型．1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13B.12C.23D.79 答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78B.56C.34D.12 答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是()A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.112B.38C.116D.56 答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________． 答案 34解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.1.几何概型适用于试验结果是无限多且事件是等可能发生的概率模型． 2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目． 3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).。