《平面向量的加法及其几何意义》教学案例
《向量的加法运算及其几何意义》选自数学（基础模块）下册7.1.2节，内容包括向量加法的三角形法则、平行四边形法则及应用，向量加法的运算律及应用。本节课是学习平面向量基本概念之后的一节比较重要的课,通过类比数的运算，研究向量的运算及运算律，渗透数学建模的思想。向量的加法更是后续学习的铺垫,因为向量加法运算是平面向量的线性运算(向量加法、向量减法、向量数乘运算以及它们之间的混合运算) 中最基本、最重要的运算,减法运算、数乘向量运算都可以归结为加法运算。由以上分析，我得出这样的认识，本节课教学内容应该是关于向量的理论知识体系中，比较靠前的、起到承上启下作用的一个知识环节。
二、教学目标与重点、难点
根据以上对教材和教学对象的分析，我确定与之相适应的教学目标、重点和难点如下：知识目标：
①理解向量加法的含义，学会用代数符号表示两个向量的和向量；
②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算；
能力目标：
①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线，
哪些向量是已知向量的和向量等等；
②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量，或将一个向量拆分为两
个（或多个）向量；
③应用能力：学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决；
情感目标：
①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪
氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；
②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动
学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；
③通过例3实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源
于实践、服务于实践的认识观念；
教学重点：（1）求作两个向量和向量的法则；（2）向量加法的运算律；
教学难点：（1）理解向量加法的定义；
（2）求向量和的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。
三、教法、学法分析
教法分析：本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法，并结合多
媒体辅助教学。
学法指导：引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；
引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。
四、教学过程：
（一）复习回顾
问题1：向量的概念、表示法？共线向量,相等向量，相反向量？
我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷.与数的运算类比,向量能否象数与式那样进行加法运算？如果可以，两个向量的和是什么？试举例说明。【设计意图】使学生对本节课所必备的基础知识有一个清晰准确的认识，分散教学难点。
（二） 实验探究，启发新知
探究1：王涛同学从家中（A 处）出发，向正南方向行走500米到达超市（B 处）,买了文具后，又沿着北偏东600 角方向行走200 米到达学校（C 处），则
王涛同学这两次位移的总效果从家（A 处）到达了学校（C 处）。
学生：回答
=+老师：板书. 图1
=+【设计意图】：从学生熟悉的物理问题入手，位移的合成体现了“首尾相接”的两个向量如何相加；同时问题的提出可以激发学生的学习兴趣,体现向量的应用价值,通过学生所熟悉的位移和的求法,进一步明确本节课的探索目标, 使得教学过程自然流畅.
探究2：如图，橡皮条在两个力F 1、F 2的作用下，沿着GC 方向伸长了EO ；撤去F 1、F 2，用另一个力F 的作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度，标出相应的点，并描出力的方向和大小（拉伸的长度）。
思考： F 1、F 2和F 之间有什么关系？
【设计意图】从学生熟悉的物理问题入手，力的合成体现了共起点的两个向量如何相加。学生在具体、直观的问题中观察、体验，形成对向量加法概念的感性认识，为突破
难点奠定基础。
A
B
C
结论：位移和力都可以看成向量,从物理的角度,力F 和位移都得到相同的效果,我
AC →
们把它们称为合力和合位移,从数学的角度可以把它们看成是两个向量相加.那么根据以上实验结果,我们如何定义两个向量的加法呢？（三） 向量加法定义的探究
问题2：对于任意的向量,如何定义向量的加法？（学生阅读教材）
,a b a b +
（1）已知向量,,在平面内任取一点,作,则向量叫做
a b
A ,A
B a B
C b ==
AC
向量的和．记作：,即．这种求向量和的方法,称
,a b a b + a b AB BC AC +=+=
为向量加法的三角形法则.
图5
强调： 首尾相接，起至终
（2）在平面内过同一点O 作=,=,则以向量、为邻边构造平行四边形
OA → a → OB → b → a → b →
OACB,则以O 为起点的对角线向量即与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加
OC →
a →
b → 法的平行四边形法则.
教师板书：强调：起点相同，对角为和
注意：两向量的和向量仍是一个向量。 图6
【设计意图】：对于此环节,比较常见的处理方式是直接给出定义,事实上,学生通过引入环节的活动可以初步认识三角形法则和平行四边形法则,能调动学生的积极性,激发学生的思维,同时也让学生在比较讨论中进一步掌握两种形式的特点。
思考：两向量共线时的向量和如何？
教师：（提示学生考虑）某人从A 到B,再从B 按原方向到C,则两次的位移和为什么？ 学生：画图验证
教师：指导学生，并用多媒体展示，强调共线向量满足三角形法则。
两个向量共线时； (1)共线同向： （2）共线反向：
a →
b → a →
b →
(四) 向量加法的两个运算法则
例题1：如图,已知向量、,用三角形法则求作向量.
a →
b →
a b + （1）
（2）
说明：（1）教师讲解，（2）学生练习
【设计意图】：强化巩固作图方法,教师板书作图过程，学生动手实践并通过前面学习探究,牢固掌握三角形法则的关键所在,即三角形法则的“首尾连接，起至终”
教师提示注意点:
(1) 要特别注意“首尾相接，起至终”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,
则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.(2) 两个向量共线时向量和也满足三角形法则
例2：如图,已知,,用向量加法的平行四边形法则作出.
a b
a b + （1） (2)说明：（1）教师讲解，（2）学生练习
【设计意图】。教师通过例题2示范平行四边形的作图过程,并提示注意点：①平行四边形法则中的“起点相同，对角为和”, 是指从两个向量的公共始点出发作和向量．即三个向量都共起点，
②利用适当的练习,帮助学生找出易错点,进一步突出重点.（五）向量加法的运算律
问题3：向量的加法既然是一种运算,它应该具有一些运算律？
请同学们类比实数加法运算律,猜测一下是什么？
实数的加法
向量的加法
a
请同学们利用下图讨论如何验证？
交换律：
+=+ 结合律：(+) +=+ (+)教师：巡堂指导,并展示多媒体验证。
学生：在尝试证明和对比分析讨论的过程理解两个运算律
【设计意图】： 本环节为本节课的难点,采用启发讨论式教学,让学生分组讨论,
（六）实际应用，理论迁移
例题3.如图所示，一艘船从长江南岸A 点出发，以5km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船的实际航行的速度；（2）求船实际航行速度的大小与方向.
练习： 表示“向东走3km”，表示”向南走4km”，则表示什么？
a b a b +
（说明：教师指导学生完成，然后课件演示）
A
【设计意图】： 例3的设计体现了数学来源于实际又应用于实际的思想,使学生学会应用数学知识、数学思想和方法解决有关问题.（七 ） 课堂练习
1.根据图示填空：
（1）_____;
a b +=
（2）______:
c d +=
（3）_______;
a b d ++=
（4）________.a b d e +++=
2. 求向量 ：
（1） _______
=++(2) =____________(八)课后作业：Ｐ3１ 1，２,３(九)课堂小结
问题4：通过本节课的学习你有哪些收获？
（1）向量加法的定义：（2）向量加法的两个法则：（3）向量加法的运算律：（4）应用
【设计意图】：让学生通过小结,反思学习过程,加深对向量加法及两个运算律的理解,领会并能用数学思想和方法解决有关问题.板书设计、
向量加法运算及其几何意义1.向量加法的定义2.向量加法的三角形法则
首尾连接，起至终平行四边形法则起点相同，对角为和3.向量加法的运算律多媒体展示区
例1：
例2：学生练习
设计反思
本节课的授课对象是职高一年级学生，学生通过观察物理学中的位移合成实例，力的合成实例，类比数的运算及运算规律，归纳向量的加法运算及其几何意义，经历数学知识的发生、发展的过程。但由于本节课知识点比较多，如何准确把握时间，详略得当，突出重点，突破难点需要反复揣测。只有这样做,才能使学生“学”有新“思”,“思”有所“得”,“练”有所“获”.教学是个不断再创造的过程，只有教师本身才能体会其中的乐趣！
AB DF CD BC FA ++++
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