第十一章反常积分
一、主要内容与教学要求
主要内容
问题的提出，两类反常积分(无穷积分，无界函数的反常积分或瑕积分)的定义。柯西收敛准则，无穷积分的性质，比较判别法，绝对收敛与条件收敛，狄利
克雷判别法，阿贝尔判别法。瑕积分的性质与收敛判别。
教学要求
1 理解无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念。
2 掌握无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法。
3 会应用敛散性的定义、性质及判别方法计算两类反常积分和证明两类反常积分有关的问题
教学重点
1 无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念、绝对收敛和条件收敛的概念
2 无穷积分和瑕积分的性质和各种敛散性判别方法
3无穷积分和瑕积分的计算
教学难点
1 两类反常积分敛散性的判别
2 两类反常积分相关的证明问题。
二、本章教材处理建议
1. 结合实际例子说明定积分在处理实际问题时条件的局限性，由如何突破条件的限制引入无穷积分与瑕积分的概念。
2. 通过变量替换，瑕积分与无穷积分可以互化，因此，它们有平行的理论和结果，讲课过程中，可以无穷积分为主，将相应的结论推广到瑕积分。
3. 反常积分具有线性运算性质，换元积分法和分步积分法仍然成立，进行反常积分的计算时，使学生明确，定积分的有关计算的方法与技巧仍然适用。
4.注意对反常积分审敛（包括绝对收敛，条件收敛和发散）进行归纳总结，要记住某些重要结果。
三、本章习题处理意见
1. §11.1反常积分概念(P269)：
横线以上1，2两题为直接通过计算判断反常积分敛散性的基本题，要求学生必须掌握。
横线以下各题可在课堂或习题课上讨论，注意4，5,6这三题之间的联系。
2. §11.2无穷积分的性质与收敛判别（P275）：
2，4,5三题可作为课外练习.第3题课堂讨论，6，7,8，9这四题可在习题课上讲授或给予提示，同样要注意各题之间内在的联系。第10题可在讲解阿贝尔判别法这一部分内容时讲授。
3．§11.3瑕积分的性质与收敛判别（P279）：
第3题可作为课外练习.4,5，6三题习题课讲授。
4. §总练习题（P280）：
1，2，3,4四题要求学生掌握，5，6两题作为较高要求，给予提示。
§ 1反常积分概念
一、问题的提出
为什么要推广Riemann 积分
定积分
()b
a
f x dx ⎰
有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；其二，若[,]f R a b ∈，
则0M ∃>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。
例如教材P264两例
又例如：（1）
1
⎰
x ＝1时函数无界。 （2）
21
1
dx x
+∞
⎰
，积分区域是无界的。 （3）已知[0,)f C ∈+∞，且()1f +∞=，求1
lim ()x x
x f t dt +→∞⎰
。
解：设0[,1]x x x ∈+，则有
1
1
lim ()lim ()lim ()()()x x x x x
x x x x x x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt +++∞
+∞
→∞→∞→∞=+=+⎰⎰⎰
⎰⎰
()()0x x f t dt f t dt +∞
+∞
=-+=⎰
⎰
怎么推广
通过极限工具，把常规积分向两个方向推广：1、无穷区间；2、无界函数。这两种情形可统一在下面的定义中：
二、两类反常积分的定义
1．无穷积分概念和几何意义：
定义1 （无穷积分定义）教材P265
⎰
=A
a
A F )(，
⎰+∞
-+∞=a
a F F f
)()(.
几何意义:
例3 讨论无穷积分
⎰+∞
1
p x dx
的敛散性 例4 讨论以下积分的敛散性 :
⑴ ⎰+∞
+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞∞-+21x dx . ⑵ ⎰+∞
2
)(ln p x x dx
. 补例1：讨论以下积分的敛散性 :
（1）0
x
e dx -∞
⎰ （2） 计算积分⎰+∞
++025
2x x dx （3）
x
e dx -∞
⎰
（4） ⎰+∞
a
xdx cos 的敛散性 .
2．瑕积分概念和几何意义： 先介绍函数的瑕点.
定义2（瑕积分的定义）教材P267
以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明. 几何意义:
例5 判断积分
⎰
-1
2
1x
dx 的敛散性 .
例6 讨论瑕积分⎰>1
0) 0 ( q x
dx
q 的敛散性 , 并讨论积分⎰+∞
0 p x dx 的敛散性 .
补例2：讨论以下积分的敛散性 :
（1）1
ln(1)x dx -⎰ （3）1
1
211x e dx x -⎰
注1. 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 有
⎰
⎰
∞
+--=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=====
b
a
a b x
b t dt t t b f dx x f 121
1
1)(, 把瑕积分化成了无穷积分;
设0>a , 有
⎰⎰⎰∞
+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====a a
a
x
t t
dt
t g t dt t g dx x g 0
11
022111 )(，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化 . 因此 , 它们有平行的理论和结果 .
注2. 广义积分计算技巧 （1） 线性运算公式（§ 2内容提前讲解）： 设广义积分
()b
a
f x dx ⎰
和()b
a
g x dx ⎰均收敛，则对一切α、β有；
(()())()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰
⎰⎰
例8：
22(1)(2)
dx
x x +∞
-∞
++⎰
例9：11()1dx x x +∞-∞-+⎰ （2）关于N.L 公式
若f(x)在（a,b ）除去有限个奇点外几乎处处连续，又它在（a,b ）存在原函数F(x)，则当a ≤b 时：
()()()b
a
b f x dx F
F b F a a
--++
==-⎰
注意：a ） a ＝－∞时，()F a +
改为()F -∞；当b ＝＋∞时，()F b -
改为()F +∞；
